Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Теоретический модуль на тему "Показательные уравнения и неравенства" (11 класс)

Теоретический модуль на тему "Показательные уравнения и неравенства" (11 класс)



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Показательная функция, ее свойства и график

Пример 1. Решить уравнение и неравенства:

Функция hello_html_m41893595.gif

Свойства функции hello_html_m41893595.gifhello_html_m4f1afc9e.png

1)hello_html_m6f6e4d9.gif;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) hello_html_58f79694.gif

8) выпукла вниз;

Точно таким же свойством обладает любая функция вида hello_html_e5fb066.gif, где hello_html_7db4e636.gif. hello_html_m2253b44f.png


Функция hello_html_m20129a12.gifhello_html_m486079f8.png

Свойства функции hello_html_m20129a12.gif

1)hello_html_mbaf2f2c.gif;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет наибольшего и наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) hello_html_58f79694.gif

8) выпукла вниз.

Рис.1

Точно таким же свойством обладает любая функция вида hello_html_e5fb066.gif, где hello_html_m6309732.gif. hello_html_58379604.png

hello_html_m2253b44f.png

а) hello_html_2753b771.gif; б) hello_html_m5bbd35d2.gif; в) hello_html_48855c38.gif; г) hello_html_5885cfbe.gif.

а) Построив в одной системе координат графики функций hello_html_m41893595.gif и hello_html_m4ae385be.gif, замечаем, что они имеют общую точку (0;1).hello_html_2cf791cc.png

Значит, уравнение hello_html_2753b771.gif имеет единственный корень hello_html_6f34565d.gif. Итак, из уравнения hello_html_534a5361.gif: получили hello_html_6f34565d.gif. Аналогично б) замечаем hello_html_m14b55a82.gif. Итак, из уравнения hello_html_660085e.gif: получили hello_html_m14b55a82.gif.

в) график функции hello_html_m41893595.gif расположен выше графика функции hello_html_m4ae385be.gif при hello_html_738e1867.gif (см. рис.). Значит, решением неравенства hello_html_48855c38.gif служит промежуток hello_html_m50be08c.gif

г) график функции hello_html_m41893595.gif расположен ниже графика функции hello_html_m758b0017.gif при hello_html_c8f3c22.gif (см. рис.). Значит, решением неравенства hello_html_5b8d391a.gif служит промежуток hello_html_5c8498ce.gif

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если hello_html_7db4e636.gif, то равенство hello_html_3991d9c1.gif справедливо тогда и только тогда, когда hello_html_13a1282c.gif.

Теорема 2. Если hello_html_7db4e636.gif, то равенство hello_html_m763cbb9e.gif справедливо тогда и только тогда, когда hello_html_738e1867.gif; неравенство hello_html_m75344d3a.gif справедливо тогда и только тогда, когда hello_html_7086eec3.gif. (рис 1)

Пример 2. Решить уравнения и неравенства: а)hello_html_3c8808a9.gif; б) hello_html_m53b81.gif; в) hello_html_m7930a1a7.gif; г) hello_html_m2d8650f3.gif

а) Построив в одной системе координат графики функций hello_html_m2d1af6dd.gif и hello_html_m4ae385be.gif, замечаем, что они имеют общую точку (0;1). Значит, уравнение hello_html_3c8808a9.gifимеет единственный корень hello_html_6f34565d.gif. Итак, из уравнения hello_html_m5817a1b1.gif: получили hello_html_6f34565d.gif. Аналогично б) замечаем, что графики пересекаются в точке (-1;3), hello_html_3e56d1a5.gif. Итак, из уравнения hello_html_m6f17336f.gif: получили hello_html_3e56d1a5.gif. в) график функции hello_html_m2d1af6dd.gif расположен выше графика функции hello_html_m4ae385be.gif при hello_html_7086eec3.gif (см. рис.). Значит, решением неравенства hello_html_m7930a1a7.gif служит промежуток hello_html_m55ceecd5.gif. г) график функции hello_html_m2d1af6dd.gif расположен ниже графика функции hello_html_m69dd1488.gif при hello_html_6346ba01.gif (см. рис.). Значит, решением неравенстваhello_html_m2d8650f3.gif служит промежуток hello_html_m197f98c2.gif . Справедливы следующие теоремы: Теорема 3. Если hello_html_m6309732.gif, то равенство hello_html_3991d9c1.gif справедливо тогда и только тогда, когда hello_html_13a1282c.gif.hello_html_m289d539.png

Теорема 4. Если hello_html_m6309732.gif, то равенство hello_html_m763cbb9e.gif справедливо тогда и только тогда, когда hello_html_7086eec3.gif; неравенство hello_html_m75344d3a.gif справедливо тогда и только тогда, когда hello_html_738e1867.gif.


Показательные уравнения и неравенства

Опр: показательным уравнением называют уравнения вида hello_html_7e443d35.gif, где

а – положительное число, hello_html_4dac429e.gif, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Теорема 5. Показательное уравнение hello_html_7e443d35.gif (где hello_html_m73437e0a.gif) равносильно уравнению hello_html_27b14ad4.gif.

Пример 3. Решить уравнения: а) hello_html_71a06e4.gif=64; Представим 64 как hello_html_1aa77756.gif, перепишем заданное уравнение в виде hello_html_12342b7a.gif Это уравнение равносильно уравнению hello_html_m4e74d5f8.gif, откуда находим: hello_html_6f3fc6c7.gif.

б) hello_html_1fbef836.gif; Представив hello_html_m5e5e191c.gif как hello_html_281b1c2a.gif, перепишем заданное уравнение в виде hello_html_59ffd94b.gif, тогда hello_html_m21d4b4bf.gif, откуда hello_html_m14b55a82.gif.

Выделяют основные методы решения показательных уравнений.

  1. Функционально-графический

  2. Метод уравнивания показателей (пример 3).

  3. Метод введения новой переменной (пример 4)

Пример 4. Решить уравнение hello_html_m14caf65e.gif

Заметив, hello_html_m6130ee6e.gif, а hello_html_m4363fd9f.gif, перепишем заданное уравнение hello_html_m710ee1f1.gif. Введем новую переменную hello_html_m41893595.gif, тогда уравнение примет вид hello_html_1d7e1206.gif.

Находим корни hello_html_m5c54019f.gif. Решаем два уравнения hello_html_308a2945.gifhello_html_38678d36.gif, из первого получаем hello_html_m14b55a82.gif, второе уравнение не имеет корней. Ответ: 2.

Показательным неравенством называют неравенства вида hello_html_m5d312ef9.gif, где

а – положительное число, hello_html_4dac429e.gif, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Для решения неравенства hello_html_m5d312ef9.gif разделим обе части неравенства на hello_html_m2dae856f.gifполучим неравенство hello_html_236d1a6c.gif. Далее имеем: hello_html_207e7179.gif, т.е. hello_html_m546b1e4a.gif, где hello_html_496fb236.gif.

Рассмотрим два случая:

Если hello_html_7db4e636.gif, то неравенство hello_html_m546b1e4a.gif имеет место тогда и только тогда, когда hello_html_m46a3839f.gif (см. теорему 2). Значит, hello_html_76d6c4e7.gif, т.е. hello_html_6803b2c9.gif.

Если hello_html_m6309732.gif, то неравенство hello_html_m546b1e4a.gif имеет место тогда и только тогда, когда hello_html_m45ab753b.gif (см. теорему 4). Значит, hello_html_76d6c4e7.gif, т.е. hello_html_m4f49e6dd.gif.


Теорема 6. Если hello_html_7db4e636.gif, то показательное неравенство hello_html_m5d312ef9.gifравносильно неравенству того же смысла: hello_html_7c837b08.gif

Если hello_html_m6309732.gif, то показательное неравенство hello_html_m5d312ef9.gif равносильно неравенству противоположного смысла: hello_html_m53040128.gif


Пример 5. Решить неравенства:

а) hello_html_71a06e4.gif > 64;

Это неравенство равносильно неравенству того же смысла

hello_html_22e6d81e.gif, откуда находим: hello_html_m740d56c1.gif.

б) hello_html_431371ba.gif; Представив hello_html_m5e5e191c.gif как hello_html_281b1c2a.gif, перепишем заданное неравенство в виде hello_html_me320de7.gif, Здесь основание hello_html_6e4446d3.gif. Значит неравенство равносильно неравенству противоположного смысла hello_html_md91adb.gif, откуда hello_html_f87ca86.gif.

в) hello_html_76670d7d.gif

Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла hello_html_m50519e11.gif. Найдем корни квадратного трехчлена hello_html_76780505.gifx1=2, x2=4. Решаем неравенство методом интервалов. Находим: hello_html_7f64808e.gif




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 26.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров167
Номер материала ДВ-099133
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх