Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Тесты / Тест по математике "Подготовка к ОГЭ. Модуль геометрия"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тест по математике "Подготовка к ОГЭ. Модуль геометрия"

библиотека
материалов

Тест по теме:Треугольники



Равнобедренные треугольники

1. Задание 9 № 311320. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .hello_html_mbe30553.png

Решение.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому = = Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому Вертикальные углы равны, следовательно,

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

311320

120

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

2. Задание 9 № 311343. hello_html_62eccfbb.pngВ равностороннем треугольнике  ABC  медианы  BK  и  AM  пересекаются в точке O. Найдите .

Решение.

Медианы в равностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, поэтому . Треугольник AOK — прямоугольный, поэтому .

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

311343

60

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 3)

3. Задание 9 № 311680. hello_html_2ea644ff.png

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы ACB и BAC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ABC = 180° − xx. Угол ACB смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ABC = 180° − 2·57° = 66°.

 

Ответ: 66.

Ответ: 66

311680

66

Источник: Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.

4. Задание 9 № 316372. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы при основании равны (180° − 120°)/2 = 30°. По теореме синусов:

 


 

Ответ: 10.

Ответ: 10

316372

10

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90502.

5. Задание 9 № 323376. hello_html_m3cc1ee0c.pngПлощадь равнобедренного треугольника равна Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.

Решение.

Пусть длина боковой стороны равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения сторон на синус угла между ними:

 



Ответ: 28.

Ответ: 28

323376

28

6. Задание 9 № 323416. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.

Решение.

hello_html_m7da82776.pngПусть — длина основания равнобедренного треугольника, — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, — длина основания проведённого к высоте. Найдём длину боковой стороны:

 


 

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

 


 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

 


Ответ: 672.

 

Примечание.

Пусть — полупериметр треугольника. Можно не находить высоту, а найти площадь по формуле Герона:

 



 

Ответ: 672

323416

672

7. Задание 9 № 339364. В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 146°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.hello_html_m656f0a4e.png

Решение.

Сумма смежных углов равна 180°, откуда Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому Сумма углов треугольника равна 180^\circ, следовательно,

 

Ответ: 112.

Ответ: 112

339364

112

8. Задание 9 № 339375. hello_html_m3e0379bd.pngТочка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что CAB = 80° и ACB=59. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Треугольник — равнобедренный, поэтому Найдём угол

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

339375

9

9. Задание 9 № 339389. hello_html_14901d39.pngВысота равностороннего треугольника равна Найдите его периметр.

Решение.

Высота равностороннего треугольника равна следовательно, сторона треугольника Таким образом, периметр равностороннего треугольника равен

 

Ответ: 90.

Ответ: 90

339389

90

10. Задание 9 № 339450. hello_html_6c1129d.pngВ треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.

Решение.

Треугольник — равнобедренный, поэтому медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём BM:

 


Ответ: 45.

Ответ: 45

339450

45

11. Задание 9 № 341672. hello_html_m1e21d987.pngБоковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.

























Треугольники общего вида

1. Задание 9 № 323079. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение.

Пусть известные стороны треугольника равны и а высоты, проведённые к ним и Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

 



Ответ: 8.

Ответ: 8

323079

8

2. Задание 9 № 339369. hello_html_m2674fd67.pngВ треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть угол равен угол равен Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда Аналогично, из треугольника Получаем систему уравнений:

 


 

Таким образом, угол равен 62°.

 

Ответ: 62.

Ответ: 62

339369

62

3. Задание 9 № 339390. hello_html_3639d53f.pngВ треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение.

Поскольку — медиана, Рассмотрим треугольник следовательно, треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, — медиана, откуда Найдём

 

Ответ: 63.

Ответ: 63

339390

63

4. Задание 9 № 339397. hello_html_m2647c311.pngВ остроугольном треугольнике высота равна а сторона равна 40. Найдите .

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник из теоремы Пифагора найдём

 


 

По определению косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

 


Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

339397

0,5

5. Задание 9 № 339495. hello_html_59786437.pngВ треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cosB.

Решение.

Из треугольника по определению косинуса:

 


 

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

339495

0,8

6. Задание 9 № 339544. hello_html_4d7fcfd0.pngВ треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку — медиана, Найдём Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда то есть треугольник — равнобедренный, значит, Углы и — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, поэтому

 

Ответ: 140.

Ответ: 140

339544

140

7. Задание 9 № 339863. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.










Прямоугольный треугольник

1. Задание 9 № 118. hello_html_61f408b6.pngВ треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8 , sin A = 0,4.   Найдите AB.

Решение.

Синус угла равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. Поэтому:


 

Ответ: 20.

Ответ: 20

118

20

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

2. Задание 9 № 132773. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 4 части к 5 частям, сумма этих углов 4 + 5 = 9 частей. Поэтому одна часть равна 10°. Так как больший угол содержит в себе 5 частей, он равен 5·10° = 50°.

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

132773

50

3. Задание 9 № 311387. В треугольнике    угол    равен 90°,  . Найдите  .hello_html_353c8c09.png

Решение.

Так как треугольник ABC — прямоугольный, то . Имеем:

 


 

Ответ: 21.

Ответ: 21

311387

21

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)

4. Задание 9 № 311399. В треугольнике    угол    равен 90°,  .  Найдите  .hello_html_353c8c09.png

Решение.

Так как треугольник ABC — прямоугольный, то . Имеем:

 


 

Ответ: 33.

Ответ: 33

311399

33

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

5. Задание 9 № 311498. В треугольнике    угол    прямой,  . Найдите  .hello_html_2834de4e.png

Решение.

Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом,

 



 

Ответ: 20.

Ответ: 20

311498

20

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 9

6. Задание 9 № 311500. hello_html_7682e9ef.pngВ треугольнике    угол    прямой,  . Найдите  .

Решение.

Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом,

 



 

Ответ: 30.

Ответ: 30

311500

30

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 10

7. Задание 9 № 311760. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому

 


 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

311760

10

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.

8. Задание 9 № 311816. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, = 0,5. Найдите AC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему:

 


 

Ответ: 40.

Ответ: 40

311816

40

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90105.

9. Задание 9 № 311848. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 18, tgA = 3. Найдите AC.

Решение.

hello_html_5103bfc5.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому

 


 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

311848

6

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90106.

10. Задание 9 № 316283. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12 , tgA = 1,5. Найдите AC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему:

 


 

Ответ: 8.

Ответ: 8

316283

8

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90107.

11. Задание 9 № 316320. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tgA = 1,5. Найдите BC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему поэтому:


 

Ответ: 18.

Ответ: 18

316320

18

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.

12. Задание 9 № 322819. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение.

Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Пусть длина высоты, проведённой к гипотенузе равна Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

 


 

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов или как половина произведения высоты, проведённой к гипотенузе на гипотенузу:

 



 

Ответ: 33,6.

Ответ: 33,6

322819

33,6

13. Задание 9 № 322979. hello_html_47402a12.pngКатеты прямоугольного треугольника равны и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Решение.

Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

 


 

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны, 4 > 1 следовательно, синус наименьшего угла равен:


Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

322979

0,25

14. Задание 9 № 323344. hello_html_m23ecb746.pngПлощадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение.

Пусть — длина катета, лежащего против угла в 30°, тогда гипотенуза равна второй катет равен .

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

 


 

Следовательно, длина гипотенузы, равна 16.

 

Ответ: 16.

 

Приведём другое решение.

 

Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

 


 

Откуда получаем:


 

Ответ: 16

323344

16

15. Задание 9 № 339365. hello_html_m17307a01.pngВ треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение.

По определению тангенса откуда По теореме Пифагора:

 


 

Ответ: 28.

Ответ: 28

339365

28

16. Задание 9 № 339370. hello_html_m795a78a7.pngВ треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение.

Найдём косинус угла

 


 

По определению косинуса, откуда

Ответ: 15

339370

15

17. Задание 9 № 339385. hello_html_13fc4450.pngПлощадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение.

Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, лежащего напротив угла 30° равна Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, второй острый угол равен 180° − 90° − 30° = 60°. Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

 


 

Откуда получаем:

 


 

Ответ: 38.

Ответ: 38

339385

38

18. Задание 9 № 339406. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение.

Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

 


 

Откуда получаем:

 


 

Ответ: 34.

Ответ: 34

339406

34

19. Задание 9 № 339436. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

Решение.

Рассмотрим треугольники и они — прямоугольные, угол — общий, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

 


Ответ: 12.

Ответ: 12

339436

12

20. Задание 9 № 340000. В прямоугольном треугольнике катет , а высота , опущенная на гипотенузу, равна Найдите

Решение.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 


 

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их синусы равны:

 


Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

340000

0,2

21. Задание 9 № 340078. hello_html_m6303a7af.pngВ треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tg A = 0,75. Найдите BC.

Решение.

По определению тангенса:


Ответ: 3.

Ответ: 3

340078

3

22. Задание 9 № 340384. hello_html_55a870da.pngВ треугольнике  = 35, угол равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение.

По теорем Пифагора найдём сторону

 


 

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

340384

20

23. Задание 9 № 341380. hello_html_75d1adb1.pngНайдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.


























Ответы. Равнобедренные треугольники

1. Задание 9 № 311320. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .hello_html_mbe30553.png

Решение.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому = = Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому Вертикальные углы равны, следовательно,

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

311320

120

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

2. Задание 9 № 311343. hello_html_62eccfbb.pngВ равностороннем треугольнике  ABC  медианы  BK  и  AM  пересекаются в точке O. Найдите .

Решение.

Медианы в равностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, поэтому . Треугольник AOK — прямоугольный, поэтому .

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

311343

60

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 3)

3. Задание 9 № 311680. hello_html_2ea644ff.png

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы ACB и BAC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ABC = 180° − xx. Угол ACB смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ABC = 180° − 2·57° = 66°.

 

Ответ: 66.

Ответ: 66

311680

66

Источник: Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.

4. Задание 9 № 316372. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы при основании равны (180° − 120°)/2 = 30°. По теореме синусов:

 


 

Ответ: 10.

Ответ: 10

316372

10

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90502.

5. Задание 9 № 323376. hello_html_m3cc1ee0c.pngПлощадь равнобедренного треугольника равна Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.

Решение.

Пусть длина боковой стороны равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения сторон на синус угла между ними:

 



Ответ: 28.

Ответ: 28

323376

28

6. Задание 9 № 323416. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.

Решение.

hello_html_m7da82776.pngПусть — длина основания равнобедренного треугольника, — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, — длина основания проведённого к высоте. Найдём длину боковой стороны:

 


 

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

 


 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

 


Ответ: 672.

 

Примечание.

Пусть — полупериметр треугольника. Можно не находить высоту, а найти площадь по формуле Герона:

 



 

Ответ: 672

323416

672

7. Задание 9 № 339364. В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 146°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.hello_html_m656f0a4e.png

Решение.

Сумма смежных углов равна 180°, откуда Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому Сумма углов треугольника равна 180^\circ, следовательно,

 

Ответ: 112.

Ответ: 112

339364

112

8. Задание 9 № 339375. hello_html_m3e0379bd.pngТочка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что CAB = 80° и ACB=59. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Треугольник — равнобедренный, поэтому Найдём угол

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

339375

9

9. Задание 9 № 339389. hello_html_14901d39.pngВысота равностороннего треугольника равна Найдите его периметр.

Решение.

Высота равностороннего треугольника равна следовательно, сторона треугольника Таким образом, периметр равностороннего треугольника равен

 

Ответ: 90.

Ответ: 90

339389

90

10. Задание 9 № 339450. hello_html_6c1129d.pngВ треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.

Решение.

Треугольник — равнобедренный, поэтому медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём BM:

 


Ответ: 45.

Ответ: 45

339450

45

11. Задание 9 № 341672. hello_html_m1e21d987.pngБоковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

hello_html_2ee5e000.pngПусть — длина основания равнобедренного треугольника, — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, — длина основания проведённого к высоте. Высота равнобедренного треугольника, проедённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

 


 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

 


Ответ: 48.

Ответ: 48



Треугольники общего вида

1. Задание 9 № 323079. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение.

Пусть известные стороны треугольника равны и а высоты, проведённые к ним и Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

 



Ответ: 8.

Ответ: 8

323079

8

2. Задание 9 № 339369. hello_html_m2674fd67.pngВ треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть угол равен угол равен Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда Аналогично, из треугольника Получаем систему уравнений:

 


 

Таким образом, угол равен 62°.

 

Ответ: 62.

Ответ: 62

339369

62

3. Задание 9 № 339390. hello_html_3639d53f.pngВ треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение.

Поскольку — медиана, Рассмотрим треугольник следовательно, треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, — медиана, откуда Найдём

 

Ответ: 63.

Ответ: 63

339390

63

4. Задание 9 № 339397. hello_html_m2647c311.pngВ остроугольном треугольнике высота равна а сторона равна 40. Найдите .

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник из теоремы Пифагора найдём

 


 

По определению косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

 


Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

339397

0,5

5. Задание 9 № 339495. hello_html_59786437.pngВ треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cosB.

Решение.

Из треугольника по определению косинуса:

 


 

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

339495

0,8

6. Задание 9 № 339544. hello_html_4d7fcfd0.pngВ треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку — медиана, Найдём Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда то есть треугольник — равнобедренный, значит, Углы и — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, поэтому

 

Ответ: 140.

Ответ: 140

339544

140

7. Задание 9 № 339863. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Решение.

hello_html_m164b0be4.pngСумма углов треугольника равна 180°, поэтому По теореме синусов:

 


 

Откуда получаем, что

 

Ответ: 14.

Ответ: 14



Прямоугольный треугольник

1. Задание 9 № 118. hello_html_61f408b6.pngВ треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8 , sin A = 0,4.   Найдите AB.

Решение.

Синус угла равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. Поэтому:


 

Ответ: 20.

Ответ: 20

118

20

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

2. Задание 9 № 132773. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 4 части к 5 частям, сумма этих углов 4 + 5 = 9 частей. Поэтому одна часть равна 10°. Так как больший угол содержит в себе 5 частей, он равен 5·10° = 50°.

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

132773

50

3. Задание 9 № 311387. В треугольнике    угол    равен 90°,  . Найдите  .hello_html_353c8c09.png

Решение.

Так как треугольник ABC — прямоугольный, то . Имеем:

 


 

Ответ: 21.

Ответ: 21

311387

21

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)

4. Задание 9 № 311399. В треугольнике    угол    равен 90°,  .  Найдите  .hello_html_353c8c09.png

Решение.

Так как треугольник ABC — прямоугольный, то . Имеем:

 


 

Ответ: 33.

Ответ: 33

311399

33

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

5. Задание 9 № 311498. В треугольнике    угол    прямой,  . Найдите  .hello_html_2834de4e.png

Решение.

Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом,

 



 

Ответ: 20.

Ответ: 20

311498

20

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 9

6. Задание 9 № 311500. hello_html_7682e9ef.pngВ треугольнике    угол    прямой,  . Найдите  .

Решение.

Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом,

 



 

Ответ: 30.

Ответ: 30

311500

30

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 10

7. Задание 9 № 311760. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому

 


 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

311760

10

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.

8. Задание 9 № 311816. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, = 0,5. Найдите AC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему:

 


 

Ответ: 40.

Ответ: 40

311816

40

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90105.

9. Задание 9 № 311848. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 18, tgA = 3. Найдите AC.

Решение.

hello_html_5103bfc5.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому

 


 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

311848

6

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90106.

10. Задание 9 № 316283. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12 , tgA = 1,5. Найдите AC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему:

 


 

Ответ: 8.

Ответ: 8

316283

8

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90107.

11. Задание 9 № 316320. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tgA = 1,5. Найдите BC.

Решение.

hello_html_61f408b6.png

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему поэтому:


 

Ответ: 18.

Ответ: 18

316320

18

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.

12. Задание 9 № 322819. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение.

Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Пусть длина высоты, проведённой к гипотенузе равна Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

 


 

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов или как половина произведения высоты, проведённой к гипотенузе на гипотенузу:

 



 

Ответ: 33,6.

Ответ: 33,6

322819

33,6

13. Задание 9 № 322979. hello_html_47402a12.pngКатеты прямоугольного треугольника равны и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Решение.

Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

 


 

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны, 4 > 1 следовательно, синус наименьшего угла равен:


Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

322979

0,25

14. Задание 9 № 323344. hello_html_m23ecb746.pngПлощадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение.

Пусть — длина катета, лежащего против угла в 30°, тогда гипотенуза равна второй катет равен .

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

 


 

Следовательно, длина гипотенузы, равна 16.

 

Ответ: 16.

 

Приведём другое решение.

 

Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

 


 

Откуда получаем:


 

Ответ: 16

323344

16

15. Задание 9 № 339365. hello_html_m17307a01.pngВ треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение.

По определению тангенса откуда По теореме Пифагора:

 


 

Ответ: 28.

Ответ: 28

339365

28

16. Задание 9 № 339370. hello_html_m795a78a7.pngВ треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение.

Найдём косинус угла

 


 

По определению косинуса, откуда

Ответ: 15

339370

15

17. Задание 9 № 339385. hello_html_13fc4450.pngПлощадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение.

Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, лежащего напротив угла 30° равна Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, второй острый угол равен 180° − 90° − 30° = 60°. Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

 


 

Откуда получаем:

 


 

Ответ: 38.

Ответ: 38

339385

38

18. Задание 9 № 339406. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение.

Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

 


 

Откуда получаем:

 


 

Ответ: 34.

Ответ: 34

339406

34

19. Задание 9 № 339436. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

Решение.

Рассмотрим треугольники и они — прямоугольные, угол — общий, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

 


Ответ: 12.

Ответ: 12

339436

12

20. Задание 9 № 340000. В прямоугольном треугольнике катет , а высота , опущенная на гипотенузу, равна Найдите

Решение.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 


 

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их синусы равны:

 


Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

340000

0,2

21. Задание 9 № 340078. hello_html_m6303a7af.pngВ треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tg A = 0,75. Найдите BC.

Решение.

По определению тангенса:


Ответ: 3.

Ответ: 3

340078

3

22. Задание 9 № 340384. hello_html_55a870da.pngВ треугольнике  = 35, угол равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение.

По теорем Пифагора найдём сторону

 


 

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

340384

20

23. Задание 9 № 341380. hello_html_75d1adb1.pngНайдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Решение.

По теореме Пифагора найдем второй катет: , значит, площадь равна:

 


 

Ответ: 30.

Ответ: 30







Автор
Дата добавления 09.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров537
Номер материала ДБ-116079
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх