Теоретические аспекты аксиоматики Вейля.

Теоретические аспекты аксиоматики Вейля.

 

§1.Биография Вейля.

 

Герман  Клаус Хуго Вейль (9.11.1885 – 9.12.1955) – немецкий математик и физик, член Национальной Академии Наук США, Американский академик искусств и наук. В 1908 году окончил Гёттингенский университет, где получил степень доктора философии. Учителем Вейля был Д.Гильберт. В 1908-1913 и 1930-1933 работал там же, в 1913-1930 профессор Цюрихского технологического института, в 1933-1955- Принстонского института перспективных исследований (США). Первые работы посвящены теории тригонометрических рядов, рядам по ортогональным функциям и почти периодическим функциям, теории дифференциальных  и интегральных уравнений (в частности, создал спектральную теорию дифференциальных операторов), а также теории функций комплексного переменного. В последней он заложил основы тех её направлений, которые опираются на понятие римановой поверхности. В теории чисел известны суммы Вейля, имеющие большое значение в аддитивной теории чисел (особенно для работ И.М.Виноградова). Одновременно с Э.Ж.Картаном исследовал теорию непрерывных групп, применение которым нашел в дифференциальной геометрии, физике и теории относительности. Одновременно с Я.А.Схоутеном обобщил понятие риманова пространства на случай пространства аффинной и конформной связности.  Ввёл понятие аффинной связности, играющей  важную роль  в дифференциальной геометрии и физике. Поставил (1915) проблему реализации в трёхмерном евклидовом пространстве регулярной метрики положительной кривизны, заданной на  сфере. С помощью методов групп теории получил некоторые результаты, относящиеся к теории атомных спектров. Разработал (1924) теорию представлений групп преобразований. Исследовал (1927) значение теории групп для развития квантовой механики. В области философии математики он  примкнул к направлению интуиционизма. Ему принадлежит суждение о наступлении нового кризиса в математике. Попытка Вейля разработать единую теорию поля потерпела неудачу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Варианты аксиоматики Вейля.

 

Известны разные варианты аксиоматики Вейля. Рассмотрим один из них.

Пусть V – n-мерное евклидово векторное пространство и Е- непустое множество, элементы которого А,В,С,… будем называть точками. Пусть на множестве Е задано отображение σ: Е×Е→V.

Обозначим вектор σ(A,B)=(AB) ⃗ и назовем его переносом, переводящим точку А в точку В.Потребуем что бы отображение σ обладало свойствами:

I.Для любой фиксированной точки А∈E отображение σ_A: E→V по закону:

 σ_A(В)= (AB) ⃗, ∀"В"∈E является биекцией.

II. ∀A,B,C∈E,(AB) ⃗+(BC) ⃗=(AC) ⃗

Тогда множество Е называется n-мерным евклидовым пространством , а векторное пространство V – его пространством переносов. Свойства I,II отображения σ называются аксиомами Вейля.

Отображение σ  каждой паре точек (А,В) ставит в соответствие вектор (AB) ⃗=b ⃗  из V. Если первую точку А пары зафиксируем, а вторая точка В будет пробегать все множество Е, то получим отображение σ_A: E→V . Аксиома I требует чтобы полученное отображение σ_A было биективным отображением Е  на V. Требование аксиомы I можно истолковать  как требование  биективности соответствия между точками В∈E и радиус-векторами (AB) ⃗ϵV  этих  точек при фиксированном начале А.

Требование аксиомы II означает следующее. Если вектор b ⃗  переводит  точку А в точку В (b ⃗ =(AB) ⃗), а вектор с ⃗ переводит точку В в точку С (c=(BC) ⃗), то вектор b ⃗+с ⃗ должен переводить точку  в точку С (b ⃗+c ⃗=(AC) ⃗).

Таким образом, в определении структуры евклидова пространства по вейлю векторы играют роль операторов на множестве точек: b ⃗(A)=B ↔ b ⃗=(AB) ⃗, аналогично роли чисел в определении структуры векторного пространства.

Если  в определении структуры евклидова пространства не требовать  евклидовости его  пространства переносов ( то есть не вводить отображение g, обладающее  свойствами 9)-11), то мы получим определение n-мерного аффинного пространства. Поэтому евклидово пространство можно рассматривать как обогащенную структуру аффинного пространства: в пространстве переносов V аффинного  пространства вводится новое отношение – скалярное умножение или положительно определенная квадратичная форма ( называемая метрической формой евклидова пространства). Это новое отношение позволяет определить в Е новые понятия, о которых не может идти речь в аффинном пространстве: «расстояние между точками» (ρ(A,B)=√((〖AB〗^2 ) ⃗ )), «движение» ( преобразование пространства Е, сохраняющее расстояния) и др.

В аксиоматике Вейля основное отношение σ каждой паре точек (А,В)∈E×E сопоставляет вектор σ("А,В" )=("АВ" ) ⃗∈V. В силу аксиомы I каждой паре (A ⃗,b ⃗)∈E×V сопоставляется единственная точка В=σ_A^(-1) (b ⃗ )∈E и, значит, возникает отображение τ:E×V→E. Это позволяет придать аксиоматике Вейля иной вид.

 В качестве основного отношения задают отображение τ:E×V→V и обозначают τ(A,b ⃗ )=b ⃗(A). Операцию, сопоставляющую точке А и  вектору b ⃗  точку b ⃗(A)=В, называют «откладыванием вектора b ⃗  от точки А».

В этом случае  аксиомы Вейля – свойства отображения τ - формулируют следующим образом:

I ́. ∀ A,B∈E,∃! b ⃗∈V/ b ⃗(A)=B, то есть существует и единственный вектор , который переводит заданную точку А в любую заданную точку  B.

(II) ́. ∀A∈E,∀b ⃗,c ⃗∈V,c ⃗(b ⃗(A))=(b ⃗+c ⃗ )(A).

Существование отображения σ:   E×E→V здесь обеспечивается аксиомой I ́.

При таком подходе особо подчеркивается роль векторов как операторов на множестве точек. Этот подход хорошо сочетается с истолкованием вектора как параллельного переноса в школьном курсе геометрии. Напротив, первый из указанных вариантов аксиоматики Вейля, в котором вектор связывается с парой точек, более подходит к такому изложению школьного курса геометрии, в котором вектор выступает как направленный отрезок или класс эквивалентных направленных отрезков.

Таким образом, если заключительная часть школьного курса геометрии строится на  основе аксиоматики Вейля, то имеется возможность выбрать тот из вариантов, который наиболее близок изложению предыдущего материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3.Аксиоматика Вейля.

 

Множество V≠∅ называется (действительным) векторным пространством, а его элементы a ⃗, b ⃗, c ⃗, … - векторами, если на нем заданы:

а)внутренний закон композиции ( алгебраическая операция) f: V×V→V, который мs назовем сложение и обозначим f (a ⃗,b ⃗)= a ⃗+ b ⃗, обладающий свойствами:

1) (a ⃗ + b ⃗) +c ⃗ = a ⃗ + (b ⃗ + c ⃗) для любых трёх векторов a ⃗, b ⃗, c ⃗ ∈V;

2) a ⃗ + b ⃗=b ⃗ +a ⃗ для любых двух векторов a ⃗, b ⃗∈V;

3) Существует такой вектор 0 ⃗∈V  , что a ⃗+0 ⃗ = a ⃗ для любого  вектора a ⃗ ∈V (вектор 0 ⃗ называется нулевым вектором);

4) Для любого вектора a ⃗ найдется такой вектор a ⃗'∈V, что a ⃗+a ⃗'=0 ⃗ (вектор a ⃗' называется вектором, противоположным вектору a ⃗∈V, и обозначается через -a ⃗);

б)Внешний закон композиции (внешняя алгебраическая операция),

 h: R×V→V, который мы назовем умножение вектора на число и обозначим  h(α,a ⃗)= α*a ⃗ (α∈R), обладающий свойствами:

5) 1*a ⃗=a ⃗ для любого вектора a ⃗∈V;

6) α(βa ⃗) = (αβ)a ⃗ для любого вектора a ⃗ ∈V и любых (действительных) чисел α,β∈R

7) (α + β)a ⃗= αa ⃗+ βa ⃗ для любого  вектора a ⃗  ∈V и любых (действительных) чисел α, β∈R.

8) α(a ⃗ + b ⃗)= αa ⃗+ αb ⃗ для любых двух векторов a ⃗, b ⃗∈V и любого действительного числа α∈R.

Свойства 1)-8) законов сложения и умножения на число называются аксиомами векторного пространства. Векторное пространство называется также линейным пространством.

Заметим, что в определении структуры векторного пространства числа выступают в роли операторов, действующих в V по закону: α(a ⃗)= α*a ⃗.

Векторы (a_1 ) ⃗, (a_2 ) ⃗,…, (a_n ) ⃗ называются линейно независимыми, если равенство

α_1 a ⃗_1+α_2 a ⃗_2+⋯+α_n a ⃗_n=0 ⃗ выполняется только в том случае, когда все числа  α_1,α_2,〖…,α〗_n  равны нулю.Если же указанное равенство выполняется в том случае, когда некоторые из α_i (i=1,2,…,n) отличны от нуля, то векторы (a_1 ) ⃗, (a_2 ) ⃗,…, (a_n ) ⃗ называются линейно независимыми.

Векторное пространство V называют n-мерным и пишут dimV=n, если в V существуют n линейно независимых векторов и всякие n+1 векторов из М линейно зависимы. Эти условия составляют аксиому размерности векторного пространства V.  Если dimV=n, то любые n линейно независимых векторов (e_1 ) ⃗, (e_2 ) ⃗,…, (e_n ) ⃗ из V составляют базис этого векторного пространства. Из аксиомы размерности следует, что всякий вектор a ⃗∈V разлагается и притом однозначно по векторам базиса: a ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+a_2  (e_2 ) ⃗+…+a_n  (e_n ) ⃗ (a_i∈R)/ Числа a_1,a_2,…,a_n  называются координатами вектора a ⃗ относительно базиса (e_1 ) ⃗, (e_2 ) ⃗,…, (e_n ) ⃗.

Евклидовым векторным пространством называется векторное пространство V, на котором определено отображение  g: V×V→R, которое мы назовем скалярным умножением векторов и обозначим g(a ⃗,b ⃗)= a ⃗b ⃗, обладающее свойствами:

9) a ⃗b ⃗=b ⃗a ⃗ для любых двух векторов a ⃗ и b ⃗∈V;

10) (αa ⃗ + βb ⃗)c ⃗=α(a ⃗с ⃗)+β(b ⃗с ⃗) для любых трёх векторов a ⃗, b ⃗, c ⃗∈V и любых (действительных) чисел α, β∈R;

11) a ⃗a ⃗>0 для любого вектора a ⃗∈V, a ⃗≠0 ⃗.

Число a ⃗b ⃗ называют скалярным произведением векторов a ⃗  и b ⃗, а число  a ⃗a ⃗  - скалярным квадратом вектора  a ⃗ и обозначают a ⃗^2.

Аксиомы 1)-4) векторного пространства определяют на множестве V структура абелевой группы. Введение нового отношения (умножения вектора на число) придает абелевой группе новые свойства: появляется возможность говорить о линейно зависимых и линейно независимых векторах, о линейной оболочке системы векторов, о размерности векторного пространства и др. Поэтому говорят, что векторное пространство получено обогащением структуры  абелевой группы. В свою очередь , евклидово векторное пространство получено обогащением структуры векторного пространства: в нем введено новое отношение- скалярное умножение, позволяющее говорить о длине вектора (√(a ⃗^2 )), об ортогональности векторов (a ⃗b ⃗=0)  и др.

Отображение g: V×V→R, обладающее свойствами 9)-11), является симметрической билинейной положительной формой, определенной на векторном пространстве V. Она определяет положительную квадратичную форму  φ:V→R по закону φ(x ⃗ )=g(x ⃗,x ⃗ ), для x ⃗∈V.

Обратно, по квадратичной форме φ(x ⃗ ),заданной на V, можно восстановить билинейную форму g(x ⃗,y ⃗ ) по формуле  g(x ⃗,y ⃗ )=1/2(φ(x ⃗+y ⃗)- φ(x ⃗ )- φ(y ⃗ )).

Значит, векторное пространство М можно превратить в евклидово векторное пространство, задав на М положительно определенную (симметрическую) квадратичную форму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§4.Непротиворечивость и категоричность аксиоматики Вейля.

 

Для доказательства непротиворечивости системы аксиом Вейля n- мерного евклидова пространства нужно построить какую-нибудь её модель. Сначала построим модель вспомогательной структуры n-мерного евклидова векторного пространства.

Возьмем V=R^n. Сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определим следующим образом:  если  x ⃗=(x_1,…,x_n), y ⃗=(y_1,…,y_n), то

x ⃗+y ⃗=(x_1+y_1,…,x_n+y_n),

α*x ⃗=(σx_1,…,αx_n),

x ⃗*y ⃗=x_1 y_1+⋯+x_n y_n.

Тогда, очевидно , все аксиомы n- мерного  евклидова векторного пространства будут выполнятся и, значит, эта система аксиом непротиворечива (если непротиворечива арифметика действительных чисел).

Теперь в качестве множества Е  точек возьмем то же множество R^n таким, каким оно было до наделения его структурой векторного пространства: А=(a_1,…,a_n), B=(b_1,…,b_n) – точки множества E=R^n. Основное отношение – отображение σ:E×E→V определим следующим образом:σ(A,B)=(AB) ⃗=(b_1-a_1,…,b_n-a_n). Тогда легко проверить, что аксиомы I, II Вейля  будут выполнятся. Следовательно, система аксиом Вейля n-мерного евклидова ( а также и аффинного) пространства непротиворечива, если непротиворечива арифметика. Построенная модель евклидова пространства называется арифметической.

Зафиксировав  какую-нибудь точку A∈E и воспользовавшись биективностью отображения σ_A:E→V, можно отождествить пространства Е и V. Но все n-мерные евклидовы векторные пространства изоморфны. Следовательно, система аксиом Вейля n-мерного евклидова пространства категоричная, то есть все её модели изоморфны. Поэтому для изучения геометрии такого пространства можно использовать какую-нибудь одну её модель, например арифметическую. Так часто и поступают, рассматривая евклидово пространство как R^n.

Арифметическая модель n-мерного евклидова пространства, в которой и векторы, и точки – кортежи действительных чисел, наталкивает на мысль  построить модель евклидова пространства в рамках теории  любого евклидова векторного пространства.

Именно пусть V – n-мерное евклидово векторное пространство. Положим E=V, то есть точками будем называть векторы из V. Пусть A ⃗,B ⃗∈E. Отображение σ:E×E→V определим законом: σ(A ⃗,B ⃗ )=(AB) ⃗=B ⃗-A ⃗.

Тогда аксиомы Вейля будут выполнятся так же, как в арифметической модели. Эту модель евклидова пространства назовем векторной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.Прямая.

 

Пусть Е – трехмерное аффинное пространство и V – его пространство переносов (dimV=3)/ Возьмем точку А∈E и вектор a ⃗∈V,a ⃗≠0 ⃗. Прямой назовем множество точек: d={M∈E│(AM) ⃗=αa ⃗,α∈R}.

Вектор a ⃗ называется направляющим вектором прямой d. Он может быть  заменен любым ненулевым вектором, коллинеарным a ⃗: b ⃗=βa ⃗, (AM) ⃗=αa ⃗  ↔(AM) ⃗=γb ⃗, где γ∈R,(γ=α/β).

Точку А также  можно заменить любой другой точкой этой прямой. Действительно, возьмем какую-нибудь  точку В∈d. Тогда  ∃α_0∈R/ (AB) ⃗=α_0 a ⃗. Рассмотрим прямую d'={N∈E│(BN) ⃗=γa ⃗,γ∈R}.

Для любой точки М ∈d: (BM) ⃗=(AM) ⃗-(AB) ⃗=(α-α_0)a ⃗→M∈d'.

Обратно, для любой точки N∈d': (AN) ⃗=(BN) ⃗-(BA) ⃗=(γ+α_0)a ⃗→N∈d.

Следовательно, d^'=d.

Множество всех векторов αa ⃗(a ⃗≠0 ⃗,α∈R) представляет собой одномерное векторное пространство V'⊂V. Поэтому прямая d={M∈E│(AM) ⃗∈V'} одномерна. Сужение 〖σ"/" 〗_(d×d) отображения  σ удовлетворяет аксиомам I,II, и поэтому прямая d является одномерным аффинным пространством ( в евклидовом пространстве – евклидовым) с пространством переносов V'.

В пространстве E существуют точки, не лежащие на прямой d. Действительно, если векторы a ⃗ и b ⃗ линейно независимы, то точка N∈E /  (AN) ⃗=b ⃗ не лежит на прямой d.

Теорема 1.  Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Доказательство: Пусть A,B ∈E, A≠B. Прямая d={M∈E│(AM) ⃗=α(AB) ⃗,α∈R} проходит через  точки A и B, ибо  для α=0∶(AM) ⃗=(0 ) ⃗→M=A, для α=1 : (AM) ⃗=(AB) ⃗→M=B.

Пусть d^'- какая-нибудь прямая, проходящая через точки А и В. Тогда можно записать: d^'={M∈E│(AM) ⃗=γa ⃗,γ∈R}.

B∈d^'↔(AB) ⃗=γ_0 (a ) ⃗  (γ_0≠0) и (AM) ⃗=γa ⃗↔ (AM) ⃗=α(AB) ⃗, где α∈R,(α^'=γ/γ_0 ). Значит, d^'=d/ Теорема доказана.

Прямую, проходящую через две различные точки А и В, будем обозначать (АВ). Поэтому можно записать: (АВ)={M∈E│(AM) ⃗=α(AB) ⃗,α∈R}.

Прямая d называется параллельной прямой l, если их направляющие векторы линейно зависимы (коллинеарны ). Отсюда следует, что отношение параллельности (∥) является отношением эквивалентности на множестве D всех прямых пространства Е. Элементы фактор - множества D/ ∥ называют связками параллельных прямых.

Точкой А и вектором a ⃗≠0 ⃗ (определенным с точностью до коллинеарного) определяется единственная прямая, проходящая через А и имеющая  a ⃗ направляющим вектором. Отсюда следует, что через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.

Теорема 2: Две параллельные прямые либо совпадают, либо не имеют общих точек.

Доказательство: Пусть две прямые параллельны. Тогда можно считать, что они имеют один и тот же направляющий вектор a ⃗.  Если эти прямые имеют общую точку А, то и та, и другая прямая есть множество точек {M∈E│(AM) ⃗=αa ⃗,α∈R}, то есть эти прямые совпадают.

Прямые d={M∈E│(AM) ⃗=αa ⃗,α∈R}, и l=  {N∈E│(CN) ⃗=βa ⃗,β∈R}, где С∉d, параллельны и d≠ l. Они  не имеют общих точек, ибо если бы у них была общая точка, то по доказанному выше d= l, чего нет.

 

 

 

 

§6.Плоскость.

 

Возьмем точку A∈ E и неколлинеарные (линейно независимые) векторы

a ⃗,b ⃗ ∈V. Плоскостью назовем множество точек ∏={M∈E│(AM) ⃗=αa ⃗+βb ⃗; α,β∈R}.

Линейная оболочка αa ⃗+βb ⃗   (α,β∈R), натянутая на векторы a ⃗,b ⃗ представляет собой двумерное векторное пространство V ''⊂V.

Поэтому ∏={M∈E│(AM) ⃗∈V''}, и вместо векторов a ⃗,b ⃗ можно взять любой другой базис векторного пространства V ''.

Сужение 〖σ /〗_(∏×∏) отображения σ удовлетворяет аксиомам I,II, и поэтому плоскость ∏ является двумерным аффинным  (в евклидовом – евклидовым)  пространством с пространством переносов V ''.

Точку А можно заменить любой другой точкой плоскости ∏. Действительно если  В∈∏, то (AB) ⃗∈ V ''. Так как (BM) ⃗=(AM) ⃗-(AB) ⃗, то (AM) ⃗∈ V ''↔(BM) ⃗∈ V ''.

В пространстве Е существуют точки, не лежащие на плоскости ∏. Действительно, если векторы a ⃗,b ⃗ и c ⃗ линейно независимы, то точка N∈E / (AN) ⃗=c ⃗ не лежит на плоскости ∏.

Теорема 3: Через три точки , не принадлежащие  одной прямой проходит одна и только одна плоскость.

Доказательство: Пусть A,B,C – точки, не лежащие на одной прямой. Тогда векторы (AB) ⃗ и (AC) ⃗ линейно независимы. Плоскость ∏={M∈E│(AM) ⃗=α(AB) ⃗+β(AC) ⃗; α,β∈R} проходит через точки A,B,C, ибо для α=β=0: (AM) ⃗=0 ⃗→M=A; для α=1, β=0: (AM) ⃗=(AB) ⃗→M=B; для α=0, β=1: (AM) ⃗=(AC) ⃗→M=C.

Пусть ∏' - какая-нибудь плоскость, проходящая через точки A,B,C. Тогда можно записать: ∏'={M∈E│(AM) ⃗∈V ''}.

Так как B,C∈∏', то (AB) ⃗,(AC) ⃗∈ V '' и образуют базис этого двумерного пространства. Следовательно ∏' =∏.

Плоскость, проходящую через точки A,B,C, не лежащие на одной прямой, будем обозначать (ABC):(ABC)={M∈E│(AM) ⃗=α(AB) ⃗+β(AC) ⃗;α,β∈R}.

Теорема 4: Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Доказательство: Пусть ∏ и ∏ ̃ - две различные плоскости. V '',(V '') ̃- их пространства переносов, A∈∏, A∈∏ ̃. Тогда можно записать:  ∏={M∈E│(AM) ⃗∈V ''}, ∏ ̃={M∈E│(AM) ⃗∈(V '') ̃ }.

Так как ∏≠∏ ̃, то V ''≠(V '') ̃. Очевидно, что M∈∏∩∏ ̃↔(AM) ⃗∈ V ''∩(V '') ̃. Известно, что два различных двумерных пространства трехмерного векторного пространства V пересекаются по одномерному подпространству V'⊂V. Следовательно, ∏∩∏ ̃={M∈E│(AM) ⃗∈V '} - прямая.

Плоскость ∏ называется параллельной плоскости ∏ ̃, если эти плоскости имеют одно и тоже пространство переносов. Отсюда следует, что отношение параллельности является отношением эквивалентности на множестве Р всех плоскостей пространства E. Элементы  фактор – множества P/∥ называются пучками параллельных плоскостей.

Можно доказать что две параллельные плоскости либо совпадают, либо не имеют общих точек. Верно и обратное предложение. Действительно, если  ∏=∏ ̃, то ∏∥∏ ̃ по определению. Докажем,  что ∏∩∏'=∅ → V ''=(V '') ̃.

Предположим, что V ''≠(V '') ̃. Пусть (a ⃗,b ⃗)- базис векторного пространства V ''. Тогда ∃ с ⃗  ∈(V '') ̃ / a ⃗,b ⃗,c ⃗ – линейно независимы и, значит, составляют базис трехмерного векторного пространства V. Если A∈∏, B ∈∏ ̃, то (AB) ⃗∈V и (AB) ⃗=αa ⃗+βb ⃗+γc ⃗. Тогда  M ∈E/ (AM) ⃗= αa ⃗+βb ⃗ принадлежит ∏. Так как (BM) ⃗=(AM) ⃗-(AB) ⃗=-γc ⃗, то M∈∏ ̃. Следовательно, плоскости ∏и∏ ̃ имеют общую точку M, что противоречит условию. Поэтому V ''=(V '') ̃ и ∏∥∏ ̃.

Доказанное необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей можно было бы принять за определение параллельных плоскостей и доказать, в качестве признака, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их пространства переносов совпадают. Такой подход позволяет сделать несколько более наглядной сильно алгебраизированную теорию.

Теорема 5:  Прямая, проходящая через де различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Доказательство: Пусть дана плоскость ∏ и A, B∈∏, A≠"B" . Если V '' - пространство переносов плоскости ∏, то (AB) ⃗∈ V ''. Тогда можно записать: (AB)={M∈E│(AM) ⃗=α(AB) ⃗;α∈R}, ∏={M∈E│(AM) ⃗=α(AB) ⃗+βb ⃗; α,β∈R}, где (AB) ⃗,b ⃗ – линейно независимые векторы из V ''. Точки плоскости ∏, для которых β=0, α∈R, составляют прямую (AB). Следовательно, (AB)⊂ ∏.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§7.Аксиоматика Вейля и школьная геометрия.

 

Наиболее сильной стороной теории Вейля является её алгебраизация. Это обеспечивает возможность в значительной мере алгоритмизировать  доказательства теорем поэтому открывает «царский путь» в изучение геометрии.

Однако при первоначальном изучении геометрии ( особенно, стереометрии) указанное достоинство теории Вейля оборачивается её существенным недостатком: она не развивает пространственных представлений учащихся, не развивает их геометрической интуиции. Этот недостаток можно частично компенсировать возвращением к традиционным определениям и теоремам с последующим их использованием для построения теории.

Пример: Прямая перпендикулярная к плоскости, определяется «в духе Вейля» как такая прямая, пространство переносов которой является ортогональным дополнением к пространству переносов плоскости.  Вместо этого можно принять традиционное определение, доказать обычный признак перпендикулярности прямой и плоскости и воспользоваться им, например, для доказательства теоремы о трех перпендикулярах.

Заметим, что именно так и сделано в школьном учебнике под редакцией З.А.Скопеца «Геометрия 9-10», хотя использование скалярного произведения позволяет доказать эту теорему, не опираясь на указанный признак.

Сильная алгебраизация вейлевской теории предъявляет повышенные требования к алгебраической и общелогической культуре учащихся. Однако в процессе обучения нужный уровень не достигается не только к началу систематического курса геометрии (6 класс), но и к началу изучения стереометрии (9 класс). Пожалуй, это является наиболее серьезным препятствием для внедрения векторного построения геометрии в школьное преподавание.

Принимая, кроме того, во внимание необходимость значительной пропедевтики аналитических методов в геометрии, мы приходим к выводу о возможности завершить школьное геометрическое образование ознакомлением с обоснованием геометрии по Вейлю. Предварительное изучение геометрии может в значительной мере исходить из интуитивно-наглядных представлений о простейших свойствах  пространства, фиксируемых в качестве аксиом.

Всеобщее среднее образование создает благоприятные возможности для выведения общих, достаточно сложных и идейно глубоких вопросов школьной математики в завершающий концентр. На этом пути, мы надеемся, удастся совместить  расширение и углубление школьной математики с её доступностью.

Однако в нашей стране и за рубежом не прекращается поиск такой аксиоматики евклидова пространства, на которой можно было бы построить начала систематического курса геометрии в форме доступной, для учащихся соответствующего возраста.

Отдавая должное  векторному обоснованию геометрии как «царскому пути» в геометрию, видный французский математик Г.Шоке в своей книге пишет о том, что  понятиями векторного пространства и скалярного произведения «нельзя овладеть штурмом, без всякой подготовки, особенно в том возрасте, когда у ученика ещё не совсем сформировалось понятие алгебраической операции». Поэтому нужна новая аксиоматика, позволяющая «так одеть сам по себе совершенный, но слишком абстрактный для ребенка логический каркас, чтобы он превратился в нечто знакомое и приветливое».

В своей книге Г.Шоке наиболее четко сформулировал требования к такой аксиоматике:

«… Нам  надо найти простую аксиоматику с аксиомами, которые были бы сильными, то есть позволяющими очень быстро вывести неочевидные теоремы, и интуитивно ясными, то есть представляющими свойства окружающего нас  пространства в форме, которая допускает простую проверку».

Аксиоматика должна быть такой, «чтобы в этой системе было удобно выявить  векторную структуру пространства».

В построении теории следует «отдать предпочтение методам, основанным на фундаментальных понятиях, выкристаллизовавшихся за двадцать веков развития математики: понятия множества, отношений эквивалентности и порядка, алгебраических законах, векторном пространстве, симметрии и геометрических преобразованиях».

Самому Г. Шоке не удалось разработать такую теорию даже при существенном изменении традиционного содержания школьного курса геометрии. В большей степени перечисленным требованиям удовлетворяет теория А.Н.Колмогорова, положенная в настоящее время в основу школьных учебников. Эта теория базируется на структуре метрического пространства.