Инфоурок Другое Рабочие программыТеориялық механика пәнінен лекциялар жинағы

Теориялық механика пәнінен лекциялар жинағы

Скачать материал

 

Кіріспе

 

Заттар қорғалыстарын зерттейтін ғылымдар жаратылыстану деп аталатыны белгілі десек, теориялық механиканы жаратылыстану ғылымдарының саласына жатқызуға болады. Өйткені, ол механикалық қозғалыстың ең жалпы заңдылықтарын зерттеп, анықтайды.

Теориялық механиканың негізгі мақсаты – күштер әсерлерінен туындайтын денелердің механикалық қозғалыстарының ең жалпы заңдылықтарын анықтау, олардың іс жүзінде қолдану жолдарын көрсету болып табылады.

Механикалық қозғалыс деп дененің өзге денелерге қарағандағы кеңістіктегі орнының уақыт өтуіне байланысты өзгеріп отыруын айтамыз. Механикада денені қозғалысқа келтіруші немесе оның қозғалысын өзгертуші физикалық себепті күш деп атайды. Күш – материялық денелердің өзара механикалық әсерлесулерінің өлшемі ретінде алынады.

Қысқаша айтқанда, механика – материялық денелердің қозғалыстары және әсерлесулері туралы ғылым.

Механикалық қозғалыстың табиғатта да, техникада да өте жиі кездесетінін ескерсек, қазіргі жаратылыстану мен техника үшін теориялық механиканың мәні қандай зор екені өзінен өзі түсінікті болады. Бұдан теориялық механиканы қазіргі техниканың ғылыми негізі деп айта аламыз.

Теориялық механика өмір (өндіріс, техника) талабынан келіп шыққан, онымен бірге дамыған ғылым болып табылады.

Галилей мен Ньютон негізін салған классикалық механика біздің өмірімізде кең түрде қолданылады.

Теориялық механика үш бөлімнен тұрады: статика, кинематика, динамика.

 

1. Статика

1.1. Статиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары

1.1.1. Статиканың негізгі ұғымдары

 

Статикада абсолют қатты денеге әсер ететін күштердің қасиеттері және күштер әсерлерінен мұндай денелердің тепе-теңдікте болу шарттары қарастырылады. Механиканың статика бөлімінде материялық денелер абсолют қатты дене моделімен беріледі.

Статикадағы негізгі ұғымдардың бірі болып келетін ұғым, ол күш туралы ұғым. Материялық денелердің механикалық өзара әсерлесуінің өлшемі ретінде алынатын шаманы механикада күш деп атайды.

Күш векторлық шама: шамасына, бағытына және түсу нүктесіне тәуелді.

Күштің сан мәні бірлік күшпен салыстыру арқылы анықталады. Механикада күштің негізгі бірліктері ретінде физикалық шамаларды өлшеу бірліктерінің халықаралық жүйесінде (БХЖ) 1 Ньютон () және   бірліктердің техникалық жүйесінде 1 килограмм күші (1кГ) алынады. Денеге әсер ететін  күші бағытталған АВ кесіндісімен бейнеленеді (1.1-сурет).

Статикада тек қана абсолют қатты дене тепе-теңдігі қарастырылады. Сол себепті осыдан былайғы жерде, күштерді тек абсолют қатты денеге түсірілген күштер деп есептейтін боламыз.

Берілген бір қатты денеге немесе механикалық жүйеге әсер ететін күштер жиынтығын күштер жүйесі деп атаймыз.

Күштердің нөлге эквивалент жүйесі теңгерілген күштер жүйесі деп аталады:

~0.

Егер (1,2,…,n) және  күштер жүйесінің әрқайсысы тыныштықтағы еркін қатты денені бірдей қозғалысқа келтіретін болса, онда оларды эквивалент күштер жүйесі деп атаймыз:

(1, 2,…, n)~.

Қатты денеге түсірілген (1,2,…..,n) күштер жүйесі бір  күшке эквивалент болса, онда  күшін бұл күштер жүйесінің тең әсерлі күші деп атаймыз.

(1, 2,…, n)~.

1.1.2. Статиканың аксиомалары

 

Статика аксиомалары Галилей – Ньютонның жалпы зандарынан туындайды. Олар механикаға толығынан негіз бола алмайды, бірақ олар статикада қарастырылатын барлық мәселелерді қорытып шығаруға әбден жеткілікті.

1 аксиома. Еркін абсолют қатты денеге түсірілген екі күш тепе- тендікте болу үшін олардың модульдері тең болуы және бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті (1.2 сурет).

1.2-суретте абсолют қатты денелерге түсірілген, бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған, шамалары тең мен күштері көрсетілген. Демек, мұндағы екі күш нөлге эквивалент күштер жүйесін береді:

~0,       .

Сонымен, екі күш әсер ететін еркін қатты дене тепе-теңдікте болу үшін ол күштердің сан мәндері тең, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталулары керек.

2 аксиома. Күштердің кез келген жүйесіне күштердің нөлге эквивалент жүйесін қосуға немесе одан оны алып тастауға болады, бұдан берілген жүйесінің қатты денеге әсері  өзгермейді.

Бірінші және екінші аксиомаларды пайдалана отырып, абсолют қатты денеге түсірілген күштің сырғымалы вектор екенін көрсете аламыз. Ол үшін мына теореманы дәлелдейік.

1.2-сурет

 

Теорема: сан шамасын сақтай отырып күштің түсу нүктесін өзінің әсер ету сызығының бойымен бір орнынан екінші бір орынға көшіруге болады, одан күштің абсолют қатты денеге әсері өзгермейді.

 күші алғашқыда қатты дененің А нүктесіне түсірілген болсын

(1.2,б-сурет). Күштің әсер ету сызығының қандайда бір В нүктесіне шамалары тең, АВ түзуімен қарама-қарсы бағытталған  және  екі күш түсірейік. Бұл екеуінің де сан мәні, берілген күш -тің сан мәніне тең болсын:

Сондықтан В нүктесіндегі екі күш нөлге эквивалент болатын жүйе құрады:

~0.

Екінші аксиома бойынша:

                                             ~.                                   (а)

Осы өрнектегі үш күштен тұратын жүйеден  және  екі күштен тұратын жүйені жекелеп алсақ, оның 1-аксиома бойынша нөлге эквивалент екенін көреміз:

~0.

2-аксиома бойынша күштердің нөлге эквивалент жүйесін берілген (а) жүйеден алып тастауға болады:

                                            ~.                                   (б)

Ал (а) және (б) өрнектерін салыстырудан мынау шығады:

~.

Бұл теореманы дәлелдейді. Демек, абсолют қатты денеге әсер етуші күштер сырғымалы векторлар болып табылады. Мұндай векторлардың бастапқы нүктелерін олардың әсер ету сызықтарының кез келген нүктесіне көшіруге болады.

3 аксиома. Қатты дененің бір нүктесіне түсірілген екі күшті бір теңәсерлі күшпен ауыстыруға болады. Теңәсерлі күш берілген күштерден құрылған параллелограмм диагоналімен анықталады да сол нүктеге түсіріледі (1.3-сурет).

Қатты дененің А нүктесіне түсірілген

 және  күштерінен параллелограмм құрамыз да, оның диагональін табамыз. Осы параллелограммның диагональі берілген күштердің теңәсерлі күшін бейнелейді:

~,     .

4 аксиома. Екі дене бірі-біріне әр уақытта шамалары өзара тең, бір түзудің бойымен қарама–қарсы бағытталған күштермен әсер етеді. (1.4-сурет).

Бұл аксиоманы басқаша Ньютонның 3-заңы деп те атайды.

1.4-сурет

5 аксиома. Тепе–теңдіктегі кез келген механикалық жүйеге қосымша жаңа байланыстар жасауға болады. Бұдан оның бастапқы тепе-теңдіктегі жағдайы өзгермейді.

Бұл аксиоманы қатаю принципі деп те атауға болады.

 

1.1.3. Байланыстар. Байланыстар реакциялары.

Байланыстар аксиомасы

 

Кеңістікте кез келген бағытта қозғалыс жасай алатын денені еркін дене деп атадық. Егер дене кейбір бағыттарда қозғалыс жасай алмайтын болса, онда ол еркін емес дене деп аталады. Дене қозғалысының еркінділігін шектейтін шарттарды байланыстар деп атаймыз. Байланыстар туралы ұғым - механикадағы күрделі ұғымдардың бірі, оның толық түрде динамикада қарастырамыз. Статикада қатты денеге қойылатын байланыстар көбінесе қозғалмайтын беттер, сызықтар, нүктелер және иілгіш жіптер түрінде кездеседі.

Байланыс ролін атқаратын дене берілген денеге бір күшпен қарсы әсер етеді де оның қозғалысын шектейді. Бұл күшті байланыс реакциясы дейміз. Байланыс реакциясы, байланысты ойша алып тастаған кездегі мүмкін болатын дене қозғалысының бағытына қарама-қарсы бағытталады. Қатты дене статикасында еркін қатты дененің тепе-теңдігі қарастырылады. Көп жағдайларда тепе-теңдігі қарастырылатын дене басқа денелердің қоршауында болады, олардың механикалық әсерлері бұл дененің еркіндігін шектейді. Берілген дене қозғалысының еркіндігін шектейтін өзге денелер бұл дене үшін байланыстар болып табылады. Демек, статикада байланыс деп, берілген дененің кейбір бағыттардағы қозғалыстарын болдырмай, оларға шектеу жасайтын тыныштықтағы денені айтады. Абсолют қатты дене статикасында байланыс рөлін жіп, сырық, бекітілген нүкте, топса және басқада түрдегі қозғалмайтын денелер атқарады.

6-аксиома. Байланыстар аксиомасы. Еркін емес денедегі байланыстарды, әсерлерін реакциаларымен ауыстыру арқылы, ойша алып тастауға болады. Содан кейін бұл дене  берілген (актив) күштер мен байланыстар реакцияларының әсеріндегі еркін дене ретінде қарастырылады.

Статика есептерінде кездесетін байланыстарды негізгі төрт түрге бөлуге болады: 1). Денелердің өзара түйісуі; 2). Денелерді топсалармен байланыстыру; 3). Сырықтар және иілгіш байланыстар; 4). Қазықша байланыстар.

Осы айтылған байланыстардың кейбіреулерінің реакцияларының бағыттары туралы мәліметтер берейік.

1). Идеал тегіс, жазықтық, бет немесе қисық. Олар 1.5 (а,б), 1.6 (а,б)-суреттерінде бейнеленген. Бірінші жуықтауда, үйкелісін елемеуге болатын тіреу рөліндегі В денесінің бетін идеал тегіс (жылтыр) бет дейміз. Мұндай идеал тегіс беттің немесе жазықтықтың, сызықтың, нүктенің реакциясы , екі дененің түйіскен нүктесіндегі ортақ жанамаға нормаль бағытталады.

2). Иілгіш байланыс (жіп, арқан, шынжыр). Бұл түрдегі байланыстардың реакциялары байланыстардың бойымен олардың бекітіліген нүктесіне қарай бағытталады  (1.7, 1.8- суреттер).

                                                                          

 

                1.5-сурет                                               1.6-сурет

 

 

                    1.7-сурет            1.8-сурет                              1.9-сурет

 

3) Салмақсыз сырық. Өзіне түсірілген жүктемемен салыстырғанда салмағын ескермеуге болатын сырықты салмақсыз сырық дейміз. Қандайда құрылым құрамындағы денелер бір–бірімен, ұштары топсалармен бекітілген салмақсыз сырықтармен жалғастырылған болса, онда мұндай сырықтардың реакциялары сырықтардың бойымен бағытталады. (9 а, б – суреттер). Мұнда сырықтар реакциялары .

 

4) Денелердің бір–бірімен жылжымалы топсамен және қозғалмайтын топсамен бекітілуі. Мұндай байланыстар 1.10,а, б, в-суреттерде көрсетілген, 1.10-суреттегі байланыс жылжымалы топса немесе каток деп те аталады. Оның реакциясы тіреу жазықтығына перпендикуляр бағытталады.

10,б-суретте қозғалмайтын, цилиндрлік топса көрсетілген. Қозғалмайтын, сфералық топсаның (10,в-сурет) реакциясының, бағыты да, шамасы да белгісіз. Оның тек түсу нүктесі, яғни бастапқы нүктесі О–ны көрсете аламыз.

 

1.10-сурет

 

1.2. Жинақталатын күштер жүйесі

1.2.1. Күштерді қосудың геометриялық әдісі. Жинақталатын күштер жүйесінің геометриялық тепе-теңдік шартты

 

Абсолют қатты дененің  нүктелеріне, әсер ету сызықтары бір О нүктесінде қиылысатын,  күштері түсірілсін дейік (1.11-сурет).

Мұндай күштер жиынтығы жинақталатын күштер жүйесі деп аталады. Жинақталатын күштер жүйесі бір күшке эквивалент, яғни оның әр уақытта да теңәсерлі күші болады.

Теорема: Жинақталатын күштер жүйесінің теңәсерлі күші жүйедегі күштердің геометриялық қосындысына тең болады да оның әсер ету сызығы күштер түзулерінің қиылысатын О нүктесінен өтеді.

Теореманы дәлелдеу үшін 1.11-суреттегі күштердің бастапқы нүктелерін күштер әсер ететін түзулер бойымен сырғыта отырып,  нүктелерінен  нүктесіне келтіреміз. Сонда жинақталатын күштер жүйесі бір нүктеге түсірілген күштер жүйесіне келтіріледі. О нүктесіне түсірілген күштерге біртіндеп күштер параллелограмының заңын қолданамыз.  және  күштерінің тең әсерлі күші бұл заң бойынша, осылардың қосындысына тең:

                           ~,       .                        (1.1)

Одан кейін  және  күштерінен параллелограм құру арқылы  күшін табамыз (1.12-сурет):

~,    .

Келесіде  және  күштерінен параллелограмм құрамыз да  күшін табамыз:

~,    .

 күші  күштерінің тең әсерлі күші. Осы ретпен соңғы  күшіне дейін жетеміз. Бұл соңғы күшті алдыңғы  күштердің тең әсерлі күшімен параллелограмм заңы бойынша қоссақ, жүйенің тең әсер етуші  күшін аламыз:

        ~,   .  (1.2)

Осылайша күштер параллелограмы заңын біртіндеп қолдану арқылы жинақталатын күштердің бір күшке эквивалент екенін дәлелдедік. Бұл күш берілген жүйенің тең әсерлі күші деп аталады:

                                             .                                         (1.3)

1.12-сурет тең әсерлі  күшін, күштер көпбұрышыді құру арқылы табуға болатынын көрсетеді.

1.12-сурет

 

Абсолют қатты дене өзінің бастапқы тепе-теңдік күйін сақтап қалу үшін  тең әсерлі күштің нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті:

                               ,   яғни  .                                   (1.4)

(1.4) теңдігі жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдікте болуының векторлық түріндегі шартын өрнектейді.

Жоғарыда жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін күштер көпбұрышын құру арқылы табуға болады дедік.  болған жағдайда көпбұрыштағы бірінші күштің бастапқы нүктесі , ондағы соңғы нүктесі  бір-бірімен дәл түсіп беттеседі (1.12-сурет). Демек, күштер көпбұрышы тұйық көпбұрыш болады.

Сонымен жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдікте болуының геометриялық түрде айтылуы мынадай:

Жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін жүйе күштерінен құрылатын көпбұрыш тұйық болуы қажет және жеткілікті.

Мысал: Салмағы  біртекті цилиндр горизонталь жазықтықтың бетінде жатыр. Әсер етуші сызығы ауырлық центрі арқылы өтетін  вертикаль күш цилиндрді үстінен қысады.

Цилиндрдің горизонталь жазықтықты қысатын күшін табу керек.

1.13-сурет.

Шешуі. 1. Цилиндрге бір түзудің бойында түсірілген  салмақ күшін және  қысым күшін көрсетеміз.

2. Денені байланыстан босатамыз, оның әсерін реакция күшімен ауыстырамыз. Реакция күші  жазықтыққа перпендикуляр жоғары бағытталады.

3. Осы күштердің тепе-теңдік шартын жазамыз:

Күштерге параллель өске проекциялап алатынымыз:

 немесе

 

1.2.2 Үш күш туралы теорема

 

Теорема: Егер қатты денеге әсер етіп тұрған өзара параллель емес үш күштің жазық жүйесі тепе-теңдікте болса, онда бұл күштердің әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады.

Қатты дененің  нүктелеріне түсірілген  күштері берілсін делік (1.14-сурет). Бұлардың бәрі де бір жазықтықта жатыр, олар өзара параллель емес. Бір-біріне параллель болып келмеген және бір жазықтықта жатқандықтан, күштердің екеуінің әсер ету сызықтары қалайда қиылысуы тиіс. Мысалы  және  күштерінің әсер ету сызықтары  нүктесінде қилысатын болсын. Бұл  екі күшті түсу  және  нүктелерінен,  нүктесіне күштер сызықтары бойымен сырғыта отырып көшірейік. Бір нүктедегі екі күшті қосу арқылы, сол  нүктесіне түсірілген бір күш аламыз:

~.

Олай болса:

~.

Теореманың шарты бойынша:

~0.

Сондықтан:

~0.

Ал екі күш тепе-теңдікте болу үшін бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталулары қажет. Олай болса  күшінің де әсер ету сызығы О нүктесінен өтуі тиісті. Сонымен теореманы дәлелдедік.

Мысал. Салмағы ға тең жүк, суретте көрсетілгендей С нүктесіне ілінген. А, В және С нүктелерінде сырықтар топсалармен бекітілген. АС және ВС сырықтарының реакцияларын табу керек (1.15,а-сурет).

Берілегені:

Анықтау керек:  

Шешуі: 1. Нүкте деп аталатын, С денесінің тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. С нүктесіне түсірілген актив күш .

3. С нүктесін байланыстардан босатамыз. АС, ВС сырықтары дағы байланыстар. Бұлардың реакцияларын  деп белгілейміз.  күшінің әсерінен АС сырығы созылады, сондықтан оның реакциясы АС бойымен С-дан А нүктесіне қарай бағытталады. ВС  сырығы  күшінің әсерінен сығылады, сондықтан оның реакцисы ВС бойымен В-дан С нүктесіне қарай бағытталады 

                а)                                            б)                                           в)

1.15-сурет.

(1.15,б-сурет). Сөйтіп, С нүктесі  күштерінің әсерінен тепе-теңдікте тұрған нүкте болып табылады.

4. Есепті геометриялық әдіспен шешу.

Күштер үшбұрышын құрамыз. Үшбұрышты құру белгілі  күшінен басталады. Кез келген бір  нүктесінен бастап берілген масштабта алынған,  күшіне тең, яғни параллель ав кесіндісін саламыз (2,в-сурет). Кесіндінің бір ұшы а арқылы екі реакцияның бірінің (мысалы  реакциясының) бағытына параллель түзу жүргізіп, оның екінші ұшы в арқылы қалған реакция (бізде  бағытына параллель вс түзуін жүргіземіз. Сонда осы екі түзудің қиылысқан нүктесі, күштердің авс үшбұрышының үшінші төбесі с-ны береді.

Демек,  күштерінің модулдерін анықтау үшін авс үшбұрышынан оның белгісіз қабырғаларын табу керек.

Күштер үшбұрышының ав қабырғасы белгілі. Оның бұрыштарын анықтағаннан кейін, синустар теоремасына сүйене отырып, мына қатынастарды жазамыз:

Осыдан:

 

1.2.3. Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін аналитикалық әдіспен табу. Жинақталатын күштер жүйесінің аналитикалық аналитикалық тепе-теңдік шарты

 

Күштің координаттық өске түсірілген проекциясы күштің модулі мен күш және өстің оң бағыттары арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең (1.16-сурет):

, , .

Егер координаттық өс бір жазықтықта жатпаса, онда күшті алдымен берілген өс жататын жазықтыққа проекциялап алу керек.

Мысалы ОХ өсіндегі  күшінің проекциясы –ті табу керек болса, онда бұл күшті OXY жазықтығына проекциялап аламыз (1.17 сурет).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 1.16-сурет                                              1.17-сурет

 

Күштің жазықтықтағы проекциясын векторлық шама екенін мына белгімен көрсетеміз:

                                                      .                                       (1.5)

Себебі ол өзінің сан шамасы (модулі) және жазықтықтағы бағытымен анықталады. Оның модулі мына формуламен беріледі:

                                               ,                                         (1.6)

мұндағы  күш  пен xy ох өсіндегі проекциясы, егер (1.6) өрнегін ескерсек, мына теңдікпен беріледі:

                                           .                                     (1.7)

Бас нүктесі, күш сызықтары қиылысатын, О нүктесінде OXYZ координаталар өстерінің тік бұрышты жүйесін аламыз. Осыдан кейін (1.4) теңдеуінің екі жағын да осы өстерге проекциялаймыз:

                                     , , .            (1.8)

Тең әсерлі күштің модулі параллелепипед диагоналының ұзындығымен, яғни мына формуламен есептеледі:

                                            .                                 (1.9)

 векторының координаталық өстермен жасайтын бұрыштарын α, β, γ деп белгілейтін болсақ, онда осы өстердегі оның проекцияларын

                      ,,               (1.10)

өрнектеген болар едік. Ал бұл теңдіктерден  күшінің бағыттаушы косинустарын тауып алуға болады:

               , ,               (1.11)

Енді күштердің жинақталатын жүйесінің тепе-теңдік шарттарын аналитикалық әдіспен анықтайық. Егер бұл күштер жүйесі тепе- теңдікте болса, онда оның тең әсерлі күші нөлге тең болуы керек:

                                ,   .                             (1.12)

Күш нөлге тең болса, оның әр координаттық құраушылары да, яғни оның өстердегі проекциялары да нөлге тең болады:

Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0,

немесе

                                  ΣFkx = 0,  ΣFky = 0,  ΣFkz = 0                            (1.13)

(1.13) теңдеулері күштердің жинақталатын жүйесінің тепе-теңдік шарттары болып табылады. Жинақталатын күштердің кеңістіктегі жүйесі тепе-тендікте болуы үшін бұл күштердің координаттар өстерінің әрбіреуіндегі проекцияларының қосындыларының нөлге тең болулары қажет және жеткілікті болады.

1-мысал. Салмағы ға тең жүк, суретте көрсетілгендей С нүктесіне ілінген. А, В және С нүктелерінде сырықтар топсалармен бекітілген. АС және ВС сырықтарының реакцияларын табу керек (1.15,а-сурет).

Берілегені:

Анықтау керек:  

Шешуі: 1. Нүкте деп аталатын, С денесінің  тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. С нүктесіне түсірілген актив күш .

3. С нүктесін байланыстардан босатамыз. АС, ВС сырықтары дағы байланыстар. Бұлардың реакцияларын  деп белгілейміз.  күшінің әсерінен АС сырығы созылады, сондықтан оның реакциясы АС бойымен С-дан А нүктесіне қарай бағытталады. ВС сырығы  күшінің әсерінен сығылады, сондықтан оның реакцисы ВС бойымен В-дан С нүктесіне қарай бағытталады (1.15,б-сурет). Сөйтіп, С нүктесі  күштерінің әсерінен тепе-теңдікте тұрған нүкте болып табылады.

4. Есепті проекция әдісімен шешу.

Алдыңғы мысалды проекция әдісімен, яғни аналитикалық әдіспен шешеміз. Координаттар жүйесінің бас нүктесін С топсасына орналастырамыз.  өсін ВС бойымен оң жаққа , ал  өсін АС бойымен жоғары бағыттаймыз.

С нүктесіне түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін теңдеулерді жазамыз:

,

.

Бұл құрылған екі теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

,

.

( таңбасы  күшінің бағыты, 1.15,б-суретте көрсетілген бағытына қарама-қарсы бағытталатынын көрсетеді, яғни ВС сырығы сығылады.

2-мысал. Салмағы ға тең жүк, суретте көрсетілгендей, А нүктесіне ілінген. С, В нүктелерінде сырықтар АВ және АС топсаларымен, ал  нүктесіне сым арқанмен бекітілген. Сырықтардың реакцияларын және сым арқанның керілу күшін табу керек (1.18-сурет).

Берілгені:

Анықтау керек:

Шешуі. 1. Нүкте деп алуға болатын, А денесінің тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. А нүктесіне түсірілген актив күш .

3. А нүктесін байланыстардан босатамыз. АВ, АС сырықтары және  сым арқаны А-дағы байланыстар. Бұлардың реакцияларын  деп белгілейміз. Егер бір нүктеге жинақталатын күштер жүйесі кеңістікте орналасқан күштер жүйесі болса, онда есеп шығарудың аналитикалық тәсілін пайдалану тиімді. А нүктесіне түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін теңдеулерді жазамыз:

 

 

1.18-сурет

 

,

,

.

Бұл құрылған үш теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз: Т = 6000НS1 = S2 = –3000Н.  және  күштері теріс таңбалы болып шықты. Сондықтан, олар суретте біз көрсеткен бағытқа қарама-қарсы бағытталуы тиіс, яғни сырықтар АВ және АС сығылады.

 

 

1.3. Күш моменттері

1.3.1. Күштің нүктеге қатысты моменті және оның қасиеті

 

Жалпы жағдайда қатты дене өзіне түсірілген күштің әсерінен ілгерілемелі және массалар центрін айнала қозғалады. Демек, күш денені берілген центрден айналдыра қозғалтуға әрекет жасайды.

Күштің нүктеге қатысты айналдырушы әсері үш түрлі жағдайға тәуелді. Ол тек күш шамасына ғана тәуелді емес, оның иініне және қай жазықтықта, қандай бағытта әсер ететініне де байланысты болады. Күштің айналдырушы әсерін сипаттайтын осы жайларды өлшеу және бағыттау күш моменті деген ұғым арқылы орындалады.

1. Күш моментінің скалярлық анықтамасы. Күштің нүктеге қатысты моменті деп “+”, немесе “-”таңбасымен алынған күш пен оның сол нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең болатын шаманы айтамыз. О нүктесінен күштің әсер ету сызығына дейінгі қашықтықты күштің  осы О нүктесіне қатысты иіні деп айтамыз (1.19-сурет).  күшінің О нүктесіне қатысты моментінің скаляр шамасын  деп белгілейміз. Осы белгілеуді пайдаланып жоғарыда берілген анықтаманы мынадай формула түрінде жазамыз:

                   .                  (1.14)

(1.14) формуласы  күшінің О нүктесіне қатысты моментінің скаляр шамасын анықтайды. Мұндағы “+” не “-” таңбасын аларда оң бұрама ережесін қолданамыз.

(1.14) формуласы  күшінің нүктесіне

қатысты моментінің скаляр шамасын анықтайды. Мұндағы “+” не “-” таңбасын аларда оң бұрама ережесін қолданамыз. Егер күш денені берілген нүктеден сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта айналдыруға әрекеттесе, онда күш моменті “+” таңбасымен алынады. Ал егер күш денені берілген нүктеден сағат тілі қозғалысына бағыттас айналдыруға әрекеттесе, онда күш моменті “-” таңбасымен алынады.

Егер күш иіні метрмен өлшенсе, онда күш моменті ньютон-метр (м ) немесе килограм-метрмен  өлшенеді.

 

 

Күштің нүктеге қатысты моментінің қасиеттері.

Күштің түсу нүктесінен оның әсер ету сызығы бойымен жылжытудан күш моменті өзгермейді.

Күштің О нүктесіне қатысты моменті күштің өзі нөлге тең болғанда, немесе оның әсер ету сызығы осы О нүктесі арқылы өтетін болса ғана нөлге айналады.

2. Күштің нүктеге қатысты моментінің векторлық анықтамасы.  күштің О нүктесіне қатысты моменті деп радиус-вектор  мен  күшінің векторлық көбейтіндісіне тең векторды айтады (1.19-сурет). Күштің айналдырушы әсері оның моментімен анықталады дедік. олай болса, моменттің анықтамасы күштің айналдырушы әсерін сипаттайтын жағдайларды түгел қамтуы керек. Ол үшін моментті жалпы жағдайда векторлық шама деп алуға тиістіміз. Күш моментін анықтайтын вектор мынадай шарттарды қанағаттандыруы керек:

1). Оның модулі  көбейтіндісіне тең болуы; 2). Оның  жазықтығына перпендикуляр бағытта орналасуы; 3). Бағыты оң бұрама ережесіне сәйкес таңдалуы қажет. Осыған орай  көбейтіндісін қарастырып көрейік (1.19-сурет). Біріншіден, бұл векторлық көбейтіндінің модулі күш моментінің модуліне тең екенін байқаймыз:

.

Екіншіден, бұл вектор күштің әсер ету жазықтығына, яғни ОАВ жазықтығына О нүктесінде түсірілген перпендикуляр бойымен оң бұранда ережесіне сәйкес бағытталатынын көреміз. Олай болса  векторы жоғарыда айтылған момент векторына қажетті шарттарды толық қанағаттандырады. Сондықтан да оны  күші моментінің векторы ретінде алуға болады. Егер  күшінің О центріне қатысты моментінің векторын  символымен белгілесек, онда ол мынадай формуламен анықталынады:

.

Бұл формула күш моментінің векторын анықтайды. Момент векторы , күш әсерінің жазықтығының О нүктесіне түсірілген перпендикуляр бойымен бағытталады, алгебралық шамасы (1.14)-формуламен есептелінеді.

 

 

1.3.2. Күштің өске қатысты моменті

Күштің денені өстен айналдырушы әсерін сипаттаушы - өске қатысты күш моменті.

Күштің өске қатысты моменті деп күштің берілген өске перпендикуляр жазықтықтағы  проекциясының өс пен жазықтықтың қиылысу нүктесіне қатысты алынған моментінің “+”, немесе  “-” таңбасымен алынған сан шамасын айтамыз.

Бізге А нүктесіне түсірілген  күші және  өсі берілсін (1.20-сурет). Өстің кез келген бір О  нүктесі арқылы оған перпендикуляр жазықтық (ж)-ны жүргізейік.  күшінің (ж) жазықтығына түсірілген проекциясын  деп, ал күштің өске қатысты моментін  деп белгілесек, онда жоғарыдағы анықтаманы былай көрсетеміз:

.

Осы теңдік күштің  өсіне қатысты моментін табу,  күш проекциясының О нүктесіне қатысты моментін есептеуге келтіретінін көрсетеді. Ал, оны (1.14) формуласымен берілетін ереже арқылы есептейміз:

                                        ±.                                 (1.15)

Бұл формуладағы “+” не “-” таңбасын алатынымызды анықтауда оң бұрама ережесіне сүйенеміз. Егер  өсінің оң ұшынан қарағанда  әсерінен болуға тиісті айналыс сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта көрінсе, онда моментті оң деп есептеп, “+” таңбасын аламыз; ал егер ол сағат тілі қозғалысына бағыттас болып көрінсе, онда моментті теріс деп есептеп, “-” таңбасын аламыз.

 

1.4. Қос күш теориясы

1.4.1. Қос күш. Қос күш моменті

 

Абсолют қатты денеге әсер етуші шамалары тең, өзара параллель және қарама-қарсы ағытталған екі күштің жүйесін қос күш деп атаймыз.

Күштердің әсер ету сызықтарының ең жақын ара қашықтығын, қос күштің иіні деп атаймыз.

Күштерінің мәндері тең (), бағыттары қарама-қарсы болғанымен, әр түрлі екі нүктеге әсер ететіндіктен қос күш нөлге эквивалент жүйе болмайды. Қос күш () бір теңәсерлі күшке келтірілмейді. Оның әсерінен еркін қатты дене тыныштық күйінен шығып, айналмалы қозғалыс жасайды.

Қос күш әсері қос күш моментімен анықталады.

Қос күш моменті деп модулі, оның күші мен иінінің көбейтіндісіне (F h) тең, ал бағыты қос күш жазықтығына перпендикуляр болып келетін векторды айтамыз.

Қос күш моменті векторының бағытын анықтауда оң бұранда ережесі қолданылады (1.21-сурет).

Қос күш моментінің векторын  деп белгілесек, онда оның модулін қос күші мен иінінің көбейтіндісіне теңестіреміз:

                                                                   (1.16)

Бұл теңдіктен ол вектордың модулінің, ( күштерінен құрылған, параллелограмм ауданына тең болатындығын көреміз (1.21-сурет).

                                                              (1.17)

 векторы – еркін вектор, оны қос күш әсер ететін дененің ке келген бір нүктесіне түсіруге болады.

Енді жоғарыда берілген анықтамаға сәйкес қос күш моментінің векторлық өрнегін табуымыз керек. Сол мақсатпен мынадай векторлық көбейтінді аламыз:

 немесе .

Бұл векторлық көбейтіндінің модулі мен бағытын анықтайық. Оның модулін, (1.21-суретте) көрсетілген қос күштің иіні болып табылатын,  арқылы өрнектейік. Сонда алатынымыз:

                       .                     (1.18)

Бұл (1.18) теңдігін қос күш моменті векторының модулін анықтайтын (1.16) немесе (1.17) теңдігімен салыстырып қарасақ, онда екі вектордың модульдерінің тең екендігін көреміз:

.

Осыдан кейін  векторының бағытына көңіл бөлеміз. Бұл вектор ABCD параллелограмының жазықтығына (1.21-сурет) тұрғызылған перпендикуляр мен оң бұранда ережесіне сәйкес бағытталады. Демек  (немесе ) векторы мен қос күш моментінің векторы  бірдей бағытталады. Осы салыстырудан  (не ) векторының  векторына тең болатынын табамыз.Олай болса қос күш моментінің  векторын  және  (немесе  және  векторының векторлық көбейтіндісімен өрнектей аламыз:

                             .                         (1.19)

 

1.4.2. Қос күштерді қосу туралы теоремалар

 

Теорема. Бір жазықтықта әсер ететін екі күшті осы жазықтықта жататын тең әсерлі бір қос күшпен ауыстыруға болады. Тең әсерлі қос күштің моменті құраушы қос күштер моменттерінің алгебралық қосындысына тең.

Бір жазықтықта жататын екі қос күш  берілсін делік (1.22-сурет). Онда қос күштер моменттерінің сан шамалары:

                      .                     (1.20)

Берілген қос күштерді бір иінге келтіруге болады. Ортақ иін үшін  кесіндісін алайық. Иіндері өзгеруі себепті қос күштердің күштері де өзгереді. Бірақ олардың моментерінің сан мәндері өзгермей қалуы керек:

  ,

тауып аламыз:

  .

Осылайша берілген  қос күштер ортақ иінді  қос күштерге келтіріледі.

~ және ~.

Осыдан кейін келтірілген  және  қос күштердің иіндерін АВ кесіндісіне параллель болғанға дейін бұрамыз. Сонан соң оларды (ж) жазықтығымен жылжыта отырып, олардағы күштерді А және В нүктелеріне түсіреміз.

А нүктесіндегі бір түзу бойымен бағытталған күштерді қосып бір теңәсерлі  күшін аламыз:

~.

Сол сияқты В нүктесінде:

~.

Сонымен, берілген екі қос күштер жиыны бір қос күшке эквивалент болады:

()~(,)~.

Енді тең әсерлі  қос күш моменті құраушы қос күштер моменттерінің алгебралық қосындысына тең болатындығын дәлелдейік.

Қос күш моментінің анықтамасы бойынша (1.20)-ны пайдалансақ:

.

 күштері, жоғарыда дәлелдегеніміздей, күштер қосындысына тең, сол себепті:

Мұндағы  және  келтірілген қос күштер моменттері екенін ескеріп, оларды моменттің белгілеулері арқылы көрсетейік:

.

Осыны пайдаланып алдыңғы теңдікті қайта жазамыз:

                         .              (1.21)

Немесе қысқа түрде былай жазуға болады:

                     .                     (1.22)

Бір жазықтықтағы екі қос күшті қосу туралы теорема дәлелденді Соңында (1.21), немесе (1.22) моменттер қосындысын векторлық қосынды деп алуға болады. Өйткені бұлар параллель бағытталған:

                                  .                               (1.23)

Теорема. Кеңістікте кез келген ретпен орналасқан қос күштер жүйесі бір қос күшке эквивалент болады. Бұл тең әсерлі қос күштің моменті жүйедегі барлық қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең.

Бізге кеңістікте кез келген ретпен орналасқан n қос күштер берілсін делік (1.23-сурет):

…,

Бұлардың моменттері  болсын (1.23-сурет). Алдыңғы теорема бойынша алғашқы екі қос күшті бір тең әсерлі қос күшпен алмастыруға болады:

~

Бұл қос күш моменті  құраушы қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең:

.

Осы ретпен қос күштерді бірінен соң бірін қоса береміз. Ең ақырында  қос күшін алдындағы қос күштерге эквивалентті  қос күшімен қосамыз. Сонда қос күштер жүйесіне эквивалент болатын қорытқы бір ғана  қос күші шығады:

 

                         ~.                         (1.24)

Қос күштер жүйесіне эквивалент бұл қорытқы қос күш моменті :

немесе

                      .               (1.25)

Сонымен, қос күштер жүйесін бір тең әсерлі  қос күшке келтіріледі және оның моменті жүйедегі қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең болады.

 

1.4.3. Қос күштер жүйесінің тепе-теңдігінің шарттары

 

Қос күштер жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін жүйедегі қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Шындығында кеңістікте кез келген ретпен орналасқан қос күштер жүйесі әр уақытта да бір тең әсерлі қос күшке келеді. Сондықтан, осы тең әсерлі қос күштің әсері жойылуы, яғни оның моменті нөлге тең болуы керек. Ендеше жүйедегі қос күштер моменттерінің қосындысы да нөлге айналады:

                          .                           (1.26)

Немесе қысқаша түрде:

                                      .                                               (1.27)

Бұл векторлық тепе-теңдік теңдеуін координаттар өстеріне проекцияласақ үш скалярлық тепе-теңдік теңдеулерін аламыз:

                                                  (1.28)

(1.28) теңдеулерінен мынадай қорытынды шығарамыз:

кеңістіктегі кез келген қос күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін ондағы барлық қос күштер моменттерінің әрбәр координаттық өстегі проекцияларының қосындылары жеке–жеке нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Егер жүйедегі қос күштердің барлығы да бір жазықтықта жататын болса, онда барлық моменттер осы жазықтыққа перпендикуляр бағытталады да, біріне-бірі параллель болады. Бұл жағдайда моменттердің алгебралық қосындысы нөлге теңестіріледі:

                                                                                     (1.29)

Қос күштердің жазық жүйесі тепе-теңдікте болу үшін ондағы қос күштер моменттерінің алгебралық қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

 

1.5. Күштердің кез келген кеңістік жүйесі

1.5.1. Статикадағы негізгі лемма. Күштердің кез келген кеңістік жүйесін бір центрге келтіру

 

1.                     Статикадағы негізгі лемма. Абсолют қатты дененің А нүктесіне түсірілген  күші берілген дейік. (1.24-сурет). Күштің шамасын да, бағытын да сақтай отырып, өзіне-өзін параллель бағытта екінші орынға көшіруге болмайды. Өйткені мұндай жағдайда, берілген  күшінің қатты денеге жасайтын

механикалық әсері өзгеріп кетеді Берілген күшті қатты дененің кез келген нүктесіне өзіне-өзін параллель көшіруді мынадай лемманың көмегімен орындауға болады

Абсолют қатты дененің А нүктесінде берілген  күші бененің басқа бір нүктесі В-ға түсірілген дәл өзіндей  күшке және бір қос күшке (,) эквивалент. Бұл қос күштің моменті, А нүктесіндегі  күшінің В нүктесіне қатысты алынған моментіне тең болады.

Лемманы дәлелдейік. Алдын ала көрсетілген В нүктесіне, шамалары берілген күш шамасына тең және ол күшке параллель түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған,  және  күштерін түсірейік (1.24-сурет).

Сөйтіп келісім бойынша В нүктесіне түсірілген күштер мына шарттарды қанағаттандырады:

                            және  ~0.                     (1.30)

Нөлге эквивалент екі күштің бұл жүйесін берілген  күшке қосып жаңа күштер жүйесін алайық  сонда мынадай өрнек аламыз:

                              ~~.                            (1.31)

Мұндағы  шамалары тең және бағыттары қарама-қарсы, параллель екі түзумен бағытталған екі күштен тұратын тіркеме қос күш деп атаймыз. Тіркеме қос (-тің моментінің векторы, анықтама бойынша мынадай формуламен беріледі:

                                                           (а)

Енді А нүктесіндегі  күшінің жаңа центр В-ға қатысты алынған моментінің векторлық өрнегін көрсетіп қояйық:

                                                                                (б)

(а) және (б) теңдіктерін салыстырып қарастырудан

                                      ,                                  (1.31)

екенін көреміз. (1.31) теңдігінен тіркеме қос күш  моменттерінің тең болатынын қрнектейді.

Негізгі лемма күшті, бастапқы түсу нүктесінен екінші бір нүктеге қзіне-өзін параллель көшіру, ол күшке сәйкес алынған қос күшті тіркеу арқылы орындалатынын көрсетеді.

2. Күштердің кез келген кеңістік жүйесін бір центрге келтіру. Қатты денегенің А12,…,Аn нүктелеріне түсірілген күштердің әрбіреуін (1.25-сурет), ол дененің берілген нүктесі О-ға параллель көшірейік. О нүктесін келтіру центрі деп атаймыз.

Пуансо теоремасы. Қатты денеге әсер ететін күштердің кез келген кеңістік жүйесін, жалпы жағдайда, күш және қос күшке келтіруге болады.

Теореманы дәлелдеу. Иегізгі леммаға сүйене отырып, жүйедегі әрбір күшті, А12,…,Аn нүктелерінен келтіру центрі О нүктесіне өздеріне-өздерін параллель көшірейік. Осы процесс нәтижесін мына өрнектермен көрсетуге болады:

 

,..,,.   (1.32)

 

(1.32)-дегі өрнектерді бірін-біріне біріктіріп алу нәтижесінен мынадай өрнек шығады:

 

         (1.33)

 

(1.33) өрнегінің оң жағындағы О нүктесіне түсірілген күштер бір күшке эквивалент:

                                 ~.                                        (1.34)

 күші О центріне жинақталған күштер жүйесінің тең әсер етушісі. Ол осы жүйедегі күштердің геометриялық қосындысына тең және ол келтіру центрі О –ға түсіріледі (1.25-сурет):

                            немесе.                             (1.35)

Бұл вектор берілген күштер жүйесінің негізгі векторы деп аталады. Мұнымен қатар, қатты денеге n тіркеме қос күштер жүйесі

 әсер етеді. Қос күштерді қосу туралы теорема бойынша, қос күштер жүйесі, вектор моменті осындағы қос күштердің вектор моменттерінің геометриялық қосындысына тең болып келген, бір қос күшке  эквивалент болады, яғни:

                   ~                          (1.36)

Ал әрбір тіркеме қос күштің вектор моментінің  нүктесіндегі  берілген күштің келтіру центрі О-ға қатысты алынған  моментіне тең болып келеді. Олай болса, (1.36)-теңдігін былай жазамыз:

.

Енді (1.34) және (1.36) өрнектерін (1.35)-нің оң жағындағы орындарына қойсақ, онда мынадай өрнекке келеміз:

   ~()       (1.37)

Сонымен теореманың дәлелдеуі (1.37)-өрнекпен беріледі. Ал қос күш  өзінің моментінің  векторымен анықталады.Бұл вектор қос күштер моменттерінің векторлық қосындысына тең(1.26-сурет):

                               .                         (1.38)

Бұл вектор берілген күштер жүйесінің негізгі моменті деп аталады.

 

3. Бас вектор мен бас моменті өрнектейтін формулалар. Берілген кез келген күштер жүйесінің  бас векторы мен  бас моментінің модулдерін және бағыттарын өрнектейтін аналитикалық формулаларды анықтайық.  координаттар жүйесін 1.25-суретте көрсетілгендей түрде таңдап аламыз. Оның бас нүктесі О-ны жүйедегі күштерді келтірудің центрі ретінде алайық. Бас вектор жүйедегі күштердің векторлық қосындысына тең. Осы векторлық теңдеудің екі жағында координаттар өстеріне проекциялайық:

                                .                 (1.39)

Бас вектор -дің модулі:

                                   .                                (1.40)

Оның бағыттаушы косинустары:

           .          (1.41)

Координаттар өстерінің бас нүктесіне қатысты жүйенің бас моменті  жүйедегі күштердің сол нүктеге қатысты алынған моменттерінің геометриялық қосындысына тең болғандықтан, оның координаттар өстеріндегі проекциялары  күштердің осы өстерге қатысты моменттерінің қосындылары арқылы анықталады:

            (1.42)

Оның бағыттаушы косинустары:

  .   (1.43)

 

1.5.2. Күштер жүйелерін бір центрге келтірудің дербес жағдайлары

 

Келтірудің жалпы жағдайында, күштердің кез келген жүйесі, қорытқы бір күш -ге және моменті бас момент -ге келтірілетінін дәлелдедік. Мұндағы  және  векторлары күштер жүйесін келтірудің элементтері деп аталады.Осы элементтердің жеке мәндеріне сәйкес келетін күштер жүйесін келтірудің жағдайларын анықтауға болады.

1. Бір қос күшке келтіретін жағдай. Егер берілген күштер жүйесі үшін  болса, онда ол жүйе моменті -ге тең болатын бір қос күшке келтіріледі.

2. Күштер жүйесінің теңәсерлі күшке келтірілетін жағдайы. а) Егер берілген күштер жүйесі үшін  болса, онда ол жүйе теңәсерлі күшке келтіріледі. Әсер етуші сызығы келтіру центрі арқылы өтеді.

б) Егер берілген күштер жүйесі үшін  және  болса, онда ол жүйе теңәсерлі күшке келтіріледі. Әсер етуші сызығы келтіру центрі арқылы өтпейді.

3. Күштер жүйесінің теңәсерлі күшке келтірілетін жағдайы. Егер берілген күштер жүйесі үшін  және  болса, онда ол жүйе динамаға келтіріледі.

4. Күштердің берілген жүйесінің тепе-теңдікте болу кезіндегі жағдайы. Келтірудің бұл жағдайында  шарттарының орындалулары қажет және жеткілікті.

 

1.5.3. Күштердің әртүрлі жүйелерінің тепе-тендік шарттары. Теңәсерлі күштің моменті туралы теорема

 

1. Күштердің кез келген кеңістік жүйесінің тепе-тендік шарттары. Күштердің кез келген жүйесі тепе-тендікте болу үшін оның бас векторы және қандайда болмасын бір центрге қатысты алынған бас моментінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

                                             = 0, 0 = 0.                                      (1.44)

Осыны дәлелдейік. Күштердің берілген кез келген жүйесі  тепе-теңдікте болған жағдайда, (1.44) шарттары орындала ма екен, соны тексерейік. Қандай да бір центрге қатысты алынған жүйенің бас векторы  нөлге тең болмаса, онда ол басқа центрде нөлге айналмайды. Өйткені ол жүйенің келтіру центрінің орнына тәуелді емес. Демек, тепе-теңдіктегі жүйе үшін бас вектордың нөлге тең болуы қажет. Ал  болса, онда берілген күштер жүйесі қорытқы бір қос күшке келтіріледі. Бұл қос күш моменті  жүйенің келтіру центрін өгерткенмен өзгермейтін вектор. Олай болса жүйенің тепе-теңдікте болуы үшін  болу керек. Сөйтіп, күштердің берілген жүйесі тепе-теңдікте болу үшін (1.44) шарттарының орындалуы қажет.

Енді (1.44)-шарттарының жүйе тепе-теңдігі үшін жеткілікті де екенін дәлелдейік. Ол үшін (1.44)-шарттары орындалды дейік. Онда жүйе тепе-теңдікте бола ма соны тексерейік. Егер  болса, онда берілген күштер жүйесі моменті  болатын бір қос күшке келген болар еді де тепе-теңдік болмас еді. Ал егер керісінше  болса, онда күштер жүйесі бір теңәсерлі күшке келтірілген болар еді де, тағы да тепе-теңдік болмас еді. Ендеше екі вектордың екеуі де бірдей:

                                        ,                                       (1.45)

болулары жүйенің тепе-теңдікте болуы үшін қажет және жеткілікті.

(1.44) теңдеулердегі  бас вектордың және  бас моменттің жүйедегі күштер арқылы берілген өрнектерін алсақ алсақ, онда ол теңдеулер мынадай түрге келеді:

                                                                 (1.46)

(1.44) векторлық теңдеулері алты скалярлық теңдеулерге эквивалент болады:

              .           (1.47)

Немесе (1.47) теңдеулерін берілген күштердің координаттар өстеріндегі проекциялары және олардың координаттар өстеріне қатысты моменттері арқылы жазайық:

                                     ;      ,

                                  ;     ,                           (1.48)

                                     ;      .

(1.48) тепе-теңдік шарттарын сөзбен былай айтамыз. Күштердің кез келген жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, жүйедегі барлық күштердің әрбір координаттар өстеріндегі проекцияларының қосындылары нөлге тең болулары және барлық күштердің әрбір координаттар өстеріне қатысты алынған моменттерінің қосындылары нөлге тең болулары қажет және жеткілікті.

2. Бір нүктеде жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары. Жүйедегі күштерді келтіру центрі ретінде О нүктесін алсақ, онда  теңбе-теңдік түрде нөлге айналады. Олай болса (1.48) теңдеулер жүйелеріндегі теңдеулердің екінші тобы тепе-теңдікке айналады да, олардың тек бірінші тобы қалады:

                     ,   ,   .                        (1.49)

3. Параллель күштердің кеңістік жүйесінің тепе-тендік шарттары. Координаттық өстердің бірін, мысалы -ті, күштерге параллель етіп алайық. Онда жүйедегі әрбір күштің  және өстердегі проекциялары нөлге тең болады. (1.48) теңдеулердің алғашқы екеуі және алтыншысы теңбе-теңдік түрінде нөлге айналады. Сонда параллель күштердің кеңістік жүйесінің тепе-теңдігінің шарттары үш скалярлық теңдеулермен беріледі:

                   ,   ,   .            (1.50)

Параллель күштердің кеңістік жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, күштерге параллель өстегі олардың проекцияларының қосындысы және күштерге перпендикуляр жазықтықта жататын екі координаттық өстерінің әрқайсысына қатысты алынған олардың моменттерінің алгебралық қосындылары нөлге тең болулары қажет және жеткілікті:

4. Күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттары. Күштердің жазық жүйесі  берілген жағдайда тепе-теңдік шарттары мына түрде алынады:

                                                         (1.51)

Мұндағы О күштер жатқан жазықтықтың кез келген бір нүктесі. (1.51)-дегі екі теңдеу күштердің кез келген жазық жүйесінің векторлық тепе-теңдік теңдеулерін өрнектейді. Осы теңдеулерден жазық жүйенің скаляр теңдеулермен берілетін теп-теңдік шарттарын алуға болады. Олар әр түрлі теңдеулер арқылы өрнектеледі.

а) Күштердің жазық жүйесінің екі проекциялық және бір моменттік теңдеулер түріндегі тепе-теңдік шарттары. Жазық жүйенің кұштері жатқан жазықтықты  деп белгілейміз. Онда жүйедегі күштер мен бас вектордың проекцияларын    белгілеуге болады.  векторы  өсіне параллель, оның бірақ құраушысы болады.

Сонымен (1.51)-дегі векторлық екі теңдеуден үш скаляр теңдеу аламыз:

                     ,   ,                   (1.52)

(1.52) теңдіктері күштердің жазық жүйесінің скаляр түрдегі тепе-теңдік теңдеулерін өрнектейді. Олар былай айтылады: күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдікте болуы үшін жүйедегі барлық күштердің екі координаттар өстерінің әрқайсысындағы проекцияларының қосындылары және күштер жазықтығындағы кез келген бір нүктеге қатысты алынған күштердің моменттерінің қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті.

Күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарын (1.52)ден басқа түрдегі теңдеулер арқылы беруге болады.

б) Күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарының үш моменттік түрі. Күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдікте болуы үшін, ондағы барлық күштердің бір түзу бойында жатпайтын қандайда үш нүктенің әрқайсысына қатысты алынған моменттерінің қосындылары нөлге тең болулары қажет жіне жеткілікті:

                            (1.53)

в) Күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарының екі моменттік түрі. Күштердің кез келген жазық жүйесі тепе-теңдікте болу үшін кез келген екі А және В центрлеріне қатысты күштер моменттерінің қосындылары мен АВ түзуіне перпендикуляр болып келген қандай да болмасын бір өстегі осы күштердің проекцияларының қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті:

                       .             (1.54)

г) Параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-тендік шарттары. Параллель күштердің жазық жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, күштерге параллель өстегі олардың проекцияларының қосындысы мен осы күштердің кез келген бір центрге қатысты алынған моменттерінің қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті:

                                    ,   .                       (1.55)

Параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарын басқа түрде жазуға болады. (1.54) теңдеулеріне сәйкес оны былай жазамыз:

                                                     (1.56)

Мұндағы А және В нүктелері күштерге параллель түзудің бойында жатпаулары керек.

 

д) Күштердің кеңістік жүйесі үшін Вариньон теоремасы. Күштердің кез келген  жүйесінің  тең әсер етуші күшінің, кез келген бір нүктеге қатысты моменті жүйедегі барлық күштердің сол нүктеге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысына тең.

Қатты дененің  нүктелеріне түскен күштердің кеңістік жүйесі  берілсін. Күштерді  түсу нүктелерінен қандайда бір  центріне параллель көшірудің нәтижесінде жүйе осы центрдегі бір  күшке келтірілсін (1.27-сурет):

                                        ~.                                (1.57)

 берілген  күштер жүйесінің  центріне түсірілген теңәсерлі күшінің кеңістіктің кез келген бір нүктесі О-ға қатысты моментін есептейік. Сол мақсатпен мынадай екі есептеу жүргіземіз. Біріншіден, тең әсер етуші  күшін  центрінен О жаңа центрге параллель көшірейік. Сонда негізгі лемма бойынша алатынымыз:

                                                                        (1.58)

Мұндағы  қос күштің моменті теңәсерлі  күшінің О нүктесіне қатысты моментіне тең:

                                                                     (1.59)

(1.59) өрнегі арқылы, (1.58)-ді мына түрде қайталап жазайық :

                                       .                                 (1.60)

Екіншіден, жүйедегі күштерді жаңа центр О-ға параллель көшірейік. Пуансо теоремасы бойынша берілген күштер жүйесі О центріндегі  қорытқы күшке және моменті О центріне қатысты бас момент -ге тең болатын қос күшке келтіріледі:

                                  ~.                           (1.61)

Мұндағы  векторы, мына формуламен есептеледі:

                                                        (1.62)

Енді (1.62)-теңдігіне сүйене отырып, (1.59) және (1.60) өрнектерін салыстырайық. Екі өрнектің сол жақтары бір-біріне эквивалент, онда олардың оң жақтары да эквивалент болады:

                                     ~.                          (1.63)

Осыдан:

                                                                                (1.64)

(1.62) теңдігі негізінде (1.63) теңдігін мына түрде жазамыз:

                               .                    (1.65)

(1.65) теңдігі Вариньон теоремасын дәлелдейді.

1-мысал. Ұзындығы және салмағы 0,5Н біртекті арқалық қалыңдығы 0.5м қабырғаға А және В нүктелерінде сүйенетіндей болып енгізіліп қойылған. Біліктің соңына салмағы жүк  ілінген.

А және В нүктелеріндегі реакцияларын табу керек (1.28-сурет).

1.28-сурет

Шешуі. 1. СВ арқалығының тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. СВ-ға әсер етуші актив күштерді векторлар арқылы суретте көрсетеміз. Актив күштер болып табылатындар: .

3. СВ арқалығын байланыстардан босатамыз. А және В тіректерінің  және  реакциялары арқалыққа перпендикуляр бағытталады.

Тепе теңдік теңдеулерін құрамыз:

,

4. Бұл құрылған екі теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

Н, .

2-мысал. Екі шоғырланған күштері және бірқалыпты үлестірілген күштердің қарқындылығы әсеріндегі арқалықтың А және В тіректері реакцияларын табу керек. Бірқалыпты үлестірілген күштердің қарқындылығы, шоғырланған күштердің шамалары және өлшем бірліктері 1.29-суретте көрсетілген.

1.29-сурет

Шешуі. 1. АВ арқалығының тепе-теңдігін қарастырамыз. Арқалыққа түсірілген актив күштер:

2. Бірқалыпты үлестірілген күштердің қарқындылығын табу үшін, ұзындықтың бір өлшеміне келетін ді ұзындыққа көбейтеміз: .

3. Арқалықты байланыстан босатамыз. Ол үшін А және В топсаларын алып тастап, олардың орнына  және  реакцияларын аламыз.

4. Алынған жазық күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін үш теңдеулерді жазамыз:

 

5. Бұл құрылған үш теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

ХА = 2.6 кН, YА = 4.2 кН, ХВ = 15.6 кН.

3-мысал. Ұзындықтары бірдей АС және  сырықтары С нүктесінде топсамен қосылған, сонымен қатар А және В нүктелерінде вертикаль қабырғаға топсалардың көмегімен бекітілген. Сырық АС горизонталь орналасқан, сырық  вертикаль қабырғамен  бұрыш құрады. АС сырығына Е нүктесінде вертикаль  күші және С нүктесінде горизонтпен  бұрыш құратын  күші түсірілген.  сырығына  нүктесінде вертикаль  күші түсірілген.

Берілгені:

А және В топсаларының реакцияларын табу керек.

1.30-сурет

Шешуі. Әуелі бүтіндей жүйенің тепе-теңдігін қарастырамыз. Оған актив күштер  , ,  және байланыстар реакциялары . әсер етеді. Алынған жазық күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін үш теңдеулерді жазамыз:

Құрылған үш теңдеуде төрт белгісіз бар. Есепті шешу үшін сырық АС-ның тепе-теңдік шартын қосымша қарастырамыз. Оған актив күштер ,  және байланыстар реакциялары . әсер етеді. Жетіспейтін төртінші теңдеу үшін,  нүктесіне қатысты осы күштердің моменттер теңдеуін құрамыз:

.

Құрылған төрт теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз: XA = –287кНYA = 6 кН,   XB = 216 кН,   YB = 145 кН.  күші теріс таңбалы болып шықты. Сондықтан, ол суретте біз көрсеткен бағытқа қарама-қарсы бағытталуы тиіс.

Топса D-ның реакцияларын табу үшін, АС сырығына түсірілген жазық күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін екі теңдеулерді жазамыз:

Құрылған екі теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

4-мысал. Чертежде сұлбасы бейнеленгендей,  жүкті жұмысшы воротаның көмегімен ұстап тұр; атанақтың радиусы см; саптың ұзындығы см, см. Сап АК горизонталь болғандағы, сапқа түсірілген қысым  күшін және А және В тіректердің өстерге түсіретін қысым күштерін табу керек; күші вертикаль (1.31-сурет).

1.31-сурет

Шешуі. Белгісіз күштерді табу үшін воротаның тепе-теңдігін қарастырамыз. Воротаға түсірілген күштер: Шамасы ге тең арқанның тартылыс күші , актив күш  және цилиндрлік топсалардың реакциялары , , , . Күштердің кеңістік жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін жазамыз:

,

,

,

,

.

Құрылған бес теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

Р = 100Н,   ХА = 400Н,      ZА = – 100Н,      ХВ = – 400Н,     ZВ = 0.

 

1.6.Үйкеліс

1.6.1. Сырғанау үйкелісінің заңдары

 

1. Жылжытушы күш өскен сайын үйкеліс күші -тің сан шамасы бастапқы уақыт t0 -ден дене қозғалысқа келе бастағанға дейінгі уақыт аралығында арта түседі. Үйкеліс күшінің өсуі дененің тыныштық күйінен шығып, енді ғана жылжи бастайын деген сәтке дейін жүреді. Осы сәтке сәйкес келетін үйкіліс күшінің мәні ең үлкен шамаға жетеді. Сондықтан оны  деп белгілейді. Сонымен тыныштық кезіндегі үйкеліс күші -тің модулі (тыныштық үйкелісі) нөлден бастап max дейін өседі, яғни:

                                               0 ≤ F ≤ Fmax                                    (1.29)

2. Тыныштықтағы сырғанау үйкеліс күшінің максимальды мәні нормальдық қысымға (нормальдық реакцияға) пропорционал болады:

                                               Fmax = f0N                                       (1.30)

Сырғанау үйкелісінің коэффициенті f0, үйкелісетін беттердің материалына және олардың қазіргі физикалық күйіне (кедір-бұдырлығына, ылғалдылығына, температурасына т.б.) тәуелді болады. Оның сандық мәні тәжірибе жасаумен анықталады (1.32-сурет).

А денесі В денесінің бетімен қозғалған кезде сырғанау үйкелісі пайда болады. Оны сырғанаудың қозғалыстық, немесе динамикалық үйкелісі деп атайды. Ол күштің шамасы нормаль қысымға тура пропорционал болады, яғни:

                                                  F = fN.                                         (1.31)

Мұндағы f сырғанау үйкелісінің динамикалық коэффициенті. Ол да статикалық коэффициент f0 сияқты үйкелісетін денелердің материялдарына және олардың беттерінің өңделу дәрежесіне, температурасына, майлануына тәуелді болып келеді. Сонымен қатар, ол дененің салыстырмалы жылдамдығына да тәуелді. Салыстырмалы жылдамдықтың өсуіне байланысты f коэффициентті басында біраз кемиді де кейіннен әр уақытта да кіші болады, яғни f < f0.

1.6.2. Үйкеліс бұрышы. Үйкеліс конусы

 

Салмағы Q-ға тең А денесі, беті тегіс емес горизонталь В жазықтығында жатыр дейік (1.33-сурет). Егер А денесіне горизонталь  күші әсер ете бастаса, онда оған  үйкеліс күші де әсер ете бастайды. Жылтыр емес горизонталь В жазықтықтың берілген А денесіне түсіретін  толық реакциясы нормаль -нің бойымен бағытталмай, онымен бір φ бұрыш жасай бағытталады.

 горизонталь күшті әрі қарай өсіре берейік. Онда  үйкеліс күші де өсе береді үйкеліс күші өзінің максимум мәніне (max) жеткенше  күшін осылайша -ға дейін өсіреміз. Бұл кезде толық реакция  де өзінің максимум мәніне (max) дейін өседі. Оның жазықтыққа түсірілген нормальмен жасайтын φ бұрышы да φγ -ға дейін өседі:

                     ,                         (1.32)

Сонымен, үйкеліс бұрышы φγ деп, оның тангенсі статикалық үйкеліс коэффициентіне тең болатын, яғни максимум толық реакция (max) мен жанасушы беттерге түсірілген ортақ нормаль арасындағы бұрышты айтады.

Берілген А денесі жазықтық бетімен кез келген бағытта да жылжи алады дейік. Онда жанасу жазықтығы В-ның бетінде, берілген А денесін әр түрлі бағытта қозғалтқан сайын,  нормальдан максимум бұрышқа (φγ) ауытқыған әр түрлі (max) толық реакциялар алар едік.

Осы max мәні толық реакциялардың геометриялық орны төбесі денелердің түйісу нүктесінде жататын конустық бетті береді (1.34-сурет).

 

1.6.3. Домалау үйкелісі

 

Домалау үйкелісі деп бір дененің екінші бір дене бетімен домалаған кезде пайда болатын кедергіні  айтады. Бізге салмағы -ға  радиусы -ге тең цилиндрлі каток берілсін дейік. Ол, жылтыр емес горизонталь, жазықтықта орналасып онымен алғашында А нүктесінде жанассын дейік. Әдетте катоққа салмақ күші  мен бірге горизонталь жазықтық катокке жасалған байланыс ретінде қаралады.

Жазықтық реакциясы екі құраушыдан тұрады. Оның бірі  нормаль қысым болса, екіншісі үйкеліс күші . Салмақ әсерінен тіреуші бет деформациаланады да  және  реакцияларының түсу нүктесі бастапқы А нүктесінен  – нүктесіне көшеді (1.35 сурет). А нүктесі, P күші бағытталған жаққа қарай, бастапқы орнынан d қашықтыққа жылжиды да  орнына келеді. Каток осы кезде тепе- теңдікте болсын делік. Катокке әсер етіп тұрған күштер жүйесінің тепе-теңдігінің шарттарын жазайық:

     , , .  (1.33)

Алғашқы екі теңдеуден

                                           F = Q, N = P                                       (1.34)

екенін анықтаймыз. Ал соңғы теңдеуден А және  нүктелерінің ара қашықтығын табамыз:

                                              .                                  (1.35)

(1.33) теңдеулерінен үшіншісіндегі нормаль -нің А центріне қатысты алынған моментін домалау үйкелісінің моменті деп атайды оны Мх арқылы белгілейді:

                                     Mx = M0 () = Nd.                                 (1.36)

(1.36) формуласының  актив күшінің сан шамасы өсе түссе d қашықтығы да өсетінін көреміз.

1-мысал. Білікке моменті  қос күш түсірілген және радиусы  тежегіш доңғалақ бекітілген. Тыныштық қалпында доңғалақ пен негіз арасындағы үйкеліс коэффициенті -ке тең.

Доңғалақты тоқтату үшін, тежегіш негіз доңғалақты қандай күшпен қысуы керек екенін табу керек.

Шешуі. Тежегіш доңғалақтың тепе-теңдігін қарастырамыз. Оған моменті М қос күш түсірілген. Доңғалақты байланыстан босатамыз, оның әсерін реакция күшімен ауыстырамыз. Әрбір реакция екі құраушыға жіктеледі: нормаль қысым  және үйкеліс күші  Үйкеліс күшін анықтайтын формуланы жазамыз:

.

Барлық күштердің айналу өсіне қатысты алынған моменттерінің қосындысын нөлге теңейміз:

 немесе .

Осыдан:

.

2-мысал. Саты АВ вертикаль қабырғаға сүйеп қойылған. Саты мен қабырға және еденнің арасындағы үйкеліс коэффициеттері  және . Сатының адаммен бірге салмақ күші , сатыны  қатынасына бөлетін С нүктесіне түсірілген. Сатының тепе-теңдік жағдайында, саты мен қабырға арасындағы бұрыш -ның ең үлкен мәнін, сонымен қатар қабырға және полдың нормаль құраушы реакцияларын табу керек (1.36-сурет).

1.36-сурет

Шешуі. Сатыға әсер етуші бір ғана актив күш бар. Ол сатының салмақ күші , оны суретте көрсетеміз. Сатыны байланыстардан босатамыз. Еден мен қабырғаның сатыға жасайтын әсерлерін  нормаль қысым және  үйкеліс күштерімен ауыстырамыз. Үйкеліс күшінің шекті шамасында бұрыш  болады, сондықтан:

, .

Күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін екі проекциялық, бір моменттік теңдеулері түрінде аламыз:

,

,

Құрылған бес теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

;        ;        .

 

1.7. Параллель күштер центрі және ауырлық центрі

1.7.1. Параллель күштер центрі

 

Бірыңғай бір жаққа бағытталған параллель күштер жүйесінің тең әсерлі күші нөлге тең емес және ол жүйедегі күштерге параллель бағытталып, С нүктесі арқылы өтеді. Осы С нүктесінің О центріне қатысты радиус-вектор с-ны және Xc. Yc. Zc координаттарын табу керек (1.37 сурет). Берілген күштер жүйесіне Вариньон теоремасын пайдаланамыз. Бұл теорема бойынша:

  (1.37)

Бұл теңдікті 1.37-сурет көмегімен құрамыз:

                  (1.38)

 

Енді (1.37)- теңдіктің оң жағындағы векторды есептейік:

                                   .                            (1.39)

Суреттен:

                                 .                      (1.40)

(1.40) теңдіктер көмегімен (1.39) –теңдікті мына түрге келтіреміз:

        (1.41)

(1.38) және (1.41) теңдіктерді (1.37) теңдіктегі орындарына қойып, одан бізге қажет теңдікті аламыз:

 немесе

 

                                           .                          (1.42)

(1.42)-теңдіктен О-ға қатысты радиус-векторы с анықталады:

 

                                             .                                   (1.43)

(1.43)- векторлық теңдіктің екі жағын координаттық өстерге проекциялай отырып, Хс, Ус, Zc шамаларын өрнектейтін формулаларды табамыз:

                  , , .           (1.44)

 

1.7.2. Қатты дененің ауырлық центрі

 

Қатты дене n бөлшектерден тұрады делік (1.38-сурет). Сонда, жердің центріне қарай бағытталған, бөлшектердің n ауырлық күштері , 1, 2,......,n аламыз. Егер дененің өлшемдері жердің радиусына қарағанда әлдеқайда кіші шама болса, онда 1, 2, ......., n күштерін өзара параллель бағытталған күштер деп алуға болады.

Дене бөлшектерінің ауырлық күштерінен түратын 1, 2, ......, n параллель күштер жүйесінің центрін дененің аурылық центрі деп атаймыз.

Демек, қатты дененің ауырлық центрінің орны мына формуламен табылады:

                                                                                 (1.45)

Дененің ауырлық центрі С-ның координаттарын Хс, Yc,  Zc, деп белгілесек, онда (1.45) векторлық теңдеуден мына формулаларды табамыз:

                          ,,.           (1.46)

(1.46) – формулалар дененің ауырлық центрінің координаттарын береді.

Мысал. Радиусы см болатын  дөңгелек сегмент ауданының ауырлық центрі С-ны табу керек. .

Шешуі. Ауырлық центрі  симметрия өсінің бойында жатыр.

Берілген сегмент  ауданын ойша  сектор ауданына дейін толықтырамыз. Сонда берілген аудан орнына сектор ауданы мен ауданы теріс таңбалыАВО шығады.

Координаттар өстерінің бас нүктесі ретінде О-ны аламыз да, өстерді суреттегідей бағыттаймыз.

Есеп шартына сай топтау әдісінен шығатын формула, мынадай түрде жазылады:

.

Формуладағы белгісіз шамалар:сектор ауданы  үшбұрышының ауданы сектор ауданының ауырлық центрінің абсциссасы  үшбұрышы ауданының ауырлық центрінің абсциссасы. Осыларды есептейік:

 

,            ,

,                 .

 

Осы шамаларды негізгі формулаға қойсақ:

 

.

 

r = 30 см және a = 30° болғанда:

 

хС = 27.7 см.

 

1.8. Студенттердің өзіндік жұмыс тапсырмалары

1.8.1. 1-тапсырма. Қатты дененің байланыс реакцияларын анықтау

 

Сұлбаларда (1.40-1.43-суреттер) әрбір вариант үшін өсі сынық сызықты білеудің үш қосылыс тәсілдері көрсетілген. Берілген жүктемелер және өлшемдер (м) барлық үш жағдайлар үшін бірдей.

Тапсырманың орындалу мысалы. Берілгені: білеудің қосылыс сұлбасы. (1.44,а,б,в-сурет);  кН;  кНм;  . Ең кіші реакция модуліне сәйкес болатын білеудің қосылыс тәсілі үшін тіректердің реакцияларын анықтау керек.

1-кестеде көрсетілген ең кіші реакция шамасына сәйкес болатын білеудің қосылыс тәсілі үшін тіректердің реакцияларын анықтау керек.

Тапсырманың орындалу мысалы. Берілгені: білеудің қосылыс сұлбасы. (1.44,а,б,в-сурет);  кН;  кНм;  . Ең кіші реакция модуліне сәйкес болатын білеудің қосылыс тәсілі үшін тіректердің реакцияларын анықтау керек.

 

Шешуі. Құрылымға түсірілген теңгерілген күштер жүйесін қарастырамыз. Байланыстардың құрылымға әсерін оладың реакцияларымен ауыстырамыз (1.45-сурет): а сұлбасында -  б сұлбасында - , в сұлбасында - .

 

1-кесте

Вариант номері (1-4 сурет)

 

Р, кН

 

М,

 кНм

 

кН/м

 

Зерттеле-тін реакция

 

Вариант номері

(1-4 сурет)

 

Р, кН

 

М, кНм

 

 кН/м

 

Зерттеле-

тін реакция

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

10

20

15

5

10

6

2

20

10

2

4

10

20

15

10

 

6

5

8

2

4

2

4

10

6

4

10

5

12

4

5

 

2

4

1

1

-

1

2

4

-

2

1

2

2

3

2

 

YA

MA

YB

YB

XB

MA

XA

RB

YA

RA

RB

YA

YA

YA

XA

 

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

12

20

14

16

10

20

6

10

4

10

20

10

20

25

20

 

6

4

4

6

-

10

6

4

3

10

5

6

10

-

10

 

2

3

2

1

4

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

 

MA

YA

XA

RB

YA

MA

YA

MA

YA

XA

MA

XA

YA

MA

RB

 

 

Бірқалыпты үлестірілген жүктеменің салмақ күшін табу үшін, ұзындықтың бір өлшеміне келетін ді ұзындыққа көбейтеміз:

.

Қайсы жағдайда қатаң байланыстың моменті ең кіші болатынын білу үшін, қалған реакцияларды анықтамас бұрын, барлық үш сұлба үшін оны табамыз.

а сұлбасы үшін

Осы теңдеуден ны табамыз:

м.

б сұлбасы үшін

 және

в сұлбасы үшін

 және

мұндағы


1.40-сурет

 

                                             1.41-сурет

 

1.42-сурет


                                              1.43-сурет

Сонымен, қатаң байланыстың ең кіші моменті белбеу қосылысының б сұлбасында. Осы сұлбалар үшін, қалған тірек реакцияларын анықтаймыз:



Осы теңдеуден 

           1.44-сурет                                                 1.45-сурет

 

Осы теңдеуден 

Есептеу қорытындысы 2-кестеде келтірілген.

2-кесте

1.43-суркттегі сұлба бойынша

 

Момент

Күштер, кН

 

 

RB

 

а

б

в

11,07

4,00

-31,61

 

-

5,94

-

 

-

3,54

-

 

 

1.8.2. 2-тапсырма. Құрылымдар жүйесінің тірек реакцияларын анықтау

 

Құрылым екі бөліктен тұрады. 3-кестеде көрсетілген құрылым бөліктерінің ең кіші реакция модуліне сәйкес болатын қосылыс тәсілін, және осы қосылыс варианты үшін тірек реакцияларын, сонымен қатар С топсасының реакциясын анықтау керек.

1.46-1.48-суреттерде С топсаның көмегімен қосылған бірінші тәсіл көрсетілген. 3-кестеде қатаң жылжымалы топса көмегімен қосылған екінші тәсіл сұлбасы көрсетілген.

Тапсырманың орындалу мысалы. Берілгені: құрылымның сұлбасы (1.49-сурет);  .

Тірек А-ның ең кіші реакция модуліне сәйкес болатын қосылыс тәсілін, және осы қосылыс варианты үшін тірек реакцияларын, сонымен қатар С топсасының реакциясын анықтау керек.

Шешуі. 1. С нүктесінде топсаның көмегімен қосылысы үшін тірек А-ның реакциясын анықтау.

 

3-кесте

Вариа

нт номері

 

P1

 

P2

 

M, кНм

 

q, кН/м

 

Зерттелетін реакция

 

Вариа

нт номері

 

P1

 

P2

 

М, кНм

 

q,

кН/м

 

Зерттелетін реакция

 

кН

 

кН

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

13,0

14,0

15,0

12,0

9,0

6,0

5,0

 

-

10,0

9,0

-

-

8,0

7,0

6,0

-

-

5,0

4,0

6,0

-

8,0

 

24,0

22,0

20,0

18,0

16,0

25,0

20,0

15,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

22,0

 

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

 

XA

RA

RB

MA

RA

MA

RB

MA

XA

RA

RD

RB

RA

MA

MB

 

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

7,0

9,0

11,0

13,0

15,0

10,0

5,0

8,0

11,0

14,0

12,0

10,0

8,0

6,0

10,0

 

10,0

12,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

6,0

8,0

7,0

9,0

10,0

12,0

 

14,0

26,0

18,0

30,0

25,0

20,0

15,0

10,0

5,0

7,0

9,0

11,0

13,0

15,0

17,0

 

3,8

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0

1,2

1,4

1,6

 

RB

RA

MB

MB

RB

RA

RA

RA

MA

RB

RB

XA

RA

MA

MB

 

 


                                                    1.46-сурет

 


                                           1.47-сурет

 


                                            1.48-сурет

 

Құрылымға түсірілген теңгерілген күштер жүйесін қарастырамыз (1.49-сурет). В нүктесіне қатысты күш моменттері теңдеуін құрамыз. Моментті есептеу жеңіл болу  күшін вертикаль және горизонтальқұраушыларына жіктейміз:

; ,

,(1)

мұндағы  .

Берілген шамалардың сан мәндерін орындарына қойсақ, онда

(1)-теңдеу мынадай түрде жазылады:

                                     .                                (

С топсасының сол жағында орналасқан құрылым бөлігін қарастыра отырып, белгісіздер  және  үшін екінші теңдеуді құрамыз:

 

немесе есептеуден кейін

                                                                    (2)

Алынған (1) және (2) теңдеулер жүйесін шешеміз:

   

С нүктесінде топсаның көмегімен қосылысы үшін тірек А-ның реакциясының модулін анықтаймыз:

.


2. 1.52-суретте көрсетілген C нүктесінде қатаң жылжымалы топса көмегімен қосылған құрылым бөлігін есептеу сұлбасы.

            1.49-сурет                                             1.50-сурет

 

1.50 және 1.52-суреттерде көрсетілген күштер жүйесінің айырмашылығы жоқ. Сондықтан -теңдеу өзгеріссіз қалады. Екінші теңдеуін құру үшін С топсасының сол жағында орналасқан құрылым бөлігіне түсірілген теңгерілген күштер жүйесін қарастырамыз.

Осы күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін теңдеуді жазамыз:

                                                                (3)

осыдан

және  теңдеуінен -ны табамыз

С нүктесінде қатаң жылжымалы топса көмегімен қосылысы үшін тірек А-ның реакциясының модулін анықтаймыз:


Сонымен, С нүктесінде қатаң жылжымалы топса көмегімен қосылысы үшін тірек А-ның реакциясының модулі, топсаның

             1.51-сурет                                          1.52-сурет

 

көмегімен қосылысынан кіші %-ке). Тірек В-ның құраушы

реакцияларын және қатаң жылжымалы топаса реакциясын анықтаймыз.

С нүктесінің сол жағындағы бөлігі үшін, түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін теңдеуді жазамыз (1.53, а-сурет):

                                                              (4)

осыдан

Тірек В-ның құраушы реакцияларын және қатаң жылжымалы топса моментін, С топсасының сол жағында орналасқан құрылым бөлігіне құрылған  тепе-теңдік теңдеулер  арқылы анықтаймыз (1.53, б-сурет):

 

 

 

 

                                        (5)

                                                         (6)

                                                      (7)

 

 тікбұрышты үшбұрышынан

 

 

Құрылған үш теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз шамаларды табамыз:

 

      

 

Реакциялардың дұрыс анықталғанына көз жетеізу үшін , бүтіндей құрылымға түсірілген күштердің қолданылмаған тепе-теңдік теңдеуін құрамыз (1.49-сурет), мысалы:

 

.

 

Есептеу қорытындысы 4-кестеде келтірілген.

 

 

 

                                                                                                   4-кесте

 

 

Күштер, кН

 

Момент, кНм

 

XA

 

YA

 

RA

 

YC

 

XB

 

YB

 

MC

 

1.47-сур. сұлба үшін

-7,97

3,36

8,65

 

-

 

-

 

-

 

-

 

1.50-сур. сұлба үшін

-5,50

 

3,85

 

6,71

 

0,48

 

5,82

 

4,37

 

8,44

 

 

1.8.2. 3-тапсырма. Қатты дененің тірек реакцияларын анықтау

 

Құрылымның тірек реакцияларын табу керек. Құрылымның сұлбасы 1.54-1.56-суреттерде көрсетілген. Есептеуге қажет берілген шамалар 5-кестеде келтірілген.

 

5-кесте

Вар

иа

нт

Күштер,

kH

Өлшем бірліктері см

Вариант

Күштер, kH

Өлшем бірліктері, см

 

Q

 

T

 

G

 

a

 

b

 

c

 

R

 

r

 

Q

 

T

 

G

 

a

 

b

 

c

 

R

 

r

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

2

4

20

3

5

1

-

4

5

1

-

4

10

-

3

-

-

-

-

-

4

3

6

-

4

2

-

-

2

-

 

20

2

18

2

3

2

1

3

3

2

1

1

5

1

2

 

20

20

400

30

30

40

30

20

20

30

20

25

40

30

60

 

30

10

400

20

40

30

10

40

15

40

30

20

30

90

20

10

30

450

40

20

20

5

15

10

20

15

8

20

20

40

 

15

10

-

15

20

20

18

20

30

20

15

15

25

30

20

 

5

10

-

10

15

10

6

10

40

10

10

10

15

10

5

 

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

4

2

6

-

4

2

-

-

5

-

-

10

35

-

5

 

-

-

-

8

-

-

-

-

-

-

-

-

-

4

-

 

2

1

2

2

-

-

5

4

2

3

1

-

32

3

-

 

50

15

60

20

60

40

20

40

-

50

20

50

400

15

40

 

30

10

40

30

40

60

50

30

-

50

60

30

200

20

40

 

-

20

60

40

20

30

30

50

-

60

40

50

200

15

10

 

-

20

-

20

-

-

-

-

-

-

-

-

-

15

-

 

-

5

15

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

10

-

 

 

 

Ескерту. 1. 16, 18, 22-26 варианттарда топсалар раманың АВ

                 бойымен орын ауыстыруына кедергі жасамайды деп

                 қабылданады.

2. 20 және 21 варианттарда жанасатын беттер жылтыр

деп қабылданады.

 

Тапсырманың орындалу мысалы. Берілгені: салмағы  рама , , , , ,  (1.57-сурет).  және С тіректерінің реакцияларын табу керек (А-сфералық топса, В-топса, С-салмақсыз сырық).

Шешуі. Рама АВСD-ға салмақ күші , күш , сырық СЕ-нің реакциясы А  және В тіректерінің  реакциялары түсірілген.

Сфералық топса А-ның реакциясы үш құраушыларымен анықталады: , , , ал топса В-ның реакциясы – екі:  және  (1.58-сурет).

Күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте тұрған рама АВСD-ның тепе-теңдігінің теңдеулерін жазамыз:

  ,

  ,

  ,

 

 

 


                                                   1.54-сурет

 


                                             1.55-сурет

 


1.56-сурет

 

 

  ,

  ,


  .

 

                  1.57-сурет                                             1.58-сурет

Осы теңдеулер жүйесінен , , , ,   белгісіз шамаларды табамыз.

 

Есептеу қорытындысы 6-кестеде келтірілген.

6-кесте

Күштер, кН

 

S

 

XA

 

YA

 

ZA

 

XB

 

ZB

 

0,289

 

-0,600

 

-2,00

 

-0,54

 

0,744

 

1,29

 

 

 

 

2. Нүкте және қатты дене кинематикасы

Кинематикаға кіріспе

 

Теориялық механиканың кинематика бөлімінде денеге әсер ететін күштер есепке алынбаған жағдайдағы механикалық қозғалыс қарастырылады. Кинематика  “Кинема” (қозғалыс)” деген грек сөзінін алынған. Теориялық механиканың бұл бөлімінде денелер қозғалыстары, күштерге тәуелсіз, таза геометриялық тұрғыдан қарастырылады. Мұнда қаралатын негізгі мәселелер: а) дененің берілген қозғалысын математикалық формулаларды және графиктер мен кестелерді қолдана отырып сипаттау; б) осы қозғалысты сипаттайтын кинематикалық шамаларды табу. Кинематикаға арнайы енгізілген ұғымдар мен шамалар бар. Олар: нүкте, абсолют қатты дене, санақ жүйесі, траектория мен жол, орын ауыстыру, жылдамдық, үдеу, айналу бұрышы, бұрыштық жылдамдық, бұрыштық үдеу шамалары. Осы ұғымдарды және кинематикалық шамаларды пайдалана отырып, механикалық қозғалыстарын уақыт t-ға тәуелділіктерін өрнектейтін теңдеулерді құру – кинематиканың негізгі мақсатына жатады.

Тек ұзындық бірлігі L және уақыт бірлігі t мен өрнектелінетін шамаларды кинематикалық шамалар деп айтамыз.

Қозғалыстағы дене уақыт өтуіне байланысты басқа денелерге қарағандағы кеңістіктегі орнын өзгертіп отырады, сондықтан оның кеңістіктегі орнын немесе қозғалысын шартты түрде қозғалмайды деп алынған , кез келген бір екінші қатты денемен салыстырып қарау арқылы ғана анықтауға болады. Берілген дененің қозғалысын салыстыру үшін таңдап алынған екінші дене санақ денесі деп аталады. Оны таңдау қарастырылып отырған есептің шешімін табу ыңғайына  сәйкес орындалады. Таңдап алынған санақ денесіне координаттар жүйесі бекітіліп алынады. Күн жүйесінің массалар центрінде жатып, өстері қозғалмайтын жұлдыздарға бағытталған координаттар жүйесі негізгі немесе инерциялық координаттар жүйесі деп аталады.

 

2.1. Нүкте кинематикасы

2.1.1 Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері

 

Нүкте қозғалысының заңын анықтаудың немесе қозғалыс теңдеулерін құрудың үш тәсілі бар.

1. Табиғи тәсіл. Нүкте қозғалысының берілуінің үш тәсілінің бірі - табиғи тәсіл. Нүкте қозғалысының берілуінің табиғи тәсілінде нүктенің кез келген бір санақ жүйесіне қатысты траекториясы беріледі. Одан кейін, оның бойынан қандайда болсын бір нүкте -ді доға ұзындығын есептеудің бастапқы нүктесі етіп алып, қашықтықты санаудың оң бағыты үшін мүмкін екі бағыттың кез келген бірі алынады. Сонда М нүктесінің орны S=O1M  шамасымен анықталады.

А нүктенің траектория бойындағы орнын әрбір уақыт сәтінде де таба алуымыз үшін, доға ұзындығы S=O1M және уақыт t-ның әрбір мәніне сәйкес келетін S-тің мәнін беретін бір сарынды, үздіксіз уақыт функциясы берілуі керек.

                                                                                           (2.1)

Доға ұзындығы S пен уақыт t-ның арасындағы функциялық тәуелділік (2.1) нүктенің траектория бойымен қозғалуының заңы деп аталады.

2. Координаталық тәсіл. Бізге абсолют қозғалмайтын өстер жүйесіне қатысты М нүктесінің қозғалысын қарастыру керек болсын. Егер осы нүктенің x,y,z уақыт t-ның үздіксіз бірмәнді функциялары болып келсе, яғни:

 

                      .                                  (2.3)

онда нүктенің әрбір уақыт сәтіндегі орны толық анықталады.

Сонымен, нүктенің орнын анықтаудың координаттар тәсілінде қандайда бір координаттар жүйесінде оның координаттары уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі. (2.3)-теңдеулер нүкте қозғалысының теңдеулері деп аталады. Сонымен қатар, бұл теңдеулерге нүкте траекториясының параметрлік теңдеулері деп қарауға болады. Траектория теңдеуін анықтау үшін (2.3)–теңдеулерден параметр рөлінде тұрған t-ны аластау керек. Сонда траекторияның теңдеуін мынадай екі теңдеу жүйесі түрінде аламыз:

                            .                                    (2.4)

Мысал. Нүктенің қозғалысы мынадай теңдеулермен берілген:

                                                                          (а)

Нүкте қозғалысының теңдеулері (а) арқылы, оның траекториясының теңдеуін және нүктенің траектория бойымен қозғалысының заңын анықтау керек. Траектория бойымен есептелетін қашықтық  нүктенің бастапқы орнынан бастап саналады.

Шешуі. Нүкте траекториясын табу үшін нүкте қозғалысының заңын өрнектейтін (а) теңдеулерінен параметр ролін атқаратын уақыт ны аластау керек. Ол үшін (а) теңдеулерінің екі жағында квадраттап алып, біріне-бірін қосамыз:

                немесе .                (б)

(б) теңдеуі нүктенің, шеңбер бойымен қозғалатынын көрсетеді (2.3-сурет). Қозғалыс басталардағы уақытты  десек, онда нүкте  орнында болады. Қашықтықты деп белгілесек, ол  мынадай формула арқылы есептеледі:

.

Траектория бойымен қозғалыс заңдылығын анықтаймыз. Уақыт  t бойынша x және y-тен туынды аламыз:

.

Осы мәндерді мына теңдікке қоя отырып

,

алатынымыз       или   .                                          (2)

(2)-теңдеу траектория бойымен нүктенің қозғалыс заңдылығын береді. (1)-теңдеуге сәйкес, =0 болғанда х=0, у=3 болады, яғни нүкте М0 орнында болады (2.3-сурет), уақыт t өсе бастағанда х өседі, ал у кемиді. Сонымен, доғалық координата S-тің басы М0 нүктесінде жатыр, ал қозғалыс шеңбер бойымен 2.3-суретте көрсетілген бағытта бағытталады.

3. Векторлық тәсіл. Бұл тәсілде Oxyz координаттар жүйесіне қатысты нүктенің орны  =  векторымен анықталады (2.4-сурет). Координаттар бас нүктесін және берілген М нүктесін қосатын вектор -ді нүктенің радиус –векторы деп атайды. Қозғалыс кезінде -өзінің модулін де, бағытын да өзгертеді. Демек, ол t-ның бір мәнді, үздіксіз, дифференциалданатын функциясы болып келеді. (2.5) өрнегі нүкте қозғалысының векторлық теңдеуі:

 

                                                      .                                    (2.5)

 

2.1.2. Қозғалысы векторлық тәсілмен берілген нүкте жылдамдығын анықтау

 

Нүкте М-нің қозғалысы Oxyz координаттар жүйесіне мына векторлық теңдеумен анықталсын:

.

М нүктесінің қандай да t уақытындағы орны = радиус векторымен, ал t1=t+Δt уақыт мезгіліндегі орны 1=1 радиус векторымен анықталсын (2.5-сурет). Траекторияның М және М1 нүктелерін ММ1 векторымен қосайық.

Сонда векторлық үшбұрыш ΔOMM1 -ден мынадай векторлық қосынды алуға болады: 1= Осыдан  екенін анықтаймыз. Радиус –вектор -дің Δt уақыт аралығындағы алған өсімшесі Δ-ді М нүктесінің орын ауыстыруы дейміз.

Радиус-вектор өсімшесі Δ - дің оған сәйкес уақыт өсімшесі Δt -ға қатынасы, Δt –уақыт аралығындағы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады. Ол мына формуламен беріледі:

                                            .                                             

Орташа жылдамдық векторы орт хорда ММ1 бойымен қозғалыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.5-сурет).

Нүктенің берілген t уақыттағы жылдамдығы деп уақыт өсімшесі Δt-нің нөлге ұмтылған кездегі орташа жылдамдықтың ұмтылған шегін айтамыз.

                                             .                                        (2.6)

(2.6)–формула лездік жылдамдық немесе берілген t уақытындағы жылдамдықты анықтайды. (2.6) теңдігінің оң жағындағы қатынастың шегі уақыт бойынша алынған радиус-вектордың туындысын береді. Осыны ескерсек (2.6) –теңдікті мына түрде жаза аламыз:

                                         .                                           (2.7)

Берілген сәттегі нүкте жылдамдығы деп, оның радиус–векторының уақыт бойынша алынған туындысына тең болып келген векторлық шама, -ны айтамыз.

 

2.1.3. Қозғалысы векторлық тәсілмен берілген нүктенің үдеуі

Надпись: 2.6-сурет

Нүктенің қозғалысы векторлық теңдеуімен берілген дейік, сонда нүктенің Oxyz–координаттық жүйедегі радиус-векторы  уақыт t–ның бірмәнді, үздіксіз дифференциалданатын функциясы ретінде анықталады:

 

                                               .                                          (2.8)

(2.8)–теңдеу нүктенің жылдамдық векторы -ның уақытқа тәуелді өзгеруін көрсететін, мынадай  теңдеуді береді:

                                            .                                             (2.9)

Нүктенің қозғалысы кезінде жылдамдық векторы өзінің шамасында, бағытында өзгертіп отырады. Жылдамдықтың уақыт өтуіне байланысты өзгеруінің тездігін сипаттаушы физикалық шаманы үдеу деп атайды. Осы шаманы анықтайтын t мезгілінде М нүктесінің жылдамдығы  болады дейік (2.6-сурет), ал уақыт t1=t+Δt-ға, тең болған сәтте, ол 1= болсын. Осы Δt уақыты аралығындағы жылдамдық векторы -ның өсімшесі Δ-ны геометриялық жолмен табу үшін, траекторияның M нүктесінде жылдамдықтар параллелограмын құрамыз. Осы параллелограмм диагоналін өрнектейтін қосындыдан Δ-ны табамыз:

                                            .                                      (2.10)

Жылдамдық өсімшесі Δ-ның сәйкес уақыт өсімшесі Δt-ға қатынасын алайық:

                                            ,                                          (2.11)

мұндағы орт векторын нүктенің Δt уақыт аралығындағы орташа үдеуі дейміз. Осы анықтамадан берілген уақыттағы, яғни лездік үдеудің анықтамасын алуға болады.

Нүктенің берілген уақыттағы үдеуі деп, Δt уақыт өсімшесі нөлге ұмтылғандағы орташа үдеудің ұмтылған шегін айтамыз:

 

                                 ,                                 (2.12)

мұндағы Δ/Δt қатынасының Δt→0 кездегі шегі,  -векторының аргумент t бойынша алынған бірінші туындысы болып табылады және оны  деп белгілейміз осыны ескере отырып, (2.12) –теңдіктен мына түрдегі

                                                                                           (2.13)

өрнек аламыз. Жылдамдық векторының  (2.5.) өрнегін ескере отырып, (2.13)-ні былай да жаза аламыз:

                                             .                                          (2.14)

Сонымен, берілген уақыт мезгіліндегі нүктенің үдеуі деп жылдамдық векторының уақыт бойынша алынған бірінші туындысына (2.13) немесе нүктенің радиус-векторының уақыт бойынша алынған екінші туындысына (2.14) тең болатын векторлық шаманы айтамыз.

Лездік үдеу векторы , траекторияның М нүктесіндегі жанаспа жазықтығында жатады және М нүктесінен траекторияның ойыс (ішкі) жағына қарай бағытталады. Траектория жазық қисық болса, онда оның барлық нүктесіндегі жанаспа жазықтық бірдей бір жазықтық болады. Ол қисық сызықтың өз жазықтығына дәл келеді.

 

 

2.1.4. Қозғалысы координаттық тәсілде берілген нүкте жылдамдығын анықтау

 

Нүктенің Oxyz санақ жүйесіндегі қозғалысы координаттық тәсілде берілген. Демек, нүктенің осы санақ жүйесіндегі координаттары x, y, z уақытқа тәуелді функциялар түрінде беріледі:

                                  .                        (2.15)

Қозғалыс тендеулері (2.15)  арқылы берілген М-нүктесінің жылдамдығын анықтауға қажетті формулаларды табуымыз керек. Осы мақсатпен жоғарыда көрсетілген

                                                                                          (2.16)

векторлық теңдеуіндегі = радиус-векторын оның Oxyz өстеріндегі құраушылары арқылы өрнектейік:

                                         .                                  (2.17)

(2.17) өрнегін (2.16) –теңдіктегі орнына қояйық:

                                         .                             (2.18)

Осыдан:

                                     .                               (2.19)

Енді жылдамдық векторы -ны үш құраушыға жіктеп, оны (2.19) теңдігінің сол жағына қоямыз:

                           .                 (2.20)

(2.20) тепе-теңдігіндегі өзара тәуелсіз , ,  векторының алдындағы коэффициенттерді теңестіреміз:

                                  .                          (2.21)

(2.21) формулалары нүкте жылдамдығы -ның координаттық өстердегі  проекцияларын өрнектейді. Жылдамдық проекциялары (2.21) табылғаннан кейін вектордың өзі де толық табылады. Оның модулі мына формуламен анықталады:

                                      .                                   (2.22)

Осыдан соң жылдамдық векторының бағыттаушы косинустарын есептей аламыз:

                  .             (2.23)

Мысал. Қосиін ОА тұрақты  бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады. Қосиін-бұлғақты механизм бұлғағының ортасында орналасқан М нүктесінің және жылжыма В-ның жылдамдықтарын табу керек.

Шешуі. М және В нүктелерінің қозғалыс теңдеулері берілмеген, сондықтан, оларды құру қажет. Механизмді кез келген орнында кескіндейміз. Координаттар өстері 2.7-суретте көрсетілген. М және А нүктелерінен өстерге МД, МЕ және АК перпендикуляр түзулерді тұрғызамыз. Онда алатынымыз:

2.7-сурет

AB = OA = а, AM = а/2, a = wt, мәндерін ескере отырып, M және B нүктелерінің қозғалыс теңдеулерін құрамыз:

M және B нүктелерінің жылдамдықтарын анықтаймыз:

,

.

 

2.1.5. Қозғалысы координаттық тәсілмен берілген нүктенің үдеуін анықтау

 

Қозғалмайтын Oxyz координаттар жүйесіндегі нүкте

қозғалысы

                                                                          (2.24)

теңдеулерімен анықталады дейік. Осы теңдеулер арқылы нүкте үдеуін қалай есептеуге болатынын көрейік. Нүкте үдеуі деп (2.13) не (2.14) векторлық теңдікпен берілген векторды айтамыз. (2.14) теңдіктің оң жағындағы радиус-вектор -ді координаттар өстеріне жіктеп жазуға болады:

                                          .                                 (2.25)

(2.25)-тегі  векторының компоненттерін (2.14) теңдігіне қойып

                                         .                         (2.26)

 (2.26) теңдігінің оң жағындағы туындыны есептеп шықсақ, мына теңдікке келеміз:

                                .                           (2.27)

Енді үдеу векторы -ны үш құраушыға жіктеп оны (2.27) теңдігінің сол жағына қоямыз:

                     .                (2.28)

(2.28) теңдігі орынды болуы үшін, бұл теңдіктің екі жағында тұрған өзара тәуелсіз , ,  бірлік векторларының әрбіреуінің араларындағы коэффициенттері бірі-біріне тең болуы керек:

                    ,          .                    (2.29)

Үдеу модулі мына формуламен анықталады:

                                      .                                  (2.30)

Үдеу векторының кеңістіктегі бағыты оның бағыттаушы косинустарымен анықталады:

                  .            (2.31)

 

2.1.6. Қозғалысы табиғи тәсілмен берілген нүктенің жылдамдығын анықтау

 


Нүкте М-нің қозғалысы координаттар жүйесінде табиғи тәсілде берілген дейік. Демек, нүктенің траекториясы АВ көрсетілген (2.8-сурет). Осымен қатар, доғалық қашықтық S =  уақытқа тәуелді функция ретінде берілген S = f(t) Енді нүктенің жылдамдығын есептеу жолын көрсетейік. Ол үшін жылдамдық векторының анықтамасы (2.8) –ді берілген және О1 санақ нүктесі, қашықтықты есептеудің оң бағытты пайдаланамыз:

 

мұндағы  нүктенің радиус векторы. (2.8) –дің екі жағынан модуль алайық:

                                       .                                       (2.32)

Бұл жерде уақыт дифференциалы dt оң таңбалы шама екені ескеріледі. Енді радиус векторың дифференциалының модуліне тең болатынын пайдаланайық:

                                              .                                        (2.33)

(2.32) теңдегі арқылы (2.33) өрнегінен мынадай формуланы аламыз:

                                               .                                           (2.34)

Доғалық координаттың уақыт бойынша алынған туындысының таңбасы “+”, не “-” болуы мүмкін. Егер қозғалыс доғаны есептеудің оң бағытында орындалса, онда  болатындықтан  ал қозғалыс доғалық қашықтықты есептеу бағытына қарсы бағытта орындалатын жағдайда . Траекторияның М нүктесінде жүргізілген жанаманың бірлік векторын  деп белгілейік. Бұл  векторы S доғалық қашықтықты есептеудің оң бағытына сәйкес бағытталатынын ескерсек, онда (2.34)-ті векторлық түрде жаза аламыз:

.

Сонымен, нүкте қозғалысы табиғи тәсілде берілген болса, онда оның жылдамдығының модулі де, бағыты да толық анықталады.

 

2.1.7. Табиғи үш жақ. Табиғи өстер. Үдеу векторының жанама және нормаль құраушылары

1. Табиғи үш жақ. Табиғи өстер. Траекторияның бір–біріне шексіз жақын орналасқан үш нүктесі арқылы өтетін жазықтық, оның ортаңғы нүктесіне жүргізілген, жанаспа жазықтық деп аталады.

Жанамаға перпендикуляр, М нүктесі арқылы өтетін, N- жазықтығы траекторияның осы нүктедегі нормаль жазықтығы деп аталады.

Траекторияның М нүктесіндегі жанама арқылы өтетін нормаль және жанаспа жазықтықтарға перпендикуляр үшінші жазықтық траекторияның сол нүктедегі түзілеуші жазықтығы деп аталады (2.9-сурет). Жанаспа жазықтықта жатқан нормаль, қисықтың М нүктесіндегі бас нормаль деп, ал жанаспа жазықтыққа осы нүктеде жүргізілген перпендикуляр, бинормаль деп аталады. Жанаманың оң бағыты ( бірлік векторы) қозғалыспен бағыттас келеді. Бас нормальдың оң бағыты ( бірлік векторы) траекторияның ойыс жағына қарай бағытталады. Бинормальдың оң бағыты ( бірлік векторы)  және  векторларымен  оң координаттар жүйесін құрайтындай етіп алынады. Бас нүктесі М болатын бұл координаттар жүйесі М табиғи  координаттар жүйесі деп, немес табиғи үшжақ деп аталады Координаттар жазықтары екі-екіден алынған бірлік векторларымен анықталады. (,) –жанаспа жазықтық, (,) - нормаль жазықтық, (,) – түзулеуші жазықтық.


2. Қисық сызық қисықтығы. Нүктенің траекториясын жалпы жағдайда кеңістіктегі қисық сызық деп санаймыз. Нүкте траекториясының М нүктесі берілсін. Траекторияның осы нүктесінде

 

                                         2.10-сурет

және оған жақын орналасқан екінші нүктесі  арқылы  және  жанама бірлік векторларын жүргізейік (2.10-сурет).  нүктесі берілген М нүктесінен  қашықтықта болсын,  векторын М нүктесіне параллель көшірейік. М нүктесіндегі  және  екі бірлік векторлар арасындағы бұрышты,  деп белгілейік. Бұл бұрыштың  доға ұзындығына қатынасын алайық:

                                                .                                     (2.35)

(2.35) қатынасын траекторияның ММ1 доғасының орташа қисықтығы дейміз. Осы орташа қисықтық ұғымын пайдалана отырып, қисықтық яғни траекторияның берілген нүктедегі қисықтығы деген ұғым енгізе аламыз.

Қисықтың берілген М нүктесіндегі қисықтығы деп орташа қисықтықтың  нөлге ұмтылғандағы шегіне тең шаманы айтамыз:

                                           .                                    (2.36)

Орташа қисықтық өрнегі (2.35) арқылы (2.36) теңдігін мына түрде жазайық:

                                            .                                    (2.37)

(2.37)-теңдіктің сол жағындағы қатынастың алымының және бөлімінің де шекті мәндерін анықтайық.

 нөлге ұмтылғандағы немесе  нүктесінің траектория бойымен берілген М нүктесіне ұмтылғандағы  бұрыштың шекті мәнін  деп белгілеп, бұл бұрышты сыбайластық бұрыш деп атаймыз.

-тің  нүктесінің траектория бойымен М-ге ұмтылғандағы шегі  доға элементіне тең. Осы түсіндірмелерді пайдалана отырып, (2.37)-анықтаманы былай жазамыз:

                                                 .                                        (2.38)

(2.38)-формула қисық сызықтың берілген М нүктесіндегі қисықтығын анықтайды. Ол былай айтылады. Траекторияның берілген нүктесіндегі қисықтығы элементар сыбайластық бұрыштың доға элементіне қатынасына тең шама.

3. Қисықтың берілген нүктедегі қисықтық радиусы. Қисықтың М нүктесі берілсін, оның осы М нүктесіндегі қисықтық радиусы деп осы нүктедегі k –ға кері шаманы айтамыз. Қисықтың берілген М нүктесіндегі қисықтық радиусы  десек, онда ол осы айтылған анықтама бойынша мынаған тең:

                                                .                                           (2.39)

4. Үдеу векторының жанама және нормаль құраушылары. Кеңістікте бойымен М нүктесі қозғалатын қисық берілсін, нүктенің траектория бойындағы М орнына S = доғасы сәйкес келеді. Бұл доғаның t –уақытқа тәуелділігі берілсін:

                                                                                         (2.40)

Қозғалыс заңы (2.40) теңдігі түрінде берілген М нүктесінің үдеуінің векторы –ны табиғи өстер бағыттарындағы құраушыларға жіктеу керек. Осы мақсатты көздеп жылдамдық векторы -ны жанама бірлік векторы  арқылы өрнектейік:

                                        (2.41)

мұндағы v, жылдамдық векторы -ның  бағытындағы проекциясы vr=v. Егер нүкте қозғалысы доға S-тың ұзындығы есептеудің оң бағытына бағыттас орындалса, онда vr=v ол егер оның қозғалысы S- ті есептеудің оң бағытына қарсы бағытта өтетін болса , онда  vr= -v .

Екі жағынан уақыт бойынша туынды алу арқылы (2.41)-ді мына түрге келтіреміз:

                                                                             (2.42)

Бірлік векторы -дың дифференциалы, мынаған тең екені белгілі:

                                                                              (2.43)

Осы (2.43)–теңдікте әрі қарай түрлендірейік:

                                                         (2.44)

мұндағы ρ траекторияның М нүктесіндегі қисықтық радиусы. Соңғы (2.44) теңдікті ескерсек (2.42)–теңдіктен үдеу векторының мынадай жіктелуін аламыз:

                                                                             (2.45)

Бұдан, үдеудің жанама және бас нормаль бағыттары бойынша (2.11-сурет), тек екі құраушыға жіктелетінін көреміз. Демек, үдеу векторы жанаспа жазықтықта жатады, сондықтан да оның бинормальдағы құраушысы нөлге тең болады деген қорытындыға келеміз. Олай болса, үдеудің табиғи үшжақ өстеріндегі құраушылары мына түрде беріледі:

                                                               (2.46)

Үдеу векторының,  бағытындағы құраушысы τ=dv/dt  жанама (тангенцияль) үдеу, ал оның  -бағытындағы құраушысы n= v2/ρ нормаль үдеу болады, (2.42) –теңдікті қысқаша мына түрде жазуға да болады (2.11-сурет)

                                                                               (2.47)

Оның модулі:

                                                 (2.48)

Жанама үдеу жылдамдықтың шама жағынан өзгеруін сипаттайды, өйткені ол жылдамдықтың модулінен уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең. Олай болса, нормаль үдеу жылдамдықтың бағытының өзгеруін сипаттауға тиіс. Нормаль үдеудің шамасы әруақытта оң сан болғандықтан, толық  үдеу траекторияның қисықтық центріне қарай бағытталғандықтан, оны центрге тартқыш үдеу деп те атайды. Толық үдеудің бағыты, оның бас нормальдың оң бағытымен жасайтын, μ-бұрышымен анықталады (2.11-сурет).

                                                                                       (2.49)


Осы формуладан, жанама үдеу -дың таңбасына қарап, яғни жылдамдық модулі v-ның өсуіне не кемуіне байланысты, толық

             2.12-сурет                                       2.13-сурет

үдеуідің бас нормальдан қозғалыстың бағытына қарай, не оған қарсы бағытқа ауытқитынын көтеміз. Егер  (жылдамдықтың шамасы уақыт өткен сайын өсіп отыратын) болса, онда жанама үдеу  де қозғалыстың бағытына қарай бағытталады. Мұндай қозғалыс үдемелі қозғалыс деп аталады (2.12-сурет). Егер  болса, онда қозғалыс қисық сызықты қозғалыс, ал  болса, онда ол түзу сызықты қозғалыс қозғалыс болады. Тек жеке уақыт кезеңінде ғана  болса, онда сол сәтте қозғалушы нүкте траекторияның кері иілу нүктесінде (2.13-сурет) болғаны, не сол сәтте нүктенің жылдамдығы нөлге тең  болғаны.

Егер  (жылдамдық шамасы қозғалыс кезінде кеміп отыратын) болса,  және  векторлары қозғалысқа қарсы бағытталады, ал қозғалыс кемімелі қозғалыс деп аталады (2.12,б-сурет).

Егер барлық уақытта да  жылдамдықтың шамасы тұрақты, яғни  болса, қозғалыс бірқалыпты қозғалыс деп аталады. Егер тек қана жеке уақыт кезеңі үшін  болса, онда алгебралық жылдамдық өзінің экстремалды мәнін қабылдағаны. Ал барлық уақытта да  болса, онда нүкте бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болғаны.

 

2.1.8. Нүкте қозғалысының кейбір жеке түрлері

 

Траекторияның түріне қарай нүкте қозғалысы екі топқа бөлінеді. Қозғалыс кезінде түзу сызық сызатын нүктені түзу сызықты қозғалыс жасайды дейміз, траекториясы қисық сызық түрінде болып келетін нүктені екінші топқа жатқызамыз. Нүкте жылдамдығының өзгеруіне қарап бұл екі топтағы нүкте қозғалыстарының әрқайсысын әр түрге бөліп атаймыз. Алдымен нүктенің түзу сызықты қозғалысына жеке тоқтап өтейік.

1. Түзу сызықты бірқалыпты қозғалыс. Түзудің қисықтық радиусы  болғандықтан түзу сызықты қозғалыстағы нүктенің нормаль үдеуі нөлге тең болады да, оның толық үдеуі жанама құраушысына тең болады:

                                            .                                       (2.50)

Нүктенің жылдамдығы тұрақты, түзу сызықты қозғалысы – түзу сызықты бірқалыпты қозғалыс деп аталады. Мұндай қозғалыстың (2.50) – формула бойынша, үдеуі нөлге тең болады да, қозғалыс кезіндегі уақыттардың бәрінде жылдамдық векторы модулін өзгертпей сақтайды.

Түзу сызықты, бірқалыпты қозғалысты сипаттайтын формулалар мынадай:

                              .                            (2.51)

2. Түзу сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс. Үдеуі тұрақты нүктенің түзу сызықты қозғалысы - бірқалыпты айнымалы қозғалысы деп аталады, мұндай қозғалысты сипаттайтын формулалар элементар физикадан белгілі:

                    .                 (2.52)

3. Қисық сызықты бірқалыпты қозғалыс. Нүктенің қисық сызықты қозғалысында  болса, онда ол бірқалыпты қисық сызықты қозғалыс деп аталады. Демек, бірқалыпты қисық сызықты қозғалыс кезінде нүктенің жанама үдеуі нөлге тең болады да, толық үдеуі өзінің нормаль құраушысына тең болып келеді. Қисық сызықты бірқалыпты қозғалысты сипаттайтын формулалар мына түрде жазылады:

                               , .                              (2.53)

Нүкте жылдамдығын өрнектейтін теңдеуді интегралдау арқылы бірқалыпты бірқалыпты қисық сызықты қозғалыс заңын табамыз:

                                          .                                          (2.54)

4. Қисық сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс. Нүктенің жанама үдеуі қозғалыс кезінде үнемі тұрақты, яғни

                                         ,                                           (2.50)

Болса, онда қисық сызықты қозғалыс бірқалыпты айнымалы қозғалыс деп аталады.Мына теңдікті түрлендіре отырып оны мына түрде жазайық

                                             .                                         (2.55)

Осы теңдеуді интегралдау арқылы қозғалыс жылдамдығының өзгеру заңын табамыз:

                                            ,                                       (2.56)

мұндағы  нүктенің  болған кездегі бастапқы жылдамдығы. Қисық сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс заңын

                                          .                                 (2.57)

теңдеуін интегралдау арқылы мына түрде аламыз:

                                         ,                             (2.58)

мұндағы бастапқы қашықтық.

4. Қисық сызықты қозғалыстың жалпы жағдайы. Үдеу векторы жылдамдық векторының өзгеру тездігін анықтайды. Ол жалпы жағдайда жанама және нормаль құраушыларға жіктеледі. Жанама үдеу жылдамдық векторының сан мәнінің өзгеруін, ал нормаль үдеу жылдамдық бағытының өзгеруін сипаттайды. Жалпы жағдайда, жылдамдықтың өзгеруі толығынан қарастырылатындықтан , , болып келеді.

Жалпы жағдайдағы қисық сызықты қозғалыс үдемелі және кемімелі деген екі түрге бөлінеді. Үдемелі қозғалыс кезінде  және  шамаларының таңбалары бірдей, ал кемімелі қозғалыс кезінде бұлардың таңбалары қарама-қарсы болып келеді. Басқаша айтқанда, үдемелі қозғалыс кезінде жанама үдеу векторы жылдамдық векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал кемімелі қозғалыс кезінде ол жылдамдық векторына қарама-қарсы бағытта болады.  оң шама болғандықтан нормаль үдеу бас нормальмен бірдей бағытталады. Нормаль үдеу траекторияның қисықтық центріне қарай бағытталуына байланысты, ол кейде центрге ұмтылғыш үдеу деп те аталынады. Осыдан бұрын айтылған үдеу векторының үнемі траекторияның ойыс жағына қарай бағытталатындығын, нормаль үдеу туралы берілген осы түсінік, оны айқындай түседі.

Мысал. Дизельдің қосиін жұдырықшасының қозғалысы:  теңдеулерімен берілген. Жұдырықша жылдамдығын, жанама және нормаль құраушы үдеулерін табу керек.

Шешуі. Нүкте жылдамдығының өстерге проекцияларын анықтаймыз:

                                                                        (1)

Жылдамдық модулі мынадай формуламен анықталады:

 (см/с)     (2)

Жанама құраушы үдеуі жылдамдықтың жанама өске проекциясынан уақыт бойынша алынған бірінші туындысына тең:

                               (см/с2).                       (3)

Жылдамдықтың сәйкес өстердегі проекцияларынан уақыт бойынша бірінші туындыларын есептей отырып, үдеудің координаттар өстеріне проекцияларын анықтаймыз:

,

.

Үдеу модулі мынадай формуламен анықталады:

   (4)

Толық үдеу мен жанама және нормаль құраушыларының арасында мынадай байланыс бар:

                                               .                                        (5)

(3)-ті ескере отырып (5) және (4)-тен алатынымыз:

.

Осыдан:

(см/с2).

 

2.2. Қатты дененің қарапайым қозғалыстары

2.2.1. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы

 

Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы деп оның әрбір екі нүктесін қосатын түзулердің кез келген өзіне-өзі тек параллель қозғалатындай қозғалыс түрін айтамыз. Демек ілгерілемелі қозғалыстағы дене бойынан алған кез келген түзу өзінің бастапқы бағытын өзгертпей сақтайды.

Қозғалмайтын О1ξηζ өстер жүйесіне қатысты ілгерілмелі қозғалыс жасайтын қатты дене Д берілсін. Оның кез келген бір нүктесі О-ны полюс ретінде қабылдап, денеге өзгерместей етіп бекітілген қозғалмалы координаттар жүйесін алайық.

Бұл қозғалмалы жүйенің өстерін негізгі жүйе өстеріне параллель бағыттаймыз (2.14-сурет). Таңдап алынған О-бас нүктенің қозғалмайтын О1ξηζ жүйесімен салыстырғандағы кеңістіктегі орны  радиус-векторымен, ал дененің кез келген М нүктесінің қозғалмалы Oxyz жүйесімен салыстырғандағы орны = радиус – векторымен анықталады. Дене абсолют қатты және тек қана ілгерілемелі қозғалыста болғандықтан  радиус-вектор шамасы жағынан да, бағыты жағынан да тұрақты болады, яғни оның осы координаттар өстеріне проекциялары  а, в, с тұрақты сандар болады. Суреттегі О1ОМ векторлық үшбұрыштан, М нүктесінің О1ξηζ жүйесіндегі орнын анықтайтын радиус-вектор -ның өрнегін табамыз:

                                                                                    (2.59)

мұндағы = const.

Әртүрлі уақыт мезгіліндегі сәйкес нүктелерінің арасын қосатын кесінділер, мысалы ОМ кесіндісі, өзара параллель және тең болатын қисықтар (траекториялар) эквидистанттық немесе конгруэнтті қисықтар (траекториялар) деп аталады. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары кез келген эквидистанттық қисық сызықтар болады.

Дененің (2.43) қозғалыс теңдеуінің екі жағынан да уақыт бойынша туынды аламыз. Сонда:

                                                 ,

немесе

                                                                                           (2.60)

яғни, ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелерінің берілген бір уақыт мезгілігіндегі жылдамдықтары өзара тең болады.

Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысын кез келген уақыт мезгілінде дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтары өзара тең болатын қозғалыс деп те атайды. Мұндай қозғалысты пермаменттік (тұрақты) ілгерілемелі қозғалыс деп атаймыз.

Дененің үдеу векторларының орналасуын анықтау үшін (2.60) –теңдіктен уақыт бойынша туынды ала аламыз:

                                                 

яғни, пармаменттік ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелерінің кез келген уақыт мезгіліндегі үдеулері өзара тең.

Сонымен, пармаменттік ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелерінің кез келген уақыт мезгіліндегі сәйкес кинематикалық сипаттамалары бірдей, яғни олардың біреуінің ғана, мысалы О нүктесінің қозғалысын зерттеп білсек болғаны.

2.2.2. Қатты дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысы

 

Қозғалмайтын өсті айнала қозғалатын дене деп, екі нүктесі қозғалмайтын денені айтамыз. Қозғалмайтын нүктелерді қосатын түзу оның айналу өсі болады.

Қозғалмайтын Qо және Q жазықтықтарының арасындағы екі  жақты бұрыш φ қатты дененің айналу бұрышы деп аталады. Бұл бұрыш берілген дененің кез келген уақыт мезгіліндегі орнын бірмәнді анықтайды. Демек, қозғалмайтын өсті айналатын қатты дененің бір ғана еркіндік дәрежесі болады. Дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі орны бір параметрмен анықталады. Мұндай параметр ролін φ бұрышы атқарады. Ол уақыттың бірмәнді функциясы болып келеді.

                                                  .                                      (2.61)

Бұл (2.61) теңдеуі қатты дененің айналу заңы немесе айналу теңдеуі деп аталады.

Айналу бұрышы дің таңбасын анықтауда оң бұранда ережесіне сүйенеміз. Егер  бұрышы, айналу өсі -оң ұшынан қарағанда қозғалмайтын  жарты жазықтықтан  жарты жазықтыққа қарай сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытта саналатын болса, айналу бұрышын оң таңбалы деп санаймыз. Ал егер ол кері бағытпен анықталса оны “-” таңбамен алуымыз керек. Айналу бұрышы үнемі радианмен өлшенеді.

Надпись: 2.15-суретДененің қозғалмайтын өсті айналуын сипаттауға қажетті екінші бір кинематикалық шаманы бұрыштық жылдамдық деп атайды. Оның алгебралық шамасы ω әрпімен белгіленеді. Бұрыштық жылдамдық ω дененің айналу бұрышы φ-дің уақыттың өтуіне қарай өзгеру тездігін белгілейтін шама. Алдымен белгілі бір уақыт аралығына сәйкес келетін айналу бұрышының өзгеруін қарастырайық. Егер оның t уақытына сәйкес мәні φ(t) –болсын, ал уақыттың t1 =t+Δt мезгіліндегі мәні φ(t+Δt) болсын. Демек Δt уақыт аралығында дене Δφ бұрышына айналыс жасайды:

                                                                   (2.62)

осындағы айналу бұрышының өсімшесі (2.62)-нің оған сәйкес келетін уақыт өсімшесі Δt -ға қатынасын құрайық та, оны ωорт деп белгілейік:

                                         .                                          (2.63)

ωорт орташа бұрыштық жылдамдығы деп атайды. (2.63)-тің екі жағында Δt→0 кездегі шегі:

                    .                        (2.64)

(2.64)-тің оң жағындағы шек φ(t) функциясының туындысын береді.

Ал оның сол жағындағы шек дененің берілген t уақыт мезгіліндегі бұрыштық жылдамдығы ω-ны береді. Осы түсіндірмелерді қабылдап (2.64) теңдігін мына түрде жазамыз:

                                              .                                          (2.65)

Бұрыштық жылдамдық векторлық шама. векторы дененің айналу өсінің бойында орналасып, оң бұранда ережесіне сәйкес келетін бағытпен бағытталады.

Жоғарыда айтылған φ бұрышын санаудың оң бағыты жөніндегі анықтаманы ескере отырып, бұрыштық жылдамдық векторын мынадай формуламен өрнектеуге болады:

                                      ,                                      (2.66)

мұндағы ,  өсінің бірлік векторы.

Дененің айналмалы қозғалысын сипаттаушы үшінші кинематикалық шама, бұрыштық үдеу ұғымына тоқтап өтейік. Алдымен орташа бұрыштық үдеуді анықтаймыз. Берілген t уақыт мезгіліндегі айналмалы қозғалыстың бұрыштық жылдамдығы ω(t) болсын, ал tt уақыт мезгілінде  ол ω(tt) болсын дейік. Сонда Δt уақыт аралығында бұрыштық жылдамдық өсімшесі мынаған тең болады:

                                  .                                (2.67)

Осы шамалар қатынасын дененің Δt уақыты  аралығындағы орташа бұрыштық үдеу деп атап, оны εорт  әрпімен белгілейміз:

                                            .                                         (2.68)

Бұл қатынасты пайдалана отырып, дененің берілген уақыт  t мезгіліндегі, яғни лездік бұрыштық үдеудің  анықтамасын бере аламыз.

Берілген уақыттағы бұрыштық үдеу деп орташа бұрыштық үдеудің Δt→0 кездегі үдеудің шегін айтамыз. Бұрыштық үдеуді ε-деп белгілесек, айтылған анықтама мына формуламен беріледі:

                                                                (2.69)

(2.69) –теңдіктің оң жағында ω(t) функциясының уақыт бойынша алынған туындысы тұрғанын ескерсек, оны мына түрде қайталап жаза аламыз:

                             немесе .                                (2.70)

Бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдықтан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең, немесе φ айналу бұрышынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең болатын шама. Бұрыштық үдеу векторы  де айналу өсінің бойында орналасады. Бұрыштық үдеу векторын мынадай формуламен өрнектеуге болады:

                              немесе .                         (2.71)

Бір қалыпты айналмалы және бір қалыпты айнымалы айналмалы қозғалыстар. Егер қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу ε = 0 болса, онда қозғалыс ω = const тұрақты бұрыштық жылдамдықпен орындалады. Мұндай қозғалысты бір қалыпты айналмалы қозғалыс деп атаймыз. Осындай қозғалыстың бұрыштық жылдамдығының анықтамасынан мынадай өрнек алынады:

                                                 .

Егер t0 = 0 болғанда φ = φ0 десек, соңғы теңдіктен мынадай формула шығады:

                                                .                                  (2.72)

мұндағы бастапқы φ0 = 0 болып келген жағдайда (2.72) –теңдіктен:

                                       және .                               (2.73)

Дененің  айналысы кезінде оның бұрыштық үдеуі ε түрақты болатын болса, онда мұндай айналмалы қозғалысты бір қалыпты айнымалы дейміз.

Бұрыштық үдеу анықтамасынан:

.

Бұл теңдікті сәйкес алынған шектерде ( t0= 0 саналады) интегралдау арқылы, мынадай формула аламыз:

                                              .                                    (2.74)

Бұл формуламен ε = const болған жағдайдағы бұрыштық жылдамдық анықталады. (2.74) –тің екі жағында dt-ға көбейтіп интегралдау арқылы мынадай формула аламыз:

                                    .                                 (2.75)

 

2.2.3.  Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің  жылдамдықтары және үдеулері

 

Қозғалмайтын өсті айналатын қатты дене нүктелерінің қозғалысын қарастырайық. Мұнадай дененің барлық нүктелерінің қозғалыс кезіндегі траекториялары, жазықтықтары айналу өсіне перпендикуляр, ал центрлері айналу өсінде жататын, концентрлі шеңберлер болады. Дененің айналу өсінен h қашықтықта жатқан кез келген бір нүктесі М-ді алайық. Бұл нүктенің жылдамдығының шамасы:

                                                  ,                                        (2.76)

формуласымен есептелінеді, ал  векторы, радиусы h, центрі О нүктесінде жататын шеңберге жанамамен, айналыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.16-сурет).

(2.76)- шы формула нүкте М-нің жылдамдығын геометриялық әдіспен табуға мүмкіндік береді. Ал жылдамдықты векторлық тәсілді қолданып табуға да болады. Ол үшін берілген нүкте М-нің Oxyz өстер жүйесіндегі = радиус-векторын алайық. Осы  және  векторының векторлық қөбейтіндісін құрайық: х (2.16 сурет).

Бұл көбейтіндінің модулі

                           .                             (2.77)

(2.77)–теңдік, векторлық көбейтіндінің модулі, нүкте жылдамдығының (2.76) формуламен есептелінетін модуліне тең екенін көрсетеді. Осыдан соң х векторының бағытына тоқтайық. Бұл вектор, үшбұрыш ΔO1MO жазықтығына М-нүктесіне тұрғызылған перпендикуляр бойыменен  векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталғанын 2.16-суреттен көруге болады. Сонымен бұл айтылғандардан, екі вектор, xжәне  бір-біріне тең екенін көреміз. Демек мынадай формуланың орынды екені дәлелденеді:

                                                                                      (2.78)

(2.78)–формула қатты дене кинематикасындағы маңызды формула. Бұл формула Эйлер формуласы деп аталады.

Дененің кез келген нүктесі М, радиусы h=О1М және жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр орналасқан, шеңбер сыза отырып қозғалады дедік. Демек бұл нүктенің толық үдеуін екі құраушыға жіктеу арқылы анықтай аламыз (2.17-сурет). Шенбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі:

                                 ,                                    (2.79)

және оның нормальүдеуі:

                                      .                                       (2.80)

Егер дененің айналмалы қозғалысы үдемелі болса, онда жанама үдеу жылдамдықпен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал ол кемімелі болған жағдайда жанама үдеу жылдамдыққа қарама-қарсы жаққа қарай бағытталады. Ендігі жерде айналмалы қозғалыстағы М нүктесінің толық үдеуі  -векторын құраушылары τ және n арқылы анықтау мына формулалар арқылы жүргізіледі:

                                        ,                                      (2.81)

                               .                         (2.82)

Егер  векторының  модулі ||=const болып, оның бағыты ғана уақыт өсуіне қарай өзгеретін болса, онда (2.78)-формуладан мынадай теңдік алынады:

                                               .                                      (2.83)

Бұл теңдіктегі  радиус-вектор -дің  бұрылуының бұрыштық жылдамдығы. Енді (2.83) теңдігінің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық:

                                       .                          (2.84)

(2.84)–теңдіктің оң жағындағы қосылғыш векторларды жеке-жеке қарастырайық. Ондағы бірінші қосылғыш вектор модулі М-нүктесінің жанама үдеуіне тең:

                           .         (2.85)

(2.85)–тің оң жағындағы бірінші вектор, М-нүктесіндегі жылдамдық векторы  мен бағыттас. Демек, бұдан:

                                       .                              (2.86)

Ал енді ондағы екінші қосылғыш вектордың модулі:

                             .        (2.87)

Бұл вектор МО1 түзуінің бойымен О1 центріне қарай, айналу өсіне перпендикуляр бағытталады. Демек

                                        .                             (2.88)

Сонымен (2.80) – (2.82) формулаларын векторлық тәсілді қолданып та алуға болатынын көрсеттік.

1-мысал: Атанаққа оралған жіпке ілінген жүк A, атанақты айналмалы қозғалысқа келтіре отырып, тыныштық қалпынан бірқалыпты үдемелі төменгі бағытта қозғалады. Атанақ бірінші 3сек арлығында 9 айналым жасайды. Атанақтың диаметрі см.

Атанақ бетіндегі нүктенің 5сек уақыт мезгіліндегі жылдамдығын және үдеуін табу керек (14-сурет).

                         а)                              б)

2.18-сурет.

Шешуі. Атанақтың бірқалыпты айнымалы айналмалы қозғалыс теңдеуін жазамыз:

                                       .                                        (1)

Бұрыштық жылдамдықтың айналу өсіндегі проекциясы айналу бұрышы (1)-ден уақыт бойынша алынған туындыға тең:

                                             .                                             (2)

Бастапқы мәндері: j0=0, w0=0. Осы шарттарды ескере отырып (1) және (2) - теңдеулерді мына түрде жазамыз:

                                           ,                                                  (3)

                                             .                                                 (4)

t = 3с уақыт мезгілін де j = 9 айналыс болғандықтан, (3) – теңдеуден бұрыштық үдеу e - ді табамыз:

.

(4)–теңдеуден  мезгіліндегі атанақтың бұрыштық жылдамдығы -ны табамыз:

.

Атанақтың бетіндегі B нүктесінің (14,б-сурет) сызықтық жылдамдығын, жанама және нормаль құраушы үдеулерін осы уақыт мезгілінде анықтаймыз:

м/с,

м/с2,

м/с2.

Атанақтың бетіндегі нүктенің толық үдеуінің модулі:

м/с2.

Жүктің жылдамдығы атанақтың бетіндегі нүктенің сызықтық жылдамдығына тең:

м/с.

Жүктің үдеуі атанақтың бетіндегі нүктенің жанама құраушы үдеуіне тең:

м/с2.

2-мысал: Раиусы  тістегеріш 1-ге отырғызылған радиусы r валды жүк В айналмалы қозғалысқа келтіреді. Жүк тыныштық қалпынан қозғалып бастайды және тұрақты  үдеумен қозғалады. Тістегеріш 1-мен іліністе болатын радиусы r2 тістегеріш 2-нің қозғалыс заңдылығын табу керек.

Шешуі. Жүк В (15-сурет) бастапқы жылдамдықсыз тұрақты  үдеумен қозғалып бастайды, сондықтан, кез келген мезгілінде  болады. Валдың бетіндегі нүкте жылдамдығы осы жылдамдыққа және w1r-ге тең. Сондықтан:

w1r = at,      .

w2-ні табамыз. Іліністегі нүкте С-ның сызықтық жылдамдығы екі тістегерішке ортақ:

,

осыдан

.

Осы теңдіктің екі жағында -ға көбейтіп алу арқылы, мынадай теңдік аламыз:

.

Бұны 0-ден j2-ге және 0-ден t-ға дейінгі шектерде интегралдай отырып, тістегеріш 2-нің бірқалыпты айнымалы айналмалы қозғалыс заңдылығын табамыз:

 

2.3. Қатты дененің жазық параллель қозғалысы

2.3.1. Қатты дененің жазық параллель қозғалысының заңы, оның анықталу тәсілдері

 

Егер қатты дененің барлық нүктелері қандайда бір қозғалмайтын жазықтыққа параллель қозғалатын болса, онда дененің мұндай қозғалысын жазық – параллель қозғалыс дейміз (2.20-сурет). Қозғалмайтын жазықтықты (ж)-деп белгілейік. Дененің О нүктесі арқылы (ж) жазықтығына параллель етіп (ж) жазықтығы дененің (S) қимасын береді.

Бұл (S) – қиманың барлық нүктелерінің негізгі (ж) – жазықтығынан қашықтықтары қозғалыс кезінде өзгермейді, тұрақты болады. Демек, (S) –қимасы үнемі (ж) – жазықтығында жатады және ол өзінің пішінін өзгертпейді.

Сөйтіп қатты дененің жазық –параллель қозғалысын зерттеу оның қозғалмайтын жазықтыққа параллель қималарының бірінің, мысалы (S) –тің, жататын (ж) – жазықтықтың бетімен қозғалуын зерттеуге келтіріледі. Қозғалмайтын  Ωξηζ және жазық фигура (S) –ке қатаң бекітілген Oxyz координаттар жүйелерін таңдап алайық (2.21-сурет).

Қозғалмалы Oxyz  координаттар жүйесінің бас нүктесі О-ны бұдан былай “полюс”-дейміз.

Полюс О-ның өстеріне қатысты координаттарын ξ0 және η0 деп белгілейік. Сонда, мына теңдеулер

Надпись: 2.21-сурет    (2.89)

Жазық фигураның қозғалмайтын Ωξη координаттар жазықтығындағы қозғалысын анықтайды. Демек, бұлар жазық фигураның өз жазықтығындағы қозғалысының, күрделі қозғалыс екенін көрсетеді. Оны негізгі екі қүрауышы қозғалысқа жіктеуге болады. Олардың біреуі, жылдамдығы полюс жылдамдығына тең, ілгерілемелі қозғалыс, ал екіншісі, қозғалмайтын  центр ретінде қарастырылатын полюс О арқылы өтіп, жазық фигура жазықтығына перпендикуляр орналасатын лездік өс жанындағы, лездік айналыс.

Мысал: Қосиін-бұлғақты механизмде қосиіннің айналу центрі жылжыма В-ның горизонталь траекториясынан а қашықтықта орналасқан. Қосиіннің бұрылу бұрышы y = kt заңдылығымен өзгереді, мұндағы -тұрақты коэффициент. Қосиіннің ұзындығы OA = r, ал бұлғақтікі AB = l.

Бұлғақ AB-ның жазық параллель қозғалыс теңдеулерін анықтау керек.

2.22-сурет.

Шешуі. Бас нүктесі O болатын қозғалмайтын xOy координаттар жүйесін жүргіземіз (2.22-сурет). Бас нүктесі А болатын қозғалмалы x1Ay1 координаттар жүйесін таңдап аламыз. Сонымен. қосиіннің A нүктесі полюс болады.

Полюстің қозғалыс теңдеулерін жазамыз:

 

Бұлғақтың бұрылу бұрышы мен уақыт арасындағы байланысы болатын үшінші теңдеуді табу үшін, AB кесіндісін y өсіне проекциялаймыз. x1 және x өстерінің арсындағы бұрышты  арқылы белгілеп, мынадай теңдік аламыз:

,

немесе, AB = l, OA = r, y = kt болғандықтан:

.

Бұлғақ AB-ның жазық параллель қозғалыс теңдеулері

мынадай болып шығады:

 

2.3.2. Жазық параллель қозғалыстағы қатты дене (жазық фигураның) нүктелерінің жылдамдықтары

 

Полюс ретінде алынған нүктені  О-деп белгілейік (2.23-сурет). Мұндағы =, =, = .

Бұл үш вектор қозғалыстың кез келген мезгілінде мынадай векторлық теңдікті қанағаттандырып отырады:

                                                                                (2.90)

(2.90)- теңдіктің екі жағында да дифференциалдасақ, мынадай

теңдік аламыз :

 

                                        ,                                 (2.91)

мұндағы

                                       .                           (2.92)

Ал (2.91) теңдігінің оң жағындағы екінші қосылғыш вектор, қозғалысы қарастырылып отырған, М нүктесінің қозғалмалы Oxy жүйесіне қатысты жылдамдығын өрнектейді. Бұл жылдамдық векторын MO -деп белгілейміз. Оқығанда оны М нүктесінің полюс О-ға қатысты алынған жылдамдығы деп атаймыз. Осы белгілеулер  арқылы (2.91) –теңдікті  мына түрде жазайық:

                                       .                                    (2.93)

(2.93) өрнегіндегі MO -жылдамдық векторын анықтай түсейік.     = векторының модулі || = const, ал тек фигурамен бірге О-ны айналады. Бұл айналу φ бұрышымен анықталады. Айналыс бұрышы φ-дің бірлік уақытағы өзгеру тездігі:

                   .                     (2.94)

Модулін өзгертпей сақтай отырып, бір центрден (полюстен) айналатын  векторының туындысын есептеу, Эйлер формуласы арқылы орындалады:

                        .            (2.95)

(2.94), (2.95) формуларын еске ала отырып, d/dt туындысын өрнектейтін формуланы да табамыз:

                    .           (2.96)

MO векторы (S) –тің О полюстен  бұрыштық жылдамдықпен айналуынан туындайтын болғандықтан:

                .

-бұрыштық жылдамдық векторы Oz-өсі бойымен оң бұранда ережесіне сәйкес бағытталады. Демек:

  немесе .

(2.96) –теңдігінің екі жағынан да модуль алсақ, онда мына формула шығады:

                                              .                             (2.97)

 (2.96) –теңдікті (2.93) – теңдіктегі орнына қойсақ:

                                       .                               (2.98)

(2.93) не (2.97) формуласын теорема түрінде айтуға болады. Оны 1-ші теорема деп атайық.

1 теорема. Жазық фигураның кез келген нүктесінің жылдамдығы полюс жылдамдығы мен осы нүктенің полюске қатысты алынған жылдамдығының геометриялық қосындысына тең.

Бұл теорема (2.93) немесе (2.98) формуламен өрнектеледі.

Жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын есептеуге қолданылатын екінші теореманы (2,93) теңдіктен оңай алуға болады. Оның екі жағында ОМ бағытына проекциялаймыз. Сонда:

                                       .                            (2.99)

2 теорема. Жазық фигураның кез келген екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелер арқылы жүргізілген түзу бағытындағы проекциялары тең болады.

 

2.3.3. Жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын жылдамдықтардың лездік центрін пайдалану арқылы есептеу

 

Жылдамдықтардың лездік центрі деп, берілген лездік уақыт t мезгілінде, жылдамдығы нөлге тең болатын жазық фигура жазықтығының бір нүктесін айтамыз.

Жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын анықтаудың геометриялық әдісінің бір түрі, осы жазық фигураның лездік центрін

пайдалануға негізделген. Оны мына теорема арқылы айтуға болады.

 

3-ші теорема. Егер жазық фигураның қандайда бір нүктесінің жылдамдығы берілсе және оның екінші бір нүктесінің жылдамдығының  бағыты ғана белгілі болса, онда бұл фигура жазықтығының кез келген нүктелерінің жылдамдықтарын, жылдамдықтардың лездік центрі арқылы табуға болады.

Жазық фигура (S) –тің бір нүктесі М1 – дің жылдамдық векторы 1 берілсін және оның екінші бір нүктесі М2 – нің жылдамдық векторы жататын түзу бағыты белгілі болсын дейік (2.26-сурет).

М1 жене М2 нүктелерінің  жылдамдықтарының  берілген бағыттары арқылы лездік центр Р-ның орнын табамыз.

Олардың жылдамдықтары лездік радиустар РМ1, РМ2, РМ3 ұзындықтарына пропорционал болып келеді:

  

мұндағы ω жазық фигураның Р центрді айналысының лездік бұрыштық жылдамдығы. Оны соңғы үш теңдіктердің біріншісінен табамыз.

Осыдан қалған екі теңдіктердегі орнына қойсақ

  .

Мысал: Радиусы R = 0.5м түзу рельс бойымен сырғанамай дөңгелеп қозғалады; оның центінің жылдамдығы тұрақты және v0 = 10 м/с-ке тең.

Дөңгелектің горизонталь және вертикаль диаметрлерінің соңғы A, B, C, D нүктелерінің жылдамдықтарын және бұрыштық жылдамдығын анықтау керек.

1.27-сурет

Шешуі: І-тәсіл: (жылдамдықтардың таралу формулаларын пайдалану).

Полюс ретінде О центрін қабылдаймыз (1.27-сурет). Онда дөңгелектің кез келген нүктесінің жылдамдығы полюс жылдамдығы мен полюсті айнала қозғалыс жылдамдығының геометриялық қосындысына тең, мысалы . Дөңгелек сырғанамай дөңгелеп қозғалатын болғандықтан дөңгелек пен рельстің жанасушы А нүктесінің жылдамдығы нөлге тең , яғни А нүктесі лездік жылдамдық центрі болып табылады. Бұл нүктеде полюсті айнала қозғалыс жылдамдығы мен полюс жылдамдығы ның шамалары тең, ал бағыттары қарама-қарсы, яғни . A, B, C, D нүктелерінен полюске дейінгі ара қашықтықтары тең. Сондықтан, нүктелердің полюсті айнала қозғалыс жылдамдықтары өз-ара тең, яғни .

Әрбір нүктеден полюс жылдамдығы ны және дөңгелектің радиусына перпендикуляр полюсті айнала қозғалыс жылдамдығын тұрғызып табатынымыз:

          ,

                                  .

Бұрыштық жылдамдығы:

                                       .

II-тәсіл: (жылдамдықтар лездік центрін пайдалану):

Дөңгелектің жылдамдықтар лездік центрі Aны полюс ретінде қабылдаймыз. Онда дөңгелектің барлық нүктелерінің жылдамдықтары жылдамдықтар лездік центрін айнала қозғалыс жылдамдықтары болады. Барлық нүктелердің жылдамдықтарының шамалары мынадай қатынастармен анықталады:

                    , ,

                                  ,

мұндағы .

Бұрыштық жылдамдығы мынадай қатынаспен анықталады:

                                  .

 

2.3.4. Жазық параллель қозғалыстағы қатты дене

нүктелерінің үдеулері

 

Жазық фигураның кез келген бір нүктесі М-нің қозғалмайтын Ωξη жүйесіне қарағандағы үдеуін есептеу керек. Осы нүктенің жылдамдығы өрнектейтін формуланы алайық:

                                    .                                 (2.100)

Қарастырылып отырған нүктенің абсолют үдеуі, оның абсолют туындыға тең:

                       .              (2.101)

Соңғы теңдіктің оң жағындағы әрбір қосылғышқа және жеке тоқтап өтейік:

                                    .                            (2.102)

Осыған орай (2.101) – теңдікті жаңа түрде қайталап жазып шығамыз:

                             .                    (2.103)

(2.103)-тің оң жағындағы соңғы қосылғышты екі рет қайталанған  векторлық қөбейтіндіні таратып жазу арқылы ықшамдайық:

                         .            (2.104)

Бұл арада  екенін ескердік. (2.104) теңдікті (2.103) -гі орнына қойып, іздеп отырған формуланы аламыз:

                                  .                   (2.105)

Екінші және үшінші қосылғыштардың  геометриялық қосындысына тең векторды МО-деп белгілейік:

                                    .                          (2.106)

(2.106) -өрнекті (2.105) –формуладағы орнына қойсақ, оны ықшамдалған түрге келтіреміз:

                                          .                              (2.107)

(2.94) –формуланы теорема түрінде айталық.

Теорема: жазық фигураның қандайда бір нүктесінің жазық қозғалыс кезіндегі толық үдеуі полюс үдеуіне бұл нүктенің полюске қатысты алынған үдеуін геометриялық түрде қосқанға тең.

Мысал: Радиусы R = 12см тістегерішті радиусы сондай қозғалмайтын тістегеріштің өсі О-ға қатысты айнала қозғалатын қосиін ОА қозғалысқа келтіреді; қосиін  бұрыштық жылдамдықпен айналады және сол уақыт мезгілінде бұрыштық жылдамдығы . 2-тістегеріштің  нүктесінің үдеуін анықтау керек (2.28-сурет).

2.28-сурет

Шешуі. 1.  және -ны анықтаймыз. Есепті шешу үшін 2-тістегеріштің қозғалысын қарастырамыз. Есептің берілгені бойынша тістегеріштің А нүктесінің  жылдамдығын және  үдеуін есептеу жеңіл және осы нүктені полюс ретінде қабылдаймыз:

, ,  векторларының бағыттары 2.28-суретте көрсетілген.

2. Тістегеріш 2-нің бұрыштық жылдамдығы -ні анықтаймыз. Тістегеріштің жанасу P нүктесі ЖЛЦ болады, сондықтан:

 c–1.

-ның бағытын (тістегеріштің айналу бағытын)  анықтайды.

3. Тістегеріш 2-нің бұрыштық үдеуі -ні анықтаймыз. AP = R шамасы барлық уақытта тұрақты, сондықтан:

                                                                (1)

4. Нүкте N-нің үдеуін мынадай формуламен анықтаймыз:

                                 .                              (2)

Бұл үшін  және  шамаларын анықтаймыз. Біздің жағдайда = R және:

Суретте (18 б-сурет) , , ,  векторларының бағыттарын көрсетеміз.

5. -ді есептейміз. Nx және Ny өстерін жүргіземіз, -ді осы өстерге проекциялары арқылы анықтаймыз:

Осыдан:

.

 

2.4. Нүктенің күрделі қозғалысы

2.4.1. Салыстырмалы, тасымал және абсолют қозғалыстары

 

Кейде берілген М нүктесінің қозғалысын бір мезгілде екі координаттар жүйесінің бір мезгілде екі координаттар жүйесіне қатысты қарастыру керек. Осы екі  жүйенің бірін Ωξηζ-деп белгілеп, оны шартты түрде қозғалмайтын (немесе негізгі)  деп ұйғарайық. Екінші координаттар жүйесі Oxyz , негізгі жүйеге қарағанда кез келген түрдегі қозғалыс жасайтын болсын. Ал берілген нүкте М қозғалмалы жүйеге қарағанда өзі де қозғалыс жасайды және оның бұл қозғалысы Oxyz жүйе қозғалысына тәуелсіз болып келеді дейік (2.29- сурет).

Негізгі Ωξηζ-ға қатысты нүктенің қозғалысын шартты түрде, абсолют (күрделі) қозғалыс  деп атаймыз. Оның абсолют жылдамдығын a, үдеуін a деп белгілейміз.

М-нүктесінің қозғалмалы Oxyz жүйесіне қатысты қозғалысы салыстырмалы қозғалыс ретінде алынады.

Салыстырмалы қозғалыс жылдамдығы r , салыстырмалы үдеу r - деп белгілінеді.

Қозғалушы М нүктенің жылжымалы жүйе Oxyz-ке ілесе қозғалуы, оның тасымал қозғалысы ретінде алынады. Тасымал қозғалыс жылдамдығы e, тасымал үдеу e-деп белгіленеді.

Мысал. Жүк көтергіш суреттегі жазықтыққа перпендикуляр және нүкте O арқылы өтетін өсті тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады: j = kt. Жүк көтергіштің Ох1 өсімен сәйкес келетін сидағы бойымен қозғалатын арбашық M-нің қозғалыс теңдеулері мынадай түрде берілген:

.

Арбашық M-нің абсолют қозғалыс теңдеулерін және оның траекториясын анықтау керек (2.30, a-сурет).

Шешуі. Жүк көтергіштің өсті тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалысы тасымал қозғалысын береді. Арбашықтың сидақ бойымен қозғалысын, оның салыстырмалы қозғалысы ретінде қарастырамыз.

Бұл жағдайда қарастырып отырған М-нүктесінің абсолют координаттары мына түрдегі формулалармен анықталады:

2.30-сурет.

Біздің есепте:

Сөйтіп, M нүктесінің абсолют қозғалысының заңы мынадай теңдеулерімен беріледі:

Күрделі қозғалыс траекториясын полярлық координаттар жүйесінде алған тиімді:

.

Осыдан: .

Бұл теңдеу диаметрі а-ға тең жүйенің бас нүктесі арқылы өтетін шеңбердің теңдеуі (2.30, б-сурет).

 

2.4.2 Қозғалмалы координаттар өстеріндегі өзінің құраушылары арқылы берілген вектордың абсолют және салыстырмалы туындылары

 

Нүктенің күрделі қозғалысын әрі қарай қарастыру кезінде кез келген қозғалыстағы координаттар жүйесіне байланысты анықталған вектордан уақыт бойынша туынды алу мәселесі келіп туындайды. Міне, осыған байланысты вектордың абсолют және салыстырмалы туындылары деген ұғымдарды пайдалануымыз қажет болады. Осы ұғымдардың тиісті анықтамаларына тоқтап, одан соң вектордың абсолюттік туындысы мен салыстырмалы туындылары арсындағы байланыстарды табуымыз керек. Ол үшін қозғалмайтын координаттар жүйесі  мен қатар, қған қарағанда, лездік бұрыштық жылдамдығы -ға тең сфералық қозғалыс жасайтын  қозғалмалы координаттар жүйесі берілген дейік (2.30-сурет). Олардың бас нүктелері полюс О –да жататын болсын.

Қандайда уақыт t –ға тәуелді өзгеретін вектор , Қозғалмалы координаттар жүйесіне қатысты алынған вектор болсын, яғни оның осы санақ жүйесінің өстеріндегі проекциялары белгілі уақыт функциялары болып келген дейік Демек, бұл вектор өзінің қозғалмалы өстердегі проекциялары арқылы жіктелген:

                              .                       (2.108)

мұндағы векторларын тұрақты деп алынған сәттегі (2.108)-теңдікпен берілген.  векторынан уақыт бойынша алынған туындыны, вектордың салыстырмалы туындысы дейміз.

Салыстырмалы туындыны  символымен белгілейміз. Сонда бұл анықтаманы өрнектейтін мынадай теңдік аламыз:

                                  .                       (2.109)

Бұл формула  векторының  қозғалмалы координаттар жүйесіне қатысты өзгеру тездігін (жылдамдығын) көрсетеді. Осы формуладан вектордың өзегеру тездігі оның қозғалмалы өстердегі проекцияларының өзгеруіне тәуелді болып келетінін байқаймыз.

(2.108)-теңдіктің екі жағынан (2.109)-теңдікті ескере отырып уақыт бойынша толық туынды аламыз:

                          .                     (2.110)

мұндағы бірлік векторлардан уақыт бойынша алынған туындыларды, қатты дене кинематикасында анықталған Эйлер формуласының көмегімен түрлендіреміз:

                                             (2.111)

(2.111) теңдіктерден (2.110) теңдігіндегі орындарына қоямыз:

Сонымен, соңғы теңдіктен вектордың абсолюттік (толық) туындысы мен салыстырмалы (локальды) туындысын байланыстыратын мынадай формула аламыз:

                                        .                               (2.112)

(2.112)- формуланы кинематиканың, вектордың салытырмалы туындысы жөніндегі, леммасы деп атайық. Мұндағы  вектор ның салыстырмалы туындысы, ал қозғалмалы координаттар жүйесі тің полюс  нүктесі арқылы өтетін өстен айналуының бұрыштық жылдамдығы. Осы айтылғандарды пайдалана отырып (2.112) формуласын мынадай лемма түрінде айта аламыз.

Лемма. Вектордың уақыт бойынша алынған абсолют туындысы сол вектордың салыстырмалы туындысына бұрыштық жылдамдық векторымен вектордың өзін векторлық түрде көбейтіп алып қосқанда шығатын векторға тең (2.112).

Осы тақырып соңында мынадай ескерту айтамыз. Кинематиканың салыстырмалы туынды туралы леммасы (2.108)-теңдік түріндегі жіктелуімен берілген векторлар үшін қолданылады. Салыстырмалы туынды ұғымы тек осындай векторларға арналған.

 

2.4.2. Жылдамдықтарды қосу туралы теорема

 

Бізге күрделі қозғалыстағы М нүктесі берілсін. Осының алдында айтқанымыздай бұл нүктенің қозғалмайтын жүйеге қарағандағы орны -радиус-векторымен, ал қозғалмалы жүйеге қарағанда -радиус-векторымен анықталып отыратын болсын. Сонда:

                                            = 0 + ,                                    (2.113)

мұндағы 0 полюс үшін алынған О нүктесінің радиус векторы.

Анықтама бойынша нүктенің абсолют жылдамдығы а , оның радиус векторынан уақыт бойынша алынған абсолют туындысына тең:

                                                        (2.114)

мұндағы бірінші қосылғыш О –полюстің абсолют жылдамдығын,

                                                                                     (2.115)

береді, ал  екінші қосылғыш нүктенің полюске қатысты радиус–векторының абсолют туындысын өрнектейді.

Сондықтан:

                                             ,                            (2.116)

мұндағы ω-қозғалмалы Oxyz санақ жүйесінің бұрыштық жылдамдығы. Салыстырмалы туынды:

                                   .                 (2.117)

(2.117) нүктенің салыстырмалы жылдамдығын береді. (2.117) –теңдікті (2.116)–ғы орнына қойсақ мынадай формула шығады:

                                            .                          (2.118)

Енді (2.115) және (2.118) теңдіктері арқылы (2.114) –теңдікті соңғы түріне келтіреміз:

                                            .                       (2.119)

(2.119)–формула қозғалушы нүкте М-нің абсолют жылдамдығын өрнектейді.

Қозғалушы нүктені қозғалмалы жүйеге ойша бекітілген деп жоримыз, яғни r = 0. Сонда М нүктесі қозғалмалы жүйемен тек тасымалданады. Бұл жағдайда (2.101) –формуладан мынадай формула шығады:

                                                                           (2.120)

Қозғалушы М–нің абсолют жылдамдығы өрнектейтін (2.120) формуланы ықшамдалған түрге келтіреміз:

                                                                                 (2.121)

(2.121)–формула жылдамдықтарды қосу туралы теореманы береді.

Теорема: нүктенің абсолют жылдамдығы тасымал және салыстырмалы жылдамдықтардың векторлық қосындысына тең болады.

Мысал. Вертикаль өсті w=10с–1  бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалатын , центрден тепкіш Уатта реттегішінің шарлары, машина күшінің өзгеруіне байланысты осы өстен алшақтайды және қарастыратын орнында бұрыштық жылдамдығы w1=1.2с–1. Берілгені: =50см, 2e=10см, a1=a2=a=30°. Қарастыратын уақыт мезгілінде реттегіш шарларының абсолют жылдамдығын табу керек.

Шешуі: Қозғалмалы санақ жүйесін реттегіштің өсті айнала қозғалатын бөлшектерімен байланыстырамыз. Шарлардың тасымал қозғалысы, олардың wе=w=10с–1 бұрыштық жылдамдықпен вертикаль өсті айнала қозғалысы , ал салыстырмалы қозғалысы, шарлардың сырықтарымен бірге олардың wr=w1=1.2с–1 бұрыштық жылдамдықпен ілінетін өсті айнала қозғалыста болады.

2.32-сурет.

Әрбір шардың центрінің тасымал қозғалыс траекториясы, центрі реттегіш өсінің бойында жататын горизонталь шеңбер болады. Салыстырмалы қозғалыс траекториясы, центрі сырық ілінетін өстің бойында болатын және регулятордың жазықтығында жататын радиусы -ге тең шеңбер доғасы.

Тасымал қозғалыс шеңберінің радиусы:

см.

Шар центрінің абсолют жылдамдығы тасымал және салыстырмалы жылдамдықтардың геометриялық қосындысына тең (2.32-сурет):

,  сәйкес траекторияларына жанама бойымен бағытталады, ал шамалары:

Жылдамдықтар  және  өзара перпендикуляр, сондықтан,  векторының шамасы мынаған тең:

Шар центрінің абсолют жылдамдығы тасымал және салыстырмалы жылдамдықтардың геометриялық қосындысына тең (2.32-сурет):

,  сәйкес траекторияларына жанама бойымен бағытталады, ал шамалары:

Жылдамдықтар  және  өзара перпендикуляр, сондықтан,  векторының шамасы мынаған тең:

.

 

2.4.3. Үдеулерді қосу туралы теорема (Кориолис теоремасы)

 

М нүктесінің a-абсолют үдеуін қарастырайық. Аңықтама бойынша нүктенің абсолют үдеуі абсолют туындығы тең:

                          .                      (2.122)

Тасымал жылдамдық және салыстырмалы жылдамдықтан уақыт бойынша алынған абсолют туындыларды жеке-жеке қарастырайық:

                     ,       (2.123)

мұндағы  радиус-векторынан уақыт бойынша алынған абсолют туындыны есептеуге мына формуланы қолданамыз:

                                                 .                            (2.124)

Салыстырмалы радиус-вектор -дің салыстырмалы туындысы, анықтама бойынша салыстырмалы жылдамдықты береді:

                                                         ,                                  (2.125)

(2.122) теңдікті ескере отырып, (2.124), (2.125)–теңдіктерді (2.123)–дегі орнына қоямыз. Сонда (2.122)–теңдіктен тасымал жылдамдықтан уақыт бойынша алынған абсолют туындыны өрнектейтін формула аламыз:

.

 (2.122)–теңдіктің оң жағындағы екінші қосылғыш вектор салыстырмалы жылдамдықтан уақыт бойынша алынған абсолют туынды. Ал салыстырмалы жылдамдық өзінің қозғалмалы координаттар жүйесі өстеріндегі проекциялары арқылы мына түрде беріледі:

.

Сондықтан да dr/dt-ны есептеуге өрнектейтін формуланы қолдана аламыз:

                                               .                                (2.126)

(2.125) және (2.126)–теңдіктерді пайдалана отырып, (2.122)–теңдіктен мына түрдегі формулаға келеміз:

                  .    (2.127)

(2.127)–теңдік іздеп отырған М нүктесінің абсолют үдеуінің өрнегін береді. Бұл үдеуді, кейде күрделі қозғалыстағы М нүктесінің толық үдеуі деп те атаймыз.

(2.127)–теңдіктің оң жағындағы қосылғыштардың кинематикалық мазмұндарын ашайық.

Егер  = 0, 0 = 0 болса, онда (2.127)–теңдік осы жағдайда мынадай түрге келеді

                                           .                                    (2.128)

Егер  болса, онда:

                               .                         (2.129)

Соңғы теңдіктегі  полюс О-ның үдеуін белгілейді. (2.129)–теңдік, нүктенің тасымал жылдамдығы e-нің тасымал қозғалыс кезіндегі өзгеру тездігін сипаттайды. Оны тасымал үдеу дейміз.

Зерттеп отырған (2.122)–теңдіктің оң жағында әлі аты аталмаған, екі еселенген векторлық көбейтінді түріндегі бір қосылғыш қалды. Оны с-деп белгілейік:

                                                .                                   (2.130)

(2.130)–формуламен есептелінетін толық үдеудің құраушысын Кориолис деп атайды. Қабыл алынған (2.128), (2.129) (2.130) белгілеулері арқылы (2,122)–теңдікті ықшамдап жазуға болады:

                                              .                                (2.131)

(2.131)–теңдікті Кориолистің үдеулерді қосу теоремасы деп атаймыз:

Кориолис теоремасы: Нүктенің абсолют үдеуі тасымал, салыстырмалы және Кориолис үдеулерінің геометриялық қосындысына тең болады.

 

2.5. Кинематика бөлімінен студенттердің өзіндік жұмыс тапсырмасы

 

Иінтіректі жазық механизм берілген. Буындарының өлшем бірліктері, бастапқы буынының қозғалыс заңы белгілі.

Тапсырма қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерін пайдаланып механизмге кинематикалық талдау әдістемесін оқып үйренуге арналған. Механизм қозғалыстары, дифференциалдық теңдеулерді электронды есептеу машинасын пайдаланып интегралдау арқылы анықталады.

1. Механизмнің сұлбасын, 2.2-кестеде көрсетілген нүктесінің 12 орнын (бастапқы буынның әрбір  бұрышына сәйкес) және траекториясын тұрғызу қажет.

2. Бас нүктесі  Декарттық координаттар жүйесіне қатысты 2.2-кестеде көрсетілген нүктесінің қозғалыс теңдеулерін құрастыру және траекториясын анықтау қажет.

3.  бұрышына сәйкес 2.2-кестеде көрсетілген нүктесінің жылдамдығын, үдеуін сонымен қатар жанама және нормаль құраушы үдеулерін, қисықтық радиусын табу керек.

4.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің жылдамдықтарын және буындарының бұрыштық жылдамдықтарын жылдамдықтар лездік центрі тәсілімен табу керек.

5.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің жылдамдықтарын және буындарының бұрыштық жылдамдықтар жобасын тұрғызу тәсілімен табу керек.

6.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің үдеулерін және буындарының бұрыштық үдеулерін үдеулерді қосу теоремасын (проекциялық әдіс) пайдаланып табу керек.

7.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің үдеулерін және буындарының бұрыштық үдеулерін үдеулер жобасын тұрғызу тәсілімен табу керек.

8. Кулисалы механизм нүктесінің абсолют жылдамдығының және үдеуінің құраушыларын табу керек.

9. Кулисалы механизм буынының бұрыштық жылдамдығын және бұрыштық үдеуін электронды есептеу машинасының көмегімен табу керек.

Тапсырманың орындалу мысалы

Берілгені: иінтіректі механизм (2.37-сурет),   

       

1. Механизмнің сұлбасын, F нүктесінің 12 орнын (бастапқы буынның әрбір  бұрышына сәйкес) және траекториясын тұрғызу қажет.

2. Бас нүктесі  Декарттық координаттар жүйесіне қатысты F нүктесінің қозғалыс теңдеулерін құрастыру және траекториясын анықтау қажет.

3.  бұрышына сәйкес F нүктесінің жылдамдығын, үдеуін сонымен қатар жанама және нормаль құраушы үдеулерін, қисықтық радиусын табу керек.

       4.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің жылдамдықтарын және буындарының бұрыштық жылдамдықтарын жылдамдықтар лездік центрі тәсілімен табу керек.

5.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің жылдамдықтарын және буындарының бұрыштық жылдамдықтарын, жылдамдықтар жобасын тұрғызу тәсілімен табу керек.

6. бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің үдеулерін және буындарының бұрыштық үдеулерін үдеулерді қосу теоремасын (проекциялық әдіспайдаланып табу керек.

7.  бұрышына сәйкес механизм нүктелерінің үдеулерін және буындарының бұрыштық үдеулерін, үдеулер жобасын тұрғызу тәсілімен табу керек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

2.33-сурет

9

10

11

12

13

14

15

16

2.34-сурет

17

18

19

20

21

22

23

24

 

 

 

2.35-сурет

25

26

27

28

29

30

 

2.36-сурет

 

 

8. Кулисалы механизм F нүктесінің абсолют жылдамдығының және үдеуінің құраушыларын табу керек.

9. Кулисалы механизм буынының бұрыштық жылдамдығын және бұрыштық үдеуін электронды есептеу машинасының көмегімен табу керек.

Шешуі: 1. механизмнің сұлбасын, F нүктесінің 12 орнын және траекториясын тұрғызу. Механизмнің сұлбасын ұзындық масштабы -ге сәйкес тұрғызамыз. Егер біздің мысалда  буыны 30мм кесіндімен кескінделетін болса, онда ұзындық масштабы мынадай түрде анықталады:

 

.

Осы масштабқа сәйкес механизм буындарының ұзындықтарын мынадай теңдіктер арқылы анықтаймыз:

, , ,                               ,

,                             ,

,                       ,

,                                   .

Буындар ұзындықтарының осы мәндері бойынша механизмнің сұлбасын тұрғызамыз.

Бастапқы буынның әрбір 300 бұрышына сәйкес  сәулелерінің бойында () нүктелерінен ұзындығы ге тең кесінділер өлшеп салып  нүктелерінің орындарын анықтаймыз. Алынған  нүктелерін қисық сызықтармен қосып,  буыны бір айналыс жасағандағы F нүктесінің траекториясын тұрғызамыз. F нүктесінің траекториясы эллипс болады.

2. Механизмнің F нүктесінің қозғалыс теңдеулерін құрастыру және траекториясын анықтау.  буыны бірқалыпты айналмалы қозғалыста болғанда бұрыштық жылдамдығы мынадай түрде анықталады:

 немесе .

Бас нүктесі О1 болатын  координаттар жүйесінде F нүктесінің орнын анықтай отырып, қозғалыс теңдеулерін құрамыз:

.

F нүктесінің траекториясын анықтау үшін қозғалыс теңдеулерінен уақыт t-ны аластаймыз:

  .

Теңдіктің екі жағында квадраттап қосамыз:

Бұл өрнек эллипстің теңдеуі.

3. F нүктесінің жылдамдығын, үдеуін, жанама және нормаль құраушы үдеулерін, қисықтық радиусын анықтау.

3.1. F нүктесінің жылдамдығын анықтау. F нүктесінің жылдамдығын координаттар өстеріне проекциялары арқылы анықтаймыз:

 

                                                   2.37-сурет

Егер -қа тең болса, онда:

 

F нүктесінің жылдамдығының шамасы:

.

.

3.2. F нүктесінің үдеуін анықтау. F нүктесінің үдеуін координаттар өстеріне проекциялары арқылы анықтаймыз:

 

Егер -қа тең болса, онда:

 

F нүктесінің үдеуінің шамасы:

3.3. F нүктесінің жанама құраушы үдеуін анықтау. F нүктесінің жанама құраушы үдеуі мынадай өрнек арқылы анықталады:

.

Егер -қа тең болса, онда:

3.4. F нүктесінің нормаль құраушы үдеуін анықтау. F нүктесінің нормаль құраушы үдеуі мынадай өрнек арқылы анықталады:

3.5. F нүктесінің қисықтық радиусын анықтау. F нүктесінің қисықтық радиусы мынадай өрнек арқылы анықталады:

4. Механизм нүктелерінің жылдамдықтарын және буындарының бұрыштық жылдамдықтарын жылдамдықтар лездік центрі тәсілімен анықтау.

4.1. Механизм нүктелерінің жылдамдықтарын анықтау. Механизмнің орнын берілген  бұрышына сәйкес тұрғызамыз () (2.34-сурет).  буыны қозғалмайтын  центрін  бағытында айнала қозғалады, сондықтан:

 

                                                 2.38-сурет

 

4.1. Механизм нүктелерінің жылдамдықтарын анықтау.

Жылжыма В-ның қозғалысы түзу сызықты болғандықтан, жылжыманың жылдамдық векторы, қозғалыс бағытымен бағыттас болады.

 буынының жылдамдықтар лездік центрі , В және А нүктелері арқылы жүргізілген жылдамдық векторларына перпендикуляр түзулердің қиылысу нүктесі болады, ал F нүктесінің жылдамдық векторы  кесіндісіне перпендикуляр бағытта бағыталады.

 және  шамаларын мынадай қатынастар арқылы анықтаймыз:

  ,

 

Жылдамдықтар лездік центрінен нүктелерге дейінгі ара қашықтық суретте өлшенеді.

Алдында орындалған амалдарға ұқсас амалдарды орындай отырып, ВС, ,  буындарының сәйкес , ,  жылдамдықтар лездік центрлерінің орындарын анықтаймыз және , ,  шамаларын мынадай қатынастар арқылы анықтаймыз:

 

 

 

4.2. Буындарының бұрыштық жылдамдықтарын анықтау. Механизм буындарының бұрыштық жылдамдықтары мынадай өрнектер арқылы есептеледі, ал бағыттары нүктелер жылдамдықтарының бағыттарымен анықталады:

 

 

5. Механизм нүктелерінің жылдамдықтарын және буындарының бұрыштық жылдамдықтарын жылдамдықтар жобасын тұрғызу тәсілімен анықтау.

5.1. Механизм нүктелерінің жылдамдықтарын анықтау. Бастапқы буын үшін А нүктесінің жылдамдығы  формуласы бойынша аналиткалық түрде анықталады. Механизмнің қалған нүктелері  үшін жылдамдықтар, векторлық теңдеулерді графикалық жолмен шешу арқылы және ұқсастық ережесі бойынша анықталады. В нүктесінің жылдамдығын мынадай векторлық теңдеулерді графикалық жолмен шешу арқылы анықтайды:

  ,

мұндағы векторшамасы және бағыты жөнінен белгілі ( түзуіне перпендикуляр және  буынының бұрыштық жылдамдығының бағытымен бағыттас);

вектор В нүктесінің АВ буыны А нүктесіне қатысты айнала қозғалғандағы жылдамдығы, бағыты АВ түзуіне перпендикуляр, шамасы белгісіз;

вектор тоғызыншы тірек нүктесінің жылдамдығы

вектор В нүктесінің тірекке қатысты салыстырмалы жылдамдығы, бағыты  түзуі бойымен сәйкес, шамасы белгісіз;

вектор В нүктесінің ізделініп отырған жылдамдығы, бағыты  түзуі бойымен бағыттас, шамасы белгісіз.

Жылдамдықтар жобасын төмендегі тәртіп бойынша тұрғызамыз:

бірінші теңдеуге сәйкес жобаның полюсінен (еркін алынған p нүктесі) бастап,  түзуіне перпендикуляр, жобада А нүктесінің жылдамдығы үшін, ұзындығы 24 мм –тең, ра кесіндісін саламыз;

а нүктесінен АВ түзуіне перпендикуляр  жылдамдығының бағытын саламыз;

екінші векторлық теңдеуге сәйкес  болғандықтан, жобаның полюсінен ке параллель бағытта  жылдамдығының бағытын саламыз. Сонымен, В нүктесінің жылдамдық соңы болатын b нүктесін табамыз.  және  кесінділері  масштабында  және  жылдамдықтарын кескіндейді.

 нүктелерінің жылдамдықтарын мынадай векторлық теңдеулерді графикалық жолмен шешу арқылы анықтайды:

 

, ,

 

 нүктелерінің жылдамдықтарының шамаларын анықтау үшін жылдамдықтар жобасының масштабын анықтаймыз:

Сонда:

 

 

F нүктесінің жылдамдығын ұқсастық ережесі бойынша анықтайды:

5.2. Бұрыштық жылдамдықтарын анықтау. Механизм буындарының бұрыштық жылдамдықтары мынадай өрнектер арқылы есептеледі:

 

6. Механизм нүктелерінің үдеулерін және буындарының бұрыштық үдеулерін үдеулерді қосу теоремасын (проекциялық әдіс) пайдаланып анықтау.

6.1. Механизм нүктелерінің үдеулерін анықтау. В нүктесінің толық үдеуін, мына формуланы қолдану арқылы табамыз:

,

 

                                                    2.39-сурет

 

мұндағы вектор полюс ретінде қабылданған нүктенің үдеуі, шамасы , О1 айналу центріне қарай бағытталады; вектор - өске ұмтылғыш үдеу, модулі , АВ бойымен полюске қарай бағытталады; вектор айналдырушы үдеу, шамасы белгісіз, АВ-ға перпендикуляр айналыс болатын жаққа қарай бағытталады.

В нүктесінің толық үдеуі ны және айналдырушы үдеуді табу үшін векторлық теңдіктің екі жағында координаттар өстеріне проекциялаймыз:

,

.

Осы соңғы теңдіктердің көмегімен, іздеп отырған үдеулерді табамыз:

 

 буынының бұрыштық үдеуі: .

F нүктесінің толық үдеуін, мына формуланы қолдану арқылы табамыз:

мұндағы вектор полюс ретінде қабылданған нүктенің үдеуі, шамасы , О1 айналу центріне қарай бағытталады. вектор - өске ұмтылғыш үдеу, модулі , АВ бойымен полюске қарай бағытталады. Үшінші вектор айналдырушы үдеу, модулі

.

Алдыңғы векторлық теңдіктің екі жағында  бойымен бағытталған өске және оған перпендикуляр өске проекциялаймыз:

.

Осыдан:

 

С нүктесінің толық үдеуін, мына формулаларды қолдану арқылы табамыз:

 

мұндағы вектор полюс ретінде қабылданған нүктенің үдеуі, шамасы ; вектор - өске ұмтылғыш үдеу, шамасы , ВС бойымен полюске қарай бағытталады; вектор айналдырушы үдеу, шамасы  белгісіз; вектор өске ұмтылғыш үдеу, шамасы  О2 айналу центріне қарай бағытталады; вектор  айналдырушы үдеу, шамасы белгісіз, -ға перпендикуляр айналыс болатын жаққа қарай бағытталады.

Алдыңғы векторлық теңдіктің екі жағында координаттар өстеріне проекциялаймыз:

.

Осыдан:

,.

ВС және О2СD буындарының бұрыштық үдеулері мынадай өрнектер арқылы есептеледі:

, .

D нүктесінің толық үдеуін, мына формуланы қолдану арқылы табамыз:

,

мұндағы вектор - өске ұмтылғыш үдеу, шамасы ,  бойымен айналу центріне қарай бағытталады, ал вектор айналдырушы үдеу, шамасы . D нүктесінің толық үдеу шамасы:

.

Е нүктесінің толық үдеуін, мына формуланы қолдану арқылы табамыз:

,

мұндағы векторлар . шамалары және бағыттары жөнінен белгілі; вектор - өске ұмтылғыш үдеу, шамасы , ED бойымен полюске қарай бағытталады; вектор айналдырушы үдеу, шамасы  белгісіз, -ға перпендикуляр айналыс болатын жаққа қарай бағытталады. Алдыңғы векторлық теңдіктің екі жағында координаттар өстеріне проекциялаймыз:

.

Осыдан:

,

.

6.2. Буындарының бұрыштық үдеулерін анықтау. Механизм буындарының бұрыштық үдеулері мынадай өрнектер арқылы есептеледі:

, ,

, .

7. Механизм нүктелерінің үдеулерін және буындарының бұрыштық үдеулерін үдеулер жобасын тұрғызу тәсілімен анықтау.

7.1. Механизм нүктелерінің үдеулерін анықтау. Үдеулер жобасын  болатынын ескере отырып тұрғызамыз. Бастапқы буын үшін А нүктесінің үдеуі  формуласы бойынша аналитикалық түрде анықталады. Механизмнің қалған нүктелері  үшін үдеулері, векторлық теңдеулерді графикалық жолмен шешу арқылы және ұқсастық ережесі бойынша анықталады. В нүктесінің үдеуін мынадай векторлық теңдеулерді графикалық жолмен шешу арқылы анықтайды:

, ,

мұндағы вектор полюс ретінде қабылданған нүктенің үдеуі, шамасы , О1А-ға параллель; вектор өске ұмтылғыш үдеу, шамасы , АВ-ға параллель; вектор айналдырушы үдеу, шамасы белгісіз, АВ-ға перпендикуляр; вектор тіректе жататын нүктесінің үдеуі, шамасы ; вектор В нүктесінің тіреке қатысты салыстырмалы үдеуі, шамасы белгісіз, xx-ке параллель.

Үдеулер жобасын мынадай тәртіп бойынша тұрғызамыз:

бірінші векторлық теңдеуге сәйкес жобаның полюсінен (еркін алынған  нүктесі) бастап,  түзуіне параллель, жобада А нүктесінің үдеуі үшін, ұзындығы 6мм–ге тең, а кесіндісін саламыз;

а нүктесінен АВ түзуіне параллель  үдеуін кескіндейтін ұзындығы мынадай теңдікпен анықталатын  кесіндісін саламыз;

 нүктесінен АВ түзуіне перпендикуляр түзу саламыз;

екінші векторлық теңдеуге сәйкес жобаның полюсінен бастап хх түзуіне параллель түзу саламыз. Осы түзу  нүктесінен АВ түзуіне перпендикуляр түзумен  нүктесінде қиылысады. , , , , кесінділері  масштабында , , ,  үдеулерін кескіндейді.

 нүктелерінің үдеулерін мынадай векторлық теңдеулерді графикалық жолмен шешу арқылы анықтайды:

 

 .

 нүктелерінің үдеулерінің шамаларын анықтау үшін, үдеулер жобасының масштабын анықтаймыз:

, .

Сонда:

, , .

   

F және D нүктелерінің үдеулерін ұқсастық ережесі бойынша анықтайды:

 ,

,

, .

7.2. Бұрыштық үдеулерін анықтау. Механизм буындарының бұрыштық үдеулері мынадай өрнектер арқылы есептеледі:

 ,

, .

8. Кулисалы механизм F нүктесінің абсолют жылдамдығының жіне үдеуінің құраушыларын анықтау.

9. Кулисалы механизм буынының бұрыштық жылдамдығын, бұрыштық үдеуін электронды есептеу машинасының көмегімен анықтау. Кулисаның  нүктесінің абсолют жылдамдығы белгілі:

 .

Жылдамдықтарды қосу теоремасы бойынша:

.

Салыстырмалы жылдамдығы  түзуі бойымен, ал тасымал жылдамдығы осы түзуге перпендикуляр бағытталған. Диагоналі  нүктесінің жылдамдығы , ал қабырғалары ,  болатын параллелограм тұрғызамыз.

Суретте өлшеу арқылы алатынымыз:

 

Кулисаның тасымал бұрыштық жылдамдығы мынадай өрнек арқылы анықталады:

 нүктесінің абсолют үдеуі салыстырмалы, тасымал және кориолис үдеулерінің геометриялық қосындысына тең:

,

мұндағы вектор абсолют үдеу, шамасы ; вектор салыстырмалы жанама құраушы үдеу, шамасы белгісіз; вектор салыстырмалы нормаль құраушы үдеу, шамасы ;

вектор тасымал жанама құраушы үдеу, шамасы белгісіз; вектор тасымал нормаль құраушы үдеу, шамасы ; вектор кориолис үдеуі, шамасы .

Алдыңғы векторлық теңдіктің екі жағында координаттар өстеріне проекциялаймыз:

 .

Осыдан:

,

9. Кулисалы механизм буынының бұрыштық жылдамдығын, бұрыштық үдеуін электронды есептеу машинасының көмегімен анықтау. Кулисалы механизмнің кез келген орны үшін мынадай векторлық теңдіктерді құрамыз:

  

немесе

Теңдіктердің екі жағында координаттар өстеріне проекциялаймыз:

.

Уақыт бойынша екі рет дифференциалдаймыз. Бір рет дифференциалдасақ бұрыштық жылдамдық  және салыстырмалы жылдамдық ге қатысты алгебралық теңдеулерді аламыз:

2.40-сурет

 

Екінші рет дифференциалдасақ бұрыштық үдеу  және салыстырмалы үдеу ге қатысты алгебралық теңдеулерді аламыз:

Екінші рет дифференциалдасақ, бұрыштық үдеу  және салыстырмалы үдеу ге қатысты алгебралық теңдеулерді аламыз:

Екі теңдеулер жүйесін  және ге қатысты шешеміз:

                                            ()

,

                              ()

.

Программаны жазу

ЭЕМ көмегімен  және  теңдеулер жүйесін шешеміз. Қадамы басылым қадамына тең Эйлер әдісін пайдаланамыз. уақытқа байланысты қадам,  интеграция номері, мынадай шекті аралықта өзгереді .

,

берілгенін енгізу;

() теңдеулерінің шешімі, ні анықтау;

 () теңдеулерінің шешімі, ні анықтау;

қорытындыларды печатқа беру;

егер  болса, онда есептеуді қайталау;

жұмыстың соңы.

2.3-кесте

0

0.0

0.0

1.1071

0.1342

1.2000

-4.1600

0.3220

0.0859

1

0.2616

0.5236

1.3282

0.2163

0.6154

-1.1069

0.2882

-0.3175

2

0.5236

1.0472

1.4525

0.2775

0.4424

-0.3477

0.1677

-0.5785

3

0.7854

1.5708

1.5708

0.3000

0.4000

0.0000

0.0000

-0.6720

4

1.0472

2.0944

1.6791

0.2775

0.4424

0.3478

-0.1677

-0.5785

5

1.3090

2.6180

1.8134

0.2163

0.6154

1.1969

-0.2882

-0.3175

6

1.5708

3.1416

2.0345

0.1342

1.2000

4.1602

-0.3220

0.0859

7

1.8326

3.6652

2.6180

0.0606

4.0001

20.7848

-0.2078

0.9500

8

2.0944

4.1888

4.0161

0.0468

4.1729

-19.3298

0.00714

0.2591

9

2.3562

4.7124

4.7124

0.0600

2.0000

0.0002

0.0000

-0.4800

10

2.6180

5.2360

-0.8745

0.0468

4.1731

10.3304

-0.0714

0.2592

11

2.8798

5.7596

0.5236

0.0600

3.9999

-20.7841

0.2079

0.9600

12

3.1416

6.2832

1.1071

0.1342

1.2000

-4.1595

0.3220

0.0859

 

3. Динамика

3.1. Материялық нүкте динамикасы.

3.1.1. Кіріспе. Негізгі түсініктер және анықтамалар

Динамикада материялық нүктелер мен материялық денелердің қозғалыстары оларды болдыратын физикалық себептермен (күштермен) тығыз байланысты қарастырылады. Денеге түсірілген күштер мен олардың әсерлерінен болатын қозғалыс арасындағы тәуелділікті зерттеу, сөйтіп қозғалыстың жалпы заңдылығын табу мәселелері қаралады.

Динамиканың өзі екі бөлімге бөлінеді: бірінші бөлімі материялық нүкте динамикасы болса, екінші материялық нүктелер жүйесінің динамикасы.

Материялық нүкте деп қозғалыстың берілген жағдайларында өлшемдерін ескермеуге болатын денені айтамыз. Мұндай дененің кеңістіктегі орны массасы дененің массасына тең массамен жабдықталған геометриялық нүкте орнымен анықталады.

Әрбір денені материялық нүктелердің жиынтығы деп қарауға болады. Ендеше динамиканы материялық нүкте динамикасынан бастаған жөн. Динамиканың бұл бөлімінде бір ғана материялық нүкте қозғалысының зандылығы анықталады. Материялық нүкте қозғалысы үшін анықталған заңдылықтарды бірнеше материялық нүктелер жағдайына жалпылай отырып материялық нүктелер жүйесінің заңдылығын аламыз. Осының нәтижесінде қатты дене қозғалысы толық сипаттайтын заңдылықтарды да табуға болады.

 

3.1.2. Динамиканың негізгі заңдары. Динамиканың бірінші және екінші есептері

 

Динамика негізіне, аксиомалар ретінде қабылданатын, бірнеше қағидалар жатады. Бұл қағидалар табиғаттағы құбылыстарға жасалған көптеген жылғы бақылаулар мен тәжиірибелерді және қоғамдық практика нәтижелерін жалпылап қорытындылаудан алынған. Механика аксиомаларын ең толық және ақырғы түрінде айтып берген И.Ньютон еді. Сондықтан да оларды Ньютон заңдары деп атайды.

Ньютоның бірінші заңы (инерция заңы). Егер материялық нүктеге ешбір күш әсер етпесе, онда ол өзінің тыныштық күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын сақтайды.

Бұл заң, басқа денелерден жеке дара алынған, материялық нүктеге арнап айтылған. Жеке дара нүкте басқа денемен әсерлескенге дейін өзінің тыныштық күйінде қала береді немесе алғашқы қозғалысын сақтайды. Жеке дара (оңаша) алынған материялық нүкте деп отырған денеміз өз бетінше өзінің жылдамдығын өзгерте алмайды, немесе тыныштық күйінен өз бетінше қозғалысқа келе алмайды. Бұл өзгеріс тек оған басқа бір дене әсер етсе, яғни бір күш әсер етсе пайда болады.

Ньютонның бірінші заңы материялық денелердің негізгі бір қасиетін, яғни өзін-өзі қозғалысқа келтіре алмайтын қасиетін сипаттайды. Ал, екінші жағынан бұл заң денелер өзіне түсірілген сыртқы күштердің әсерінен бірден қозғалысқа келе қоймай өзінің тыныштық күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын бірден өзгерте қоймай, ондай күйін сақтап қалуға тырысатын да қасиеті бар екенін көрсетеді.Оны денелердің инерциясы немесе материяның инерттігі дейді. Инерттілік – барлық денелерге тән қасиет. Дене (нүкте) жылдамдығын берілген шамаға дейін өзгерту үшін оған түсірілген күш әсері белгілі бір уақытқа созылуы керек.Ол уақыт аралығы неғұрлым көп болса, дене солғұрлым инерттірек келеді. Өзара әсерлесетін екі дененің қайсысы жылдамдығын баяуырақ өзгертсе, сонысы инерттілеу болады. Ньютонның 1–заңын инерция заңы деп те атайды.

Инерция заңында айтылған материялық нүктенің түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын инерциялық қозғалыс дейміз.

Ньютон заңдары әсіресе инерция заңы орынды болатын координаттар өстерінің жүйелерін инерциялық жүйелер деп атайды. Бұдан былай үнемі инерциялық жүйелер қолданылады. Мұндай жүйелерге қатысты қаралатын денелердің, материялық нүктелердің қозғалыстарын абсолют қозғалыстар деп атайды.

Ньютонның екінші заңы (негізгі заң). Материялық нүктеге әсер етуші күш осы нүкте үдеуімен бағытталады және шамасы үдеуге пропорционал болады.

Материялық нүктеге түсірілген күшті  деп, ал осыдан пайда болатын нүкте үдеуін -деп белгілейік онда екінші заңды векторлық теңдеу түрінде жаза аламыз:

                                                       ,                                          (3.1)

мұндағы тұрақты шама. Тәжірибеге қарағанда әртүрлі материялық нүктелер үшін  тұрақтысының шамасы да әртүрлі болады. Басқаша айтқанда , әрбір материялық нүктенің өзіне сай  тұрақтысы болады:

                                                                                                  (3.2)

Берілген  күшінің әсерінен болатын материялық нүктенің үдеуі  тұрақтысына пропорционал болады.  тұрақтысының шамасы неғұрлым көп болса, берілген  күшінің әсерінен болатын үдеу соғұрлым аз болады. Басқаша айтқанда  тұрақтысы неғұрлым көп болса, материялық нүктенің инерттілігі (инерциясы) соғұрлым көп болады. Материялық нүктенің инерттілігінің өлшемі ретінде алынатын  тұрақты шамасын материялық нүктенің инерттілік көрсеткіші, яғни инерттік массасы дейді.

Қысқаша айтқанда, дененің массасы – оның инерттілігін өрнектейтін шама. Екінші жағынан денелердің инерттілігінің әртүрлі, әр дәрежеде болуы ол денелерде материяның бірдей мөлшерде болмайтындығында. Әрбір дененің өзінде белгілі мөлшерде материя немесе материялық зат болады. Күнделікті өмірде денедегі материя мөлшерін дене салмағына қарай анықтайды. Бірақ дене салмағы, оның Жердің қай енділігінде екендігіне және теңіз бетінен саналатын биіктіктің өзгеруіне қарай өзгеріп отырады. Ал денедегі заттар мөлшері, яғни ондағы материя бұл жағдайларға тәуелді емес, ол тек дененің өзіне ғана тән қасиет. Сондықтан да салмақты денедегі заттар мөлшерінің өлшеуіші ретінде алуға болмайды. Бірақ дененің салмағының дененің еркін түсу үдеуіне қатынасы ауасыз ортада тұрақты болатыны, басқа ештеңеге тәуелді еместігі тек берілген дененің өзіне ғана тән шама екендігі тәжірибеден белгілі. Егер берілген дененің салмағы Р деп, ал еркін түсу үдеуін  деп белгілесек, онда осы дене үшін тұрақты қатынасты былай жазамыз:

                                          .                                       (3.3)

Тек дененің өз қасиетіне ғана тәуелді болатын  шамасын дененің ауырлық массасы дейді. Денедегі материя мөлшерінің өлшемі ретінде алынатын, (3.3) – қатынаспен анықталатын, шаманы дененің ауырлық (гравитациялық) массасы дейді.

(3.3)–формула Жер бетіндегі денелердің массаларын анықтауға қолданылады. Сүйтіп Жер бетіндегі денелердің ауырлық массалары олардың салмақтарына пропорционал шама екенін анықтадық.

Көптеген тәжірибелердің нәтижелері ауырлық массасының инерттілік массасына тең болатынын көрсетеді. Олай болса, (3.1)–формуладағы  шамасы мен (3.3)–формуладағы  шамасын теңестіреміз:

                                                 .                                            (3.4)

Бұдан массаның дене инерциясының өлшемі болуымен қатар ол дененің гравитациялық қасиетін де анықтайтын физикалық шама екенін көреміз. Сондықтан да материялық және инерциялық қасиеттер Ньютон механикасында эквивалентті қасиеттер болып табылады.

Егер (3.4) теңдігін ескерсек, (3.1) қатынасын қайтадан былай жазуға болады:

                                                  .                                          (3.5)

Ньютонның үшінші заңы (әсер және қарсы әсер заңы). Материялық  екі нүкте бір–біріне оларды қосатын түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған, модульдері тең күштерімен әсер етеді.

Екі планетаның өзара тартылу күштерін алсақ олардың да бірі біріне тең болып, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталатынын көреміз. Мысалға Ай мен Жердің өзара тартылысын алайық (3.1-сурет).

3.1-сурет

Ай А-ны өзіне тартатын жердің  күші мен Жер В–ны өзіне тартатын Айдың  күші мынадай шартты қанағаттандырады:

  .

Егер бір күшті әсер деп, ал екіншісін қарсы әсер деп атасақ, онда үшінші заңды басқаша былай да айтуға болады.

Әрбір әсерге тең және қарама-қарсы бағытталған қарсы әсер болады.

Ньютонның төртінші заңы (күш әсерінің тәуелсіздігі туралы заң). Егер материялық нүктеге бір мезгілде бірнеше күш әсер етсе, онда олардың әрқайсысының нүктеге беретін үдеуі сол күш шамасына пропорционал болып, күштердің өзгелеріне және кинематикалық күйіне тәуелсіз болады.

Толық үдеу жеке күштер әсерлерінен болатын үдеулердің векторлық қосындысына тең болады.

Егер материялық нүктеге бір мезгілде  күштері әсер ететін болса, онда бұл күштердің әрқайсысы массасы -ге тең нүктеге өзінің шамасына пропорционал болатын үдеу береді:

.

Демек,  үдеулерінің әрқайсысы тек өзіне сәйкес  күші арқылы анықталады да, нүктедегі өзге күштерге тәуелсіз болып келеді.

Осылайша материялық нүкте бір мезгілде үдеулері әр түрлі  қозғалысқа келеді. Кинематикада тағайындалған ереже бойынша бұл қозғалыс үдеулерін өзара геометриялық әдіспен қосуға болады:

.

Ал мұндағы әрбір үдеудің орнына олардың күш арқылы анықталатын, жоғарыда көрсетілген өрнектерін қойсақ, сонда:

.

Бір нүктеге түсірілген күштердің теңәсерлі күші болады, ол күштердің геометриялық қосындысына тең:

.

Демек, нүктенің толық үдеуі:

.

Осыдан:

.

Сонымен Ньютонның екінші заңы материялық нүктеге бір мезгілде бірнеше күштер әсер еткенде де орынды болады. Ондағы  күшін енді материялық нүктедегі барлық күштердің тең әсерлі күші деп түсіну керек.

 

3.1.3. Материялық нүкте қозғалысының дифференциялдық теңдеулері

Радиус векторы -ге тең материялық нүктеге әсер етуші күш  болсын. Нүкте қозғалысына негізгі заңды қолдансақ алатынымыз:

                                                        ,                                          (3.6)

мұндағы m нүкте массасы, -оның үдеуі. (3.6.)–теңдеуі нүкте динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады. Бұл–векторлық теңдеу. Оны әр түрлі координаттар өстеріне проекциялап жазуға болады. Мысалы, оны қозғалмайды деп алынған (3.2- сурет), декарттық координаттар жүйесіндегі өстерге проекциялайық:

Надпись: 3.2-сурет


  , немесе

                                     .                                (3.7)

Мұндағы , ,  -нүкте үдеуінің осы координаттық өстердегі проекциялары, Fx. Fy. Fz нүктеге әсер етуші күштің осы өстердегі проекциялары. (3.7) - теңдеулер материялық нүкте қозғалысының декарттық координаттар өстеріне қатысты алынған дифференциялдық теңдеулері деп аталады.

 

3.1.4. Динамиканың бірінші және екінші есептері

 

Нүкте динамикасында негізгі екі есеп бар. Оның біріншісінде материялық нүкте қозғалысының заңы және оның массасы m беріледі. Осы заңдылықта болатын қозғалысты тудыратын күшті табу керек болады. Екінші мәселеде берілген күш бойынша массасы m-ге тең нүкте қозғалысының заңын анықтау керек.

Динамиканың бірінші есебі. Нүкте динамикасының бірінші есебін шешу көп қиыншылық тудырмайды. Бірінші есепте нүкте массасы m және оның қозғалысының кинематикалық теңдеулері

    .

берілген болады. Осы берілгендер арқылы (3.7) теңдеулерінен іздеп отырған күштің проекциялары табылады:

    .

Осы күш проекциялары арқылы күштің өзін анықтап аламыз.

1-мысал. Салмағы 1.02 кГ жүк жатқан горизонталь платформа 4 м/с2 үдеумен вертикаль төмен қозғалады (3.3-сурет). Олар бірге қозғалғанда жүктің платформаға түсіретін қысым күшін табу керек.

Шешуі. Жүкке бір ғана актив күші түсірілген – оның салмағы . Байланыстардан босату аксиомасын пайдаланып, ойша платформаны алып тастаймыз да, оның әсерін вертикаль жоғары бағытталған  реакция күшімен ауыстырамыз.

3.3-сурет

x–өсін вертикаль төмен қозғалыс бағытымен бағыттаймыз (3.3-сурет). Жүктің негізгі теңдеуі мына түрде жазылады:

ma = P – N,

осы теңдеуден:

N = P – ma = 1.02 × 9,8 – 1.02 × 4 = 5.92 Н.

Яғни жүктің платформаға түсіретін қысым күші де 5.92 Н-ға тең болады.

2-мысал. Массасы 2кг материалық нүктенің қозғалысы мына теңдеулермен анықталады:

,    .

Нүктеге әсер етуші күштің проекцияларының нүкте координаттарына тәуелділігін анықтау керек..

Шешуі. Алдымен нүкте үдеуінің проекцияларын табамыз. Ол үшін есептің шартында берілген қозғалыс теңдеулерінен уақыт бойынша екі рет туынды аламыз:

.

Нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін пайдалану арқылы күштің координаттар өстеріндегі проекцияларын табамыз:

.

Сан мәндерін орындарына қойып, нүктеге әсер етуші күштің проекцияларының нүкте координаттарына тәуелділігін анықтаймыз:

.

Нүкте динамикасының екінші есебі. Нүкте динамикасының екінші есебін шешу екінші ретті үш дифференциалдық теңдеулер жүйесі (3.7)-ні интегралдауға келтіріледі. Дифференциалдық теңдеулердің мұндай жүйесінің жалпы шешімі әлі табылмаған. Сондықтан біз ол жүйені шешудің жалпы сұлбасын көрсетіп өтейік. Бізге массасы m-ге тең материялық нүктенің берілген  күші әсерінен болатын қозғалысының дифференциалдық теңдеулері (3.7) берілсін:

                                                                     (3.8)

.

Берілген  әсерінен болатын нүкте қозғалысын табу (3.8) дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге келтіріледі. Ол теңдеулерді түрлендіру нәтижесінде мынадай үш теңдеулер алдық дейік:

                                                             (3.9)

Онда (3.9)-ды интегралдау арқылы, мынадай бірінші интегралдарды алған болар едік.

,

                                   ,                         (3.10)

.

(3.10)-дағы -тұрақтылары, интегралдаудың кез келген тұрақтылары деп аталады.

(3.10) теңдеулерін тағы да бір рет интегралдап шығуымыз керек. Сол мақсатпен оларды қалай да түрлендіре отырып, мынадай түрге келтіре алдық дейік:

,

                                ,                        (3.11)

.

Онда бұларды оңай интегралдаған болар едік те, мынадай қатынастар алар едік:

,

                                 ,                          (3.12)

.

мұндағы  - интегралдау тұрақтыларының келесі үшеуі.

Уақыт, координаттар, кез келген тұрақты шамалар арасындағы тәуелділікті беретін және қозғалыс теңдеулері негізінде орынды болатын, (3.12) түріндегі қатынастарды қозғалыс теңдеулерінің екінші интегралдары деп атайды. (3.12) қатынастарынан -терді табуға болады:

,

                                 ,                      (3.13)

.

(3.13) теңдіктері (3.8) қозғалыс теңдеулерінің жалпы шешімі болып табылады. Мұнда нүкте координаттары уақытқа және алты кез келген тұрақты шамаларға тәуелді функциялар ретінде анықталған.

Сонымен, жалпы жағдайда нүкте координаттары алты кез келген тұрақты шамаларға тәуелді болып шықты.

Басқаша айтқанда, қозғалыс теңдеулерін интегралдау  арқылы материялық  нүктенің берілген күш әсерінен мүмкін болатын қозғалыстарының барлығының да заңдарын табуға болады екен.

Мысалы, біз материялық нүктені ауасыз ортада бір орыннан әр түрлі бағыттағы жылдамдықпен ұшыруымызға болады. Онда ол нүкте ауырлық күші әсерінен бастапқы жылдамдықтың қалай бағытталуына байланысты түзу сызық бойымен немесе әр түрлі параболалар бойымен қозғалуы мүмкін.

Сол себепті күштің өзгеру заңдылығын

,

көрсетумен қатар, нүктенің бастапқы орны мен жылдамдығын да нақтылы көрсетіп отыруымыз қажет.

Уақыт  болғанда , нүктенің бастапқы орнын анықтайтын координаттар мынадай болды дейік:

                                   ,                           (3.14)

Ал бастапқы жылдамдық проекциялары  мынадай болсын:

                                                                      (3.15)

(3.14) және (3.15) қатынастарының жиынын бастапқы шарттар деп атаймыз. Осы бастапқы шарттар арқылы интегралдау тұрақтылары табылады. Ол үшін (3.10) және (3.12) теңдеулердегі  айнымалылары орнына олардың (3.14) және (3.15)-теңдеулерде көрсетілген бастапқы мәндерді қоямыз. Сонда:

,

,

                                 ,                          (3.16)

,

,

.

(3.16) бойынша анықталатын интегралдау тұрақтыларының мәндерін (3.13) –теңдеуге қойсақ, мынаны аламыз:

,

                                   ,                           (3.17)

.

(3.17)-теңдіктер берілген күш әсерінен болатын және бастапқы шарттарға сәйкес орындалатын нүкте қозғалысының заңын анықтайды. Сонымен нүкте динамикасының екінші есебінің шешілуі осы сұлба бойынша жүргізіледі.

 

3.1.5 Материялық нүктенің түзу сызықты қозғалысының квадратураға келтірілетін кейбір түрлері

 

Массасы m-ге тең материялық нүкте түзу сызықты қозғалыста болсын делік. Бойымен нүкте қозғалатын түзуді ОХ өсі ретінде алайық. Нүктенің түзу сызық бойымен  қозғалуы үшін оған әсер етуші күштің бағыты үнемі тұрақты болып және нүктенің бастапқы жылдамдығы осы күштің бойымен бағытталуы (немесе нольге тең) болуы қажет және жеткілікті.

Нүктенің ОХ өсі бойымен болатын түзу-сызықты қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жалпы жағдайда мына түрде жазамыз:

                                              .                                 (3.18)

Надпись: 3.4-сурет

Бастапқы шарттарды былай деп алуға болады (3.4-сурет):

                                               .                              (3.19)

(3.18)–екінші ретті дифференциалдық теңдеу. Оның жалпы шешімі екі интегралдау тұрақтысына тәуелді:

                                                 .                                      (3.20

С1 және С2 интегралдау тұрақтыларын бастапқы шарттарды (3.19) –ны пайдалана отырып, (3.20)–теңдеу мен оның туындысынан шығатын теңдеуден табамыз. Осылайша есептеуден табылған С1 және С2 мәндерін (3.20)-теңдеуіне апарып қойсақ мынаны табамыз:

                                                   .                                  (3.21)

Бұл (3.21) бастапқы шарттарға сай келетін (3.18) теңдеуінің дербес шешімі болып табылады. Сөйтіп, нүктенің қозғалыс заңын өрнектейтін (3.21) теңдеуін осылайша тапқан болар едік. Бірақ (3.18) теңдеуінің шешімін табу жалпы жағдайда, математикалық көп қиындықтар туғызады. Дегенмен кейбір жеке жағдайларда оны квадратураға келтіре аламыз.

Күш тек уақытқа ғана тәуелді болып келетін жағдай. Қозғалыстың дифференциалдық теңдеуі бұл жолы былай жазылады:

                                                .                                     (3.22)

Бұдан

Осыны интегралдау арқылы мынаны аламыз:

                                            .                                  (3.23)

Тағы бір рет интегралдасақ алатынымыз:

                                  .                              (3.24)

Мысал. Массасы ге тең, бойында электрдің е заряды бар материялық нүкте кернеуі  болатын біртекті электр өрісінде орналасқан. Мұндағы А және k берілген тұрақты шамалар. Электр өрісінде материялық нүктеге  бағыты  кернеуіне қарай бағытталған күш әсер етеді. Нүктенің бастапқы орнын координаттардың бас нүктесі ретінде қабылдап, оның қозғалысын анықтау керек. Салмақ күшінің әсерін ескермей, бастапқы жылдамдығын нөлге тең деп санауға болады (3.5-сурет).

             3.5-сурет

Шешуі. Материялық нүктеге әсер етуші бір ғана күш бар, ол . Нүкте қозғалысы – түзу сызықты қозғалыс. Бойымен нүкте қозғалатын түзуді  өсі ретінде қабылдаймыз.

Нүкте қозғалысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеу біреу ғана:

Осы дифференциалдық теңдеудің айнымалы шамаларын ажыратып жазамыз:

 Теңдеу бір рет интегралданғаннан кейін мына түрге келеді:

ді табу үшін бастапқы мәндер   шамаларын жоғарыдағы  өрнегіне апарып қоямыз. Сонда:

Алдыңғы теңдікке  мәнін қойып оны қайта жазуға болады:

Соңғы теңдеуден:

,

мұндағы тұрақты -нің нөлге тең екендігін ,  болғанда  болатын бастапқы шарттан анықтаймыз.

Сонымен М нүктенің қозғалыс заңы мына өрнекпен беріледі:

.

 

 

Күш тек жылдамдыққа ғана тәуелді болып келетін жағдай.

Бұл жағдай көбіне кедергілі ортада қозғалған кезде сай келеді. Орта кедергісі тек нүкте жылдамдығына ғана тәуелді  түріндегі функциямен беріледі дейік. Онда нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуін мына түрде алуға болады:

                                                                                            (3.25)

(3.25) теңдеуіндегі  және t айнымалыларына ажырату әдісін қолданайық:

Бұл теңдеуді интегралдай отырып алатынымыз:

Егер мынадай белгілеу енгізсек

                                           .                         (3.26)

Онда осының алдындағы теңдеуді былай жазар едік:

Осы соңғы теңдеуден ні таба алатын болсақ, онда:

                                                    .                                           (*)

Бұл теңдеуден:

                                              .                               (3.27)

Ал егер ні уақыт t және С1 тұрақты арқылы (*-түрінде ) анықтай алмасақ, онда (3.25) теңдеуін басқаша түрлендіре отырып шешеміз. (3.25)-теңдеудің сол жағын түрлендірейік:

Олай болса (3.25) теңдеуі енді былай жазылады:

                                               .                                (3.28)

(3.28) теңдеуіндегі және  айнымалыларын ажыратып, біреуін теңдіктің бір жағына, ал екіншісін оның оң жағына шығарып оны қайталап жазайық. Сонда:

.

Мұны интегралдаймыз:

                                           .                              (3.29)

Егер (3.29) теңдеуден ті уақыт t функциясы ретінде анықтай алсақ, онда мынадай теңдікті анықтауға болар еді:

.

Ал бұл теңдікті мына түрге келтіруге болады: .

Енді осыны интегралдаймыз:

                                        .                                 (3.30)

(3.30)-теңдеуден нүкте қозғалысының заңын, яғни тің уақытқа тәуелділігін табуға болады.

Мысал. Массасы ге тең М нүкте үйкеліссіз көлбеу жазықтық пен кедергілі ортада қозғалсын. Орта кедергісі жылдамдықтың бірінші дәрежесіне пропорционал болсын  мұндағы k тұрақты шама (3.6-сурет). Нүктенің қозғалыс заңын анықтау керек.

Шешуі.  өсін келбеу жазықтық бойымен бағыттайық. Нүктенің қозғалыс теңдеуі:

                                                       ()


                                    3.6-сурет

() теңдеуіндегі  және  айнымалыларды ажыратып жазамыз:

                                                                                 (б)

(б)-теңдеуді бір рет интегралдап мынадай теңдеу аламыз:

                                                                (в)

                                болғанда,                               (г)

Бұл бастапқы мәндерді (в) теңдеуіне қойсақ:

Олай болса (в) теңдеуі мына түрде қайта жазылады:

                                    

Осыдан:

                                                                                  (ж)

 (ж) теңдеуді тағы бір рет интегралдап мынаны аламыз:

                                                                        (з)

(г)-дегі бастапқы шарттарды пайдалана отырып (з) теңдеуінен Сә тұрақтысын табамыз:

Осыны ескеріп (з) теңдеуін қайта жаэамыз:

                                                                  (и)

Сөйтіп, нүктенің кедергілі ортада көлбеу жазықтықпен қозғалысының заңын (и) теңдеуі түрінде анықтадық. Орта кедергісінің нүктеге ісері k тұрақты кедергі коэффициентімен сипатталады.

Мысал. Салмағы -ға тең дененің бағыты көкжиекпен a бұрышын жасайтын бастапқы жылдамдығы  берілген. Бұдан әрі қарай дене тек салмақ күші және ауа кедергісі -дің әсерінен ғана қозғалады. Ауа кедергісін дене жылдамдығының бірінші дәрежесіне пропорционал деп есептеп (), оның қозғалыс теңдеулерін табу керек (3.7-сурет).

                        3.7-сурет

Шешуі. Координаттардың бас нүктесі ретінде нүктенің алғашқы орнын қабылдап,  өсін горизонталь бағыттаймыз. Нүктенің кез келген бір орнын қарастырып, оған сол уақыт cәтінде әсер ететін күштерді көрсетейік. Нүкте қозғалысының негізгі теңдеуін жазып аламыз:

  .

Бұл теңдеулерді  өстеріне проекциялаймыз:

.

Теңдеулердің екі жақтарын  массасына бөліп, оларды қайта жазамыз:

                                    .                          (а)

Екі теңдеу де коэффициенттері тұрақты, сызықтық теңдеулер болып табылады. Сызықтық теңдеулерді интегралдаудың жалпы теориясы бойынша  деп белгілеп, (а) жүйесіндегі бірінші теңдеудің сипаттаушы теңдеуін жазамыз:

Бұл сипаттаушы теңдеудің түбірлері   болғандықтан (а) жүйесіндегі бірінші теңдеудің жалпы шешімі мына түрде анықталады:

,

мұндағы  және  - интегралдау тұрақтылары. Енді  бастапқы шамаларды пайдалансақ,  және  арасындағы тәуелділікті беретін екі теңдеу аламыз:

   .

Осы жүйеден:

   .

Сондықтан да (а) жүйесінің бірінші теңдеуінің интегралы мынадай:

(а) жүйесіндегі екінші теңдеудің жалпы шешімі:

,

мұндағы  біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, ал  біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі. Дербес шешім -ні таңдау әдісін қолдану арқылы табамыз:

Ал -ді сипаттаушы теңдеу арқылы, жоғарыда -ті табуға қолданылған әдіспен анықтаймыз:

Сөйтіп, (а) жүйесіндегі екінші дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мынадай:

.

Енді  интегралдау тұрақтыларын табу қалды. Ол үшін бастапқы шарттарды пайдаланамыз:  болғанда  болады. Осы шамаларды  өрнегіне және  өрнегіне апарып қойсақ:

  

теңдеулерін аламыз. Бұлардан:

   .

Сөйтіп, екінші біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімін таптық:

Нүктенің қозғалысын анықтайтын кинематикалық теңдеулерді қатарлап жазып қояйық:

 

3.1.6. Материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

 

Нүкте динамикасының үш жалпы теоремасы бар. Олардың бәрі де осындағы негізгі заңнан  қорытылып шығарылады. Осы теоремаларға тоқталайық.

Материялық нүктенің m массасы мен  жылдамдығының көбейтіндісіне тең  = m векторын оның қозғалыс мөлшері дейміз. -векторы нүктеге түсірілген - күші әсерінен уақыт өткен сайын өзгеріп отырады (3.8-сурет). Бұл вектордың бір уақыт ішіндегі өзгерісінің әсер етуші күшпен қандай байланыста болатындығын табайық. Ол үшін негізгі теңдеуді түрлендіру керек:

                           ,  немесе                                  (3.31)

Бұл теңдеудің екі жағын да dt –ға көбейтеміз:

                                               .                                         (3.32)

(3.32) –теңдеудің оң жағындағы dt көбейтіндісін күштің элементар импульсі деп атайды, олай болса (3.18)–теңдеу теорема түрінде былай айтылады:

Материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің дифференциалы күшінің элементар импульсіне тең.

Уақыт t = to болғанда нүкте жылдамдығы  = 0 болады дейік. (3.32) –теңдіктің сол жағынан 0-ден -ға дейінгі шектерде, ал оң жағынан t0-ден t-ға дейінгі шектердегі интегралдар алайық:

                                  .                  (3.33)

Элементар импульстерден t = to уақыт аралығында алынған интегралмен анықталатын  векторын күштің сол уақыт аралығындағы импульсі деп атайды:

.

Күш импульсінің координаттар өстеріндегі проекциялары мынадай теңдіктермен анықталынады:

                                   .               (3.34)

(3.33) теңдігінің оң жағында тұрған интеграл күштің t –to уақыт аралығындағы импульсін анықтайды, сондықтан да оны мына түрде қайталап жазайық:

                                                  .                                    (3.35)

(3.33) және (3.35) теңдіктері материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың айырым түріндегі өрнегін береді:

Қандай да уақыт аралығындағы нүктенің қозғалыс мөлшерлерінің өзгеруі сол уақыт аралығындағы күш импульсіне тең.

Векторлық теңдеу (3.33)–ді координаттық өстерге проекцияласақ осындай үш скалярлық теңдеуді аламыз:

       .  (3.36)

Күш импульсінің координаттық өстердегі проекцияларының (3.34) теңдеулерінде көрсетілген анықтамаларын пайдалансақ, онда соңғы скалярлық теңдеулерді мына түрде жазамыз:

                     .    (3.24)

Теореманың координаттық өстерге проекциясы былай айтылады: нүктнің қозғалыс мөлшерінің берілген өстегі проекциясының қандайда бір уақыт аралығындағы өзгеруі сол уақыт аралығындағы күш импульсінің осы өстегі проекциясына тең.

1-мысал. Материялық нүкте М шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалады (3.9-сурет). Нүктенің массасы  және оның жылдамдығы .

Нүкте жарты шеңбер жол жүріп, орнынан  орнына орын ауыстырған уақыт аралығындағы нүктеге түсірілген күштің  импульсін анықтау керек.

Шешуі. Материалық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз:

,


мұндағы  жәнесәйкес  және  нүктелерінің жылдамдық векторлары.

           3.9-сурет

Есептің берілгені бойынша , яғни:

,

импульс -тің бағыты -нің бағытымен бағыттас, ал оның шамасы:

.

2-мысал. Горизонтпен  бұрышын жасайтын тегіс емес көлбеу жазықтық бетімен салмақты дене төмен түсіп келеді. Дененің  = 39.2 м жолды қанша уақыт ішінде жүріп өтетінін анықтау керек. Көлбеу жазықтықтың үйкеліс коэффициенті f = 0.2, көлбеу бұрышы a =30°, дененің бастапқы жылдамдығы  (3.10-сурет).

Шешуі. Есептің шартына сай сурет салып аламыз (3.10-сурет). Координаттар өстерінің бірін көлбеу жазықтық бетімен бағыттаған орынды.

Есептің шартында уақыт сұралғандықтан есепті шешуге қозғалыс мөлшерініңөзгеруі туралы теореманы қолданған жөн:

 

3.10-сурет

                               (а)

Біз (а) жүйесін құрарда М нүктесіне әсер етуші  күштерін алдымен  өсіне, одан кейін  өсіне проекцияладық. (а) жүйесіндегі екінші теңдеуден:

  

(а) жүйесіндегі бірінші теңдеуден:

мұндағы F нормаль қысымға пропорционал үйкеліс күші:

Сондықтан да:

Соңғы теңдеудің екі жағын да P-ға қысқартып және айнымалыларын бөлектеп жазу арқылы мынаны аламыз:

Бұл теңдеудің сол жағын 0-ден l-га дейін, ал оң жағын 0-ден Т-ға дейін интегралдаймыз:

  

Соңғы теңдеуден керекті уақыт Т-ны табамыз:

 

3-мысал. Салмағы -ға тең дене (3.11-сурет)  күшінің әсерінде горизонталь бағыттаушы бойымен қозғалады, оның бағыттаушыға параллель  өсіне проекциясы мынадай заңдылықпен өзгереді:

мұндағы  және  -тұрақты шамалар. Үйкеліс күшін есепке алмаймыз.

 уақыт мезгіліндегі дене жылдамдығын анықтау керек.


Шешуі. Дененің қозғалысы ілгерілемелі қозғалыс, сондықтан оны материялық нүкте ретінде қарастырамыз.

               3.11-сурет

Денеге салмақ  күші, бағыттаушының реакциясы  және , күші әсер етеді. Салмақ  және  реакция күштері теңгеріледі. Яғни  күші  күшіне тең.

(3.37)- теңдеулердің біріншісін пайдаланамыз:

                                           ,                                   (

мұндағы .

Сондықтан  теңдеуін мына түрде жазамыз:

,

немесе

.

Осыдан  уақыт мезгілінде дене жылдамдығының  өсіне проекциясын анықтаймыз:

.

 

 

 

 

 

 

3.1.7. Материялық нүктенің кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теорема

 

Материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің қандайда бір центрге қатысты алынған моментін оның сол центрге қатысты кинетикалық моменті дейді.

О центріне қатысты алынған кинетикалық моменті 0 әрпімен белгілейік. Сонда ол 0 =  немесе  түріндегі өрнекпен беріледі. Кинетикалық момент күш әсерінен уақыт өткен сайын өзгеріп тұрады (3.12 -сурет).

Оның өзгерісінің күшке тәуелділігін табайық. Ол үшін негізгі теңдеудің екі жағын да нүктенің  радиус-векторына векторлық түрде көбейтейік:

               .             (3.38)

Бұл теңдеудің сол жағындағы векторлық көбейтіндіні түрлендірейік:

                      .            (3.39)

Бұл арада азайтқыш векторлық көбейтіндінің нөлге айналатынын ескердік. Ол екі коллинеарлық вектордың векторлық көбейтіндісі болуы себепті нөлге айналады. (3.38) - теңдіктің сол жағындағы векторлық көбейтіндіні (3.39) түрінде аламыз:

                                                .                               (3.40)

Осы теңдік материялық нүкте қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы немесе басқаша айтқанда, нүктенің кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы өрнектейді. Жоғарыда берілген материялық нүктенің кинетикалық моменті деген анықтаманы қолдану арқылы (3.40) теңдігін басқа түрде де жазуға болады:

                                                  .                                 (3.41)

(3.40) не (3.41) теңдігімен өрнектелетін теорема былай айтылады: қандай да бір центрге қатысты алынған нүкте кинетикалық моментінің уақыт бойынша туындысы сол центрге қатысты күш моментіне тең.

(3.41)- теңдеуді координаттық үш өске проекциялап жазайық:

                       .          (3.42)

(3.42) –теңдіктері нүктенің координаттар өстеріне қатысты алынған кинетикалық моменттерінің өзгеруін сипаттайды: координаттар өстеріне қатысты алынған нүкте кинетикалық моменттерінің уақыт бойынша туындылары сол өстерге қатысты алынған күш моменттеріне тең.


Мысал. Жердің айналасында спутник эллипс траекториясын

 

              3.13-сурет

сыза қозғалады. Эллипстің бір фокусында жердің центрі орналасқан. Спутниктің жерге жақын нүктесіндегі уақыт мезгілінде жылдамдығы -ға тең (3.13-сурет).

Спутниктің жерден ең алыс нүктесіндегі  жылдамдығын анықтау керек.

Шешуі. Спутникке әсер ететін  күші бүкіл әлемдік тартылыс күші болғандықтан, әсер ету сызығы жердің центріне бағытталады.

Сондықтан, жердің центріне қатысты спутниктің қозғалыс мөлшерінің моменті тұрақты болады. Яғни, спутниктің  және  нүктелеріндегі қозғалыс мөлшерлерінің моменттері өзара тең:

,

мұндағы -спутниктің массасы;

-жердің центрі О-дан перигей Р-ға дейінгі ара қашықтық;

-жердің центрі О-дан апогей А-ға дейінгі ара қашықтық.

Осыдан:

.

Перигейде спутниктің жылдамдығы ең кіші шамаға, ал апогейде ең үлкен шамаға тең.

 

3.1.8. Материялық нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

 

Нүктенің  кинетикалық энергиясы деп оның массасы мен жылдамдығының квадратының көбейтіндісінің жартысына тең болатын скаляр шаманы айтады. Егер нүктенің кинетикалық энергиясын Т деп алсақ, онда ол мынадай формуламен анықталады:

                                                    .                                        (3.43)

Күш әсерінен нүктенің жылдамдығы  өзгерді. Сол себепті кинетикалық энергия да уақыт өткен сайын өзгеріп отырады.

Енді кинетикалық энергияның өзгерісінің күшпен байланысың беретін теоремаға тоқталайық. Ол теореманы негізгі теңдеуден қорытып шығарамыз. Сол мақсатпен негізгі теңдеуді алайық та оның екі жағын да d элементар орын ауыстыруға көбейтейік:

.

Бұл теңдеудің сол жағын түрлендірейік:

.

Осы түрлендіру нәтижесін пайдаланып, алдыңғы теңдеуді мына түрде қайта жазайық:

                                                  .                                  (3.44)

күшінің d элементар орын ауыстыруға көбейтіндісін күштің элементар жұмысы деп атайды. Элементар жұмысты d’А деп белгілейміз:

                                                      .                                      (3.45)

Мұндағы штрих элементарлық жұмыстың жалпы жағдайда қандай да бір фунқцияның толық дифференциялы емес екендігін көрсетеді.

Кинетикалық энергия мен элементар жұмыс белгілеулерін пайдаланып (3.44) теңдігін қайта жазайық:

                                                     dT = d’A.                                          (3.46)

(3.44) не болмаса (3.46) теңдігі дифференциялдық түрдегі теореманың өрнегін береді. Оны былай айтамыз: материялық нүктенің кинетикалық энергиясының дифференциялы оған әсер ететін күштің элементар жұмысына тең.

Енді материялық нүкте өзінің траекториясы, АВ қисығы бойымен М0М1 жолын жүріп өтсін. Бұл жолда материялық нүкте жылдамдығы 0-ден 1-ге дейін өзгереді. (3.44) теңдігінің екі жағынан да  доғасы бойымен қисық сызықты интеграл алайық:

.

Бұл теңдіктің сол жағындағы қисық сызықты интеграл кинетикалық энергияның соңғы және бастапқы мәндерінің айырмасына тең:

                                             .                              (3.47)

 жолындағы күштің толық жұмысы А, қисықтың  доғасы бойындағы элементар жұмыстарынан алынған қисық сызықты интегралға тең:

                                                     .                                      (3.48)

Егер материялық нүктенің бастапқы орындағы кинетикалық энергиясын T0 деп, ал соңғы орындағысын T1 деп белгілесек және күш жұмысының (3.48) –теңдіктегі анықтамасын ескерсек, (3.48) теңдігін қысқа түрде былай жазамыз:

                                                     .                                      (3.49)

Нүктенің қандай да бір орын ауыстыруындағы кинетикалық энергиясының өзгеруі сол орын ауыстырудағы оған әсер етуші күштің жұмысына тең.

Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теоремадан қай жағдайда бірінші интеграл алуға болатынын анықтау үшін алдымен күш жұмысының негізгі қасиеттерін зерттеп білуіміз керек.

 

3.1.9. Күш жұмысы

 

Алдымен элементар жұмыстың  математикалық өрнегінің әр түріне тоқтап өтейік. Элементар жұмыстың векторлардың скалярлық қөбейтіндісі түрінде алынған (3.32) өрнегінен сол векторлардың проекциялары арқылы жазылуына көшуге болады

                                .                             (3.50)

Элементар жұмысты жолдың dS дифференциалы және күш  пен -ның нүкте жылдамдығы бағытының арасындағы α бұрышы арқылы да өрнектей аламыз (3.14сурет):

                    .     (3.51)

Бұл формуладағы F және dS оң шамалар  элементар жұмыстың таңбасы cosα таңбасымен бірдей. Егер α сүйір болса,  оң , α доғал болса,  теріс таңбалы болады.

Күштің элементар жұмысын есептеу үшін керекті тағы бір формуланы көрсетейік. Бұл арада d = dt екенін еске аламыз да, элементар жұмыс өрнегін жаңа түрге келтіреміз:

                                                .                                (3.52)

Элементар жұмыстың әр түрлі өрнегіне сәйкес, күштің толық жұмысы да әр түрлі формулалар мен сипатталады:

        .     (3.53)

Жұмыс өлшемінің бірлігі үшін (БҚЖ) жүйесінде 1 Джоуль алынады (1ДЖ = 1Н М), ал техникалық жүйеде –1кГм (1кГм = 9,8 1ДЖ).

Уақыт бірлігіне қатысты алынған жұмыс қуат деп аталады. Қуатты N деп алсақ, онда оны мына формуламен анықтаймыз:

                                                      .                                         (3.54)

Мұндағы  элементар жұмысты (3.45) формуласымен алатын болсақ, онда қуат күш пен жылдамдықтың скалярлық көбейтіндісіне тең:

                                                        .                                        (3.55)

Қуат бірлігі үшін (БХЖ) жүйесінде 1-ватт (1Вт =1Дж/сек) алынады. Практикада қуаттың ірі бірлік өлшемі киловатт (1квт = 103 Вт) жиі қолданылады.

1-мысал. Салмағы 2т жүкті горизонтпен 30° бұрыш құратын көлбеу жазықтықтың бойымен 5м биіктікке көтеру үшін жұмсалатын ең аз жұмысты анықтау қажет. Үйкеліс коэффициенті 0.5-ке тең (3.15-сурет).

Шешуі: Жүкке түсірілген күштер: оның салмақ күші – , үйкеліс күші – ,

                                     

                                                                                                        x

                                                         

                                               s

                                                        

                                                                                              h

                                                                  a

                   O                    a                         

3.15-сурет,

көлбеу жазықтықтың нормаль реакция күші. Көлбеу жазықтыққа параллель, бас нүктесі қозғалыс басталатын нүкте болатын жоғары бағытта x өсін бағыттаймыз.

Жүкті жоғары көтеруге жұмсалатын жұмыс, түсірілген күштердің жұмыстарының қосындысына тең:

                                                            

Салмақ күшінің жұмысы теріс шамаға тең, себебі жүк жер бетінен жоғары көтеріледі:

                                       .

Үйкеліс күшінің жұмысын мынадай формула арқылы анықтаймыз:

.

Егер жүк h=5м бйіктікке көтерілетін болса , онда: .

Орын ауыстыру бағытына перпендикуляр болғандықтан, нормаль реакция -нің жұмысы нөлге тең, яғни .

Сонымен, жүкке түсірілген күштер жұмыстарының қосындысы:

 Дж. Модулін қабылдаймыз.

А = 183 кДж.

2-мысал. Шахта лифтісі v0 = 12 м/с жылдамдықпен төмен қарай қозғалады. Лифтінің массасы 6т. Егер лифтіні ұстап тұратын арқан үзілетін болса, онда лифтіні s = 10м жолда тоқтату үшін, сақтандырушы парашют лифті мен шахтаның арасында қандай шамада үйкеліс күшін пайда болдыруы қажет? Үйкеліс күшін тұрақты деп санаймыз.

Шешуі: Материалық нүктеге түсірілген  салмақ күшін және  күшін көрсетеміз (3.16-сурет). Материалық нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз:

 

                                                   

                                        

                                                                        s

 

                                                      

 

 


                                                         x

3.16-сурет

Материалық нүктеге түсірілген күштердің  орын ауыстыруында жұмысын есептейміз:

Материалық нүкте төмен қарай қозғалатын болғандықтан, салмақ күшінің жұмысы оң шама болады:

Үйкеліс күшінің жұмысы теріс шамаға тең, себебі үйкеліс күші мен орын ауыстыру бағыттары қарама-қарсы:

Соңғы уақыт мезгілінде лифтінің тоқтайтынын есепке ала отырып , кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теоремаға қоямыз:

Осыдан:

;

 кН.

 

3.2. Механикалық жүйе динамикасы

3.2.1. Механикалық жүйе. Ішкі және сыртқы күштер

 

Материялық нүктелердің механикалық жүйесі деп қозғалыстары өзара тәуелді болып келетін материялық нүктелер жиынтығын айтады. Мұндай жиынтықтағы әрбір жеке нүкте қозғалысы ондағы барлық басқа нүктелердің қозғалыстары мен олардың орындарына тәуелді анықталады. Материялық нүктелердің механикалық жүйесі мысал ретінде күн жүйесін алуға болады. Күн жүйесіндегі әрбір жеке планета қозғалысы Күннің және бұл жүйе құрамына енетін барлық қалған планеталардың қозғалыстарына және орындарына байланысты анықталады.

Егер қозғалыс кезінде жүйедегі нүктелердің бір-бірінен ара қашықтықтары өзгермей сақталатын болса, онда бұл жүйені өзгермейтін механикалық жүйе дейміз. Абсолют қатты дене өзгермейтін механикалық жүйе ретінде қарастырылады. Демек, механикалық жүйенің айрықша белгісі - оның нүктелерінің арасында өзара әсерлесу күшінің бар екендігі. Осыған қарағанда материялық нүктелердің кез келген жиынтығы механикалық жүйе құра алмайтындығы белгілі. Механикалық жүйедегі әрбір нүктенің қозғалысы біріне – бірі тәуелді. Бұдан былай материялық нүктелердің механикалық жүйесі деп толық айтып жатпай, оны қысқаша нүктелер жүйесі немесе механикалық жүйе деп атайтын боламыз.

Нүктелердің кеңістікте орын ауыстыру еркіндіктері шектелмеген материялық нүктелердің механикалық жүйесін еркін жүйе дейміз. Еркін механикалық жүйе нүктелері кеңістіктің кез келген жерінде бола алады және кез келген жылдамдықты қабылдай алады. Еркін механикалық жүйенің мысалы ретінде Күн жүйесін алуға болады.

Егер нүктелердің еркін қозғалуын тежеп отыратындай алдын ала жүйеге қосымша шарттар қойылған болса, онда оны еркін емес механикалық жүйе деп атаймыз.

Динамиканың барлық заңдары еркін материялық нүкте үшін орынды болғандықтан, олар тек еркін механикалық жүйеге ғана арнайы қолданылады. Ал оларды еркін емес механикалық жүйе динамикасының мәселелерінде де қолдану мүмкіндігін туғызу үшін жүйені байланыстардан ажырату (бастау) аксиомасын пайдалануымыз керек. Жүйені байланыстардан ажырату аксиомасын (принципін) былай айтамыз: қандай да бір қозғалыстағы еркін емес материялық нүктелердің механикалық жүйесінің әрбір нүктесінде берілген (актив) күштермен қатар байланыстар реакцияларын да түсіруіміз керек. Сонда бұл жүйені актив күштер мен байланыстар реакциялары әсер ететін еркін механикалық жүйе деп қарауға болады. Қатты денеге әсер етуші күштерді актив (берілген) және пассив (байланыстар реакциялары) күштер деп аталатын екі топқа бөліп келдік. Жүйе динамикасында күштерді топтарға бөлудің тағы бір тәсілі қолданылады. Ол – механикалық жүйе нүктелеріне әсер ететін барлық күштерді сыртқы және ішкі күштерге бөлу жөніндегі тәсіл.

Берілген механикалық жүйенің сыртқы күштері деп осы жүйе құрамына енбейтін сыртқы жүйе нүктелеріне жасайтын әсерлерінен туатын күштерді айтамыз және  деп белгілейміз.

Берілген механикалық жүйе нүктелерінің арасында болатын өзара әсерлесу күштерін ішкі күштер дейміз және  деп белгілейміз.

Ішкі күштер берілген жүйе нүктелерінің арасындағы өзара әсер етуші күштер болғандықтан оларға Ньютонның 3-ші заңын қолдана аламыз. Осыдан жүйенің қос – қостан алынған ішкі күштері шама жағынан тең, бір түзу бойымен бір–біріне қарама-қарсы бағытталған күштер жүйесінің бас векторы және кез келген центрге қатысты алынған, олардың бас моменті үнемі нөлге тең болады:

, .

Бұл ішкі күштердің маңызды қасиеті болып табылады.

 

 

3.2.2. Массалар центрі

 

Механикалық жүйе динамикасында жиі қолданылатын негізгі ұғымдардың бірі массалар центрі туралы ұғым. Енді осы ұғымға тоқталып өтейік. Ол үшін материялық нүктелерден тұратын механикалық жүйе алайық. Оның қозғалысы OXYZ инерциялық өстер жүйесіне қатысты қарастырылатын болсын. Массасы , ал радиус-векторы -ға тең,  нүктесін алайық.

Механикалық жүйе массасы деп ондағы нүктелер массаларының қосындысына тең болатын шаманы айтамыз:

.

Механикалық жүйе

массаларының центрі деп  радиус векторы:

                    .                 (3.56)

формуласымен анықталатын геометриялық нүктені (С-ны) айтамыз (3.17-сурет). Егер жүйе нүктелерінің координаттары  деп алсақ, онда оның массалары центрі С-ның координаттары мынадай формулаларымен анықталады:

                         .         (3.57)

Кейде бұл нүктені механикалық жүйенің  инерциялар центрі деп атайды. Сонымен, жүйе динамикасында, статикада анықталған ауырлық центрі деген ұғымнан басқа, массалар (инерциялар) центрі-ауырлық центріне қарағанда кең мағыналы ұғым. Жоғарыдағы анықтамасына қарағанда механикалық жүйенің массалары центрінің әрбір уақыт кезеңінде кеңістіктегі орны тек жүйедегі нүктелер массалары мен ол нүктелердің кеңістіктегі орналасуларына ғана тәуелді. Егер жүйе нүктелері үшін еркін түсу үдеуі g тұрақты шама болса, онда нүктелердің массаларын олардың салмақтары арқылы анықтаймыз:  . Жүйе массасы М  және оның салмағы  мынадай қатынаста болатындығын, яғни  формуласын ескере отырып, (3.56) формуласын мына түрге келтіре аламыз:

                                          .                                   (3.58)

Сөйтіп, бұл дербес жағдайда (g = const) (3.56) формуласы статикада ауырлық центрін анықтайтын (3.58) формуласына айналады.

 

3.2.3. Механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

 

1. Еркін механикалық жүйе. Қандайда инерциялық координаттар жүйесіне қатысты алынған n материялық нүктелерден тұратын механикалық жүйе қозғалысын қарастырайық. Осындағы массасы  -ға тең нүкте -ны жекелеп алайық та, оған әсер ететін сыртқы күштер мен ішкі күштердің тең әсерлі күштерін   және бұл нүктенің радиус-вектор  болсын. – нүктесінің қозғалыс теңдеуін вектор түрінде жаза аламыз:

                                              .                              (3.46)

Мұндай теңдеу жүйедегі әрбір нүкте үшін де жазылады. Сонда (4.4) – теңдеулер жүйесі еркін механикалық жүйе қозғалысының векторлық түрдегі дифференциалдық теңдеулері. Егер осы векторлық  теңдеулердің әрқайсысын OX, OY, OZ қозғалмайтын координаттық өстерге проекциялайтын болсақ, онда еркін механикалық жүйе қозғалысының координаттық түрдегі дифференциалдық теңдеулерін аламыз:

                                                                                   (3.60)

2. Еркін емес механикалық жүйе. Бізге n материялық нүктелердің еркін емес механикалық жүйесі берілген болсын. Оның қандай да бір нүктесіне әсер ететін сыртқы және ішкі актив күштердің тең әсерлі күшін -деп алайық. Байланыстардан ажырату туралы аксиомаға сүйене отырып берілген еркін емес механикалық жүйенің әрбір нүктесіне байланыстар реакцияларын түсіреміз. нүктесіне түсетін байланыстар реакцияларының барлығына тең әсерлі күш  болсын. Жүйе нүктелерінің әрқайсысына актив күштерге қоса осылайша байланыстар реакцияларын түсіргеннен соң оны еркін механикалық жүйе деп алуға болады. Сол себепті бұл механикалық жүйенің әрбір нүктесіне Нъютонның II және III заңдарын қолдана аламыз. Сонда еркін емес механикалық жүйе қозғалысының векторлық теңдеулері мына түрде жазылады:

                                                              (3.61)

Бұл векторлық теңдеулердің әрбіреуінің екі жағын да қозғалмайтын OX, OY, OZ координаттар өстеріне проекциялау арқылы еркін емес механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін координаттық түрде аламыз:

 

                                                                     (3.62)

 

 

3.2.4. Механикалық жүйенің массалары центрінің қозғалысы туралы теорема

 

Бұл теореманы дәлелдеу үшін механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін еске түсірейік:

      .

Осы теңдеулердің барлығын бір-біріне қосайық, сонда алатынымыз:

                                      .                            (3.63)

Бұл теңдіктің оң жағындағы қосындылардың екіншісі, ішкі күштер қосындысы, нөлге тең. Ал оның сол жағындағы қосындыны (3.56) формуласын ескере отырып, мына түрге келтіре аламыз:

                                 .                      (3.64)

Сондықтан (3.50) – теңдеуден іздеп отырған теореманың өрнегі мына түрге келеді:

                                 немесе  .                    (3.65)

(3.65) теңдігі жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теореманы өрнектейді. Ол теорема былай айтылады: механикалық жүйенің массалары центрі материялық нүкте сияқты қозғалады. Бұл нүктенің массасы тұтас жүйенің массасына тең, ал оған әсер етуші күш механикалық жүйенің сыртқы күштерінің бас векторына тең болады. (3.65) векторлық  теңдеуді координаттық өстерге проекцияласақ, мынадай үш скаляр теңдеу аламыз:

                                    ,                     (3.66)

мұндағы Xc, Yc, Zc – массалар центрінің үдеуінің координаттар өстеріндегі проекциялары. (3.66) үш скаляр теңдеу -массасы М-ге тең және  күші әсер ететін массалар центрі С нүктесінің қозғалысының дифференциалдық теңдеулері. Өзінің құрамы жағынан бұл теңдеулер нүкте динамикасының осыған сәйкес теңдеулерінен ешқандай айырмашылығы жоқ. Соңдықтан да жүйе массалары центрінің қозғалысын зерттеу мәселесі нүкте динамикасының мәселесіне жатады.

Егер жүйенің сыртқы күштерінің бас векторы нөлге тең болса, онда массалар центрі тұрақты жылдамдықпен қозғалады. Шынында  болса, (3.66) - теңдіктен:

                                                        .                                           (3.67)

Осыдан:

                                                      .                                       (3.68)

(3.68) - векторлық теңдікті жүйенің массалары центрі С-ның жылдамдығының сақталу заңы деп атайды.

1-мысал. Біртекті конус горизонталь жазықтықтың бетінде дөңгелеп қозғалады (3.18-сурет). Конустың  төбесі қозғалмайды, ал оның биіктігі  вертикаль  өсін бірқалыпты  жиілікпен айнала қозғалады. Конустың салмағы , ал биіктігі . Конустың биіктігі мен жасаушысының арасындағы бұрыш .

Жазықтық пен конустың арсындағы үйкеліс күшін анықтау керек.


Шешуі. Конустың массалар центрінің қозғалысын қарастырамыз. Конус біртекті болғандықтан, оның ауырлық центрі  биіктігі -

                                         3.18-сурет

ның бойында орналасқан және . Есептің берілгені бойынша ауырлық центрінің  үдеуі  өсіне қарай, осы өске перпендикуляр  бойымен бағытталады.  үдеудің шамасы:

,

мұндағы конус биіктігі -ның  өсін айнала қозғалысының бұрыштық жылдамдығы.

,  теңдіктерін ескере отырып мына теңдікті аламыз:

.

Конусқа түсірілген сыртқы күштер: салмақ күші , жазықтықтың нормаль реакциясы  және үйкеліс күші .  және  күштері  өсіне параллель, ал  күшінің әсер ету сызығы жазықтықта жатыр.

Массалар центрінің қозғалысы туралы теореманы пайдаланып, мынадай векторлық теңдеуді құрамыз:

Теңдіктің екі жағын координаттар өстеріне проекциялаймыз:

      

Осыдан:

   .

, ал  болғандықтан үйкеліс күші  жасаушы бойымен  төбесіне қарай бағытталады.

2-мысал. Паром палубасындағы жүк жүкшығыр бойымен тұмсығынан құйрығына қарай қозғалады (3.19-сурет). Жүктің және паромның салмақтары және. Егер жүк полубаның бойымен  аралыққа орын ауыстыратын болса, онда паром қандай аралыққа орын ауыстырады?

Шешуі. Паром және жүкті бір жүйе ретінде қарастырамыз. Бұл жүйеге келесі сыртқы күштер түсірілген: паромның салмағы , жүктің салмағы  және гидростатикалық су қысымы . Барлық

сыртқы күштердің горизонталь  өсіне проекциялары нөлге тең болғандықтан, массалар центрі жылдамдығының сақталу заңы бойынша:

.

Бастапқы уақыт мезгілінде жүйе тыныштықта болады, сондықтан:


3.19-сурет

 

.

Осыдан:

.

Яғни қарастырып отырған  жүйенің массалар центрі өзінің орнын өзгеріссіз сақтайды. Координаттың бас нүктесі ретінде жүйе қозғалып бастағанға дейінгі паромның құйрығындағы нүкте О-ны қабылдаймыз. Онда, жүйенің бастапқы және соңғы орын

3.19-сурет

 

ауыстыруларының массалар центрі асциссалары үшін келесі теңдіктер сәйкес келеді:

,

,

мұндағы паромның ұзындығы; паромның ауырлық центрінен, құйрығы арқылы жүргізілген вертикаль түзуге дейінгі ара қашықтық; анықталатын паромның орын ауыстыру аралығы.

Алдыңғы теңдіктердің оң жақтарын теңестіреміз:

.

Осыдан:

.

Орын ауыстыру  шамасы паромның өлшеміне және ауырлық центрінің орнына байланыссыз екенін көреміз.

Сұрақ. Паром қайсы бағытта қозғалады?

Жауап. 0 болғандықтан паром оңға орын ауыстырады (3.19-сурет). Егер <0 болса, онда паром қарама-қарсы бағытта қозғалған болар еді.

 

 

 

 

 

 

 

3.2.5. Механикалық жүйенің  қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

 

1. Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері

Берілген механикалық жүйе n материялық нүктелерден құралады. Жүйенің массасы  және жылдамдығы  тең  нүктесінің қозғалыс мөлшері  векторымен беріледі (3.20-сурет). Жүйедегі нүктелер қозғалыс мөлшері  векторларының бас векторы механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері ретінде алынады.

Басқаша айтқанда, механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері деп, ондағы барлық материялық нүктелердің қозғалыс мөлшерлерінің геометриялық қосындысына тең болатын  векторын айтамыз:

                                             .                                      (3.69)

 векторының координаттар өстеріндегі проекцияларын (3.69) –векторлық теңдікті сәйкес өстерге проекциялау арқылы табамыз:

                     .             (3.70)

Жүйенің қозғалыс мөлшері мен массалар центрінің жылдамдығы арасында тәуелділік бар. Оны табу үшін жүйе массаларының центрін анықтайтын қатынастың екі жағынан да уақыт бойынша туынды табамыз:

                                   .

Осы теңдіктен мынау шығады:

                                                     .                                          (3.71)

 

2. Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

 

Жүйенің қозғалысы кезінде оның  қозғалысы мөлшері күштердің әсерінен уақыт өткен сайын өзгеріп отырады.  векторы өзгеруінің жүйеге әсер етуші күштерге тәуелділігі мынадай теоремамен анықталады: механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінен уақыт бойынша алынған туынды жүйеге әсер етуші барлық сыртқы күштердің бас векторына тең.

Бұл теореманы дәлелдеу үшін механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін еске түсірейік:

                                    .

Осы теңдеулердің барлығын бір-біріне қосайық, сонда алатынымыз:

                                       .                           (3.72)

 Бұл теңдіктің оң жағындағы қосындылардың екіншісі, ішкі күштер қосындысы, нөлге тең. Ал оның сол жағындағы қосынды  векторынан уақыт бойынша алынған туындыға тең:

                                      .                     (3.73)

Сондықтан (3.72) –теңдеуден іздеп отырған теореманың өрнегі мына түрге келеді:

                                        немесе  .                    (3.74)

Осымен жоғарыда айтылған теорема дәлелденді (3.74) теңдігі жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық өрнегін береді. Теореманың (3.74) өрнегіне жүйенің ішкі күштері қатынаспайды. Бұл оның қолайлы жағы. Өйткені ішкі күштер әуел баста белгісіз болады. Мұнда олар өздігінен жойылған. Демек, ішкі күштер  вектордың өзгеруіне бірден қатыспайды.

Векторлық теңдеу (3.74) декарттық координаттар өстеріне проекциялаудан 3 скаляр теңдеу аламыз:

                                     .                    (3.75)

(3.75) – теңдеулер, механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің координаттық өстердегі проекцияларынан уақыт бойынша алынған туындылары жүйенің сыртқы күштерінің бас векторының сол өстердегі проекцияларына тең болатындығын көрсетеді.

Қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың (3.74) дифференциялдық өрнегінен оның интегралдық өрнегіне көшуге болады. Ол үшін векторлық теңдік (3.74) –дің екі жағында dt-ға көбейтіп, содан кейін оның екі жағынан да  ден - ге дейінгі аралықта интеграл алу керек:

.

Бұдан:

                                                 ,                                  (3.76)

мұндағы -  уақытқа, ал  уақытқа сәйкес келетін жүйенің қозғалыс мөлшері  векторының мәндері. (3.76) теңдігіндегі интеграл сыртқы күштердің бас векторы -нің  уақыт аралығындағы импульсі деп аталады. Оны  деп белгілейік, сонда алатынымыз:

                                                   .                                        (3.77)

Бұл анықтаманы әрбір жеке  сыртқы күштердің импульстері арқылы да өрнектей аламыз:

.

Оң жақтағы қосындының белгісі ішіндегі интегралды жүйенің  -шы нүктесіне әсер ететін,  сыртқы күшінің уақыт аралығындағы импульсі деп атаймыз:

.

Бұл теңдікті ескере отырып, (4.21) – анықтаманы мына түрде жазуға болады:

                                                     .                                       (3.78)

(3.78) теңдігі сыртқы күштердің бас векторының қандай да бір уақыт аралығындағы импульсі (3.77) жүйеге әсер етуші сыртқы күштердің сол уақыт аралығындағы барлық импульстерінің геометриялық қосындысына тең екендігін көрсетеді. Егер күштер импульсінің анықтамасы болып табылатын (3.77) немесе (3.78) теңдіктерін пайдалансақ, онда (3.76) – теореманы былай жазамыз:

                              немесе .                   (3.79)

Соныменен жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың интеграл түріндегі өрнегі (3.76) немесе (3.79) теңдіктерімен беріледі . Бұл теңдіктермен  берілетін теорема былай айтылады: жүйенің қозғалыс мөлшерінің қандай да бір уақыт аралығындағы өзгеруі, сыртқы күштердің бас векторының сол уақыт аралығындағы импульсіне тең. (3.79) векторлық үш скаляр теңдеуге эквивалентті:

            ,       (3.80)

немесе

                        .            (3.81)


3. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы. Егер механикалық жүйеге әсер ететін сыртқы күштерінің бас векторы нөлге тең болып келетін болса  онда теорема өрнегі (3.79) теңдеуінен мынадай теңдік шығады:

                                                  ,                                   (3.82)

мұндағы  жүйенің қозғалыс мөлшерінің бастапқы мәні. (3.82) –теңдік қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы былай айтылады: егер сыртқы күштердің бас векторы  болып келсе, онда механикалық жүйенің  векторы қозғалыс кезінде өзінің шамасы мен бағытын өзгертпей сақтайды.

1-мысал. Вертикаль жазықтыққа қатысты симметриялы  каналымен сұйық  жылдамдықпен ағады (3.21-сурет).

          3.21-сурет

 

Каналдың көлденең қимасы тұрақты және -қа тең. Сұйықтың

түйіршігінің жылдамдық векторы каналға кірерде горизонтпен , ал каналдан шығарда горизонтпен  бұрыш жасайды.

Сұйықтың канал қабырғасына түсіретін қысым күшінің горизонталь құраушысын анықтау керек.

Шешуі. Мәселені шешу үшін, жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз. Механикалық жүйе ретінде каналдың қабырғаларымен,  және  қималарымен шектелген,  уақыт сәтіндегі көлемді толтыратын сұйық түйіршіктерінің жүйесін қарастырамыз.

Қандай да  уақыт аралығында сұйық түйіршіктері орын ауыстырады және  көлемді толтырады. Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері  уақыт мезгілінде , ал  уақыт мезгілінде  болады. Айырмасы:

,

 уақыт аралығындағы жүйе қозғалыс мөлшерінің өсімшесіне тең.

Қозғалыс мөлшері ,  және  көлемдерді толтыратын сұйық түйіршіктерінің  және  қозғалыс мөлшерінің қосындысына тең, яғни:

.

Дәл осы сияқты,  көлемді толтыратын сұйық түйіршіктерінің қозғалыс мөлшерін  деп белгілейміз, онда:

.

Сұйықтың каналмен біркелкі қозғалысында  уақыт аралығында қозғалыс мөлшері  өзгермейді:

,

немесе

                                                                              (

мұндағы  және  сұйық түйіршіктерінің  және  қималарындағы сәйкес жылдамдықтары;  және - және  көлемдердегі сұйықтың массалары.

Есептің берілгені бойынша каналдың көлденең қималары тұрақты, сондықтан:

.

Сұйықтың тығыздығын , ал  уақыт аралығында сұйық түйіршіктерінің орын ауыстыруын  деп белгілейміз.

Каналдың кез келген екі қимасы арқылы бір уақыт мезгілінде бірдей сұйық ағып өтеді, сондықтан

 теңдігін горизонталь  өсіне проекциялаймыз:

Теңдіктің екі жағын -ға бөліп, туындының анықтамасын пайдалансақ, алатынымыз:

                                          (

Теорема бойынша:

                                                    ,                                       

мұндағы жүйеге түсірілген сыртқы күштердің негізгі векторының  өсіне проекциясы.

 және  теңдіктерінің оң жақтарын теңестіру арқылы алатынымыз:

.

Судың тығыздығы . Онда:

.

2-мысал. Массалары  және  екі шар горизонталь жазықтықтың бетінде дөңгелеп қозғалады (3.22-сурет). Шарлар біртекті және олардың диаметрлері тең. Шарлардың жылдамдықтары  және .

Шарлардың соқтығысынан соң 1-шар центрінің жылдамдығы -ке тең болады, ал оның бағыты өзгермейді.

Соқтығыстан соң -шар центрі қандай жылдамдықпен қозғалатынын анықтау керек. Шарлар мен жазықтықтың арасындағы үйкеліс есепке алынбайды.

Шешуі. Шарларды жүйе ретінде қарастырамыз. Бұл жүйе үшін, соқтығыс кезіндегі шарлардың өзара әсер күштері ішкі күштер болады. Сыртқы күштердің  өсіне проекциялары нөлге тең, яғни, жүйенің қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы бойынша:

 немесе ,

мұндағы  және соқтығысқа дейінгі және соқтығыстан кейінгі жүйе қозғалыс мөлшерінің  өсіне проекциялары.

 және -шарлар центрлерінің жылдамдықтарын  және  деп белгілейміз. Сонда:

,

.

 және  теңдіктерін ескере отырып, алдыңғы


                        3.22-сурет

екі теңдіктің екі жағын теңестіреміз:

.

Осыдан:

.

 болғандықтан -шар қозғалысының бағыты өзгермейді.

 

3.2.6. Механикалық жүйенің кинетикалық моменттерінің өзгеруі туралы теорема

 

1.  Механикалық жүйенің кинетикалық моменті.  материялық нүктеден тұратын механикалық жүйе қозғалысын OXYZ инерциялық өстер  жүйесіне қатысты қарастырайық (3.23-сурет). Жүйедегі әрбір нүктенің козғалыс мөлшері:

                                               .                             (3.83)

және оның О центріне қатысты алынған кинетикалық моменті:

                                            .                        (3.84)

 векторы О нүктесінде  және -векторларының жазықтығына перпендикуляр бағытталады.  векторларының бас векторын алайық.

Жүйе нүктелерінің О центрге қатысты алынған кинетикалық моменттерінің бас векторын (геометриялық қосындысын) сол О центріне қатысты алынған механикалық жүйенің кинетикалық моменті деп атаймыз. Жүйенің О центріне қатысты кинетикалық моментін  деп белгілесек, онда ол анықтама бойынша мынаны аламыз:

                                      ,                           (3.85)

немесе (3.84) теңдігін ескерсек шығатыны:

                                              .                                     (3.86)

векторының бас нүктесі О центрінде жатады. Кинетикалық момент  механикалық жүйенің айнала қозғалысын сипаттайды.

Жүйенің  кинетикалық моментін OXYZ координаттық өстерге проекциялайық:

                                             (3.87)

Проекциялары (3.87) теңдіктерімен анықталатын векторының модулі мынадай:

                                        .                                 (3.88)

Оның бағыттаушы косинустары:

                          (3.89)

 

 

3.2.7. Механикалық жүйенің қозғалмайтын центрге қатысты алынған кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теорема

 

 Теорема: Қандай да бір қозғалмайтын центрге қатысты алынған механикалық жүйенің кинетикалық моментінің уақыт бойынша алынған туындысы сол центрге қатысты алынған жүйедегі сыртқы күштердің бас моментіне тең.

Теореманы дәлелдеу мақсатымен берілген механикалық жүйенің қандай да бір нүктесін  алайық та, оған әсер ететін сыртқы  және ішкі  күштерді ескере отырып оның қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрайық:

                                      .                        (3.90)

Мұндай теңдеулерді әрбір нүкте үшін құруға болатындықтан олардың жалпы саны , жүйедегі нүктелер санына тең болады. Осы (3.90) – тегі теңдеудің әрқайсысын сәйкес нүктелердің радиус –векторлары -ге векторлық түрде көбейтіп, оларды бір-біріне қосамыз:

                            .                   (3.91)

(3.91)–теңдіктің сол жағындағы қосындыны түрлендіреміз:

     .   (3.92)

Жүйенің ішкі күштерінің қасиеті бойынша ішкі күштердің бас моменті әр уақытта нөлге тең болады. Сондықтан да (3.92)–теңдіктің оң жағындағы екінші қосындысы нөлге тең:

                                               .                                        (3.93)

(3.92) және (3.93) теңдіктерін пайдалана отырып (3.91) –теңдігін мына түрге келтіреміз:

                                     .                           (3.94)

Егер (3.94) теңдігінің сол жағындағы қосынды жүйенің кинетикалық моменті -ге, ал оның оң жағындағы қосынды сыртқа күштердің О центріне қатысты алғандағы бас моменті  векторына тең екенін ескерсек, онда бұл теңдікті мына түрде ықшамдап жазуға болады:

                                                   .                                        (3.95)

Осымен теорема дәлелденді. Теорема (3.94) немесе (3.82) түріндегі бір векторлық теңдікпен беріледі.

Жоғарыдағы тағайындалған (3.81) және (3.95) векторлық теңдіктерді координаттық түрге келтірейік. Ол үшін кинетикалық моментті және күштер бас моментін үш құраушыға жіктейміз.

              және .      (3.96)

Енді (3.96) теңдіктеріне сүйене отырып (3.95) векторлық теңдікті мынадай үш скаляр теңдіктерімен алмастыра аламыз:

                                 .                    (3.97)

Кинетикалық моменттің сақталу заңы. Егер О нүктесіне қатысты алынған сыртқы күштер бас моменті  болса, онда жүйенің сол нүктеге қатысты алынған кинетикалық моментінің шамасы да, бағыты да өзгермейді, тұрақты қалпында қалады.

                                         .                                   (3.98)

Бұл (3.98) теңдігі О центріне қатысты алынған кинетикалық моменттің сақталу заңын береді.

Егер сыртқы күштердің О центріне қатысты алғандағы бас моменті нөлге тең болса, онда оның осы центрден өтетін координаттар өстеріндегі  проекциялары да нөлге тең болады:

    .

Сондықтан да (4.41)- теңдіктерден алатынымыз:

                                   .                 (3.99)

 

3.2.8. Кинетикалық моменттің өзгеруі туралы теореманы қатты дененің  айналмалы қозғалысына қолдану

 

Қозғалмайтын өстен айналатын қатты дененің кинетикалық моменті. Қатты дене қозғалмайтын OZ өсін  бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалатын болсын (3.24-сурет). Осы дененің О центріне қатысты кинетикалық моментін анықтайық. Анықтама бойынша:

                                 .                      (3.100)

Кординаттық өстердегі  векторының проекциялары (4.87) формулаларымен анықталады. Жылдамдық  векторының  проекция-ларын анықтауға Эйлер формуласы

қолдануға болады:

                      .         (3.101)

Осы теңдіктен: 

                  .          (3.102)

жылдамдықтар проекцияларының

өрнектерін (3.87) формуладағы

         3.24-сурет                  жылдамдықтар проекцияларының өрнектерін (3.87) формуладағы орындарына қоямыз:

    .  (3.103)

Осы (3.103) формуладағы қосындыларды мына төмендегідей етіп белгілейміз:

          .     (3.104)

Осыларға ұқсас формулалармен анықталатын, бірақ (3.104) өрнегінде жоқ тағы бір үш шаманы көрсетейік:

     . (3.105)

(3.104), (3.105) теңдіктерімен анықталатын шамалар инерция моменттері деп аталады. Олардың ішіндегі  үш шаманы дененің центрден тепкіш инерция моменттері деп, ал қалғандары  дененің өстік инерция моменттері деп аталады.

Енді осы анықтамаларды пайдалансақ (3.103) формулаларын мына түрге келтіреміз:

                                 .                    (3.106)

 

3.2.9. Қатты дененің бекітілген өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысының дифференциялдық теңдеуі

 

Дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысының дифференциялдық теңдеуін алу үшін кинетикалық моменттің өзгеруі туралы теореманы (3.97) теңдеулерінің үшінші түріне сәйкес қолдануымыз керек:

                                             .                                (3.107)

Дененің Z айналу өсіне қатысты алынған кинетикалық моменті (3.106) формулаларының 3 – сі бойынша анықталады:

                                           .                           (3.108)

Дене абсолют қатты дене болған жағдайда инерция моменті тұрақты шама болады. Олай болса (3.108) теңдеуін былайша өзгерте аламыз:

                                              ,                             (3.109)

немесе

                                               .                             (3.110)

Осы соңғы теңдеу қатты дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуі болып табылады.

1-мысал. Горизонталь  өсті айнала қозғалатын радиусы  салмағы -ге тең шкивке трос оралған. Тростың соңына салмағы -ға тең жүк ілінген. Шкивке тұрақты айналдырушы момент түсірілген (3.25-сурет).


       3.25-сурет

Көтерілетін жүктің  үдеуін табу керек.

Шешуі. Жүктің  жылдамдығына тең, шкивтің бетіндегі кез келген нүктесінің жылдамдығын  деп белгілеп, жүк және шкивтен құрылған механикалық жүйенің  өсіне қатысты кинетикалық моментін анықтаймыз:

,

мұндағы:шкивтің  өсіне қатысты инерция моменті;

шкивтің бұрыштық жылдамдығы;

жүктің  өсіне қатысты қозғалыс мөлшер моменті.

Мәндерін орындарына қоямыз:

.

Жүйеге түсірілген сыртқы күштердің  өсіне қатысты негізгі моменті мына түрде анықталады:

.

Механикалық жүйенің өске қатысты кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз:

                                          ,

                             ,

                              ,

мұндағы  сондықтан:

                                      

2-мысал. Радиусы  және салмағы  біртекті диск болатын горизонталь платформа, дискінің  центрі арқылы өтетін вертикаль  өсін айнала қозғалады (3.26-сурет). Платформаның үстінде  өсінен  қашықтықта салмағы Р арба орналасқан. Платформаның  бұрыштық жылдамдығын келесі берілгендер бойынша анықтау керек:

а) Платформаның бетінде арба радиусы  шеңбер бойымен сағат тіліне қарама-қарсы тұрақты салыстырмалы жылдамдықпен қозғалғанда (бастапқы уақыт мезгілінде платформа және арба тыныштықта болады);

б) арбаның қозғалу шарты өзгермейді; платформа бастапқы уақыт мезгілінде сағат тіліне қарама-қарсы бағытта тұрақты  бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады (бастапқы уақыт мезгілінде арба платформамен бірге қозғалады);

в) арбаның қозғалу шарты өзгермейді; платформа бастапқы уақыт мезгілінде сағат тіліне қарама-қарсы бағытта тұрақты  бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады (бастапқы уақыт мезгілінде арба платформамен бірге қозғалады).

г) арбаның қозғалу шарты өзгермейді; бастапқы уақыт мезгілінде платформа және арба тыныштықта болады;  өсін айнала қозғалғанда пайда болатын шамасы тұрақты үйкеліс моменті  әсер етеді;

Арбаны материалық нүкте ретінде қарастыру қажет.


Шешуі.  жағдайы. “платформа-арба” жүйесінің қозғалысын қарастырамыз. Жүйеге келесі сыртқы күштер түсірілген: платформаның салмақ күші  арбаның салмақ күші , байланыстардың реакция күштері  және   өсіне қатысты барлық күштердің моменттері нөлге тең, себебі күштер  және  

               3.26-сурет

 өсіне параллель, ал күштер  және  оны қиып өтеді. Есептің берілгені бойынша тіректегі үйкеліс моменттері нөлге тең.

Сонымен, жүйеге түсірілген сыртқы күштердің  өсіне қатысты негізгі моменті нөлге тең:

                                                .

Жүйенің  өсіне қатысты кинетикалық моментінің сақталуы туралы шарты бойынша:

                                              

Бастапқы уақыт мезгілінде платформа және арба тыныштықта болғандықтан, кинетикалық моменттің бастапқы шамасы нөлге тең:

                                                 

Сондықтан:

                                              .

Жүйенің  өсіне қатысты кинетикалық моменті платформаның және арбаның сол өске қатысты кинетикалық моменттерінің қосындысына тең:

                                  ,

мұндағы платформаның  өсіне қатысты инерция моменті, ал  арбаның абсолют жылдамдығы. Арба күрделі қозғалыс жасайды, платформамен бірге айналмалы тасымал қозғалыста, платформаға қатысты салыстырмалы қозғалыста болады. Жылдамдықтарды қосу туралы теорема бойынша:

                                              

Арбаның тасымал қозғалыстағы жылдамдығының модулі -ге тең және  радиусына перпендикуляр сағат тіліне қарама-қарсы платформаның айналу бағытымен бағытталады. Арбаның салыстырмалы жылдамдығы  шамасымен берілген және салыстырмалы қозғалысының траекториясы болатын радиусы  шеңберге жанама бойымен сағат тіліне қарама-қарсы бағытталған. Сондықтан:

                                               .

, мәндерін кинетикалық момент өрнегіне қойып және оның сақталу заңын ескере отырып алатынымыз:

                                      .

Осы теңдеуді шеше отырып платформаның бұрыштық жылдамдығы -ны табамыз:

                                             .

 жағдайы. Бұл жағдайда мынадай кинетикалық моменттің  өсіне қатысты шарты орындалады:

                                                     ,

күштер сұлбасы өзгермейді, бірақ бастапқы кинетикалық момент келесі шамаға тең болады:

                                             .

 жағдайындағы айтылғандарды ескере отырып алатынымыз:

                         

                           

                                         .

Сонымен, арба қозғалып бастағаннан кейін платформаның бұрыштық жылдамдығы өзгереді. Егер  болса, онда  және платформа сағат тіліне қарсы бағытта айнала қозғалады. Егер  болса, онда  және платформа сағат тілімен бағыттас бағытта айнала қозғалады.

 жағдайы. Бұл жағдайда мынадай кинетикалық моменттің  өсіне қатысты шарты орындалады:

                                                 

бірақ бастапқы кинетикалық момент келесі шамаға тең болады:

                                         .

Сондықтан:

                        ,

                                         

Сонымен, арба қозғалып бастағанда платформаның бұрыштық жылдамдығы көбейеді және платформа сағат тілімен бағыттас бағытта айнала қозғалады.

 жағдайы. Егер қарастыратын жағдайға кинетикалық моменттің сақталу шартын пайдалансақ, онда жүйеге түсірілген сыртқы күштердің негізгі моменті, өске қатысты тұрақты үйкеліс моментіне тең болады.

Арбаның платформаға қатысты қозғалыс бағыты сағат тіліне қарсы бағытта және платформа сағат тіліне қарсы бағытта бұрыштық жылдамдықпен айналған жағдайын қарастырайық. Онда өске қатысты үйкеліс моменті теріс болады, яғни:

                                             ,

және

                                        .

Бастапқы уақыт мезгілінде платформа және арба тыныштықта болғандықтан, . Сондықтан:

                                            

 жағдайындағы айтылғандарды және ,  бағыттарын ескере отырып алатынымыз:

                            

осыдан:

                            

Сонымен, платформа  жағдайдағыдай, сағат тіліне қарсы емес, алдын ала қабылдағандай сағат тілімен бағыттас айналады. Сондықтан,  үйкеліс моментінің модулі оң болады, яғни теңдіктің оң жағындағы екінші мүшенің таңбасын өзгертеміз:

                                

Алынған қорытындыға талдау жүгізетін болсақ, онда платформа

уақытқа бірмәнді кемімелі бұрыштық жылдамдықпен айналатынын және келесі уақыт мезгілінде  тоқтайтынын көреміз.

3-мысал. Салмағы , радиусы  шкивті айналмалы қозғалысқа

келтіретін белдіктің тартылыс күштері  және  (3.27-сурет).

Бұрыштық жылдамдығы  тұрақты болатын шкивке түсірілген  кедергі моментін анықтау керек. Шкив біртекті дөңгелек диск.


Шешуі. Шкивтің  өсін айнала қозғалысының

 

         3.27-сурет

дифференциалдық теңдеуін құрамыз:

                                        ,

мұндағы шкивтің айналу өсіне қатысты инерция моменті.

Осыдан, белгісіз кедергі моментін анықтаймыз:

                               .

4-мысал. Тегершіктің бетіндегі нүктенің  жылдамдығына пропорционал, тежеуші момент  пайда болатын, тегершікті тез тоқтату үшін электрлік тежеуші қолданылады:

                                                  ,

мұндағы тұрақты коэффициент. Подшипникте пайда болатын үйкеліс күш моменті  тұрақты деп есептеуге болады; тегершіктің диаметрі , оның айналу өсіне қатысты инерция моменті . Тегершіктің бастапқы бұрыштық жылдамдығы .

Тегершіктің қанша  уақыт аралығында тоқтайтынын анықтау керек.

Шешуі. Тегершіктің өсті айнала қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрамыз:

                                ,

немесе

                                       ,

мұндағы .

Айнымалыларды айыра отырып, алатынымыз:

                                          .

0-ден Т-ға және -ден -ге дейінгі шектерде интегралдаймыз:

                            ,

                                                            .

 

3.2.10. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының

өзгеруі туралы теорема

 

Механикалық жүйесінің кинетикалық энергиясы және есептеуге керекті формулалар

Анықтама. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы деп ондағы барлық материялық нүктелердің кинетикалық энергияларының қосындысына тең скаляр шаманы айтамыз.

Массасы  әрбір материялық нүктенің кинетикалық энергиясы:

                                                                          (3.111)

Онда, анықтама бойынша, n материялық нүктеден тұратын механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы осылардын арифметикалық қосындысына тең:

                                             .                                         (3.112)

немесе

                                        .                           (3.113)

Кинетикалық энергия қозғалыс мөлшерімен қатарлас келетін жүйе қозғалысының негізгі екі өлшемінің бірі болып табылады. Жоғарыда айтқанымыздай, жүйенің қозғалыс мөлшері оның ілгерілемелі қозғалысын сипаттайды. Ал кинетикалық энергия механикалық қозғалысты толық көлемінде тереңірек сипаттайды.

Өзгермейтін механикалық жүйенің (абсолют катты дене) қозғалысы үшін (3.111) өрнегін қолдануға ыңғайлы түрге келтіруге болады.

 Ілгерілемелі қозғалыстағы катты дененің кинетикалық энергиясы. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің  жылдамдықтары өзара тең болғандықтан (3.111) формуладағы жылдамдық квадратын ортақ көбейткіш ретінде қосынды белгісінің алдына шығады:

.

Дене нүктелерінің массаларының қосындысы  дене массасын береді. Олай болса ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дене кинетикалық энергиясы:

                                                 .                                   (3.114)

Сонымен, ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы дененің массасы мен оның жылдамдығының квадратының көбейтіндісінің жартысына тең.

 Қозғалмайтын өсті айнала қозғалатын қатты дененің кинетикалық энергиясы. Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтары олардың айналу өсінен қашықтықтарына пропорционал болып келеді

                                             .                                       

Осыларды (3.112) формуласына қойсақ алатынымыз:

.

Мұндағы  ортақ қөбейткішті  қосынды белгісінің алдына шығарсақ және дене нүктелерінің  массалары мен олардың айналу өсінен қашықтықтарының квадраттары көбейтінділерінің қосындысы  - айналу өсіне қатысты алынған дененің инерция моментін анықтайтынын ескерсек, онда мынадай формула аламыз:

                                                .                                      (3.115)

Айналмалы қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы дененің айналу өсіне қатысты алынған  инерция моменті мен оның бұрыштық жылдамдығының  квадратына қөбейтіндісінің жартысына тең.

 Кенигтің теоремасы. Механикалық жүйенің күрделі қозғалысының  кинетикалық энергиясын есептеуде  Кенигтің теоремасы қолданылады. Механикалық жүйенің  күрделі қозғалысын екі жәй қозғалысқа жіктеуге болады. Оның бірі – массалар центрінің қозғалысымен анықталатын ілгерілемелі қозғалыс, ал екіншісі жүйенің массалар центрі төңірегіндегі салыстырмалы қозғалысы. Осыған байланысты  нүктенің жылдамдығы да екі жылдамдық қосындысына тең болады:

                                        ,                              (3.116)

мұндағы  - жүйенің массалары центрінің жылдамдығы,  жүйемен бірге массалар центрі төңірегіндегі қозғалуынан туатын  нүктенің жылдамдығы. Бұл (3.116) формуламен  анықталатын жылдамдықтарды (3.112) теңдігіне апарып қою арқылы мынадай нәтиже аламыз:

        .   (3.117)

Бұл (3.117) -теңдігіндегі:

                  .        (3.118)

Мұндағы , өйткені массалар центрі С –қозғалмалы  координаттық өстер жүйесінің бас нүктесі. Осы (3.118) теңдіктерін еске ала отырып, (3.117) теңдігін ақырғы түрде былай жазамыз:

                                          .                         (3.119)

Соңғы қосынды механикалық жүйенің массалар центріне, яғни ілгерілемелі қозғалыстағы -санақ жүйесіне қатысты алынғандағы салыстырмалы  қозғалыстың кинетикалық энергиясы, сондықтан оны  деп белгілейік, ол:

                                                .                                (3.120)

Сонда (3.119) теңдігін қысқаша мына түрде жазуға болады:

                                               .                                 (3.121)

Кенигтің теоремасы былай айтылады: күрделі қозғалыстағы механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы  массалар центрінің қозғалысымен анықталатын ілгерілемелі қозғалыстың кинетикалық энергиясына, жүйенің массалар центрінің  төңірегінде  орындалатын салыстырмалы қозғалысының кинетикалық энергиясын қосқаннан шығатын қосындыға тең.

Жазық–параллель қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы. Дененің  жазық параллель қозғалысын массалар центрінің қозғалысымен анықтайтын ілгерілемелі қозғалыс пен массалар центрі төңірегіндегі,  лездік бұрыштық жылдамдықпен орындалатын, лездік айналыстан тұрады деп есептеуге болады. Массалар центрі С арқылы өтетін және қозғалыс жазықтығына үнемі перпендикуляр болып келетін дененің лездік айналу өсін CZ деп белгілесек, онда (3.120) формуласы бойынша анықталатын  бұл жолы мынадай болады:

                                                    .                                   (3.122)

 табылған мәнін (3.122) формуласындағы Кенигтің (3.121) теоремасындағы орнына апарып қойсақ, жазық параллель қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясын есептеуге қолданылатын формула аламыз:

                                             .                            (3.123

Еркін қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы. Еркін қатты дененің массалар центрі жанында орындалатын қозғалыстары С нүктесінен өтетін лездік айналыстарға келтірілгендіктен  салыстырмалы қозғалыс энергиясы мынадай формуламен анықталады:

                                                 .                                    (3.124)

Мұндағы  - массалар центрі С нүктесінен өтетін және  лездік бұрыштық жылдамдық векторымен бірдей бағытталатын лездік бұрыштық жылдамдық векторымен бірдей бағытталатын лездік айналу өсіне қатысты алынған дененің инерция моменті. (3.124) теңдігін Кенигтің теоремасын өрнектейтін (3.119) формуладағы орнына қойсақ, онда мынаны аламыз:

                                           .                             (3.125)

Сонымен, еркін қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы (3.125) формуласымен анықталады. Жалпы алғанда,  инерция моменті айнымалы шама болып келеді.

 

3.2.11 Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Бізге  n материялық нүктелердің механикалық жүйесі берілсін жүйенің  нүктесіне әсер етуші барлық сыртқы күштердің теңәсерлі күшін  деп, ол ондағы ішкі күштердің теңәсерлі күшін  деп белгілейміз. Сонда массасы  -ға тең бұл  нүктесінің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін мынадай түрде жаза аламыз:

                                       .                    (3.126)

Бұл теңдеудің әрқайсысын  шамасына көбейтіп, өзара қоссақ. Сонда:

                                .                    (3.127)

Бұл соңғы теңдеудің сол жағындағы қосынды:

.

болғандықтан (3.127) теңдігін мына түрде аламыз:

                                      .                         (3.128)

Егер  күштерінің элементар жұмыстарына сәйкес

                                  .                   (3.129)

деп белгілесек, онда (3.128) теңдігін қайтадан мына түрде жазған болар едік:

                                          .                           (3.130)

(3.128) немесе (3.130)  формуласы механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрдегі математикалық өрнегін көрсетеді.

Бұл теорема сөзбен былай айтылады: механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының  дифференциялы жүйеге әсер етуші барлық сыртқы және ішкі күштердің элементарлық жұмыстарының қосындысына тең болады.

Жүйенің алғашқы орналасу жағдайына сәйкес кинетикалық энергиясы  деп, ал оның ақырғы жағдайындағы кинетикалық энергиясы  деп белгілейік. (3.130) теңдігінің екі жағынан да жүйенің осы екі орналасу  аралығында сәйкес шектерде интеграл алайық:

                           .                   (3.131)

немесе

                                         .                            (3.132)

Бұл теңдіктегі  және  жүйенің  нүктесіндегі  және  - күштердің сол нүктенің траектория бойымен жүрген  жолындағы жұмысы:

                                    .                        (3.133)

Сөйтіп, жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың интегралдық түрдегі өрнегі (3.131) немесе (3.132) теңдігімен беріледі. Теорема бұл түрінде былай айтылады: механикалық жүйенің бір орналасу жағдайынан екінші бір орналасу жағдайына көшу кезінде жасаған орын ауыстыруындағы кинетикалық энергиясының өзгеруі жүйеге әсер етуші барлық сыртқы және ішкі күштердің сол орын ауыстыруындағы жұмыстарының қосындысына тең болады.


1-мысал. Салмағы  пойыз өрге қарай түзу сызықты, ілгерілемелі қозғалады; . Оның қозғалысына кедергі күші

             3.28-сурет

пойыздың салмағының -ның -ын құрайды. 750м жол жүргенде жылдамдығы 18-ден 36-қа өзгереді (3.28-сурет).

Локомотивтің тұрақты тарту күшін анықтау керек.

Шешуі. Пойыздың ілгерілемелі қозғалысын материалық нүктенің қозғалысы ретінде қарастырып,  орын ауыстыруында нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз. Осы орын ауыстыруда пойыздың жылдамдығы -тан -қа өседі.

Пойызға әсер ететін күштер: локомотивтің тарту күші , пойыздың салмақ күші , рельстің нормаль реакция күші  және қозғалысына кедергі күші , ал .

 тарту күшінің  орын ауыстырғандағы жұмысы мынаған тең:

.

Пойыздың  салмақ күшінің жұмысы, вертикаль  орын ауыстыруына байланысты және мынаған тең:

                                          ,

мұндағы -бұрышы өте аз болғандықтан  және:

                                       .

 жылдамдығына перпендикуляр, рельстің реакция  күшінің жұмысы нөлге тең.

Кедергі  күшінің  орын ауыстырғандағы жұмысы мынаған тең:

                       .

Пойыздың  массасының шамасын және барлық күштер жұмыстарының шамаларын (    )-теңдеуге қойып алатынымыз:

                        .

Локомотивтің тарту күшінің шамасын табамыз:


2-мысал Электр қозғаушының роторы  

                 3.29-сурет

бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады. Ұзындығы  иінтірек АВ негізі С тежеушіден және диаметрі  тежеуші дискіден тұратын, тежеуші негіз оны қосқаннан кейін жұмыс істеп бастайды (3.29-сурет). Диск мен негіздің арасындағы үйкеліс коэффициенті , ара қашықтық . Иінтірек соңына  күш түсірілген. Қозғаушының валымен айналатын бөлшектерінің салмағы , ал айналу өсіне қатысты радиус инерциясы . Негіз С-ның өлшемі, иінтіректің салмағы және тіректегі үйкеліс есепке алынбайды.

Қозғаушының қанша айналыс жасап тоқтайтынын анықтау керек.

Шешуі. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының

өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз:

                                             .

Соңғы кинетикалық энергия , ал бастапқы кинетикалық энергия:

                                             .

Қозғаушының валына түсірілген күштердің ішінде тек үйкеліс күші  жұмыс жасайды. Ол мынаған тең:

                             .

Иінтіректің  реакция күшін анықтау үшін, айналу  өсіне қатысты, тежеуші иінтірекке түсірілген күштердің моменттер теңдеуін құрамыз:

                       ,            

мұндағы  тежеуші негіздің биіктігі.

Әсер және қарсы әсер заңы бойынша:

                                                .

Егер тежеуші негіздің биіктігін есепке алмасақ , онда -теңдеуінен алатынымыз:

                                   .

Әсер және қарсы әсер заңы бойынша:

                                           .

Онда:

                                  ,

мұндағы .

Алдыңғы теңдікті мынадай түрге келтіреміз:

                             .

Осыдан:

                     айн.

3-мысал. Егер автомобильдің моторын сөндірген уақыт мезгілінде жылдамдығы -ға тең болса, онда түзу жолдың бойында қанша  жол жүріп тоқтайды? Жүргізуші және жолаушыларды бірге есептегенде автомобильдің кузовының салмағы , төрт доңғалағының әрбіреуінің салмағы , массалар центрі арқылы өтетін өске қатысты радиус инерциясы , доңғалақтың радиусы , домалау үйкеліс коэффициенті . Доңғалақ сырғанамай дөңгелейді. Ауаның кедергі күшін және кузовтың вертикаль орын ауыстыруын есепке алмаймыз (3.30-сурет).

Шешуі. “Жүргізуші және жолаушылармен бірге автомобильді” өзгермейтін механикалық жүйе ретінде қарастырамыз. Ішкі үйкелісті есепке алмасақ, онда барлық ішкі күштердің жұмыстарының қосындысы нөлге тең. Сондықтан:

                                           .                                         

Соңғы кинетикалық энергия , яғни:

                                            ,                                          

ал бастапқы кинетикалық энергия:

                                            ,

мұндағы, автомобильдің ілгерілемелі қозғалысының кинетикалық энергиясы, доңғалақтың жазық параллель қозғалысының кинетикалық энергиясы, доңғалақтың массалар центрінің жылдамдығы,

доңғалақтың массалар центрі  арқылы өтетін өске

                                             3.30-сурет


қатысты инерция моменті.

Доңғалақтың жылдамдықтар лездік центрі доңғалақ пен жолдың жанасу нүктесінде орналасқан. Сонда  және

                                          .

 мәндерін  өрнегіне қоямыз:

                         .

Сонымен жүйенің кинетикалық энергиясы бастапқы орнында:

                  .

Жүйеге түсірілген сыртқы күштер: салмақ күштері  және , жолдың нормальдық реакциясы , доңғалақ пен жолдың арасындағы үйкеліс күші .

Жүйеге түсірілген барлық сыртқы күштердің  орын ауыстырғандағы жұмыстарының қосындысы мынадай өрнекпен анықталады:

   , .

Есептің шарты бойынша, кузов пен доңғалақ вертикаль орын ауыстырмайды және :

  болғандықтан  үйкеліс күші доңғалақ пен жолдың түйісетін нүктесіне, яғни  жылдамдықтар лездік центріне түсірілген деп қарастырылады. Осы үйкеліс күшінің қуаты нөлге тең:

                            немесе .

Сонымен, үйкеліс күшінің ақырғы  орын ауыстыруында, қуаттан уақыт бойынша алынған интегралына тең жұмысы да нөлге тең:

                                            .

Доңғалақтардың  жұмыстарының қосындысын анықтау үшін, радиустары, домалау үйкеліс коэффициенттері және жүктемелері барлық төрт доңғалақтар үшін бірдей болатынын есепке аламыз, сондықтан, осы жұмыстардың қосындысын бір доңғалаққа келтіреміз. Нормаль қысым күші мынадай өрнек арқылы анықталады:

                                            .

Онда:

        .

Элементарлық жұмысы:

                             .

мұндағы жылдамдықтар лездік центрі -ға қатысты элементарлық бұрылу бұрышы.

                      болғандықтан  және

                          .

- бұрылу бұрышы мен домалау үйкеліс қос күш моментінің бағыттары қарама-қарсы болғандықтан, жұмысы теріс болады.

 толық орын ауыстыруында домалау үйкеліс қос күш моменті жұмыстарының қосындысын есептеу үшін,  мәнінен -ден -ке дейігі шектерінде интеграл аламыз:

                             .

Сонымен:

                        .

 және  мәндерін (**) теңдеуіне қойып -ке қатысты шешеміз:

                                  .

Сан мәндерін

 орындарына қоя отырып, алатынымыз:

                     

 

Динамика бөлімінен студенттердің өзіндік жұмыс тапсырмалары

 

Тапсырма қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерін пайдаланып машина динамикасын зерттеу әдістемесін оқып үйренуге арналған. Машина қозғалыстары, дифференциалдық теңдеулерді электронды есептеу машинасын пайдаланып интегралдау арқылы анықталады. Машинаның берілген буындарының динамикалық реакциялары есептеу нәтижесінің көмегімен анықталады.

Машиналардың сұлба варианттары 3.31-3.34 суреттерде көрсетілген. Машинаның құрылым элементтері абсолют қатты деп саналады, белдіктер инерциялы емес. Доңғалақтар, белдіктер т.б. сырғанамайды. А жұдырықшасы мен қосиіннің және жылжыманың үйкеліс күштері есепке алынбайды.

Машина электр қозғалтқышта пайда болатын  моменті әсерімен қозғалысқа келтіріледі. Пайдалы әсер әр-түрлі варианттарда  күшімен немесе  моментімен көрсетілген.

Есептеуде тапсырманың берілгенін ретке келтіру 1-кесте және 1-формулалармен беріледі.

                              

                                (1)

                   

                               

Мұндағы, массалар, салмақтар, бұрыштық жылдамдықтар, радиустар, инерция моменттері және инерция радиустары және жылдамдықтар үшін 1-4 суреттерде көрсетілген машиналар буындарының сәйкес индекстерімен келесі

белгілеулер қабылданған. кестеде мәндері көрсетілген тұрақтылар. интегралдаудың уақыт аралығы, яғни тегершіктің толық айналу уақыты шамасына жақын шама, студенттік топтар, факультет номері. Тегершіктің радиусы   бұрышы суретте көрсетілген. Шамалардың сандық мәні СИ жүйесінде берілген.

1. Механикалық жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы және кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланып 4-ші доңғалақтың өсіндегі динамикалық реакциясын анықтайтын теңдеуді құрастыру қажет.

2. Кинетостатика тәсілімен К нүктесінің үйкеліс күшін анықтайтын теңдеуді құрастыру қажет.

3. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрдегі математикалық өрнегін пайдалана отырып машина қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрастыру қажет.

4. ЭЕМ көмегімен машинаның қозғалыс теңдеуін интегралдау

қажет.

5. Тегершік бір айналған уақыт аралығында  графиктерін тұрғызу қажет.

 

 

 

 

 

3.31-сурет

3.32-сурет

 

3.33-сурет

 

3.34-сурет

 

Байланыстар реакцияларын анықтау туралы нұсқау

 

Тапсырмадағы реакция күштерін анықтау үшін, динамиканың жалпы теоремаларын және кинетостатика тәсілін қолдану қажет. Шамаларын есептеу үшін, машина қозғалысының дифференциалдық теңдеуін ЭЕМ-ның көмегімен интегралдағандағы таблица бойынша  максимум мәндеріне сәйкес қорытынды  ,  мәндерін қабылдаймыз.

 

Машина қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құру туралы нұсқау

 

Машина қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құру үшін, механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы қолдану қажет. Қарастырылатын механикалық жүйенің еркіндік дәрежесі бірге тең. Жалпыланған координат ретінде  бұрышын қабылдап, қозғалыс теңдеуін мынадай түрге келтіреміз:

                                                                                              (2)

 

ЭЕМ-ның көмегімен есепті шешу туралы нұсқау

 

Сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесі (2)  аралығында сандық тәсілмен интегралданады. Айнымалы  бойынша интегралдаудың қажетті бастапқы шарты 1-кестеде көрсетілген, ал айнымалы  бойынша бастапқы шарты  деп қабылданады. Қорытынды печаттау қадамы мынаған тең:

Печатқа айнымалылар  шығарылады.

 

Есептің шешуін тексеру

 

Есеп шешуінің дұрыстығы есептеу мәндері бойынша  графиктерін тұрғызу арқылы жүргізіледі. Дұрыс

шешілген есепте  және  айнымалыларының бастапқы және соңғы мәндері өте жақын болуы қажет, ал  бұрышы бастапқы мәнінен -ге жақын шамаға дейін өседі.

 

Рәсімдеу туралы нұсқау

 

Семестрлік жұмыс бекітілген үлгі бойынша рәсімделеді және мазмұны көрсетілуі қажет:

1. Есептің берілгені.

2. Қысқаша түсініктеме бойынша теңдеудің қорытылып шығарылуы.

3. ЭЕМ көмегімен шешу программасының жазылуы.

4. ЭЕМ көмегімен есеп шешуінің қорытынды кестесі.

5. Уақытқа бірмәнді тұрғызылған  графиктері және есептеу қорытындысын талдау.

6. Пайдаланған оқулықтар тізімі.

7. Қорғауға арналған таза бет қағаз.

 

Тапсырманың орындалу мысалы

(31-вариант,

 

3.35-сурет

Қосиінді–кулисалы механизмімен машинаның кинематикалық сұлбасы суретте қөрсетілген. 3-ші шкивке қозғаушы момент түсірілген. Шкив тегершік пен белбеу арқылы байланысқан. Пайдалы әсер мынадай  формуламен анықталады. Сан мәндерімен берілгені: O1A = r1 =0,06м; М0 =65Hм; КТ =1Hм • с;=5,36Нс/м; J=1,4кгм2; т2 =17кг;т3 =9,26кг; т4=16 кг; R3=0,18 м; R4=0,1 м;=25рад/с; =0;R1=0,36м2.

Белбеу салмақсыз, созылмайды деп қарастырылады. Белбеу шкив пен тегершіктің бетінде сырғанамайды (3.35-сурет).

1. Механикалық жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы және кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланып 4-ші доңғалақтың өсіндегі динамикалық реакциясын анықтайтын теңдеуді құрастыру қажет.

2. Кинетостатика тәсілімен К нүктесінің үйкеліс күшін анықтайтын теңдеуді құрастыру қажет.

3. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрдегі математикалық өрнегін пайдалана отырып машина қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрастыру қажет:

4. ЭЕМ көмегімен машинаның қозғалыс теңдеуін интегралдау қажет.

5. Тегершік бір айналған уақыт аралығында  графиктерін тұрғызу қажет.

 

1.Механикалық жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы және кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланып 4-ші доңғалақтың өсіндегі динамикалық реакциясын анықтайтын теңдеуді құру.

 

Қарастырып отырған механикалық жүйе денелерінің орны мынадай геометриалық параметрлермен анықталады:

1. Тегершік 1- бұрылу бұрышымен;

2. Кулиса 2- массалар центрі  координаталарымен;

3. Шкив 3- бұрылу бұрышымен;

4. Доңғалақ 4-массалар центрі  координаталарымен және  нүктесі арқылы өтетін өске қатысты  бұрылу бұрышымен.

Айтылған параметрлер мынадай кинематикалық қатынастармен байланысты:

а) тегершік 1-ге және шкив 3-ке қатысты белдік сырғанамайтын болғандықтан, маховиктің В және шкивтің Д нүктелерінің жылдамдықтары өз ара тең:

                                            (1) және (2)

осыдан

                                                                                                  (3)

б) кулиса 2-нің ілгерілемелі және түзу сызықты қозғалуы нәтижесінде:

                                           Y2=R4=const                                            (4)

             V2X=VAX=r1sin  немесе                         (5)

в) доңғалақ 4-тің жазықтық бетінде абсолют қозғалысының үздіксіз шартынан алатынымыз:

                                            Y2=R4=const                                           (6)

г) доңғалақ 4 жазықтық бетінде сырғанамайтын болғандықтан:

                                                                                              (7)

                                   немесе                             (8)

3.36-сурет

Осылайша, жеті параметр ,Х2244, алты (3)-(8) кинематикалық қатынастармен байланысқан. Осыдан, жетеуінің ішінде бір параметр тәуелсіз болады. Маховиктің  бұрылу бұрышын негізгі деп қабылдаймыз және  арқылы қалғандарын есептейміз:

                                                                                           (9)

                                                                                 (10)

                                                                                 (11)

                                                                               (12)

4-ші доңғалақ өсінің динамикалық реакциясын анықтау үшін, түсірілген күштер әсеріндегі жеке денелер қозғалысының теңдеуін құрамыз.

Тегершік 1 массалар центрі арқылы өтетін  өсін айнала қозғалады. Тегершік 1-ге салмақ күші , айналу өсіне құраушылары  және  реакция, динамикалық реакция , белдіктің жетекші  және жетектегі  тартылыс күштері әсер етеді (3.36,г- сурет). Жүйенің кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланып, тегершік 1-дің айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрамыз:

            ,               (13)

мұндағы -тегершік 1-дің өсіне қатысты инерция моменті.

Кулиса 2 ілгерілемелі қозғалыста болады. Оған салмақ күші ,  реакциялар , динамикалық реакциялар  әсер етеді. Массалар центрі қозғалысының  өсіне проекциясы туралы теореманы пайдаланып кулиса 2-нің ілгерілемелі қозғалысының дифференциялдық теңдеуін құрамыз:

                                                                                   (14)

Шкив 3 массалар центрі арқылы өтетін  өсін айнала қозғалады. Шкив 3-ке салмақ күші , қозғаушы момент , құраушылары  байланыс реакциялары, белдіктің жетекші  және жетектегі  тартылыс күштері әсер етеді. Жүйенің кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланып, шкив 3-тің айналмалы қозғалысының дифференциялдық теңдеуін құрамыз:

                                                                  (15)

Доңғалақ 4 жазық параллель қозғалыста болады. Оған салмақ күші , пайдалы әсер моменті , реакциялар , динамикалық реакция  және үйкеліс күші  әсер етеді.

 Жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы және кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы пайдаланып, доңғалақ 4 қозғалысының дифференциалдық теңдеулер жүйесін құрамыз:

                                                                    (16)

Осылайша, тоғыз  белгісіз шамаларға қатысты бес дифференциялдық (13)-(16) және координаттар арасындағы байланысты көрсететін төрт теңдеулерге ие боламыз:

                                      ,                                 (17)

                    ,          (18)

                    ,           (19)

                        .             (20)

(13)-(16) теңдеулерден ,  , шамаларын жойып,  координаттарын  арқылы өрнектеп, параметрлердің сандық мәндерін есепке ала отырып, 4-ші доңғалақтың өсіндегі динамикалық реакцияны анықтайтын теңдеуді аламыз:

 

2. Кинетостатика тәсілін пайдалану

4-дөңғалақтың К нүктесіндегі үйкеліс күшін анықтау үшін, кинетостатика тәсілін пайдаланамыз. Жүйе мына денелерден тұрады: тегершік 1, кулиса 2, шкив 3, және доңғалақ 4. Байланыстардан босату заңын қолдана отырып, әрбір денені жеке қарастырамыз.

Тегершік 1  өсін айнала қозғалады. Тегершік 1-ге салмақ күші , өстің реакция күш құраушылары динамикалық реакция , белдіктің жетекші  және жетектегі  тартылыс күштері әсер етеді. (7,в-сурет ).

 

 

3.37-сурет

Тегершік 1-дің инерция күші қарама қарсы таңбамен алынған  бұрыштық үдеу проекциясы мен маховиктің инерция моменті -тің көбейтіндісіне тең қос күш моменті -ке келтіріледі:

Маховик 1-дің актив күштері, байланыс реакциялары және инерция күштерінің әсеріндегі “тепе-теңдігін” қарай отырып,  өсіне қатысты моменттер теңдеуін құрамыз:

                          .                       (21)

Моменттер теңдеуіне  мәнін қоя отырып алатынымыз:

                                              (22)

Кулиса 2  үдеуімен ілгерілемелі қозғалыста болады. Оған салмақ күші, байланыс реакциялары  және динамикалық реакциялар  түсірілген (3.37,б-сурет). Кулиса 2-нің үдеуі солға бағытталған, сондықтан оның инерция күштерінің тең әсер етуші  күші  үдеуіне қарама-қарсы бағытталады,  немесе  өсіне проекциясы:

Кулиса 2-нің горизонталь  өсіне проекция теңдеуін құрамыз:

яғни

                                                                    (23)

Шкив 3  өсін айнала қозғалады. Шкивке салмақ күші , қозғаушы момент , реакция күш құраушылары , белдіктің жетекші  және жетектегі  тартылыс күштері әсер етеді (7,г-сурет).

Шкив 3-тің инерция күші қарама қарсы таңбамен алынған  бұрыштық үдеу проекциясы мен шкивтің инерция моменті -тің көбейтіндісіне тең қос күш моменті -ке келтіріледі:

 мұндағы .

Шкив 3-тің актив күштер, байланыс реакциялары, және инерция күштерінің әсеріндегі “тепе-теңдігін” қарай отырып,  өсіне қатысты моменттер теңдеуін құрамыз:

яғни

                                                     (24)

Доңғалақ 4 жазық параллель қозғалады. Оған салмақ күші  пайдалы әсер моменті , реакция  динамикалық реакция  және үйкеліс күші  әсер етеді. Полюс ретінде  нүктесін ала отырып, жазық параллель қозғалыстағы доңғалақтың инерция күшін қосамыз. Инерция күштері негізгі вектор -ке тең күшке және моменттері негізгі моменті -ке тең қос күшке келтіріледі (3.37,а-сурет ).

 инерция күші оның  үдеуіне қарама қарсы бағытталады және теріс таңбамен алынған доңғалақтың массасы мен  массалар центрі үдеуінің көбейтіндісіне тең, яғни  немесе  өсіне проекциясы:

Доңғалақ 4-тің негізгі моменті қарама қарсы таңбамен алынған  бұрыштық үдеу проекциясы мен шкивтің инерция моменті -тің көбейтіндісіне тең:

   мұндағы  

Доңғалақ 4-тің "тепе теңдік" екі теңдеулер жүйесін құрамыз:

   

яғни

                                                               (25)

Мынаны еске ала отырып

                    

(23)-(25) теңдеулерін мынадай түрге келтіреміз:

                                                      (26)

(26)- теңдеулер жүйесінен ,  , шамаларын жойып,  координаттарын  арқылы өрнектеп, параметрлердің сандық мәндерін есепке ала отырып, 4-ші доңғалақтың K нүктесіндегі үйкеліс күшін анықтайтын теңдеуді аламыз:

3. Жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциялдық түрдегі өзгеруі туралы теореманы қолдану

Машинаның қозғалысын анықтау үшін жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы пайдаланамыз:

                                            .                                         (27)

Берілген маханикалық жүйенің кинетикалық энергиясы төмендегі өрнекпен анықталады:

мұндағы тегершік 1-дің ге қатысты тегершіктің айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы;

кулиса 2-нің ілгерлемелі қозғалыстағы кинетикалық энергиясы;

шкив 3-тің -ке қатысты айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы;

доңғалақ 4-тің жазық параллель қозғалысының кинетикалық энергиясы.

-ті (9)-(12) формулаларымен ауыстырсақ алатынымыз:

                                         (28)

Қозғаушы момент  және пайдалы әсер моменті -тың жұмысын есепке ала отырып элементар жұмыстардың қосындысын есептейміз:

                                                               (29)

(9)-(12) формулаларынан элементар орын ауыстыру қатынастарын аламыз:

                                                                                           (30)

                                                         (31)

(30), (31) қатынастарымен бірге -ті есепке ала отырып ,мынаны аламыз:

                          (32)

Кинетикалық энергияның дифференциалы: (33)

Параметрлердің сандық мәндерін есепке ала және (32), (33) теңдіктерін пайдалана отырып, (27)-ші теңдеуден мынаны аламыз:

Осы теңдеуді мынадай түрде жазамыз:

                                           (34)

мұндағы

Осыдан

,

.                                                                          (35)

Программаны жазу

программасында ЭЕМ көмегімен (35)-теңдеулер жүйесін шешеміз. Қадамы басылым қадамына тең Эйлер әдісін пайдаланамыз:

-ні  арқылы белгілеп бастапқы және соңғы әрбір интегралдау қадамында  және  мәндерін байланыстыратын соңғы-айырма сұлба әдісімен Эйлер теңдеуін аламыз:

Программада айнымалыларды 2-кестеге сәйкес белгілейміз.

2-кесте

Айнымалылар

Программадағы

белгілеулер

Т

 

Қорытындыларды талдау

ЭКМ көмегімен алынған есеп шешімінің қорытындысы 3-кестеде көрсетілген. , , және  графиктері 3.38, 3.39, 3.40-суреттерде тұрғызылған. Тұрғызылған осы графиктерден машинаның циклды режимге жақын режимде жұмыс жасайтынын көруге болады.

3.38-сурет

 

3.39-сурет

 

3.40-сурет

 

10 OPEN “A:ZDM.DAT” FOR OUTRUT AS #1

20 PRINT # 1, “T”, “F”, “OM1”, “E1”

30 DT= .0102

40 T = 0!

50 F1 = 0!

60 OM1 = 25.08

70 FOR K = 1 TO 25

80 SN = SIN(F1)

90 SN2 = SIN(2 * F1)

100 Q =130 – (4.08 + 1.97 * SN * SN) * OM1

110 D1 = 2.2 + .148 * SN * SN

120 E2 = Q - .074 * OM1 * OM1 * SN2

130 E1 = E2/D1

140 PRINT # 1, T, F1, OM1, E1

160 F1 = F1 + OM1 * DT

170 OM1 = OM1 + E1 * DT

180 T =T + DT

190 NEXT K

200 CLOSE # 1

210 END

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-кесте

T

F1

OM1

E1

0

.0102

.0204

.0306

.0408

.051

.0612

.0714

.0816

.0918

.102

.1122

.1224

.1326

.1428

.153

.1632

.1734

.1836

.1938

.204

.2142

.2244

.2345999

.2447999

0

.255816

.5129408

.7701101

1.026113

1.280149

1.532013

1.782087

2.0312

2.280422

2.530849

2.783374

3.03847

3.29602

3.555275

3.815031

4.073976

4.331098

4.58596

4.838754

5.090193

5.341316

5.593262

5.847036

6.103279

25.08

25.20831

25.21268

25.09836

24.90547

24.69253

24.51711

24.42282

24.43354

24.55165

24.75737

25.00943

25.24992

25.41724

25.46622

25.38671

25.20809

24.98645

24.78369

24.65091

24.61993

24.70059

24.87981

25.12177

25.37116

12.57891

.428863

-11.2079

-18.91075

-20.87677

-17.1973

-9.243923

1.050732

11.57886

20.16908

24.71124

23.57801

16.40416

4.802066

-7.796018

-17.51099

-21.7298

-19.8781

-13.01824

-3.036547

7.907335

17.57125

23.72114

24.44985

18.89433

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оқулықтар тізімі

1. Жолдасбеков Ө.А., Сағитов М.Н., Теориялық механика курсы, қосымша оқулықтар, Алматы: “Атамұра”, 2002 ж.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. Изд.5, переобработанное и дополненное. М., “Высшая школа”, 

3. Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики, М., “Наука” 1986 г.

4. Яблонский А.А., Курс теоретической механики, Часть 1, ІІ М., 1987 г.

5. Мещерский И.В., Сборник задач по теоретической механике, М., “Наука”, 1986 г.

6. Сборник коротких задач по теоретической механики. Под ред. О.Э. Кепе, М., “Высшая школа”, 1989 г.

7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под ред. А.А. Яблонского, М., “Высшая школа”, 1985 г.

8. Маркеев А.М. Теоретическая механика. М., “Наука”, 1990 г.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Теориялық механика пәнінен лекциялар жинағы"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Землеустроитель

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 663 528 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 30.08.2015 5582
    • DOCX 9.3 мбайт
    • 77 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Буркитбаева Гульжан Нурлановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 8 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 16750
    • Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 23 человека из 16 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Руководство электронной службой архивов, библиотек и информационно-библиотечных центров

Начальник отдела (заведующий отделом) архива

600 ч.

9840 руб. 5600 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 25 человек

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Педагог-библиотекарь

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3650 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 487 человек из 71 региона
  • Этот курс уже прошли 2 326 человек

Курс повышения квалификации

Специалист в области охраны труда

72/180 ч.

от 1750 руб. от 1050 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 22 регионов
  • Этот курс уже прошли 153 человека

Мини-курс

История архитектуры: от классицизма до конструктивизма

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 34 человека из 19 регионов
  • Этот курс уже прошли 18 человек

Мини-курс

Технологии и анализ в медиакоммуникациях

7 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы игровой деятельности дошкольников: роль игр в развитии детей

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 23 человека из 14 регионов
  • Этот курс уже прошли 20 человек