- 11.11.2015
- 2517
- 2
Муромский институт (филиал)
федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет имени Александра
Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
Теория вероятностей,
математическая статистика и
случайные процессы
Часть 1
Методические указания
к практическим занятиям
для студентов направления подготовки
231000.62 Программная инженерия
Составитель
А.А.Быков
Муром
2013
УДК 519.2
ББК 22.171
Т 33
Рецензент
Доктор технических наук
доцент, заведующий кафедрой САПР
Жизняков Аркадий Львович
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Муромского института (филиала)
Владимирского государственного университета
Т 33 Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: метод. указания к практическим занятиям / сост.: А.А.Быков.– Муром: Изд.-полиграфический центр МИ ВлГУ, 2012.– 51 с.– Библиогр. 9 назв.
В методических указаниях содержится в основном весь материал программы дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы», приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, включены задачи для самостоятельного решения.
Курс практических занятий рассчитан на направления подготовки 230100 «Программная инженерия», но может быть полезен лицам, применяющим вероятностные и статистические методы при решении практических задач.
УДК 519.2
ББК 22.171
ã Муромский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых», 2012
В настоящих методических указаниях помещено более 200 задач, содержание которых соответствует программе направления подготовки бакалавров «Программная инженерия». Методические указания разделены на две части: теория вероятностей и математическая статистика. В начале каждой темы приведены необходимые теоретические сведения, затем даны решения типовых задач и задачи для самостоятельного изучения. Задачи расположены в порядке постепенного возрастания трудности их решения.
При домашней подготовке студенты должны ознакомиться с теоретической частью практического занятия и рекомендованной литературой. Тематике практических занятий 1-8 посвящены книги [1-9], теоретическая часть практических занятий 9-16 рассматривается в [1, 2, 6, 7].
Тема 1. Теория вероятностей
Вероятностью появления некоторого события A называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев и обозначается
,
где m — число исходов, благоприятствующих событию A, n — общее число исходов опыта.
Относительная частота события А определяется равенством
где m – число испытаний, в которых событие А наступило; n – общее число произведённых испытаний.
Пример 1. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.
Решение. На каждой кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Поэтому пространство элементарных событий содержит 36 равновозможных исходов. Событию A благоприятствуют 11 исходов: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), поэтому
.
Пример 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани хотя бы одной из костей появится шестёрка.
Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка, …, шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6·6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.
Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестёрка, сумма выпавших очков – чётная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым – число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков):
1) 6, 2; 6 + 2 = 8, 2) 6, 4; 6 + 4 =
10, 3) 6, 6; 6 + 6 = 12, 4) 2, 6; 2 + 6 = 8,
5) 4, 6; 4 + 6 = 10.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: P = 5/36.
1. При перевозке ящика, в котором содержалось 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какая. Наудачу извлечения (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
2. На красных карточках написаны буквы у, и, я, к, ц, ф, н, на синих — буквы а, а, о, т, т, с, ч. После тщательного перемешивания, что вероятнее: с первого раза из букв на красных карточках составить слово «функция» или из букв на синих карточках слово «частота»?
Решение. Пусть событие A — наудачу составленное из 7 букв слово «функция», событие B — наудачу составленное из 7 букв слово «частота». Так как упорядочиваются два множества из 7 букв, то число всех исходов для событий A и B равно n = 7!. Событию A благоприятствует один исход m = 1, так как все буквы на красных карточках различны. Событию B благоприятствуют m = 2! · 2! исходов, так как буквы «а» и «т» встречаются дважды. Тогда P(A) = 1/7!, P(B) = (2!2!)/7!, P(B) > P(A).
3. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?
4. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".
Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Вероятность появления одного из двух несовместимых, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
P(AB) = P(A) * PA(B)
В частности, для независимых событий
P(AB) = P(A) * P(B)
Пример 1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём пять из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте (событие А).
Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трёх взятых учебников в переплёте – будет осуществлено, если произойдёт любое из следующих трёх несовместимых событий: В – один учебник в переплёте, С – два учебника в переплёте, D – три учебника в переплёте.
Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: A = B + C + D. По теореме сложения,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (*)
Найдём вероятности событий B, C и D:
Подставив эти вероятности в равенство (*), окончательно получим
Р(А) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Второй способ. События А (хотя бы
один из взятых трёх учебников имеет переплёт) и 
(ни
один из взятых учебников не имеет переплёта) – противоположные, поэтому 
(сумма вероятностей двух противоположных
событий равна единице). Отсюда 
.
Вероятность
появления события 
(ни один из взятых учебников не
имеет переплёта)
.
Искомая вероятность
.
1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
2. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
Решение. Введём обозначения событий: А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков; Аi – на выпавшей грани i-й кости (i = 1, 2, …, n) не появится 6 очков.
Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А1, А2, …, Аn, т. е. А = А1А2…Аn.
Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(Аi) = 5/6.
События Аi независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:
По условию, (5/6)n < 0,3. Следовательно, 
. Отсюда, учитывая, что log(5/6) < 0, найдём: n > 6,6. Таким образом, искомое
число игральных костей n ≥ 7.
3. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
4. По данным переписи населения
(1891 г.) Англии и Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ)
составили 5% обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья 
, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья 
, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья
. Найти связь между цветом глаз отца и
сына.
Пример. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно p1=0,4; p2=0,5; p3=0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина.
Решение. Рассмотрим событие А – ровно одно попадание в мишень. Это событие может осуществиться несколькими способами, т.е. распадается на несколько несовместных вариантов: может быть попадание при первом выстреле, промахи при втором и третьем; или же попадание при втором выстреле, промахи при первом и третьем; или, наконец, промахи при первом и втором выстрелах и попадание при третьем. Следовательно,
где A1,A2, A3 - попадание при первом, втором,
третьем выстрелах, 
, 
, 
- промах при первом, втором, третьем
выстрелах.
Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и пользуясь свойством противоположных событий, находим:
.
Вероятность
наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, …,
Аn, независимых в совокупности,
равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных
событий 
:
.
1. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: р1 = 0,1; р2 = 0,15; р3 = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причём каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.
4. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причём каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий (гипотез) B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
, (*)
где 
.
Равенство (*) называют формулой полной вероятности.
Пример. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через А событие—извлечён белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: В1 – белых шаров нет; В2 – один белый шар; В3 – два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причём по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1(А) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, PB2(А) = 2/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, PB3(А) = 3/3 = 1.
Искомую вероятность того, что будет извлечён белый шар, находим по формуле полной вероятности:
1. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
2. В каждой из двух урн содержится K=3 черных и N=4 белых шариков. Из первой урны случайным образом вынимают два шар, а потом один из них перекладывают во вторую урну. Найти вероятность того, что шар, который достали из второй урны окажется черным.
3. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдёт сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относится как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,3; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий (гипотез) B1, B2, …, Bn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса
где 
.
Пример 1. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): В1 – деталь произведена первым автоматом, причём (поскольку первый автомат производит вдвое больнее деталей, чем второй) Р(В1) = 2/3; В2 – деталь произведена вторым автоматом, причём Р(В2) = 1/3.
Условная
вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена
первым автоматом, 
.
Условная
вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена
вторым автоматом, 
.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
Искомая
вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по
формуле Бейеса равна
Пример 2. В трех ящиках – a, b и c – содержатся, соответственно, две золотые, одна золотая и одна серебряная и две серебряные монеты. Случайным образом выбирается ящик и из него произвольно вынимается монета. Монета оказалась золотой. Какова вероятность, что вторая монета в этом ящике также золотая?
Решение. Фактически нужно найти вероятность того, что монета вынута из ящика A.
Ведем полную группу событий: гипотеза А – “Монета
вынута из ящика a”; гипотеза B – “Монета
вынута из ящика b”; гипотеза C – “Монета вынута
из ящика c”. Очевидно,
что 
.
Пусть событие D означает
“Вынута золотая монета”. Тогда 
, 
, 
. Согласно формуле Байеса,
.
1. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
2. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждом. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
3. Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны р1 = 0,4, р2 = 0,3, р3 = 0,5.
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В пунктах 3.1 – 3.4 этой темы рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна
или 
где q = 1 – p.
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, – находят соответственно по формулам:
Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
Так как Р4(2) > Р6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.
1. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
2. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
3. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две—правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
Здесь
Таблица функции φ(x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция φ(x) четная, следовательно, φ(-x) = φ(x)].
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < I), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
Здесь
– функция Лапласа,
Таблица функции Лапласа для положительных значений x (0 ≤ x ≤ 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Ф(x) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф(‑x) = ‑Ф(x)].
Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение. По условию, n = 243; k = 70; р = 0,25; q = 0,75. Так как n = 243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
где 
Найдём значение x:
По таблице приложения 1 найдём φ(1,37) = 0,1561. Искомая вероятность
1. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
Пример 2. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности, где m1 =90, m2 = 110. Подставляем:
4. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.
5. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
Оценка
отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), абсолютная величина отклонения
относительной частоты появления события от вероятности появления события не
превысит положительного числа ε, приближенно равна удвоенной функции Лапласа
при 
:
Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
Решение. По условию, n = 625; p = 0,8; q = 0,2; ε = 0,04. Требуется найти вероятность 
. Воспользуемся формулой
Имеем
По таблице приложения 2 найдём Ф(2,5) = 0,4938. Следовательно, 2Ф(2,5) =2 * 0,4938 = 0,9876. Итак, искомая вероятность приближённо равна 0,9876.
1. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
2. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
4. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила ε.
Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства
причем:
а) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0;
б) если число np – q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0 + 1;
в) если число np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.
1. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
Пример. Два равносильных противника играют в шахматы. Найти наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий.
Решение. Известно, что если произведение числа испытаний n на вероятность р появления события в одном испытании есть целое число, то наивероятнейшее число
k0 = np.
В рассматриваемой задаче число испытаний n равно числу сыгранных партий 2N; вероятность появления события равна вероятности выигрыша в одной партии, т. е. p = 1/2 (по условию противники равносильны).
Поскольку
произведение 
– целое число, то искомое
наивероятнейшее число k0 выигранных партий равно N.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго — 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.
3. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появления события в этих испытаниях было равно 25?
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения X = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:
Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу
где k – число появлений события в n независимых испытаниях, λ = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.
Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
X |
1 |
3 |
6 |
8 |
|
P |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Построить многоугольник распределения.
Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие вероятности рi. Построим точки:
M1(1; 0,2), M2(3; 0,1), M3(6; 0,4), и M4(8; 0,3). Соединив эти точки
отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 2).
Рис. 5.1
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
|
a) |
X |
2 |
4 |
5 |
6 |
б) |
X |
10 |
15 |
20 |
|
|
P(X) |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
P(X) |
0,1 |
0,7 |
0,2 |
Построить многоугольник распределения.
2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
4. Партия продукции содержит К = 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что при выборке из n = 260 деталей окажется L = 5% бракованных изделий.
5. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины X – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число k0 заданных студенту дополнительных вопросов.
6. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
Указание. Принять е-3 = 0,04979.
7. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.
Решение. Из условия задачи следует (поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала), что число отказов распределено по закону Пуассона, причем требуется найти параметр λ (среднее число отказов).
Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, по условию равна 0,98, следовательно, 1 – e—λ = 0,98. Отсюда
По таблице функции e-x находим λ = 3,9. Итак, за время Т работы устройства откажет примерно четыре элемента.
б) Найти среднее число λ, бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.
Указание. Принять е-3 = 0,05.
8. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95?
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, которые обладают следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью.
Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона
Замечание. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным; в противном случае – нестационарным.
1. Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время длительностью t
можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока.
2. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.
3. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)]2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = M(X)2 – [M(X)]2.
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D(X) = npq.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
а)
|
a) |
X |
-4 |
6 |
10 |
|
б) |
X |
0,21 |
0,54 |
0,61 |
|
|
P(X) |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
|
P(X) |
0,1 |
0,5 |
0,4 |
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X иY:
а) Z = X + 2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б); Z = 3X + 4Y, M(X) = 2, M(Y) = 6.
Решение. а) Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим
M(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 · 3 = 11.
2. Используя свойства математического ожидания, доказать, что: а) M(X – Y) = M(X) – M(Y); б) математическое ожидание отклонения X – M(X) равно нулю.
3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1 = 4 с вероятностью p1 = 0,5; х2 = 6 с вероятностью p2 = 0,3 и х3 с вероятностью p3. Найти х3 и p3, зная, что M(X) = 8.
4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х1 = –1, х2 = 0, х3 = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ей квадрата: M(X) = 0,1, М(Х2) = 0,9. Найти вероятности p1, p2, p3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х3.
5. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.
Пример. Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.
Решение. Обозначим через X число опытов, в которых откажет ровно m элементов. Так как опыты независимы и вероятности интересующего нас события (в одном опыте откажет ровно m элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формула
M(X) = NP, (*)
где N – общее число опытов; Р – вероятность того, что в одном опыте окажется ровно m элементов.
Найдём вероятность Р по формуле Бернулли:
(**)
Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание:
6. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.
7. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
8. События А1, А2, … , Аn несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p1, p2, … , pn. Если в итоге испытания появляется событие Аi (i = 1, 2, …, n), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение хi, равное вероятности рi появления события Аi. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.
9. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим её возможными значениями.
10. Найти математическое ожидание дискретно случайной величины X, распределённой по закону Пуассона:
11. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.
Решение. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3X и 2Y. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим
D(Z) = D(3X + 2Y) = D(3X) + D(2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 · 5 + 4 · 9 = 69.
12. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2X + 3Y, если известно, что D(X) = 4, D(Y) = 5.
13. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
|
X |
-5 |
2 |
3 |
4 |
|
p |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
14. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
|
а) |
X |
4,3 |
5,1 |
10,6 |
б) |
Х |
131 |
140 |
160 |
180 |
|
|
p |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
р |
0,05 |
0,10 |
0,25 |
0,60 |
15. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:
В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:
Центральным
моментом порядка k случайной величины X
называют математическое ожидание величины 
:
В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:
центральный момент второго порядка равен дисперсии:
Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:
1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
а) |
X |
1 |
3 |
б) |
Х |
2 |
4 |
|
|
p |
0,4 |
0,6 |
|
р |
0,05 |
0,10 |
Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
а) |
X |
2 |
3 |
5 |
б) |
Х |
2 |
4 |
6 |
|
|
p |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
|
р |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
Найти начальные
моменты первого, второго и третьего порядков
.
3. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
а) |
X |
1 |
2 |
4 |
б) |
Х |
1 |
2 |
3 |
|
|
p |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
р |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
Найти центральные
моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков
.
Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: 
.
Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдём начальные моменты:
Найдём центральные моменты:
Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X 3 5
p 0,2 0,8
Найти центральные
моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков.
Указание. Найти предварительно начальные моменты и выразить через них центральные моменты.
4. Доказать, что центральный
момент второго порядка (дисперсия) 
меньше обычного момента второго
порядка 
при любом С ≠ М(Х).
5. Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством
6. Доказать, что центральный момент четвёртого порядка связан с начальными моментами равенством
Теорема. Вероятность того, что
отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной
величине меньше положительного числа ε, не меньше чем 
:
1. Используя неравенство Чебышева,
оценить вероятность того, что 
, если D(X) = 0,004.
2. Дано: 
и D(X) = 0,009. Используя неравенство Чебышева,
оценить ε снизу.
Пример. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.
Решение. а) Обозначим через Х дискретную случайную величину – число отказавших элементов за время Т. Тогда
Воспользуемся неравенством Чебышева:
Подставив сюда М(Х) = 0,5; D(X) = 0,475; ε = 2, получим
б) События 
и 
противоположны,
поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,
3. Вероятность появления события А в каждом испытании равна ½. Используя неравенство Чебышева, оценить вероят6ость того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.
4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
|
X |
0,3 |
0,6 |
|
P |
0,2 |
0,8 |
Используя
неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 
.
Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т. е. если ε – любое положительное число, то
В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. если ε – любое положительное число, то
5. Последовательность независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … задана законом распределения
|
Xn |
– nα |
0 |
nα |
|
P |
1/2n |
1-1/2n-1 |
1/2n |
Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?
Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.
F(х) = P(X < x).
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).
Решение. Вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a < X < b) = F(b) – F(a). Положив a = 0, b = 1/3, получим
P(0 < X < 1/3) = F(1/3) – F(0) =
= [(3/4)x + 3/4]x = 1/3 – [(3/4)x + 3/4]x = 0 = 1/4.
1. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.
2. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (1/π) arctg(x/2). Найти возможные значения х1, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х в результате испытания примет значение, большее х1.
3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
|
X |
2 |
4 |
7 |
|
P |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.
4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
|
X |
3 |
4 |
7 |
10 |
|
P |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.
Плотностью
распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную
от функции распределения: 
.
Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством
Зная плотность
распределения, можно найти функцию распределения 
Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
Найти плотность распределения f(x).
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
Заметим, что при х = 0
производная 
не существует.
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
Найти плотность распределения f(x).
2. Непрерывная случайная величина Х заданная плотностью распределения f(x) = (3/2)sin 3x в интервале (0, π/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π/6, π/4).
3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения F(x).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения F(x).
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством
где f(х) – плотность распределения случайной величины X. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а, b), то
Модой М0(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.
Медианой Ме(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством
.
Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством
или равносильным равенством
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:
Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины X определяется равенством
Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины X определяется равенством
Пример. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0, 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. Используем формулу 
Подставив a = 0, b = 1, f(x) = 2x, получим
.
1. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2)x в интервале (0, 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
2. Случайная величина X в интервале (– с, с)
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание
величины X.
3. Случайная величина X задана плотностью вероятности
(распределение Лапласа) 
. Найти математическое
ожидание X.
4. Найти математическое ожидание случайной величины X, заданной функцией распределения
5. Случайная величина Х,
возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения 
. Найти математическое ожидание величины X.
6. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2 cos 2x в интервале (0, π/4); вне этого интервала f(x) = 0. Найти: а) моду; б) медиану Х.
7. Случайная величина X в интервале (2, 4)
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание
и медиану величины X.
8. Случайная величина X в интервале (3, 5)
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое
ожидание и медиану величины X.
9.
Случайная величина X в интервале (0, π)
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала f(x) = 0. Найти
D(X).
10. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения
11. Случайная величина X в интервале (0, π)
задана плотностью распределения 
; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию функции Y = φ(X) = X2, не находя предварительно плотности
распределения Y.
12. Случайная величина X задана плотностью распределения 
при x ≥ 0; f(x) = 0 при x < 0. Найти: а) математическое ожидание;
б) дисперсию Х.
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения:
Решение. Найдем плотность распределения
Найдем математическое ожидание:
.
Найдем дисперсию: 
.
Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величиной X, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x) = 1/(b – a); вне этого интервала f(x) = 0.
1. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
2. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределённой в интервале (а, b).
Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b).
Решение. Используем формулу
.
Подставив f(x) = 1/(b – a), М(Х) = (a + b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:
В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины R, распределённой равномерно в интервале (0, 1), соответственно равны:
3. Диаметр круга х измерен приближенно, причем a ≤ x ≤ b. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение Х.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β),
где 
–
функция Лапласа.
Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:
1. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно a = 3 и среднее квадратическое отклонение σ = 2. Написать плотность вероятности X.
2. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(X) = 3, D(Х) = 16.
3.
Нормально распределённая случайная величина Х
задана плотностью 
Найти математическое ожидание и
дисперсию Х.
4. Дана функция распределения
нормированного нормального закона 
Найти плотность
распределения f(x).
Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
Решение. Воспользуемся формулой
Подставив α = 12, β = 14, а = 10 и σ = 2, получим P(12 < X < 14) = Ф(2) – Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф(2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность P(12 < X < 14) = 0,1359.
5. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратичесим отклонением σ = 10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
6. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратичесим отклонением σ = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X и записывают Y = j(X).
Если X – дискретная случайная величина и функция Y = j(X) монотонна, то различным значениям X соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений X и Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства
yi = j(xi),
где xi – возможные значения X; вероятности возможных значений Y находят из равенства
P(Y = yi) = P(X = xi).
Если же Y = j(X) – немонотонная функция, то, вообще говоря, Различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y (так будет, если возможные значения X попадут в интервал, в котором функция j(X) не монотонна). В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений X, при которых Y принимает одинаковые значения. То есть, вероятность повторяющегося значения Y равна сумме вероятностей тех возможных значений X, при которых Y принимает одно и то же значение.
Если X – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(х), и если у = j(х) – дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой x = y(у), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства
g(y) = f[y(y)] ∙ [y'(y)].
Если функция у = j(х) в интервале возможных значений X не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция j(х) монотонна, и найти плотности распределений gi(у) для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g(у) в виде суммы:
Например, если функция j(х) монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны y1(у) и y2(у), то
Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
X |
1 |
3 |
5 |
|
p |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Найти закон распределения случайной величины Y = 3Х.
Решение. Найдем возможные значения величины Y = 3X. Имеем: y1=3∙1=3; у2=3∙3=9; у3=3∙5=15. Видим, что различным возможным значениям X соответствуют различные значения Y. Это объясняется тем, что функция у=j(х)=3х монотонна. Найдем вероятности возможных значении Y. Для того чтобы Y=у1= 3 достаточно, чтобы величина X приняла значение х1=1. Вероятность же события Х=1 по условию равна 0,4; следовательно, и вероятность события Y=у1=3 также равна 0,4.
Аналогично получим вероятности остальных возможных значений Y:
p(Y = 9) = p(Х = 3) = 0,1;
p(Y = 15) = p(Х = 5) = 0,5.
Напишем искомый закон распределения Y:
|
Y |
3 |
9 |
15 |
|
p |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
X |
3 |
6 |
10 |
|
p |
0,2 |
0,1 |
0,7 |
Найти закон распределения случайной величины Y=2X+1.
2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
X |
-1 |
-2 |
1 |
2 |
|
p |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Найти закон распределения случайной величины Y=X2.
3. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
X |
p/4 |
p/2 |
3 p/4 |
|
p |
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Найти закон распределения случайной величины Y=sin(X).
4. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a, b). Найти плотность распределения случайной величины Y=3X.
5. В прямоугольной системе координат xOy из точки A(4,0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Oy. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты y точки пересечения проведенного луча с осью Oy.
6. Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-p/2, p/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=sinX.
7. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 2p). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=cosX.
8. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным a, и средним квадратическим отклонением, равным s. Доказать, что линейная функция Y=AX+B также распределена нормально, причем M(Y)=Aa+B, s(Y)=|A|s.
9. Задана плотность 
нормально распределенной случайной
величины X. Найти плотность
распределения g(y) случайной величины Y=X2.
10. Случайная величина X задана плотность распределения f(x)=(1/2)sinx в интервале (0, p); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=j(X)=X2, определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y.
11. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2)sinx в интервале (0, p); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y=j(X)=X2, используя плотность распределения g(y).
12. Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y=3X+2.
13. Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y=-(2/3)X+2.
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y и пишут
Z = j(X, Y).
Если X и Y – дискретные независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и Y.
Если X и Y – непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределений g(z) суммы Z = X+Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (‑∞, ∞) одной формулой) может быть найдена по формуле
либо по равносильной формуле
где f1 и f2 – плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z = X+Y находят по формуле
либо по равносильной формуле
В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2(у) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X + Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по z:
g(z) = G'(z).
Если X и Y – независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2(у), то вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения:
Пример. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:
|
X |
1 |
3 |
|
Y |
2 |
4 |
|
p |
0,3 |
0,7 |
P |
0,6 |
0,4 |
Найти распределение случайной величины Z=X+Y.
Решение. Для того чтобы составить распределение величины Z=X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.
Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:
z1 = 1+2 = 3; z2 = 1+4 = 5; z3 = 3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1=l и величина Y – значение y1=2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X и Y независимы, то события Х = 1 и Y = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z = 3) по теореме умножения равна 0,3∙0,6=0,18.
Аналогично найдем:
p(Z = 1+4 = 5) = 0,3∙0,4=0,12; p(Z = 3+2 = 5) = 0,7∙0,6=0,42;
p(Z = 3+4 = 7) = 0,7∙0,4=0,28.
Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z2 = 5, Z = z3 = 5 (0,12+0,42 = 0,54):
|
Z |
3 |
5 |
7 |
|
p |
0,18 |
0,54 |
0,28 |
Контроль: 0,18 + 0,54 + 0,28=1.
1. Дискретные случайные величины X и Y заданы распределениями:
|
X |
4 |
10 |
|
Y |
1 |
7 |
|
P |
0,7 |
0,3 |
P |
0,8 |
0,2 |
Найти распределение случайной величины Z = X + Y.
2. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:
f1(x) = e-x (0 ≤ x < ∞), f2(y) = (1/2)e-y/2 (0 ≤ y < ∞).
Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y.
3. Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y:
f1(x)=1/2 в интервале (0, 2), вне этого интервала f1(x)=0;
f2(y)=1/2 в интервале (0, 2), вне этого интервала f2(y)=0;
4. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пос. для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999. – 400 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пос. для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999. – 479 с.
3. Дедкис И.С. и др. Сборник задач по теории вероятностей. – Ленинград: ЛВИА им. Можайского. – 1963. – 208 с.
4. Бричикова Е.А., Гусак А.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – М.: Тетра-Системс. 2007.-288 с.
5. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. Учеб. пос. – М.: Просвещ. 1985. – 160 с.
6. Краснов М.Л. Вся высшая математика. Том 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр. Учебник для вузов.-М.: УРСС. 2001.-296 с.
7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика - 3 изд.. – Юнити-дана. 2007.-551 с.
8. Севостьянов Б.А. и др. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Наука. 1980. – 224 с.
9. Соколов Г.А., Чистяков Н.А. Теория вероятностей. Учебник. – М.: Экзамен. 2005.-416 с.
Таблица значений функции 
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
|
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
|
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
|
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
|
0,4 |
3683 |
3668 |
3652 |
2637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
|
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
|
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
|
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3064 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
|
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
|
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2168 |
2444 |
|
1,0 |
0,242 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
|
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
|
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1738 |
|
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1510 |
|
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
|
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
|
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
|
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
|
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0009 |
|
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
|
2,0 |
0,054 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
|
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
|
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
|
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
|
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
|
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
|
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
|
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
|
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
|
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0043 |
|
3,0 |
0,0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
|
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
|
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
|
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
|
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
0011 |
0011 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
|
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
|
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0004 |
|
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
|
3,8 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
|
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0001 |
0001 |
|
Таблица значений функции |
|
|
x |
F(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
|
0,00 |
0,0000 |
0,32 |
0,1255 |
0,64 |
0,2389 |
0,96 |
0,3315 |
|
0,01 |
0,0040 |
0,33 |
0,1293 |
0,65 |
0,2422 |
0,97 |
03340 |
|
0,02 |
0,0080 |
0,34 |
0,1331 |
0,66 |
0,2454 |
0,98 |
0,3365 |
|
0,03 |
0,0120 |
0,35 |
0,1368 |
0,67 |
0,2486 |
0,99 |
0,3389 |
|
004 |
0,0160 |
0,36 |
0,1406 |
0,68 |
0,2517 |
1,00 |
03413 |
|
0,05 |
0,0199 |
0,37 |
0,1443 |
0,69 |
0,2549 |
1,01 |
0,3438 |
|
0,06 |
0,0239 |
0,38 |
0,1480 |
0,70 |
0,2580 |
1,02 |
0,3461 |
|
0,07 |
0,0279 |
0,39 |
0,1517 |
0,71 |
0,2611 |
1,03 |
0,3485 |
|
0,08 |
0,0319 |
0,40 |
0,1554 |
0,72 |
0,2642 |
1,04 |
03508 |
|
0,09 |
0,0359 |
0,41 |
0,1591 |
0,73 |
0,2673 |
1,05 |
0,3531 |
|
0,10 |
0,0398 |
0,42 |
0,1628 |
0,74 |
0,2703 |
1,06 |
03554 |
|
0,11 |
0,0438 |
0,43 |
0,1664 |
0,75 |
0,2734 |
1,07 |
03577 |
|
0,12 |
0,0478 |
0,44 |
0,1700 |
0,76 |
0,2764 |
1,08 |
03599 |
|
0,13 |
0,0517 |
0,45 |
0,1736 |
0,77 |
0,2794 |
1,09 |
03621 |
|
0,14 |
0,0557 |
0,46 |
0,1772 |
0,78 |
0,2823 |
1,10 |
03643 |
|
0,15 |
0,0596 |
0,47 |
0,1808 |
0,79 |
02852 |
1,11 |
03665 |
|
0,16 |
0,0636 |
0,48 |
0,1844 |
0,80 |
0,2881 |
1,12 |
0,3686 |
|
0,17 |
0,0675 |
0,49 |
01879 |
0,81 |
0,2910 |
1,13 |
0,3708 |
|
0,18 |
0,0714 |
0,50 |
0,1915 |
0,82 |
0,2939 |
1,14 |
0,3729 |
|
0,19 |
0,0753 |
0,51 |
0,1950 |
0,83 |
0,2967 |
1,15 |
03749 |
|
0,20 |
0,0793 |
0,52 |
0,1985 |
0,84 |
0,2995 |
1,16 |
0,3770 |
|
0,21 |
0,0832 |
0,53 |
0,2019 |
0,85 |
0,3023 |
1,17 |
0,3790 |
|
0,22 |
0,0871 |
0,54 |
0,2054 |
0,86 |
0,3051 |
1,18 |
0,3810 |
|
0,23 |
0,0910 |
0,55 |
0,2088 |
0,87 |
0,3078 |
1,19 |
0,3830 |
|
0,24 |
0,0948 |
0,56 |
0,2123 |
0,88 |
0,3106 |
1,20 |
0,3849 |
|
0,25 |
0,0987 |
0,57 |
0,2157 |
0,89 |
0,3133 |
1,21 |
03869 |
|
0,26 |
0,1026 |
0,58 |
0,2190 |
0,90 |
0,3159 |
1,22 |
0,3883 |
|
0,27 |
0,1064 |
0,59 |
0,2224 |
0,91 |
0,3186 |
1,23 |
0,3907 |
|
0,28 |
0,1103 |
0,60 |
0,2257 |
0,92 |
0,3212 |
1,24 |
0,3925 |
|
0,29 |
0,1141 |
0,61 |
0,2291 |
0,93 |
0,3238 |
1,25 |
0,3944 |
|
0,30 |
0,1179 |
062 |
0,2324 |
0,94 |
0,3264 |
|
|
|
0,31 |
0,1217 |
0,63 |
0,2357 |
0,95 |
0,3289 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,26 |
0,3962 |
1,59 |
0,4441 |
1,92 |
0,4726 |
2,50 |
0,4938 |
|
1,27 |
0,3980 |
1,60 |
0,4452 |
1,93 |
0,4732 |
2,52 |
0,4941 |
|
1,28 |
0,3997 |
1,61 |
0,4463 |
1,94 |
0,4738 |
2,54 |
0,4945 |
|
1,29 |
0,4015 |
1,62 |
0,4474 |
1,95 |
0,4744 |
2,56 |
0,4948 |
|
1,30 |
0,4032 |
1,63 |
0,4484 |
1,96 |
0,4750 |
2,58 |
0,4951 |
|
1,31 |
0,4049 |
1,64 |
0,4495 |
1,97 |
0,4756 |
2,60 |
0,4953 |
|
1,32 |
0,4066 |
1,65 |
0,4505 |
1,98 |
0,4761 |
2,62 |
0,4956 |
|
1,33 |
0,40,82 |
1,66 |
0,4515 |
1,99 |
0,4767 |
2,64 |
0,4959 |
|
1,34 |
0,4099 |
1,67 |
0,4525 |
2,00 |
0,4772 |
2,66 |
0,4961 |
|
x |
F(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
|
1,35 |
0,4115 |
1,68 |
0,4535 |
2,02 |
0,4783 |
2,68 |
0,4963 |
|
1,36 |
0,4131 |
1,69 |
0,4545 |
2,04 |
0,4793 |
2,70 |
0,4965 |
|
1,37 |
0,4147 |
1,70 |
0,4554 |
2,06 |
0,4803 |
2,72 |
0,4967 |
|
1,38 |
0,4162 |
1,71 |
0,4564 |
2,08 |
0,4812 |
2,74 |
0,4969 |
|
1,39 |
0,4177 |
1,72 |
0,4573 |
2,10 |
0,4821 |
2,76 |
0,4971 |
|
1,40 |
0,4192 |
1,73 |
0,4582 |
2,12 |
0,4830 |
2,78 |
0,4973 |
|
1,41 |
0,4207 |
1,74 |
0,4591 |
2,14 |
0,4838 |
2,80 |
0,4974 |
|
1,42 |
0,4222 |
1,75 |
0,4599 |
2,16 |
0,4846 |
2,82 |
0,4976 |
|
1,43 |
0,4236 |
1,76 |
0,4608 |
2,18 |
0,4854 |
2,84 |
0,4977 |
|
1,44 |
0,4251 |
1,77 |
0,4616 |
2,20 |
0,4861 |
2,86 |
0,4979 |
|
1,45 |
0,4265 |
1,78 |
0,4625 |
2,22 |
0,4868 |
2,88 |
0,4980 |
|
1,46 |
0,4279 |
1,79 |
0,4633 |
2,24 |
0,4875 |
2,90 |
0,4981 |
|
1,47 |
0,4292 |
1,80 |
0,4641 |
2,26 |
0,4881 |
2,92 |
0,4982 |
|
1,48 |
0,4306 |
1,81 |
0,4649 |
2,28 |
0,4887 |
2,94 |
0,4984 |
|
1,49 |
0,4319 |
1,82 |
0,4656 |
2,30 |
0,4893 |
2,96 |
0,4985 |
|
1,50 |
0,4332 |
1,83 |
0,4664 |
2,32 |
0,4898 |
2,98 |
0,4986 |
|
1,51 |
0,4345 |
1,84 |
0,4671 |
2,34 |
0,4904 |
3,00 |
0,49865 |
|
1,52 |
0,4357 |
1,85 |
0,4678 |
2,36 |
0,4909 |
3,20 |
0,49931 |
|
1,53 |
0,4370 |
1,86 |
0,4686 |
2,38 |
0,4913 |
3,40 |
0,49966 |
|
1,54 |
0,4382 |
1,87 |
0,4693 |
2,40 |
0,4918 |
3,60 |
0,499841 |
|
1,55 |
0,4394 |
1,88 |
0,4699 |
2,42 |
0,4922 |
3,80 |
0,499928 |
|
1,56 |
0,4406 |
1,89 |
0,4706 |
2,44 |
0,4927 |
4,00 |
0,499968 |
|
1,57 |
0,4418 |
1,9 |
0,4713 |
2,46 |
0,4931 |
4,50 |
0,499997 |
|
1,58 |
0,4429 |
1,91 |
0,4719 |
2,48 |
0,4934 |
5,00 |
0,499997 |
Общие указания по выполнению практических заданий
Список рекомендуемых источников
Учебное издание
Теория вероятностей,
математическая статистика и
случайные процессы
Методические указания к практическим занятиям
для студентов направления подготовки
230100.62 Программная инженерия
Ответственный за выпуск –
заведующий кафедрой систем автоматизированного проектирования,
доцент Жизняков Аркадий Львович
Составитель
Артём Александрович Быков
Подписано в печать 17.01.2013. Формат 60x84/16.
Бумага для множит. техники. Гарнитура Таймс. Печать ризография.
Усл. печ.л. 3,56. Уч.-изд.л. 2,08. Тираж 100 экз. Заказ №1584.
Муромский институт (филиал)
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет»
Издательско-полиграфический центр
Адрес: 602264, Владимирская обл., г. Муром, ул. Орловская, 23
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 663 340 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Быков Артем Александрович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.