ТЕСТЫ ДЛЯ 10 КЛАССА

Задача 1

Вычислить предел функции с использованием основных теорем

Решение

.

Задача 2

Раскрыть неопределенность вида  или  с использованием правила Лопиталя: .

Решение

.

Задача 3

Проверить сходимость числового ряда , используя признаки сходимости Даламбера или Коши.

Решение

Воспользуемся признаком сходимости Даламбера:

.  

=

заданный ряд расходится.

Задача 4

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Решение

1. Находим первую производную заданной функции

2. Определяем критические точки первого рода:

, откуда: x1=0, x2= - - не принадлежит

3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке  числовой оси:

Таблица 1

	-0,6	(-0,6;0)	0	(0;1,8)	1,8
Знак		-		+
Величина	-2,632		-4		18,032
Экстремум			m		M

Задача 5

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки .

Решение

Положим 1+

=

Задача 6

Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Решение

6B=6

B=1

A=1-B=1-1=0

=

Задача 7

Вычислить определенный интеграл  методом интегрирования по частям

Решение

 = =

.

Задача 8

Определить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

Решение

1. Изображаем фигуру, ограниченную указанными линиями.

Итак, необходимо вычислить площадь фигуры, выделенной штриховкой. Главными линиями здесь являются графики квадратной параболы.

2. Записываем и вычисляем два интеграла вида:

Задача 9

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

Решение

Это интеграл с бесконечным верхним и нижним пределами интегрирования, поэтому записываем его в виде:

Задача 10

Решение

Найти и проверить решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка .

1. Записываем однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному

.

2. Записываем характеристическое уравнение однородного уравнения

,

3. Решаем это квадратное уравнение

= .

4. Записываем общее решение однородного уравнения

.

5. Частное решение заданного неоднородного уравнения ищем в форме многочлена вида

.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Проверка:

.

.

.

Задача 11

Решить линейное дифференциальное уравнение

Решение

, справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, имеем однородное уравнение.

Делаем замену

Задача 12

Решить задачу Коши, удовлетворяющую условиям

Решение

1. Записываем однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному уравнению:

2. Записываем характеристическое уравнение однородного уравнения:

 

3. Находим решение квадратного уравнения:

4. Записываем общее решение однородного уравнения:

5. частное решение будем искать в виде   :

Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь:

-5A+6(Ax+B)=2x+1

-5A+6Ax+6B=2x+1

Следовательно,

Общее решение

Для нахождения  имеем систему

откуда ,

Итак,

Задача 13

Определить экстремум функции двух переменных

Решение

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.

2•x•y+2•x(y+1) = 0

2•x²-2 = 0

Получим:

x = 0

-2 = 0

Количество критических точек равно 3.

M₁(0;^-1/₂), M₂(-1;0), M₃(1;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(0;^-1/₂)

AC - B² = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Вычисляем значения для точки M₂(-1;0)

AC - B² = -16 < 0, то глобального экстремума нет.

Вычисляем значения для точки M₃(1;0)

AC - B² = -16 < 0, то глобального экстремума нет.

Вывод: Глобального экстремума нет.

Задача 14

Определить оптимальный уровень выпуска двух видов продукции, если известна функция дохода  и функция затрат :

               .

Решение

1. Формируем функцию прибыли:

.

2. Находим первые частные производные функции прибыли:

3. Приравниваем производные к нулю и переносим свободные члены вправо:

4. Решаем эту систему методом Гаусса (методом вычитания) и получаем координаты критической точки:

Итак, критической точкой является точка с координатами .

5. Находят вторые производные от функции прибыли.

6. Вычисляем определитель матрицы вторых производных:

Отсюда следует, что в критической точке функция не имеет ни максимума, ни минимума

7. Вычисляем величину максимума функции прибыли в точке с координатами :