Тест. Функцияның негізгі қасиеттері. 10-сынып

Сұрынбаева Айгерім

математика пәнінің мұғалімі

ОҚО, Шымкент қаласы

№119 Маятас жалпы орта мектебі

Функцияның негізгі қасиеттері.

1.Функция ұғымы

Сандық функция деп берiлген жиыннан алынған әрбiр х санына тек бiр у саны сәйкестендiрiлетiн сәйкестiктi айтады. Сөйтiп, оны былайша белгiлейдi: y=f(x), мұндағы х – тәуелсiз айнымалы шама (функцияның аргументi), у – тәуелдi айнымалы шама деп аталады.

х-тiң қабылдайтын мәндерiнiң жиынын функцияның анықталу облысы деп атайды. әдетте оны Д деп белгiлейдi.

у-тiң қабылдайтын мәндерiнiң жиынын функцияның өзгеру облысы немесе функцияның мәндерiнiң жиыны деп атайды. Әдетте оны Е деп белгiлейдi.

         Функцияның графигi деп жазықтықтағы координаталары (х,f(x)) болатын нүктелердiң жиынын айтады.

        

2. Функцияның берiлу тәсiлдерi

1.     Аналитикалық тәсiл. Функция математикалық формула арқылы берiледi.

Мысал:  y=x², y=lnx.

2.     Таблицалық тәсiл. Функция таблица арқылы берiледi

Мысалы:

х	1	2	3	4	5
у	2	4	6	8	10

3.     Функцияның сөзбен берiлуi: Функция сөзбен берiледi.

Мысалы: Дирихле функциясы

4.     Графиктiк тәсiл. Функция график арқылы берiледi.

3. Жұп және тақ функциялар

         Егер бас нұкте 0-ге қарағанда симетриялы облыста берiлген f(x) функциясы үшiн f(-x)=f(x) теңдiгi орындалатын болса, онда f(x) функциясы жұп функция, ал егер

f(-x)=-f(x) болса, онда f(x) функциясын тақ функция дейдi.

         Жұп функцияның графигi ординаталар осiне қарағанда симетриялы болады.

         Тақ функцияның графигi координаттың бас нұктесiне қарағанда симетриялы болады.

         Көптеген функциялар жұп функция да, тақ функция да болып табылмайды.

Жұп функцияға мысалдар: y=x²ⁿ,nÎ z;y=cosx;

Тақ функцияға мысалдар: y=x²ⁿ⁺¹,nÎ z;y=sinx;

Жұп функция да, тақ функция да болмайтын функцияларға мысалдар: y=e^x, y=lnx, y=(x+1)²

Жұп функция мен тақ функцияның қасиеттерi.

1.     Егер f(x) және g(x) функциялары екеуi де бiрдей X жиынында анықталған жұп функциялар болса, онда f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x),  g(x)¹0 функциялары X жиынында анықталған жұп функциялар болады.

2.     Егер f(x) және g(x) функциялары екеуi де бiрдей X жиынында анықталған тақ функциялар болса,онда f(x)+g(x) және f(x)-g(x) функциялары да X жиынында анықталған тақ функциялар,ал f(x)g(x), , g(x)=0 функциялары X жиынында анықталған жұп функция болады.

4. Шектелген функциялар

         Егер бiр М саны табылып, Х жиынындағы барлық х саны үшiн мына теңсiздiк  f(x)£M орындалса, онда f(x) функциясын X жиынында жоғарғы жағынан шектелген функция деп атайды.

         Егер бiр М саны табылып, Х жиынының барлық х саны үшiн мына теңсiздiк  f(x)³M орындалса,онда f(x) функциясын X жиынында төменгi жағынан шектелген функция деп атайды.

         Егер бiр оң C саны табылып, Х жиынының барлық х саны үшiн мына теңсiздiк ôf(x)ô£C орындалса, онда f(x) функциясын X жиынында шектелген функция деп атайды.

Шектелген функциялардың қасиеттерi.

1.     Егер f(x) және g(x) функцияларының екеуi де бiрдей X жиынында анықталған, шектелген функциялар болса, онда f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), ôf(x)ô функциялары да Х жиынында анықталған, шектелген функциялар болады.

2.     Егер f(x) және g(x) функциялары X жиынында анықталған, ал f(x) функциясы Х жиынында шектелген және g(x) функциясы үшiн ôg(x)ô>M>0 теңсiздiгi орындалса, онда  функциясы X жиы­нын­да шектелген функция болады

3.     Егер f(x) функциясы X жиынында анықталған және шектелген функциялар болса, онда  a^f(x), cos f(x),   sin f(x), arcsin f(x), arccos f(x), arctg f(x),

arcctg f(x) функциялары да Х жиынында анықталған, шектелген функциялар болады.

5. Периодты функциялар

Егер бүкiл  сан түзуi бойында анықталған f(x) функциясы үшiн бiр Т¹0 саны табылып, түзудiң кез келген x нұктесiнде f(x+T)=f(x-T)=f(x) теңдiгi орындалса, онда f(x) функциясын периоды Т-ға тең периодты функция деп атайды.

         Егер Т саны f(x) функциясының негiзгi периоды бола тұра, барлық оң периодтардың ең кiшiсi болса, онда оны f(x) функциясының бас (негiзгi) периоды дейдi.

Периодты функцияның қасиеттерi.

1.     Егер Т саны f(x) функциясының ең негiзгi периоды болса, онда  саны y=f(x) функциясының ең негiзгi периоды болып табылады.

Мысалы: Гармоникалық тербелiстi сипаттайтын y=A sin(x+) функциясының ең негiзгi периоды  Т=-ға тең.

2.     Егер f(x) және g(x) функцияларының периодтары сәйкесiнше       Т₁ және Т₂-ге тең болса,онда f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), , g(x)¹0 функциялары периоды Т=[T₁-T₂]-ға тең периодты функ­циялар болады.

Мысалы: y=cos+2sin функциясының периодын таба-йық: Мұнда  cos функциясының периоды T₁=-ке, ал sin функциясының периоды T₂==6p-ге тең. Сондықтан y= функциясының периоды T=12p-ге тең болады, өйткенi T=[T₁,T₂]==12p.

Тест тапсырмалары.

1.     Жұп та, тақ та емес функцияны табыңыз.

А)      В)      С)    

D)      E)

2.     Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

А)                        В)              С)

D)          E)

3.     Мына функциялардың қайсысы анықталу облысында тақ функция екенін анықтаңыз:

А)     В)     С)

D)       Е)

4.      функциясы берілген. Теңдеуді шешіңіз:

А)       В)      С)

D)     Е)

5.     Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

А)                       В)         С)

D)    Е)

6.      функциясының өзгеру облысын табыңыз.

А)                    В)             С)

D)               Е)

7.     Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

А)     В)       С)       D)    Е)

8.     Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

А)     В)    С)    D)      Е)

9.     Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

А)                 В)               С)

D)                 Е)

10. Функцияның анықталу облысын табыңыз: 

А)     В)       С)     D)     Е)

11. Функцияның анықталу облысын табыңыз:

А)               В)     С)       D)     Е) .

12. Тақ функциясы анықтаңыз.

А) y=x|x|+x;          В) y=x|x|-x²;         С) y=-x|x|+x²;    

D) y=-x|x|+x²;       Е) y=x²|x|+x.

13. Функцияның анықталу облысын табыңыз: ;

А) ;     В) ;     С) ;           D) ;     Е) .

14. y=arcsin(2x-5) функциясының анықталу облысын табыңыз.

А) x£3;         В) x³3;        С) 2£x£3;     D) ;     Е) –1£x£1.

15. Функцияның анықталу облысын табыңыз:

А) х-кез келген сан;     В) х¹0;         С) х¹4;        D) х¹-4; х¹4;    Е) х¹-4.

16. f(x)= функциясының анықталу облысын табыңыз.

А) x>1;        B) x<0;           C) x<1;       D) x>1;        E) x>0.

17. Функцияның анықталу облысын табыңыз: ;

А) х¹-2, х¹2;     В) х¹0;            С) х¹2;       D) х¹-2;       Е) х-кез-келген сан.

18.  Функцияның анықталу облысын табыңыз:

А)     В)      С)     D)     Е)

19. у=arcsin(sinx) функциясының анықталу облысын табыңыз.

А) x>0;         B) -¥<x<+¥;       C) ;    D) -1;     E) x<0.

20. Аргументтiң қандай мәнiнде y=0,4x-5 функциясының мәнi 13-ке тең болады?

А) 54;     В) 45;     С) –45;        D) 34;   Е) –54.

21. y=arcsin(sinx) функциясының периодын табыңыз.

А) 4;     В) 2;     С) 2p;   D) p/2;   Е) p.

22. Функцияның анықталу облысын табыңыз: ;

А) [0; +¥);    B) [-1;+ ¥);          C) (0; +¥);            D) (2;+ ¥); E) (-¥; +¥).

23.  функциясының анықталу облысын табыңыз.

А) –3<x<1;       B) x<-3;-3<x<1; x>1;       C) x<-3;    D) x>1;     E) x=-3.

24. f(x)=log₃(x+2) функциясының графигi координат жазықтығының қай ширегiнде орналасқан?

А) I, II;       B) II, III;      C) I, II және III;    D) II, III және IV;    Е) III, IV.

25. y=sin(x+1) функциясының периодын табыңыз.

А) p/2;           В) 2p;        С) 2;           D) p;                     Е) 4p.