Тесты по ОГЭ математика

ВАРИАНТ 18

1. Вы­чис­ли­те:  

2. Какое из сле­ду­ю­щих чисел за­клю­че­но между чис­ла­ми    и   В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 0,1     2) 0,2     3) 0,3       4) 0,4

3. Значение, ка­ко­го из вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся чис­лом ра­ци­о­наль­ным? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)         2)         3)          4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Гра­фи­ки 

Функ­ции 

А)

Б)

В)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 5, а  Най­ди­те сумму пер­вых 6 её чле­нов.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при  и 

8. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства  

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1     2) 2      3) 3      4) 4

9. Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1= 24°, ∠2 = 76° . Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 130°. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь ромба, делённую на .

12. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

Номер до­рож­ки	I	II	III	IV
Время (в с)	10,3	10,6	11,0	9,1

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) I, IV     2) II, III      3) толь­ко III     4) толь­ко IV

15. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры за эти сутки. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

16. Днев­ная норма по­треб­ле­ния ви­та­ми­на С со­став­ля­ет 60 мг. Один ман­да­рин в сред­нем со­дер­жит 35 мг ви­та­ми­на С. Сколь­ко про­цен­тов днев­ной нормы ви­та­ми­на С по­лу­чил че­ло­век, съев­ший один ман­да­рин? Ответ округ­ли­те до целых.

17. Сколь­ко спиц в ко­ле­се, если угол между со­сед­ни­ми спи­ца­ми равен 8°?

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в сли­воч­ном мо­ро­же­ном. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ пре­об­ла­да­ет.

 

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

Ва­ри­ан­ты от­ве­та

1) ЖИРЫ

2) БЕЛКИ

3) УГ­ЛЕ­ВО­ДЫ

4) ПРО­ЧЕЕ

19. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка.

20. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти можно найти по фор­му­ле  , где    и    — ка­те­ты, а   — ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  , если    и  .

21. Со­кра­ти­те дробь 

22. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми А и В равно 375 км. Город С на­хо­дит­ся между го­ро­да­ми А и В. Из го­ро­да А в город В вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 1 час 30 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 75 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист, до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де С и по­вер­нул об­рат­но. Когда он вер­нул­ся в А, ав­то­мо­биль при­был в В. Най­ди­те рас­сто­я­ние от А до С.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции . Най­ди­те зна­че­ния , при ко­то­рых пря­мая  не имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции общих точек.

24. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точкиО равно 8.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что MC = MD. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 7 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1 м?

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 18

1. За­да­ние 1 № 314266. Вы­чис­ли­те:  

Ре­ше­ние.

При­ведём дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: 3,85.

Ответ: 3,85

2. За­да­ние 2 № 311420. Какое из сле­ду­ю­щих чисел за­клю­че­но между чис­ла­ми    и  

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 0,1

2) 0,2

3) 0,3

4) 0,4

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  а  Из пред­по­ло­жен­ных ва­ри­ан­тов от­ве­та толь­ко число 0,2 лежит между ними.

Пра­виль­ный ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

3. За­да­ние 3 № 28. Зна­че­ние ка­ко­го из вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся чис­лом ра­ци­о­наль­ным?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Упро­стим каж­дое вы­ра­же­ние.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ра­ци­о­наль­ным яв­ля­ет­ся зна­че­ние пер­во­го вы­ра­же­ния.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 314572. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: 0; 4.

Ответ: 0;4

5. За­да­ние 5 № 341351. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Гра­фи­ки

Функ­ции

А)

Б)

В)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Все пред­став­лен­ные здесь функ­ции — ги­пер­бо­лы. Общая фор­му­ла для урав­не­ния ги­пер­бо­лы: , если , то ветви ги­пер­бо­лы рас­по­ла­га­ют­ся в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях, в про­тив­ном слу­чае — во вто­рой и четвёртой чет­вер­тях.

Для того, чтобы от­ли­чить ги­пер­бо­лы ле­жа­щие в оди­на­ко­вых чет­вер­тях нужно под­ста­вить какое-ни­будь зна­че­ние  в фор­му­лу и про­ве­рить, ка­ко­му гра­фи­ку будет со­от­вет­ство­вать по­лу­чен­ное зна­че­ние.

Таким об­ра­зом, уста­но­вим со­от­вет­свие: А — 4, Б — 2, В — 1.

Ответ: 421.

Ответ: 421

6. За­да­ние 6 № 341217. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 5, а  Най­ди­те сумму пер­вых 6 её чле­нов.

Ре­ше­ние.

Сумма n пер­вых чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся фор­му­лой

По усло­вию,   от­ку­да по­лу­ча­ем

Ответ: 1562,4.

Ответ: 1562,4

7. За­да­ние 7 № 340837. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при  и 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим в по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние зна­че­ние  и 

Ответ: 4.

Ответ: 4

8. За­да­ние 8 № 338497. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства  

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 341043. Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1= 24°, ∠2 = 76° . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ние как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы 1 и 4 со­от­вет­ствен­ные, по­это­му ∠4 = ∠1 =  24°. Углы 2, 3 и 4 — это углы од­но­го тре­уголь­ни­ка, сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да ∠3 = 180° − 24° − 76° = 80°.

Ответ: 80.

Ответ: 80

10. За­да­ние 10 № 339473. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 130°. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Смеж­ные углы BOA и AOD об­ра­зу­ют развёрну­тый угол, по­это­му их сумма равна 180°, от­ку­да ∠AOB = 180° − 130° = 50°. Угол AOB — цен­траль­ный, сле­до­ва­тель­но, он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, угол ACB — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но, он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. По­сколь­ку углы AOB и ACB опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, угол ACB равен по­ло­ви­не угла AOB, то есть 25°.

Ответ: 25.

Ответ: 25

11. За­да­ние 11 № 169870. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь ромба, делённую на .

Ре­ше­ние.

Так как все сто­ро­ны ромба равны, сто­ро­на дан­но­го ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, по­это­му

Ответ: 50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

12. За­да­ние 12 № 323750. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Найдём пло­щадь дан­ной фи­гу­ры по фор­му­ле Пика:

S = В + Г/2 − 1,

где В — число узлов сетки внут­ри фи­гу­ры, Г — число узлов сетки на гра­ни­це фи­гу­ры, вклю­чая вер­ши­ны. По­лу­ча­ем:

S = 15 + 13/2 − 1 = 20,5.

Ответ: 20,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пло­щадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух тре­уголь­ни­ков:

Ответ: 20,5

13. За­да­ние 13 № 311851. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка па­рал­лель­но­сти пря­мых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно про­ве­сти одну пря­мую, если они лежат на одной пря­мой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по по­стро­е­нию, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы пря­мые, утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2|12

14. За­да­ние 14 № 333110. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

Номер до­рож­ки	I	II	III	IV
Время (в с)	10,3	10,6	11,0	9,1

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) I, IV

2) II, III

3) толь­ко III

4) толь­ко IV

Ре­ше­ние.

Маль­чи­ки, бе­жав­шие по до­рож­кам I и IV по­ка­за­ли время, не­об­хо­ди­мое для зачёта, их ре­зуль­тат не пре­вы­ша­ет 10,5 с.

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

15. За­да­ние 15 № 341712. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры за эти сутки. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­ста­ви­ла 21 °С.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16. За­да­ние 16 № 318318. Днев­ная норма по­треб­ле­ния ви­та­ми­на С со­став­ля­ет 60 мг. Один ман­да­рин в сред­нем со­дер­жит 35 мг ви­та­ми­на С. Сколь­ко про­цен­тов днев­ной нормы ви­та­ми­на С по­лу­чил че­ло­век, съев­ший один ман­да­рин? Ответ округ­ли­те до целых.

Ре­ше­ние.

Съев один ман­да­рин, че­ло­век по­лу­чил 

Ответ: 58.

Ответ: 58

17. За­да­ние 17 № 324986. Сколь­ко спиц в ко­ле­се, если угол между со­сед­ни­ми спи­ца­ми равен 8°?

Ре­ше­ние.

Пусть в ко­ле­се  спиц. Ко­ле­со пред­став­ля­ет собой круг,  спиц ко­то­ро­го делят его на  кру­го­вых сек­то­ров. Так как пол­ный угол равен 360°, для каж­до­го из сек­то­ров имеем:  От­ку­да 

Ответ: 45.

Ответ: 45

18. За­да­ние 18 № 206046. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в сли­воч­ном мо­ро­же­ном. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ пре­об­ла­да­ет.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

Ва­ри­ан­ты от­ве­та

1) ЖИРЫ

2) БЕЛКИ

3) УГ­ЛЕ­ВО­ДЫ

4) ПРО­ЧЕЕ

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что в мо­ро­же­ном пре­об­ла­да­ют про­чие ве­ще­ства.

Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 311767. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Среди пяти детей одна де­воч­ка. По­это­му ве­ро­ят­ность равна  

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

20. За­да­ние 20 № 311535. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти можно найти по фор­му­ле  , где    и    — ка­те­ты, а   — ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  , если    и  .

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

Ответ: 3,2.

Ответ: 3,2

21. За­да­ние 21 № 314445. Со­кра­ти­те дробь 

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 311558. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми А и В равно 375 км. Город С на­хо­дит­ся между го­ро­да­ми А и В. Из го­ро­да А в город В вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 1 час 30 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 75 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист, до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де С и по­вер­нул об­рат­но. Когда он вер­нул­ся в А, ав­то­мо­биль при­был в В. Най­ди­те рас­сто­я­ние от А до С.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ско­рость ( в км/ч) ав­то­мо­би­ля за  , а время (в часах), за ко­то­рое мо­то­цикл про­ез­жа­ет от А до С за  . Тогда имеем  , от­ку­да  . По­сколь­ку весь путь от А до В ав­то­мо­биль пре­одо­лел за время  , по­лу­ча­ем:

,

от­ку­да  . Зна­чит, рас­сто­я­ние от А до С равно   (км).

Ответ: 225 км.

23. За­да­ние 23 № 311609. По­строй­те гра­фик функ­ции . Най­ди­те зна­че­ния , при ко­то­рых пря­мая  не имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции общих точек.

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции:
1) 
2)  сле­до­ва­тель­но, функ­ция опре­де­ле­на при .
Далее,

.

Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.
Пря­мая  не имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции общих точек при .

Ответ: .

24. За­да­ние 24 № 314832. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точкиО равно 8.

Ре­ше­ние.

Про­ведём ра­ди­у­сы  и  в точки ка­са­ния. По­лу­чи­ли два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, катет  где  — ра­ди­ус окруж­но­сти, ги­по­те­ну­за  этих двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков — общая, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны. То есть, име­ет­ся ра­вен­ство углов

Те­перь из тре­уголь­ни­ка  найдём ра­ди­ус 

Ответ: 4.

Ответ: 4

25. За­да­ние 25 № 314919. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что MC = MD. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в них  равно   равно  и  равно  сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит, 

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. За­да­ние 26 № 314966. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 7 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь  — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния,  — после,  — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча,  — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны по двум углам, то есть 

Рас­смот­ри пря­мые  и  их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая  углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые  и  па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

Ответ: 3,5.

При­ме­ча­ние

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков  и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные  и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков  и  со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми  и  Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны.

ВАРИАНТ 19

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число 

Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа   В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1)          2)         3)         4) 

3. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь  

1)        2)        3)        4) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние (x − 9)² = (x − 3)².

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax² + bx + c. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов a и c и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Гра­фи­ки

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой  Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 2?

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

8. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств 

1) 1        2) 2       3) 3       4) 4

9. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 220°. Най­ди­те мень­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Длина хорды окруж­но­сти равна 72, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 27. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

11. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 76. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фи­гу­ра. Най­ди­те её пло­щадь.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний. Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. 

1) Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

2) Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны.

3) Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по прыж­кам в длину с места для 11 клас­са.

	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки
От­мет­ка	«3»	«4»	«5»	«3»	«4»	«5»
Даль­ность (в см)	200	220	230	155	170	185

 Какую от­мет­ку по­лу­чит маль­чик, прыг­нув­ший на 215 см? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1) не­удо­вле­тво­ри­тель­но       2) «3»      3) «4»      4) «5»

15На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

16. Че­реш­ня стоит 150 руб­лей за ки­ло­грамм, а ви­но­град — 160 руб­лей за ки­ло­грамм. На сколь­ко про­цен­тов че­реш­ня де­шев­ле ви­но­гра­да?

17. От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут про­вод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину про­во­да.

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ пре­об­ла­да­ет.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

1) жиры      2) белки       3) уг­ле­во­ды       4) про­чее

19. Фирма «Вспыш­ка» из­го­тав­ли­ва­ет фо­на­ри­ки. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный фо­на­рик из пар­тии бра­ко­ван­ный, равна 0,02. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что два слу­чай­но вы­бран­ных из одной пар­тии фо­на­ри­ка ока­жут­ся не­бра­ко­ван­ны­ми?

20. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, α — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₁, если  а 

21. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

22. Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

23. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

24Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 15. Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции.

25. В окруж­но­сти с цен­тром про­ве­де­ны две рав­ные хорды  и . На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры  и . До­ка­жи­те, что  и равны.

26. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 4. Окруж­ность ра­ди­у­са 2,5 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 19

1. За­да­ние 1 № 333111. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

При­ведём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: 2,18.

Ответ: 2,18

2. За­да­ние 2 № 337307. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число 

Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  от­ку­да сле­ду­ет, что    Таким об­ра­зом, 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 314382. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь  

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Упро­стим дробь:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 341376. Ре­ши­те урав­не­ние (x − 9)² = (x − 3)².

Ре­ше­ние.

Рас­кро­ем пол­ные квад­ра­ты в обеих ча­стях урав­не­ния:

Ответ: 6.

Ответ: 6

5. За­да­ние 5 № 339254. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax² + bx + c. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов a и c и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Гра­фи­ки

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если па­ра­бо­ла за­да­на урав­не­ни­ем , то: при  то ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, а при  — вниз. Зна­че­ние c со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0. Сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние c по­ло­жи­тель­но, если ниже оси абс­цисс — от­ри­ца­тель­но.

Таким об­ра­зом, функ­ци­ям со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие гра­фи­ки: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

6. За­да­ние 6 № 341224. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой  Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 2?

Ре­ше­ние.

Не­об­хо­ди­мо ре­шить не­ра­вен­ство:

По­сколь­ку n — целые числа, не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся для n от 1 до 18. Таким об­ра­зом, 18 чле­нов дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 2.

Ответ: 18.

Ответ: 18

7. За­да­ние 7 № 311846. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим в по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние зна­че­ние 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

8. За­да­ние 8 № 340858. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств 

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся от­ре­зок, изоб­ражённый под но­ме­ром 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

9. За­да­ние 9 № 132777. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 220°. Най­ди­те мень­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Так как сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, в усло­вии го­во­рит­ся о сумме углов при ос­но­ва­нии. По­сколь­ку тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, углы при ос­но­ва­нии равны. Зна­чит, каж­дый из них равен 110°. Сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, по­это­му мень­ший угол равен 180° − 110° = 70°.

Ответ: 70.

Ответ: 70

10. За­да­ние 10 № 324324. Длина хорды окруж­но­сти равна 72, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 27. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ние и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные,  — общая,  и равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём ра­ди­ус окруж­но­сти:

Диа­метр равен двум ра­ди­у­сам, сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 90

11. За­да­ние 11 № 341498. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и Nсто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 76. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

Ре­ше­ние.

MN − сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Тре­уголь­ни­ки ABC и NMC по­доб­ны по двум углам. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия k = 2. Зна­чит , а 

Ответ: 228.

Ответ: 228

12. За­да­ние 12 № 341675. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фи­гу­ра. Най­ди­те её пло­щадь.

Ре­ше­ние.

По­счи­та­ем ко­ли­че­ство кле­ток внут­ри за­кра­шен­ной об­ла­сти: их 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13. За­да­ние 13 № 93. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

2) Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны.

3) Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком» — не­кор­рект­ное утвер­жде­ние, кор­рект­ное — «Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квад­ра­том».

2) «Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны» — верно, т. к. тре­уголь­ник, два угла ко­то­ро­го равны яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, причём рав­ные сто­ро­ны лежат на­про­тив рав­ных углов.

3) «Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 2; 3.

Ответ: 2; 3

14. За­да­ние 14 № 311901. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по прыж­кам в длину с места для 11 клас­са.

	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки
От­мет­ка	«3»	«4»	«5»	«3»	«4»	«5»
Даль­ность (в см)	200	220	230	155	170	185

Какую от­мет­ку по­лу­чит маль­чик, прыг­нув­ший на 215 см?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) не­удо­вле­тво­ри­тель­но

2) «3»

3) «4»

4) «5»

Ре­ше­ние.

Маль­чик прыг­нул выше 200 см, но ниже 220 см, по­это­му он вы­пол­нил нор­ма­тив на оцен­ку «3».

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 311686. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

Ре­ше­ние.

Цена де­ле­ния гра­фи­ка равна 20. Таким об­ра­зом, по гра­фи­ку видно, что зна­че­нию дав­ле­ния 540 мм рт.ст. со­от­вет­ству­ет вы­со­та 2,5 км.

Ответ:2,5

Ответ: 2,5

16. За­да­ние 16 № 316288. Че­реш­ня стоит 150 руб­лей за ки­ло­грамм, а ви­но­град — 160 руб­лей за ки­ло­грамм. На сколь­ко про­цен­тов че­реш­ня де­шев­ле ви­но­гра­да?

Ре­ше­ние.

Че­реш­ня де­шев­ле ви­но­гра­да на 160 − 150 = 10 руб­лей. Раз­де­лим 10 на 160:

Зна­чит, че­реш­ня де­шев­ле ви­но­гра­да на 6,25%.

Ответ: 6,25.

Ответ: 6,25

17. За­да­ние 17 № 70. От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут про­вод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину про­во­да.

Ре­ше­ние.

Про­ведём от­ре­зок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной пря­мой, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка; обо­зна­чим её за  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 10.

Ответ: 10

18. За­да­ние 18 № 341020. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ пре­об­ла­да­ет.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

1) жиры

2) белки

3) уг­ле­во­ды

4) про­чее

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что в сли­воч­ных су­ха­рях пре­об­ла­да­ют уг­ле­во­ды.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. За­да­ние 19 № 316354. Фирма «Вспыш­ка» из­го­тав­ли­ва­ет фо­на­ри­ки. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный фо­на­рик из пар­тии бра­ко­ван­ный, равна 0,02. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что два слу­чай­но вы­бран­ных из одной пар­тии фо­на­ри­ка ока­жут­ся не­бра­ко­ван­ны­ми?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный из пар­тии фо­на­рик — не­бра­ко­ван­ный, со­став­ля­ет 1 − 0,02=0,98. Ве­ро­ят­ность того, что мы вы­бе­рем од­но­вре­мен­но два не­бра­ко­ван­ных фо­на­ри­ка равна 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Ответ: 0,9604

20. За­да­ние 20 № 341391. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, α — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₁, если  а 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину диа­го­на­ли  из фор­му­лы для пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 9.

Ответ: 9

21. За­да­ние 21 № 339005. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим знак вы­ра­же­ния  В силу це­поч­ки не­ра­венств:

по­лу­ча­ем, что вы­ра­же­ние  мень­ше нуля. Зна­чит, при со­кра­ще­нии в им­ход­ном не­ра­вен­стве на это вы­ра­же­ние у не­ра­вен­ства сме­нит­ся знак:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 338995. Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

Ре­ше­ние.

Пусть  — ско­рость реки, тогда  — ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде,  — рас­сто­я­ние от А до места встре­чи,  — рас­сто­я­ние, ко­то­рое пройдёт плот от места встре­чи до мо­мен­та воз­вра­ще­ния ка­те­ра в В. При­мем рас­сто­я­ние между А и В за еди­ни­цу. К месту встре­чи плот и катер при­бы­ли од­но­вре­мен­но, от­ку­да  За то время, пока катер пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние  плот пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние  от­ку­да  По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Плот за всё время дви­же­ния прошёл рас­сто­я­ние  По­сколь­ку всё рас­сто­я­ние между А и В мы при­ня­ли рав­ным еди­ни­це, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В.

23. За­да­ние 23 № 314797. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

По усло­вию  по­это­му нам под­хо­дит зна­че­ние 

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, в пер­вое:

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (2; −2).

24. За­да­ние 24 № 316243. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 15. Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть в тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния BC = 9 ,AD =15 . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну диа­го­на­ли ACчерез N , се­ре­ди­ну диа­го­на­ли BD через M , а се­ре­ди­ну сто­ро­ны CD через K.

Тогда NK — сред­няя линия тре­уголь­ни­каACD, MK — сред­няя линия тре­уголь­ни­каBCD. Зна­чит, точки N, M и K лежат на одной пря­мой, и

NM = NK−MK=3.

Ответ: 3.

25. За­да­ние 25 № 311258. В окруж­но­сти с цен­тром про­ве­де­ны две рав­ные хорды  и . На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры  и . До­ка­жи­те, что  и равны.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем ОK, ON, OL, OM — ра­ди­у­сы. Тре­уголь­ни­ки KOL и MON равны по трем сто­ро­нам, тогда вы­со­ты OH и OS также равны как эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

26. За­да­ние 26 № 314959. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 4. Окруж­ность ра­ди­у­са 2,5 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

Ответ: 

ВАРИАНТ 20

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

2. Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число ?

1) 38 и 40

2) 4 и 5

3) 77 и 79

4) 8 и 9

3. Какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний равно ? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)         2)        3)        4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния . Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов  и 

ГРА­ФИ­КИ

 КО­ЭФ­ФИ­ЦИ­ЕН­ТЫ

1)        2)        3)       4) 

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия:  Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

8. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

 На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла DOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 см и 12 см впи­сан в окруж­ность. Чему равен ра­ди­ус этой окруж­но­сти?

11. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен 60°. Най­ди­те пло­щадь ромба, делённую на .

12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

      1) Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

2) Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

3) Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

4) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.

 Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по ма­те­ма­ти­ке и об­ще­ст­во­зна­нию в 10 «А» клас­се.

Номер уче­ни­ка	Балл по ма­те­ма­ти­ке	Балл по био­ло­гии
5005	37	65
5006	55	52
5011	75	45
5015	41	59
5018	47	75
5020	53	89
5025	51	67
5027	87	85
5029	60	69
5032	81	77
5041	49	47
5042	56	33
5043	32	66
5048	96	94
5054	70	53

 По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 110 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 60 бал­лов.

Сколь­ко че­ло­век из 10 «А», на­брав­ших мень­ше 60 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 4       2) 5       3) 6       4) 7

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля из пунк­та    в пункт    и ав­то­бу­са из пунк­та    в пункт  . На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са?

16. Спор­тив­ный ма­га­зин про­во­дит акцию: «Любой джем­пер по цене 400 руб­лей. При по­куп­ке двух джем­пе­ров — скид­ка на вто­рой 75%». Сколь­ко руб­лей придётся за­пла­тить за по­куп­ку двух джем­пе­ров?

17. Лест­ни­цу дли­ной 2 м при­сло­ни­ли к де­ре­ву. На какой вы­со­те (в мет­рах) на­хо­дит­ся верх­ний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла де­ре­ва на 1,2 м?

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Литвы.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше чет­вер­ти об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей.

3) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше 3 мил­ли­о­нов.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем из всех осталь­ных стран, вме­сте взя­тых.

19. В чем­пи­о­на­те по фут­бо­лу участ­ву­ют 16 ко­манд, ко­то­рые же­ре­бьев­кой рас­пре­де­ля­ют­ся на 4 груп­пы: A, B, C и D. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии не по­па­да­ет в груп­пу A?

20. Мощ­ность по­сто­ян­но­го тока (в ват­тах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в ам­пе­рах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те со­про­тив­ле­ние R (в омах), если мощ­ность со­став­ля­ет 588 ватт, а сила тока равна 7 ам­пе­рам.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

22. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 3 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 7 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 5 км/ч?

23. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(4; 3), M(–3; 10). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

24. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 86, SQ = 43.

25. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну  (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  и  равны.

26. Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённые из точек B и C, про­дол­жи­ли до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках B₁ и C₁. Ока­за­лось, что от­ре­зок B₁C₁про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол BAC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 20

1. За­да­ние 1 № 316340. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но про­из­ведём все дей­ствия:

Ответ: 270.

Ответ: 270

2. За­да­ние 2 № 341665. Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число ?

1) 38 и 40

2) 4 и 5

3) 77 и 79

4) 8 и 9

Ре­ше­ние.

Срав­ним квад­ра­ты при­ведённых в усло­вии чисел:

Число 78 лежит между чис­ла­ми 64 и 81, по­это­му  за­клю­че­но между чис­ла­ми 8 и 9.

Ответ: 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 137276. Какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний равно ?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Поль­зу­ясь свой­ства­ми сте­пе­ней по­лу­ча­ем: 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 189. Най­ди­те корни урав­не­ния .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −3, а их про­из­ве­де­ние равно −18.

Тем самым это числа −6 и 3.

Ответ: -6; 3.

Ответ: -6; 3

5. За­да­ние 5 № 316316. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов  и 

ГРА­ФИ­КИ

КО­ЭФ­ФИ­ЦИ­ЕН­ТЫ

1) 

2) 

3) 

4) 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0, сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­тель­но, если ниже оси абс­цисс — от­ри­ца­тель­но.

Таким об­ра­зом, гра­фи­кам со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты: А — 2, Б — 1, В — 4.

Ответ: 214.

Ответ: 214

6. За­да­ние 6 № 35. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия:  Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Сумма пер­вых k-ых чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

7. За­да­ние 7 № 311453. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 26:5 = 5,2.

Ответ: 5,2.

Ответ: 5,2

8. За­да­ние 8 № 333109. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му не­ра­венств:

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 339515. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла DOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Углы AOD и DOB — смеж­ные, вме­сте со­ста­ва­ля­ют развёрну­тый угол, сле­до­ва­тель­но, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 108° = 72°. По­сколь­ку OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠AOK = ∠KOD = ∠AOD/2 = 72°/2 = 36°.

Ответ: 36.

Ответ: 36

10. За­да­ние 10 № 311479. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 см и 12 см впи­сан в окруж­ность. Чему равен ра­ди­ус этой окруж­но­сти?

Ре­ше­ние.

Пусть R — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Так как окруж­ность опи­са­на во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то ее центр лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы. Таким об­ра­зом, ги­по­те­ну­за равна 2R.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

11. За­да­ние 11 № 169871. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен 60°. Най­ди­те пло­щадь ромба, делённую на .

Ре­ше­ние.

Так как все сто­ро­ны ромба равны, сто­ро­на дан­но­го ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, по­это­му

Ответ: 50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

12. За­да­ние 12 № 340841. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 42.

Ответ: 42

13. За­да­ние 13 № 169933. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

2) Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

3) Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

4) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»— верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

2) «Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как углы, за­клю­чен­ные между про­пор­ци­о­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, не равны.

3) «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

4) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.» — не­вер­но, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным.

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. За­да­ние 14 № 340924. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по ма­те­ма­ти­ке и об­ще­ст­во­зна­нию в 10 «А» клас­се.

Номер уче­ни­ка	Балл по ма­те­ма­ти­ке	Балл по био­ло­гии
5005	37	65
5006	55	52
5011	75	45
5015	41	59
5018	47	75
5020	53	89
5025	51	67
5027	87	85
5029	60	69
5032	81	77
5041	49	47
5042	56	33
5043	32	66
5048	96	94
5054	70	53

По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 110 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 60 бал­лов.

Сколь­ко че­ло­век из 10 «А», на­брав­ших мень­ше 60 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 4

2) 5

3) 6

4) 7

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим тех, кто на­брал менее 60 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке:

Номер уче­ни­ка	Балл по ма­те­ма­ти­ке	Балл по био­ло­гии
5005	37	65
5006	55	52
5011	75	45
5015	41	59
5018	47	75
5020	53	89
5025	51	67
5027	87	85
5029	60	69
5032	81	77
5041	49	47
5042	56	33
5043	32	66
5048	96	94
5054	70	53

Уче­ни­ки, ука­зан­ные под но­ме­ра­ми 5005, 5018, 5020, 5025 и 5043 на­бра­ли не менее 60 бал­лов по био­ло­гии. Сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 110 на­бра­ли уче­ни­ки под но­ме­ра­ми 5018, 5020 и 5025. Таким об­ра­зом, гра­мо­ты по­лу­чат уче­ни­ки под но­ме­ра­ми 5005, 5018, 5020, 5025 и 5043. Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 311521. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля из пунк­та    в пункт    и ав­то­бу­са из пунк­та    в пункт  . На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са?

Ре­ше­ние.

Ав­то­бус про­ехал 240 км за 5 часов. Таким об­ра­зом, его ско­рость равна 48 км/ч. Ав­то­мо­биль про­ехал это же рас­сто­я­ние за 3 часа со ско­ро­стью 80 км/ч. Таким об­ра­зом, ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са на 32 км/ч.

Ответ: 32

16. За­да­ние 16 № 341018. Спор­тив­ный ма­га­зин про­во­дит акцию: «Любой джем­пер по цене 400 руб­лей. При по­куп­ке двух джем­пе­ров — скид­ка на вто­рой 75%». Сколь­ко руб­лей придётся за­пла­тить за по­куп­ку двух джем­пе­ров?

Ре­ше­ние.

Сто­и­мость пер­вого джем­пе­ра 400 руб., сто­и­мость вто­рого — 400 − 0,75 · 400 = 100 руб. Сле­до­ва­тель­но сум­мар­ная сто­и­мость двух джем­пе­ров со­ста­вит 400 + 100 = 500 руб.

Ответ: 500.

Ответ: 500

17. За­да­ние 17 № 314808. Лест­ни­цу дли­ной 2 м при­сло­ни­ли к де­ре­ву. На какой вы­со­те (в мет­рах) на­хо­дит­ся верх­ний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла де­ре­ва на 1,2 м?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра он равен:

Ответ: 1,6.

Ответ: 1,6

18. За­да­ние 18 № 315175. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Литвы.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше чет­вер­ти об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей.

3) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше 3 мил­ли­о­нов.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем из всех осталь­ных стран, вме­сте взя­тых.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше чем поль­зо­ва­те­лей из "дру­гих стран", а зна­чит, и боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Литвы. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше чет­вер­ти об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Вто­рое утвер­же­дние верно.

3) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си мень­ше чет­вер­ти от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Всего поль­зо­ва­те­лей 12 млн, зна­чит поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си менее 3 млн. Тре­тье утвер­жде­ние не­вер­но.

2) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Росии около двух тре­тей от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей, зна­чит, поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем из всех осталь­ных стран вме­сте взя­тых. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

19. За­да­ние 19 № 311505. В чем­пи­о­на­те по фут­бо­лу участ­ву­ют 16 ко­манд, ко­то­рые же­ре­бьев­кой рас­пре­де­ля­ют­ся на 4 груп­пы: A, B, C и D. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии не по­па­да­ет в груп­пу A?

Ре­ше­ние.

Каж­дая ко­ман­да по­па­дет в груп­пу с ве­ро­ят­но­стью 0,25. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да не по­па­да­ет в груп­пу равна 1-0,25=0,75.

Ответ: 0,75

20. За­да­ние 20 № 341022. Мощ­ность по­сто­ян­но­го тока (в ват­тах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в ам­пе­рах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те со­про­тив­ле­ние R (в омах), если мощ­ность со­став­ля­ет 588 ватт, а сила тока равна 7 ам­пе­рам.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим со­про­тив­ле­ние из фор­му­лы для мощ­но­сти: 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Ответ: 12

21. За­да­ние 21 № 314390. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 12:

Ответ: (−4; 2).

22. За­да­ние 22 № 314525. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 3 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 7 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 5 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от ла­ге­ря от­плы­ли ту­ри­сты. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 3 км/ч, а ско­рость лодки — 5 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое они про­плы­ли туда и об­рат­но, со­став­ля­ет  Учи­ты­вая, что они были на сто­ян­ке 3 часа и вер­ну­лись через 7 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

От­сю­да S = 6,4 км.

Ответ: 6,4 км.

23. За­да­ние 23 № 314412. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(4; 3), M(–3; 10). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

Ответ: (1; −6).

При­ме­ча­ние.

Пе­ре­ход от пер­вой си­сте­мы урав­не­ний ко вто­рой про­из­ве­ден путём умно­же­ния тре­тье­го урав­не­ния на 4 и при­бав­ле­ния к нему вто­ро­го урав­не­ния, умно­жен­но­го на 3.

24. За­да­ние 24 № 340409. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 86, SQ = 43.

Ре­ше­ние.

Углы  и  — впи­сан­ные, опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны, угол  — общий, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, 

Ответ: 129.

25. За­да­ние 25 № 311606. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну  (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  и  равны.

Ре­ше­ние.

Две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го:  и . Рас­смот­рим углы между ними:

 360°  180° .

По­это­му

.

26. За­да­ние 26 № 339886. Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённые из точек B и C, про­дол­жи­ли до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках B₁ и C₁. Ока­за­лось, что от­ре­зок B₁C₁про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол BAC.

Ре­ше­ние.

ВВедём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. От­ре­зок про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но,  — диа­метр. Углы  и  — впи­сан­ные и опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, зна­чит, они равны. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  углы  и равны, зна­чит 

Ответ: 45°.

ВАРИАНТ 21

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний вы­бе­ри­те вер­ное. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (a − 6)² > 1     2) (a − 7)² > 1      3) a² > 36      4) a² > 49

3Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)      2)      3)       4) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние   . Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на ги­пер­бо­ла. Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

6. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой про­грес­сии?

1) 83

2) 95

3) 100

4) 102

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Пе­ре­чис­ли­те эти длины в от­ве­те через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

10. Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точкеO пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

11. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те длину его боль­шей вы­со­ты. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если пло­ща­ди фигур равны, то равны и сами фи­гу­ры.

2) Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3) Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.

4) Если две смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого па­рал­ле­ло­грам­ма равна 10. 

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­са­жен­ных де­ре­вьев и ку­стар­ни­ков в г. Сочи за пе­ри­од с 2009 по 2012 гг. Опре­де­ли­те, сколь­ко всего было по­са­же­но зелёных на­саж­де­ний за 2011 г. и 2012 г.?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 10 000     2) 4 000      3) 12 000      4) 8 000

15. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик раз­ря­да ба­та­рей­ки в кар­ман­ном фо­на­ри­ке. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое на­пря­же­ние будет да­вать ба­та­рей­ка через 5 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка. Ответ дайте в воль­тах.

16. Клуб­ни­ка стоит 180 руб­лей за ки­ло­грамм, а клюк­ва — 250 руб­лей за ки­ло­грамм. На сколь­ко про­цен­тов клуб­ни­ка де­шев­ле клюк­вы?

17. Какой угол (в гра­ду­сах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 8 мин?

18. На диа­грам­ме по­ка­зан ре­ли­ги­оз­ный со­став на­се­ле­ния США. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, какая из ре­ли­ги­оз­ных групп яв­ля­ет­ся самой ма­ло­чис­лен­ной.

1) про­те­стан­ты     2) ка­то­ли­ки      3) му­суль­ма­не      4) про­чие

 За­пи­ши­те номер вы­бран­но­го от­ве­та.

19. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 9 чер­ных, 4 жел­тых и 7 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­ку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к нему при­е­дет жел­тое такси.

20. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, α — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₂, если  а 

21. Ре­ши­те урав­не­ние 

22. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

23. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; –4), B(–1; –11), C(4; 4). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

24. От­рез­ки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB =16, DC = 24 , AC = 25.

25. па­рал­ле­ло­грам­ме  точка  — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Из­вест­но, что  = .

До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм − пря­мо­уголь­ник.

26. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 21

1. За­да­ние 1 № 340859. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −460.

Ответ: -460

2. За­да­ние 2 № 317041. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний вы­бе­ри­те вер­ное:

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (a − 6)² > 1

2) (a − 7)² > 1

3) a² > 36

4) a² > 49

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1) 

2) 

3) 

4) 

По­сколь­ку число число  лежит между чис­ла­ми 6 и 7, вер­ным яв­ля­ет­ся толь­ко не­ра­вен­ство 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 314370. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Воз­ведём каж­дое число в квад­рат:

               

По­сколь­ку  имеем:

Наи­мень­шим яв­ля­ет­ся вы­ра­же­ние под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

4. За­да­ние 4 № 311393. Ре­ши­те урав­не­ние   .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции:

Ответ: 24.

Ответ: 24

5. За­да­ние 5 № 193098. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на ги­пер­бо­ла. Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

Ре­ше­ние.

Ги­пер­бо­ла изоб­ра­же­на на ри­сун­ке 1.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

6. За­да­ние 6 № 137301. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой про­грес­сии?

1) 83

2) 95

3) 100

4) 102

Ре­ше­ние.

Най­дем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:  Зная раз­ность и член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, решим урав­не­ние от­но­си­тель­но n , под­ста­вив дан­ные в фор­му­лу для на­хож­де­ния n-го члена:

Чле­ном про­грес­сии яв­ля­ет­ся число 102. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

За­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из чисел, крат­ных трём. Числа 83, 95 и 100 не крат­ны 3, они не яв­ля­ют­ся чле­на­ми про­грес­сии; а число 102 крат­но 3, оно яв­ля­ет­ся её чле­ном.

Ответ: 4

7. За­да­ние 7 № 311467. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. За­да­ние 8 № 159. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 3.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

9. За­да­ние 9 № 314980. Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Пе­ре­чис­ли­те эти длины в от­ве­те через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Имеем:

Тогда 

Ответ: 17; 17.

Ответ: 17;17

10. За­да­ние 10 № 311410. Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точкеO пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

Ре­ше­ние.

Най­дем от­ре­зок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, тре­уголь­никAOD — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: . Тре­уголь­ник AOC — рав­но­бед­рен­ный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким об­ра­зом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

11. За­да­ние 11 № 169862. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му она равна 100.

Ответ: 100.

Ответ: 100

12. За­да­ние 12 № 311400. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те длину его боль­шей вы­со­ты. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Боль­шей будет вы­со­та, про­ведённая к мень­шей сто­ро­не. По ри­сун­ку видно, что длина боль­шей вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма равна 5 см.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13. За­да­ние 13 № 169936. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если пло­ща­ди фигур равны, то равны и сами фи­гу­ры.

2) Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3) Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.

4) Если две смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого па­рал­ле­ло­грам­ма равна 10.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если пло­ща­ди фигур равны, то равны и сами фи­гу­ры.» — не­вер­но, фи­гу­ры, у ко­то­рых равны пло­ща­ди на­зы­ва­ют­ся рав­но­ве­ли­ки­ми, но не рав­ны­ми.

2) «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.» — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3) «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.» — не­вер­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 

4) «Если две смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого па­рал­ле­ло­грам­ма равна 10.» — верно, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 

Ответ: 4.

Ответ: 4

14. За­да­ние 14 № 311298. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­са­жен­ных де­ре­вьев и ку­стар­ни­ков в г. Сочи за пе­ри­од с 2009 по 2012 гг. Опре­де­ли­те, сколь­ко всего было по­са­же­но зелёных на­саж­де­ний за 2011 г. и 2012 г.?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 10 000

2) 4 000

3) 12 000

4) 8 000

Ре­ше­ние.

Зе­ле­ные на­саж­де­ния, по­са­жен­ные в 2011 году со­от­вет­ству­ют на диа­грам­ме столб­цу 3, в 2012 году — столб­цу 4. Из диа­грам­мы мы видно, что в 2011 было по­са­же­но 8 тысяч, в 2012 году — 4 ты­ся­чи зелёных на­саж­де­ний. Таким об­ра­зом, за 2011 и 2012 года было по­са­же­но 12 000 зелёных на­саж­де­ний.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 341360. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик раз­ря­да ба­та­рей­ки в кар­ман­ном фо­на­ри­ке. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое на­пря­же­ние будет да­вать ба­та­рей­ка через 5 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка. Ответ дайте в воль­тах.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что через 5 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка на­пря­же­ние будет 1,2 В.

Ответ: 1,2.

Ответ: 1,2

16. За­да­ние 16 № 311821. Клуб­ни­ка стоит 180 руб­лей за ки­ло­грамм, а клюк­ва — 250 руб­лей за ки­ло­грамм. На сколь­ко про­цен­тов клуб­ни­ка де­шев­ле клюк­вы?

Ре­ше­ние.

Клуб­ни­ка де­шев­ле клюк­вы на 250 − 180 = 70 руб­лей. Раз­де­лим 70 на 250:

Зна­чит, клуб­ни­ка де­шев­ле клюк­вы на 28%.

Ответ: 28.

Ответ: 28

17. За­да­ние 17 № 325014. Какой угол (в гра­ду­сах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 8 мин?

Ре­ше­ние.

Ми­нут­ны­ми де­ле­ни­я­ми ци­фер­блат раз­бит на 60 кру­го­вых сек­то­ров. Угол каж­до­го из них равен 360° : 60 = 6°. За 8 минут ми­нут­ная стрел­ка про­хо­дит 8 · 6° = 48°.

Ответ: 48.

Ответ: 48

18. За­да­ние 18 № 340873. На диа­грам­ме по­ка­зан ре­ли­ги­оз­ный со­став на­се­ле­ния США. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, какая из ре­ли­ги­оз­ных групп яв­ля­ет­ся самой ма­ло­чис­лен­ной.

1) про­те­стан­ты

2) ка­то­ли­ки

3) му­суль­ма­не

4) про­чие

За­пи­ши­те номер вы­бран­но­го от­ве­та.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что самой ма­ло­чис­лен­ной из ре­ли­ги­оз­ных групп яв­ля­ет­ся груп­па «му­суль­ма­не».

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. За­да­ние 19 № 132734. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 9 чер­ных, 4 жел­тых и 7 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­ку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к нему при­е­дет жел­тое такси.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что при­е­дет жел­тая ма­ши­на равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства жел­тых машин к об­ще­му ко­ли­че­ству машин: 

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

20. За­да­ние 20 № 341417. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, α — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₂, если  а 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину диа­го­на­ли  из фор­му­лы для пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 15.

Ответ: 15

21. За­да­ние 21 № 338951. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Пусть  тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 314577. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А — x км/ч, тогда ско­рость вто­ро­го равна (x − 1) км/ч. Пер­вый пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а вто­рой про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −3 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

23. За­да­ние 23 № 314482. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; –4), B(–1; –11), C(4; 4). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

Ответ: (3; 5).

24. За­да­ние 24 № 340905. От­рез­ки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB =16, DC = 24 , AC = 25.

Ре­ше­ние.

Углы DCM и BAM равны как на­крест ле­жа­щие, углыDMC и BMA равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки DMC и BMA по­доб­ны по двум углам. Зна­чит,

Cле­до­ва­тель­но,

 от­ку­да 

Ответ: 15.

25. За­да­ние 25 № 311259. В па­рал­ле­ло­грам­ме  точка  — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Из­веств­но, что  = .

До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм − пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Так как AE = EA то тре­уголь­ник CED — рав­но­бед­рен­ный, тогда углы при его ос­но­ва­нии равны. Тре­уголь­ни­ки EBC и EAD равны по трем сто­ро­нам, тогда  В па­рал­ле­ло­грам­ме , но , а . Так как углы равны имеем:

Таким об­ра­зом, па­рал­ле­ло­грамм ABCD — пря­мо­уголь­ник.

26. За­да­ние 26 № 314960. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

Ответ: 3,125.

ВАРИАНТ 22

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 6,4 − 7 · (−3,3).

2. Из­вест­но, что . Какое из ука­зан­ных утвер­жде­ний верно?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)       2)        3)       4) 

3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при . В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1) −125      2) 125       3)         4) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние 

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

ФУНК­ЦИИ

А)       Б)       В)

ГРА­ФИ­КИ

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия:  Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

8. Ука­жи­те не­ра­вен­ство, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся любое число.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) x²​ − 15 < 0      2) x² + 15 > 0       3) x² ​+ 15 < 0      4) x² ​− 15 > 0

9. Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 35 и 120. Най­ди­те вы­со­ту, про­ве­ден­ную к ги­по­те­ну­зе.

10. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 115°.

11. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 мет­ров для уча­щих­ся 9-х клас­сов.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, се­кун­ды	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Какую от­мет­ку по­лу­чит де­воч­ка, про­бе­жав­шая эту ди­стан­цию за 4,85 се­кун­ды?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) От­мет­ка «5».       2) От­мет­ка «4».       3) От­мет­ка «3».      4) Нор­ма­тив не вы­пол­нен.

15. При рез­ком тор­мо­же­нии рас­сто­я­ние, прой­ден­ное ав­то­мо­би­лем до пол­ной оста­нов­ки (тор­моз­ной путь), за­ви­сит от ско­ро­сти, с ко­то­рой ав­то­мо­биль дви­гал­ся. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик этой за­ви­си­мо­сти (для сухой ас­фаль­то­вой до­ро­ги). По го­ри­зон­таль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в км/ч), по вер­ти­каль­ной – тор­моз­ной путь (в мет­рах). Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, с какой ско­ро­стью дви­гал­ся ав­то­мо­биль, если его тор­моз­ной путь со­ста­вил 50 мет­ров. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

16. Сбе­ре­га­тель­ный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% го­до­вых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?

17. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

18. Участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­сти­ли в го­сти­ни­це в од­но­мест­ных но­ме­рах, рас­по­ло­жен­ных на эта­жах со вто­ро­го по пятый. Ко­ли­че­ство но­ме­ров на эта­жах пред­став­ле­но на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое утвер­жде­ние от­но­си­тель­но рас­се­ле­ния участ­ни­ков кон­фе­рен­ции верно, если в го­сти­ни­це раз­ме­сти­лись 50 участ­ни­ков кон­фе­рен­ции?

1) На четвёртом и пятом эта­жах раз­ме­сти­лось оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство участ­ни­ков кон­фе­рен­ции.

2) Боль­ше  всех уча­сти­ни­ков раз­ме­сти­лись на эта­жах выше вто­ро­го.

3) Не менее 10 участ­ни­ков раз­ме­сти­лись на 4 этаже.

4) Не более чет­вер­ти участ­ни­ков раз­ме­сти­лись на 2 этаже.

19. У ба­буш­ки 20 чашек: 15 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

20. Мощ­ность по­сто­ян­но­го тока (в ват­тах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в ам­пе­рах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те со­про­тив­ле­ние R (в омах), если мощ­ность со­став­ля­ет 147 Вт, а сила тока равна 3,5 А.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

22. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 10 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая труба. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 60 лит­ров она за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба?

23. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(3; 10), M( –3; –2). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

24. Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Е со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки АЕ и СК пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

25. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

26. Ос­но­ва­ние  рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния  . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник  .

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 22

1. За­да­ние 1 № 341401. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 6,4 − 7 · (−3,3).

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 29,5.

Ответ: 29,5

2. За­да­ние 2 № 311306. Из­вест­но, что . Какое из ука­зан­ных утвер­жде­ний верно?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

По усло­вию оба числа по­ло­жи­тель­ны и  Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1)  — не­вер­но, так как  и 

2)  — не­вер­но, так как по усло­вию 

3)  — не­вер­но, так как по усло­вию 

4)  — верно.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 137280. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) −125

2) 125

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние ис­поль­зуя фор­му­лы ,  и :

Под­ста­вим зна­че­ние : 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 2.

Ответ: 2

4. За­да­ние 4 № 338526. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Квад­ра­ты чисел равны, если числа равны или про­ти­во­по­лож­ны:

Ответ: −2,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­кро­ем скоб­ки в обеих ча­стях урав­не­ния:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой раз­но­сти квад­ра­тов:

Ответ: -2,5

5. За­да­ние 5 № 316342. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

ФУНК­ЦИИ

А)

Б)

В)

ГРА­ФИ­КИ

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Все пред­став­лен­ные здесь функ­ции — ги­пер­бо­лы. Общая фор­му­ла для урав­не­ния ги­пер­бо­лы: , если , то ветви ги­пер­бо­лы рас­по­ла­га­ют­ся в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях, в про­тив­ном слу­чае — во вто­рой и четвёртой чет­вер­тях.

Для того, чтобы от­ли­чить ги­пер­бо­лы ле­жа­щие в оди­на­ко­вых чет­вер­тях нужно под­ста­вить какое-ни­будь зна­че­ние  в фор­му­лу и про­ве­рить, ка­ко­му гра­фи­ку будет со­от­вет­ство­вать по­лу­чен­ное зна­че­ние.

Таким об­ра­зом, уста­но­вим со­от­вет­свие: А — 1, Б — 4, В — 2.

Ответ: 142

6. За­да­ние 6 № 35. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия:  Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Сумма пер­вых k-ых чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

7. За­да­ние 7 № 311467. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. За­да­ние 8 № 320666. Ука­жи­те не­ра­вен­ство, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся любое число.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) x²​ − 15 < 0

2) x² + 15 > 0

3) x² ​+ 15 < 0

4) x² ​− 15 > 0

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1) 

2)  — верно для всех 

3)  — ре­ше­ний нет.

4) 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

9. За­да­ние 9 № 322819. Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 35 и 120. Най­ди­те вы­со­ту, про­ве­ден­ную к ги­по­те­ну­зе.

Ре­ше­ние.

Пусть ка­те­ты имеют длины  и  а ги­по­те­ну­за — длину  Пусть длина вы­со­ты, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе равна  Найдём длину ги­по­те­ну­зы по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка может быть най­де­на как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния ка­те­тов или как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния вы­со­ты, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе на ги­по­те­ну­зу:

Ответ: 33,6.

Ответ: 33,6

10. За­да­ние 10 № 341355. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 115°.

Ре­ше­ние.

Угол ACB − впи­сан­ный угол, он равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу. Т. е. 

Ответ: 57,5

11. За­да­ние 11 № 323356. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба ост­рых угла равны, сле­до­ва­тель­но, дан­ный тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да по­лу­ча­ем, что оба ка­те­та равны. Длина ка­те­та равна  Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния ка­те­тов: 

Ответ: 1225.

Ответ: 1225

12. За­да­ние 12 № 311495. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, по­это­му 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

13. За­да­ние 13 № 311851. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка па­рал­лель­но­сти пря­мых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно про­ве­сти одну пря­мую, если они лежат на одной пря­мой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по по­стро­е­нию, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы пря­мые, утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2|12

14. За­да­ние 14 № 341016. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 мет­ров для уча­щих­ся 9-х клас­сов.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, се­кун­ды	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Какую от­мет­ку по­лу­чит де­воч­ка, про­бе­жав­шая эту ди­стан­цию за 4,85 се­кун­ды?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) От­мет­ка «5».

2) От­мет­ка «4».

3) От­мет­ка «3».

4) Нор­ма­тив не вы­пол­нен.

Ре­ше­ние.

Де­воч­ка про­бе­жа­ла ди­стан­цию до­ста­точ­но быст­ро, чтобы по­лу­чить «5».

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

15. За­да­ние 15 № 322092. При рез­ком тор­мо­же­нии рас­сто­я­ние, прой­ден­ное ав­то­мо­би­лем до пол­ной оста­нов­ки (тор­моз­ной путь), за­ви­сит от ско­ро­сти, с ко­то­рой ав­то­мо­биль дви­гал­ся. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик этой за­ви­си­мо­сти (для сухой ас­фаль­то­вой до­ро­ги). По го­ри­зон­таль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в км/ч), по вер­ти­каль­ной – тор­моз­ной путь (в мет­рах). Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, с какой ско­ро­стью дви­гал­ся ав­то­мо­биль, если его тор­моз­ной путь со­ста­вил 50 мет­ров. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

Ре­ше­ние.

Их гра­фи­ка видно, что если тор­моз­ной путь ав­то­мо­би­ля со­ста­вил 50 м, то его ско­рость была равна 70 км/ч.

Ответ: 70.

Ответ: 70

16. За­да­ние 16 № 137245. Сбе­ре­га­тель­ный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% го­до­вых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?

Ре­ше­ние.

Через год вклад­чик по­лу­чит 20 % до­хо­да, что со­ста­вит

 руб.

Таким об­ра­зом, через год на счете будет:

 руб.

Ответ: 960.

Ответ: 960

17. За­да­ние 17 № 325276. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно: 

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

18. За­да­ние 18 № 325317. Участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­сти­ли в го­сти­ни­це в од­но­мест­ных но­ме­рах, рас­по­ло­жен­ных на эта­жах со вто­ро­го по пятый. Ко­ли­че­ство но­ме­ров на эта­жах пред­став­ле­но на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое утвер­жде­ние от­но­си­тель­но рас­се­ле­ния участ­ни­ков кон­фе­рен­ции верно, если в го­сти­ни­це раз­ме­сти­лись 50 участ­ни­ков кон­фе­рен­ции?

1) На четвёртом и пятом эта­жах раз­ме­сти­лось оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство участ­ни­ков кон­фе­рен­ции.

2) Боль­ше  всех уча­сти­ни­ков раз­ме­сти­лись на эта­жах выше вто­ро­го.

3) Не менее 10 участ­ни­ков раз­ме­сти­лись на 4 этаже.

4) Не более чет­вер­ти участ­ни­ков раз­ме­сти­лись на 2 этаже.

Ре­ше­ние.

Про­ана­ли­зи­ру­ем каж­дое утвер­жде­ние, ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные на диа­грам­ме.

1) Сек­то­ра, со­от­вет­ству­ю­щие но­ме­рам на четвёртом и пятом эта­жах, не равны друг другу, по­это­му число участ­ни­ков кон­фе­рен­ции, раз­мещённых на четвёртом и пятом эта­жах не равны. Пер­вое утвер­жде­ние не­вер­но.

2) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий но­ме­рам на тре­тьем, четвёртом и пятом эта­жах, за­ни­ма­ет менее круга, по­это­му менее  участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­ще­но на этих эта­жах. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий но­ме­рам на четвёртом этаже, за­ни­ма­ет менее  круга, по­это­му менее  участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­ще­но на этих эта­жах. Тре­тье утвер­жде­ние не­вер­но.

4) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий но­ме­рам на вто­ром этаже, за­ни­ма­ет менее чет­вер­ти круга, по­это­му менее чет­вер­ти участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­ще­но на этих эта­жах. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 340900. У ба­буш­ки 20 чашек: 15 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что чай на­льют в чашку с си­ни­ми цве­та­ми равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства чашек с си­ни­ми цве­та­ми к об­ще­му ко­ли­че­ству чашек. Всего чашек с си­ни­ми цве­та­ми:  По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность 

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

20. За­да­ние 20 № 341683. Мощ­ность по­сто­ян­но­го тока (в ват­тах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в ам­пе­рах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те со­про­тив­ле­ние R (в омах), если мощ­ность со­став­ля­ет 147 Вт, а сила тока равна 3,5 А.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим со­про­тив­ле­ние из фор­му­лы для мощ­но­сти: 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Ответ: 12

21. За­да­ние 21 № 314456. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 6:

Ответ: (−3,5; 1).

22. За­да­ние 22 № 338706. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 10 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая труба. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 60 лит­ров она за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая труба про­пус­ка­ет  лит­ров воды в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объёмом 60 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −20 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров воды в ми­ну­ту.

Ответ: 10.

23. За­да­ние 23 № 314398. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(3; 10), M( –3; –2). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

Ответ: (−1; −6).

24. За­да­ние 24 № 311240. Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Е со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки АЕ и СК пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

Ре­ше­ние.

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опи­ра­ют­ся на одну дугу окруж­но­сти; сле­до­ва­тель­но, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смеж­ные с ними. Из четырёхуголь­ни­каВКDЕ:  Из ВКС: ∠КСВ= 180° − 125° − 20° = 35°.

Ответ: 35°.

25. За­да­ние 25 № 315120. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки 

сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, то есть  сле­до­ва­тель­но — ромб.

Любой угол пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка равен  Каж­дый их тре­уголь­ни­ков  — рав­нобде­рен­ный, сле­до­ва­тель­но углы при ос­но­ва­нии этих тре­уголь­ни­ков равны 

Рас­смот­рим угол 

Сле­до­ва­тель­но все углы, в ромбе  — пря­мые, а зна­чит,  — квад­рат.

26. За­да­ние 26 № 311697. Ос­но­ва­ние  рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния  . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник  .

Ре­ше­ние.

Пусть  — центр дан­ной окруж­но­сти, а  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник Точка ка­са­ния  окруж­но­стей делит  по­по­лам.  и  — бис­сек­три­сы смеж­ных углов, зна­чит, угол  пря­мой. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по­лу­ча­ем: 

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 4,5.

ВАРИАНТ 23

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой точ­ка­ми от­ме­че­ны числа   0,42; 0,45. Ка­ко­му числу со­от­вет­сву­ет точка B? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)       2)        3) 0,42     4) 0,45

3. В каком слу­чае числа рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)        3)       4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. График, какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на ри­сун­ке?

1)

2)

3)

4)

6. Дан чис­ло­вой набор. Его пер­вое число равно 6,2, а каж­дое сле­ду­ю­щее число на 0,6 боль­ше преды­ду­ще­го. Най­ди­те пятое число этого на­бо­ра.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при . В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

8. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 9x + 7 мень­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 8x − 3?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) x > 4      2) x < 4      3) x > − 10      4) x < − 10

9. Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

10. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке О. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 123°.

11. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на её ос­но­ва­ни­ям.

3) Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны рас­сто­я­ния от Солн­ца до четырёх пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы. Какая из этих пла­нет ближе всех к Солн­цу?

Пла­не­та	Неп­тун	Юпи­тер	Уран	Ве­не­ра
Рас­сто­я­ние (в км)	4,497 · 109	7,781 · 108	2,871 · 109	1,082 · 108

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Неп­тун       2) Юпи­тер       3) Уран      4) Ве­не­ра

15. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Де­неж­ки­но­го Камня?

16. На пост пред­се­да­те­ля школь­но­го со­ве­та пре­тен­до­ва­ли два кан­ди­да­та. В го­ло­со­ва­нии при­ня­ли уча­стие 120 че­ло­век. Го­ло­са между кан­ди­да­та­ми рас­пре­де­ли­лись в от­но­ше­нии 3:5. Сколь­ко го­ло­сов по­лу­чил по­бе­ди­тель?

17. Маль­чик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 550 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 480 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­зал­ся маль­чик?

18. На диа­грам­ме по­ка­зан воз­раст­ной со­став на­се­ле­ния Бан­гла­деш. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, какая из воз­раст­ных ка­те­го­рий самая ма­ло­чис­лен­ная.

1) 0−14 лет      2) 15−50 лет      3) 51−64 лет      4) 65 лет и более

19. На та­рел­ке 12 пи­рож­ков: 5 с мясом, 4 с ка­пу­стой и 3 с виш­ней. На­та­ша на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

20. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка T (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка (в мет­рах), пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 3 се­кун­ды.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

22. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 5 км от пунк­та А.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции y = 4|x + 2 − x² − 3x − 2 и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

24. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 10.

25. Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 19.

26. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 1 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 23

1. За­да­ние 1 № 316251. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 8,4.

Ответ: 8,4

2. За­да­ние 2 № 317130. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой точ­ка­ми от­ме­че­ны числа   0,42; 0,45. Ка­ко­му числу со­от­вет­сву­ет точка B?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 0,42

4) 0,45

Ре­ше­ние.

Пе­ре­ведём обык­но­вен­ные дроби к де­ся­тич­ным с точ­но­стью до двух зна­ков после за­пя­той при по­мо­щи де­ле­ния «в стол­бик», по­лу­чим:

По­сколь­ку,  а точка B вто­рая слева, зна­чит, точке B со­от­вет­ству­ет число 0,45.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 54. В каком слу­чае числа рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Числа  по­ло­жи­тель­ны, воз­ведём их в квад­рат и срав­ним квад­ра­ты этих чисел:

Сле­до­ва­тель­но, 

Числа рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния в пер­вом ва­ри­ан­те.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 314548. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­несём всё в урав­не­нии в одну сто­ро­ну:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −1, а их про­из­ве­де­ние равно −12. Тем самым, это числа −4 и 3.

Ответ: −4; 3.

Ответ: -4;3

5. За­да­ние 5 № 198175. Гра­фик какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на ри­сун­ке?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Изоб­ражённая на ри­сун­ке ги­пер­бо­ла рас­по­ло­же­на в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях, сле­до­ва­тель­но, дан­но­му гра­фи­ку могут со­от­вет­сво­вать функ­ции  или  При  ор­ди­на­та функ­ции на гра­фи­ке равна 5, сле­до­ва­тель­но, это гра­фик функ­ции 

Ответ: 3.

Ответ: 3

6. За­да­ние 6 № 341703. Дан чис­ло­вой набор. Его пер­вое число равно 6,2, а каж­дое сле­ду­ю­щее число на 0,6 боль­ше преды­ду­ще­го. Най­ди­те пятое число этого на­бо­ра.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, пер­вый член ко­то­рой равен 6,2, а раз­ность равна 0,6. Таким об­ра­зом, пятый эле­мент дан­ной про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Ответ: 8,6.

Ответ: 8,6

7. За­да­ние 7 № 314362. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при . В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

   (при   и  

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при  :

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

8. За­да­ние 8 № 338490. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 9x + 7 мень­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 8x − 3?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) x > 4

2) x < 4

3) x > − 10

4) x < − 10

Ре­ше­ние.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи нужно ре­шить не­ра­вен­ство  Решим его:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 323937. Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

Ре­ше­ние.

Пусть  сто­ро­на ромба,  — его вы­со­та. Все сто­ро­ны ромба равны, по­это­му Пло­щадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние сто­ро­ны на вы­со­ту:

Ответ: 3.

Ответ: 3

10. За­да­ние 10 № 341381. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке О. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 123°.

Ре­ше­ние.

Угол AСB − впи­сан­ный, он равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу. Т. е. 

Ответ: 61,5.

Ответ: 61,5

11. За­да­ние 11 № 169855. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

12. За­да­ние 12 № 316374. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Углы  и  в сумме об­ра­зу­ют развёрну­тый угол  Зна­чит, 

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, изоб­ражённый на ри­сун­ке. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: -1,5.

Ответ: -1,5

13. За­да­ние 13 № 341384. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на её ос­но­ва­ни­ям.

3) Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны» — не­вер­но: та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков нет.

2) «Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на её ос­но­ва­ни­ям» — верно, это ак­си­о­ма.

3) «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов» — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 2;3.

Ответ: 2;3

14. За­да­ние 14 № 338026. В таб­ли­це при­ве­де­ны рас­сто­я­ния от Солн­ца до четырёх пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы. Какая из этих пла­нет ближе всех к Солн­цу?

Пла­не­та	Неп­тун	Юпи­тер	Уран	Ве­не­ра
Рас­сто­я­ние (в км)	4,497 · 109	7,781 · 108	2,871 · 109	1,082 · 108

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Неп­тун

2) Юпи­тер

3) Уран

4) Ве­не­ра

Ре­ше­ние.

Из чисел, пред­став­лен­ных в стан­дарт­ном виде, наи­мень­шим будет то, ко­то­рое имеет наи­мень­ший по­ка­за­тель в сте­пе­ни де­ся­ти. Если по­ка­за­те­ли равны, то наи­мень­шим будет число, име­ю­щее наи­мень­шую ман­тис­су. Таким об­ра­зом, среди пред­став­лен­ных чисел наи­мень­шее—  Ближе всего к Солн­цу на­хо­дит­ся Ве­не­ра.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

15. За­да­ние 15 № 341527. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Де­неж­ки­но­го Камня?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста мень­ше дав­ле­ния на вы­со­те Де­неж­ки­на Камня на  мм. рт. ст.

Ответ: 380.

Ответ: 380

16. За­да­ние 16 № 137262. На пост пред­се­да­те­ля школь­но­го со­ве­та пре­тен­до­ва­ли два кан­ди­да­та. В го­ло­со­ва­нии при­ня­ли уча­стие 120 че­ло­век. Го­ло­са между кан­ди­да­та­ми рас­пре­де­ли­лись в от­но­ше­нии 3:5. Сколь­ко го­ло­сов по­лу­чил по­бе­ди­тель?

Ре­ше­ние.

Пусть x го­ло­сов при­хо­дит­ся на одну часть, тогда 5x при­хо­дит­ся на вто­ро­го кан­ди­да­та, а 3x - на пер­во­го. Зная, что в го­ло­со­ва­нии участ­во­ва­ло 120 че­ло­век со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, по­бе­ди­тель по­лу­чил:

.

Ответ: 75.

Ответ: 75

17. За­да­ние 17 № 311766. Маль­чик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 550 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 480 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­зал­ся маль­чик?

Ре­ше­ние.

Маль­чик идёт вдоль сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­это­му, ис­ко­мое рас­сто­я­ние можно найти по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 730.

Ответ: 730

18. За­да­ние 18 № 340928. На диа­грам­ме по­ка­зан воз­раст­ной со­став на­се­ле­ния Бан­гла­деш. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, какая из воз­раст­ных ка­те­го­рий самая ма­ло­чис­лен­ная.

1) 0−14 лет

2) 15−50 лет

3) 51−64 лет

4) 65 лет и более

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что самой ма­ло­чис­лен­ной воз­раст­ной груп­пой яв­ля­ет­ся груп­па «65 лет и более».

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 132732. На та­рел­ке 12 пи­рож­ков: 5 с мясом, 4 с ка­пу­стой и 3 с виш­ней. На­та­ша на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что будет вы­бран пи­ро­жок с виш­ней равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства пи­рож­ков с виш­ней к об­ще­му ко­ли­че­ству пи­рож­ков: 

Ответ:0,25

Ответ: 0,25

20. За­да­ние 20 № 340597. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка T (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка (в мет­рах), пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 3 се­кун­ды.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину ма­ят­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

21. За­да­ние 21 № 314527. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 6:

Ответ: (4; −3).

22. За­да­ние 22 № 314516. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 5 км от пунк­та А.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 11) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −22 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 5 км/ч, сле­до­ва­тель­но, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 5 + 11 = 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

23. За­да­ние 23 № 341368. По­строй­те гра­фик функ­ции y = 4|x + 2 − x² − 3x − 2 и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции y = −x² − 7x − 10 при x < −2 и гра­фик функ­ции y = −x² + x + 6 при x ≥ −2.

Пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки, если она про­хо­дит через вер­ши­ну пер­вой па­ра­бо­лы и пе­ре­се­ка­ет вто­рую или если она про­хо­дит через точку (−2; 0)). По­лу­ча­ем, что m = 0 и m = 2,25.

Ответ: 0; 2,25.

24. За­да­ние 24 № 333130. Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 10.

Ре­ше­ние.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции, равна 180° , зна­чит,

По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­димAB:

Ответ: 26.

25. За­да­ние 25 № 341536. Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 19.

Ре­ше­ние.

Пусть длины дуг AB, BC и AC от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10, тогда наи­мень­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC — сто­ро­на AB = 19. По свой­ству впи­сан­но­го угла

Из тео­ре­мы си­ну­сов на­хо­дим, что ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Ответ: 19.

26. За­да­ние 26 № 314992. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 1 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь  — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния,  — после,  — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча,  — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны по двум углам, то есть 

Рас­смот­ри пря­мые  и  их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая  углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые  и  па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

Ответ: 1,5.

При­ме­ча­ние

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков  и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные  и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков  и  со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми  и  Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны.

ВАРИАНТ 24

1. Вы­чис­ли­те:  

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся вер­ным?

 1) a − 8 > 0        2) 7 − a < 0        3) a − 3 > 0         4) 2 − a > 0

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1)          2)          3)          4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

4) k > 0, b < 0

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 93; 85,5; 78; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (− ∞; +∞)       2) (− ∞; −6)∪(6; +∞)        3) (− 6; 6)        4) нет ре­ше­ний

9. У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 16 и 2 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ведённая к пер­вой сто­ро­не, равна 1. Чему равна вы­со­та, про­ведённая ко вто­рой сто­ро­не?

10. От­ре­зок AB = 48 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 14 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

11. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

12. Най­ди­те тан­генс угла С тре­уголь­ни­ка ABC , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.

2) В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.

4) Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. Ку­ри­ные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять ка­те­го­рий: выс­шая, от­бор­ная, пер­вая, вто­рая и тре­тья. Ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные в таб­ли­це, опре­де­ли­те, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, мас­сой 65,8 г.

Ка­те­го­рия	Масса од­но­го яйца, г
Выс­шая	75,0 и выше
От­бор­ная	65,0 − 74,9
Пер­вая	55,0 − 64,9
Вто­рая	45,0 — 54,9
Тре­тья	35,0 — 44,9

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Выс­шая       2) От­бор­ная      3) Пер­вая       4) Вто­рая

15. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Эль­бру­са?

16. Ма­га­зин дет­ских то­ва­ров за­ку­па­ет по­гре­муш­ку по опто­вой цене 260 руб­лей за одну штуку и продаёт с 40-про­цент­ной на­цен­кой. Сколь­ко будут сто­ить 3 такие по­гре­муш­ки, куп­лен­ные в этом ма­га­зи­не?

17. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 9 млн поль­зо­ва­те­лей. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей.

3) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Дании.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии мень­ше 4 мил­ли­о­нов.

19. На эк­за­ме­не 25 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет.

20. Пол­ную ме­ха­ни­че­скую энер­гию тела (в джо­у­лях) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — масса тела (в ки­ло­грам­мах),  — его ско­рость (в м/с),  — вы­со­та по­ло­же­ния цен­тра масс тела над про­из­воль­но вы­бран­ным ну­ле­вым уров­нем (в мет­рах), а  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (в м/с²). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  (в ки­ло­грам­мах), если    а 

21. Со­кра­ти­те дробь 

22. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 114 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки.

24. В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 12, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

25. Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEB и CED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

26. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 24

1. За­да­ние 1 № 314280. Вы­чис­ли­те:  

Ре­ше­ние.

При­ведём дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: 2,7.

Ответ: 2,7

2. За­да­ние 2 № 341398. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся вер­ным?

1) a − 8 > 0

2) 7 − a < 0

3) a − 3 > 0

4) 2 − a > 0

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что , тогда:

1)  Не­вер­но.

2)  Не­вер­но.

3)  Верно.

4)  Не­вер­но.

Ответ: 3.

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 311806. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Чтобы от­ве­тить на во­прос, воз­ведём в квад­рат числа 

Срав­ним их:  сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее число 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

4. За­да­ние 4 № 314497. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −3, а их про­из­ве­де­ние равно −18. Тем самым, это числа −3 и 6.

Ответ: −6; 3.

Ответ: -6;3

5. За­да­ние 5 № 341325. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

4) k > 0, b < 0

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем  то при  функ­ция воз­рас­та­ет, при  — убы­ва­ет. Зна­че­нию  со­от­вет­сву­ет зна­че­ние функ­ции в точке  Таким об­ра­зом, гра­фи­ку A со­от­вет­ству­ют ко­эфи­ци­ен­ты 2, Б − 1, В − 4.

Ответ: 214.

Ответ: 214

6. За­да­ние 6 № 316369. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 93; 85,5; 78; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Нам же нужно найти пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии, т. е. нужно, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие Решим не­ра­вен­ство :

Зна­чит  — пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

Ответ: −4,5.

Ответ: -4,5

7. За­да­ние 7 № 311471. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния при :

Ответ: 1,7.

Ответ: 1,7

8. За­да­ние 8 № 338499. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (− ∞; +∞)

2) (− ∞; −6)∪(6; +∞)

3) (− 6; 6)

4) нет ре­ше­ний

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 2.

Ответ: 2

9. За­да­ние 9 № 323079. У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 16 и 2 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ведённая к пер­вой сто­ро­не, равна 1. Чему равна вы­со­та, про­ведённая ко вто­рой сто­ро­не?

Ре­ше­ние.

Пусть из­вест­ные сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны  и  а вы­со­ты, про­ведённые к ним  и  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ведённую к этой сто­ро­не:

Ответ: 8.

Ответ: 8

10. За­да­ние 10 № 341044. От­ре­зок AB = 48 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 14 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке ка­са­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём 

Найдём  

Ответ: 36.

Ответ: 36

11. За­да­ние 11 № 316258. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон. Найдём сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка. Пусть x — боль­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка, тогда дру­гая сто­ро­на равна  Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен

от­ку­да  По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна 

Ответ: 176.

-------------------------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 311849.

Ответ: 176

12. За­да­ние 12 № 196. Най­ди­те тан­генс угла С тре­уголь­ни­ка ABC , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13. За­да­ние 13 № 169928. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.

2) В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.

4) Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.»— верно, oколо тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, при­том толь­ко одну.

2) «В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.» — верно, в любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

3) «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.» — не­вер­но, цен­тром опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка.

4) «Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.» — не­вер­но, цен­тром впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. За­да­ние 14 № 311292. Ку­ри­ные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять ка­те­го­рий: выс­шая, от­бор­ная, пер­вая, вто­рая и тре­тья. Ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные в таб­ли­це, опре­де­ли­те, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, мас­сой 65,8 г.

Ка­те­го­рия	Масса од­но­го яйца, г
Выс­шая	75,0 и выше
От­бор­ная	65,0 − 74,9
Пер­вая	55,0 − 64,9
Вто­рая	45,0 — 54,9
Тре­тья	35,0 — 44,9

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Выс­шая

2) От­бор­ная

3) Пер­вая

4) Вто­рая

Ре­ше­ние.

По усло­вию за­да­чи масса яйца равна 65,8 г. Дан­ное зна­че­ние по­па­да­ет в про­ме­жу­ток 65,0−74,9 г. Таким об­ра­зом, яйцо по массе по­па­да­ет в ка­те­го­рию от­бор­ных.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 322031. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Эль­бру­са?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста (240 мм. рт. ст.) мень­ше дав­ле­ния на вы­со­те Боль­шо­го Эль­бру­са (360 мм. рт. ст.) на 120 мм. рт. ст.

Ответ: 120.

Ответ: 120

16. За­да­ние 16 № 318293. Ма­га­зин дет­ских то­ва­ров за­ку­па­ет по­гре­муш­ку по опто­вой цене 260 руб­лей за одну штуку и продаёт с 40-про­цент­ной на­цен­кой. Сколь­ко будут сто­ить 3 такие по­гре­муш­ки, куп­лен­ные в этом ма­га­зи­не?

Ре­ше­ние.

На­цен­ка со­ста­вит 260 · 0,4 = 104 руб. Сле­до­ва­тель­но, три по­гре­муш­ки будут сто­ить (260 + 104) · 3 = 1092 руб.

Ответ: 1092 руб.

Ответ: 1092

17. За­да­ние 17 № 96. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

Ре­ше­ние.

Пусть длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна  Про­ведём от­ре­зок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной пря­мой, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, тогда  — катет по­лу­чив­ше­го­ся пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

18. За­да­ние 18 № 315170. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 9 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей.

3) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Дании.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии мень­ше 4 мил­ли­о­нов.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше чем поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что число поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше, трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Вто­рое утвер­жде­ние верно.

3) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей не из Бе­ла­ру­си боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из "дру­гих стран", сле­до­ва­тель­но боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Дании. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии около двух тре­тей от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Всего поль­зо­ва­те­лей 9 млн, зна­чит поль­зо­ва­те­лей из Росии около 6 млн. Четвёртое утвер­жде­ние не­вер­но.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 175. На эк­за­ме­не 25 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность бла­го­при­ят­но­го слу­чая() — от­но­ше­ние ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. В дан­ной за­да­че бла­го­при­ят­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся взя­тие на эк­за­ме­не вы­учен­но­го би­ле­та. Всего бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев 22(25−3), а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 25. От­но­ше­ние со­от­вет­ствен­но равно 

Ответ: 0,88.

Ответ: 0,88

20. За­да­ние 20 № 316381. Пол­ную ме­ха­ни­че­скую энер­гию тела (в джо­у­лях) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — масса тела (в ки­ло­грам­мах),  — его ско­рость (в м/с),  — вы­со­та по­ло­же­ния цен­тра масс тела над про­из­воль­но вы­бран­ным ну­ле­вым уров­нем (в мет­рах), а  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (в м/с²). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  (в ки­ло­грам­мах), если    а 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим массу:  Под­ста­вим зна­че­ния пе­ре­мен­ных:

Ответ: 7.

Ответ: 7

21. За­да­ние 21 № 314452. Со­кра­ти­те дробь 

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 340877. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 114 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла x де­та­лей. Тогда вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 3x де­та­лей, а тре­тья 3x +16 де­та­лей. Зна­чит, вме­сте они из­го­то­ви­ли 7x +16 де­та­лей. Из урав­не­ния 7x +16 =114 на­хо­дим, что пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла 14 де­та­лей, а тре­тья 58 де­та­лей. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 44 де­та­ли боль­ше, чем пер­вая.

Ответ: 44.

23. За­да­ние 23 № 340933. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:  при усло­вии, что x ≠−5. По­стро­им гра­фик. Пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки при  и 

Ответ: 

24. За­да­ние 24 № 315094. В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ныAB и CD равны, CH — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 12, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

Ре­ше­ние.

В тра­пе­ции сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, по­это­му можем найти боль­шее ос­но­ва­ние  зная  и 

Про­ведём в тра­пе­ции вто­рую вы­со­ту  Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, по­это­му  Рас­смот­рим два тре­уголь­ни­ка:  и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и  равно сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. Таким об­ра­зом, равны от­рез­ки  и 

Также рас­смот­рим четырёхуголь­ник , все углы в нём — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, это пря­мо­уголь­ник, зна­чит, 

Те­перь найдём длину от­рез­ка 

Ответ: 8.

Ответ: 8

25. За­да­ние 25 № 333158. Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEB и CED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Про­ведём через точку E пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC , CD и AD в точ­ках K , L, M и N со­от­вет­ствен­но. Эти пря­мые делят па­рал­ле­ло­грамм ABCDна че­ты­ре па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

26. За­да­ние 26 № 340603. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Пусть O — центр дан­ной окруж­но­сти, а Q — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Точка ка­са­ния M окруж­но­стей делит AC по­по­лам. AQ и AO — бис­сек­три­сы смеж­ных углов, зна­чит, угол OAQ пря­мой. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OAQпо­лу­ча­ем: AM² = MQ · MO. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 4,5.

ВАРИАНТ 25

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. Ка­ко­му из сле­ду­ю­щих чисел со­от­вет­ству­ет точка, от­ме­чен­ная на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой? 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)          2)       3)       4) 

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1)       2)       3)       4) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние 

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

 1)       2)       3)     4) 

 Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке.

А	Б	В

6. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой . Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 1?

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

8. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1       2) 2      3) 3       4) 4

9. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 196, а ос­но­ва­ние — 96. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

10. В угол C ве­ли­чи­ной 107° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 20.

12. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

 Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. Учи­тель ма­те­ма­ти­ки под­вел итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ал­геб­ре среди уча­щих­ся 9-х клас­сов. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на диа­грам­ме. Сколь­ко при­мер­но уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «4» и «5», если всего в этих клас­сах учат­ся 200 уча­щих­ся?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 120      2) 50      3) 60      4) 140

15. В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

Ве­ще­ство	Дети от 1 года до 14 лет	Муж­чи­ны	Жен­щи­ны
Жиры	40—97	70—154	60—102
Белки	36—87	65—117	58—87
Уг­ле­во­ды	170—420	257—586

 Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов 13-лет­ним маль­чи­ком можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки он по­треб­ля­ет 90 г жиров, 90 г бел­ков и 359 г уг­ле­во­дов? В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) По­треб­ле­ние жиров в норме.

2) По­треб­ле­ние бел­ков в норме.

3) По­треб­ле­ние уг­ле­во­дов в норме.

16. По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 4000 руб­лей. В сен­тяб­ре он стал сто­ить 2560 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена на мо­биль­ный те­ле­фон в пе­ри­од с ап­ре­ля по сен­тябрь?

17. Де­воч­ка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 340 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 60 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 420 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­за­лась де­воч­ка?

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние зе­мель Ураль­ско­го, При­волж­ско­го, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по ка­те­го­ри­ям. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком окру­ге доля зе­мель сель­ско­хо­зяй­ствен­но­го на­зна­че­ния наи­мень­шая.

 *про­чее — это земли по­се­ле­ний; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го на­зна­че­ния; земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объ­ек­тов.

1) Ураль­ский ФО      2) При­волж­ский ФО      3) Южный ФО     4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

19. Коля на­уда­чу вы­би­ра­ет дву­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно окан­чи­ва­ет­ся на 3.

20. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где    и   — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а   — угол между этими сто­ро­на­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, если   = 30°,   = 5,   = 6.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

22. На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  

 и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

24. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не , если угол  равен 26°, угол  равен 154°, .

25. На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

26. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния AD и BC равны со­от­вет­ствен­но 45 и 15, а сумма углов при ос­но­ва­нии AD равна 90°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A и B и ка­са­ю­щей­ся пря­мой CD, если AB = 9.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 25

1. За­да­ние 1 № 337268. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

За­пи­шем про­из­ве­де­ние в виде де­ся­тич­ных дро­бей:

Ответ: 0,5604.

Ответ: 0,5604

2. За­да­ние 2 № 317074. Ка­ко­му из сле­ду­ю­щих чисел со­от­вет­ству­ет точка, от­ме­чен­ная на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

При­ведём числа, ука­зан­ные в за­да­нии, и числа, между ко­то­ры­ми за­клю­че­на ис­ко­мая точка, к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

За­ме­тим, что  Ис­ко­мая точка лежит между чис­ла­ми 0,5 и 0,6, ближе к числу 0,6, сле­до­ва­тель­но, это число 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

При­ведём дру­гой спо­соб ре­ше­ния.

Пе­ре­ведём обык­но­вен­ные дроби в де­ся­тич­ные с точ­но­стью до вто­ро­го знака после за­пя­той и срав­ним с чис­ла­ми 0,5 и 0,6:

По­сколь­ку ис­ко­мая точка лежит между чис­ла­ми 0,5 и 0,6, ближе к числу 0,6, по­лу­ча­ем, что это число 

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 316311. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Воз­ведём каж­дое число в квад­рат и срав­ним квад­ра­ты этих чисел:

               

За­ме­тим:

зна­чит,  — наи­боль­шее из этих трёх чисел, оста­лось срав­нить  с 

В силу це­поч­ки не­ра­венств:

Наи­боль­шим яв­ля­ет­ся вы­ра­же­ние под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 338501. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Умно­жим обе части урав­не­ния на 6:

Ответ: −6,75.

Ответ: -6,75

5. За­да­ние 5 № 138. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке.

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций:

1)     урав­не­ние пря­мой c точ­кой пе­ре­се­че­ния  с осью ор­ди­нат 

2)     урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

3)     урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ы вверх.

4)     урав­не­ние пря­мой c точ­кой пе­ре­се­че­ния  с осью ор­ди­нат 

Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 4, Б — 3, В — 2.

Ответ: 432.

Ответ: 432

6. За­да­ние 6 № 137297. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой . Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 1?

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

Ре­ше­ние.

Дробь, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ко­то­рой по­ло­жи­тель­ны, боль­ше еди­ни­цы, если чис­ли­тель боль­ше зна­ме­на­те­ля. По­это­му, имеем:  Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

7. За­да­ние 7 № 338095. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим зна­че­ние 

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

8. За­да­ние 8 № 338745. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 323416. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 196, а ос­но­ва­ние — 96. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть  — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка,  — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка,  — длина ос­но­ва­ния про­ведённого к вы­со­те. Найдём длину бо­ко­вой сто­ро­ны:

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём вы­со­ту по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 672.

При­ме­ча­ние.

Пусть  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка. Можно не на­хо­дить вы­со­ту, а найти пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ответ: 672

10. За­да­ние 10 № 333091. В угол C ве­ли­чи­ной 107° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке ка­са­ния, по­это­му углы CAO и OBCравны 90°. Сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, от­ку­да:

∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 107° = 73°.

Ответ: 73.

Ответ: 73

11. За­да­ние 11 № 340840. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 20.

Ре­ше­ние.

Диа­го­на­ли квад­ра­та равны. Пло­щадь квад­ра­та можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей:

Ответ: 200.

Ответ: 200

12. За­да­ние 12 № 311495. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, по­это­му 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

13. За­да­ние 13 № 333120. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон» — верно, так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна  где — угол между сто­ро­на­ми  и  тре­уголь­ни­ка. Синус угла все­гда мень­ше еди­ни­цы, по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) «Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний» — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме его ос­но­ва­ний.

3) «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны» — верно, по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1;3

14. За­да­ние 14 № 311300. Учи­тель ма­те­ма­ти­ки под­вел итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ал­геб­ре среди уча­щих­ся 9-х клас­сов. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на диа­грам­ме. Сколь­ко при­мер­но уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «4» и «5», если всего в этих клас­сах учат­ся 200 уча­щих­ся?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 120

2) 50

3) 60

4) 140

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим доли уча­щих­ся, по­лу­чив­ших оцен­ки «4» и «5» по диа­грам­ме. Оцен­ку «5» по­лу­чи­ла при­мер­но по­ло­ви­на уча­щих­ся, что со­став­ля­ет 100 че­ло­век. Доля по­лу­чив­ших «4» со­став­ля­ет при­мер­но по­ло­ви­ну от остав­ших­ся уча­щих­ся то есть 50 че­ло­век. Таким об­ра­зом, оцен­ки «4» и «5» по­лу­чи­ло около 150 че­ло­век. Наи­бо­лее близ­кий ва­ри­ант от­ве­та — 140 че­ло­век.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

15. За­да­ние 15 № 315191. В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

Ве­ще­ство	Дети от 1 года до 14 лет	Муж­чи­ны	Жен­щи­ны
Жиры	40—97	70—154	60—102
Белки	36—87	65—117	58—87
Уг­ле­во­ды	170—420	257—586

Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов 13-лет­ним маль­чи­ком можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки он по­треб­ля­ет 90 г жиров, 90 г бел­ков и 359 г уг­ле­во­дов? В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) По­треб­ле­ние жиров в норме.

2) По­треб­ле­ние бел­ков в норме.

3) По­треб­ле­ние уг­ле­во­дов в норме.

Ре­ше­ние.

Срав­ни­вая ре­зуль­та­ты с таб­ли­цей, можно за­ме­тить , что у маль­чи­ка пре­вы­ше­но по­треб­ле­ние бел­ков, но по­треб­ле­ние уг­ле­во­дов и жиров на­хо­дит­ся в норме. Таким об­ра­зом, пра­виль­ным от­ве­тов яв­ля­ют­ся увер­жде­ния 1 и 3.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1;3|13|1; 3

16. За­да­ние 16 № 316325. По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 4000 руб­лей. В сен­тяб­ре он стал сто­ить 2560 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена на мо­биль­ный те­ле­фон в пе­ри­од с ап­ре­ля по сен­тябрь?

Ре­ше­ние.

Цену на те­ле­фон сни­зи­ли на 4000 − 2560 = 1440 руб­лей. Раз­де­лим 1440 на 4000:

Зна­чит, цену сни­зи­ли на 36%.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17. За­да­ние 17 № 316236. Де­воч­ка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 340 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 60 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 420 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­за­лась де­воч­ка?

Ре­ше­ние.

Во­сток и запад — про­ти­во­по­лож­ные на­прав­ле­ния, по­это­му де­воч­ка про­шла 420 − 340 = 80 м на во­сток. Пусть  — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, ги­по­те­ну­за ищет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Ответ: 100.

-------------

Дуб­ли­ру­ет 311822.

Ответ: 100

18. За­да­ние 18 № 206050. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние зе­мель Ураль­ско­го, При­волж­ско­го, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по ка­те­го­ри­ям. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком окру­ге доля зе­мель сель­ско­хо­зяй­ствен­но­го на­зна­че­ния наи­мень­шая.

*про­чее — это земли по­се­ле­ний; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го на­зна­че­ния; земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объ­ек­тов.

1) Ураль­ский ФО

2) При­волж­ский ФО

3) Южный ФО

4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

Ре­ше­ние.

Из диа­грамм видно, что наи­мень­шая доля зе­мель сель­ско­хо­зяй­ствен­но­го на­зна­че­ния в Даль­не­во­сточ­ном ФО. Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 132750. Коля на­уда­чу вы­би­ра­ет дву­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно окан­чи­ва­ет­ся на 3.

Ре­ше­ние.

Всего есть 90 дву­знач­ных чисел (числа от 10 до 99 вклю­чи­тель­но). Дву­знач­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 всего 9. Ве­ро­ят­ность слу­чай­но вы­брать дву­знач­ное число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 3 равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства таких дву­знач­ных чисел к об­ще­му ко­ли­че­ству дву­знач­ных чисел, то есть 

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

20. За­да­ние 20 № 311537. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где    и   — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а   — угол между этими сто­ро­на­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, если   = 30°,   = 5,   = 6.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин в фор­му­лу для на­хож­де­ния пло­ща­ди:

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

21. За­да­ние 21 № 333127. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

Ре­ше­ние.

   

от­ку­да

 или 

Ответ: .

22. За­да­ние 22 № 311616. На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

Ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим, что уче­ник де­ла­ет  де­та­лей в час. Тогда ма­стер де­ла­ет  де­та­ли в час. 
На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник по­тра­тит ч, а ма­стер тра­тит ч на из­го­тов­ле­ние 462 де­та­лей.
Со­ста­вим урав­не­ние по усло­вию за­да­чи:

.

Решим урав­не­ние:

.

Корни по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния: −28 и 3. От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что уче­ник де­ла­ет в час 3 де­та­ли.

Ответ: 3.

23. За­да­ние 23 № 340904. По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции y = 2,5x при x < 2 и гра­фик функ­ции y = x² − 6x + 13 при x ≥ 2.

Пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при m = 4 и при m= 5 .

Ответ: 4; 5.

24. За­да­ние 24 № 311716. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не , если угол  равен 26°, угол  равен 154°, .

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим точ­кой  се­ре­ди­ну сто­ро­ны . Про­длим  на свою длину за точку  до точки . Четырёхуголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм, по­то­му что  и . Зна­чит,  = 154°, по­это­му четырёхуголь­ник  — впи­сан­ный. Тогда .

Ответ: 9.

25. За­да­ние 25 № 340321. На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  через точку  По­сколь­ку  — сред­няя линия,  От­рез­ки  и  равны, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Фал­ле­са,  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна  Найдём сумму пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков:

26. За­да­ние 26 № 340970. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния AD и BC равны со­от­вет­ствен­но 45 и 15, а сумма углов при ос­но­ва­нии AD равна 90°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A и Bи ка­са­ю­щей­ся пря­мой CD, если AB = 9.

Ре­ше­ние.

Про­длим бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции до пе­ре­се­че­ния в точке P(см. рис.). Из усло­вия ясно, что ∠APD = 90°. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APD и BPC по­лу­ча­ем, что  то есть  от­ку­да BP = 4,5.

Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой CD в точке K, а O — её центр. Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ляр OM на хорду AB. Точка M — се­ре­ди­на AB . Так как OMPK — пря­мо­уголь­ник, ис­ко­мый ра­ди­ус

Ответ: 9.

ВАРИАНТ 26

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа a, b и c.

Какая из раз­но­стей a − b, a − c, c − b по­ло­жи­тель­на? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1) a – b      2) a – c     3) c – b     4) ни одна из них

3. Зна­че­ние ка­ко­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным чис­лом?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1)        2)        3)          4) 

4. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние , удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b < 0

2) k < 0, b>0

3) k > 0, b>0

4) k > 0, b<0

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

 6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: −18, −11, −4, ... . Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 21-м месте?

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  

8 Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1)       2)       3) 

4) 

9. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­цииABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­нойAB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

10. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра не­вер­ных утвер­жде­ний.

1) При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°.

2) Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его бис­сек­трис.

 Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. Сту­дент Си­до­ров вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на Ки­ев­ский вок­зал
6:35	7:59
7:05	8:23
7:28	8:30
7:34	8:57

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 35 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­ден­ту.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1) 6:35       2) 7:05     3) 7:28     4) 7:34

15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

16. По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 5000 руб­лей. В июне он стал сто­ить 3150 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена мо­биль­но­го те­ле­фо­на в пе­ри­од с ап­ре­ля по июнь?

17. Пол ком­на­ты, име­ю­щей форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 9 м, тре­бу­ет­ся по­крыть пар­ке­том из пря­мо­уголь­ных до­ще­чек со сто­ро­на­ми 10 см и 25 см. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся таких до­ще­чек?

18. В го­ро­де из учеб­ных за­ве­де­ний име­ют­ся школы, кол­ле­джи, учи­ли­ща и ин­сти­ту­ты. Дан­ные пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ко­ли­че­ства учеб­ных за­ве­де­ний раз­ных видов не­вер­но, если всего в го­ро­де 120 учеб­ных за­ве­де­ний?

     1) В го­ро­де боль­ше по­ло­ви­ны учеб­ных за­ве­де­ний — учи­ли­ща.

2) В го­ро­де школ, кол­ле­джей и учи­лищ более всех учеб­ных за­ве­де­ний.

3) В го­ро­де при­мер­но вось­мая часть всех учеб­ных за­ве­де­ний — ин­сти­ту­ты.

4) В го­ро­де более 60 школ.

19. Стре­лок 3 раза стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок пер­вые 2 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ний раз про­мах­нул­ся.

20. За 20 минут ве­ло­си­пе­дист про­ехал 7 ки­ло­мет­ров. Сколь­ко ки­ло­мет­ров он про­едет за t минут, если будет ехать с той же ско­ро­стью? За­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­ние.

21. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

22. От при­ста­ни А к при­ста­ни В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 280 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 4 часа после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

24. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 30, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

25. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC (АВ = ВС) точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­бед­рен­ный.

26. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 4. Окруж­ность ра­ди­у­са 2,5 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 26

1. За­да­ние 1 № 337318. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: −3786,7.

Ответ: -3786,7

2. За­да­ние 2 № 322422. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа a, b и c.

Какая из раз­но­стей a − b, a − c, c − b по­ло­жи­тель­на?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) a − b

2) a − c

3) c − b

4) ни одна из них

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что a < b < c. Раз­ность по­ло­жи­тель­ная толь­ко в том слу­чае, когда умень­ша­е­мое боль­ше вы­чи­та­е­мо­го. Это верно толь­ко для раз­но­сти c − b.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 318729. Зна­че­ние ка­ко­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным чис­лом?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ния:

Числа    яв­ля­ют­ся ир­ра­ци­о­наль­ны­ми, по­это­му пер­вое, вто­рое и четвёртое вы­ра­же­ния ир­ра­ци­о­наль­ны. Число 6 можно пред­ста­вить в виде дроби    по­это­му оно ра­ци­о­наль­но.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

4. За­да­ние 4 № 314518. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние , удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

Ис­ко­мое наи­мень­шее ре­ше­ние равно −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

5. За­да­ние 5 № 339104. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b < 0

2) k < 0, b>0

3) k > 0, b>0

4) k > 0, b<0

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0. Сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­тель­но, если ниже оси абс­цисс — от­ри­ца­тель­но. Таким об­ра­зом, гра­фи­кам со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты: А — 3, Б — 4, В —1.

Ответ: 341.

Ответ: 341

6. За­да­ние 6 № 316317. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: −18, −11, −4, ... . Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 21-м месте?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 122.

Ответ: 122

7. За­да­ние 7 № 311383. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. За­да­ние 8 № 314610. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1)  — ре­ше­ний нет.

2) 

3)  — верно для всех 

4) 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 89. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­цииABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­нойAB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние.

Углы А и В — од­но­сто­рон­ние, по­это­му угол В равен 180° − 45° − 30° = 105°.

Ответ: 105.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 315011.

Ответ: 105

10. За­да­ние 10 № 311398. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол ACB — впи­сан­ный, равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу, то естьAОВ = 52°. Угол ВОD — раз­вер­ну­тый, по­это­му угол AOD равен 180° − 52° = 128°.

Ответ: 128.

Ответ: 128

11. За­да­ние 11 № 169855. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

12. За­да­ние 12 № 340922. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ответ: 30

13. За­да­ние 13 № 316349. Ука­жи­те но­ме­ра не­вер­ных утвер­жде­ний.

1) При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°.

2) Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его бис­сек­трис.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°» — не­вер­но, на­крест ле­жа­щие углы равны.

2) «Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны» — верно, по свой­ству ромба.

3) «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его бис­сек­трис» — не­вер­но,вер­ным будет утвер­жде­ние: «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его­се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров».

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1;3

14. За­да­ние 14 № 314136. Сту­дент Си­до­ров вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на Ки­ев­ский вок­зал
6:35	7:59
7:05	8:23
7:28	8:30
7:34	8:57

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 35 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­ден­ту.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 6:35

2) 7:05

3) 7:28

4) 7:34

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 35 минут, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 08:55. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да от­прав­ля­ю­щи­е­ся в 6:35, 7:05 и 7:28. Из них самый позд­ний, от­прав­ля­ет­ся в 7:28.

Ответ: 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 68. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

Ре­ше­ние.

Цена де­ле­ния шкалы дав­ле­ния:  мм рт. ст. Наи­мень­шее зна­че­ние дав­ле­ния во втор­ник равно  мм рт. ст. плюс по­ло­ви­на цены де­ле­ния шкалы дав­ле­ния:

Ответ: 751.

Ответ: 751

16. За­да­ние 16 № 341713. По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 5000 руб­лей. В июне он стал сто­ить 3150 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена мо­биль­но­го те­ле­фо­на в пе­ри­од с ап­ре­ля по июнь?

Ре­ше­ние.

Цену на те­ле­фон сни­зи­ли на 5000 − 3150 = 1850 руб­лей. Раз­де­лим 1850 на 5000:

Зна­чит, цену сни­зи­ли на 37%.

Ответ: 37.

Ответ: 37

17. За­да­ние 17 № 325137. Пол ком­на­ты, име­ю­щей форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 9 м, тре­бу­ет­ся по­крыть пар­ке­том из пря­мо­уголь­ных до­ще­чек со сто­ро­на­ми 10 см и 25 см. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся таких до­ще­чек?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь всей ком­на­ты равна 4 · 9 = 36 м². Пло­щадь одной до­щеч­ки 0,1 · 0,25 = 0,025 м². По­лу­ча­ем, что по­тре­бу­ет­ся 36 : 0,025 = 1440 до­ще­чек.

Ответ: 1440.

Ответ: 1440

18. За­да­ние 18 № 325310. В го­ро­де из учеб­ных за­ве­де­ний име­ют­ся школы, кол­ле­джи, учи­ли­ща и ин­сти­ту­ты. Дан­ные пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ко­ли­че­ства учеб­ных за­ве­де­ний раз­ных видов не­вер­но, если всего в го­ро­де 120 учеб­ных за­ве­де­ний?

1) В го­ро­де боль­ше по­ло­ви­ны учеб­ных за­ве­де­ний — учи­ли­ща.

2) В го­ро­де школ, кол­ле­джей и учи­лищ более всех учеб­ных за­ве­де­ний.

3) В го­ро­де при­мер­но вось­мая часть всех учеб­ных за­ве­де­ний — ин­сти­ту­ты.

4) В го­ро­де более 60 школ.

Ре­ше­ние.

Про­ана­ли­зи­ру­ем каж­дое утвер­жде­ние.

1) Из диа­грам­мы видно, что в го­ро­де при­мер­но чет­верть учеб­ных за­ве­де­ний — учи­ли­ща. Пер­вое утвер­жде­ние не­вер­но.

2) Из диа­грам­мы видно, что в го­ро­де школы, кол­ле­джи и учи­ли­ща со­став­ля­ют более  учеб­ных за­ве­де­ний. Вто­рое утвер­жде­ние верно.

3) Из диа­грам­мы видно, что при­мер­но вось­мая часть всех учеб­ных за­ве­де­ний в го­ро­де — ин­сти­ту­ты. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что школы со­став­ля­ют более по­ло­ви­ны учеб­ных за­ве­де­ний го­ро­да, по­сколь­ку в го­ро­де 120 учеб­ных за­ве­де­ний, по­лу­ча­ем, что школ более 60. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

19. За­да­ние 19 № 325541. Стре­лок 3 раза стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок пер­вые 2 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ний раз про­мах­нул­ся.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что стре­лок про­махнётся равна 1 − 0,8 = 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что стре­лок пер­вые два раза попал по ми­ше­ням равна 0,8² = 0,64. От­ку­да, ве­ро­ят­ность со­бы­тия, при ко­то­ром стре­лок сна­ча­ла два раза по­па­да­ет в ми­ше­ни, а тре­тий раз про­ма­хи­ва­ет­ся равна 0,64 · 0,2 = 0,128.

Ответ: 0,128.

Ответ: 0,128

20. За­да­ние 20 № 318356. За 20 минут ве­ло­си­пе­дист про­ехал 7 ки­ло­мет­ров. Сколь­ко ки­ло­мет­ров он про­едет за t минут, если будет ехать с той же ско­ро­стью? За­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­ние.

Ре­ше­ние.

Ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 7 : 20 = 0,35 км/мин. Сле­до­ва­тель­но, за t минут он про­едет 0,35t ки­ло­мет­ров.

Ответ: 0,35t.

Ответ: 0,35t

21. За­да­ние 21 № 314591. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Умно­жим на 12, при­ведём по­доб­ные сла­га­е­мые и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 340992. От при­ста­ни А к при­ста­ни В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 280 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 4 часа после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но.

Ре­ше­ние.

Пусть  км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда  км/ч — ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми 280 км, вто­рой теп­ло­ход от­пра­вил­ся в путь через 4 часа после вы­хо­да пер­во­го, причём в ко­неч­ный пункт оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −28 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

23. За­да­ние 23 № 338395. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции

- ровно две общие точки при  и ;

- три общие точки при 

- ровно одну общую точку при  и .

Ответ: m<−6,25; m>12,25.

24. За­да­ние 24 № 341058. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 30, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, суммы её про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Таким об­ра­зом, сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна 30, а сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть 15.

Ответ: 15.

25. За­да­ние 25 № 315008. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC (АВ = ВС) точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­бед­рен­ный.

Ре­ше­ние.

Точки  и  — се­ре­ди­ны рав­ных сто­рон  и  со­от­ветс­вен­но, по­это­му:

Точка  — се­ре­ди­на  сле­до­ва­тель­но  Углы  и  равны, по­сколь­ку тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и :  ,  сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, равны сто­ро­ны  и , по­это­му тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный.

то есть тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний.

26. За­да­ние 26 № 314959. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 4. Окруж­ность ра­ди­у­са 2,5 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

Ответ: 

ВАРИАНТ 1

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 1

ОТВЕТЫ  ВАРИАНТ 1

1. Ответ: -30

2. Ответ: 1

3. Ответ: 1

4. Ответ: -13

5. Ответ: 132

6. Ответ: 20

7. Ответ: -0,5

8. Ответ: 1

9. Ответ: 36

10. Ответ: 6084

11. Ответ: 100

12. Ответ: 2

13. Ответ: 2

14. Ответ: 3

15. Ответ: 0,6

16. Ответ: 22,8

17. Ответ: 5,5

18. Ответ: 2

19. Ответ: 10

20. Ответ: 7,5

21. Ре­ше­ние.

Из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы по­лу­ча­ем  Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид

Пусть t = x². Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние t² − 10t + 9 = 0, ре­ше­ни­я­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся t = 1 и t = 9.

Урав­не­ние x² = 1 имеет корни x = −1 и x = 1.

Урав­не­ние x² = 9 имеет корни x = −3 и x = 3.

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы: (−1; −3), (1; 3), (−3; −1) и (3; 1).

Ответ: (−1; −3), (1; 3), (−3; −1); (3; 1).

22. Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве  грамм, тогда он со­дер­жит 0,2 грамм чи­стой кис­ло­ты, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве  грамм, тогда он со­дер­жит 0,5 грамм чи­стой кис­ло­ты. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой  +  грамм, по усло­вию за­да­чи, он со­дер­жит 0,3( + ) чи­стой кис­ло­ты. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

   Вы­ра­зим  через :  Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром были взяты рас­тво­ры: 

Ответ: 

23. Ре­ше­ние.

Урав­не­ние пря­мой . Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты пер­вой пары точек, по­лу­ча­ем си­сте­му:

Зна­чит, урав­не­ние пер­вой пря­мой .

Ана­ло­гич­но най­дем урав­не­ние вто­рой пря­мой:

Урав­не­ние вто­рой пря­мой .
Чтобы найти ко­ор­ди­на­ты общей точки, решим си­сте­му:

Ответ: .

24. Ре­ше­ние.

Ме­ди­а­на в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му:

Ответ: 5.

25. Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ках    и    имеем    как про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма,    как пря­мые углы, зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

26. Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

Ответ: 

ОТВЕТЫ  ВАРИАНТ 2

1. Ответ: 3,75

2. Ответ: 2

3. Ответ: 4

4. Ответ: -2;6

5. Ответ: 3

6. Ответ: -75

7. Ответ: -2

8.Ответ: 1

9. Ответ: 115

10. Ответ: 441

11. Ответ: 2160.

12. Ответ: 14,5

13. Ответ: 3

14. Ответ: 2

15. Ответ: 16

16. Ответ: 34000

17. Ответ: 12

18. Ответ: 1;3

19. Ответ: 0,9

20. Ре­ше­ние.

Ско­рость пе­ше­хо­да равна  мет­ров в ми­ну­ту. По­это­му 120 мет­ров он пройдёт за минут.

Ответ: 600/a|600/а|600:а|600:a

21. Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

Ответ: 

22. Ре­ше­ние.

Пусть  км/ч — ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, тогда  км/ч — ско­рость лодки про­тив те­че­ния реки, а  км/ч — ско­рость лодки по те­че­нию. Лодка за­тра­ти­ла на путь по те­че­нию реки на 2 часа мень­ше, чем по те­че­нию, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −18 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость мо­тор­ной лодки в сто­я­чей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

23. Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (2; -3).

24. Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим точ­кой  се­ре­ди­ну сто­ро­ны . Про­длим  на свою длину за точку  до точки . Четырёхуголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм, по­то­му что  и . Зна­чит,  = 154°, по­это­му четырёхуголь­ник  — впи­сан­ный. Тогда .

Ответ: 9.

25. Ре­ше­ние.

По­сколь­ку диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AB₁A₁B пе­ре­се­ка­ют­ся, он яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а так как , около него можно опи­сать окруж­ность. Тогда углы AA₁B₁ и ABB₁равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AB₁.

26. Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку CBP.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен r, тогда По­сколь­ку тан­генс угла BAC равен  по­лу­ча­ем, что,  Зна­чит,  от­ку­да r = 204.

ВАРИАНТ 1

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки A, B, C, D. Одна из них со­от­вет­ству­ет числу  Какая это точка? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) точка A         2) точка B        3) точка C      4) точка D

3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

1)         2) 3       3)         4) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние −2(5 − 3x) = 7x + 3.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

4) k > 0, b > 0

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: −15, −8, −1, ... . Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 6-м месте?

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  .

8. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы не­равенств

9. Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 39.

11. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

12. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

13.Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

     1) Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме его внут­рен­них углов.

2) Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

3) Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти па­рал­лель­на ра­ди­у­су, про­ведённому в точку ка­са­ния.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по от­жи­ма­ни­ям от пола для 10 клас­са.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Ко­ли­че­ство раз	32	27	22	20	15	10

 Какую оцен­ку по­лу­чит де­воч­ка, сде­лав­шая 13 от­жи­ма­ний? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) «5»        2) «4»       3) «3»      4) «Не­удо­вле­тво­ри­тель­но»

15. При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние за 15 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

16. Мо­то­цик­лист про­ехал 19 ки­ло­мет­ров за 15 минут. Сколь­ко ки­ло­мет­ров он про­едет за 18 минут, если будет ехать с той же ско­ро­стью?

17. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 4,4 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 3,3 м. Най­ди­те длину троса в мет­рах.

18. Рок-ма­га­зин продаёт знач­ки с сим­во­ли­кой рок-групп. В про­да­же име­ют­ся знач­ки пяти цве­тов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Дан­ные о про­дан­ных знач­ках пред­став­ле­ны на столб­ча­той диа­грам­ме.

 Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, значков, ка­ко­го цвета было про­да­но боль­ше всего. Сколь­ко при­мер­но про­цен­тов от об­ще­го числа знач­ков со­став­ля­ют знач­ки этого цвета?

1) 20       2) 30      3) 40      4) 50

19. За­пи­сан рост (в сан­ти­мет­рах) пяти уча­щих­ся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этого на­бо­ра чисел от его ме­ди­а­ны?

20. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где    и   — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а   — угол между этими сто­ро­на­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, если   = 30°,   = 5,   = 6.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

22. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

23. Пер­вая пря­мая про­хо­дит через точки  и . Вто­рая пря­мая про­хо­дит через точки  и . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты общей точки этих двух пря­мых.

24. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны ка­те­ты: AC = 6 , BC = 8 . Най­ди­те ме­ди­а­ну CK этого тре­уголь­ни­ка.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме  про­ве­де­ны вы­со­ты  и . До­ка­жи­те, что  по­до­бен .

26. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 6 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 1

1. За­да­ние 1 № 314144. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −30.

Ответ: -30

2. За­да­ние 2 № 322293. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки A, B, C, D. Одна из них со­от­вет­ству­ет числу  Какая это точка?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) точка A

2) точка B

3) точка C

4) точка D

Ре­ше­ние.

Воз­ведём в квад­рат числа  7, 8, 9:

Число 53 лежит между чис­ла­ми 49 и 64 и на­хо­дит­ся ближе к числу 49, по­это­му  со­от­вет­ству­ет точке A.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

3. За­да­ние 3 № 137273. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

1) 

2) 3

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 311907. Ре­ши­те урав­не­ние −2(5 − 3x) = 7x + 3.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −13.

Ответ: -13

5. За­да­ние 5 № 341040. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

4) k > 0, b > 0

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0, сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­тель­но, если ниже оси абс­цисс — от­ри­ца­тель­но.

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ентам со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие гра­фи­ки: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

6. За­да­ние 6 № 316280. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: −15, −8, −1, ... . Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 6-м месте?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 20.

Ответ: 20

7. За­да­ние 7 № 311473. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  .

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния при :

Ответ: −0,5.

Ответ: -0,5

8. За­да­ние 8 № 341322. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся от­ре­зок, изоб­ражённый под но­ме­ром 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 132782. Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пусть x — мень­ший угол че­ты­рех­уголь­ни­ка, тогда дру­гие его углы равны 2х, 3х и 4х. Так как сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 360° имеем:

Таким об­ра­зом, мень­ший угол четырёхуголь­ни­ка равен 36°.

Ответ: 36.

Ответ: 36

10. За­да­ние 10 № 341496. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 39.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на квад­ра­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной в него окруж­но­сти, зна­чит пло­щадь дан­но­го квад­ра­та равна:

Ответ: 6084.

Ответ: 6084

11. За­да­ние 11 № 169862. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му она равна 100.

Ответ: 100.

Ответ: 100

12. За­да­ние 12 № 311683. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на от­ре­зок OA и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OBH:

Ответ: 2.

Ответ: 2

13. За­да­ние 13 № 341149. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме его внут­рен­них углов.

2) Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

3) Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти па­рал­лель­на ра­ди­у­су, про­ведённому в точку ка­са­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме его внут­рен­них углов.» — не­вер­но, внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме двух внут­рен­них углов, не смеж­ных с ним.

2) «Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.» — верно, диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

3) «Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти па­рал­лель­на ра­ди­у­су, про­ведённому в точку ка­са­ния.» — не­вер­но, вер­ное утвер­жде­ние: «Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, про­ведённому в точку ка­са­ния».

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. За­да­ние 14 № 316602. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по от­жи­ма­ни­ям от пола для 10 клас­са.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Ко­ли­че­ство раз	32	27	22	20	15	10

Какую оцен­ку по­лу­чит де­воч­ка, сде­лав­шая 13 от­жи­ма­ний?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) «5»

2) «4»

3) «3»

4) «Не­удо­вле­тво­ри­тель­но»

Ре­ше­ние.

Де­воч­ка сде­лала не так много от­жи­ма­ний, чтобы по­лу­чить «4», но до­ста­точ­но много, чтобы по­лу­чить «3».

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 311401. При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние за 15 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

Ре­ше­ние.

По гра­фи­ку видно, что за 15 часов на­пря­же­ние упа­дет на 1,6 − 1 = 0,6 В.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

16. За­да­ние 16 № 317931.

Мо­то­цик­лист про­ехал 19 ки­ло­мет­ров за 15 минут. Сколь­ко ки­ло­мет­ров он про­едет за 18 минут, если будет ехать с той же ско­ро­стью?

Ре­ше­ние.

Ско­рость мо­то­цик­ли­ста со­став­ля­ет:  Зна­чит, за 18 минут он про­едет 

Ответ: 22,8.

Ответ: 22,8

17. За­да­ние 17 № 333150. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 4,4 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 3,3 м. Най­ди­те длину троса в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Дан­ная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

Ответ: 5,5.

Ответ: 5,5

18. За­да­ние 18 № 316353. Рок-ма­га­зин продаёт знач­ки с сим­во­ли­кой рок-групп. В про­да­же име­ют­ся знач­ки пяти цве­тов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Дан­ные о про­дан­ных знач­ках пред­став­ле­ны на столб­ча­той диа­грам­ме.

Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, знач­ков ка­ко­го цвета было про­да­но боль­ше всего. Сколь­ко при­мер­но про­цен­тов от об­ще­го числа знач­ков со­став­ля­ют знач­ки этого цвета?

1) 20

2) 30

3) 40

4) 50

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что было про­да­но боль­ше всего знач­ков чёрного цвета в ко­ли­че­стве 210 штук. Опре­де­лим сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го числа со­став­ля­ют чёрные знач­ки:

Из пред­став­лен­ных ва­ри­ан­тов от­ве­тов ближе всего к дан­но­му ре­ше­нию под­хо­дит ответ 2 .Зна­чит чёрных знач­ков при­мер­но 30% от об­ще­го числа.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 315196. За­пи­сан рост (в сан­ти­мет­рах) пяти уча­щих­ся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этого на­бо­ра чисел от его ме­ди­а­ны?

Ре­ше­ние.

Ме­ди­а­ной ряда, со­сто­я­ще­го из не­чет­но­го ко­ли­че­ства чисел, на­зы­ва­ет­ся число дан­но­го ряда, ко­то­рое ока­жет­ся по­се­ре­ди­не, если этот ряд упо­ря­до­чить. Ме­ди­а­ной ряда, со­сто­я­ще­го из чет­но­го ко­ли­че­ства чисел, на­зы­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское двух сто­я­щих по­се­ре­ди­не чисел этого ряда.

Упо­ря­до­чим дан­ный ряд: 130, 132, 134, 158, 166, сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­на равна 134. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское же будет равно

Раз­ни­ца между ме­ди­а­ной и сред­ним ариф­ме­ти­че­ским со­став­ля­ет 144 − 134 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

20. За­да­ние 20 № 311537. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где    и   — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а   — угол между этими сто­ро­на­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, если   = 30°,   = 5,   = 6.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин в фор­му­лу для на­хож­де­ния пло­ща­ди:

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

21. За­да­ние 21 № 341366. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы по­лу­ча­ем  Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид

Пусть t = x². Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние t² − 10t + 9 = 0, ре­ше­ни­я­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся t = 1 и t = 9.

Урав­не­ние x² = 1 имеет корни x = −1 и x = 1.

Урав­не­ние x² = 9 имеет корни x = −3 и x = 3.

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы: (−1; −3), (1; 3), (−3; −1) и (3; 1).

Ответ: (−1; −3), (1; 3), (−3; −1); (3; 1).

22. За­да­ние 22 № 314431. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве  грамм, тогда он со­дер­жит 0,2 грамм чи­стой кис­ло­ты, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве  грамм, тогда он со­дер­жит 0,5 грамм чи­стой кис­ло­ты. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой  +  грамм, по усло­вию за­да­чи, он со­дер­жит 0,3( + ) чи­стой кис­ло­ты. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

Вы­ра­зим  через :  Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром были взяты рас­тво­ры: 

Ответ: 

23. За­да­ние 23 № 311613. Пер­вая пря­мая про­хо­дит через точки  и . Вто­рая пря­мая про­хо­дит через точки  и . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты общей точки этих двух пря­мых.

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние пря­мой . Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты пер­вой пары точек, по­лу­ча­ем си­сте­му:

Зна­чит, урав­не­ние пер­вой пря­мой .
Ана­ло­гич­но най­дем урав­не­ние вто­рой пря­мой:

Урав­не­ние вто­рой пря­мой .
Чтобы найти ко­ор­ди­на­ты общей точки, решим си­сте­му:

Ответ: .

24. За­да­ние 24 № 340601. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны ка­те­ты: AC = 6 , BC = 8 . Най­ди­те ме­ди­а­ну CK этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Ме­ди­а­на в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му:

Ответ: 5.

25. За­да­ние 25 № 311573. В па­рал­ле­ло­грам­ме  про­ве­де­ны вы­со­ты  и . До­ка­жи­те, что  по­до­бен .

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ках    и    имеем    как про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма,    как пря­мые углы, зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

26. За­да­ние 26 № 314972. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 6 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

Ответ: 

ВАРИАНТ 2

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. Из­вест­но, что  и  — по­ло­жи­тель­ные числа и  Срав­ни­те  и  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)        3)        4) срав­нить не­воз­мож­но

3. Рас­сто­я­ние от Неп­ту­на — одной из пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы — до Солн­ца равно 4450 млн. км. Как эта ве­ли­чи­на за­пи­сы­ва­ет­ся в стан­дарт­ном виде? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 4,450·10⁶ км       2) 4,450·10⁷ км       3) 4,450·10⁸ км      4) 4,450·10⁹ км

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Гра­фик какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на ри­сун­ке?

1)

2)

3)

4)

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна −4,9,a₁ = −6,4. Най­ди­те a₁₅.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при  

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (−4; +∞)      2) (−12; +∞)      3) (−∞; −4)     4) (−∞; −12)

9. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCDоб­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 35° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

10. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина мень­шей дуги AB равна 99. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

11. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей.

2) Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

3) Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

14. Учёный Ко­ма­ров вы­ез­жа­ет из Моск­вы на кон­фе­рен­цию в Санкт-Пе­тер­бург­ский уни­вер­си­тет. Ра­бо­та кон­фе­рен­ции на­чи­на­ет­ся в 8:30. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние из Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
032АВ	22:50	05:48
026А	23:00	06:30
002А	23:55	07:55
004А	23:59	08:00

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет пол­то­ра часа. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят учёному Ко­ма­ро­ву. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 032АВ      2) 026А      3) 002А      4) 004А

15. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

16. В го­ро­де 210 000 жи­те­лей, при­чем 16% – это дети до 14 лет. Сколь­ко при­мер­но че­ло­век со­став­ля­ет эта ка­те­го­рия жи­те­лей? Ответ округ­ли­те до тысяч.

17. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 17 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 4 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 15 м.

18. Завуч школы подвёл итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ма­те­ма­ти­ке в 9-х клас­сах. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какие из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ре­зуль­та­тов кон­троль­ной ра­бо­ты верны, если всего в школе 120 де­вя­ти­класс­ни­ков? В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

     1) Более по­ло­ви­ны уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «3».

2) Около по­ло­ви­ны уча­щих­ся от­сут­ство­ва­ли на кон­троль­ной ра­бо­те или по­лу­чи­ли от­мет­ку «2».

3) От­мет­ку «4» или «5» по­лу­чи­ла при­мер­но ше­стая часть уча­щих­ся.

4) От­мет­ку «3», «4» или «5» по­лу­чи­ли более 100 уча­щих­ся.

19. В каж­дой де­ся­той банке кофе со­глас­но усло­ви­ям акции есть приз. Призы рас­пре­де­ле­ны по бан­кам слу­чай­но. Варя по­ку­па­ет банку кофе в на­деж­де вы­иг­рать приз. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Варя не най­дет приз в своей банке.

20. За 5 минут пе­ше­ход прошёл a мет­ров. За сколь­ко минут он пройдёт 120 мет­ров, если будет идти с той же ско­ро­стью? За­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­ние.

21. Со­кра­ти­те дробь   

22. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 77 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше, чем на путь про­тив те­че­ния. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

23. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

24. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не , если угол  равен 26°, угол  равен 154°, .

25. Вы­со­ты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

26. Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 96, тан­генс угла BAC равен  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 2

1. За­да­ние 1 № 337415. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

Умно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 100:

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

2. За­да­ние 2 № 337381. Из­вест­но, что  и  — по­ло­жи­тель­ные числа и  Срав­ни­те  и 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) срав­нить не­воз­мож­но

Ре­ше­ние.

Числа  и  по­ло­жи­тель­ные,  по­это­му 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 2.

Ответ: 2

3. За­да­ние 3 № 317718. Рас­сто­я­ние от Неп­ту­на — одной из пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы — до Солн­ца равно 4450 млн. км. Как эта ве­ли­чи­на за­пи­сы­ва­ет­ся в стан­дарт­ном виде?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 4,450·10⁶ км

2) 4,450·10⁷ км

3) 4,450·10⁸ км

4) 4,450·10⁹ км

Ре­ше­ние.

Число, за­пи­сан­ное в стан­дарт­ном виде, имеет вид:  где   Пре­об­ра­зу­ем число к стан­дарт­но­му виду:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

4. За­да­ние 4 № 314546. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­несём всё в урав­не­нии в одну сто­ро­ну:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна 4, а их про­из­ве­де­ние равно −12. Тем самым, это числа −2 и 6.

Ответ: −2; 6.

Ответ: -2;6

5. За­да­ние 5 № 193087. Гра­фик какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на ри­сун­ке?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Ветви изоб­ражённой на ри­сун­ке па­ра­бо­лы на­прав­лен­ны вверх, а абс­цис­са вер­ши­ны от­ри­ца­тель­на. Сле­до­ва­тель­но, дан­но­му гра­фи­ку могут со­от­вет­сво­вать функ­ции  или  Вы­де­лим пол­ный квад­рат в обоих вы­ра­же­ни­ях:

Гра­фи­ку со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

6. За­да­ние 6 № 341195. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна −4,9,a₁ = −6,4. Най­ди­те a₁₅.

Ре­ше­ние.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  можно найти по фор­му­ле Тре­бу­ет­ся найти 

Ответ: −75.

Ответ: -75

7. За­да­ние 7 № 319072. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при  

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Зна­че­ние вы­ра­же­ния при  равно 

Ответ: −2.

Ответ: -2

8. За­да­ние 8 № 338481. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (−4; +∞)

2) (−12; +∞)

3) (−∞; −4)

4) (−∞; −12)

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 315068. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCDоб­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 35° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Сумма смеж­ных углов в па­рал­ле­ло­грам­ме равна 180°, тогда ис­ко­мый угол равен: 180° − 35° − 30°=115°.

Ответ: 115.

Ответ: 115

10. За­да­ние 10 № 339904. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина мень­шей дуги AB равна 99. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Ре­ше­ние.

Пусть длина боль­шей дуги  равна  Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место от­но­ше­ние:

Ответ: 441.

Ответ: 441

11. За­да­ние 11 № 323396. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен сумме длин его сто­рон, по­это­му длина ос­но­ва­ния равна 216 − 78 − 78 = 60. Вы­со­та  про­ведённая к ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, по­это­му (см. рис.) имеем:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 2160.

При­ме­ча­ние.

Пусть  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка,  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Можно не на­хо­дить вы­со­ту, а найти пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ответ: 2160

12. За­да­ние 12 № 341383. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух тре­уголь­ни­ков:

Ответ: 14,5

13. За­да­ние 13 № 340894. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей.

2) Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

3) Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей.» — не­вер­но, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей на синус угла между ними.

2) «Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.» — не­вер­но, Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3) «Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.» — верно, бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

Ответ: 3.

Ответ: 3

14. За­да­ние 14 № 311432. Учёный Ко­ма­ров вы­ез­жа­ет из Моск­вы на кон­фе­рен­цию в Санкт-Пе­тер­бург­ский уни­вер­си­тет. Ра­бо­та кон­фе­рен­ции на­чи­на­ет­ся в 8:30. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние из Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
032АВ	22:50	05:48
026А	23:00	06:30
002А	23:55	07:55
004А	23:59	08:00

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет пол­то­ра часа. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят учёному Ко­ма­ро­ву.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 032АВ

2) 026А

3) 002А

4) 004А

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет пол­то­ра часа, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 07:00. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да под но­ме­ра­ми: 032АВ и 026А. Из них позже от­прав­ля­ет­ся поезд под но­ме­ром 026А.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 311794. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­ста­ви­ла 16°С.

Ответ: 16.

Ответ: 16

16. За­да­ние 16 № 333017. В го­ро­де 210 000 жи­те­лей, при­чем 16% – это дети до 14 лет. Сколь­ко при­мер­но че­ло­век со­став­ля­ет эта ка­те­го­рия жи­те­лей? Ответ округ­ли­те до тысяч.

Ре­ше­ние.

Дан­ная ка­те­го­рия жи­те­лей со­став­ля­ет 210 000 · 16/100 = 33 600 ≈ 34000 че­ло­век.

Ответ: 34000

17. За­да­ние 17 № 315106. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 17 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 4 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 15 м.

Ре­ше­ние.

Про­ведём от­ре­зок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной пря­мой, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Обо­зна­чим ис­ко­мую длину за  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда 

Ответ: 12.

Ответ: 12

18. За­да­ние 18 № 340595. Завуч школы подвёл итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ма­те­ма­ти­ке в 9-х клас­сах. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какие из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ре­зуль­та­тов кон­троль­ной ра­бо­ты верны, если всего в школе 120 де­вя­ти­класс­ни­ков? В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

1) Более по­ло­ви­ны уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «3».

2) Около по­ло­ви­ны уча­щих­ся от­сут­ство­ва­ли на кон­троль­ной ра­бо­те или по­лу­чи­ли от­мет­ку «2».

3) От­мет­ку «4» или «5» по­лу­чи­ла при­мер­но ше­стая часть уча­щих­ся.

4) От­мет­ку «3», «4» или «5» по­лу­чи­ли более 100 уча­щих­ся.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим каж­дый ва­ри­ант от­ве­та.

1) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий от­мет­ке «3», за­ни­ма­ет более по­ло­ви­ны круга, сле­до­ва­тель­но, более по­ло­ви­ны уча­щих­ся по­лу­чи­ло от­мет­ку «3».

2) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий от­мет­ке «2» или от­сут­ствию уче­ни­ка на кон­троль­ной за­ни­ма­ет чуть боль­ше чет­вер­ти круга, сле­до­ва­тель­но, на кон­троль­ной по­лу­чи­ли от­мет­ку «2» или от­сут­ство­ва­ли чуть боль­ше чет­вер­ти уча­щих­ся.

3) Сек­тор в одну ше­стую диа­грам­мы от­се­ка­ет­ся углом в 360°/6 = 60°. Угол, от­се­ка­ю­щий сек­то­ры, со­от­вет­ству­ю­щие от­мет­кам «4» или «5» равен при­мер­но 60°, сле­до­ва­тель­но, от­мет­ку «4» или «5» по­лу­чи­ла при­мер­но ше­стая часть уча­щих­ся.

4) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий от­мет­кам «3», «4» и «5», за­ни­ма­ет чуть мень­ше трёх чет­вер­тей круга. По­сколь­ку всего в школе 120 де­вя­ти­класс­ни­ков, от­мет­ки «3», «4» или «5» по­лу­чи­ли суть мень­ше  де­вя­ти­класс­ни­ков.

Ответ: 1;3.

Ответ: 1;3

19. За­да­ние 19 № 132736. В каж­дой де­ся­той банке кофе со­глас­но усло­ви­ям акции есть приз. Призы рас­пре­де­ле­ны по бан­кам слу­чай­но. Варя по­ку­па­ет банку кофе в на­деж­де вы­иг­рать приз. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Варя не най­дет приз в своей банке.

Ре­ше­ние.

Так как в каж­дой де­ся­той банке кофе есть приз, то ве­ро­ят­ность вы­иг­рать приз равна  По­это­му, ве­ро­ят­ность не вы­иг­рать приз равна 

Ответ:0,9.

Ответ: 0,9

20. За­да­ние 20 № 318357. За 5 минут пе­ше­ход прошёл a мет­ров. За сколь­ко минут он пройдёт 120 мет­ров, если будет идти с той же ско­ро­стью? За­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­ние.

Ре­ше­ние.

Ско­рость пе­ше­хо­да равна  мет­ров в ми­ну­ту. По­это­му 120 мет­ров он пройдёт за минут.

Ответ: 600/a

Ответ: 600/a|600/а|600:а|600:a

21. За­да­ние 21 № 314341. Со­кра­ти­те дробь

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 338893. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 77 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше, чем на путь про­тив те­че­ния. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть  км/ч — ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, тогда  км/ч — ско­рость лодки про­тив те­че­ния реки, а  км/ч — ско­рость лодки по те­че­нию. Лодка за­тра­ти­ла на путь по те­че­нию реки на 2 часа мень­ше, чем по те­че­нию, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −18 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость мо­тор­ной лодки в сто­я­чей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

23. За­да­ние 23 № 314728. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (2; -3).

24. За­да­ние 24 № 311716. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не , если угол  равен 26°, угол  равен 154°, .

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим точ­кой  се­ре­ди­ну сто­ро­ны . Про­длим  на свою длину за точку  до точки . Четырёхуголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм, по­то­му что  и . Зна­чит,  = 154°, по­это­му четырёхуголь­ник  — впи­сан­ный. Тогда .

Ответ: 9.

25. За­да­ние 25 № 341688. Вы­со­ты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AB₁A₁B пе­ре­се­ка­ют­ся, он яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а так как , около него можно опи­сать окруж­ность. Тогда углы AA₁B₁ и ABB₁равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AB₁.

26. За­да­ние 26 № 341397. Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 96, тан­генс угла BAC равен  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку CBP.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен r, тогда По­сколь­ку тан­генс угла BAC равен  по­лу­ча­ем, что,  Зна­чит,  от­ку­да r = 204.

ВАРИАНТ 3

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. Ка­ко­му из дан­ных про­ме­жут­ков при­над­ле­жит число   В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) [0,5;0,6]       2) [0,6;0,7]       3) [0,7;0,8]      4) [0,8;0,9]

3. Срав­ни­те числа  и 16. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)         2)         3) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  . Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки вида  Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b. 

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

Ответ:

А	Б	В

6. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 35 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 1 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в три­на­дца­том ряду?

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  

8. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства ? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCDоб­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 25° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

10. Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126 (см. ри­су­нок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

11. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 12, дру­гая равна 16, а синус угла между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AC.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) В любой четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 м для уча­щих­ся 9 клас­са. Оце­ни­те ре­зуль­тат де­воч­ки, про­бе­жав­шей эту ди­стан­цию за 5,63 с.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, с	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

1) от­мет­ка «5»        2) от­мет­ка «4»      3) от­мет­ка «3»      4) нор­ма­тив не вы­пол­нен

15. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

16. Сред­ний вес маль­чи­ков того же воз­рас­та, что и Вова, равен 32 кг. Вес Вовы со­став­ля­ет 125 % от сред­не­го веса. Сколь­ко ки­ло­грам­мов весит Вова?

17. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся ка­фель­ных пли­ток квад­рат­ной формы со сто­ро­ной 20 см, чтобы об­ли­це­вать ими стену, име­ю­щую форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 3,4 м и 4,6 м?

18. Завуч школы подвёл итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ма­те­ма­ти­ке в 9-х клас­сах. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какие из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ре­зуль­та­тов кон­троль­ной ра­бо­ты верны, если всего в школе 120 де­вя­ти­класс­ни­ков? Если от­ве­тов не­сколь­ко, за­пи­ши­те их в по­ряд­ке воз­рас­та­ния через точку с за­пя­той

1) Более по­ло­ви­ны уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «3».

2) Около по­ло­ви­ны уча­щих­ся от­сут­ство­ва­ли на кон­троль­ной ра­бо­те или по­лу­чи­ли от­мет­ку «2».

3) От­мет­ку «4» или «5» по­лу­чи­ла при­мер­но ше­стая часть уча­щих­ся.

4) От­мет­ку «3», «4» или «5» по­лу­чи­ли более 100 уча­щих­ся.

 19. В каж­дой пятой банке кофе со­глас­но усло­ви­ям акции есть приз. Призы рас­пре­де­ле­ны по бан­кам слу­чай­но. Галя по­ку­па­ет банку кофе в на­деж­де вы­иг­рать приз. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.

20. Длину окруж­но­сти   можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где  — ра­ди­ус окруж­но­сти (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если её длина равна 78 м. (Счи­тать ).

21. Упро­сти­те вы­ра­же­ние   

22. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 75 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась мо­тор­ная лодка, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот прошёл 44 км. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

24. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 30, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что EK = EN. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 50°, 59° и 71°.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 3

1. За­да­ние 1 № 188. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ре­ше­ние.

Со­кра­тим:

Ответ: 1,6.

Ответ: 1,6

2. За­да­ние 2 № 317132. Ка­ко­му из дан­ных про­ме­жут­ков при­над­ле­жит число  

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) [0,5;0,6]

2) [0,6;0,7]

3) [0,7;0,8]

4) [0,8;0,9]

Ре­ше­ние.

Пе­ре­ведём  в де­ся­тич­ную дробь с точ­но­стью до вто­ро­го знака после за­пя­той при по­мо­щи де­ле­ния в стол­бик, по­лу­чим:

Число 0,55 при­над­ле­жит про­ме­жут­ку [0,5;0,6].

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

3. За­да­ние 3 № 314392. Срав­ни­те числа  и 16.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

Ре­ше­ние.

В силу це­поч­ки не­ра­венств

пер­вое число мень­ше вто­ро­го.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 311447. Най­ди­те корни урав­не­ния  .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 0; 4.

Ответ: 0; 4

5. За­да­ние 5 № 341702. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки вида  Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

Ответ:

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем  то при  функ­ция воз­рас­та­ет, при  — убы­ва­ет. Зна­че­нию  со­от­вет­сву­ет зна­че­ние функ­ции в точке  Таким об­ра­зом, гра­фи­ку A со­от­вет­ству­ют ко­эфи­ци­ен­ты 1, Б − 3, В − 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

6. За­да­ние 6 № 333141. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 35 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 1 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в три­на­дца­том ряду?

Ре­ше­ние.

Число мест в ряду пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном  и раз­но­стью  Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 47.

Ответ: 47

7. За­да­ние 7 № 311383. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    при  

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. За­да­ние 8 № 314602. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства ?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:   Кор­ня­ми урав­не­ния  яв­ля­ют­ся числа -1 и 4. По­это­му

Мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 3.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

9. За­да­ние 9 № 314838. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCDоб­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 25° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°. По­это­му ве­ли­чи­на боль­ше­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма будет равна:

Ответ: 125°.

Ответ: 125

10. За­да­ние 10 № 340891. Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126 (см. ри­су­нок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ние и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные,  и равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти,  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём 

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от хорды до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной равно 65 + 16 = 81.

Ответ: 81.

Ответ: 81

11. За­да­ние 11 № 169859. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 12, дру­гая равна 16, а синус угла между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 24.

Ответ: 24

12. За­да­ние 12 № 341709. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AC.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что вы­со­та, опу­щен­ная из точки B на сто­ро­ну AC равна 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13. За­да­ние 13 № 340923. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) В любой четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.» — верно, сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

2) «Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.» — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме её ос­но­ва­ний.

3) «В любой четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность.» — не­вер­но, в окруж­ность можно впи­сать толь­ко четырёхуголь­ник, сумма про­ти­во­по­ло­жен­ных углов ко­то­ро­го равна 180°.

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. За­да­ние 14 № 341385. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 м для уча­щих­ся 9 клас­са. Оце­ни­те ре­зуль­тат де­воч­ки, про­бе­жав­шей эту ди­стан­цию за 5,63 с.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, с	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

1) от­мет­ка «5»

2) от­мет­ка «4»

3) от­мет­ка «3»

4) нор­ма­тив не вы­пол­нен

Ре­ше­ние.

Де­воч­ка про­бе­жа­ла ди­стан­цию не так быст­ро, чтобы по­лу­чить «4», но до­ста­точ­но быст­ро, чтобы по­лу­чить «3».

Ответ: 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 311686. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

Ре­ше­ние.

Цена де­ле­ния гра­фи­ка равна 20. Таким об­ра­зом, по гра­фи­ку видно, что зна­че­нию дав­ле­ния 540 мм рт.ст. со­от­вет­ству­ет вы­со­та 2,5 км.

Ответ:2,5

Ответ: 2,5

16. За­да­ние 16 № 340845. Сред­ний вес маль­чи­ков того же воз­рас­та, что и Вова, равен 32 кг. Вес Вовы со­став­ля­ет 125 % от сред­не­го веса. Сколь­ко ки­ло­грам­мов весит Вова?

Ре­ше­ние.

Най­дем вес Вовы:  кг.

Ответ: 40.

Ответ: 40

17. За­да­ние 17 № 340872. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся ка­фель­ных пли­ток квад­рат­ной формы со сто­ро­ной 20 см, чтобы об­ли­це­вать ими стену, име­ю­щую форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 3,4 м и 4,6 м?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь стены равна 3,4 · 4,6 = 15,64 м². Пло­щадь одной плит­ки равна 0,2² = 0,04 м². По­лу­ча­ем, что для об­ли­цов­ки по­тре­бу­ет­ся 15,64 : 0,04 = 391 пли­ток.

Ответ: 391.

Ответ: 391

18. За­да­ние 18 № 311679. Завуч школы подвёл итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ма­те­ма­ти­ке в 9-х клас­сах. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какие из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ре­зуль­та­тов кон­троль­ной ра­бо­ты верны, если всего в школе 120 де­вя­ти­класс­ни­ков?

1) Более по­ло­ви­ны уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «3».

2) Около по­ло­ви­ны уча­щих­ся от­сут­ство­ва­ли на кон­троль­ной ра­бо­те или по­лу­чи­ли от­мет­ку «2».

3) От­мет­ку «4» или «5» по­лу­чи­ла при­мер­но ше­стая часть уча­щих­ся.

4) От­мет­ку «3», «4» или «5» по­лу­чи­ли более 100 уча­щих­ся.

Если от­ве­тов не­сколь­ко, за­пи­ши­те их в по­ряд­ке воз­рас­та­ния через точку с за­пя­той

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Более по­ло­ви­ны уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «3» — верно.

2) Около по­ло­ви­ны уча­щих­ся от­сут­ство­ва­ли на кон­троль­ной ра­бо­те или по­лу­чи­ли от­мет­ку «2» —не­вер­но.

3) От­мет­ку «4» или «5» по­лу­чи­ла при­мер­но ше­стая часть уча­щих­ся — верно.

4) От­мет­ку «3», «4» или «5» по­лу­чи­ли более 100 уча­щих­ся — не­вер­но.

Ответ: 1; 3

19. За­да­ние 19 № 325657. В каж­дой пятой банке кофе со­глас­но усло­ви­ям акции есть приз. Призы рас­пре­де­ле­ны по бан­кам слу­чай­но. Галя по­ку­па­ет банку кофе в на­деж­де вы­иг­рать приз. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность ку­пить банку с при­зом равна  По­это­му ве­ро­ят­ность вы­та­щить банку без приза равна 

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

20. За­да­ние 20 № 311337. Длину окруж­но­сти   можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где  — ра­ди­ус окруж­но­сти (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если её длина равна 78 м. (Счи­тать ).

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим ра­ди­ус из фор­му­лы длины окруж­но­сти:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 13.

Ответ: 13

21. За­да­ние 21 № 311255. Упро­сти­те вы­ра­же­ние   

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:  

22. За­да­ние 22 № 341419. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 75 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась мо­тор­ная лодка, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот прошёл 44 км. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

Ре­ше­ние.

Плот прошёл 44 км, зна­чит, он плыл 11 часов, из ко­то­рых лодка на­хо­ди­лась в пути 10 часов. Пусть ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна v км/ч, тогда

от­ку­да v = 16.

Ответ: 16.

23. За­да­ние 23 № 314799. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние для функ­ции:

 (при).

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­той точ­кой 

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

За­ме­тим, что пря­мая  про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент 

Ответ: −0,25.

24. За­да­ние 24 № 341058. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 30, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, суммы её про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Таким об­ра­зом, сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна 30, а сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть 15.

Ответ: 15.

25. За­да­ние 25 № 311251. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что EK = EN. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки KLE и MEN равны по трём сто­ро­нам, зна­чит, углы KLE иNME равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. За­да­ние 26 № 339548. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­кахM, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 50°, 59° и 71°.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ведённые из одной точки равны, по­это­му    Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки    — рав­но­бед­рен­ные, по­это­му в каж­дом тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны. Угол  — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Угол  об­ра­зо­ван хор­дой и ка­са­тель­ной, сле­до­ва­тель­но, он равен по­ло­ви­не ве­ли­чи­ны дуги, ко­то­рую за­клю­ча­ет. Зна­чит,  Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Найдём угол 

Ана­ло­гич­но, из тре­уголь­ни­ков  и  по­лу­ча­ем,  

Ответ: 38°; 80°; 62°.

ВАРИАНТ 4

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. Какое из сле­ду­ю­щих чисел за­клю­че­но между чис­ла­ми  и  ?

1) 0,9

2) 1

3) 1,1

4) 1,2

 3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)       3)       4) 90

4. Ре­ши­те урав­не­ние  Если кор­ней не­сколь­ко ука­жи­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Ука­жи­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1)       2)       3)       4) 

 Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

А	Б	В

6. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 175 ; −525; 1575 ; ... Най­ди­те её четвёртый член.

7.Со­кра­ти­те дробь 

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 18, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

10. Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36 (см. ри­су­нок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

11. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 24 и HD = 2. Най­ди­те пло­щадь ромба.

12. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний. Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.

 14. Сту­дент­ка Цвет­ко­ва вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:00. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на Ки­ев­ский вок­зал
6:17	7:13
6:29	7:50
6:35	7:59
7:05	8:23

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 45 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­дент­ке. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 6:17      2) 6:29       3) 6:35        4) 7:05

15. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 0° C?

16. Сбе­ре­га­тель­ный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% го­до­вых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?

17. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, вы­со­та фо­на­ря 4 м?

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние зе­мель Ураль­ско­го, При­волж­ско­го, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по ка­те­го­ри­ям. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком окру­ге доля зе­мель сель­ско­хо­зяй­ствен­но­го на­зна­че­ния пре­вы­ша­ет 70%.

*про­чие — это земли по­се­ле­ний; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го на­зна­че­ния; земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объ­ек­тов.

1) Ураль­ский ФО      2) При­волж­ский ФО      3) Южный ФО      4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

19. У ба­буш­ки 20 чашек: 15 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

20. Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та, поль­зу­ют­ся фор­му­лой F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Фа­рен­гей­та со­от­вет­ству­ет −1° по шкале Цель­сия?

21. Со­кра­ти­те дробь:   

22. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 40%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 65%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 60% соли. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

23. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния и зна­че­ния    и  , при ко­то­рых оно до­сти­га­ет­ся:  .

24. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 57. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

25. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну  (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  и  равны.

26. Длина ка­те­та  пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  равна 3 см. Окруж­ность с диа­мет­ром  пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу  в точке . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка , если из­вест­но, что .

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 4

1. За­да­ние 1 № 341698. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим:

Ответ: 93,8.

Ответ: 93,8

2. За­да­ние 2 № 341699. Какое из сле­ду­ю­щих чисел за­клю­че­но между чис­ла­ми  и  ?

1) 0,9

2) 1

3) 1,1

4) 1,2

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  а  Из пред­по­ло­жен­ных ва­ри­ан­тов от­ве­та толь­ко число 0,9 лежит между ними.

Ответ: 1.

Ответ: 1

3. За­да­ние 3 № 337700. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 90

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 4.

Ответ: 4

4. За­да­ние 4 № 341141. Ре­ши­те урав­не­ние 

Если кор­ней не­сколь­ко ука­жи­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −4; 0.

Ответ: -4;0|-4;0

5. За­да­ние 5 № 311351. Ука­жи­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1)  урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны

2)  урав­не­ние гра­фик сте­пен­ной функ­ции с по­ло­жи­тель­ным дроб­ным по­ка­за­те­лем.

В точке  зна­че­ние функ­ции равно 0. гра­фик про­хо­дит через точку 

3)  урав­не­ние пря­мой, ко­то­рая про­хо­дит через точки  и 

4)  урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: A — 2, Б — 3, В — 4.

Ответ: 234

6. За­да­ние 6 № 340888. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 175 ; −525; 1575 ; ... Най­ди­те её четвёртый член.

Ре­ше­ние.

Найдём зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

Четвёртый член про­грес­сии равен 

Ответ: −4725.

Ответ: -4725

7. За­да­ние 7 № 316370. Со­кра­ти­те дробь 

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой раз­но­сти квад­ра­тов:

Ответ: 60.

Ответ: 60

8. За­да­ние 8 № 133. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 4.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 324840. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 18, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть  — длины бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции,  — длины ос­но­ва­ний,  — длина сред­ней линии. В вы­пук­лый четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

 Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: 

Ответ: 9.

Ответ: 9

10. За­да­ние 10 № 340920. Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36 (см. ри­су­нок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ние и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные,  и равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти,  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём 

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от хорды до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной равно 82 + 80 = 162.

Ответ: 162.

Ответ: 162

11. За­да­ние 11 № 340866. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 24 и HD = 2. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  найдём 

Пло­щадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 260.

Ответ: 260

12. За­да­ние 12 № 311495. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, по­это­му 

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

13. За­да­ние 13 № 311684. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой» — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии.

2) «Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет» — не­вер­но: для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

3) «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.» — верно, в этом слу­чае про­ти­во­по­лож­ный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (рав­ных) угла будут равны по 90°.

4) «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.» —не­вер­но, центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти, лежит на его сто­ро­не.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

14. За­да­ние 14 № 82. Сту­дент­ка Цвет­ко­ва вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:00. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на Ки­ев­ский вок­зал
6:17	7:13
6:29	7:50
6:35	7:59
7:05	8:23

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 45 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­дент­ке.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 6:17

2) 6:29

3) 6:35

4) 7:05

Ре­ше­ние.

Сту­дент­ка долж­на при­е­хать в Моск­ву на по­ез­де в 08:15. По­это­му под­хо­дят по­ез­да с от­прав­ле­ни­ем: в 6:17, в 6:29 и в 6:35. Поезд с самым позд­ним от­прав­ле­ни­ем от­хо­дит в 6:35.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 322154. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 0° C?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в пер­вой по­ло­ви­не дня, то есть до 12:00, тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 0 °C в те­че­ние де­вя­ти часов.

Ответ: 9.

При­ме­ча­ние.

Пор­тал «Сдам ГИА» не уве­рен, что вто­рая по­ло­ви­на дня длит­ся с 12:00 до 24:00.

Ответ: 9

16. За­да­ние 16 № 137245. Сбе­ре­га­тель­ный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% го­до­вых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?

Ре­ше­ние.

Через год вклад­чик по­лу­чит 20 % до­хо­да, что со­ста­вит

 руб.

Таким об­ра­зом, через год на счете будет:

 руб.

Ответ: 960.

Ответ: 960

17. За­да­ние 17 № 340961. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, вы­со­та фо­на­ря 4 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  они имеют общий угол  и, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны по двум углам. Зна­чит,  от­ку­да

Учи­ты­вая что  на­хо­дим  

Ответ: 11.

Ответ: 11

18. За­да­ние 18 № 325399. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние зе­мель Ураль­ско­го, При­волж­ско­го, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по ка­те­го­ри­ям. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком окру­ге доля зе­мель сель­ско­хо­зяй­ствен­но­го на­зна­че­ния пре­вы­ша­ет 70%.

*про­чие — это земли по­се­ле­ний; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го на­зна­че­ния; земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объ­ек­тов.

1) Ураль­ский ФО

2) При­волж­ский ФО

3) Южный ФО

4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

Ре­ше­ние.

Из диа­грамм видно, что доля зе­мель сель­ско­хо­зяй­ствен­но­го на­зна­че­ния пре­вы­ша­ет 70% в Южном Фе­де­раль­ном окру­ге.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. За­да­ние 19 № 340900. У ба­буш­ки 20 чашек: 15 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что чай на­льют в чашку с си­ни­ми цве­та­ми равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства чашек с си­ни­ми цве­та­ми к об­ще­му ко­ли­че­ству чашек. Всего чашек с си­ни­ми цве­та­ми:  По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность 

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

20. За­да­ние 20 № 338138. Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та, поль­зу­ют­ся фор­му­лой F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Фа­рен­гей­та со­от­вет­ству­ет −1° по шкале Цель­сия?

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия в фор­му­лу для пе­ре­во­да:

Ответ: 30,2.

Ответ: 30,2.

21. За­да­ние 21 № 311592. Со­кра­ти­те дробь:   

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 2.

22. За­да­ние 22 № 314480. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 40%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 65%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 60% соли. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве x грамм, тогда он со­дер­жит 0,4x грамм соли, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве y грамм, тогда он со­дер­жит 0,65y грамм соли. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой x + y грамм, по усло­вию за­да­чи, он со­дер­жит 0,6(x + y) соли. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

Вы­ра­зим x через y:

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром были взяты рас­тво­ры:

Ответ: 

23. За­да­ние 23 № 311553. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния и зна­че­ния    и  , при ко­то­рых оно до­сти­га­ет­ся:  .

Ре­ше­ние.

Сумма    при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное 0, толь­ко в том слу­чае, когда оба сла­га­е­мых од­но­вре­мен­но равны 0. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

Решим её:

Ответ: 0; (2;1).

24. За­да­ние 24 № 339511. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и Nсто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 57. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка    и  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны как со­от­вет­ству­ю­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых, угол  — общий, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия  Пло­ща­ди по­доб­ных фигур со­от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му  Найдём пло­щадь четрыёхуголь­ни­ка 

Ответ: 171.

25. За­да­ние 25 № 311606. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну  (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  и  равны.

Ре­ше­ние.

Две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го:  и . Рас­смот­рим углы между ними:

 360°  180° .

По­это­му

.

26. За­да­ние 26 № 311704. Длина ка­те­та  пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  равна 3 см. Окруж­ность с диа­мет­ром  пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу  в точке . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка , если из­вест­но, что .

Ре­ше­ние.

Пусть  см,  см и  см.

По­это­му ги­по­те­ну­за  см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

.

По тео­ре­ме о се­ку­щей и ка­са­тель­ной

.

Сле­до­ва­тель­но, , от­ку­да .

Тогда .

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

.

Ответ: .

ВАРИАНТ 5

1. Ука­жи­те наи­мень­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

1)

2)

3)

4)

2. Одно из чисел     от­ме­че­но на пря­мой точ­кой A. Какое это число?

1)          2)       3)       4) 

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел: В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)         2)        3)        4) 

4.На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций y = 6 − x² и y = − x. Вы­чис­ли­те абс­цис­су точки B.

5. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на ги­пер­бо­ла. Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

6. Даны пят­на­дцать чисел, пер­вое из ко­то­рых равно 6, а каж­дое сле­ду­ю­щее боль­ше преды­ду­ще­го на 4. Найти пят­на­дца­тое из дан­ных чисел.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при  В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 6x − 2(2x + 9) ≤ 1.

1) (−∞; 9,5]       2) [−8,5; +∞)        3) [9,5; +∞)      4) (−∞; −8,5]

9. На пря­мой AB взята точка M. Луч MD — бис­сек­три­са угла CMB. Из­вест­но, что ∠DMC = 44°. Най­ди­те угол CMA. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. В угол C ве­ли­чи­ной 107° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 60°, длина этой сто­ро­ны равна 5. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, де­лен­ную на 

12.  Най­ди­те синус остро­го угла тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний. Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

1) Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°.

3) Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой на­клон­ной, про­ведённой из дан­ной точки к пря­мой, боль­ше 3.

14. Биз­не­смен Со­ловьёв вы­ез­жа­ет из Моск­вы в Санкт-Пе­тер­бург на де­ло­вую встре­чу, ко­то­рая на­зна­че­на на 10:00. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние из    Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
038А	00:43	08:45
020У	00:54	09:00
016А	01:00	08:38
030А	01:10	09:37

 Путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­ча­са. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят биз­не­сме­ну Со­ловьёву.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 038А         2) 020У        3) 016А       4) 030А

15. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат — кру­тя­щий мо­мент в Н·м. На сколь­ко Н·м уве­ли­чил­ся кру­тя­щий мо­мент, если число обо­ро­тов дви­га­те­ля воз­рос­ло с 1000 до 1500 обо­ро­тов в ми­ну­ту?

16. Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Юпи­те­ра равно 779 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Юпи­те­ра? Ско­рость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.

17. Глу­би­на кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лест­ни­цы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м боль­ше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лест­ни­цы.

18. Рок-ма­га­зин продаёт знач­ки с сим­во­ли­кой рок-групп. В про­да­же име­ют­ся знач­ки пяти цве­тов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Дан­ные о про­дан­ных знач­ках пред­став­ле­ны на столб­ча­той диа­грам­ме.

Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, знач­ков ка­ко­го цвета было про­да­но мень­ше всего. Сколь­ко при­мер­но про­цен­тов от об­ще­го числа знач­ков со­став­ля­ют знач­ки этого цвета?

1) 5       2) 10       3) 15      4) 20

19. У ба­буш­ки 12 чашек: 3 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

20. Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния можно за­пи­сать в виде  где  — сила при­тя­же­ния между те­ла­ми (в нью­то­нах),  и  — массы тел (в ки­ло­грам­мах),  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми масс (в мет­рах), а  — гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная, рав­ная 6.67 · 10⁻¹¹ H·м²/кг². Поль­зу­ясь фор­му­лой, най­ди­те массу тела  (в ки­ло­грам­мах), если  Н,  кг, а  м.

21. Со­кра­ти­те дробь    

22. Же­лез­но­до­рож­ный со­став дли­ной в 1 км прошёл бы мимо стол­ба за 1 мин., а через тун­нель (от входа ло­ко­мо­ти­ва до вы­хо­да по­след­не­го ва­го­на) при той же ско­ро­сти — за 3 мин. Ка­ко­ва длина тун­не­ля (в км)?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  будет пе­ре­се­кать по­стро­ен­ный гра­фик в трёх точ­ках.

24. В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

25. В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, что ОК и OL равны.

26. Ос­но­ва­ние  рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния  в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ный в тре­уголь­ник 

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 5

1. За­да­ние 1 № 287940. Ука­жи­те наи­мень­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Число  боль­ше 1. Числа 0,7;  мень­ше, чем 1. Срав­ним эти дроби:  по пра­ви­лу срав­не­ния дро­бей  и 

Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

2. За­да­ние 2 № 317005. Одно из чисел     от­ме­че­но на пря­мой точ­кой A. Какое это число?

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Воз­ведём при­ведённые числа в квад­рат:

И воз­ведём в квад­рат числа 2 и 3, между ко­то­ры­ми за­клю­че­но число  

Число  лежит между 2 и 3 и на­хо­дит­ся ближе к числу 2, зна­чит, число  на­хо­дит­ся между чис­ла­ми  и  и ближе к числу  Сле­до­ва­тель­но, точ­кой  от­ме­че­но число 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

3. За­да­ние 3 № 311838. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Чтобы от­ве­тить на во­прос, воз­ведём в квад­рат числа 

Срав­ним их:  сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее число 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

4. За­да­ние 4 № 333112. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций y = 6 − x² и y = − x. Вы­чис­ли­те абс­цис­су точки B.

Ре­ше­ние.

Точки A и B — точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций  и  Найдём ко­ор­ди­на­ты этих точек:

Абс­цис­са точки B боль­ше нуля, сле­до­ва­тель­но, под­хо­дит толь­ко 

Ответ: 3.

Ответ: 3

5. За­да­ние 5 № 202195. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на ги­пер­бо­ла. Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

Ре­ше­ние.

Ги­пер­бо­ла изоб­ра­же­на на ри­сун­ке 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

6. За­да­ние 6 № 340584. Даны пят­на­дцать чисел, пер­вое из ко­то­рых равно 6, а каж­дое сле­ду­ю­щее боль­ше преды­ду­ще­го на 4. Найти пят­на­дца­тое из дан­ных чисел.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­ность, опи­сан­ная в усло­вии, об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном, рав­ным шести, и раз­но­стью 4. Пят­на­дца­тый член дан­ной про­грес­сии равен: 

Ответ: 62.

Ответ: 62

7. За­да­ние 7 № 314312. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при  В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при :

Ответ: 4.

Ответ: 4

8. За­да­ние 8 № 341374. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 6x − 2(2x + 9) ≤ 1.

1) (−∞; 9,5]

2) [−8,5; +∞)

3) [9,5; +∞)

4) (−∞; −8,5]

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 341521. На пря­мой AB взята точка M. Луч MD — бис­сек­три­са угла CMB. Из­вест­но, что ∠DMC = 44°. Най­ди­те угол CMA. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку MD — бис­сек­три­са, ∠DMB = ∠DMC = 44°. Углы AMC, CMD и DMB вме­сте со­став­ля­ют развёрну­тый угол, от­ку­да ∠AMC = 180° − ∠DMB − ∠DMC = 180° − 44° − 44° = 92°.

Ответ: 92.

Ответ: 92

10. За­да­ние 10 № 333091. В угол C ве­ли­чи­ной 107° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке ка­са­ния, по­это­му углы CAO и OBCравны 90°. Сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, от­ку­да:

∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 107° = 73°.

Ответ: 73.

Ответ: 73

11. За­да­ние 11 № 169899. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 60°, длина этой сто­ро­ны равна 5. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, де­лен­ную на 

Ре­ше­ние.

Най­дем вто­рую сто­ро­ну по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Вто­рую сто­ро­ну можно было найти из опре­де­ле­ния си­ну­са.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

12. За­да­ние 12 № 311914.

Най­ди­те синус остро­го угла тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Вве­дем обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке и про­ведём вы­со­ту тра­пе­цииСH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCH длины ка­те­тов равны 3 и 4, по­это­му ги­по­те­ну­за равна  Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый синус остро­го угла B, рав­ный от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го углу ка­те­та CH к ги­по­те­ну­зе BC, равен 

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

13. За­да­ние 13 № 316323. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°.

3) Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой на­клон­ной, про­ведённой из дан­ной точки к пря­мой, боль­ше 3.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки» — верно. Если пря­мые имеют две и более общих точек, то они сов­па­да­ют. (См. ком­мен­та­рии к за­да­че.)

2) «Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°» — не­вер­но. Сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой на­клон­ной, про­ведённой из дан­ной точки к пря­мой, боль­ше 3» — верно. Т. к. рас­сто­я­ние — длина крат­чай­ше­го от­рез­ка до пря­мой, а все на­клон­ные — длин­нее.

Ответ: 1;3.

Ответ: 1;3

14. За­да­ние 14 № 314134. Биз­не­смен Со­ловьёв вы­ез­жа­ет из Моск­вы в Санкт-Пе­тер­бург на де­ло­вую встре­чу, ко­то­рая на­зна­че­на на 10:00. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние из Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
038А	00:43	08:45
020У	00:54	09:00
016А	01:00	08:38
030А	01:10	09:37

Путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­ча­са. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят биз­не­сме­ну Со­ловьёву.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 038А

2) 020У

3) 016А

4) 030А

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­ча­са, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 09:30. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да под но­ме­ра­ми: 038А, 020У и 016А. Из них позже от­прав­ля­ет­ся поезд под но­ме­ром 016А.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 322173. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат — кру­тя­щий мо­мент в Н·м. На сколь­ко Н·м уве­ли­чил­ся кру­тя­щий мо­мент, если число обо­ро­тов дви­га­те­ля воз­рос­ло с 1000 до 1500 обо­ро­тов в ми­ну­ту?

Ре­ше­ние.

При 1000 обо­ро­тов в ми­ну­ту кру­тя­щий мо­мент был равен 20 Н·м, а при 1500 обо­ро­тах — 60 Н·м. По­это­му кру­тя­щий мо­мент уве­ли­чил­ся на 60 − 20 = 40 Н·м.

Ответ: 40.

Ответ: 40

16. За­да­ние 16 № 318265. Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Юпи­те­ра равно 779 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Юпи­те­ра? Ско­рость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим рас­сто­я­ние на ско­рость света:

Для того, чтобы по­лу­чить ответ в ми­ну­тах раз­де­лим по­лу­чен­ное число на 60:

Ответ: 43,3.

Ответ: 43,3

17. За­да­ние 17 № 311509. Глу­би­на кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лест­ни­цы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м боль­ше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лест­ни­цы.

Ре­ше­ние.

Рас­сто­я­ние AB — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 5 м и 20 − 8 = 12 м. Тем самым, длина AB равна 13 м, а длина лест­ни­цы равна 15 м.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18. За­да­ние 18 № 316379. Рок-ма­га­зин продаёт знач­ки с сим­во­ли­кой рок-групп. В про­да­же име­ют­ся знач­ки пяти цве­тов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Дан­ные о про­дан­ных знач­ках пред­став­ле­ны на столб­ча­той диа­грам­ме.

Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, знач­ков ка­ко­го цвета было про­да­но мень­ше всего. Сколь­ко при­мер­но про­цен­тов от об­ще­го числа знач­ков со­став­ля­ют знач­ки этого цвета?

1) 5

2) 10

3) 15

4) 20

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что было про­да­но мень­ше всего знач­ков зелёного цвета в ко­ли­че­стве 150 штук. Опре­де­лим сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го числа со­став­ля­ют зелёные знач­ки:

Из пред­став­лен­ных ва­ри­ан­тов от­ве­тов ближе всего к дан­но­му ре­ше­нию под­хо­дит ответ 3. Зна­чит зелёных знач­ков при­мер­но 15% от об­ще­го числа.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. За­да­ние 19 № 341682. У ба­буш­ки 12 чашек: 3 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что чай на­льют в чашку с си­ни­ми цве­та­ми равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства чашек с си­ни­ми цве­та­ми к об­ще­му ко­ли­че­ству чашек. Всего чашек с си­ни­ми цве­та­ми:  По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

20. За­да­ние 20 № 338056. Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния можно за­пи­сать в виде  где  — сила при­тя­же­ния между те­ла­ми (в нью­то­нах),  и  — массы тел (в ки­ло­грам­мах),  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми масс (в мет­рах), а  — гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная, рав­ная 6.67 · 10⁻¹¹ H·м²/кг². Поль­зу­ясь фор­му­лой, най­ди­те массу тела  (в ки­ло­грам­мах), если  Н,  кг, а  м.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим заряд  из за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 4000.

Ответ: 4000

21. За­да­ние 21 № 314358. Со­кра­ти­те дробь

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 311615. Же­лез­но­до­рож­ный со­став дли­ной в 1 км прошёл бы мимо стол­ба за 1 мин., а через тун­нель (от входа ло­ко­мо­ти­ва до вы­хо­да по­след­не­го ва­го­на) при той же ско­ро­сти — за 3 мин. Ка­ко­ва длина тун­не­ля (в км)?

Ре­ше­ние.

Поезд про­хо­дит через тун­нель за 3 ми­ну­ты, при этом за одну ми­ну­ту поезд про­хо­дит мимо вы­хо­да из тун­не­ля, сле­до­ва­тель­но, от входа ло­ко­мо­ти­ва в тун­нель до вы­хо­да про­хо­дит 2 ми­ну­ты. Мимо стол­ба поезд дли­ной 1 км про­хо­дит за 1 ми­ну­ту, по­это­му его ско­рость равна 1 км/мин. Зна­чит, за 2 ми­ну­ты поезд прой­дет 2 км, по­это­му длина тун­не­ля равна 2 км.

Ответ: 2.

23. За­да­ние 23 № 314690. По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  будет пе­ре­се­кать по­стро­ен­ный гра­фик в трёх точ­ках.

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно три точки пе­ре­се­че­ния при  при­над­ле­жа­щем мно­же­ству: 

Ответ: (0; 5).

24. За­да­ние 24 № 315007. В тре­уголь­ни­ке АВС углыА и С равны 20° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

Ре­ше­ние.

Из тре­уголь­ни­ка  най­дем 

 — бис­сек­три­са, сле­до­ва­тель­но, 

Тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но:

Найдём угол 

Ответ: 20°.

25. За­да­ние 25 № 311241. В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, чтоОК и OL равны.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки АОВ и СОD равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, ∠AOB = ∠COD по усло­вию). Сле­до­ва­тель­но, вы­со­ты OK и OL равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков.

26. За­да­ние 26 № 311556. Ос­но­ва­ние  рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния  в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ный в тре­уголь­ник .

Ре­ше­ние.

Дан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны    в её се­ре­ди­не    и про­дол­же­ний сто­рон    и    тре­уголь­ни­ка  . Пусть   — центр этой окруж­но­сти, а   — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник  . Угол   — пря­мой как угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов. Тре­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ный,  — его вы­со­та. Из этого тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что  . Сле­до­ва­тель­но,  .

Ответ: 4,5.

ВАРИАНТ 6

1. Вы­чис­ли­те:  

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Най­ди­те наи­боль­ше­е из чисел a², a³, a⁴. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) a²        2) a³       3) a⁴      4) не хва­та­ет дан­ных для от­ве­та

3. Срав­ни­те числа  и 14. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)       3) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  и гра­фи­ка­ми.

КО­ЭФ­ФИ­ЦИ­ЕН­ТЫ

А)        Б)       В) 

ГРА­ФИ­КИ

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

1)

2)

3)

4)

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние , най­ди­те его зна­че­ние при . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (−4; +∞)       2) (−12; +∞)      3) (−∞; −4)       4) (−∞; −12)

9. На плос­ко­сти даны че­ты­ре пря­мые. Из­вест­но, что  ,  ,  . Най­ди­те  . Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

11. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен , угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на .

12. На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Все рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

14. За­да­ние 14 № 341411. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по фи­зи­ке и био­ло­гии в 10 «А» клас­се.

Номер уче­ни­ка	Балл по фи­зи­ке	Балл по био­ло­гии
5005	40	63
5006	96	61
5011	36	70
5015	94	46
5018	34	50
5020	39	83
5025	87	70
5027	100	99
5029	63	75
5032	89	45
5041	57	79
5042	69	98
5043	57	83
5048	93	72
5054	63	69

 По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 120 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 65 бал­лов. Сколь­ко че­ло­век из 10 «А», на­брав­ших мень­ше 65 бал­лов по фи­зи­ке, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты?

1) 6      2) 5      3) 4      4) 3

15. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

16. В на­ча­ле года число або­нен­тов те­ле­фон­ной ком­па­нии «Запад» со­став­ля­ло 400 тыс. чел., а в конце года их стало 500 тыс. чел. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось за год число або­нен­тов этой ком­па­нии?

17.Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах).

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

19. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­на 21 ма­ши­на: 11 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси. По­лу­чен­ный ответ округ­ли­те до сотых.

20. Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия (t °C) в шкалу Фа­рен­гей­та (t °F), поль­зу­ют­ся фор­му­лой F = 1,8C + 32 , где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 158° по шкале Фа­рен­гей­та?

21. Упро­сти­те вы­ра­же­ние   

22. Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

23. Пря­мая  y = 2x + b ка­са­ет­ся окруж­но­сти x² + y² = 5 в точке с по­ло­жи­тель­ной абс­цис­сой. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния.

24. В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 12.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

26. Диа­го­на­ли четырёхуголь­ни­ка , вер­ши­ны ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны на окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Из­вест­но, что  = 74°,  = 102°,  = 112°. Най­ди­те .

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 6

1. За­да­ние 1 № 314275. Вы­чис­ли­те:  

Ре­ше­ние.

При­ведём дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: 0,14.

Ответ: 0,14

2. За­да­ние 2 № 337355. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Най­ди­те наи­боль­ше­ее из чисел a², a³, a⁴.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) a²

2) a³

3) a⁴

4) не хва­та­ет дан­ных для от­ве­та

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  от­ку­да сле­ду­ет, что  Таким об­ра­зом, наи­боль­шее из пред­став­лен­ных в от­ве­те чисел — число 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 314434. Срав­ни­те числа  и 14.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

Ре­ше­ние.

В силу це­поч­ки не­ра­венств

пер­вое число мень­ше вто­ро­го.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 314499. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: −4; 0.

Ответ: -4;0

5. За­да­ние 5 № 316226. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  и гра­фи­ка­ми.

КО­ЭФ­ФИ­ЦИ­ЕН­ТЫ

А) 

Б) 

В) 

ГРА­ФИ­КИ

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0, сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­тель­но, если ниже оси абс­цисс — от­ри­ца­тель­но.

Таким об­ра­зом, гра­фи­кам со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты: А — 3, Б — 2, В — 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

6. За­да­ние 6 № 137304. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Для члена  имеем:  По фор­му­ле на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Пер­вое число, ко­то­рое удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию, число 6. Сле­до­ва­тель­но, пер­вым от­ри­ца­тель­ным чле­ном про­грес­сии яв­ля­ет­ся 

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

7. За­да­ние 7 № 36. Упро­сти­те вы­ра­же­ние , най­ди­те его зна­че­ние при . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Найдём зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния при  :

Ответ: 0.

Ответ: 0

8. За­да­ние 8 № 338481. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (−4; +∞)

2) (−12; +∞)

3) (−∞; −4)

4) (−∞; −12)

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 311514. На плос­ко­сти даны че­ты­ре пря­мые. Из­вест­но, что  ,  ,  . Най­ди­те  . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Так как  и , од­но­сто­рон­ние и их сумма равна 180°, пря­мые, ко­то­рые за­клю­ча­ют эти углы, — па­рал­лель­ны. Най­дем угол, смеж­ный с углом 3:  Этот угол и угол 4 со­от­вет­ствен­ные и равны так как пря­мые па­рал­лель­ны.

Таким об­ра­зом, угол 4 = 125°.

Ответ: 125.

Ответ: 125

10. За­да­ние 10 № 311410. Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точкеO пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

Ре­ше­ние.

Най­дем от­ре­зок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, тре­уголь­никAOD — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: . Тре­уголь­ник AOC — рав­но­бед­рен­ный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким об­ра­зом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

11. За­да­ние 11 № 169892. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен , угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на .

Ре­ше­ние.

Най­дем вто­рой катет по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов:

Ответ: 50.

При­ме­ча­ние:

Вто­рой катет можно было найти из опре­де­ле­ния тан­ген­са или из свой­ства угла, ле­жа­ще­го на­про­тив 30°.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

12. За­да­ние 12 № 311376. На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Тре­уголь­ник COD — пря­мо­уголь­ный, по­это­му 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13. За­да­ние 13 № 341119. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Все рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Все рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.» — не­вер­но, не все рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) «Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.» — верно, такой пря­мо­уголь­ник — это квад­рат.

3) «Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.» — не­вер­но, сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. За­да­ние 14 № 341411. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по фи­зи­ке и био­ло­гии в 10 «А» клас­се.

Номер уче­ни­ка	Балл по фи­зи­ке	Балл по био­ло­гии
5005	40	63
5006	96	61
5011	36	70
5015	94	46
5018	34	50
5020	39	83
5025	87	70
5027	100	99
5029	63	75
5032	89	45
5041	57	79
5042	69	98
5043	57	83
5048	93	72
5054	63	69

По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 120 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 65 бал­лов. Сколь­ко че­ло­век из 10 «А», на­брав­ших мень­ше 65 бал­лов по фи­зи­ке, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты?

1) 6

2) 5

3) 4

4) 3

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим тех, кто по­лу­чил менее 65 бал­лов по фи­зи­ке:

Номер уче­ни­ка	Балл по фи­зи­ке	Балл по био­ло­гии
5005	40	63
5006	96	61
5011	36	70
5015	94	46
5018	34	50
5020	39	83
5025	87	70
5027	100	99
5029	63	75
5032	89	45
5041	57	79
5042	69	98
5043	57	83
5048	93	72
5054	63	69

Из них те, кто ука­зан под но­ме­ра­ми 5011, 5020, 5029, 5041, 5043, 5054 на­бра­ли более 65 бал­лов по био­ло­гии. А более 120 бал­лов по двум олим­пи­а­дам не по­лу­чил никто. Таким об­ра­зом, таких участ­ни­ков ше­сте­ро.

Ответ: 1.

Ответ: 1

15. За­да­ние 15 № 311686. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

Ре­ше­ние.

Цена де­ле­ния гра­фи­ка равна 20. Таким об­ра­зом, по гра­фи­ку видно, что зна­че­нию дав­ле­ния 540 мм рт.ст. со­от­вет­ству­ет вы­со­та 2,5 км.

Ответ:2,5

Ответ: 2,5

16. За­да­ние 16 № 318172. В на­ча­ле года число або­нен­тов те­ле­фон­ной ком­па­нии «Запад» со­став­ля­ло 400 тыс. чел., а в конце года их стало 500 тыс. чел. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось за год число або­нен­тов этой ком­па­нии?

Ре­ше­ние.

За год число або­нен­тов ком­па­нии уве­ли­чи­лось на 500 − 400 = 100 тыс. че­ло­век. Зна­чит, число або­нен­тов уве­ли­чи­лось на 

Ответ: 25.

Ответ: 25

17. За­да­ние 17 № 314914. Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах).

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  они имеют общий угол  и, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны по двум углам. Зна­чит,  от­ку­да 

Ответ: 5.

Ответ: 5

18. За­да­ние 18 № 315142. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше чем поль­зо­ва­те­лей из "дру­гих стран", а зна­чит, и боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что число поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем в два раза пре­вы­ша­ет число поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей не из Рос­сии при­мер­но треть от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си боль­ше, чем чет­верть от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Всего поль­зо­ва­те­лей 12 млн, зна­чит поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 4 млн. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 132735. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­на 21 ма­ши­на: 11 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси. По­лу­чен­ный ответ округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что при­е­дет зе­ле­ная ма­ши­на равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства зе­ле­ных машин к об­ще­му ко­ли­че­ству машин: 

Ответ: 0,38.

Ответ: 0,38

20. За­да­ние 20 № 311856. Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия (t °C) в шкалу Фа­рен­гей­та (t °F), поль­зу­ют­ся фор­му­лой F = 1,8C + 32 , где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 158° по шкале Фа­рен­гей­та?

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние пе­ре­мен­ной F:

Ответ: 70.

Ответ: 70

21. За­да­ние 21 № 311255. Упро­сти­те вы­ра­же­ние   

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:  

22. За­да­ние 22 № 311245. Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пунктВ, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость те­че­ния реки (и плота)  км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния равна  км/ч, а по те­че­нию  км/ч. Сле­до­ва­тель­но, ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния в 3 раза боль­ше ско­ро­сти плота, а по те­че­нию — в 5 раз боль­ше ско­ро­сти плота. Если плот до встре­чи про­плыл  км, то катер — в 3 раза боль­ше, т. е.  км. После встре­чи катер прой­дет  км, а плот — в 5 раз мень­ше, т. е.  км. Всего плот прой­дет

.

От­но­ше­ние прой­ден­но­го пло­том пути ко всему пути равно .

При­ведём дру­гое ре­ше­ние. Пусть ско­рость те­че­ния реки (и плота)  км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния равна  км/ч, а по те­че­нию  км/ч. Ско­рость сбли­же­ния ка­те­ра и плота равна  км/ч. Встре­ча про­изо­шла через  ч. За это время плот про­плыл рас­сто­я­ние, рав­ное , а катер — .

Об­рат­ный путь катер прой­дет за  ч. Плот за это время про­плы­вет рас­сто­я­ние, рав­ное , а всего он про­плы­вет .

Ответ: плот прой­дет   всего пути.

23. За­да­ние 23 № 339866. Пря­мая y = 2x + b ка­са­ет­ся окруж­но­сти x² + y² = 5 в точке с по­ло­жи­тель­ной абс­цис­сой. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния.

Ре­ше­ние.

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти, если си­сте­ма урав­не­ний

имеет толь­ко одно ре­ше­ние. Под­став­ляя вы­ра­же­ние для  из пер­во­го урав­не­ния во вто­рое, по­лу­чим:

Дан­ное квад­рат­ное урав­не­ние долж­но иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, по­это­му дис­кри­ми­нант дол­жен быт равен нулю:

Найдём ко­ор­ди­на­ты точки ка­сас­ния. При  вто­рое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Точка ка­са­ния имеет от­ри­ца­тель­ную абс­цис­су, по­это­му ко­рень  не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи.

При  вто­рое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Под­став­ляя  и  в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­ча­ем  Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния (2; −1).

Ответ: (2; −1).

24. За­да­ние 24 № 311924. В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 12.

Ре­ше­ние.

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC₁ = AB₁, BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁ = r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁ = 2AB + 2r,

а его по­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка на­хо­дим 

Ответ: 28.

25. За­да­ние 25 № 314849. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСDточки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию   сле­до­ва­тель­но:

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: ,  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и, в этих тре­уголь­ни­ках , ,  сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, . Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки  и  а сле­до­ва­тель­но равны от­рез­ки  и  Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка  равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

26. За­да­ние 26 № 311664. Диа­го­на­ли четырёхуголь­ни­ка , вер­ши­ны ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны на окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Из­вест­но, что  = 74°,  = 102°,  = 112°. Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Пусть .

 = 180° − 112° = 68°;

;

 = 102° − x;

 + 102° − x = 68°; x =  + 34°.

 = 74°;  = x;  = 74° − x; 2x = 108°, x = 54°.

Ответ: 54°.

ВАРИАНТ 7

1. За­пи­ши­те де­ся­тич­ную дробь, рав­ную сумме .

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число  Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа   и     В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)       3)       4) 

3. Какое из чисел боль­ше:  или ? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)        3) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние 

5. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на па­ра­бо­ла. Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

6. Пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен −11,9, а раз­ность про­грес­сии равна 7,8. Най­ди­те две­на­дца­тый член этой про­грес­сии.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. Бис­сек­три­сы углов B и C тре­уголь­ни­ка  ABC  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  K. Най­ди­те  , если  , а  

10. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки  A и B так, что  Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

11. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 3.

12. Най­ди­те тан­генс угла В тре­уголь­ни­ка ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны? Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

     1) Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.

2) Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам.

3) Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре его опи­сан­ной окруж­но­сти.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 мет­ров для уча­щих­ся 9-х клас­сов.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, се­кун­ды	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Какую от­мет­ку по­лу­чит де­воч­ка, про­бе­жав­шая эту ди­стан­цию за 5,36 се­кун­ды?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) От­мет­ка «5».      2) От­мет­ка «4».      3) От­мет­ка «3».     4) Нор­ма­тив не вы­пол­нен.

15. На гра­фи­ке по­ка­за­но, сколь­ко че­ло­век за­ре­ги­стри­ро­ва­лось с 25 де­каб­ря 2012 года по 13 фев­ра­ля 2013 года в ка­че­стве участ­ни­ков кон­фе­рен­ции. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны числа ме­ся­цев, а по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство че­ло­век.

Во сколь­ко раз воз­рос­ло ко­ли­че­ство за­ре­ги­стри­ро­вав­ших­ся с 4 ян­ва­ря по 3 фев­ра­ля?

16. По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 5000 руб­лей. В июне он стал сто­ить 3150 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена мо­биль­но­го те­ле­фо­на в пе­ри­од с ап­ре­ля по июнь?

17. Ди­зай­нер Алина по­лу­чи­ла заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бу­ма­гой. По ри­сун­ку опре­де­ли­те, сколь­ко бу­ма­ги (в см²) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Алине, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность че­мо­да­на, если каж­дую грань она будет об­кле­и­вать от­дель­но (без за­ги­бов).

18На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии Ав­стра­лия за­ни­ма­ет ше­стое место в мире.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км².

3) Пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 7,1 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

19. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 20 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние года, из них 10 с ма­ши­на­ми и 10 с ви­да­ми го­ро­дов. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Коле до­ста­нет­ся пазл с ма­ши­ной.

20. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если l = 80 см, n =1800 ? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

22. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

23. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от оси ?

24. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках Kи P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP = 18, а сто­ро­на BC в 1,2 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме    точка   — се­ре­ди­на сто­ро­ны  . Из­вест­но, что  . До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до точки A и пря­мых AD и AC со­от­вет­ствен­но равны 5, 4 и 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 7

1. За­да­ние 1 № 203747. За­пи­ши­те де­ся­тич­ную дробь, рав­ную сумме .

Ре­ше­ние.

Найдём сумму:

Ответ: 0,3105.

Ответ: 0,3105

2. За­да­ние 2 № 317600. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число  Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа   и 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  от­ку­да сле­ду­ет, что    Таким об­ра­зом, 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 2.

Ответ: 2

3. За­да­ние 3 № 314475. Какое из чисел боль­ше:  или ?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

Ре­ше­ние.

В силу це­поч­ки не­ра­венств

пер­вое число боль­ше вто­ро­го.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

4. За­да­ние 4 № 341111. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции.

Ответ: 18.

Ответ: 18

5. За­да­ние 5 № 193097. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на па­ра­бо­ла. Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

Ре­ше­ние.

Па­ра­бо­ла изоб­ра­же­на на ри­сун­ке 1.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

6. За­да­ние 6 № 341518. Пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен −11,9, а раз­ность про­грес­сии равна 7,8. Най­ди­те две­на­дца­тый член этой про­грес­сии.

Ре­ше­ние.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 73,9.

Ответ: 73,9

7. За­да­ние 7 № 311814. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим в по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние зна­че­ние 

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

8. За­да­ние 8 № 314562. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 4.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 311365. Бис­сек­три­сы углов B и C тре­уголь­ни­ка  ABC  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  K. Най­ди­те  , если  , а  

Ре­ше­ние.

По опре­де­ле­нию бис­сек­трис , а . В тре­уголь­ни­ке BKC:

.

Ответ: 120.

Ответ: 120

10. За­да­ние 10 № 333117. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A иB так, что  Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Ре­ше­ние.

Пусть длина боль­шей дуги  равна  Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место от­но­ше­ние:

Ответ: 747.

Ответ: 747

11. За­да­ние 11 № 341045. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 3.

Ре­ше­ние.

Диа­го­на­ли квад­ра­та равны. Пло­щадь квад­ра­та можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей: 

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

12. За­да­ние 12 № 314836. Най­ди­те тан­генс угла В тре­уголь­ни­каABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 3,5.

Ответ: 3,5

13. За­да­ние 13 № 341525. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.

2) Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам.

3) Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре его опи­сан­ной окруж­но­сти.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.» — верно, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух дру­гих.

2) «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам.» — не­вер­но, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3) «Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре его опи­сан­ной окруж­но­сти.» — верно, центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит в точке пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров.

Ответ: 1;3.

Ответ: 1;3

14. За­да­ние 14 № 30. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по бегу на 30 мет­ров для уча­щих­ся 9-х клас­сов.

	Маль­чи­ки			Де­воч­ки
От­мет­ка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, се­кун­ды	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Какую от­мет­ку по­лу­чит де­воч­ка, про­бе­жав­шая эту ди­стан­цию за 5,36 се­кун­ды?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) От­мет­ка «5».

2) От­мет­ка «4».

3) От­мет­ка «3».

4) Нор­ма­тив не вы­пол­нен.

Ре­ше­ние.

Де­воч­ка про­бе­жа­ла ди­стан­цию не так быст­ро, чтобы по­лу­чить «5», но до­ста­точ­но быст­ро, чтобы по­лу­чить «4».

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 316376. На гра­фи­ке по­ка­за­но, сколь­ко че­ло­век за­ре­ги­стри­ро­ва­лось с 25 де­каб­ря 2012 года по 13 фев­ра­ля 2013 года в ка­че­стве участ­ни­ков кон­фе­рен­ции. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны числа ме­ся­цев, а по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство че­ло­век.

Во сколь­ко раз воз­рос­ло ко­ли­че­ство за­ре­ги­стри­ро­вав­ших­ся с 4 ян­ва­ря по 3 фев­ра­ля?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что число за­ре­ге­стри­ро­вав­ших­ся на4 ян­ва­ря со­ства­ля­ло 30 че­ло­век, а 3 фев­ра­ля — 270. Сле­до­ва­тель­но, число за­ре­ги­стри­ро­вав­ших­ся воз­рос­ло в 270 : 30 = 9 раз.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16. За­да­ние 16 № 341713. По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 5000 руб­лей. В июне он стал сто­ить 3150 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена мо­биль­но­го те­ле­фо­на в пе­ри­од с ап­ре­ля по июнь?

Ре­ше­ние.

Цену на те­ле­фон сни­зи­ли на 5000 − 3150 = 1850 руб­лей. Раз­де­лим 1850 на 5000:

Зна­чит, цену сни­зи­ли на 37%.

Ответ: 37.

Ответ: 37

17. За­да­ние 17 № 311368. Ди­зай­нер Алина по­лу­чи­ла заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бу­ма­гой. По ри­сун­ку опре­де­ли­те, сколь­ко бу­ма­ги (в см²) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Алине, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность че­мо­да­на, если каж­дую грань она будет об­кле­и­вать от­дель­но (без за­ги­бов).

Ре­ше­ние.

Най­дем пло­ща­ди всех де­та­лей, ко­то­рые не­об­хо­ди­мо об­кле­ить:

Так как че­мо­дан имеет по две оди­на­ко­вых де­та­ли, вся пло­щадь, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо об­кле­ить равна

Ответ: 11200.

Ответ: 11200

18. За­да­ние 18 № 315189. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии Ав­стра­лия за­ни­ма­ет ше­стое место в мире.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км².

3) Пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 7,1 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1) На диа­грам­ме видно, что Ав­стра­лия — ше­стая по пло­ща­ди стра­на в мире. Зна­чит пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Бра­зи­лии — 8,5 млн км². Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 17,1 − 10,0 = 7,1 млн км². Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 325703. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 20 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние года, из них 10 с ма­ши­на­ми и 10 с ви­да­ми го­ро­дов. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Коле до­ста­нет­ся пазл с ма­ши­ной.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что Коле до­ста­нет­ся пазл с ма­ши­ной равна 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

20. За­да­ние 20 № 340930. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если l = 80 см, n =1800 ? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Найдём какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, под­ста­вим длину шага и число шагов в фор­му­лу:

Ответ:1,44.

Ответ: 1,44

21. За­да­ние 21 № 316356. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

От­ку­да

 или 

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 338660. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Пусть  — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых пер­вым ра­бо­чим за час, тогда  — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых вто­рым ра­бо­чим за час. Заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 3 часа быст­рее, чем вто­рой, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −10 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пер­вый ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 20 де­та­лей в час. Зна­чит, вто­рой ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 10 де­та­лей в час.

Ответ: 10.

23. За­да­ние 23 № 314424. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от оси ?

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по раз­ные сто­ро­ны от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют раз­ные знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют раз­ный знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние от­ри­ца­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что пер­вый мно­жи­тель все­гда мень­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­к­вый знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

При­ме­ча­ние.

Ко­ор­ди­на­ту  па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле 

24. За­да­ние 24 № 339487. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках Kи P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP = 18, а сто­ро­на BC в 1,2 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник  впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но,  Углы  и  — смеж­ные, сле­до­ва­тель­но,  Из при­ведённых ра­венств, по­лу­ча­ем, что  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  угол  — общий, углы  и  равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да  Ис­поль­зуя ра­вен­ство  найдём 

Ответ: 15.

25. За­да­ние 25 № 311549. В па­рал­ле­ло­грам­ме    точка   — се­ре­ди­на сто­ро­ны  . Из­вест­но, что  . До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  па­рал­ле­ло­грам­ма  — рав­но­уда­ле­на от его вер­шин    и  . Тогда, тре­уголь­ник   — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му  . По­сколь­ку пря­мая    па­рал­лель­на сто­ро­не  , то    и    как на­крест ле­жа­щие. Таким об­ра­зом,    по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков  .

Зна­чит,  . Их сумма равна 180°, т. к. это два угла па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щие к одной сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но,   90°. По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма углы    и    также пря­мые. Зна­чит,   — пря­мо­уголь­ник.

26. За­да­ние 26 № 339825. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до точки A и пря­мых AD иAC со­от­вет­ствен­но равны 5, 4 и 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник  Центр впи­сан­ной окруж­но­сти — это точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, по­это­му  — бис­сек­три­сы. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём 

От­рез­ки  и  равны как ра­ди­у­сы впи­сан­ной в тре­уголь­ник  окруж­но­сти, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ALO и AOK, они пря­мо­уголь­ные, углы  и  равны,  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да  Ана­ло­гич­но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков  и  по­лу­ча­ем  а из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков и  —  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  можно найти как про­из­ве­де­ние ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр:

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на ос­но­ва­ние:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и   равно ,  равно  углы  и равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  равны. По­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма:

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна: 

Ответ: 

ВАРИАНТ 8

1. За­пи­ши­те но­ме­ра вер­ных ра­венств. Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1)	2)
3)	4)

2. Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число ?

1) 38 и 40

2) 4 и 5

3) 77 и 79

4) 8 и 9

 3. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь  

1)        2)         3)        4) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние  Если кор­ней не­сколь­ко ука­жи­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Ука­жи­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1)        2)         3)        4) 

 Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

А	Б	В

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

1)

2)

3)

4)

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при , .

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство     и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 24, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

10. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

11. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 3 и 13. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

12. Най­ди­те тан­генс угла B тре­уголь­ни­ка ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.

2) В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.

4) Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам. Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. На ру­ло­не обоев име­ет­ся над­пись, га­ран­ти­ру­ю­щая, что длина по­лот­на обоев на­хо­дит­ся в пре­де­лах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь по­лот­но при этом усло­вии?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 9,96 м       2) 10,05 м        3) 9,75 м       4) 10,02 м

15. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те раз­ность между наи­боль­шим и наи­мень­шим зна­че­ни­ем темпе­ра­ту­ры в пер­вой по­ло­ви­не этих суток. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

16. В на­ча­ле учеб­но­го года в школе было 1250 уча­щих­ся, а к концу года их стало 950. На сколь­ко про­цен­тов умень­ши­лось за год число уча­щих­ся?

17. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в мет­рах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние зе­мель Ураль­ско­го, При­волж­ско­го, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по ка­те­го­ри­ям. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком окру­ге доля зе­мель лес­но­го фонда пре­вы­ша­ет 70%.

 *Про­чее — это земли по­се­ле­ний; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го на­зна­че­ния; земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объ­ек­тов.

 1) Ураль­ский ФО       2) При­волж­ский ФО       3) Южный ФО     4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

19. Саша, Семён, Зоя и Лера бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет не Семён.

20. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где  — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка (в мет­рах), пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 3 се­кун­ды.

21. Ре­ши­те си­сте­му 

22. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

23. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(3; 10), M( –3; –2). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

24. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны  ,  и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90°.

25. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

26. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 8

1. За­да­ние 1 № 311904. За­пи­ши­те но­ме­ра вер­ных ра­венств.

Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1)	2)
3)	4)

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим левую часть каж­до­го ра­вен­ства и срав­ним с пра­вой ча­стью:

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­рами 2 и 3.

Ответ: 23.

Ответ: 23

2. За­да­ние 2 № 341665. Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число ?

1) 38 и 40

2) 4 и 5

3) 77 и 79

4) 8 и 9

Ре­ше­ние.

Срав­ним квад­ра­ты при­ведённых в усло­вии чисел:

Число 78 лежит между чис­ла­ми 64 и 81, по­это­му  за­клю­че­но между чис­ла­ми 8 и 9.

Ответ: 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 314387. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь  

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Упро­стим дробь:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 341141. Ре­ши­те урав­не­ние 

Если кор­ней не­сколь­ко ука­жи­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −4; 0.

Ответ: -4;0|-4;0

5. За­да­ние 5 № 311351. Ука­жи­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1)  урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны

2)  урав­не­ние гра­фик сте­пен­ной функ­ции с по­ло­жи­тель­ным дроб­ным по­ка­за­те­лем.

В точке  зна­че­ние функ­ции равно 0. гра­фик про­хо­дит через точку 

3)  урав­не­ние пря­мой, ко­то­рая про­хо­дит через точки  и 

4)  урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: A — 2, Б — 3, В — 4.

Ответ: 234

6. За­да­ние 6 № 137304. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Для члена  имеем:  По фор­му­ле на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Пер­вое число, ко­то­рое удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию, число 6. Сле­до­ва­тель­но, пер­вым от­ри­ца­тель­ным чле­ном про­грес­сии яв­ля­ет­ся 

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

7. За­да­ние 7 № 333010. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при , .

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при  

Ответ: 14.

Ответ: 14

8. За­да­ние 8 № 314557. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 1.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 324839. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 24, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть сто­ро­ны тра­пе­ции равны a, b, c, d. В вы­пук­лый четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны: a + c = b + d = 24. Длина сред­ней линии равна по­лу­сум­ме длин ос­но­ва­ний: 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

10. За­да­ние 10 № 90. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB: он рав­но­бед­рен­ный, его бо­ко­вые сто­ро­ны равны ра­ди­у­су.

Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го все углы равны, — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник; зна­чит, ра­ди­ус равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

11. За­да­ние 11 № 341708. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 3 и 13. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

Ре­ше­ние.

Пусть KN — сред­няя линия тра­пе­ции, где L — точка пе­ре­се­че­ния с диа­го­на­лью.

Так как KN — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

, 

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

12. За­да­ние 12 № 92. Най­ди­те тан­генс угла B тре­уголь­ни­каABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 3,5.

Ответ: 3,5

13. За­да­ние 13 № 169928. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.

2) В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.

4) Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.»— верно, oколо тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, при­том толь­ко одну.

2) «В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.» — верно, в любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

3) «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.» — не­вер­но, цен­тром опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка.

4) «Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.» — не­вер­но, цен­тром впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. За­да­ние 14 № 341048. На ру­ло­не обоев име­ет­ся над­пись, га­ран­ти­ру­ю­щая, что длина по­лот­на обоев на­хо­дит­ся в пре­де­лах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь по­лот­но при этом усло­вии?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 9,96 м

2) 10,05 м

3) 9,75 м

4) 10,02 м

Ре­ше­ние.

За­пись, при­ведённая в усло­вии, ука­зы­ва­ет на то, что длина ру­ло­на обоев на­хо­дит­ся в пре­де­лах от 9,95 м до 10,05 м. В этот ин­тер­вал не по­па­да­ет зна­че­ние 9,75.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 340959. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те раз­ность между наи­боль­шим и наи­мень­шим зна­че­ни­ем тем­пе­ра­ту­ры в пер­вой по­ло­ви­не этих суток. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

По гра­фи­ку видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра была равна 33°С, а наи­мень­шая 26°С. Таким об­ра­зом, раз­ность тем­пе­ра­тур равна: 33 − 26 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

16. За­да­ние 16 № 318031.

В на­ча­ле учеб­но­го года в школе было 1250 уча­щих­ся, а к концу года их стало 950. На сколь­ко про­цен­тов умень­ши­лось за год число уча­щих­ся?

Ре­ше­ние.

Число уча­щих­ся за год умень­ши­лось на 1250 − 950 = 300 че­ло­век. Зна­чит, за год число уча­щих­ся умень­ши­лось на 

Ответ: 24.

Ответ: 24

17. За­да­ние 17 № 316378. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в мет­рах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Ре­ше­ние.

Дан­ная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Пусть  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние, тогда:

Ответ: 1,05.

Ответ: 1,05

18. За­да­ние 18 № 316290. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние зе­мель Ураль­ско­го, При­волж­ско­го, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по ка­те­го­ри­ям. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком окру­ге доля зе­мель лес­но­го фонда пре­вы­ша­ет 70%.

*Про­чее — это земли по­се­ле­ний; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го на­зна­че­ния; земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объ­ек­тов.

1) Ураль­ский ФО

2) При­волж­ский ФО

3) Южный ФО

4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

Ре­ше­ние.

Из диа­грамм видно, что в ука­зан­ных пре­де­лах доля зе­мель лес­но­го фонда на­хо­дит­ся в Даль­не­во­сточ­ном Фе­де­раль­ном окру­ге.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 311855. Саша, Семён, Зоя и Лера бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет не Семён.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Бла­го­при­ят­ными слу­ча­ями яв­ля­ют­ся 3 слу­чая, когда игру на­чи­на­ет не Семён, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 4. По­это­му ис­ко­мое от­но­ше­ние равно 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

20. За­да­ние 20 № 337952. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где  — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка (в мет­рах), пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 3 се­кун­ды.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину ма­ят­ни­ка из фор­му­лы для пе­ри­о­да ко­ле­ба­ний: 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

21. За­да­ние 21 № 333101. Ре­ши­те си­сте­му 

Ре­ше­ние.

 ;  ; 

от­ку­да

 ;  или  ; 

Ответ: .

22. За­да­ние 22 № 126. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та A, равна  км/ч. Тогда ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та B, равна  км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да из пунк­та A до места встре­чи   ч на пол­ча­са мень­ше, чем время дви­же­ния дру­го­го пе­ше­хо­да   ч. Со­ста­вим урав­не­ние:   . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид:    Корни урав­не­ния 6 и −3. Зна­чит, ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6.

23. За­да­ние 23 № 314398. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; –5), L(3; 10), M( –3; –2). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

Ответ: (−1; −6).

24. За­да­ние 24 № 314897. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны  ,  и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90°.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  и  и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их уг­ла­ми. Про­тив боль­шей сто­ро­ны все­гда лежит боль­ший угол, в тре­уголь­ни­ке  это угол  в тре­уголь­ни­ке , в свою оче­редь, есть тупой угол  и он яв­ля­ет­ся наи­боль­шим, зна­чит  Угол  за­ве­до­мо не может быть равен углу  так как он со­став­ля­ет толь­ко его часть. Сле­до­ва­тель­но угол  равен углу 

Найдём ко­си­нус угла KAC ис­поль­зуя тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ: 

25. За­да­ние 25 № 315062. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

Ре­ше­ние.

Углы  и  равны, по­это­му тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, то есть 

Углы  и  — развёрну­тые, по­это­му:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и   сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит,  то есть тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный.

26. За­да­ние 26 № 314866. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точкеK, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­каABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.

Ре­ше­ние.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна  Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, по­это­му  Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сто­ро­нам, то есть:

От­ку­да   Рас­смот­рим тре­уголь­ник   — бис­сек­три­са, сле­до­ва­тель­но:

От­ку­да   Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка 

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка  к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка 

Ответ: 

ВАРИАНТ 9

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа 

1)        2)        3)        4) 

3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

4. Ре­ши­те урав­не­ние 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке [−1; +∞).

2) f(−3)<f(0).

3) f(x)<0 при −4<x<2.

6. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n) за­да­на усло­ви­я­ми: a₁ = 3, a_n + 1 = a_n + 4. Най­ди­те a₁₀.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при  и 

8. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 6x − 2 боль­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 7x + 8? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) x > − 10       2) x < − 10       3) x > − 6      4) x < − 6

9. Диа­го­наль  BD  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 50° и 85°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

10. В угол ве­ли­чи­ной 70° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках A и B. На одной из дуг этой окруж­но­сти вы­бра­ли точку C так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­ди­те ве­ли­чи­ну углаACB.

11. В тра­пе­ции ABCD AB = CD, AC = AD и ∠ABC = 117°. Най­ди­те угол CAD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

12.Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны? Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

1) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч	21—40	41—60	61—80	81 и более
Раз­мер штра­фа, руб.	500	1000	2000	5000

 Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 111 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 80 км/ч?

 1) 500 руб­лей         2) 1000 руб­лей        3) 2000 руб­лей       4) 5000 руб­лей

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик из­ме­не­ния силы тока при под­клю­че­нии цепи, со­дер­жа­щей рео­стат, к ис­точ­ни­ку тока. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся сила тока   (в A), по го­ри­зон­таль­ной — время   (в сек). По ри­сун­ку опре­де­ли­те силу тока через 4 се­кун­ды с мо­мен­та под­клю­че­ния дан­ной цепи.

16. Аль­бом, ко­то­рый стоил 120 руб­лей, продаётся с 25%-ой скид­кой. При по­куп­ке 5 таких аль­бо­мов по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

17. По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

18. В ма­те­ма­ти­че­ские круж­ки го­ро­да ходят школь­ни­ки 5–8 клас­сов. Рас­пре­де­ле­ние участ­ни­ков ма­те­ма­ти­че­ских круж­ков пред­став­ле­но в кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое утвер­жде­ние от­но­си­тель­но участ­ни­ков круж­ков верно, если всего их по­се­ща­ют 354 школь­ни­ка?

1) в круж­ки не ходят пя­ти­класс­ни­ки

2) вось­ми­класс­ни­ков ходит боль­ше, чем се­ми­класс­ни­ков

3) боль­ше по­ло­ви­ны участ­ни­ков круж­ков учат­ся не в седь­мом клас­се

4) ше­сти­класс­ни­ков мень­ше 88 че­ло­век

19. В сред­нем из 147 ис­прав­ных дре­лей три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

20. Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние при дви­же­нии по окруж­но­сти (в м/c² ) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — уг­ло­вая ско­рость (в с⁻¹), а R — ра­ди­ус окруж­но­сти. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те рас­сто­я­ние R (в мет­рах), если уг­ло­вая ско­рость равна 3 с⁻¹, а цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно 45 м/c².

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

22. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 5 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 180 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те все зна­че­ния k, при ко­то­рых пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

24. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точкеK. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

25. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

26. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  катет  равен 8, катет  равен 15. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая про­хо­дит через концы ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся пря­мой .

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 9

1. За­да­ние 1 № 314293. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ре­ше­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: -2,68.

Ответ: -2,68

2. За­да­ние 2 № 341346. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа 

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  тогда    Таким об­ра­зом, 

Ответ: 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 137285. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние, раз­ло­жив под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния на мно­жи­те­ли и вы­не­сем за знак корня пол­ные квад­ра­ты чисел:

Ответ: 220.

Ответ: 220

4. За­да­ние 4 № 314601. Ре­ши­те урав­не­ние 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −3, а их про­из­ве­де­ние равно −18. Тем самым, это числа −6 и 3.

Ответ: −6; 3.

Ответ: -6;3

5. За­да­ние 5 № 314707. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке [−1; +∞).

2) f(−3)<f(0).

3) f(x)<0 при −4<x<2.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1) На луче [−1; +∞) боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­т­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции. Сле­до­ва­тель­но, функ­ция воз­рас­та­ет на этом луче; пер­вое утвер­жде­ние не­вер­но.

2) f(−3) = −5, а <f(0) = −8, зна­чит, f(−3)>f(0) Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) На ин­тер­ва­ле (−4; 2) f(x)<0. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

Ответ: 12.

Ответ: 12|1;2

6. За­да­ние 6 № 314619. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n) за­да­на усло­ви­я­ми: a₁ = 3, a_n + 1 = a_n + 4. Най­ди­те a₁₀.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 39.

Ответ: 39

7. За­да­ние 7 № 340889. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при  и 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим в по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние зна­че­ние  и 

Ответ: 13.

Ответ: 13

8. За­да­ние 8 № 338677. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 6x − 2 боль­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 7x + 8?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) x > − 10

2) x < − 10

3) x > − 6

4) x < − 6

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 2.

Ответ: 2

9. За­да­ние 9 № 311459. Диа­го­наль  BD  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 50° и 85°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Так как угол В равен 135°, а сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 45°.

Ответ: 45.

Ответ: 45

10. За­да­ние 10 № 311510. В угол ве­ли­чи­ной 70° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках A и B. На одной из дуг этой окруж­но­сти вы­бра­ли точку C так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­ди­те ве­ли­чи­ну углаACB.

Ре­ше­ние.

Угол ACB — впи­сан­ный, он равен по­ло­ви­не дуги AB. Угол АОВ — цен­траль­ный, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу. Про­ведём ра­ди­у­сы ОА и ОВ в точки ка­са­ния. Сумма углов четырёхуголь­ни­ка AOBD равна 360°. По­это­му

Ответ: 55.

Ответ: 55

11. За­да­ние 11 № 341147. В тра­пе­ции ABCD AB = CD, AC = AD и ∠ABC = 117°. Най­ди­те угол CAD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Тра­пе­ция ABCD — рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Сумма углов тра­пе­ции равна 360°. Сле­до­ва­тель­но, ∠CDA = (360° − 117° − 117°)/2 = 63°.

По­сколь­ку тре­уголь­ник ACD — рав­но­бед­рен­ный, ∠CDA = ∠ACD = 63°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, сле­до­ва­тель­но, ∠CAD = 180° − 63° − 63° = 54°.

Ответ: 54.

Ответ: 54

12. За­да­ние 12 № 311683. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на от­ре­зок OA и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OBH:

Ответ: 2.

Ответ: 2

13. За­да­ние 13 № 333120. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон» — верно, так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна  где — угол между сто­ро­на­ми  и  тре­уголь­ни­ка. Синус угла все­гда мень­ше еди­ни­цы, по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) «Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний» — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме его ос­но­ва­ний.

3) «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны» — верно, по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1;3

14. За­да­ние 14 № 316665. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч	21—40	41—60	61—80	81 и более
Раз­мер штра­фа, руб.	500	1000	2000	5000

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 111 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 80 км/ч?

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 111 − 80 = 31 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим, что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 500 руб­лей.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

15. За­да­ние 15 № 311345. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик из­ме­не­ния силы тока при под­клю­че­нии цепи, со­дер­жа­щей рео­стат, к ис­точ­ни­ку тока. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся сила тока   (в A), по го­ри­зон­таль­ной — время   (в сек). По ри­сун­ку опре­де­ли­те силу тока через 4 се­кун­ды с мо­мен­та под­клю­че­ния дан­ной цепи.

Ре­ше­ние.

По гра­фи­ку видно, что через 4 се­кун­ды с мо­мен­та вклю­че­ния цепи сила тока была равна 3 А.

Ответ: 3.

Ответ: 3

16. За­да­ние 16 № 95. Аль­бом, ко­то­рый стоил 120 руб­лей, продаётся с 25%-ой скид­кой. При по­куп­ке 5 таких аль­бо­мов по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

Ре­ше­ние.

Сто­и­мость од­но­го аль­бо­ма равна 120 − 0,25 · 120 = 90 руб. По­это­му сто­и­мость пяти аль­бо­мов равна 450 руб. Зна­чит, сдача с 500 руб­лей со­ста­вит 50 руб­лей.

Ответ: 50.

Ответ: 50

17. За­да­ние 17 № 324946. По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

Ответ: 12.

Ответ: 12

18. За­да­ние 18 № 311906. В ма­те­ма­ти­че­ские круж­ки го­ро­да ходят школь­ни­ки 5–8 клас­сов. Рас­пре­де­ле­ние участ­ни­ков ма­те­ма­ти­че­ских круж­ков пред­став­ле­но в кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое утвер­жде­ние от­но­си­тель­но участ­ни­ков круж­ков верно, если всего их по­се­ща­ют 354 школь­ни­ка?

1) в круж­ки не ходят пя­ти­класс­ни­ки

2) вось­ми­класс­ни­ков ходит боль­ше, чем се­ми­класс­ни­ков

3) боль­ше по­ло­ви­ны участ­ни­ков круж­ков учат­ся не в седь­мом клас­се

4) ше­сти­класс­ни­ков мень­ше 88 че­ло­век

Ре­ше­ние.

Про­ана­ли­зи­ру­ем каж­дое утвер­жде­ние.

Утвер­жде­ние 1) не­вер­но: пя­ти­класс­ни­ки за­ни­ма­ют­ся в круж­ках.

Утвер­жде­ние 2) не верно: се­ми­класс­ни­ков боль­ше, чем вось­ми­класс­ни­ков.

Утвер­жде­ние 3) верно: се­ми­класс­ни­ков мень­ше по­ло­ви­ны всех уча­щих­ся, зна­чит, не се­ми­класс­ни­ков боль­ше по­ло­ви­ны всех уча­щих­ся.

Утвер­жде­ние 4) не­вер­но. Ше­сти­класс­ни­ков боль­ше чет­вер­ти всех уча­щих­ся, т. е. боль­ше 354 : 4 = 88,5 че­ло­век.

Таким об­ра­зом, верно тре­тье утвер­жде­ние.

Ответ: 3

19. За­да­ние 19 № 311482. В сред­нем из 147 ис­прав­ных дре­лей три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство всех дре­лей равно 147. Ис­прав­ных из них 144. По­это­му, ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на равна 

Ответ: 0,98

20. За­да­ние 20 № 311920. Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние при дви­же­нии по окруж­но­сти (в м/c² ) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — уг­ло­вая ско­рость (в с⁻¹), а R — ра­ди­ус окруж­но­сти. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те рас­сто­я­ние R (в мет­рах), если уг­ло­вая ско­рость равна 3 с⁻¹, а цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно 45 м/c².

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим ра­ди­ус окруж­но­сти:  Под­ста­вим зна­че­ния пе­ре­мен­ных  и 

Ответ: 5.

Ответ: 5

21. За­да­ние 21 № 73. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим  во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­чим урав­не­ние от­но­си­тель­но . От­сю­да . Под­ста­вим  в урав­не­ние , по­лу­чим: 

Ответ: (3; −4).

22. За­да­ние 22 № 341685. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 5 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 180 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Пусть вто­рой ра­бо­чий де­ла­ет за час x де­та­лей, тогда пер­вый ра­бо­чий де­ла­ет за час x + 5 де­та­лей. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

от­ку­да x = 15.

Ответ: 15.

23. За­да­ние 23 № 311771. По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те все зна­че­ния k, при ко­то­рых пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­ду­ли, по­лу­ча­ем, что при  функ­ция при­ни­ма­ет вид  при  функ­ция при­ни­ма­ет вид  а при  функ­ция при­ни­ма­ет вид 

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку при 

Ответ: 

24. За­да­ние 24 № 339709. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точкеK. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

Ре­ше­ние.

Про­ведём через точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис вы­со­ту. Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и они пря­мо­уголь­ные, углы  и  равны, сто­ро­на  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да  Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки H и  от­ку­да  Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 266.

25. За­да­ние 25 № 315022. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, . Углы  и  — развёрну­тые, по­это­му:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и   сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит,  то есть тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный.

26. За­да­ние 26 № 311702. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  катет  равен 8, катет  равен 15. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая про­хо­дит через концы ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся пря­мой .

Ре­ше­ние.

По усло­вию окруж­ность про­хо­дит через точку  и это един­ствен­ная общая точка окруж­но­сти и пря­мой . Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус  окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой . По­это­му пря­мые  и  па­рал­лель­ны. Центр  окруж­но­сти рав­но­уда­лен от точек  и , сле­до­ва­тель­но, он лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну  бук­вой .

 — это на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей .

Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что . Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен

Тогда 

Ответ: .

ВАРИАНТ 10

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся вер­ным?

1) a − 8 > 0      2) 7 − a < 0      3) a − 3 > 0     4) 2 − a > 0

3. Срав­ни­те числа  и 14.   В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)       2)       3) 

4. Ре­ши­те урав­не­ние 

5. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

6. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 17; 68; 272; ... Най­ди­те её четвёртый член.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при a = 4, b = −20.

8. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)       2)       3)      4) 

9. На пря­мой AB взята точка M. Луч MD — бис­сек­три­са угла CMB. Из­вест­но, что ∠DMC = 60°. Най­ди­те угол CMA. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Окруж­ность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB = BC и ∠ABC = 177°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла BOC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. На квад­рат­ной сетке изоб­ражён угол  . Най­ди­те  .

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний. Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

 14. В таб­ли­це при­ве­де­ны рас­сто­я­ния от Солн­ца до четырёх пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы. Какая из этих пла­нет даль­ше всех от Солн­ца?

Пла­не­та	Марс	Мер­ку­рий	Неп­тун	Са­турн
Рас­сто­я­ние (в км)	2,280 · 108	5,790 · 107	4,497 · 109	1,427 · 109

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Марс       2) Мер­ку­рий      3) Неп­тун     4) Са­турн

15. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C?

16Мас­штаб карты 1 : 1 000 000. Чему равно рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми Aи B (в км), если на карте оно со­став­ля­ет 2 см?

17. На какой угол (в гра­ду­сах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся ми­нут­ная стрел­ка, пока ча­со­вая про­хо­дит 25°?

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Поль­зу­ясь диа­грам­мой, ука­жи­те, какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны.

1) Алжир вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,7 млн км².

3) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Ав­стра­лии.

4) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Индии на 4,4 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

19. Из 500 мо­ни­то­ров, по­сту­пив­ших в про­да­жу, в сред­нем 15 не ра­бо­та­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный в ма­га­зи­не мо­ни­тор ра­бо­та­ет?

20. Пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та поз­во­ля­ет фор­му­ла F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 155° по шкале Фа­рен­гей­та? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

21. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

22. По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют то­вар­ный и пас­са­жир­ский по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 40 км/ч и 60 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 1600 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он прошёл мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 6 ми­ну­там.

23. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

24. Сто­ро­на ромба равна 32, а ост­рый угол равен 60°. Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

25. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны.

26. Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 14 и 35 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Точки A и Bлежат на пер­вой окруж­но­сти, точки C и D — на вто­рой. При этом AC и BD — общие ка­са­тель­ные окруж­но­стей. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 10

1. За­да­ние 1 № 314285. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ше­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю и по­де­лим:

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

2. За­да­ние 2 № 341398. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число a.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся вер­ным?

1) a − 8 > 0

2) 7 − a < 0

3) a − 3 > 0

4) 2 − a > 0

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что , тогда:

1)  Не­вер­но.

2)  Не­вер­но.

3)  Верно.

4)  Не­вер­но.

Ответ: 3.

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 314455. Срав­ни­те числа  и 14.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

Ре­ше­ние.

В силу це­поч­ки не­ра­венств

пер­вое число мень­ше вто­ро­го.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 311755. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Умно­жим левую и пра­вую часть урав­не­ния на 4, по­лу­ча­ем:

Ответ: −20.

Ответ: -20

5. За­да­ние 5 № 200515. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

Ре­ше­ние.

Гра­фик функ­ции  — па­ра­бо­ла. Опре­де­лим тип каж­до­го гра­фи­ка функ­ции.

1) На пер­вом ри­сун­ке изоб­ра­же­на ли­ней­ная функ­ция.

2) На вто­ром ри­сун­ке изоб­ра­же­на ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция.

3) На тре­тьем ри­сун­ке изоб­ра­же­на па­ра­бо­ла.

4) На четвёртом ри­сун­ке изоб­ра­же­на ги­пер­бо­ла.

Ответ: 3.

Ответ: 3

6. За­да­ние 6 № 340917. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 17; 68; 272; ... Най­ди­те её четвёртый член.

Ре­ше­ние.

Найдём зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

Четвёртый член про­грес­сии равен 

Ответ: 1088.

Ответ: 1088

7. За­да­ние 7 № 341379. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при a = 4, b = −20.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при a = 4, b = −20:

Ответ: 1,95.

Ответ: 1,95

8. За­да­ние 8 № 185. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств.

1)   — ре­ше­ний нет.

2)  

3)   верно для всех 

4)  

На ри­сун­ке изоб­ра­же­но ре­ше­ние четвёртого не­ра­вен­ства.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. За­да­ние 9 № 340052. На пря­мой AB взята точка M. Луч MD — бис­сек­три­са угла CMB. Из­вест­но, что ∠DMC = 60°. Най­ди­те угол CMA. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку MD — бис­сек­три­са, ∠DMB = ∠DMC = 60°. Углы ACM, CMD и DMB вме­сте со­став­ля­ют развёрну­тый угол, от­ку­да ∠ACM = 180° − ∠DMB − ∠DMC = 180° − 60° − 60° = 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

10. За­да­ние 10 № 339483. Окруж­ность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB = BC и ∠ABC = 177°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла BOC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,  Угол  — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Угол  — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 3.

Ответ: 3

11. За­да­ние 11 № 323356. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба ост­рых угла равны, сле­до­ва­тель­но, дан­ный тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да по­лу­ча­ем, что оба ка­те­та равны. Длина ка­те­та равна  Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния ка­те­тов: 

Ответ: 1225.

Ответ: 1225

12. За­да­ние 12 № 311485. На квад­рат­ной сетке изоб­ражён угол  . Най­ди­те  .

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH. Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный. Таким об­ра­зом,

Ответ: 3.

Ответ: 3

13. За­да­ние 13 № 311851. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка па­рал­лель­но­сти пря­мых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно про­ве­сти одну пря­мую, если они лежат на одной пря­мой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по по­стро­е­нию, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы пря­мые, утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2|12

14. За­да­ние 14 № 337408. В таб­ли­це при­ве­де­ны рас­сто­я­ния от Солн­ца до четырёх пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы. Какая из этих пла­нет даль­ше всех от Солн­ца?

Пла­не­та	Марс	Мер­ку­рий	Неп­тун	Са­турн
Рас­сто­я­ние (в км)	2,280 · 108	5,790 · 107	4,497 · 109	1,427 · 109

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Марс

2) Мер­ку­рий

3) Неп­тун

4) Са­турн

Ре­ше­ние.

Из чисел, за­пи­сан­ных в стан­дарт­ном виде, наи­боль­шим будет то, ко­то­рое имеет наи­боль­ший по­ка­за­тель в сте­пе­ни де­ся­ти. Если по­ка­за­те­ли равны, то наи­боль­шим будет число, име­ю­щее наи­боль­шую ман­тис­су. Таким об­ра­зом, среди пред­став­лен­ных чисел наиб­оль­шее —  зна­чит, даль­ше всего от Солн­ца на­хо­дит­ся Неп­тун.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 322141. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в пер­вой по­ло­ви­не дня, то есть до 12:00, тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C в те­че­ние трёх часов.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

Пор­тал «Сдам ГИА» не уве­рен, что вто­рая по­ло­ви­на дня длит­ся с 12:00 до 24:00.

Ответ: 3

16. За­да­ние 16 № 341413. Мас­штаб карты 1 : 1 000 000. Чему равно рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми Aи B (в км), если на карте оно со­став­ля­ет 2 см?

Ре­ше­ние.

Мас­штаб карты 1:1 000 000 озна­ча­ет, что рас­сто­я­ние на карте, рав­ное 1 см равно 1 000 000 см на мест­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми будет равно:

 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

17. За­да­ние 17 № 333097. На какой угол (в гра­ду­сах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся ми­нут­ная стрел­ка, пока ча­со­вая про­хо­дит 25°?

Ре­ше­ние.

Ми­нут­ная стрел­ка дви­жет­ся в 12 раз быст­рее ча­со­вой, по­это­му она пройдёт 25° · 12 = 300°.

При­ме­ча­ние.

Су­ще­ствен­но, что ци­фер­блат пред­по­ла­га­ет­ся 12-ча­со­вым.

Ответ: 300.

Ответ: 300

18. За­да­ние 18 № 341337. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Поль­зу­ясь диа­грам­мой, ука­жи­те, какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны.

1) Алжир вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,7 млн км².

3) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Ав­стра­лии.

4) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Индии на 4,4 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

Ре­ше­ние.

1) Алжир вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира — не­вер­но.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,7 млн км² — не­вер­но, пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,5 млн км².

3) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Ав­стра­лии — верно.

4) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Индии на 4,4 млн км² — верно.

Ответ: 34.

Ответ: 34

19. За­да­ние 19 № 333152. Из 500 мо­ни­то­ров, по­сту­пив­ших в про­да­жу, в сред­нем 15 не ра­бо­та­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный в ма­га­зи­не мо­ни­тор ра­бо­та­ет?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что мо­ни­тор не ра­бо­та­ет  По­это­му ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный мо­ни­тор ра­бо­та­ет 

Ответ: 0,97.

Ответ: 0,97

20. За­да­ние 20 № 338342. Пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та поз­во­ля­ет фор­му­ла F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 155° по шкале Фа­рен­гей­та? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим гра­ду­сы Цель­сия из фо­ру­лы для пе­ре­во­да гра­ду­сов Цель­сия в гра­ду­сы Фа­рен­гей­та:

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние 

Ответ: 68,3.

Ответ: 68,3

21. За­да­ние 21 № 314563. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Рас­кро­ем скоб­ки, при­ведём по­доб­ные сла­га­е­мые, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 333128. По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют то­вар­ный и пас­са­жир­ский по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 40 км/ч и 60 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 1600 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он прошёл мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 6 ми­ну­там.

Ре­ше­ние.

Пусть длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна l м. Ско­рость пас­са­жир­ско­го

по­ез­да от­но­си­тель­но то­вар­но­го равна 60 − 40 = 20 км/ч, или  м/мин.

Пас­са­жир­ский поезд прошёл мимо то­вар­но­го за  минут.

Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

.

Длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да со­став­ля­ет 400 м.

Ответ: 400 м.

23. За­да­ние 23 № 314738. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (−1; −3).

24. За­да­ние 24 № 314828. Сто­ро­на ромба равна 32, а ост­рый угол равен 60°. Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный, в нём угол A равен 60°. Тогда от­ре­зок AH можно найти по фор­му­ле:

Найдём от­ре­зок HD:

Ответ: 16,16.

25. За­да­ние 25 № 340243. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны.

Ре­ше­ние.

Углы  и  равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, углы  и  равны, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны как вер­ти­каль­ные,  сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

26. За­да­ние 26 № 333132. Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 14 и 35 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Точки A и Bлежат на пер­вой окруж­но­сти, точки C и D — на вто­рой. При этом AC и BD — общие ка­са­тель­ные окруж­но­стей. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD.

Ре­ше­ние.

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через их точку ка­са­ния, по­это­му рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно сумме их ра­ди­у­сов, т. е. 49. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OP из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на ра­ди­ус  вто­рой окруж­но­сти. Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  на­хо­дим, что

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр  из точки  на пря­мую . Пря­мо­уголь­ный

тре­уголь­ник  по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку  по двум углам, по­это­му . Сле­до­ва­тель­но.

Ответ: 40.

ВАРИАНТ 11

1. За­пи­ши­те в от­ве­те но­ме­ра вер­ных ра­венств. Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1)

2)

3)

4)

2. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу  Какая это точка?

1) точка A   2) точка B   3) точка C   4) точка D

3. Зна­че­ние ка­ко­го из вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся чис­лом ра­ци­о­наль­ным? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)         2)         3)         4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Най­ди­те зна­че­ние  по гра­фи­ку функ­ции  изоб­ра­жен­но­му на ри­сун­ке.

1)

2)

3)

4)

6. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  если 

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (−∞; 9,5]   2) [−8,5; +∞)   3) [9,5; +∞)   4) (−∞; −8,5]

9. Углы B и C тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 65° и 85°. Най­ди­те BC, если ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 14.

10. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 48°.

11. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 8 и 15. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

12. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 1) Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су.

 Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. Биз­не­смен Пет­ров вы­ез­жа­ет из Моск­вы в Санкт-Пе­тер­бург на де­ло­вую встре­чу, ко­то­рая на­зна­че­на на 9:30. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние  из Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
038А	00:43	08:45
020У	00:54	09:02
016А	01:00	08:38
116С	01:00	09:06

 Путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­ча­са. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят биз­не­сме­ну Пет­ро­ву. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 038А   2) 020У   3) 016А   4) 116С

15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го

дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в среду.

16. На пред­при­я­тии ра­бо­та­ло 240 со­труд­ни­ков. После мо­дер­ни­за­ции про­из­вод­ства их число со­кра­ти­лось до 192. На сколь­ко про­цен­тов со­кра­ти­лось число со­труд­ни­ков пред­при­я­тия?

17. Два па­ро­хо­да вышли из порта, сле­дуя один на север, дру­гой на запад. Ско­ро­сти их равны со­от­вет­ствен­но 10 км/ч и 24 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в ки­ло­мет­рах) будет между ними через 3 часа?

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.  Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно? В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

      1) Мон­го­лия вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Индии со­став­ля­ет 8,5 млн км².

3) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Ка­на­ды.

4) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Индии более, чем в 3 раза.

 19. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не мень­шее 1. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

20. За 5 минут пе­ше­ход прошёл a мет­ров. За сколь­ко минут он пройдёт 120 мет­ров, если будет идти с той же ско­ро­стью? За­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­ние.

21. Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли: .

22. На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра с пря­мая y = c имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

24. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Вы­со­та тра­пе­ции равна 16. Най­ди­те её сред­нюю линию.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что KA = NA. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. На каж­дой из двух окруж­но­стей с ра­ди­у­са­ми 3 и 4 лежат по три вер­ши­ны ромба. Най­ди­те его сто­ро­ну.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 11

1. За­да­ние 1 № 203741. За­пи­ши­те в от­ве­те но­ме­ра вер­ных ра­венств.

Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ния вы­ра­же­ний:

Таким об­ра­зом, вер­ные ра­вен­ства ука­за­ны под но­ме­ра­ми 2 и 3.

Ответ: 23.

Ответ: 23

2. За­да­ние 2 № 314162. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу  Какая это точка?

1) точка A

2) точка B

3) точка C

4) точка D

Ре­ше­ние.

Воз­ведём в квад­рат числа  8, 9, 10:

Число 68 лежит между чис­ла­ми 64 и 81 и на­хо­дит­ся ближе к числу 64, по­это­му  со­от­вет­ству­ет точке A.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

3. За­да­ние 3 № 28. Зна­че­ние ка­ко­го из вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся чис­лом ра­ци­о­наль­ным?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Упро­стим каж­дое вы­ра­же­ние.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ра­ци­о­наль­ным яв­ля­ет­ся зна­че­ние пер­во­го вы­ра­же­ния.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 314548. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­несём всё в урав­не­нии в одну сто­ро­ну:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −1, а их про­из­ве­де­ние равно −12. Тем самым, это числа −4 и 3.

Ответ: −4; 3.

Ответ: -4;3

5. За­да­ние 5 № 193091. Най­ди­те зна­че­ние  по гра­фи­ку функ­ции  изоб­ра­жен­но­му на ри­сун­ке.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние  — это зна­че­ние гра­фи­ка при ор­ди­на­та гра­фи­ка при  Зна­чит,  Такой ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

6. За­да­ние 6 № 314399. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

Ре­ше­ние.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­боль­шее  что  Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­си­ю с пер­вым чле­ном  и раз­но­стью  Cумма  пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

в нашем слу­чае

Най­дем наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства . Для этого найдём корни урав­не­ния

Вы­чис­лим дис­кри­ми­нант:

от­ку­да по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, при  сумма 32 сла­га­е­мых равна 528. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет мень­ше 528, равно 31.

Ответ: 31.

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить, что  от­ку­да сразу же по­лу­ча­ем:  или 

Ответ: 31

7. За­да­ние 7 № 338076. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  если 

Ре­ше­ние.

Раз­ло­жим чис­ли­тель на мно­жи­те­ли по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов:

Ответ: 12.

Ответ: 12

8. За­да­ние 8 № 338769. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (−∞; 9,5]

2) [−8,5; +∞)

3) [9,5; +∞)

4) (−∞; −8,5]

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 339863. Углы B и C тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 65° и 85°. Най­ди­теBC, если ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 14.

Ре­ше­ние.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му  По тео­ре­ме си­ну­сов:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что 

Ответ: 14.

Ответ: 14

10. За­да­ние 10 № 311956. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если уголAOB равен 48°.

Ре­ше­ние.

Угол AOB яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, ACB — впи­сан­ным. Оба угла опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, угол AOB в два раза боль­ше угла ACB. Тем самым, он равен 24°.

Ответ: 24.

Ответ: 24

11. За­да­ние 11 № 340981. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 8 и 15. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вто­рую вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные,  равно   равно  сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да  Найдём от­ре­зок   Вы­со­ты  и  пер­пен­ди­ку­ляр­ны  зна­чит, они па­рал­лель­ны,  равно  сле­до­ва­тель­но,  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му 

Ответ: 7.

Ответ: 7

12. За­да­ние 12 № 311496. Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, по­это­му

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13. За­да­ние 13 № 119. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части» — верно по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

2) «В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны» — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во ис­клю­чи­тель­но для ромба, а не для пря­мо­уголь­ни­ка.

3) «Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су» —верно, т. к. окруж­ность — мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­сто­я­нии от дан­ной точки.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

14. За­да­ние 14 № 314206. Биз­не­смен Пет­ров вы­ез­жа­ет из Моск­вы в Санкт-Пе­тер­бург на де­ло­вую встре­чу, ко­то­рая на­зна­че­на на 9:30. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние из Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
038А	00:43	08:45
020У	00:54	09:02
016А	01:00	08:38
116С	01:00	09:06

Путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­ча­са. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят биз­не­сме­ну Пет­ро­ву.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 038А

2) 020У

3) 016А

4) 116С

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­часа, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 09:00. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да под но­ме­ра­ми: 038А и 016А. Из них позже от­прав­ля­ет­ся поезд под но­ме­ром 016А.

Ответ: 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 146. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в среду.

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, что ми­ни­маль­ное зна­че­ние дав­ле­ния в среду равно 752 мм рт. ст.

Ответ: 752.

Ответ: 752

16. За­да­ние 16 № 317941. На пред­при­я­тии ра­бо­та­ло 240 со­труд­ни­ков. После мо­дер­ни­за­ции про­из­вод­ства их число со­кра­ти­лось до 192. На сколь­ко про­цен­тов со­кра­ти­лось число со­труд­ни­ков пред­при­я­тия?

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство со­труд­ни­ков после мо­дер­ни­за­ции со­кра­ти­лось на 240 − 192 = 48 че­ло­век. Зна­чит, число со­труд­ни­ков со­кра­ти­лось на 

Ответ: 20.

Ответ: 20

17. За­да­ние 17 № 341388. Два па­ро­хо­да вышли из порта, сле­дуя один на север, дру­гой на запад. Ско­ро­сти их равны со­от­вет­ствен­но 10 км/ч и 24 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в ки­ло­мет­рах) будет между ними через 3 часа?

Ре­ше­ние.

Най­дем рас­сто­я­ние, ко­то­рое прошёл пер­вый теп­ло­ход: 

Най­дем рас­сто­я­ние, ко­то­рое прошёл вто­рой теп­ло­ход: 

Теп­ло­хо­ды дви­жут­ся вдоль ка­те­тов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем между ними. Най­дем это рас­сто­я­ние по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: 

Ответ: 78.

Ответ: 78

18. За­да­ние 18 № 315183. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Мон­го­лия вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Индии со­став­ля­ет 8,5 млн км².

3) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Ка­на­ды.

4) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Индии более, чем в 3 раза.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1) На диа­грам­ме изоб­ра­же­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди стран мира и Мон­го­лии среди них нет. Зна­чит пер­вое утвер­жде­ние не­вер­но.

2) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Индии — 3,3 млн км². Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Ав­стра­лии мень­ше пло­ща­ди Ка­на­ды. Тре­тье утвер­жде­ние не­вер­но.

4) От­но­ше­ние пло­ща­ди Ка­на­ды к пло­ща­ди Индии  Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 325480. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не мень­шее 1.

Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

При бро­са­нии ку­би­ка все­гда вы­па­да­ет не мень­ше од­но­го очка, то есть ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет число очков не мень­шее 1» равна од­но­му.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20. За­да­ние 20 № 318357. За 5 минут пе­ше­ход прошёл a мет­ров. За сколь­ко минут он пройдёт 120 мет­ров, если будет идти с той же ско­ро­стью? За­пи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­ние.

Ре­ше­ние.

Ско­рость пе­ше­хо­да равна  мет­ров в ми­ну­ту. По­это­му 120 мет­ров он пройдёт за минут.

Ответ: 600/a

Ответ: 600/a|600/а|600:а|600:a

21. За­да­ние 21 № 311236. Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли: .

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: .

22. За­да­ние 22 № 314508. На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Зай­цев. Пусть ко­ли­че­ство го­ло­сов, от­дан­ных за Зай­це­ва равно . Тогда за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте от­да­ли . Про­цент го­ло­сов, от­дан­ных за Зай­це­ва  

Ответ: 75%.

23. За­да­ние 23 № 340600. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра с пря­мая y = c имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Раз­ло­жим чис­ли­тель дроби на мно­жи­те­ли:

При x ≠ 2 и x ≠ 3 функ­ция при­ни­ма­ет вид:

Гра­фик дан­ной функ­ции — па­ра­бо­ла, с вы­ко­ло­ты­ми точ­ка­ми (−2; −4) и (3; 6).

Пря­мая y = c имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку либо тогда, когда

про­хо­дит через вер­ши­ну па­ра­бо­лы, либо тогда, когда пе­ре­се­ка­ет па­ра­бо­лу в двух точ­ках, одна из ко­то­рых — вы­ко­ло­тая. Вер­ши­на па­ра­бо­лы имеет ко­ор­ди­на­ты (−0,5; −6,25). По­это­му c = −6,25,c = −4 или c = 6.

Ответ: c = −6,25, c = −4 или c = 6.

24. За­да­ние 24 № 311772. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Вы­со­та тра­пе­ции равна 16. Най­ди­те её сред­нюю линию.

Ре­ше­ние.

Пусть в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC диа­го­на­ли AC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

Тогда в рав­но­бед­рен­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AOD и BOC ме­ди­а­ны равны по­ло­ви­не ос­но­ва­ния. Зна­чит, в этих тре­уголь­ни­ках вы­со­та равна сред­ней линии, и в тра­пе­ции ABCD вы­со­та равна сред­ней линии.

Ответ: 16.

25. За­да­ние 25 № 314810. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что KA = NA. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в них  равно  равно  и  равно  сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит,

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. За­да­ние 26 № 311705. На каж­дой из двух окруж­но­стей с ра­ди­у­са­ми 3 и 4 лежат по три вер­ши­ны ромба. Най­ди­те его сто­ро­ну.

Ре­ше­ние.

Пусть вер­ши­ны  и  ромба  лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 3, а вер­ши­ны  и лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 4. При­мем сто­ро­ну ромба за , а ве­ли­чи­ну угла  за .

Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка 

.

Ана­ло­гич­но по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка :

.

Зна­чит,  и . По­лу­ча­ем урав­не­ние

.

От­ку­да . Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на ромба равна 4,8.

ВАРИАНТ 12

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. Числа x и y от­ме­че­ны точ­ка­ми на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа    и 1. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)   1       2) 1;        3)   1      4) 1;  

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)        2)       3)       4) 

4. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств 

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

ФУНК­ЦИИ

А)       Б)      В)

ГРА­ФИ­КИ

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии    из­вест­но, что  . Най­ди­те тре­тий член этой про­грес­сии.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при . В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (− ∞; +∞)       2) нет ре­ше­ний      3) (− 5; 5)      4) (− ∞; −5)∪(5; +∞)

9. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

10. На окруж­но­сти по раз­ные сто­ро­ны от диа­мет­ра AB взяты точки M и N. Из­вест­но, что ∠NBA = 38°. Най­ди­те угол NMB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45° . Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те длину его боль­шей вы­со­ты. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.

2) Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.

3) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч	21—40	41—60	61—80	81 и более
Раз­мер штра­фа, руб.	500	1000	2000	5000

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 111 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 80 км/ч?

1) 500 руб­лей       2) 1000 руб­лей       3) 2000 руб­лей      4) 5000 руб­лей

15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

16. Набор ручек, ко­то­рый стоил 80 руб­лей, продаётся с 25%-й скид­кой. При по­куп­ке 4 таких на­бо­ров по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

17. Две трубы, диа­мет­ры ко­то­рых равны 7 см и 24 см, тре­бу­ет­ся за­ме­нить одной, пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния ко­то­рой равна сумме пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний двух дан­ных. Каким дол­жен быть диа­метр новой трубы? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии Ав­стра­лия за­ни­ма­ет ше­стое место в мире.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км².

3) Пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 7,1 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

19. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Нор­ве­гии или Шве­ции.

20. Пол­ную ме­ха­ни­че­скую энер­гию тела (в джо­у­лях) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — масса тела (в ки­ло­грам­мах),  — его ско­рость (в м/с),  — вы­со­та по­ло­же­ния цен­тра масс тела над про­из­воль­но вы­бран­ным ну­ле­вым уров­нем (в мет­рах), а  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (в м/с²). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  (в ки­ло­грам­мах), если    а 

21. Со­кра­ти­те дробь

22. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 34 км, вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вышел пе­ше­ход. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 24 км от пунк­та А.

23. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; 4), B(1; 11), C(–5; –1). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

24. Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям  и  тра­пе­ции , про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны  и  в точ­ках  и  со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину от­рез­ка , если , .

25. Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. До­ка­жи­те, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его пе­ри­мет­ра.

26. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 6. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 12

1. За­да­ние 1 № 314295. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ре­ше­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: -0,07.

Ответ: -0,07

2. За­да­ние 2 № 317061. Числа x и y от­ме­че­ны точ­ка­ми на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа    и 1.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)   1

2) 1;  

3)   1

4) 1;  

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  сле­до­ва­тель­но, 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

3. За­да­ние 3 № 316311. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Воз­ведём каж­дое число в квад­рат и срав­ним квад­ра­ты этих чисел:

               

За­ме­тим:

зна­чит,  — наи­боль­шее из этих трёх чисел, оста­лось срав­нить  с 

В силу це­поч­ки не­ра­венств:

Наи­боль­шим яв­ля­ет­ся вы­ра­же­ние под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 314531. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние  удо­вле­тво­ря­ю­щее дан­ной си­сте­ме не­ра­венств −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

5. За­да­ние 5 № 316368. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

ФУНК­ЦИИ

А)

Б)

В)

ГРА­ФИ­КИ

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

На­пом­ним, что если па­ра­бо­ла за­да­на урав­не­ни­ем , то: при  то ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, а при  — вниз; абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  па­ра­бо­ла пе­ре­се­ка­ет ось Oy в точке с.

Урав­не­ние  за­да­ет па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, абс­цис­са вер­ши­ны равна , она пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке 0. Ее гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке 4).

Урав­не­ние  за­да­ет па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, абс­цис­са вер­ши­ны равна , она пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке 0. Ее гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке 1).

Урав­не­ние  за­да­ет па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, абс­цис­са вер­ши­ны равна , она пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке 0. Ее гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке 3).

Тем самым, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: А—4, Б—1, В—3.

Ответ: 413.

Ответ: 413

6. За­да­ние 6 № 311341. В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии    из­вест­но, что  . Най­ди­те тре­тий член этой про­грес­сии.

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: −1.

Ответ: -1

7. За­да­ние 7 № 314362. Упро­сти­те вы­ра­же­ние  и най­ди­те его зна­че­ние при . В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

   (при   и  

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при  :

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

8. За­да­ние 8 № 338550. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) (− ∞; +∞)

2) нет ре­ше­ний

3) (− 5; 5)

4) (− ∞; −5)∪(5; +∞)

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 3.

Ответ: 3

9. За­да­ние 9 № 323796. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вто­рую вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный, угол  углы  и  равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный,  В четырёхуголь­ни­ке   И  сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит,  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да  и  По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы  и  равны. Тре­уголь­ни­ки  и  пря­мо­уголь­ные,   сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции 

Ответ: 16.

Ответ: 16

10. За­да­ние 10 № 339419. На окруж­но­сти по раз­ные сто­ро­ны от диа­мет­ра AB взяты точки M и N. Из­вест­но, что ∠NBA = 38°. Най­ди­те угол NMB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол NBA — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, дуга AN = 2∠NBA = 2 · 38° = 76°. Диа­метр AB делит окруж­ность на две рав­ные части, по­это­му ве­ли­чи­на дуги ANB равна 180°. От­ку­да дуга NB = 180° − 76° = 104°. Угол NMB — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то есть равен 104°/2 = 52°.

Ответ: 52.

Ответ: 52

11. За­да­ние 11 № 341330. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45° . Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол BAD равен , зна­чит .

Ответ: 105.

Ответ: 105

12. За­да­ние 12 № 311400. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те длину его боль­шей вы­со­ты. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Боль­шей будет вы­со­та, про­ведённая к мень­шей сто­ро­не. По ри­сун­ку видно, что длина боль­шей вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма равна 5 см.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13. За­да­ние 13 № 311915. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.

2) Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.

3) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.» — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на сумму ос­но­ва­ний.

2) «Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.» — верно, это ак­си­о­ма гео­мет­рии.

3) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 2; 3.

Ответ: 2;3

14. За­да­ние 14 № 340984. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч	21—40	41—60	61—80	81 и более
Раз­мер штра­фа, руб.	500	1000	2000	5000

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 111 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 80 км/ч?

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 111 − 80 = 31 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим, что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 500 руб­лей.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

15. За­да­ние 15 № 68. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

Ре­ше­ние.

Цена де­ле­ния шкалы дав­ле­ния:  мм рт. ст. Наи­мень­шее зна­че­ние дав­ле­ния во втор­ник равно  мм рт. ст. плюс по­ло­ви­на цены де­ле­ния шкалы дав­ле­ния:

Ответ: 751.

Ответ: 751

16. За­да­ние 16 № 340986. Набор ручек, ко­то­рый стоил 80 руб­лей, продаётся с 25%-й скид­кой. При по­куп­ке 4 таких на­бо­ров по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

Ре­ше­ние.

Сто­и­мость од­но­го на­бо­ра ручки равна 80 − 0,25 · 80 = 60 руб. Сто­и­мость четырёх на­бо­ров равна 240 руб. Зна­чит, сдача с 500 руб­лей со­ста­вит 260 руб­лей.

Ответ: 260.

Ответ: 260

17. За­да­ние 17 № 325157. Две трубы, диа­мет­ры ко­то­рых равны 7 см и 24 см, тре­бу­ет­ся за­ме­нить одной, пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния ко­то­рой равна сумме пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний двух дан­ных. Каким дол­жен быть диа­метр новой трубы? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

По­пе­ре­ное се­че­ние трубы пред­став­ля­ет собой окруж­ность, пло­щадь окруж­но­сти равна по­это­му сум­мар­ная пло­щадь по­пе­реч­ных се­че­ний равна  Найдём диа­метр новой трубы:

Ответ: 25.

Ответ: 25

18. За­да­ние 18 № 315189. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии Ав­стра­лия за­ни­ма­ет ше­стое место в мире.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км².

3) Пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 7,1 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1) На диа­грам­ме видно, что Ав­стра­лия — ше­стая по пло­ща­ди стра­на в мире. Зна­чит пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Бра­зи­лии — 8,5 млн км². Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 17,1 − 10,0 = 7,1 млн км². Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 201. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Нор­ве­гии или Шве­ции.

Ре­ше­ние.

Всего бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев 2 + 5 = 7, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 13 + 2 + 5 = 20. По­это­му ве­ро­ят­ность равна 

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

20. За­да­ние 20 № 316381. Пол­ную ме­ха­ни­че­скую энер­гию тела (в джо­у­лях) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — масса тела (в ки­ло­грам­мах),  — его ско­рость (в м/с),  — вы­со­та по­ло­же­ния цен­тра масс тела над про­из­воль­но вы­бран­ным ну­ле­вым уров­нем (в мет­рах), а  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (в м/с²). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  (в ки­ло­грам­мах), если    а 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим массу:  Под­ста­вим зна­че­ния пе­ре­мен­ных:

Ответ: 7.

Ответ: 7

21. За­да­ние 21 № 314360. Со­кра­ти­те дробь

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 314561. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 34 км, вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вышел пе­ше­ход. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 24 км от пунк­та А.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 8) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −40 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

23. За­да­ние 23 № 314466. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; 4), B(1; 11), C(–5; –1). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

Ответ: (−3; −5).

24. За­да­ние 24 № 311699. Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям  и  тра­пе­ции , про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны  и  в точ­ках  и  со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину от­рез­ка , если , .

Ре­ше­ние.

1)  по двум углам:

а)  как вер­ти­каль­ные;

б)  как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при  и се­ку­щей .

2)  по двум углам:

а)  — общий;

б)  как со­от­вет­ствен­ные при  и се­ку­щей .

3) ана­ло­ги­чен 

4) 

Ответ: 19,2 см.

25. За­да­ние 25 № 311667. Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. До­ка­жи­те, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его пе­ри­мет­ра.

Ре­ше­ние.

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, по­это­му если равны три сто­ро­ны, то все сто­ро­ны этого па­рал­ле­ло­грам­ма равны, зна­чит, это ромб. От­рез­ки  и  равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но,  — па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит, длина  равна длине сто­ро­ны  и, сле­до­ва­тель­но, равна чет­вер­ти пе­ри­мет­ра па­рал­ле­ло­грам­ма.

26. За­да­ние 26 № 315077. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 6. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  По­сколь­ку  то тре­уголь­ник  — рав­нобде­рен­ный. Угол при вер­ши­не этого тре­уголь­ни­ка равен 60°, сле­до­ва­тель­но углы при ос­но­ва­нии равны  зна­чит, тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний. Угол  равен  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний. Yfql`v угол   Ана­ло­гич­но двум преды­ду­щим тре­уголь­ни­кам по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний. По­лу­чи­ли, что пло­щадь тра­пе­ции равна сумме пло­ща­дей трёх рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков:

Ответ: 

ВАРИАНТ 13

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа  и :

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1)        2)        3)        4) 

3. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

1)        2)        3)        4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функ­ции

А)

Б)

В)

Гра­фи­ки

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 35 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на один боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

8. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства ?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. ABCDEFGH — пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те угол EFG. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окруж­но­сти. Най­ди­те ∠C , если ∠A = 44. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

12. Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

      1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.  Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. Сту­дент Си­до­ров вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на  Ки­ев­ский вок­зал
6:35	7:59
7:05	8:23
7:28	8:30
7:34	8:57

 Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 35 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­ден­ту.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 6:35       2) 7:05       3) 7:28       4) 7:34

15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

16. На пред­при­я­тии ра­бо­та­ло 240 со­труд­ни­ков. После мо­дер­ни­за­ции про­из­вод­ства их число со­кра­ти­лось до 192. На сколь­ко про­цен­тов со­кра­ти­лось число со­труд­ни­ков пред­при­я­тия?

17. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?  В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

     1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии Ав­стра­лия за­ни­ма­ет ше­стое место в мире.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км².

3) Пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 7,1 млн км².

19.В сред­нем из 150 кар­ман­ных фо­на­ри­ков, по­сту­пив­ших в про­да­жу, три не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный на­уда­чу в ма­га­зи­не фо­на­рик ока­жет­ся ис­пра­вен.

20. В фирме «Чи­стая вода» сто­и­мость (в руб­лях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где   — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье ко­лод­ца. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 11 колец.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

22. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем зо­ло­та: в пер­вом со­дер­жит­ся 50%, а во вто­ром — 80% зо­ло­та. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% зо­ло­та?

23.По­строй­те гра­фик функ­ции    и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком три общие точки.

24.Сто­ро­ны , ,  тре­уголь­ни­ка  равны ,  и  со­от­вест­вен­но. Точка  рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка , при­чем от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок в точке, от­лич­ной от . Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми ,  и  по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла , если  > 90°.

25. На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

26. В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны длины сто­рон AB = 36, AC = 48, точка O— центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая BD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AO, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке D. Най­ди­те CD.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 13

1. За­да­ние 1 № 341323. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: -3.

Ответ: -3

2. За­да­ние 2 № 79. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа  и :

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  и  Про­ве­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1)     верно,

2)     не­вер­но,

3)     верно,

4)     верно.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

3. За­да­ние 3 № 80. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Воз­ведём каж­дое число в квад­рат:

               

За­ме­тим:

, зна­чит, 

Наи­боль­шим яв­ля­ет­ся вы­ра­же­ние под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

4. За­да­ние 4 № 311462. Най­ди­те корни урав­не­ния  .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: -0,25; 0,25.

Ответ: -0,25; 0,25

5. За­да­ние 5 № 339073. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функ­ции

А)

Б)

В)

Гра­фи­ки

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка для каж­дой из функ­ций.

А)  — ли­ней­ная функ­ция.

Б)  — па­ра­бо­ла.

В)  — ги­пер­бо­ла.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: A — 3, Б — 1, В — 4.

Ответ: 314.

Ответ: 314

6. За­да­ние 6 № 341041. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 35 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на один боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

Ре­ше­ние.

Число мест в ряду пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном  и раз­но­стью  Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 42.

Ответ: 42

7. За­да­ние 7 № 311846. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­ста­вим в по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние зна­че­ние 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

8. За­да­ние 8 № 314587. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства ?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:   Кор­ня­ми урав­не­ния  яв­ля­ют­ся числа -1 и 4. По­это­му

Мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 2.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

9. За­да­ние 9 № 339394. ABCDEFGH — пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те угол EFG. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Ве­ли­чи­на угла пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  По­став­ляя  рав­ное вось­ми, по­лу­ча­ем: 

Ответ: 135.

Ответ: 135

10. За­да­ние 10 № 341329. Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окруж­но­сти. Най­ди­те ∠C , если ∠A = 44. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол ABC − пря­мой, так как он впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр. Сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ник ABC − пря­мо­уголь­ный, а 

Ответ: 46.

Ответ: 46

11. За­да­ние 11 № 323179. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть  — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка,  — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка,  — длина ос­но­ва­ния про­ведённого к вы­со­те. Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, проедённая к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём вы­со­ту по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 480.

Ответ: 480

12. За­да­ние 12 № 333146. Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка, таким об­ра­зом:

.

Ответ: 52.

Ответ: 52

13. За­да­ние 13 № 311684. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой» — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии.

2) «Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет» — не­вер­но: для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

3) «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.» — верно, в этом слу­чае про­ти­во­по­лож­ный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (рав­ных) угла будут равны по 90°.

4) «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.» —не­вер­но, центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти, лежит на его сто­ро­не.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

14. За­да­ние 14 № 314136. Сту­дент Си­до­ров вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на Ки­ев­ский вок­зал
6:35	7:59
7:05	8:23
7:28	8:30
7:34	8:57

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 35 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­ден­ту.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 6:35

2) 7:05

3) 7:28

4) 7:34

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 35 минут, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 08:55. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да от­прав­ля­ю­щи­е­ся в 6:35, 7:05 и 7:28. Из них самый позд­ний, от­прав­ля­ет­ся в 7:28.

Ответ: 3.

Ответ: 3

15. За­да­ние 15 № 314689. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что ми­ни­маль­ное зна­че­ние дав­ле­ния во втор­ник равно 756 мм рт. ст.

Ответ: 756.

Ответ: 756

16. За­да­ние 16 № 317941. На пред­при­я­тии ра­бо­та­ло 240 со­труд­ни­ков. После мо­дер­ни­за­ции про­из­вод­ства их число со­кра­ти­лось до 192. На сколь­ко про­цен­тов со­кра­ти­лось число со­труд­ни­ков пред­при­я­тия?

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство со­труд­ни­ков после мо­дер­ни­за­ции со­кра­ти­лось на 240 − 192 = 48 че­ло­век. Зна­чит, число со­труд­ни­ков со­кра­ти­лось на 

Ответ: 20.

Ответ: 20

17. За­да­ние 17 № 325276. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно: 

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

18. За­да­ние 18 № 315189. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии Ав­стра­лия за­ни­ма­ет ше­стое место в мире.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км².

3) Пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 7,1 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1) На диа­грам­ме видно, что Ав­стра­лия — ше­стая по пло­ща­ди стра­на в мире. Зна­чит пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Бра­зи­лии — 8,5 млн км². Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Индии мень­ше пло­ща­ди Китая. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что пло­щадь Ка­на­ды мень­ше пло­ща­ди Рос­сии на 17,1 − 10,0 = 7,1 млн км². Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 325723. В сред­нем из 150 кар­ман­ных фо­на­ри­ков, по­сту­пив­ших в про­да­жу, три не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный на­уда­чу в ма­га­зи­не фо­на­рик ока­жет­ся ис­пра­вен.

Ре­ше­ние.

Ясно, что из 150 фо­на­ри­ков 150 − 3 = 147 ис­прав­ных. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный на­уда­чу в ма­га­зи­не фо­на­рик ока­жет­ся ис­прав­ным равна 

Ответ: 0,98.

Ответ: 0,98

20. За­да­ние 20 № 311533. В фирме «Чи­стая вода» сто­и­мость (в руб­лях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где   — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье ко­лод­ца. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 11 колец.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим ко­ли­че­ство колец в фор­му­лу для рас­че­та сто­и­мо­сти. Имеем:

Ответ: 50 500.

Ответ: 50500

21. За­да­ние 21 № 314502. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 15:

Ответ: (3; −1).

22. За­да­ние 22 № 314402. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем зо­ло­та: в пер­вом со­дер­жит­ся 50%, а во вто­ром — 80% зо­ло­та. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% зо­ло­та?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве x кг, тогда он будет со­дер­жать 0,5x кг зо­ло­та, а вто­рой сплав взят в ко­ли­че­стве y кг, тогда он будет со­дер­жать 0,8y кг зо­ло­та. Со­еди­нив два этих спла­ва по­лу­чим сплав зо­ло­та мас­сой x + y, по усло­вию за­да­чи он дол­жен со­дер­жать 0,55(x + y) зо­ло­та. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

Вы­ра­зим x через y:

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром нужно взять спла­вы:

Ответ: 

23. За­да­ние 23 № 341230. По­строй­те гра­фик функ­ции    и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком три общие точки.

Ре­ше­ние.

Имеем:

 

Для по­стро­е­ния ис­ко­мо­го гра­фи­ка по­стро­им гра­фик функ­ции    на про­ме­жут­ке    и гра­фик функ­ции    на про­ме­жут­ке  

Гра­фи­ком функ­ции    яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты  Гра­фи­ком функ­ции   яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты   Гра­фик дан­ной функ­ции изоб­ра­жен на ри­сун­ке. Пря­мая y = m имеет с по­стро­ен­ным гра­фи­ком ровно три общие точки при m = 0 и при m = −2,25.

Ответ: −2,25; 0.

24. За­да­ние 24 № 311262. Сто­ро­ны , ,  тре­уголь­ни­ка  равны ,  и  со­от­вест­вен­но. Точка  рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка , при­чем от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок в точке, от­лич­ной от . Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми ,  и  по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла , если  > 90°.

Ре­ше­ние.

По усло­вию  > 90°, тогда тре­уголь­ник KAC яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным. Так как тре­уголь­ник KAC по­до­бен ABC, то ABC яв­ля­ет­ся также ту­по­уголь­ным.

Опре­де­лим со­от­вет­ству­ю­щие углы. Так как на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, то  > 90°, тогда  Так как , то  и .

Тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны. Имеем:

таким об­ра­зом,

, 

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке  имеем:

Под­став­ляя по­лу­ча­ем, 

Ответ: 

25. За­да­ние 25 № 340321. На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  через точку  По­сколь­ку  — сред­няя линия,  От­рез­ки  и  равны, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Фал­ле­са,  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна  Найдём сумму пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков:

26. За­да­ние 26 № 341162. В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны длины сто­рон AB = 36, AC = 48, точка O— центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая BD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AO, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке D. Най­ди­те CD.

Ре­ше­ние.

Пусть про­дол­же­ние от­рез­ка BD за точку D пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC в точке P (см. ри­су­нок). Тогда хорда BP пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру AA₁ этой окруж­но­сти. Зна­чит, точка A — се­ре­ди­на дуги BP , не со­дер­жа­щей вер­ши­ну C. От­сю­да сле­ду­ет, что ∠ABD = ∠ABP = ∠ACB (как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на рав­ные дуги). По­это­му тре­уголь­ни­ки ABD и ACB по­доб­ны по двум углам (угол Aобщий).

Сле­до­ва­тель­но,

 от­ку­да  и 

ВАРИАНТ 14

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. Ка­ко­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жит число  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) [4; 5]        2) [5; 6]       3) [6; 7]      4) [7; 8]

3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

1)

2) −5

3)

4) 5

 4. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функ­ции

А)

Б)

В)

Гра­фи­ки

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер.

Ответ:

А	Б	В

6. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 48, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 144. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии. В от­ве­те пе­ре­чис­ли­те через точку с за­пя­той пер­вый, вто­рой и тре­тий члены про­грес­сии.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

8. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

1)       2)       3)       4) 

9. Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 112°. Най­ди­те впи­сан­ный угол  ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, делённую на .

12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по прыж­кам в длину с места для 11 клас­са.

	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки
От­мет­ка	«3»	«4»	«5»	«3»	«4»	«5»
Даль­ность (в см)	200	220	230	155	170	185

Какую от­мет­ку по­лу­чит маль­чик, прыг­нув­ший на 215 см? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) не­удо­вле­тво­ри­тель­но      2) «3»      3) «4»      4) «5»

15. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство SMS, при­слан­ных слу­ша­те­ля­ми за каж­дый час четырёхча­со­во­го эфира про­грам­мы по за­яв­кам на радио. Опре­де­ли­те, на сколь­ко боль­ше со­об­ще­ний было при­сла­но за пер­вые два часа про­грам­мы по срав­не­нию с по­след­ни­ми двумя ча­са­ми этой про­грам­мы.

16. Число хвой­ных де­ре­вьев в парке от­но­сит­ся к числу лист­вен­ных как 1:4. Сколь­ко про­цен­тов де­ре­вьев в парке со­став­ля­ют лист­вен­ные?

17. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Китая.

2)Пло­щадь Рос­сии боль­ше пло­ща­ди Бра­зи­лии более чем вдвое.

3) Пло­щадь тер­ри­то­рии Индии со­став­ля­ет 4 млн км²

4) Ар­ген­ти­на вхо­дит в се­мер­ку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

19. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Нор­ве­гии или Шве­ции.

20. Закон Ку­ло­на можно за­пи­сать в виде  где  — сила вза­и­мо­дей­ствия за­ря­дов (в нью­то­нах),  и  — ве­ли­чи­ны за­ря­дов (в ку­ло­нах),  — ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти (в Н·м²/Кл² ), а  — рас­сто­я­ние между за­ря­да­ми (в мет­рах). Поль­зу­ясь фор­му­лой, най­ди­те ве­ли­чи­ну за­ря­да  (в ку­ло­нах), если  Н·м²/Кл²,  Кл,  м, а  Н.

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

22. Же­лез­но­до­рож­ный со­став дли­ной в 1 км прошёл бы мимо стол­ба за 1 мин., а через тун­нель (от входа ло­ко­мо­ти­ва до вы­хо­да по­след­не­го ва­го­на) при той же ско­ро­сти — за 3 мин. Ка­ко­ва длина тун­не­ля (в км)?

23. Из­вест­но, что па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку    и её вер­ши­на на­хо­дит­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Най­ди­те урав­не­ние этой па­ра­бо­лы и вы­чис­ли­те, в каких точ­ках она пе­ре­се­ка­ет пря­мую  .

24. Най­ди­те угол АСО, если его сто­ро­на САка­са­ет­ся окруж­но­сти, О — центр окруж­но­сти, а дуга AD окруж­но­сти, за­ключённая внут­ри этого угла, равна 100°

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме  про­ве­де­ны вы­со­ты  и . До­ка­жи­те, что  по­до­бен .

26. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 7 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1 м?

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 14

1. За­да­ние 1 № 314291. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ре­ше­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: −1,3.

Ответ: -1,3

2. За­да­ние 2 № 317223. Ка­ко­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жит число 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) [4; 5]

2) [5; 6]

3) [6; 7]

4) [7; 8]

Ре­ше­ние.

Воз­ведём в квад­рат числа  4, 5, 6, 7, 8:

Число 53 лежит между чис­ла­ми 49 и 64, по­это­му  при­над­ле­жи­т про­ме­жут­ку 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 341700. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

1)

2) −5

3)

4) 5

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лы  и  по­лу­ча­ем:

Ответ: 3.

Ответ: 3

4. За­да­ние 4 № 165. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Сумма пер­вых k-ых чле­нов может быть най­ден по фор­му­ле

Нам не­об­хо­ди­мо найти , по­это­му в фор­му­лу для на­хож­де­ния  ста­вим 10 вме­сто :

Ответ: 75.

Ответ: 75

5. За­да­ние 5 № 341668. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функ­ции

А)

Б)

В)

Гра­фи­ки

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер.

Ответ:

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Все пред­став­лен­ные здесь функ­ции — ги­пер­бо­лы. Общая фор­му­ла для урав­не­ния ги­пер­бо­лы: , если , то ветви ги­пер­бо­лы рас­по­ла­га­ют­ся в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях, в про­тив­ном слу­чае — во вто­рой и четвёртой чет­вер­тях.

Для того, чтобы от­ли­чить ги­пер­бо­лы ле­жа­щие в оди­на­ко­вых чет­вер­тях нужно под­ста­вить какое-ни­будь зна­че­ние  в фор­му­лу и про­ве­рить, ка­ко­му гра­фи­ку будет со­от­вет­ство­вать по­лу­чен­ное зна­че­ние.

Таким об­ра­зом, уста­но­вим со­от­вет­свие: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

6. За­да­ние 6 № 314633. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 48, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 144. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

В от­ве­те пе­ре­чис­ли­те через точку с за­пя­той пер­вый, вто­рой и тре­тий члены про­грес­сии.

Ре­ше­ние.

По усло­вию   За­пи­шем эти ра­вен­ства в виде си­сте­мы урав­не­ний на пер­вый член и зна­ме­на­тель про­грес­сии, и решим эту си­сте­му:

Те­перь найдём вто­рой и тре­тий члены про­грес­сии:

Ответ: 12; 36; 108.

Ответ: 12;36;108

7. За­да­ние 7 № 316318. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

  (при  и ).

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при 

Ответ: 14.

Ответ: 14

8. За­да­ние 8 № 314571. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1)  — ре­ше­ний нет.

2) 

3)  — верно для всех 

4) 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

9. За­да­ние 9 № 339377. Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ние как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы 1 и 4 со­от­вет­ствен­ные, по­это­му ∠4 = ∠1 =  22°. Углы 2, 3 и 4 — это углы од­но­го тре­уголь­ни­ка, сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да ∠3 = 180° − 22° − 72° = 86°.

Ответ: 86.

Ответ: 86

10. За­да­ние 10 № 311386. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 112°. Най­ди­те впи­сан­ный угол  ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол AOD — цен­траль­ный, он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, по­это­му дуга AD = 112°. ДугаDAB равна 180°, по­это­му дуга АВ равна 180° − 112° = 68°. Опи­ра­ю­щий­ся на неё пи­сан­ный угол АСВравен её по­ло­ви­не, то есть 34°.

Ответ: 34.

Ответ: 34

11. За­да­ние 11 № 169867. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, делённую на .

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка делит его на два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По­это­му одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем вто­рую стро­ну:  Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сто­рон, имеем:

Ответ: 25.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

12. За­да­ние 12 № 340841. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 42.

Ответ: 42

13. За­да­ние 13 № 311851. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка па­рал­лель­но­сти пря­мых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно про­ве­сти одну пря­мую, если они лежат на одной пря­мой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по по­стро­е­нию, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы пря­мые, утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2|12

14. За­да­ние 14 № 311901. В таб­ли­це при­ве­де­ны нор­ма­ти­вы по прыж­кам в длину с места для 11 клас­са.

	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Маль­чи­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки	Де­воч­ки
От­мет­ка	«3»	«4»	«5»	«3»	«4»	«5»
Даль­ность (в см)	200	220	230	155	170	185

Какую от­мет­ку по­лу­чит маль­чик, прыг­нув­ший на 215 см?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) не­удо­вле­тво­ри­тель­но

2) «3»

3) «4»

4) «5»

Ре­ше­ние.

Маль­чик прыг­нул выше 200 см, но ниже 220 см, по­это­му он вы­пол­нил нор­ма­тив на оцен­ку «3».

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 340896. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство SMS, при­слан­ных слу­ша­те­ля­ми за каж­дый час четырёхча­со­во­го эфира про­грам­мы по за­яв­кам на радио. Опре­де­ли­те, на сколь­ко боль­ше со­об­ще­ний было при­сла­но за пер­вые два часа про­грам­мы по срав­не­нию с по­след­ни­ми двумя ча­са­ми этой про­грам­мы.

Ре­ше­ние.

Пер­вые два часа про­грам­мы — это 1-й и 2-й часы. За это время было при­сла­но 40 + 60 = 100 со­об­ще­ний. За по­след­ние два часа эфира слу­ша­те­ли при­сла­ли 10 + 70 = 80 со­об­ще­ний. Таким об­ра­зом, за пер­вые два часа про­грам­мы было при­сла­но на 100 − 80 = 20 со­об­ще­ний боль­ше, чем за по­след­ние два часа.

Ответ: 20.

Ответ: 20

16. За­да­ние 16 № 137250. Число хвой­ных де­ре­вьев в парке от­но­сит­ся к числу лист­вен­ных как 1:4. Сколь­ко про­цен­тов де­ре­вьев в парке со­став­ля­ют лист­вен­ные?

Ре­ше­ние.

Всего де­ре­вьев пять ча­стей, из них лист­вен­ных — че­ты­ре части. это со­став­ля­ет 4 : 5 = 0,8 или 80 %.

Ответ: 80.

Ответ: 80

17. За­да­ние 17 № 96. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

Ре­ше­ние.

Пусть длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна  Про­ведём от­ре­зок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной пря­мой, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, тогда  — катет по­лу­чив­ше­го­ся пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

18. За­да­ние 18 № 135. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Китая.

2)Пло­щадь Рос­сии боль­ше пло­ща­ди Бра­зи­лии более чем вдвое.

3) Пло­щадь тер­ри­то­рии Индии со­став­ля­ет 4 млн км²

4) Ар­ген­ти­на вхо­дит в се­мер­ку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Об­ра­тим вни­ма­ние на вто­рой ва­ри­ант от­ве­та:

Из диа­грам­мы на­хо­дим, что пло­щадь Рос­сии равна 17,1 млн км², а Бра­зи­лии — 8,5 млн км². Раз­де­лим пло­щадь Рос­сии на пло­щадь Бра­зи­лии:  Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь Рос­сии боль­ше пло­ща­ди Бра­зи­лии боль­ше, чем в два раза.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 201. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Нор­ве­гии или Шве­ции.

Ре­ше­ние.

Всего бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев 2 + 5 = 7, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 13 + 2 + 5 = 20. По­это­му ве­ро­ят­ность равна 

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

20. За­да­ние 20 № 318530. Закон Ку­ло­на можно за­пи­сать в виде  где  — сила вза­и­мо­дей­ствия за­ря­дов (в нью­то­нах),  и  — ве­ли­чи­ны за­ря­дов (в ку­ло­нах),  — ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти (в Н·м²/Кл² ), а  — рас­сто­я­ние между за­ря­да­ми (в мет­рах). Поль­зу­ясь фор­му­лой, най­ди­те ве­ли­чи­ну за­ря­да  (в ку­ло­нах), если  Н·м²/Кл²,  Кл,  м, а  Н.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим заряд  из за­ко­на Ку­ло­на:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,004.

Ответ: 0,004

21. За­да­ние 21 № 314506. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое:

От­ку­да

 или 

Ответ: (2; 0); (−1; 3).

22. За­да­ние 22 № 311615. Же­лез­но­до­рож­ный со­став дли­ной в 1 км прошёл бы мимо стол­ба за 1 мин., а через тун­нель (от входа ло­ко­мо­ти­ва до вы­хо­да по­след­не­го ва­го­на) при той же ско­ро­сти — за 3 мин. Ка­ко­ва длина тун­не­ля (в км)?

Ре­ше­ние.

Поезд про­хо­дит через тун­нель за 3 ми­ну­ты, при этом за одну ми­ну­ту поезд про­хо­дит мимо вы­хо­да из тун­не­ля, сле­до­ва­тель­но, от входа ло­ко­мо­ти­ва в тун­нель до вы­хо­да про­хо­дит 2 ми­ну­ты. Мимо стол­ба поезд дли­ной 1 км про­хо­дит за 1 ми­ну­ту, по­это­му его ско­рость равна 1 км/мин. Зна­чит, за 2 ми­ну­ты поезд прой­дет 2 км, по­это­му длина тун­не­ля равна 2 км.

Ответ: 2.

23. За­да­ние 23 № 311576. Из­вест­но, что па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку    и её вер­ши­на на­хо­дит­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Най­ди­те урав­не­ние этой па­ра­бо­лы и вы­чис­ли­те, в каких точ­ках она пе­ре­се­ка­ет пря­мую  .

Ре­ше­ние.

Урав­не­ния па­ра­бо­лы, вер­ши­на ко­то­рой на­хо­дит­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат:  . Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку  , по­это­му  , от­ку­да  . Урав­не­ние па­ра­бо­лы:  . Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния с пря­мой    най­дем из урав­не­ния  .

Ответ:  .

24. За­да­ние 24 № 315054. Най­ди­те угол АСО, если его сто­ро­на САка­са­ет­ся окруж­но­сти, О — центр окруж­но­сти, а дуга AD окруж­но­сти, за­ключённая внут­ри этого угла, равна 100°

Ре­ше­ние.

Про­ведём ра­ди­ус  в точку ка­са­ния. Так как  — ра­ди­ус, а  — ка­са­тель­ная, то  Угол  — цен­траль­ный, сле­до­ва­тель­но он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся,  Угол  — развёрну­тый, сле­до­ва­тель­но 

Из тре­уголь­ни­ка  

Ответ: 10°.

25. За­да­ние 25 № 311573. В па­рал­ле­ло­грам­ме  про­ве­де­ны вы­со­ты  и . До­ка­жи­те, что  по­до­бен .

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ках    и    имеем    как про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма,    как пря­мые углы, зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

26. За­да­ние 26 № 314966. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 7 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь  — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния,  — после,  — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча,  — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны по двум углам, то есть 

Рас­смот­ри пря­мые  и  их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая  углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые  и  па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

Ответ: 3,5.

При­ме­ча­ние

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков  и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные  и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков  и  со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми  и  Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны.

ВАРИАНТ 15

1. Вы­чис­ли­те:  

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа a и b. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1)           2)          3)         4) 

3. В каком слу­чае числа  и 5 рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)           2)         3)         4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

Гра­фи­ки

А)	Б)	В)

Фор­му­лы

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А	Б	В

6. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия () за­да­на усло­ви­я­ми: . Най­ди­те 

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние , най­ди­те его зна­че­ние при ; . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

8. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1     2) 2    3) 3    4) 4

9. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

10. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Най­ди­те длину хорды АВ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8.

11. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

12. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

      1) Точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей.

2) В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла.

3) Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов.

14. В таб­ли­це пред­став­ле­ны на­ло­го­вые став­ки на ав­то­мо­би­ли в Москве с 1 ян­ва­ря 2013 года.

Мощ­ность ав­то­мо­би­ля (в л. с.)	На­ло­го­вая став­ка (в руб. за л. с. в год)
не более 70	0
71–100	12
101–125	25
126–150	35
151–175	45
176–200	50
201–225	65
226–250	75
свыше 250	150

 Сколь­ко руб­лей дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля мощ­но­стью 142 л. с. в ка­че­стве на­ло­га за один год?

1) 4970       2) 45      3) 35      4) 6390

15. Ан­дрей и Иван со­рев­но­ва­лись в 50-мет­ро­вом бас­сей­не на ди­стан­ции 100 м. Гра­фи­ки их за­плы­вов по­ка­за­ны на ри­сун­ке. По го­ри­зон­таль­ной оси от­ло­же­но время, а по вер­ти­каль­ной – рас­сто­я­ние плов­ца от стар­та. Кто быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции? В от­ве­те за­пи­ши­те, на сколь­ко се­кунд быст­рее он про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции.

16. В те­че­ние ав­гу­ста по­ми­до­ры по­де­ше­ве­ли на 50%, а затем в те­че­ние сен­тяб­ря по­до­ро­жа­ли на 70%. Какая цена мень­ше: в на­ча­ле ав­гу­ста или в конце сен­тяб­ря — и на сколь­ко про­цен­тов?

17. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.  Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

     1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

19. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии иг­раль­но­го ку­би­ка (пра­виль­ной кости) вы­па­дет менее 4 очков.

20. Пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та поз­во­ля­ет фор­му­ла F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 155° по шкале Фа­рен­гей­та? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

21. Ре­ши­те урав­не­ние 

22. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 140 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась мо­тор­ная лодка, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот прошёл 51 км. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки.

24. Сто­ро­на ромба равна 20, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

25. .  Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

26. Се­ре­ди­на M сто­ро­ны AD вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка рав­но­уда­ле­на от всех его вер­шин. Най­ди­те AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхуголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 112° и 113°.

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 15

1. За­да­ние 1 № 314272. Вы­чис­ли­те:  

Ре­ше­ние.

При­ведём дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ: 5,9.

Ответ: 5,9

2. За­да­ние 2 № 314802. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа a и b. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  и , и про­ве­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1)  — верно, по­сколь­ку каж­дое сла­га­е­мое от­ри­ца­тель­но.

2)  — верно.

3)  — верно, по­сколь­ку , а 

4)    — не­вер­но.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние 4.

При­ме­ча­ние.

Не­труд­но за­ме­тить, что спра­вед­ли­вы ра­вен­ства:  и 

Ответ: 4

3. За­да­ние 3 № 314389. В каком слу­чае числа  и 5 рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Числа  по­ло­жи­тель­ны, воз­ведём их в квад­рат и срав­ним квад­ра­ты этих чисел:

По­сколь­ку  имеем:

Числа рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния в пер­вом ва­ри­ан­те от­ве­та.

Ответ: 1

4. За­да­ние 4 № 314549. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­несём всё в урав­не­нии в одну сто­ро­ну:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна 7, а их про­из­ве­де­ние равно −8. Тем самым, это числа −1 и 8.

Ответ: −1; 8.

Ответ: -1;8

5. За­да­ние 5 № 314688. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

Гра­фи­ки

А)	Б)	В)

Фор­му­лы

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1)     урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вверх.

2)     урав­не­ние пря­мой с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.

3)     урав­не­ние ги­пер­бо­лы, рас­по­ло­жен­ной во вто­рой и чет­вер­той чтвер­ти.

4)     урав­не­ние пря­мой с от­ри­ца­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.

Тем самым, ис­ко­мое со­от­вет­ствие та­ко­во: A — 3, Б — 2, В — 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

6. За­да­ние 6 № 314620. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия () за­да­на усло­ви­я­ми: . Най­ди­те 

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

Член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: -2.

Ответ: -2

7. За­да­ние 7 № 140. Упро­сти­те вы­ра­же­ние , най­ди­те его зна­че­ние при ; . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при ,  :

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

8. За­да­ние 8 № 338599. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 323800. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке.  — сред­няя линия, по­это­му,  от­ку­да по тео­ре­ме Фал­ле­са  Рас­смот­рим тре­уголь­ник   — сред­няя линия, сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. За­да­ние 10 № 314807. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Най­ди­те длину хорды АВ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку   как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, тре­уголь­ник  — рав­но­бе­де­рен­ный. Тогда . Найдём угол 

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний, тогда 

Ответ: 8.

Ответ: 8

11. За­да­ние 11 № 169862. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му она равна 100.

Ответ: 100.

Ответ: 100

12. За­да­ние 12 № 323750. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Найдём пло­щадь дан­ной фи­гу­ры по фор­му­ле Пика:

S = В + Г/2 − 1,

где В — число узлов сетки внут­ри фи­гу­ры, Г — число узлов сетки на гра­ни­це фи­гу­ры, вклю­чая вер­ши­ны. По­лу­ча­ем:

S = 15 + 13/2 − 1 = 20,5.

Ответ: 20,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пло­щадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух тре­уголь­ни­ков:

Ответ: 20,5

13. За­да­ние 13 № 341410. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей.

2) В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла.

3) Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей» — не­вер­но: точка пе­ре­се­че­ния двух окруж­но­стей уда­ле­на от цен­тра на ве­ли­чи­ну ра­ди­у­са каж­дой окруж­но­сти.

2) «В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла» — верно, в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны.

3) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов» — не­вер­но: пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. За­да­ние 14 № 341333. В таб­ли­це пред­став­ле­ны на­ло­го­вые став­ки на ав­то­мо­би­ли в Москве с 1 ян­ва­ря 2013 года.

Мощ­ность ав­то­мо­би­ля (в л. с.)	На­ло­го­вая став­ка (в руб. за л. с. в год)
не более 70	0
71–100	12
101–125	25
126–150	35
151–175	45
176–200	50
201–225	65
226–250	75
свыше 250	150

Сколь­ко руб­лей дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля мощ­но­стью 142 л. с. в ка­че­стве на­ло­га за один год?

1) 4970

2) 45

3) 35

4) 6390

Ре­ше­ние.

Ав­то­мо­биль мощ­но­стью 142 л. с. по­па­да­ет в диа­па­зон 126−150 л. с., т. е. на­ло­го­вая став­ка со­ста­вит 35 руб за л. с. в год.

Зна­чит налог к упла­те со­ста­вит 142 · 35 = 4970.

Ответ: 1.

Ответ: 1

15. За­да­ние 15 № 322037. Ан­дрей и Иван со­рев­но­ва­лись в 50-мет­ро­вом бас­сей­не на ди­стан­ции 100 м. Гра­фи­ки их за­плы­вов по­ка­за­ны на ри­сун­ке. По го­ри­зон­таль­ной оси от­ло­же­но время, а по вер­ти­каль­ной – рас­сто­я­ние плов­ца от стар­та. Кто быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции? В от­ве­те за­пи­ши­те, на сколь­ко се­кунд быст­рее он про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что Ан­дрей быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции за 40 с, а Иван за 60 с. Таким об­ра­зом, Ан­дрей про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции на 60 − 40 = 20 с быст­рее.

Ответ: 20.

Ответ: 20

16. За­да­ние 16 № 314405. В те­че­ние ав­гу­ста по­ми­до­ры по­де­ше­ве­ли на 50%, а затем в те­че­ние сен­тяб­ря по­до­ро­жа­ли на 70%. Какая цена мень­ше: в на­ча­ле ав­гу­ста или в конце сен­тяб­ря — и на сколь­ко про­цен­тов?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим на­чаль­ную цену по­ми­до­ров за x, тогда их цена к концу ав­гу­ста будет со­став­лятьx − 0,5x = 0,5x, цена в сен­тяб­ре будет со­став­лять 0,5x + 0,7 · 0,5x = 0,85x. Сле­до­ва­тель­но, цена на по­ми­до­ры была ниже в конце сен­тяб­ря, и раз­ни­ца со­став­ля­ла 15%.

Ответ: 15.

Ответ: 15

17. За­да­ние 17 № 96. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

Ре­ше­ние.

Пусть длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна  Про­ведём от­ре­зок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной пря­мой, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, тогда  — катет по­лу­чив­ше­го­ся пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, длина ис­ко­мой сто­ро­ны равна 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

18. За­да­ние 18 № 315142. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше чем поль­зо­ва­те­лей из "дру­гих стран", а зна­чит, и боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что число поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем в два раза пре­вы­ша­ет число поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей не из Рос­сии при­мер­но треть от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си боль­ше, чем чет­верть от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Всего поль­зо­ва­те­лей 12 млн, зна­чит поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 4 млн. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 325452. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии иг­раль­но­го ку­би­ка (пра­виль­ной кости) вы­па­дет менее 4 очков.

Ре­ше­ние.

При бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­ны шесть раз­лич­ных ис­хо­дов. Со­бы­тию "вы­па­дет менее четырёх очков" удо­вле­тво­ря­ют три слу­чая: когда на ку­би­ке вы­па­да­ет 1, 2 или 3 очка. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на ку­би­ке вы­па­дет менее 4 очков равна 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

20. За­да­ние 20 № 338342. Пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та поз­во­ля­ет фор­му­ла F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 155° по шкале Фа­рен­гей­та? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим гра­ду­сы Цель­сия из фо­ру­лы для пе­ре­во­да гра­ду­сов Цель­сия в гра­ду­сы Фа­рен­гей­та:

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние 

Ответ: 68,3.

Ответ: 68,3

21. За­да­ние 21 № 338713. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 341227. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 140 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась мо­тор­ная лодка, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот прошёл 51 км. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч.

Ре­ше­ние.

Плот прошёл 51 км, зна­чит, он плыл 17 часов, из ко­то­рых лодка на­хо­ди­лась в пути 16 часов. Пусть ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна v км/ч, тогда

от­ку­да v = 18.

Ответ: 18 км/ч.

23. За­да­ние 23 № 341342. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние  при усло­вии, что x ≠ 4. По­стро­им гра­фик функ­ции y = −0,5x² при x < 0 и гра­фик функ­ции y = 0,5x² при 0 ≤ x < 4 и x > 4.

Пря­мая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки при m = 8.

Ответ: 8.

24. За­да­ние 24 № 314950. Сто­ро­на ромба равна 20, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный, в нём угол A равен 60°. Тогда от­ре­зок AH можно найти по фор­му­ле:

Найдём от­ре­зок HD:

Ответ: 10,10.

25. За­да­ние 25 № 181. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим угол вось­ми­уголь­ни­ка по фор­му­ле  Таким об­ра­зом, угол вось­ми­уголь­ни­ка равен  Если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, углы при ос­но­ва­нии ко­то­рых равны  Тогда угол между двумя от­рез­ка­ми, ко­то­рые со­еди­ня­ют вер­ши­ны равен  По­сколь­ку все че­ты­ре рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка равны, то и сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся четырёхуголь­ни­ка равны. Таким об­ра­зом, если вер­ши­ны вось­ми­уголь­ни­ка по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

26. За­да­ние 26 № 340107. Се­ре­ди­на M сто­ро­ны AD вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка рав­но­уда­ле­на от всех его вер­шин. Най­ди­те AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхуголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 112° и 113°.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку су­ще­ству­ет точка, рав­но­удалённая от всех вер­шин четырёхуголь­ни­ка, четырёхуголь­ник можно впи­сать в окруж­ность. Четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°:

От­рез­ки  и  равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, по­это­му тре­уголь­ни­ки  и  — рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да  и  Рас­смот­рим тре­уголь­ник  сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, от­ку­да  По тео­ре­ме си­ну­сов найдём сто­ро­ну  из тре­уголь­ни­ка 

Сто­ро­на  — диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му 

Ответ: 

ВАРИАНТ 16

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число  Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа   и   В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)      2)      3)      4) 

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел: В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)      2)      3)     4) 

4. Най­ди­те корни урав­не­ния  Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

Фор­му­лы

1)

2)

3)

4)

Гра­фи­ки

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 17; 68; 272; ... Най­ди­те её четвёртый член.

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  

8. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

         На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

9. В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 90°, AC = 6, sin B= 0,3. Най­ди­те BC.

10. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠AOB = 84° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB (в гра­ду­сах).

11. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 102, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 2:15.

12.  Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

       1) Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.

2) Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.

3) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.

4) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.

 Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

14. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч	21−40	41−60	61−80	81 и более
Раз­мер штра­фа, руб	500	1000	2000	5000

 Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 105 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 50 км/ч?

1) 500 руб­лей     2) 1000 руб­лей     3) 2000 руб­лей    4) 5000 руб­лей

15. Из пунк­та A в пункт B вышел пе­ше­ход, и через не­ко­то­рое время вслед за ним вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки дви­же­ния пе­ше­хо­да и ве­ло­си­пе­ди­ста. На сколь­ко минут мень­ше за­тра­тил на путь из A в B ве­ло­си­пе­дист, чем пе­ше­ход?

16. В те­че­ние ав­гу­ста по­ми­до­ры по­де­ше­ве­ли на 50%, а затем в те­че­ние сен­тяб­ря по­до­ро­жа­ли на 70%. Какая цена мень­ше: в на­ча­ле ав­гу­ста или в конце сен­тяб­ря — и на сколь­ко про­цен­тов?

17. Какой угол (в гра­ду­сах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки часов в 5 ч?

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шо­ко­ла­де, фа­со­ли и сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние уг­ле­во­дов наи­боль­шее.

 *-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

1) какао   2) шо­ко­лад   3) фа­соль   4) су­ха­ри

19. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 50. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет од­но­знач­ный номер?

20. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка,  — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₁, если d₂ = 12, , а S = 22,5.

21. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

22. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 5 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 200 де­та­лей, на 2 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

23. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

24. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а пе­ри­метр равен 56.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

25. Два квад­ра­та имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

26.Сто­ро­ны  тре­уголь­ни­ка  равны  со­от­вет­ствен­но. Точка  рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка  при­чем от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок  в точке, от­лич­ной от  Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми  и  по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла  если 

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 16

1. За­да­ние 1 № 340581. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Ре­ше­ние.

При­ведём дроби к де­ся­тич­но­му виду и сло­жим:

Ответ: 0,95.

Ответ: 0,95

2. За­да­ние 2 № 317600. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число  Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа   и 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что  от­ку­да сле­ду­ет, что    Таким об­ра­зом, 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 2.

Ответ: 2

3. За­да­ние 3 № 311806. Ука­жи­те наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Чтобы от­ве­тить на во­прос, воз­ведём в квад­рат числа 

Срав­ним их:  сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее число 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

4. За­да­ние 4 № 314530. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −6, а их про­из­ве­де­ние равно −16. Тем самым, это числа −8 и 2.

Ответ: −8; 2.

Ответ: -8;2

5. За­да­ние 5 № 340916. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

Фор­му­лы

1)

2)

3)

4)

Гра­фи­ки

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Все пред­став­лен­ные здесь функ­ции — ли­ней­ные. Общая фор­му­ла для урав­не­ния ли­ней­ной функ­ции: , если функ­ция воз­рас­та­ет, если  — убы­ва­ет. Зна­че­нию  со­от­вет­сву­ет зна­че­ние функ­ции в точке 

Урав­не­ние  задаёт воз­рас­та­ю­щую функ­цию, пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат в точке 3.

Урав­не­ние  задаёт убы­ва­ю­щую функ­цию, пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат в точке 0.

Урав­не­ние  задаёт функ­цию, не пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат.

Урав­не­ние  задаёт воз­рас­та­ю­щую функ­цию, пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат в точке 0.

Таким об­ра­зом, уста­но­вим со­от­вет­свие: А — 1, Б — 3, В — 4.

Ответ: 134.

Ответ: 134

6. За­да­ние 6 № 340917. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 17; 68; 272; ... Най­ди­те её четвёртый член.

Ре­ше­ние.

Найдём зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

Четвёртый член про­грес­сии равен 

Ответ: 1088.

Ответ: 1088

7. За­да­ние 7 № 311471. Упро­сти­те вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния при :

Ответ: 1,7.

Ответ: 1,7

8. За­да­ние 8 № 311949. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

9. За­да­ние 9 № 340864. В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 90°, AC = 6, sin B= 0,3. Най­ди­те BC.

Ре­ше­ние.

Синус угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та AС к ги­по­те­ну­зе ВC. По­это­му:

Ответ: 20.

Ответ: 20

10. За­да­ние 10 № 314811. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠AOB = 84° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB (в гра­ду­сах).

Ре­ше­ние.

Впи­сан­ный угол ACB равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла AOB, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу, по­это­му он равен 42°.

Ответ: 42.

Ответ: 42

11. За­да­ние 11 № 316284. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 102, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 2:15.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон. Найдём сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка. Пусть x — боль­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка, тогда дру­гая сто­ро­на равна  Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен

от­ку­да  По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна 

Ответ: 270.

Ответ: 270

12. За­да­ние 12 № 311683. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на от­ре­зок OA и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OBH:

Ответ: 2.

Ответ: 2

13. За­да­ние 13 № 169935. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.

2) Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.

3) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.

4) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.» — не­вер­но, квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

2) «Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.» — верно, ост­ро­уголь­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник у ко­то­ро­го все углы мень­ше 90°.

4) «В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

Ответ: 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4

14. За­да­ние 14 № 333137. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч	21−40	41−60	61−80	81 и более
Раз­мер штра­фа, руб	500	1000	2000	5000

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 105 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 50 км/ч?

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 105 − 50 = 55 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим,что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 1000 руб­лей.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 311518. Из пунк­та A в пункт B вышел пе­ше­ход, и через не­ко­то­рое время вслед за ним вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки дви­же­ния пе­ше­хо­да и ве­ло­си­пе­ди­ста. На сколь­ко минут мень­ше за­тра­тил на путь из A в B ве­ло­си­пе­дист, чем пе­ше­ход?

Ре­ше­ние.

На путь из A в B пе­ше­ход по­тра­тил 60 минут. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал в мо­мент вре­ме­ни 20 минут, а при­был в мо­мент вре­ме­ни 50 минут, т. е. на­хо­дил­ся в дви­же­нии 30 минут. Сле­до­ва­тель­но, ве­ло­си­пе­дист на­хо­дил­ся в дви­же­нии на 30 минут мень­ше пе­ше­хо­да.

Ответ: 30.

Ответ: 30

16. За­да­ние 16 № 314405. В те­че­ние ав­гу­ста по­ми­до­ры по­де­ше­ве­ли на 50%, а затем в те­че­ние сен­тяб­ря по­до­ро­жа­ли на 70%. Какая цена мень­ше: в на­ча­ле ав­гу­ста или в конце сен­тяб­ря — и на сколь­ко про­цен­тов?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим на­чаль­ную цену по­ми­до­ров за x, тогда их цена к концу ав­гу­ста будет со­став­лятьx − 0,5x = 0,5x, цена в сен­тяб­ре будет со­став­лять 0,5x + 0,7 · 0,5x = 0,85x. Сле­до­ва­тель­но, цена на по­ми­до­ры была ниже в конце сен­тяб­ря, и раз­ни­ца со­став­ля­ла 15%.

Ответ: 15.

Ответ: 15

17. За­да­ние 17 № 132758. Какой угол (в гра­ду­сах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки часов в 5 ч?

Ре­ше­ние.

Ча­со­вы­ми де­ле­ни­я­ми ци­фер­блат раз­бит на 12 кру­го­вых сек­то­ров. Угол каж­до­го из них равен 360° : 12 = 30°. Между ми­нут­ной и ча­со­вой стрел­кой пять ча­со­вых де­ле­ний. Они об­ра­зу­ют угол 150°.

Ответ: 150.

Ответ: 150

18. За­да­ние 18 № 325362. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шо­ко­ла­де, фа­со­ли и сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние уг­ле­во­дов наи­боль­шее.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

1) какао

2) шо­ко­лад

3) фа­соль

4) су­ха­ри

Ре­ше­ние.

Из диа­грамм видно, что боль­ше всего уг­ле­во­дов со­дер­жит­ся в су­ха­рях.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. За­да­ние 19 № 311324. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 50. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет од­но­знач­ный номер?

Ре­ше­ние.

Всего было под­го­тов­ле­но 50 би­ле­тов. Среди них 9 были од­но­знач­ны­ми. Таким об­ра­зом ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет од­но­знач­ный номер равна 

Ответ: 0,18

20. За­да­ние 20 № 341717. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где d₁ и d₂ — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка,  — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли d₁, если d₂ = 12, , а S = 22,5.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину диа­го­на­ли  из фор­му­лы для пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 9.

Ответ: 9

21. За­да­ние 21 № 314578. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Рас­кро­ем скоб­ки и решим не­ра­вен­ство:

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­ко­вый знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

22. За­да­ние 22 № 340966. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 5 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 200 де­та­лей, на 2 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

---

 ­

---

Ре­ше­ние.

Пусть вто­рой ра­бо­чий де­ла­ет за час х де­та­лей, тогда пер­вый ра­бо­чий де­ла­ет за час х + 5 де­та­лей. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

от­ку­да х = 20.

Ответ: 20.

23. За­да­ние 23 № 314732. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (−1; 0).

24. За­да­ние 24 № 311249. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а пе­ри­метр равен 56.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, зна­чит,

 и 

Тогда,

Ответ: 

25. За­да­ние 25 № 311604. Два квад­ра­та имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

Ре­ше­ние.

Пусть общая вер­ши­на квад­ра­тов — точка .  и . Сле­до­ва­тель­но, . Тогда тре­уголь­ни­ки  и  равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Сле­до­ва­тель­но,  как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков.

26. За­да­ние 26 № 311252. Сто­ро­ны  тре­уголь­ни­ка  равны  со­от­вет­ствен­но. Точка  рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка  при­чем от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок  в точке, от­лич­ной от  Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми  и  по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла  если 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  и  и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их уг­ла­ми.

 —наи­боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка  а зна­чит,  — наи­боль­ший угол тре­уголь­ни­ка  Так как в тре­уголь­ни­ке  есть  тупой угол, то в тре­уголь­ни­ке  это угол  Сле­до­ва­тель­но, угол  тре­уголь­ни­ка  не равен углу  тре­уголь­ни­ка Он также не равен углу  т. к. боль­ше его (луч про­хо­дит между лу­ча­ми  и ). Сле­до­ва­тель­но, . По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке  имеем:

Ответ: 

ВАРИАНТ 17

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой изоб­ра­же­ны числа  и . Какое из сле­ду­ю­щих не­ра­венств не­вер­но? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)       2)       3)      4) 

3. Пред­ставь­те вы­ра­же­ние (m⁻¹⁰)⁸ · m¹⁵ в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем m.

1) m⁻¹⁷     2) m⁻⁹⁵      3) m⁻⁶⁵       4) m¹³

4. Ре­ши­те урав­не­ние  Если кор­ней не­сколь­ко ука­жи­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки вида  Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

Ответ:

А	Б	В

6. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия  за­да­на усло­ви­я­ми: Най­ди­те  

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при a = 9, b = 36.

8. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства  В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1      2) 2      3) 3      4) 4

9. Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 4 и 3. Най­ди­те синус наи­мень­ше­го угла этого тре­уголь­ни­ка.

10. Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 72°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

12. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

2) Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.

3) Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

14. Для квар­ти­ры пло­ща­дью 135 м² за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

Цвет по­тол­ка	Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)
	до 10 м2	от 11 до 30 м2	от 31 до 60 м2	свыше 60 м2
белый	1200	1000	800	600
цвет­ной	1350	1150	950	750

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 20%?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 81 000 руб­лей      2) 64 800 руб­лей      3) 6480 руб­лей      4) 80 980 руб­лей

15. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

16. Из объ­яв­ле­ния фирмы, про­во­дя­щей обу­ча­ю­щие се­ми­на­ры:

«Сто­и­мость уча­стия в се­ми­на­ре — 3000 р. с че­ло­ве­ка. Груп­пам от ор­га­ни­за­ций предо­став­ля­ют­ся скид­ки: от 3 до 10 че­ло­век — 5%; более 10 че­ло­век — 8%».

Сколь­ко руб­лей долж­на за­пла­тить ор­га­ни­за­ция, на­пра­вив­шая на се­ми­нар груп­пу из 4 че­ло­век?

17. Маль­чик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 550 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 480 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­зал­ся маль­чик?

18. На диа­грам­ме по­ка­зан воз­раст­ной со­став на­се­ле­ния Гре­ции. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, на­се­ле­ние ка­ко­го воз­рас­та пре­об­ла­да­ет.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го ва­ри­ан­та.

19. В сред­нем из 147 ис­прав­ных дре­лей три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

20. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти можно найти по фор­му­ле  , где    и    — ка­те­ты, а   — ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  , если    и  .

21. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

22. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

24. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC , ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 49°, 69° и 62°.

25. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­никMNK — рав­но­сто­рон­ний.

26. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC. К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCEH, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36 .

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТ 17

1. За­да­ние 1 № 314128. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ре­ше­ние.

Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Ответ: −1.

Ответ: -1

2. За­да­ние 2 № 311422. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой изоб­ра­же­ны числа  и . Какое из сле­ду­ю­щих не­ра­венств не­вер­но?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1) 

2) 

3) 

4) 

По­сколь­ку  не­вер­но не­ра­вен­ство под но­ме­ром 3.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

3. За­да­ние 3 № 341489. Пред­ставь­те вы­ра­же­ние (m⁻¹⁰)⁸ · m¹⁵ в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем m.

1) m⁻¹⁷

2) m⁻⁹⁵

3) m⁻⁶⁵

4) m¹³

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лы  и , по­лу­ча­ем:

Ответ: 3.

Ответ: 3

4. За­да­ние 4 № 341141. Ре­ши­те урав­не­ние 

Если кор­ней не­сколь­ко ука­жи­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −4; 0.

Ответ: -4;0|-4;0

5. За­да­ние 5 № 341702. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки вида  Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

Ответ:

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем  то при  функ­ция воз­рас­та­ет, при  — убы­ва­ет. Зна­че­нию  со­от­вет­сву­ет зна­че­ние функ­ции в точке  Таким об­ра­зом, гра­фи­ку A со­от­вет­ству­ют ко­эфи­ци­ен­ты 1, Б − 3, В − 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

6. За­да­ние 6 № 341201. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия  за­да­на усло­ви­я­ми: Най­ди­те  

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой, по­лу­ча­ем:

Ответ: −30,4.

Ответ: -30,4

7. За­да­ние 7 № 340585. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при a = 9, b = 36.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Под­став­ляя зна­че­ния букв, по­лу­ча­ем:

Ответ: 1,25.

Ответ: 1,25

8. За­да­ние 8 № 338745. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

9. За­да­ние 9 № 341495. Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 4 и 3. Най­ди­те синус наи­мень­ше­го угла этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть ка­те­ты имеют длины  и  а ги­по­те­ну­за — длину  Найдём длину ги­по­те­ну­зы по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Наи­мень­ший угол в тре­уголь­ни­ке лежит про­тив наи­мень­шей сто­ро­ны, сле­до­ва­тель­но, синус наи­мень­ше­го угла равен:

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

10. За­да­ние 10 № 340337. Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 72°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ние как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки равны, по­это­му сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный. От­ку­да  Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, зна­чит, дуга  равна 108°. Угол AOB — цен­траль­ный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, равен 108°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB, он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 36.

Ответ: 36

11. За­да­ние 11 № 169884. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ответ: 30

12. За­да­ние 12 № 323750. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Найдём пло­щадь дан­ной фи­гу­ры по фор­му­ле Пика:

S = В + Г/2 − 1,

где В — число узлов сетки внут­ри фи­гу­ры, Г — число узлов сетки на гра­ни­це фи­гу­ры, вклю­чая вер­ши­ны. По­лу­ча­ем:

S = 15 + 13/2 − 1 = 20,5.

Ответ: 20,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пло­щадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух тре­уголь­ни­ков:

Ответ: 20,5

13. За­да­ние 13 № 341499. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

2) Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.

3) Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов» — верно, сумма всех углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, зна­чит мень­ший угол в тре­уголь­ни­ке .

2) «Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.» — не­вер­но.

3) «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.» — верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

14. За­да­ние 14 № 333084. Для квар­ти­ры пло­ща­дью 135 м² за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

Цвет по­тол­ка	Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)
	до 10 м2	от 11 до 30 м2	от 31 до 60 м2	свыше 60 м2
белый	1200	1000	800	600
цвет­ной	1350	1150	950	750

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 20%?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 81 000 руб­лей

2) 64 800 руб­лей

3) 6480 руб­лей

4) 80 980 руб­лей

Ре­ше­ние.

При пло­ща­ди квар­ти­ры 135 м² она по­па­да­ет в диа­па­зон свыше 60 м², то есть цена за 1 м² на­тяж­но­го бе­ло­го по­тол­ка со­ста­вит 600 руб­лей. Зна­чит, сто­и­мость за­ка­за без учёта скид­ки 600 · 135 = 81 000 руб. Скид­ка со­став­ля­ет 0,2 · 81 000 = 16 200 руб. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за с учётом скид­ки со­ста­вит 81 000 − 16 200 = 64 800 руб.

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

15. За­да­ние 15 № 311794. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­ста­ви­ла 16°С.

Ответ: 16.

Ответ: 16

16. За­да­ние 16 № 337913. Из объ­яв­ле­ния фирмы, про­во­дя­щей обу­ча­ю­щие се­ми­на­ры:

«Сто­и­мость уча­стия в се­ми­на­ре — 3000 р. с че­ло­ве­ка. Груп­пам от ор­га­ни­за­ций предо­став­ля­ют­ся скид­ки: от 3 до 10 че­ло­век — 5%; более 10 че­ло­век — 8%».

Сколь­ко руб­лей долж­на за­пла­тить ор­га­ни­за­ция, на­пра­вив­шая на се­ми­нар груп­пу из 4 че­ло­век?

Ре­ше­ние.

Груп­па, со­сто­я­щая из 4 че­ло­век по­па­да­ет в диа­па­зон от 3 до 10 че­ло­век. Сто­и­мость уча­стия в се­ми­на­ре без учёта скид­ки со­ста­вит 4 · 3000 = 12 000 руб. Скид­ка со­ста­вит 12 000 · 0,05 = 600 руб. Таким об­ра­зом, ор­га­ни­за­ция долж­на за­пла­тить 12 000 − 600 = 11 400 руб.

Ответ: 11 400.

Ответ: 11400

17. За­да­ние 17 № 311766. Маль­чик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 550 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 480 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­зал­ся маль­чик?

Ре­ше­ние.

Маль­чик идёт вдоль сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­это­му, ис­ко­мое рас­сто­я­ние можно найти по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 730.

Ответ: 730

18. За­да­ние 18 № 341363. На диа­грам­ме по­ка­зан воз­раст­ной со­став на­се­ле­ния Гре­ции. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, на­се­ле­ние ка­ко­го воз­рас­та пре­об­ла­да­ет.

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го ва­ри­ан­та.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что в Гре­ции пре­об­ла­да­ет на­се­ле­ние воз­рас­та 15−50 лет.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19. За­да­ние 19 № 311482. В сред­нем из 147 ис­прав­ных дре­лей три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство всех дре­лей равно 147. Ис­прав­ных из них 144. По­это­му, ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на равна 

Ответ: 0,98

20. За­да­ние 20 № 311535. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти можно найти по фор­му­ле  , где    и    — ка­те­ты, а   — ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  , если    и  .

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

Ответ: 3,2.

Ответ: 3,2

21. За­да­ние 21 № 333127. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

Ре­ше­ние.

   

от­ку­да

 или 

Ответ: .

22. За­да­ние 22 № 311858. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют  часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, то есть она на­пол­нит весь бас­сейн за 15 часов.

Ответ: 15.

23. За­да­ние 23 № 314680. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что гра­фик функ­ции можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно три общие точки при  и 

Ответ: −4; 0.

24. За­да­ние 24 № 340879. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC , ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 49°, 69° и 62°.

Ре­ше­ние.

Пусть

∠BAC = α , ∠ABC = β , ∠ACB = γ;

∠PKM = 49°, ∠MPK = 69°, ∠KMP = 62°.

По свой­ству ка­са­тель­ных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMP, BMK и CPK рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Зна­чит,  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что  и 

Решая си­сте­му от­но­си­тель­но α , β и γ , по­лу­ча­ем, что углы тре­уголь­ни­ка ABC равны 82°, 42°, 56°.

Ответ: 82°, 42°, 56°.

25. За­да­ние 25 № 314856. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­никMNK — рав­но­сто­рон­ний.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний, точки  — се­ре­ди­ны сто­рон, сле­до­ва­тель­но:

Также углы ,  и  равны между собой, по­сколь­ку тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ,  и  они имеют по паре рав­ных сто­рон, а также рав­ный угол между этими сто­ро­на­ми, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит,  то есть тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний.

26. За­да­ние 26 № 311926. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC. К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCEH, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36 .

Ре­ше­ние.

По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и равны. Так как  =  тре­уголь­ни­ки  и  рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но,  и  — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит,  От­ре­зок  со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, сле­до­ва­тель­но,  и пря­мые   и  па­рал­лель­ны, по­это­му,  — тра­пе­ция. Про­ведём  — вы­со­ту тра­пе­ции  и  — вы­со­ту тра­пе­ции . Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны, зна­чит, 

Пло­щадь тра­пе­ции : 

Пло­щадь тра­пе­ции