Теория и методика обучения математике. Проверка знаний учащихся на уроках математики.

Теория и методика обучения математике

Проверка знаний учащихся на уроках математики.

            Важным и чрезвычайно тонким моментом учебно-воспитательного процесса, как для учителя, так и для ученика, является контроль  знаний учащихся. Целью контроля является определение качества усвоения учащимися программного материала, диагностика и корректирование их знаний и умений, воспитание ответственности к учебной работе. И это все актуально тем более в наше время – время введения государственных стандартов второго поколения. Изменения, происходящие в современной социальной жизни, вызвали необходимость разработки новых подходов к системе обучения и воспитания, а также контроля полученных знаний. Таким образом, современный учитель должен,  во-первых, формировать  универсальные учебные действия, составляющие основу умения учиться, во-вторых, формировать у детей мотивацию к обучению.

           В своей работе я использую следующие формы контроля знаний учащихся: самостоятельные и контрольные работы, математические диктанты, тесты; провожу уроки-зачеты, уроки-семинары, уроки-консультации. Используя групповой и парной форм работы я добиваюсь формированию коммуникативных универсальных учебных действий (УУД), обеспечивающих социальную компетентность и ориентацию на других людей, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное сотрудничество со взрослыми и сверстниками.

              Поэтому ежедневно необходимо создавать условия, связанные с внедрением сотрудничества в обучении и контроле знаний.

              Контроль усвоения изученного обычно начинается с проверки домашнего задания, которую можно осуществить в разных формах:

·        самопроверка и взаимопроверка по образцу (происходит формирование регулятивных УУД – контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона);

·        проверку домашнего задания проводят консультанты, домашнее задание которых уже проверил учитель (формирование коммуникативных УУД);

·        фронтальный, парный опрос по теоретическому материалу.

          На своих уроках я часто провожу кратковременную проверочную работу в форме математического диктанта с последующей само- или взаимопроверкой.

          Зачетные уроки – это уроки индивидуальной работы, которые проводятся по карточкам дифференцированно. Для того, чтобы получить положительную оценку ученику необходимо:

·        знать вопросы теории (записать нужные формулы, понимать их смысл, рассказать содержание вопроса или доказать теорему);

·        решать типовые задачи;

·        решать более сложные задачи (для сильных учеников).

             Уроки-зачеты проводятся в конце изучения темы и направлены на проверку усвоения материала в целом. При проведении зачета, вопросы теории к зачету и практические задания известны учащимся заранее. Открытость уровней, их посильность, возможность повторно выполнить зачетную работу позволяют учащимся повысить мотивацию и поверить в собственные силы. Иногда для проведения таких уроков я использую помощь консультантов. Урок-консультация проводится при закреплении какой-либо темы. Он представляет собой своеобразную самостоятельную работу учащихся. Учащимся даются задания (3-4 варианта) и назначаются консультанты. На уроках-консультациях проводится работа индивидуально с каждым учеником, поэтому у многих слабых учеников прибавляется уверенность в себе.

              Также в своей практике я использую уроки-семинары. Ценным является групповая работа учащихся в период подготовки и проведения семинара, где они ведут коллективный поиск решения задач, дают самооценку и оценивают работу друг друга (формируются личностные, регулятивные, познавательные и коммуникативные УУД). Не стоит забывать в старших классах и о дидактических играх.

ЕГЭ окончательно и бесповоротно стал частью нашей жизни. Поэтому на сегодняшний день одним из актуальных методов проверки знаний является тестовый контроль знаний учащихся. Применение тестов на уроке математики обеспечивает не только объективную оценку знаний и умений учащихся, но и эффективную обратную связь в учебном процессе, выявляет факт усвоения знаний, что необходимо для получения реальной картины того, что уже сделано в учебном процессе и что предстоит сделать. Этот метод контроля результатов обучения требует от детей быстрого переключения с одной задачи на другую, обдумывания, самостоятельности, а это значительно повышает умственную деятельность и активизирует познавательный процесс, заставляет систематически готовиться к учебным занятиям.

Как показывают мои наблюдения, контроль знаний учащихся общеизвестными способами не всегда повышает интерес к предмету, желание приходить на уроки , что ставит вопрос о создании более эффективных форм  и методов контроля с применение средств информационных технологий.

Таким образом, используя различные приемы тестового контроля в сочетании с традиционными формами текущего контроля, я добиваюсь положительных результатов в обучении и воспитании школьников. Постепенно увеличивается объем работы на уроке как следствие повышения внимания и хорошей работоспособности учащихся, усиливается стремление к творческой активности, формируются   универсальные учебные действия, составляющие основу умения учиться, во-вторых, а также  повышается мотивация к обучению. Ребята ждут новых интересных заданий, сами проявляют инициативу в их поиске. Улучшается и общий психологический климат в классе: учащиеся не боятся ошибок, анализируют их и стремятся исправить, что побуждает их к активной деятельности и самоконтролю.

50. Методика изучения геометрических понятий.

Начиная с 1969 года, в курс математики начальных классов введен геометрический материал как составная часть единого курса математики. При этом введение геометрического материала обосновывалось следующими причинами:

Ø Перегрузка школьного курса геометрии в старших классах, где за первые три месяца изучения этого курса дети должны были усвоить до ста новых понятий.

Ø А.М. Пышкало были выявлены несколько уровней мышления в области геометрии, которые условно назвали уровнями геометрического развития. Учет этих уровней позволил авторам программ по математике в начальных классах (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Пышкало и др.) часть геометрического материала перенести в начальную школу. На научной основе провести отбор материала, подлежащий изучению в начальных классах, и определить методический инструментарий, позволяющий эффективно усваивать этот материал младшими школьниками.

Ø Необходимостью повышения общекультурного уровня развития учащихся младшего школьного возраста средствами данной содержательной линии в математике, знакомства с пространственными отношениями между реальными объектами, геометрическими телами, плоскими фигурами на основе восприятия окружающего мира; обучения расчленению и структурированию окружающего мира с геометрических позиций; конструктивному мышлению и логическим умозаключениям.

В настоящее время при изучении геометрического материала в начальных классах достигаются следующие основные цели:

1. Подготовка учащихся к усвоению систематического курса геометрии в средней школе. Накопление запаса геометрических представлений, на основе которых в процессе дальнейшего обучения создаются благоприятные условия для успешного усвоения курса геометрии и других смежных дисциплин.

2. Развитие пространственного мышления детей как разновидности образного. Развитие практической ориентации в окружающем пространстве,

3. Ознакомление младших школьников с органичными для них геометрическими методами познания.

       Охарактеризуем уровни геометрического развития (по А.М. Пышкало). Каждому уровню соответствует свой язык, содержащий определенную логическую и геометрическую терминологию, своя символика, своя глубина логической обработки изучаемого геометрического материала. Поэтому переход с одного уровня на другой связан с изменением языка, символики и глубины логической обработки геометрических объектов.

Отметим, что переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным, идущим одновременно с биологическим развитием человека и зависящим от его возраста. Этот переход протекает под влиянием целенаправленного обучения, а потому зависит от содержания и методов обучения, последние могут ускорять или тормозить этот процесс.

Первый, исходный уровень характеризуется тем, что геометрическая фигура (ГФ) рассматривается как целое, при восприятии ГФ ученики еще не выделяют ее элементов, не замечают, например, сходства между прямоугольником и квадратом. Фигуры различаются по своему внешнему виду. Дети легко узнают фигуры по их виду, хорошо запоминают их названия, но не видят общих признаков в этих фигурах (не видят в квадрате ромба, в ромбе параллелограмма и т.д.) Для ученика каждая фигура индивидуальна.

Учащиеся, достигшие второго уровня, умеют устанавливать отношения между самими фигурами и их элементами. Могут выделить свойства фигур экспериментальным путем, использовать эти свойства для узнавания фигур, но эти свойства не могут быть выведены логическим путем, а, следовательно, они логически не упорядочены в сознании учащихся. Итак, на этом уровне ГФ выступают носителями своих свойств, распознаются учащимися по их свойствам, но эти свойства еще не связываются друг с другом. Например, учащиеся быстро замечают, что у прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, но при этом не могут прийти к выводу, что прямоугольник есть параллелограмм.

Учащиеся, достигшие третьего уровня, уже умеют устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. Происходит логическое упорядочивание свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого, логические связи между свойствами устанавливаются с помощью определений. Ученик, понимая порядок логического следования, еще не может самостоятельно изменять или находить этот порядок и делает это за учителем или с помощью учебника. На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником и параллелограммом.

Четвертый уровень характеризуется тем, что учащиеся осознают значение дедукции в целом, как способа построения всей геометрической теории. Легко видят различные возможности развития теории, исходя из различных посылок, и могут использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой либо фигуры.

Пятый уровень геометрического мышления в области геометрии соответствует современному эталону строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на этом уровне, развивает теорию вне всякой конкретной интерпретации.

Первого уровня могут достичь дети первого класса 6 - 7 лет. К окончанию начальной школы дети достигают второго уровня развития геометрического мышления. Третий уровень развития доступен всем учащимся к окончанию полной средней школы. Достижение четвертого уровня (во всей его полноте) всеми учащимися в настоящее время еще не предусматривается учебной программой школы. Однако, в чем нас убеждают многие эксперименты и опыт математических классов и школ, этот уровень вполне доступен учащимся 9 - 11 классов.

Современную стратегию обучения геометрии определяют следующие принципы:

· преемственность;

· фузионизм (взаимосвязанное изучение элементов плоскости и пространства);

· наглядность;

· личностно-ориентированное обучение.

Исторически развитие геометрических понятий шло от геометрии измерений к геометрии формы. Усвоение геометрического материала более успешно идет в обратном порядке от формы к измерению. В связи с этим в начальных классах полезно вести целенаправленное изучение большого числа геометрических объектов, не связывая эту работу только с измерением. Измерения должны следовать за изучением формы геометрических фигур.

Учитывая современные взгляды на последовательность формирования пространственных отношений и представлений о геометрических фигурах, необходимо формировать их «сверху вниз», т.е. процесс формирования геометрических фигур полезно осуществлять, в направлении от пространственных форм и пространственных отношений к плоскостным, как естественным составляющим пространственных (принцип фузионизма). В связи с этим уже в первом классе полезно рассмотреть объемные фигуры во взаимосвязи с плоскостными и получать плоские фигуры как проекции объемных, тем более что это можно наглядно продемонстрировать, применяя информационные технологии.

Изучение геометрического материала в начальных классах должно протекать с учетом принципа преемственности в изучении материала, т. е. строится с учетом знаний, полученных детьми в дошкольном детстве. Первоклассники уже знают названия геометрических фигур, однако используемые ими термины нередко оторваны от реальных представлений. В связи с этим при отборе геометрического материала полезно опираться на запас терминов, имеющихся у детей и проводить работу по раскрытию их научного содержания, т.е. выявлять их существенные признаки, учить узнавать фигуру не по ее наглядному образу, а по совокупности существенных признаков. Для этой цели хороши упражнения с использованием логической операции подведения под понятие. Например: «В конверте лежит фигура, у которой четыре прямых угла. Будет ли эта фигура квадратом?».

Метод моделирования признан наиболее перспективным в обучении математике. Доказана доступность метода моделирования даже для дошкольников. В связи с этим уже в первые дни изучения геометрического материала полезно учить детей определять геометрическую форму предметов из реального мира и схематично изображать их в виде геометрических фигур той же формы. Усложняя это задание, учить располагать предметы в пространстве с учетом их реального расположения.

Значительное место должно уделяться изучению взаимного расположения фигур относительно друг друга, рассмотрению новых фигур, которые должны получаться в результате пересечения или объединения данных фигур, выяснению факта принадлежности одной фигуры другой. Например: Дан рисунок. Какие фигуры получились в результате пересечения двух прямоугольников? Или назвать точки, которые принадлежат окружности. Совокупность таких упражнений хорошо представлена в учебниках математики по системе Л.В. Занкова. Она предусматривает выполнение следующих упражнений:

· Сравнение фигур.

· Выбор сходных фигур.

· Выделение фигур из сложного чертежа.

· Складывание равносоставленных фигур.

· Преобразование фигур.

Связь геометрии формы с геометрией меры. При изучении геометрических фигур следует достаточное внимание уделять их построению и выработке измерительных навыков. В связи с этим, учить пользоваться чертежными инструментами: линейкой, циркулем. Формировать представление о точности измерений. Включая геометрический материал в курс математики, надо своевременно формировать измерительные навыки и представления о геометрических фигурах, необходимые для использования на смежных дисциплинах (труд, природоведение).

Геометрический материал должен рассматриваться не как приложение к основному курсу арифметики, а как самостоятельный раздел математики, направленный на формирование пространственных представлений, воображения и геометрической пропедевтики. В связи с этим для изучения геометрического материала должны отводиться как часть урока (первый, второй классы), так и целые уроки (второй – четвертый классы).

Рассмотрим этапы формирования геометрических понятий. В соответствии с теорией формирования понятий, разработанной Н.Ф. Талызиной, формирование понятий, в том числе и геометрических, можно осуществлять, соблюдая следующие этапы:

· Выделение всевозможных свойств объектов (объекта).

· Отделение существенных признаков от несущественных. Этап заканчивается введением названия понятия и выделением его существенных признаков.

· Подведение под понятие.

· Выведение следствия из факта принадлежности заданной фигуры к данному понятию.

Изучение геометрического материала в начальных классах по альтернативным системам обучения характеризуется некоторыми особенностями, которые проявляются:

· В объеме геометрических сведений, подлежащих усвоению, и последовательности их изучения.

· В степени обобщения геометрических знаний, их роли в процессе обучения математике в начальной школе.

· В методах, формах и средствах, используемых для формирования геометрических представлений, понятий, чертежных и измерительных умений и навыков.

· В уровнях формируемых умений и навыков.