Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Тесты / Тест по математике на тему "Геометрический смысл производной".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тест по математике на тему "Геометрический смысл производной".

библиотека
материалов

Тест «Геометрический смысл производной».


Задания данного теста предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков по теме: «Геометрический смысл производной».

Задания данного теста соответствуют теории в пределах учебного материала за 10-11 классы. Тесты позволяют в 10 классе оценить степень и качество усвоения материала и могут помочь выпускникам при подготовке к ЕГЭ в 11 классе.

Задания по теме «Геометрический смысл производной» включены как в тесты профильного уровня, так и в тесты базового уровня. Решаются они мгновенно, вполне по силам даже самым слабым ученикам, но, как показывает практика, для безошибочного решения требуются тщательная отработка. При решении этих заданий никаких глубоких теоретических познаний не требуется, достаточно усвоить простой алгоритм и запомнить несколько определений.

В тесте представлены десять вариантов и ответы к ним, минимум теории. Первые восемь вариантов обучающие. В каждом содержится по 4 задания примерно одинакового уровня сложности. Они могут быть использованы для фронтальной работы и работы в парах. При работы с ними можно использовать вспомогательный материал из таблицы : «Выбери пояснение к заданию» .Тесты №9 и №10 содержат по 8 заданий и могут быть использованы для самоконтроля.

В тестах использованы задания для подготовки к ЕГЭ ( базовый и профильный уровень). Варианты сформированы из заданий, взятых из официальных источников:

- ЕГЭ портал 4ege.ru,

- http://math.reshuege.ru/ Образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина,

-  тренировочные варианты от А.А. Ларина.

Алгоритм работы с тестом.

  1. Читаем задание.

  2. Смотрим, какой задан график - производной или функции.

  3. Если задан график производной - выясняем знак:

  • производная меньше нуля;

  • производная больше нуля;

  • производная равна нулю.

  1. Если задан график функции - выясняем поведение функции :

  • функция убывает ;

  • функция возрастает;

  • находим максимум и минимум функции.

  1. Читаем внимательно вопрос к заданию. Что находим: количество точек, или сумму целых точек, или длину промежутка …?

  2. Если в задаче дан график и касательная к нему, то на графике касательной найдём две «хорошие» точки, их координаты должны быть целочисленными. Они обязательно есть! Считаем количество клеток по осям и находим отношение катетов. Обязательно – отношение «ординаты» к «абсциссе». Определим знак этого отношения!

  3. Если касательная параллельна оси ОХ, производная функции в точке касания равно нулю.


Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 1





1

http://math.reshuege.ru/get_file?id=5323

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].









2.

http://math.reshuege.ru/get_file?id=12044

На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?










3.

http://reshuege.ru/get_file?id=14153


На рисунке изображён график http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5.png производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png и восемь точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/0a/0a886d8d7f69aab15bc76ccaf23ce109.png http://reshuege.ru/formula/2d/2d7616976eeff7d7dd56512675ccb59b.png http://reshuege.ru/formula/79/79a60d393eb31d182ec89074101f9c00.png http://reshuege.ru/formula/63/63975f390397d0e50d9e6152d7f57799.png,http://reshuege.ru/formula/96/96633bb730e5b646bb4cde4a0398ff84.png. В скольких из этих точек функция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png убывает?






4.

http://reshuege.ru/get_file?id=6430

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.




Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 2







1.

http://reshuege.ru/get_file?id=6106


На рисунке изображен график производной функцииhttp://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.




2.

http://reshuege.ru/get_file?id=6715

На рисунке изображён график производной http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5.png функции http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befd.png определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befd.png принадлежащих отрезку [−4; 8].

 





3.

http://reshuege.ru/pic?id=p1372

На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки убывания функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png.

В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.





4.

http://reshuege.ru/get_file?id=4934

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].




Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 3






1.




http://math.reshuege.ru/get_file?id=309

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).








2.

http://reshuege.ru/get_file?id=5339

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.





3.

http://reshuege.ru/pic?id=p1642



На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/65/6524edbc456374a9f4a760d8ec20dde5.png. Найдите количество точек экстремума функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на отрезке 







4.

http://reshuege.ru/get_file?id=13041

Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если  f (−5) ≥ f (5).






Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 4.

1.

http://reshuege.ru/get_file?id=15578

На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/f7/f745d2c7ce66a0c30d29fb56f61068bf.png. В какой точке отрезка http://reshuege.ru/formula/d2/d2c496d0e561890a08d94be0254a6073.png http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png принимает наименьшее значение?

2.

b8_2_plus_1.0.eps

На рисунке изображён график http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5.png производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. На оси абсцисс отмечены шесть точек: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.pnghttp://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8.pnghttp://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844.pnghttp://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.pnghttp://reshuege.ru/formula/8a/8a126e2e03e52066c1a290e95aafe156.png. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции http://reshuege.ru/formula/78/78d6997858571f454f32aa5c03a8f63d.png

3.

http://reshuege.ru/get_file?id=6105


На рисунке изображен график производной функцииhttp://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png параллельна прямой http://reshuege.ru/formula/2a/2a0b857510c0f2b2631af9e06da84248.png или совпадает с ней.


4.

http://reshuege.ru/get_file?id=17221

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?



Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 5.





1.

http://reshuege.ru/get_file?id=4933

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.






2.

http://reshuege.ru/get_file?id=12906

На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png и касательная к нему в точке с абсциссой http://reshuege.ru/formula/3e/3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.png. Найдите значение производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png в точке http://reshuege.ru/formula/2e/2e9c23c4d754e38e4b358a1744420252.png






3.

http://reshuege.ru/get_file?id=15848

На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png и восемь точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.pnghttp://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8.pnghttp://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844.pnghttp://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.pnghttp://reshuege.ru/formula/96/96633bb730e5b646bb4cde4a0398ff84.png. В скольких из этих точек производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png положительна?




4.

http://reshuege.ru/get_file?id=6852

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. 



Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 6.




1.

http://reshuege.ru/get_file?id=5304

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.





2.

hello_html_m501e8e5.gif


На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-3;11) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = - 11




3.

http://reshuege.ru/get_file?id=13152



На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.






4.

http://reshuege.ru/get_file?id=5306

.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.


Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 7.




1.

http://reshuege.ru/get_file?id=5542

На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png, определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.





2.

http://reshuege.ru/get_file?id=5334



На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx0. Найдите значение производной функции f(x) в точке 







3.

http://reshuege.ru/get_file?id=15578




На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/f7/f745d2c7ce66a0c30d29fb56f61068bf.png. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна






4.

http://reshuege.ru/get_file?id=5308


На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).




Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 8.




1.

http://reshuege.ru/get_file?id=17672

http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.pngНа рисунке изображён график функции  и двенадцать точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.pnghttp://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8.pnghttp://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844.pnghttp://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.pnghttp://reshuege.ru/formula/bd/bd18434a3a9d2cf410cdbdd6ae7c0487.png. В скольких из этих точек производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png отрицательна?




2.

http://reshuege.ru/get_file?id=5329

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.





3.

http://reshuege.ru/get_file?id=6576




На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).




4.

http://reshuege.ru/get_file?id=5338




На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите f'(10).




Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 9.



1.

http://reshuege.ru/get_file?id=16951


На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.





2.

http://reshuege.ru/get_file?id=6110

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].




3.

http://reshuege.ru/get_file?id=6109


На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/cf/cfb4355bbe4889a6f5b30a3dd10a4b78.png. В какой точке отрезка http://reshuege.ru/formula/3c/3c22799ef93de97bf94c08123d1b62a3.png http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png принимает наименьшее значение?




4.

http://reshuege.ru/get_file?id=5304





На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.




5.

http://reshuege.ru/get_file?id=5333

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.




6.

http://reshuege.ru/get_file?id=5326

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x − 19 или совпадает с ней.





7.

http://reshuege.ru/get_file?id=6966

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.





8.

http://reshuege.ru/pic?id=p3066

На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/d4/d48b26e535a88304764ca9dae9424ce3.png. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.



Тест «Геометрический смысл производной».


Вариант № 10.


1.

http://reshuege.ru/get_file?id=6111

На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/21/21d50c96e540328cb709d960571fcdac.png. Найдите количество точек минимума функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/bf/bf767128d9b0607e3d00bcb3ee7e4e2e.png.




2.

http://reshuege.ru/get_file?id=17221


На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?





3.

http://reshuege.ru/get_file?id=5323

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].





4.

http://reshuege.ru/get_file?id=19005

Функция y = f(x) определена на промежутке (−6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.





5.

http://reshuege.ru/get_file?id=17341


На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них




6.

http://reshuege.ru/get_file?id=13141


На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.





7.

http://reshuege.ru/get_file?id=12910


На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png и касательная к нему в точке с абсциссой http://reshuege.ru/formula/3e/3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.png. Найдите значение производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png в точке http://reshuege.ru/formula/3e/3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.png.




8.

http://reshuege.ru/get_file?id=6107

На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/f7/f745d2c7ce66a0c30d29fb56f61068bf.png. В какой точке отрезка http://reshuege.ru/formula/e8/e81c973fe47e199bec521b4a90891d29.pngфункция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png принимает наибольшее значение?





Ответы на вопросы теста №1


1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

1 вариант

2

1

5

- 19

2 вариант

- 3

2

- 18

5

3 вариант

44

5

3

3

4 вариант

- 7

2

5

- 1


Ответы на вопросы теста №2


1задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 вариант

4

1

4

4

6 вариант

5

7

- 0,5

5

7 вариант

4

- 1,25

6

12

8 вариант

7

0,25

1,25

- 0,6


Ответы на вопросы теста №3


1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 задание

6 задание

7 задание

8 задание

9 вариант

5

1

- 7

5

1,75

3

6

4

10 вариант

1

- 1

2

-2

3

- 0,25

- 2

- 3





Выбери пояснение к заданию


Задан график функции.

1.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют интервалам, на которых ее производная положительна.

2.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befd.png возрастает.

3.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна

4.


Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает.

5.

http://reshuege.ru/get_file?id=12907Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A , B , C .Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс будет равен тангенсу угла ACB:

 

http://reshuege.ru/formula/ad/ad64318ef562b50c983cc5ba8cee9364.png


6.


Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная параллельна прямой y = кx + в или совпадает с ней, значит их угловые коэффициенты равны «к». Найдем количество точек, в которых y'(x0) = к, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = к.

7.


Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона данной касательной с положительным направлением оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

 

http://reshuege.ru/formula/0d/0d567746badff934de248c4321c2ef54.png.http://reshuege.ru/get_file?id=13253

8.

Касательная параллельна прямой y = к или совпадает с ней, следовательно их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции.






Выбери пояснение к заданию.


Задан график производной

1.

В точки максимума производная равна нулю. В этих точках происходит смена знака производной с плюса на минус. Производная меняет знак в точках, лежащих на оси абсцисс.

2.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. В этих точках производная равна нулю, точки лежат на оси абсцисс.

3.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Наибольшее значение функции достигается на правой границе отрезка.

4.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка.

5.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Поэтому наименьшее значение функции достигается на правой границе отрезка,

6.

Убыванию функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png соответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках  лежащих ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны.


7.

На заданном отрезке производная функции положительна, следовательно функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка.

8.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках лежащих на оси абсцисс.

9.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна. Производная положительна в точках  лежащих выше оси абсцисс, их ординаты положительны.


10.

В точках максимума и минимума производная равна нулю. Эти точки лежащих на оси абсцисс. Найдём сумма точек экстремума.


11.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная параллельна прямой y = кx + в или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны «к». Найдем количество точек, в которых y'(x0) = к, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = к.











Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 04.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Номер материала ДВ-029639
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх