Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Физика / Другие методич. материалы / Теоретический материал для проведения занятий по дисциплине «Сопротивление материалов» для обучающихся очной и заочной форм обучения. Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.

Теоретический материал для проведения занятий по дисциплине «Сопротивление материалов» для обучающихся очной и заочной форм обучения. Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.

  • Физика

Поделитесь материалом с коллегами:



Депобразования и молодежи Югры

бюджетное учреждение профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«Мегионский политехнический колледж»

(БУ «Мегионский политехнический колледж»)


hello_html_m201ea3c5.jpg


Теоретический материал для проведения занятий

по дисциплине «Сопротивление материалов»


для обучающихся очной и заочной форм обучения.

Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.













Мегион, 2016





Депобразования и молодежи Югры

бюджетное учреждение профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«Мегионский политехнический колледж»

(БУ «Мегионский политехнический колледж»)





Преподаватель физики и технической механики

Магомедов А.М.



Теоретический материал для проведения занятий

по дисциплине «Сопротивление материалов»




для обучающихся очной и заочной форм обучения.

Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.














Мегион,2016

Оглавление

Введение …………………………………………………………………………..3

Объекты исследования сопротивления материалов …………………………...4

1. Метод сечений………………………………………………………………….7

Внутренние силовые факторы…………………………………………………...7

1.1 Построение эпюр внутренних факторов для стержней …………………..8

1.2 Построение эпюр крутящих моментов……………………………………..11

1.3 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок……………………………………………………………………………...14

1.3.1 Правила знаков для Q и для М…………………………………………..15

2. Дифференциальные зависимости при изгибе……………………………….19

2.1 Правила проверки эпюр……………………………………………………..20

3. Напряжения и деформации…………………………………………………...23

3.1 Интегральные зависимости между σ и τ и внутренними силовыми факторами………………………………………………………………………...24

4. Деформации…………………………………………………………………...25

5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов……………………………………………………...27

6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии…………….29

7. Типы задач сопротивления материалов……………………………………..33

8. Кручение стержней……………………………………………………………37

8.1 Кручение круглых стержней. Геометрические характеристики Ip и Wp. Кручение прямоугольных стержней…………………………………………..41

9. Геометрические характеристики плоских сечений…………………………45

9.1 Геометрические характеристики плоских сечений. Параллельный перенос осей. Поворот осей………………………………………………………………49

10. Изгиб. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе……………………52

10.1 Чистый изгиб. Поперечный изгиб………………………………………..69

11. определение перемещений в рамках и балках…………………………….75

11.1 Потенциальная энергия. Обобщение силы и обобщенные перемещения. Теорема о взаимности работ и перемещений (теорема Бетти). Интеграл Мора. Графо – аналитический метод взятия интегралов (способ Верещагина). Универсальная формула трапеции…………………………….75

Заключение………………………………………………………………………90








Введение

Сопротивление материалов наука, изучающая инженерные методы расчета на прочность жесткость и устойчивость.

При эксплуатации конструкции подвергаются действию различных нагрузок. Для нормального функционирования они должны соответствовать необходимым критериям прочности, жесткости и устойчивости.

Прочностьсвойство конструкции или ее элементов противостоять внешней нагрузке, не разрушаясь.

Жесткостьсвойство конструкции при нагружении противостоять внешним деформациям.

Деформации конструкции при ее нагружении не должны превышать некоторых предварительно заданных весьма малых величин, которые определены из условий нормальной работы конструкции.

Устойчивость – свойство конструкции сохранять первоначальную форму, равновесие при нагружении внешними силами. Расчету на устойчивость подвергаются сжатые стержни.

Сопротивление материалов – экспериментально-теоретическая наука, теоретическая часть которой основывается на теоретической механике и математике, а экспериментальная на физике и материаловедении.







Объекты исследования сопротивления материалов.

Стержень – это тело, у которого размеры поперечного сечения b или n значительно меньше его длины l (рис. В1).

hello_html_ff1c8e9.gif




hello_html_m37d303df.gif

hello_html_m37d303df.gifhello_html_m3896a25f.gif

b




Рис. В1 Стержень

Оболочка – тело, у которого толщина значительно меньше других размеров (рис. В2).

Сhello_html_14d0c932.gifерединная поверхность – это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхностей оболочки.






Рис. В2 Оболочка

Пhello_html_m24bc475f.gifластина – оболочка, у которой серединная поверхность – плоскость (рис. В3).




Рис. В3 Пластина

Мhello_html_m3a7ffb9e.gifассивное тело – это тело, у которого все три размера сопоставимы (рис. В4).






Рис. В4 Массивное тело

Расчетная схема схематичное (условное) изображение реального объекта, освобожденного от несущественных с точки зрения данного расчета особенностей.

Стержень на расчетной схеме изображается своей осью (рис. В5):



hello_html_113584c7.png

Рис. В5 Расчетная схема двутавровой балки

Внешние нагрузки приводятся к оси стержня (см. рис. В6):

hello_html_1221b662.gifhello_html_m3a755471.gifhello_html_1221b662.gifhello_html_1221b662.gifhello_html_m42549a01.gifhello_html_317c943e.gifhello_html_25cefe1c.gifhello_html_4f49ac78.gif

M


hello_html_2d6e7087.gif

P

hello_html_5592b7ee.gif

P

h

hello_html_7b371deb.gif

hello_html_m352329a2.gif

M=Ph/2



Рис. В6 Приведение внешних нагрузок

Ось стержня – это геометрическое место центров тяжести поперечных сечений стержня.

Силы разделяют на внешние и внутренние. Внешние силы приложены к конструкции, а внутренние возникают в элементах конструкции.

Внешние силы подразделяются на поверхностные, приложенные к участкам поверхности, и объемные, распределенные по всему объему конструкции (например, сила тяжести, магнитного притяжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции – это объемные внешние силы). Поверхностные силы могут быть сосредоточенными, если они приложены к малым участкам поверхности, или распределенными, если они приложены к конечным участкам.

На расчетной схеме внешние силы приводятся к центру тяжести поперечного сечения стержня (см. рис. В7).


hello_html_2ca792e2.gifhello_html_m2531825.gifhello_html_15f3a2c8.gifhello_html_m5dd9f9b.gifhello_html_m5dd9f9b.gifhello_html_15f3a2c8.gifhello_html_3b297da7.gifhello_html_3b297da7.gifhello_html_3b297da7.gifhello_html_m5dd9f9b.gifhello_html_m6bb3d6a0.gifhello_html_m2f7383b0.gifhello_html_165da231.gifhello_html_310969a9.gifhello_html_310969a9.gifhello_html_310969a9.gifhello_html_m5dd9f9b.gifhello_html_m5dd9f9b.gifhello_html_m783af650.gif

q

hello_html_19f01ebe.gifhello_html_8b8d810.gifhello_html_m58eabbbe.gifhello_html_310ea91a.gif

M

hello_html_m7bc2dc00.gifhello_html_7e672497.gifhello_html_4f957c4c.gifhello_html_4f957c4c.gifhello_html_4f957c4c.gifhello_html_4f957c4c.gifhello_html_m418ce24b.gifhello_html_m118c6f12.gif


hello_html_m199442c5.gif

Р



hello_html_ff974f3.gifhello_html_ff974f3.gifhello_html_ff974f3.gifhello_html_ff974f3.gif

hello_html_ff974f3.gifhello_html_ff974f3.gifhello_html_m4115ab78.gifhello_html_3916ad5a.gif

hello_html_6aeb8cd3.gif


b

hello_html_15f3a2c8.gif



hello_html_m2a97ee96.gif

Рис. В7 Приведение внешних нагрузок





















  1. Метод сечений.

Внутренние силовые факторы

Внешние силы стремятся разрушить конструкции или узлы, а внутренние силы противодействуют этому.

Рhello_html_79804630.gifассмотрим произвольный брус, нагруженный самоуравновешенной системой сил (рис. 1.1):






Рис. 1.1 Приведение внешних нагрузок

Чтобы найти внутренние силы воспользуемся методом сечений РОЗУ (рис. 1.2).

Р – разрезаем произвольной плоскостью на А и В.

О – отбрасываем одну из этих частей, например, В (рис. 1.2а). Рассмотрим оставшуюся часть(рис. 1.2б).

Зhello_html_m303e2c61.gif – заменяем. Внутренние силы мы заменяем главным вектором и главным моментом.

аhello_html_m73fc6d7f.gif)


б)




hello_html_85cf0.gif


в)








Рис. 1.2 Метод сечений РОЗУ

Раскладываем главный вектор и главный момент в плоскости на оси (рис. 1.2в).

Внутренние силовые факторы:

Qx, Qy – вызывают сдвиг – перерезывающие поперечные силы;

N – нормальная продольная шина, растяжение, сжатие бруса;

Мz – крутящий момент;

Мx, Мy – изгибающий момент (рис. 1.2в).

В общем случае нагружения в сечении действуют 6 внутренних факторов. График изменения внутреннего фактора при передвижении вдоль оси стержня называется – эпюрой.

У – уравновешиваем.

1.1 Построение эпюр внутренних факторов для стержней

Построение эпюр нормальных сил N

Правило знаков для N имеет физический смысл: нормальная сила является положительной, если вызывает растяжение бруса, отрицательной – если сжатие.

Пример 1 (рис. 1.3).

Если на стержень действуют силы, приложенные вдоль его оси, то он находится в условиях растяжения и остается только один внутренний фактор N.

hello_html_1e6b923a.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_m1c0799d9.gifhello_html_md9fd0c.gifhello_html_md9fd0c.gifhello_html_md9fd0c.gif

II

I

hello_html_m4c84df43.gif

3P

hello_html_7379c84c.gif

P

z

hello_html_me92f03c.gifhello_html_m719ff525.gifhello_html_m3dbbe9d8.gifhello_html_me92f03c.gif

Z1

Z2

hello_html_mfa12065.gif

hello_html_784036a8.gif




hello_html_m5f2b8ad5.gif








Рис. 1.3 Стержень


Порядок построения эпюр:

  1. Определяем реакции опор.

  2. Разбиваем стержень на участки.

Участок часть стержня между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.

  1. Записываем аналитические выражения для внутренних силовых факторов.

  2. Строим график (эпюру) (рис. 1.4).

hello_html_m1d20c9b0.gif










Рис. 1.4 Построение эпюры нормальных сил

Эпюра – график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.

Используя метод РОЗУ, отбрасывают ту часть, где больше нагрузки.

Внутренний фактор – равнодействующая внутренних сил.

Nz2 = P-3P = -2P

Nz2 = P-3P = -2P

Пример 2 (рис. 1.5).

Построить эпюру нормальных сил N.

q – интенсивность равномерно – распределенной нагрузки.

Опасное сечение в заделке, т.к. там самое большое значение N.










hello_html_664e5464.gif

z1

P2

hello_html_m8d8b23.gifhello_html_m43a6db05.gifhello_html_m618cf6d6.gifhello_html_m2468e8db.gifhello_html_3af88b5f.gifhello_html_m1689b086.gifhello_html_m1689b086.gifhello_html_m1689b086.gifhello_html_m1689b086.gifhello_html_17e9dc43.gifhello_html_32889cda.gifhello_html_881d006.gif

2l

2l

2l

hello_html_32889cda.gifhello_html_f3d3e17.gifhello_html_m12e62da2.gifhello_html_m12e62da2.gifhello_html_m12e62da2.gifhello_html_m12e62da2.gifhello_html_m12e62da2.gifhello_html_m12e62da2.gifhello_html_mbb080de.gifhello_html_1117e909.gifhello_html_mbb080de.gif

P2

P1

q

hello_html_6dd5a49a.gif

l

hello_html_m10871b3e.gif

RA

hello_html_m427c45b7.gifhello_html_m7d88ac19.gifhello_html_m427c45b7.gifhello_html_m7d88ac19.gif

z2

hello_html_m427c45b7.gifhello_html_m7d88ac19.gif

z3

hello_html_m427c45b7.gifhello_html_m7d88ac19.gif

z4











hello_html_541d626d.gif







Рис. 1.5 Построение эпюры нормальных сил

hello_html_4012a662.gif

Построим эпюру нормальных сил

hello_html_m7e08a9d3.gif




1.2 Построение эпюр крутящих моментов

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков.

hello_html_m645a746f.gif








Рис. 1.6 Правило знаков для крутящего момента

Если со стороны внешней нормали к сечению вращение осуществляется против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).

Правило знаков носит формальный характер (можно установить произвольно).

Сhello_html_m2e1346f7.gifтержень, в основном работающий на кручение, называется валом.








Рис.1.7 Схематичное изображение крутящего момента (против часовой стрелки).








Пример (К - 1)

Построить эпюру крутящих моментов (рис 1.9).

hello_html_m21e73a66.gif





















Рис.1.9 Построение эпюры крутящих моментов

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_47173d48.gif

hello_html_m4f64d9c7.gif

hello_html_747fece7.gif

hello_html_m3bd9f43c.gif

hello_html_m5747ea62.gif

hello_html_540a1ec4.gif




Пhello_html_5c8de1aa.gifример на построение эпюры крутящих моментов (рис 1.10).


















Рис.1.10 Построение эпюры крутящих моментов

hello_html_m414ca02b.gif

hello_html_m14fa175b.gif

hello_html_498d5a24.gif


hello_html_5c204fa.gif








1.3 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок

Балка стержень, в основном работающий на изгиб. При расчете балку принято заменять ее осью, все нагрузки приводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Валстержень в основном работающий на кручение.

Виды опор:

Шhello_html_642ffc1f.gifарнирно-подвижная опора – опора, в которой может возникать только одна составляющая реакции, направленная вдоль опорного стержня (рис.1.11).







Рис.1.11 Шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора – опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рис.1.12).

hello_html_2ec41cf1.gif





Рис.1.12 Шарнирно-неподвижная опора

Заделка (жесткое защемление) – опора, в которой могут быть: вертикальная и горизонтальная реакции и опорный момент (рис.1.13).

hello_html_338957cf.gif






Рис.1.13 Заделка




1hello_html_57706604.gifhello_html_m75feb60a.gifhello_html_m75feb60a.gifhello_html_3da537da.gifhello_html_4d4bc528.gif

-Q

-Q

hello_html_2d600b14.gifhello_html_57706604.gifhello_html_m75feb60a.gifhello_html_m75feb60a.gifhello_html_3da537da.gifhello_html_4d4bc528.gif

+Q

+Q

hello_html_3da537da.gifhello_html_4d4bc528.gif

-Q

-Q

hello_html_a755d81.gifhello_html_688d493c.gifhello_html_m3e5633.gifhello_html_a755d81.gifhello_html_m3e5633.gifhello_html_6460f24d.gifhello_html_4d4bc528.gifhello_html_3da537da.gifhello_html_6460f24d.gif

+Q

+Q

По часовой стрелке +

Против часовой стрелки -

.3.1 Правило знаков для Q









hello_html_2d600b14.gif













1.3.2 Правило знаков для М

Эпюру для М строят на сжатых волокнах.

hello_html_6b2627c7.gif

hello_html_a755d81.gifhello_html_688d493c.gifhello_html_m40d8b6ff.gif

+ М

+ М



hello_html_m172e30c6.gifhello_html_a82631.gifhello_html_m698150c1.gifhello_html_m3e5633.gif

Сжатые волокна













hello_html_18c266f8.gif





















Пример (Э-3)

Построить эпюры внутренних усилий Q и M для однопролетной балки (рис. 1.14).

hello_html_11cfbfea.gif

















Рис. 1.14 Расчетная схема

Дано:

Р=0,5qa

M=0,5qa2

Решение:

Вычислим реакции опор.

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями.

Y: RA-P-q·2a+RB=0

Составим уравнения равновесия:

Сумма моментов всех сил относительно точки А равна

hello_html_m57c9fba5.gif

hello_html_m255d6b28.gif

откуда

hello_html_29a9c9df.gif

hello_html_40134ea5.gif

hello_html_76eacec.gif

Сумма моментов всех сил относительно точки В равна

hello_html_m36e1848b.gif

hello_html_m5a55702c.gif

Разделим балку на четыре участка. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий

hello_html_m477f9977.gif

hello_html_410eec58.gif

Внутренние усилия на втором участке равны

hello_html_m7a145e7b.gif

hello_html_m5b3f99db.gif

На третьем участке

hello_html_bab2675.gif

hello_html_m42280010.gif

hello_html_mb70c4.gif

Внутренние усилия на четвертом участке равны

hello_html_4db5ff6b.gif

hello_html_m5fe4ea9b.gif

Строим эпюры для M и Q (рис 1.15). Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между Q и M.

hello_html_bcd0cb5.gif























Рис. 1.15 Построение эпюр Q и M








2. Дифференциальные зависимости при изгибе

Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой q=f(z), принятое направление q считать положительным (рис. 2.1).

hello_html_1c8624b6.gif

Рис. 2.1 Стержень с распределенной нагрузкой

Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M+dM, а также поперечные силы Q и Q+dQ (рис. 2.2). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.

hello_html_35a9f85b.gif

Рис. 2.2 Элемент длиной dz стержня

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:

hello_html_193caa08.gif

После упрощения получим

hello_html_3e4f38e9.gifhello_html_48f0f186.gif

Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

2.1 Правила проверки эпюр

  1. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0, hello_html_me9e7a6a.gif => Q=const=C1; hello_html_m562f91a9.gif => M=C1z+D1,то эпюра поперечных сил постоянна, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линейному закону (рис. 2.3).

hello_html_m58f7b79.png

Рис. 2.3 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

  1. Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Q скачек на величину этой силы, от начала предыдущего, до начала следующего. А на эпюре М излом, направленный навстречу этой силе.

  2. Если первая производная положительная, то момент возрастает слева направо, если отрицательная, то наоборот: +Q => M -Q => M.

  3. Еhello_html_5ba21c37.gif
    сли в сечении приложен сосредоточенный момент Мi, то на эпюре Q нет никаких изменений, а на эпюре М скачек на величину этого момента (рис. 2.4).





Рис. 2.4 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

  1. Еhello_html_m2e057737.gif
    сли на участке приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q – наклонная прямая, а Мпарабола, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (рис. 2.5).






Рис. 2.5 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

  1. Если на участке эпюра Q меняет знак и пересекает ось, то эпюра М имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.

  2. Если ветви эпюры Q сопрягаются без скачка на границах участка, то ветви эпюры М на границе этих же участков сопрягаются без изломов (рис. 2.6).

hello_html_m13af4bd4.gif





Рис. 2.6 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

  1. Если на участке стержня Q равна нулю, то hello_html_152a8294.gif (рис. 2.7)

hello_html_638e613.gif

Рис. 2.7 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов






















3. Напряжения и деформации

В

F – площадь элементарной площаки

N, T – равнодействующие сил, приложенных к площадке dF

T - действует по касательной в плоскости поперечного сечения.

N || Оz

ведем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарную площадку F в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 3.1). На нее действует произвольная сила, которая может быть разложена на составляющие N (NxOy) и T (TxOy).

hello_html_702bbd02.gifhello_html_mcb7ee05.gifhello_html_702bbd02.gifhello_html_m4c453517.gifhello_html_m37d303df.gifhello_html_58583938.gif

P2

hello_html_me64444e.gif

P3



hello_html_4938fc49.gifhello_html_m4c33c39c.gif

y



hello_html_m21db4e0d.gif

T



hello_html_702bbd02.gifhello_html_287c7d7a.gif

P1

hello_html_mfb0e7d.gifhello_html_49de07b5.gifhello_html_m577740da.gif

hello_html_m4d2ebb4b.gif

F

hello_html_m352097d1.gif

x

hello_html_126b8cba.gifhello_html_24c76f9a.gif

N

О



P4

hello_html_m5d73eb05.gif

z



Рис. 3.1 Поперечное сечение бруса

Введем понятие касательного и нормального напряжений:

hello_html_m53bfe720.gifнормальное напряжение

Нормальное напряжение – это предел отношения нормальной составляющей внутренних усилий N, действующих на элементарную площадку F при стремлении последней к нулю.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1fce5e9.gifкасательное напряжение

Касательное напряжение – это предел отношения тангенциальной составляющей внутренних усилий T, действующих на элементарную площадку F при стремлении последней к нулю.

Общий вид формул:

hello_html_m3a0eb176.gifhello_html_m4e13e258.gif

Закон парности касательных напряжений hello_html_1fcbc7c3.gif

«Вырежем» элементарную площадку dF бруса размером dx на dy (рис. 3.2).

hello_html_c907870.gif

Рис. 3.2 Площадка dF

На двух взаимно перпендикулярных площадках, имеющих общее ребро, касательные напряжения hello_html_1fcbc7c3.gif равны по величине и направлены или оба к ребру или оба от ребра.

3.1 Интегральные зависимости между и и внутренними силовыми факторами

hello_html_m5d160b8a.gif

hello_html_72891952.gif

hello_html_2127fab8.gifhello_html_m65b3315e.gif

hello_html_10415c58.gifhello_html_m3dd7cb96.gifhello_html_1712e7.gif

hello_html_1fcbc7c3.gif

hello_html_b7c1f80.gif







Рис. 3.3Связь между напряжениями и внутренними усилиями




4. Деформации

Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).

Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.

Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.

  1. Абсолютная деформация

Пусть левый конец стержня зафиксирован, к обоим концам стержня приложена горизонтальная сила P (рис. 4.1).

Абсолютная деформация – это полное удлинение стержня, т.е. перемещение свободного конца стержня относительно положения этого конца в ненагруженном состоянии стержня.

P

P



hello_html_653e6d1a.gifhello_html_5e0f7a74.gifhello_html_m21d31b22.gifhello_html_m21d31b22.gif

hello_html_64066ef5.gifhello_html_7185a3a6.gif



l

l



hello_html_m33db4047.gifhello_html_5290f1f3.gif

l – абсолютная деформация






Рис. 4.1 Растяжение стержня

  1. Относительная деформация

hello_html_71fabb6e.gif- относительная деформация (вдоль оси х - x,

вдоль оси y - y)

Закон Гука для линейных деформаций

hello_html_m76c3b982.gif, где Е – модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали Eст = 2105 МПа

  1. Относительная угловая деформация

- относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.

hello_html_m6952463f.gif

dy+dy













Рис. 4.2 Относительная угловая деформация


Закон Гука для угловых деформаций

hello_html_m4eb4f19d.gif

где G модуль сдвига или модуль упругости II-го рода

Упругие постоянные материала связаны зависимостью:

hello_html_306041f9.gifгде - коэффициент Пуассона.

Он равен отношению поперечной деформации hello_html_20df4221.gif бруса к продольной деформации hello_html_1f9baa64.gif, взятого по модулю.

hello_html_681accc1.gif

стали = 0,25 –0,35



5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов

Методы расчета на прочность и жесткость конструкции в сопротивлении материалов основаны на применении следующих гипотез и допущений.

  1. Материал конструкции считается сплошным и однородным. Атомистическая теория строения вещества в расчет не принимается.

Исключение: допущение неприемлемо при рассмотрении усталостной природы разрушения металлов.

  1. Материал конструкции считается анизотропным, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.

Исключение: дерево, прокатный материал.

  1. Материал конструкции подчиняется закону Гука

hello_html_m76c3b982.gifдля линейных деформаций;

hello_html_m4eb4f19d.gifпри деформациях сдвига.

  1. Материал тела считается абсолютно упругим.

  2. Поперечные и нормальные к оси сечения бруса до приложения нагрузки остаются плоскими и нормальными после приложения нагрузки (Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений).

  1. П

    P

    hello_html_m605e6ae8.gifhello_html_2d600b14.gifhello_html_m5e64281d.gifhello_html_4ab089f2.gifhello_html_m4f737a4.gif

    q

    hello_html_m21cb6d0b.gifhello_html_6f678147.gifhello_html_3898f68.gifhello_html_667facd7.gif

    = 1 +2 +3

    ринцип суперпозиции. Результат действия на конструкцию суммы нагрузок равен сумме результатов действия каждой нагрузки отдельно (рис. 5.1).

M


hello_html_m3ed2a21c.gif

hello_html_2d600b14.gifhello_html_m4f737a4.gif

P


hello_html_m605e6ae8.gifhello_html_m6a4192fe.gifhello_html_3898f68.gifhello_html_2c6bbc7d.gif

1перемещение под действием силы P


hello_html_m3eca52cf.gif



hello_html_m4f82f9bc.gifhello_html_m605e6ae8.gifhello_html_2d600b14.gifhello_html_3898f68.gifhello_html_d561099.gif

2 – перемещение под действием распределенной нагрузки q

hello_html_4ab089f2.gif

q

hello_html_5e77fdc6.gif

hello_html_6e8c0152.gif

hello_html_m605e6ae8.gifhello_html_m5e64281d.gif

M


hello_html_2d600b14.gifhello_html_3898f68.gifhello_html_m533c37ac.gif

3перемещение под действием момента М

hello_html_3e9e21cf.gif

hello_html_m3eca52cf.gif


Рис. 5.1 Принцип суперпозиции

  1. Пhello_html_4b7dfc0.gifhello_html_1dc297b5.gifhello_html_1dc297b5.gifhello_html_m3f3d09db.gifhello_html_f716972.gif

    q

    hello_html_m632c188d.gif

    hello_html_3316c70b.gifhello_html_4b7dfc0.gifhello_html_3916ad5a.gif

    Q

    ринцип Сен-Венана. На расстоянии равном размеру поперечного сечения бруса способ приложения нагрузки не оказывает влияния на напряженно деформированное состояние бруса (рис. 5.2).

hello_html_3316c70b.gif



Рис. 5.2 Принцип Сен-Венана

  1. Деформации конструкции малы и не влияют на взаимное положение точек приложения внешних сил и изменение размеров конструкции.












6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии

Растяжение – такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Приложение нормальных сил к стержню может быть различным, но в любом случае система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня, то есть во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р: N=P.

При расчетах в сопротивлении материалов сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N.

Таким образом, при рассмотрении задач сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия.

Если для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, то такое напряженное состояние называется однородным.

Рассмотрим задачу о распределении напряжений hello_html_m1160128e.gif и hello_html_1fcbc7c3.gif при растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня (рис. 6.1).

Три стороны задачи о растяжении и сжатии стержня.

1. Статистическая сторона задачи


P

Краевой эффект


hello_html_m6afeb52.gifhello_html_1bdceaab.gifhello_html_m10f7b8f1.gif

hello_html_m18d4fda6.gifhello_html_m4c9c2ee4.gifhello_html_m18d4fda6.gifhello_html_m5d2d2d8a.gifhello_html_m116e2456.gif

z


hello_html_m220ad19f.gif


Рис. 6.1 Растяжение стержня

Mкр = Qx = Qy = Mx = My = Mz=0



hello_html_7216806f.gif(1)

hello_html_m49929af7.gif(2)

hello_html_m243d92c0.gif

hello_html_m7f0ede81.gif

hello_html_mfbb4210.gif

hello_html_m706f0a88.gif

hello_html_4195def2.gif

hello_html_mc96eee6.gif



2. Геометрическая сторона задачи

Применим гипотезу плоских сечений:

Волокна при растяжении (сжатии) по высоте в поперечном сечении бруса деформируются одинаково hello_html_m7395a680.gif(3).

Выделим два сечения стержня до приложения нагрузки и рассмотрим их положение в нагруженном состоянии (рис. 6.2).


hello_html_3ce4963c.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_63c84164.gifhello_html_63c84164.gifhello_html_m3628599.gifhello_html_m3628599.gif

a b

b1

a1

ahello_html_m76f7c08b.gifhello_html_11bc433b.gifhello_html_2b6f762f.gifabb до приложения нагрузки

a

a b

b1

a1

1a1b1b1 при нагружении

Рис. 6.2 Деформация стержня

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

hello_html_m76c3b982.gif(4) где - относительная деформация,

Е – модуль упругости 1 рода = 2105 МПа

Объединяем все три стороны задачи

hello_html_m1000023e.gif(5)

подставляем в интеграл (2)

hello_html_m49929af7.gif=> hello_html_5d0e7a6.gif

hello_html_m3910ca.gif(6) - нормальное напряжение

Найдем растяжение стержня при удлинении, сжатии.





hello_html_6e7b8ffb.gif









Рис. 6.3 Нормальное напряжение при растяжении

hello_html_m3ab64a7a.gifEF жесткость бруса при растяжении, сжатии.

hello_html_2869cf2c.gif

Абсолютная деформация бруса длинной l=dz равна

hello_html_mbfa055f.gifгде l – абсолютная деформация.

hello_html_m3910ca.gif

Условия прочности:

hello_html_m2339a799.gifhello_html_314dd682.gif- допускаемое нормальное напряжение.

Материалы

Пластичные материалы

Хрупкие материалы

hello_html_15983b5f.gifhello_html_580ea8ea.gif- предел текучести материала

hello_html_3c5d0734.gifhello_html_6f25492d.gif- предел прочности материала

n – коэффициент запаса прочности



n – вводится по следующим причинам:

  • неточное определение внешних нагрузок

  • приближенные методы расчета

  • отклонения в размерах деталей

  • разброс в механических характеристиках материала.



Для хрупких материалов n больше чем для пластичных материалов, так как у хрупких материалов большая неоднородность структуры.

hello_html_m1b4f38de.gif

если N(z) = const, F(z) = const

hello_html_m6cbb78de.gif

Условие жесткости l [l]

















































7. Типы задач сопротивления материалов

Мы выполняем расчет по допускаемым напряжениям, при этом вся конструкция считается прочной, если напряжение в опасной точке max не превосходит [] – допускаемого значения (рис. 7.1).

hello_html_3316c70b.gif

hello_html_38ebc39e.gif


hello_html_2c9d83db.gifhello_html_m33e942a2.gif





max

hello_html_307fb283.gif

Рис. 7.1 Эпюра напряжений

1. Проверочный расчет

Дано:

Размеры стержня, внешняя нагрузка.

hello_html_6211d4ab.gif?



2.Проектировочный расчет

Дано:

Внешняя нагрузка, []

hello_html_2d188a13.gifmax = [] условие экономичности

hello_html_59262889.gif



3.Определение допустимой внешней нагрузки

Дано:

размеры стержня, 

max = hello_html_m315dff56.gif = 

hello_html_28126ee0.gifhello_html_50bfe173.gif

hello_html_3bec7a93.gifhello_html_21590b6a.gifhello_html_7d6d0688.gif

hello_html_6eb6258d.gif

4. Расчет на жесткость.

Условия жесткости: l = hello_html_m5202968b.gif hello_html_m6e4f6f67.gif

Пример (Р-1)

все величины заданы в системе СИ

hello_html_m4b4ade33.gif















hello_html_71c2bb23.gif














, Па


hello_html_m10604804.gifhello_html_m10604804.gifhello_html_m3e38e327.gifhello_html_m10604804.gifhello_html_m3e38e327.gifhello_html_m35a2e854.gif


5,6107


hello_html_322bda2c.gifhello_html_m35a2e854.gif

1,12107

2,25107


hello_html_m1bcc4855.gif

1,12107


hello_html_m64cd250f.gif

hello_html_m35a2e854.gifhello_html_31ba972e.gif

-2,25107


hello_html_m35a2e854.gif



hello_html_m35a2e854.gif




1,687

1,687


, м-4

hello_html_m4b0995bb.gif

1,35


hello_html_4cf6b4f5.gifhello_html_2a6d39f2.gifhello_html_m15a5bdf9.gif

hello_html_5e3520f.gif

1,012


Рис. 39 Пример решения задания Р-1





Рис. 7.2 Пример решения задачи Р-1

Решение

Найдем реакции связей

hello_html_m7a5bf3a8.gif

Построим эпюру нормальных сил

hello_html_21b005ab.gif

Построим эпюру нормальных напряжений

hello_html_5d71cb9a.gif

Построим эпюру перемещений

hello_html_m1ec5a320.gif








8. Кручение стержней

Это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только крутящие моменты, отличные от 0. а N = Qx = Qy = Mx = My = 0.

Стержень, работающий на кручение, называется валом.

8.1 Кручение круглых стержней

Три стороны задачи о кручении.

Рассмотрим вал, находящийся под действием крутящих моментов (рис. 8.1).

hello_html_m3a625229.gif









Рис. 8.1 Вал

1. Статическая сторона задачи:

Mкр (z) = M,

Mкр = hello_html_51b976f8.gif dF (2)

Mhello_html_m1860723b.gifx = hello_html_51b976f8.gifydF = 0

My = hello_html_m5d00ba0a.gif xdF = 0 (3)

N = hello_html_51b976f8.gifdF = 0

Анализируя формулы (3), приходим к выводу, что нормальные напряжения в нормальных сечениях = 0.

Найдем закон изменения касательных напряжений “” в поперечном сечении бруса.


2. Геометрическая сторона задачи.

Она связана с применением гипотезы Бернулли (плоских сечений)

Экспериментально установлено, что при кручении круглого бруса ось стержня не меняет своей длины и формы, а поперечные сечения, плоские и нормальные к плоскости бруса до приложения крутящего момента, остаются такими же после приложения крутящего момента, и поворачиваются друг относительно друга. Физическая модель резинового бруса: поперечные сечения закручиваются друг относительно друга.

Выделим участок бруса длиной dz и имеющего радиус (рис. 8.2).

hello_html_m61a05876.gif







Рис. 8.2 Участок бруса

Пусть левая часть неподвижна.

hello_html_433f54d7.gif

hello_html_4ae8a24d.gif(4)

- абсолютный угол поворота

- относительный угол закручивания (поворота), приходящийся на единицу длины

- угловая деформация

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

Закон Гука для угловых деформаций:

= G (5), G – модуль сдвига (модуль упругости II–го рода)

Gстали = 8104 МПа = 81010 Па

Объединяя три стороны задачи, получаем:


hello_html_m19c69821.gif







Рис. 8.3 Эпюра касательных напряжений

из (4), получаем =  => (5) Mкр = hello_html_2133bebd.gif dF

hello_html_3bcb8669.gifhello_html_362c197.gif=  G (6) => (2) Mкр = hello_html_51b976f8.gif2G dF (2) = G hello_html_51b976f8.gif2 dF

const Ip

Ip = hello_html_51b976f8.gif2dF – полярный момент инерции

Ix = Iy = D4/64; Ip = 2Ix = 2Iy = D4/32

= Mкр/ (GIp) (7)

(7)(6) => = (MкрG)/Ip= (Mкр)/Ip

= (Mкрi)/Ip (8)

Анализируя формулу (8), делаем вывод, что касательные напряжения при кручении распределяются по нормальному закону (рис. 8.3).

max возникают при = hello_html_b7636fd.gif

Wp = Ip/(D/2) – полярный момент сопротивления

Для круглого сплошного сечения: Wp = (D3)/16

Тогда max = Mкр/Wp; Мкр/Wкhello_html_m31421ebe.gif, где Wк – момент сопротивления при кручении, равный в данный момент Wp.

max = Mкр/Wк  – условие прочности при кручении.

8hello_html_734b7c7.gif.1.1 Геометрические характеристики Ip и Wp

hello_html_m3331daa1.gifхарактеристики

Ip

Wp

D

hello_html_3da61e97.gif

hello_html_m1898cf5a.gif

hello_html_m1f6d05ce.gif

d

D

hello_html_3da61e97.gif hello_html_450fc04e.gif hello_html_m1c971654.gif hello_html_m3628599.gif hello_html_m3ae3753c.gif hello_html_6fc618d1.gif hello_html_6fc618d1.gif hello_html_m393b0687.gif

hello_html_46f0b35a.gif

hello_html_m60310b8c.gif


Анализируя эпюру , мы видим, что в центре сечение не нагружено, т.о. рациональным сечением является не сплошной вал, а кольцо.

Задача:hello_html_52ce803.gif

D1

сопоставить по металлоемкости два равноправных сечения (рис. 8.4).

hello_html_m1c971654.gifhello_html_m3628599.gifhello_html_m3ae3753c.gif

hello_html_3da61e97.gif




Рис. 8.4 Полое и сплошное сечения вала

Равнопрочные:

max1 = max2

max1 = Мкр/Wp1

max2 = Мкр/Wp2

Мкр/Wp1 = Мкр/Wp1 1/Wp1 = 1/Wp1

(D31)/16 = (D32)/16(1–(d24/D24))1/D13 = 1/(D23(1–0.84));

0.59 D23 = D13;

D1 = D0.839.

Сопоставляем сечения 1 и 2 по металлоемкости:

F1/F2 = (D12)/4/((D22)/4)–(1–d22/D22) = 1.9.

8.2 Кручение прямоугольных стержней

При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.

Готовые формулы

hhello_html_7b075af9.gif
>b











Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней

В углах и центре тяжести 0

hello_html_462d3143.gif

hello_html_5585eccd.gif

где Wk = b2h - момент сопротивления при кручении

Ik = b3h -

, , -коэффициенты, зависят от соотношения hello_html_m21ea5fba.gif





Некоторые значения коэффициентов , , .


Абсолютный угол закручивания вала, состоящего из n участков - .

hello_html_1344d0d1.gifhello_html_m7d8ca8a9.gifhello_html_m22447258.gif


hello_html_m42ad68fb.gifhello_html_m2708e421.gifhello_html_300c507a.gif


Пример (К-1)

Дано (рис. 8.6)

hello_html_4d3e34af.gifhello_html_55be7c42.gifhello_html_m19cf04db.gifhello_html_m1cc5d212.gif

Решение

hello_html_3a4e6abc.gif

первый участок

hello_html_858244b.gifhello_html_55465200.gifhello_html_4c548ba.gif

второй участок

hello_html_1ba606a9.gifhello_html_m5bd2de8c.gifhello_html_40969db3.gif

третий участок

hello_html_6878cd26.gif

hello_html_41be37ae.gifhello_html_m5395c826.gifhello_html_3fb02be3.gif

так как мы приняли за диаметр трубки диаметр D1, то пересчитаем момент сопротивления

hello_html_m2faf333e.gif

найдем угол закручивания стержня

hello_html_m1ccb52d7.gif
















hello_html_m5b98eae8.gif
















М









Рис. 8.6 Эпюра крутящих моментов



hello_html_m467f4f03.gif












Рис. 8.7 Эпюра касательных напряжений для различных сечений стержня






9. Геометрические характеристики плоских сечений

Рассмотрим произвольное плоское сечение (рис. 9.1). Выделим элементарную площадку dF и определим ее характеристики.

hello_html_22d70709.gif

dF


hello_html_m4c33c39c.gif

y

hello_html_cb34ae3.gif

hello_html_4f92de60.gif

hello_html_m8dfe638.gifhello_html_m157d1879.gif



x


hello_html_m6293088.gif

Рис. 9.1 Произвольное плоское сечение тела

Статистический момент инерции сечения.

Называется Sxи Sy относительно осей x и y

hello_html_m56e1125b.gifинтегральная сумма произведения элементарных площадок на их расстояние до оси.

hello_html_m158d96f3.gif=> [S] = м3

Используется для определения центра тяжести касательных напряжений при изгибе.

Координаты центра тяжести сечения

hello_html_m6a6d3121.gifhello_html_3a66e84e.gif

Если фигура состоит из нескольких простых

hello_html_m149ea3c1.gif

Осевой момент инерции сечения.

hello_html_m2b79ffca.gif4]

hello_html_m444d42d0.gif4]

Главная характеристика при расчетах на изгиб.

Центробежный момент инерции скольжения – интегральная сумма произведения элементарных площадок на расстояние до осей.

hello_html_7f771cd2.gif4]

Полярный момент инерции.

hello_html_m3e945b0d.gif4]

hello_html_499c1c98.gif

Радиус инерции.

hello_html_m3e2a1857.gif

Осевой момент сопротивления.

Wx, Wy2]

Дhello_html_7288d49.gifля сечения, имеющего две оси симметрии:

hello_html_m2b723833.gifhello_html_m1a36318c.gif

hello_html_m2c7ed30a.gif


Для сечения, имеющего одну ось симметрии:

hello_html_m2c7ed30a.gifhello_html_m589f42b0.gif

hello_html_2f146bdc.gif

hello_html_m4fd306eb.gif

hello_html_7db2d868.gifhello_html_20fd8827.gifполярный момент сопротивления


Пример


hello_html_da25cd3.gifdF = bdy

Ihello_html_5592b7ee.gifhello_html_5592b7ee.gifx = ?

тhello_html_m1b495a98.gifогда hello_html_m2be589f9.gif

9.1 Геометрические характеристики простых сечений


hello_html_6718496.gif

hello_html_2c4fa359.gif

hello_html_2c4fa359.gif

0


hello_html_m4e958835.gifhello_html_m7c58ddce.gif

hello_html_5427f766.gif

hello_html_m7f89608e.gif

hello_html_60028e3a.gif

hello_html_me8ba912.gif


hello_html_m1dc0188b.gif


hello_html_5767c6af.gif

hello_html_5767c6af.gif

0

hello_html_m68f0c957.gif

hello_html_45a3d332.gif

hello_html_196ee325.gif

hello_html_m23b88782.gif

hello_html_5e26e1cf.gif

0


hello_html_m5e888db7.gifhello_html_1ffd0bb2.gif

hello_html_m7f339005.gif

hello_html_m23483746.gif

hello_html_m23483746.gif

hello_html_m2719a8fb.gif




9.2 Параллельный перенос осей


y1

hello_html_m5cf928c7.gif

y

hello_html_3989366b.gif

hello_html_1436e917.gif

x

b


hello_html_13b7fc14.gifhello_html_m1dd4f6e7.gif

hello_html_58631bce.gifhello_html_455c6159.gif

y

x


hello_html_748c5f0e.gifhello_html_m850d186.gif

a



x1


hello_html_510894ad.gif


Рис. 9.2 Параллельный перенос осей

Дано: F, a, b, Ix, Iy, Ixy; (рис. 9.2)

Найти: Ix1, Iy1, Ix1y1;

Решение:

Если оси x и y центральные, то Sx=Sy=0 и формулы имеют вид:

hello_html_m7361d15.gif

В общем виде формулы параллельного переноса имеют вид:

hello_html_4f9ac18b.gifn число составных частей

9.3 Поворот осей

hello_html_6154e591.gif








Рис. 9.3 Поворот осей


Дано: Ix, Iy, Ixy, (рис. 9.3)

Найти:Ix1, Ix2, Ix1y1

Решение:

hello_html_6692741f.gif

Исследуем на экстремум Ix1

hello_html_5c6dcc89.gif

hello_html_mc41fe6b.gif- ось максимума

hello_html_55d48c80.gifhello_html_m1e961105.gif- ось минимума

hello_html_m3eb7073a.gif- сумма осевых моментов инерции при повороте осей инвариантна (=const)

hello_html_m69f19bbb.gif

Оси, относительно которых центробежный момент равен 0, называются главными. Моменты инерции относительно этих осей принимают максимальные и минимальные значения:

hello_html_m2334e0fe.gif, hello_html_11e86b25.gif - главные моменты инерции

Главные оси, u, v, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными.

hello_html_m6884e47e.gif



Главные центральные моменты сечения:

hello_html_m38e3b879.gif

Если сечение обладает симметрией, то оси симметрии и являются главными осями.
























10. Изгиб. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе

10.1 Чистый изгиб

Расчетные формулы для определения нормальных напряжений при изгибе обычно выводят из рассмотрения плоского чистого изгиба, который является наиболее простым случаем изгиба (рис.10.1).

hello_html_m2167c806.gif






Рис. 10.1 Плоский чистый изгиб

Чистый изгиб – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты Мх, а Q=0.

Чистый изгиб характерен тем, что из шести компонентов внутренних усилий только изгибающий момент не равен 0, а поперечные и нормальные силы отсутствуют. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент остается постоянным (М = const). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки относительно оси Ох. Эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. При этом изгибающий момент в балках считается положительным, если сжаты верхние волокна, т. е. элемент изгибается выпуклостью вниз.

Рассмотрим три стороны задачи об изгибе:

1. Статическая сторона задачи:

Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Характерный пример показан на рисунке (простейший двухопорный стержень, нагруженный силами Р) (рис. 10.2).

hello_html_m79c3dd83.gif







hello_html_m179d22e5.gif

M


hello_html_m37d303df.gifhello_html_m37d303df.gif

hello_html_687ea56e.gifhello_html_m3bdd2663.gif

Чистый изгиб

Рис. 10.2 Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим условие равновесия, связывающее напряжения и внутренние усилия в поперечном сечении балки (рис. 10.3), опуская индекс x y момента, получим

hello_html_m17f3b048.gif(1)

hello_html_m5d03684.gif(2)

hello_html_m67584ac6.gif(3)

hello_html_70fb61be.gif(4)

hello_html_m34c17e76.png

Рис. 10.3 Поперечное сечение балки


2. Геометрическая сторона задачи:

При изгибе под действием моментов М ось балки искривляется (установлено экспериментально).

hello_html_5aa2cdc2.png

Рис. 10.4 Сетка, предварительно нанесенная на балку

Наблюдая за деформацией сетки, предварительно нанесенной на балку (рис. 10.4), можно заметить, что продольные линии при чистом изгибе искривляются по дуге окружности, контуры поперечных сечений остаются плоскими кривыми, пересекая продольные линии под прямыми углами (рис. 10.5). Это говорит о том, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и, поворачиваясь, становятся нормальными к изогнутой оси балки.

Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородной балки при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются. Это утверждение, будучи точным, для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений (Бернулли).


hello_html_m23c9b492.png


Рис. 10.5 Деформация участка балки при чистом изгибе

Поворот плоских поперечных сечений одного относительно другого является результатом образования деформаций при чистом изгибе.

В сжатой области (сверху) волокна укорачиваются, а в зоне растяжения удлиняются. Зона растяжения в сечении балки разделяются нейтральным слоем с радиусом кривизны ρ. Длина нейтрального слоя при изгибе остается неизменной.

Рассмотрим два смежных сечения a и b, расположенных между собой на расстоянии dz (рис. 10.6).

Предположим, что левая часть неподвижна, а правая поворачивается относительно левого участка.

hello_html_415d7f71.png







Рис. 10.6 Поворот правого участка относительно левого

При чистом изгибе найдем из рассмотрения деформации участка балки длиной dz относительное удлинение некоторого волокна, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя hello_html_mc97e889.gif

hello_html_1aedd4b9.gif

hello_html_m104167dc.gif(5) -относительное удлинение участка




3. Физическая сторона задачи:

При чистом изгибе вводится предположение о ненадавливаемости продольных слоев (рис.10.7).

hello_html_m11c8e36b.png

Рис. 10.7 Деформация участка балки длиной dz

= 0 – касательное напряжение

0 – нормальное напряжение

Так как = 0, то это значит, что волокна балки находятся в линейно напряженном состоянии

hello_html_m7a339306.gif(6) - применяем закон Гука

4. Объединяем три стороны задачи:

(5)(6) hello_html_mad62d3d.gif (7)

hello_html_30a7cfa6.gif

(7)(2) hello_html_55f71eb3.gif

hello_html_m31f8e4eb.gif

hello_html_74d2464a.gif- осевой момент инерции, зависит от формы, размеров.

hello_html_m2790129c.gif

hello_html_404ea79a.gif(8), где Е∙Ix - жесткость сечения при изгибе

Изменяется по высоте сечения по линейному закону:

hello_html_m3e0fd719.gif

Напряжения при изгибе:

hello_html_m1c7dc62a.gifhello_html_m445db835.gif(9) – нормальные напряжения при изгибе.












Рис. 10.8 Сечение не имеющее горизонтальной оси симметрии

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

hello_html_26b06d36.gif

hello_html_11f367da.gif

hello_html_m33636bdc.gif- осевой момент сопротивления сечения

(9)(4) hello_html_m7d915fce.gif

hello_html_78678ec4.gif- статический момент инерции

Значит, ось х – центральная. Таким образом, центр инерции проходит через центр тяжести сечения.

hello_html_m59321a56.gif

hello_html_md87a19f.gif- центробежный момент инерции

hello_html_65b597c0.gif

Через ось у проходит силовая плоскость, значит, оси x и у – главные центральные оси.

Мы получили условия существования прямого изгиба (когда деформирование бруса происходит в силовой плоскости).

Для сечений с двойной симметрией унижнверхнmax

hello_html_m144ff100.gif, где hello_html_m1ddb76a6.gif

hello_html_m61c7c0ff.gif- условие прочности при изгибе.

hello_html_mc6c47b.pnghello_html_50f814c3.png

Рис. 10.9 Эпюра нормальных напряжений и сечение с горизонтальной осью симметрии


Пример (Рис. 10.10)

Пhello_html_59eaa131.gifодобрать номер двутавра












Рис. 10.10 Расчетная схема

Дано:

P=40 кН

A=1 м

[]=160 МПа

Решение:

Растяжение – сжатие:

hello_html_m4d4ffcf.gif

Кручение:

hello_html_3d55329f.gif

Изгиб:

hello_html_m41688724.gif

hello_html_77ebe696.gif- условие «экономичности»

hello_html_13e28dbc.gif, hello_html_2ff20a32.gif

Строим эпюры Q и M (рис. 10.11)(эпюра М строится на сжатых волокнах)

hello_html_m5d833a48.gif

Q


hello_html_m69a8416.gifhello_html_m3d085a33.gifhello_html_6ac70e09.gif

2P

RA

hello_html_m4f52edef.gifhello_html_m5541f738.gif

hello_html_a85f4fc.gif

RB

M


hello_html_m36346d72.gifhello_html_m5d833a48.gif



Рис. 10.11 Построение эпюр Q и M

Для этого определяем реакции RA,RB, используя уравнения равновесия

hello_html_m7aa52b23.gif, hello_html_2c5c2284.gif

hello_html_3e8dd798.gif,

hello_html_m74a24a0a.gif,

hello_html_me5442ed.gif

hello_html_m79bbae33.gif,

hello_html_329c8ce.gif

Опасное сечение над опорой В

hello_html_4653450e.gif

hello_html_43b75bef.gif

Двутавр №22, hello_html_m4e420bb8.gif

Для №22 перегрузка

hello_html_m8f295ff.gif



Пример (И-1)

Для балки (Рис. 10.12) из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать сечение в двух вариантах а) двутавровое б) полый прямоугольник. Проверить прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов. Построить эпюру касательных напряжений для прямоугольного сечения. Определить вертикальное перемещение сечения С. сравнить вес балок с прямоугольным и двутавровым сечением.


hello_html_m2203cde4.gif








Рис. 10.12 Прямоугольное полое сечение и расчетная схема


y

hello_html_53e9440f.gif












Рис.10.13 Построение эпюр Q и M

Дано:

hello_html_m7e3185b7.gif

Решение:

Y: hello_html_m3313bb05.gif

(у правой) hello_html_18ec69a3.gif

hello_html_m4f266c75.gif

(MD правой) hello_html_m1941d4fc.gif

hello_html_380cfc5e.gif

hello_html_368f478b.gif

hello_html_m42f2152a.gif

hello_html_m431a790c.gif

hello_html_m596bc65f.gif

hello_html_m3b2005f6.gif

hello_html_m6a25e617.gif

hello_html_m3c028d05.gif


hello_html_m69f1ae8e.gif

hello_html_m3607cb7f.gif

hello_html_m18c49ca5.gif

hello_html_m1ce79b2f.gif

hello_html_m34a2f679.gif

На третьем участке определяем максимум для момента:

hello_html_m204b22ef.gif

hello_html_74cba575.gif

Находим величину момента сопротивления:

1)для двутавра

hello_html_3bc9ae3e.gif

подбираем номер двутавра №22 Wx.22=232·10-6

hello_html_56e39066.gif

Проверка: hello_html_mdd219e9.gif% (недонапряжение)

Подбираем номер двутавра №20а Wx.20а=203·10-6

hello_html_m48de7948.gif

Проверка: hello_html_m430c2916.gif% (перенапряжение)

Т.к. на практике допускаются перенапряжения до 5 %,

то выбираем № 22

2)для специального сечения

hello_html_m560f9c46.gif

hello_html_m3c5e3ccb.gif

hello_html_m34dcd91c.gif

hello_html_72a7babd.gif

hello_html_7fa28013.gif

hello_html_m2a2076b7.gif

hello_html_m618108aa.gif

hello_html_m203d69bd.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_6ec6d930.gifм

hello_html_m4381194d.gif


Определим площадь этого сечения:

hello_html_m259f2543.gifм2

hello_html_5e52f79c.gif

Проверим прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов сечений:

1)для двутавра

hello_html_7e1b51f2.gifм

hello_html_m69ecf92e.gifм

hello_html_6f61043.gif

hello_html_m77840b9b.gif

hello_html_645ee79d.gifПа (меньше τдоп)

Двутавр удовлетворяет требованиям прочности

2)для прямоугольника

τ1=0

hello_html_m66962738.gif

hello_html_1187e984.gifПа

hello_html_mbde0cc4.gifПа

hello_html_m6eb555b5.gif

hello_html_5b115384.gifПа

hello_html_m3080b40f.gifПа

Определим вертикальное перемещение в сечении с:

hello_html_48947cc9.gif

hello_html_m4df5b4c3.gifПа

hello_html_mcbe8963.gifПа

1-й участок

hello_html_m1a989cc1.gif

hello_html_m3557a81a.gif

hello_html_6218d986.gif

hello_html_mea182dc.gif

hello_html_5da16346.gif

hello_html_7785832f.gif

2-й участок

hello_html_164867b7.gif

hello_html_m7c8d63d2.gif

hello_html_4b81aa92.gif

hello_html_4b1ba255.gif

hello_html_78631eec.gif

hello_html_7008c657.gif

3-й участок

hello_html_663acd71.gif

hello_html_6170d246.gif

hello_html_135a72be.gif

hello_html_m7b1e48ef.gif

hello_html_78631eec.gif

hello_html_m47184189.gif

4-й участок

hello_html_21142ffb.gif

hello_html_2c401b8f.gif

hello_html_7414935c.gif

hello_html_m39036189.gif

hello_html_78631eec.gif

hello_html_m68a06586.gif

5-й участок

hello_html_1a6719d6.gif

hello_html_6170d246.gif

hello_html_m1708925b.gif

hello_html_4c87f214.gif

hello_html_m1a04eb3e.gif

hello_html_m2c30e666.gif

hello_html_26deaac7.gif

Определяем металлоемкость:

hello_html_m13beccad.gif

hello_html_50d379d7.gif

Таким образом, балка двутаврового сечения обладает меньшей металлоемкостью, чем балка в виде прямоугольника(рис.10.14 и рис.10.15).


hello_html_m5d80c9de.gif








Рис. 10.14 Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения


hello_html_44869595.gif

y

max


hello_html_m46182b6c.gifhello_html_ed927ac.gifhello_html_m6e992909.gifhello_html_45430d75.gif


hello_html_m2900a7d0.gif


hello_html_45430d75.gif

max = 27.75Па

max



Рис. 10.15 Двутаврное сечение балки





















10.2 Поперечный изгиб

Поперечный изгиб – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают не только изгибающие моменты Мх, но и поперечные силы Qу. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. В этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

hello_html_m202aa202.gif

Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых деформаций. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения dF получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом (рис. 10.16).

hello_html_m79bac024.png

Рис. 10.16 Искривление поперечных сечений

Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими.

Найдем закон изменения касательных напряжений zy= при поперечном изгибе.

Для этого сначала рассмотрим случаи поперечного изгиба

(рис. 10.17):






hello_html_m59b07fde.gif











Рис. 10.17 Эпюры Q и M при поперечном изгибе

Вычислить касательные напряжения проще всего через парные им напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруска элемент длиной dz (рис. 10.18).

hello_html_3c4a16ba.gif











Нейтральный

слой




Рис. 10.18 Распределение касательных напряжений элемента бруска

При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на dM. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя, разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил hello_html_7362920c.gif в левом сечении в пределах заштрихованной площади (отсеченной части) равна

hello_html_m589320a7.gif

hello_html_m5161ed96.gif

Полагая, что справедливо распределение в виде:

hello_html_341e4f74.gif, получим

hello_html_m646d42f1.gif

hello_html_7d45210e.gifhello_html_m314ea879.gif,

где через у обозначена текущая ордината площадки dF. Разность нормальных сил в правом и левом сечении должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 10.19)

hello_html_394c75d8.gif








Рис. 10.19 Распределение касательных напряжений τ(у) на участке dz


Полученный интеграл представляет собой статистический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения. Обозначим этот статистический момент через hello_html_27af1166.gif, тогда

hello_html_14ea6b82.gif

hello_html_70a06277.gif

Учитывая, что hello_html_75f9437b.gif

hello_html_2985b96a.gif

Полученная формула носит название формулы Журавского. Она позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня.

hello_html_32cf9520.gif

Полный расчет балки на прочность при поперечном изгибе:

hello_html_m314be258.gif

и hello_html_653ac37b.gif,

где Iх – осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х;

b(y) – ширина живого сечения на уровне у;

Sхотсеч – статический момент площади, отсеченной уровнем у.







Пример

Нhello_html_m2fa0ff61.gifайти закон изменения касательного напряжения у на уровне у (рис. 10.20).




















Рис. 10.20 Расчетная схема

hello_html_m338d2ae7.gif

hello_html_1ec8bed1.gif

hello_html_m43b9e404.gif


hello_html_1bf9477a.gif


Закон изменения представляет собой параболу.

hello_html_1fd7334.gifhello_html_77acfbbe.gif

F


11. Определение перемещений в рамах и балках

На основе определения перемещений созданы общие методы определения внутренних силовых факторов в статически определимых системах.

Наиболее просто перемещения можно найти при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Этот анализ проводят при помощи метода сечений с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо, - также эпюр нормальных и поперечных сил.

Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии стержня. Силовой фактор откладывают по нормали к оси. Для пространственного стержня осевую линию вычерчивают обычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изображают в соответствующих плоскостях изгиба.

11.1 Потенциальная энергия деформации системы

При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Ось изогнутого бруса, или, как условно называют, изогнутая ось, представляет собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, ее называют также упругой линией.

В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений переходит в новое положение: центр тяжести получает вертикальное v и горизонтальное u линейные перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол θ вокруг своей нейтральной оси (рис. 11.1).

hello_html_3bd8377e.png

Рис. 11.1 Деформация бруса

При малых деформациях горизонтальные перемещения ничтожно малы и их не учитывают, считая, что центры тяжести поперечных сечений получают лишь вертикальные перемещения, называемые обычно прогибами.

Определение линейных и угловых перемещений необходимо для расчетов на жесткость при изгибе и нахождения так называемых «лишних» неизвестных в статически неопределимых балках (рис.11.2).

hello_html_m1a8922b2.gif





Рис. 11.2Перемещение точки приложения силы Р по направлению ее действия

Если в системе бесконечно медленно прикладывается сила, эта нагрузка называется статической (т.е. ускорением, возникающим в балке можно пренебречь).

hello_html_m38d60ed0.gif







Рис. 11.3 Приращение силы ∆Р


Работа силы P на перемещении p

hello_html_127946a4.gif(рис. 11.3)

Найдем работу внутренних сил для плоского наряженного состояния.

Для плоского напряженного состояния мы имеем N, Q, M.

hello_html_m55f7cbd0.gif






Рис. 11.4Работа системы сил, действующих на стержень

Найдем работу сил на элементарном отрезке:

1.Работа нормальных сил N (рис. 11.5)

hello_html_m7d901af9.gif






Рис. 11.5 Работа нормальных сил N на элементарном отрезке

hello_html_2192e9df.gif

- часть работы, которая приходится на отрезок dz.

hello_html_11b169ab.gif,

где F – площадь поперечного сечения,

E – модуль упругости первого рода,

E·F – жесткость поперечного сечения при растяжении/сжатии.

2.Работа изгибающих моментов М (рис. 11.6)

hello_html_m1f0c06d1.gif







Рис. 11.6 Работа изгибающих моментов на элементарном отрезке dz

hello_html_m75dabbeb.gif,

Где hello_html_19e92804.gif

- осевой момент инерции сечения,

E·Ix – жесткость сечения при изгибе.

3hello_html_70886194.gif. Работа поперечных сил Q (рис. 11.7)









Рис. 11.7Работа поперечных сил на элементарном отрезке dz

hello_html_3bf87468.gif

hello_html_m7434af7.gif- закон Гука при сдвиге, где G–модуль упругости 2-го рода,

Gст = 8·104 МПа

Eст = 2·105 МПа

ст = 0.25….0.3

hello_html_24c58d92.gif

hello_html_30924721.gif

Т.к. касательные напряжения распределены неравномерно, то вводится поправочный коэффициент , зависящий от формы сечения, учитывающий, что hello_html_6dc84ca1.gif. очень близок к 1.

Для прокатных сечений =1.1….1.2

11.2 Обобщенные силы и обобщенные перемещения

Внешние нагрузки весьма разнообразны и обычно представляют собой группу сил. Работу группы постоянных сил можно представить в виде произведения двух величин

hello_html_m113c1e67.gif,

в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а ∆р зависит от перемещений и называется обобщенным перемещением.

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, распределенные нагрузки), которая способна совершать работу на соответствующем обобщенном перемещении.

Так, рассматривая работу системы сил, действующих на стержень, получаем

hello_html_438fab29.gif,

где Р- обобщенная сила;

hello_html_a3eb22d.gif- обобщенное перемещение.

hello_html_m2b5637af.gif








Рис. 11.8 Полный прогиб

Обычно принято обозначать обобщенные перемещения (как линейные так и угловые) буквами ∆ и δ с соответствующими двойными индексами. Первый индекс указывает точку и направление перемещения, второй – силовой фактор, вызвавший это перемещение.

Например (рис. 11.9):

hello_html_m16331da7.gif







Рис. 11.9 Обозначение перемещений

Таким образом, обобщенная силаэто любая нагрузка, приложенная к стержневой системе (например, P или Q) (рис.11.10)

hello_html_m3d6c2794.gif






Рис. 11.10 Прогиб свободного конца балки, под действием приложенной нагрузки

Формула потенциальной энергии деформации всей системы

hello_html_2b720567.gif,

где U – потенциальная энергия деформаций системы,

А – работа внутренних сил,

Для прокатных сечений =1.1….1.2

1hello_html_m2cdb848a.gif1.3 Теорема о взаимности работ и перемещений (теорема Бетти)

Рассмотрим балку, находящуюся под действием системы сил P1,P2 (рис.11.11).




hello_html_5b82388b.gif

Рис. 11.11 Балка, находящаяся под действием системы сил

Первое состояние системы. Сначала прикладываем силу P1 (рис.11.12).



hello_html_37ac7f5f.gif

Рис. 11.12 Балка, вначале находящаяся под действием силыhello_html_10fe0b6f.gif

hello_html_m2c7faaed.gif

Затем прикладываем силу P2 (рис.11.13):





Рис. 11.13 Балка, находящаяся под действием поочередно приложенных сил

hello_html_3a1b52dd.gif, т.к. сила не меняется

Работа внешних сил:

hello_html_m3b9940db.gif

Затем к балке сначала приложим силу P2 (рис.11.14):

hello_html_620dd6af.gif



hello_html_m65828224.gif


Рис. 11.14 Балка, вначале находящаяся под действием силы Р2

hello_html_5e8c26bc.gifhello_html_m2847e58a.gif

Приложим к этому состоянию силу Р1 (рис.11.15):





Рис. 11.15 Балка, находящаяся под действием поочередно приложенных сил

hello_html_d8f38ef.gif

Т.к. конечные состояния в первом и втором случаях одинаковы, то hello_html_6d1b80d9.gif

hello_html_m61b3ede2.gif

Таким образом, hello_html_m73933dcc.gif - теорема о взаимности работ и перемещений.


Теорема: работа сил первого состояния на перемещении по их направлению от сил второго состояния равна работе сил второго состояния по их направлению от сил первого состояния.

Еhello_html_aba7d3a.gifсли Р1 = Р2 = 1, то hello_html_7efc79c1.gif или hello_html_m377bb8b3.gif(рис.11.16)

hello_html_7c77fbae.gif











Рис. 11.16 Балка, находящаяся под действием единичных сил Р1 и Р2

11.4 Интеграл Мора

Метод Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно или жестко соединенных прямых или кривых брусьев.

При отыскании линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения прикладывается безразмерная единичная сила.

Ограничиваясь рассмотрением плоских систем – балок и плоских рам и учитывая только энергию деформации, связанную с изгибающими моментами, получают следующую формулу для определения перемещений, правую часть которой называют интегралом Мора,


hello_html_278a9812.gif,

где ∆кр – искомое перемещение (линейное или угловое).Первый индекс К указывает точку и направление, в которых определяется перемещение, а второй индекс – причину, вызывающую это перемещение. Индекс Р означает, что определяется перемещение от заданных нагрузок;

Мр и М1 – аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной нагрузки и единичной силы (момента).

Рассмотрим балку, находящуюся под действием произвольной системы сил (рис. 11.17).

hello_html_m1a73a00f.gif





Рис. 11.17 Балка, находящаяся под действием системы сил

Р1 = 1 – фиктивная сила, приложенная к балке (рис.11.18).

hello_html_m29037b09.gif





Рис. 11.18 Балка, находящаяся под действием фиктивной силы Р1

hello_html_m53a2f8b5.gif

где hello_html_m2ebfd762.gif, hello_html_m33c132a8.gif, hello_html_m77a50b46.gif - выражения для внутренних факторов от hello_html_m272a8c7c.gif (черта вверху обозначает единичную силу);

Мр, Np, Qp, - выражения внутренних усилий от внешней нагрузки.



Порядок определения перемещения с помощью интеграла Мора:

1.В сечении, перемещение которого требуется найти, прикладывается единичная обобщенная сила.

2.Выписываются выражения для M, Q, N, hello_html_c95e290.gif для каждого участка.

3.Вычисляют интегралы Мора удерживая необходимые слагаемые.

При получении положительного результата направление перемещения совпадает с направлением единичной силы, в противном случае направление противоположно. В случае пространственной стержневой системы можно записать 6 интегралов Мора: N, Qx, Qy, Mx, My, Mкр..

Пример (рис.11.19)

Оhello_html_548c43bc.gifпределить вертикальное перемещение.





Рис. 11.19 Расчетная схема

Решение:

Влиянием поперечной силы Q и нормальной силы N можно пренебречь.

hello_html_2e534da5.gif

Сhello_html_47fe7b5a.gifтроим вспомогательную систему. Это заданная балка без внешней нагрузки. В заданной точке к этой балке прикладывается единичное усилие (рис.11.20).




Рис. 11.20 Балка, находящаяся под действием единичной силы Р1

Если требуется определить линейное перемещение, то прикладывают единичную силу, а если угол поворота – единичный момент (рис.11.21)

hello_html_m46f8b029.gif




Рис. 11.21 Приложение единичного момента для определения угла поворота

Записываем выражение момента:

hello_html_m4fbdcdc9.gif - от внешних сил

hello_html_5e8016b4.gif - от единичной силы

hello_html_m4db3117e.gif

Составляем интеграл Мора и вычисляем его:

hello_html_54e7998.gif

11.5 Графо – аналитический метод взятия интегралов (способ Верещагина)

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.

Этот способ применим только для прямолинейных участков, т.к. в этом случае единичная эпюра всегда носит единичный характер.

Пусть имеется эпюра внешних сил Мр (грузовая эпюра), обозначим ее площадь Ωр (рис.11.22).


hello_html_7599b12.gif











Рис. 11.22 Эпюра внешних сил

Для определения перемещения необходимо вместо вычислений интеграла Мора умножить площадь грузовой эпюры Мр на ординату, взятую на единичной эпюре под центром тяжести грузовой (нелинейной) эпюры.

Согласно интегралу Мора:

hello_html_m18fbcc03.gif

hello_html_18e28aef.gif,

где р – площадь грузовой эпюры,

hello_html_m4be0e8a0.gif- ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры.

Пример

Определить перемещение.



MP

hello_html_5da60eff.gifhello_html_7fa61d9c.gif

l

l

hello_html_7fa61d9c.gifhello_html_m1ec7ac24.gif

hello_html_m11ec821f.gif

Pl

hello_html_m531b8452.gifhello_html_m2e1e02f1.gif

hello_html_m5d934480.gifhello_html_m252e4cbd.gifhello_html_m531b8452.gifhello_html_1d5a68bc.gif

Pl

hello_html_m252e4cbd.gif

lP


hello_html_m531b8452.gifhello_html_m1f91057c.gifhello_html_m1f91057c.gif

hello_html_6e9dad23.gif

M1


hello_html_m291cf6f8.gifhello_html_m291cf6f8.gif

2/3l

l/2



Рис. 11.23 Эпюры Мр и М1

Перемножение эпюр:

hello_html_fc1dcdb.gif

11.6 Универсальная формула трапеции

hello_html_349a8581.gif










Рис. 11.24 Эпюра внешних сил

hello_html_6c7186a1.gif,

где hello_html_7969383.gif - если есть распределенная нагрузка и hello_html_6d25801c.gif,

a, b, c, d − ординаты эпюры.

В формуле трапеции все ординаты берутся с учетом знака.

Пример (рис. 11.25)


hello_html_66580020.gif









Рис. 11.25 Эпюры Мр и М1

hello_html_3fa6348c.gif

Замечание: если в результате вычислений перемещение получилось со знаком «−», то направление перемещения противоположно направлению единичного усилия.








Заключение

Сопротивление материалов является одной из основных общеобразовательных инженерных дисциплин и играет существенную роль в формировании инженера почти любой специальности. Особенно большое значение сопротивление материалов имеет для механических, машиностроительных и строительных инженерных специальностей.

В связи с повышением энерговооруженности и быстроходности, уменьшением удельной материалоемкости машин, насыщением их гидро- и пневмомеханизмами возникла насущная необходимость повышения качества расчетных методов прикладной механики при разработке конструкций машин.

Настоящее пособие содержит ясную физическую трактовку явлений и логические выводы, задачи в четкой постановке; изложение опирается на строгий, но, по возможности, простой математический аппарат и строится на основе сведений, полученных при изучении естественнонаучных дисциплин.

Пособие будет полезно не только инженерам – конструкторам и производственникам всех специальностей, встречающимися в практической деятельности с расчетами на прочность, но будет с успехом использовано студентами, аспирантами, преподавателями и научными работниками.












Автор
Дата добавления 18.11.2016
Раздел Физика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров22
Номер материала ДБ-364013
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх