Инфоурок / Математика / Тесты / Тесты по основам анализа (раздел функциональный анализ)для специальности магистратуры "Методика обучения математике"

Тесты по основам анализа (раздел функциональный анализ)для специальности магистратуры "Методика обучения математике"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

2-семестр Функциональный анализ. Магистратура

Составитель доцент Р.М.Тургунбаев

1. Укажите не верное утверждение.

  1. *Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную производную и эти производные совпадают.

  2. Если слабая производная hello_html_367eeb66.gif отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

  3. Если отображение hello_html_m4013a972.gif дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.

  4. Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.

2. Укажите не верное утверждение.

  1. *Если F(x) непрерывный оператор, то его производная есть сам этот оператор.

  2. Если слабая производная hello_html_367eeb66.gif отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

  3. Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.

  4. Если отображение hello_html_m4013a972.gif дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.

3. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор hello_html_2c7be123.gif. Укажите какие условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы оператор P был проектором 1) hello_html_m22bae9d6.gif; 2) hello_html_6405276f.gif; 3) hello_html_11ed3f21.gif ; 4) hello_html_1bbc81e9.gif

  1. *1 и 2

  2. 1 и 3

  3. только 1

  4. 1 и 4

4. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор hello_html_2c7be123.gif. Укажите какое условие является необходимым для того, чтобы оператор P был проектором:

  1. *hello_html_6405276f.gif

  2. P2=0

  3. hello_html_11ed3f21.gif

  4. hello_html_1bbc81e9.gif

5. Укажите не верное утверждение. Если E банахово пространство и T:EE ограниченный линейный оператор, то

  1. *hello_html_74a37c22.gif

  2. sp(T) замкнутое множество

  3. sp(T) компактное множество

  4. sp(T) не пустое множество

6. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где hello_html_755d3ea8.gif.

  1. *{0}

  2. {1}

  3. [0,1]

7. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], гдеhello_html_2491ca6.gif.

  1. *[0,1]

  2. {0}

  3. {1}

8. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где hello_html_7e97ead0.gif.

  1. *{0;1}

  2. {0}

  3. {1}

  4. [0,1]

9. Укажите не верное утверждения для сильной производной.

  1. *Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть постоянное число.

  2. Если F(x)=y0=const, то F’(x)hello_html_m7127a630.gif0 (нулевой оператор).

  3. Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.

  4. Сильная производная единственна.

10. Укажите не верное утверждение.

  1. *Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть число.

  2. Если слабая производная hello_html_367eeb66.gif отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

  3. Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.

  4. Если отображение hello_html_m4013a972.gif дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.

11. Если E и F банаховы пространства, hello_html_47ec8ff8.gif ограниченный линейный оператор, то

A)* hello_html_3959a7b5.gif.

B) hello_html_m4d239b27.gif

C) hello_html_m20ac3d9e.gif

D) hello_html_m187c551b.gif

12. Если Т оператор в гильбертовым пространстве H, то сопряженный оператор определяется следующим равенством.

A)* hello_html_m58086af3.gif

B) hello_html_c378e07.gif

C) hello_html_m408764bc.gif

D) hello_html_m56bebd21.gif

13. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции hello_html_m54437ee0.gif?

A)* hello_html_m89fd41e.gifи hello_html_55d77613.gif - эрмитовы операторы;

B) hello_html_m4e924a62.gif;

C) hello_html_m499fe75c.gif;

D) hello_html_m2ff72cb7.gif;

14. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции hello_html_m54437ee0.gif?

A)* hello_html_63bbeb1f.gif;

B) hello_html_m2ff72cb7.gif;

C) hello_html_m499fe75c.gif;

D) hello_html_2250bee7.gif - положительный оператор

15. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство верно для инволюции hello_html_m54437ee0.gif?

A)* hello_html_2250bee7.gif - положительный оператор

B)hello_html_63bbeb1f.gif;

C) hello_html_37add4d2.gif;

D) hello_html_m16f4332.gif и hello_html_6ac9076e.gif - Эрмитовы операторы;

16. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции hello_html_m54437ee0.gif?

A)* hello_html_63bbeb1f.gif;

B) если существует hello_html_m12bf3d96.gif, то hello_html_m5ba85344.gif.

C) hello_html_m49e313f.gif единичный оператор;

D) hello_html_2250bee7.gif - положительный оператор

17. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает hello_html_m7c63f909.gif в hello_html_m7c63f909.gif и выражается матрицей hello_html_m4e2a1171.gif.

A) * тогда оператор T* выражается матрицей hello_html_m5f4fbce8.gif.

B) тогда оператор T* выражается матрицей hello_html_370bd8e6.gif.

C) тогда оператор T* выражается матрицей hello_html_628670c1.gif.

D) тогда оператор T* выражается матрицей hello_html_1e1b8a0e.gif.

18. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает hello_html_m7c63f909.gif в hello_html_m7c63f909.gif и выражается матрицей hello_html_m4e2a1171.gif. для того чтобы оператор T был эрмитовым необходимо и достаточноб чтобы выполнялось равенство

A) * hello_html_m4eb5fa66.gif

B) hello_html_m6fdd2413.gif

C) hello_html_2bd24b0b.gif

D) hello_html_5d1aea5b.gif

19. Пусть hello_html_3a0690e.gif комплексное Гильбертово пространство и hello_html_m476af34e.gif оператор Фредгольма. Найти сопряженный оператор.

A)* hello_html_39811085.gif

B) hello_html_m10a3811a.gif

C) hello_html_165b457d.gif

D) hello_html_7ed3c955.gif

20. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите производную Фреше функционала F(x)=||x||2.

A) * hello_html_4f390f6.gif

B) hello_html_26b76985.gif

C) hello_html_m4806912f.gif

D) не существует

21. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||.

A)* (y,h)/||y||, y0, при y=0 не существует

B) (y,h)|, y0, при y=0 не существует

C) (y,h)/||y||

D) (y,h)

22. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||2.

A) * hello_html_m7830f173.gif

B) hello_html_57d3bf23.gif

C) hello_html_m73ddb58a.gif

D) не существует

23. Напишите уравнение Эйлера функционала hello_html_1bf781b2.gif

A)* y+y’’=0

B)y-y’’=0

C)y’’-y=0

D)2y-y’’=0

24. Напишите уравнение Эйлера функционала hello_html_188dce9b.gif

A)* hello_html_m2661c022.gif

B) hello_html_m6de9981c.gif

C) hello_html_66c7528b.gif

D) hello_html_m5731f057.gif

25. Найдите экстремаль функционала hello_html_m7898e387.gif

A)* y=x

B) y=-x

C) y=2x

D) не существует

26. Найдите экстремаль функционала hello_html_188dce9b.gif

A)* hello_html_23ca859c.gif

B) hello_html_556657ee.gif

C) hello_html_fb3171b.gif

D) hello_html_6118bb32.gif

27. Укажите верное утверждение. Пусть H комплексное гильбертово пространство, T самосопряженный оператор. Тогда собственные числа оператора Т

A)* вещественные числа.

B) положительные числа.

C) отрицательные числа.

D) комплексные числа.

28. Укажите верное утверждение. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор hello_html_5155aee9.gif. Тогда

A)* точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр [0,1]

B) точечный спектр [0,1], непрерывный спектр пустое множество

C) точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр {0,1}

D) точечный спектр {0,1}, непрерывный спектр пустое множество

29. Укажите не верное утверждение

A)* Всякий проектор в гильбертовом пространстве компактен

B) Непрерывный линейный оператор переводящий банахово пространство Е в некоторое его конечномерное подпространство компактен

C) В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен

D) Оператор, сопряженный компактному компактен.

30. Какое утверждение не верно?

A)* В бесконечномерном пространстве Е компактный оператор имеет ограниченый обратный.

B) Если T компактный оператор, В –ограниченный, то операторы TB и BT компактны

C) Если {Tn}-последовательность компактных операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору T, то опреатор T компактен.

D) Оператор, сопряженный компактному компактен

31. Укажите не верное утверждение.

A)* Производная непрерывного линейного оператора есть постоянное число.

B) Если F и G диференцируемы в некоторой точке hello_html_m66e3cdf7.gif, то hello_html_m7f5f2698.gif

C) Agar F дифференцируема в некоторой точке hello_html_m66e3cdf7.gif, то hello_html_df4301b.gif.

D) Производная непрерывного линейного оператора есть сам этот оператор.

32. Укажите не верное утверждение.

A)* Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную, причем сильная и слабая производные совпадают.

B) Если отображение hello_html_m4013a972.gif дифференцируема в некоторой точке x, оно имеет единственную сильную производную

C) Если F(x)=y0=const, то F’(x)hello_html_m7127a630.gif0

D) Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают

33. Укажите не верное утверждение

A) * В конечномерном пространстве точечный спектр линейного оператора пуст

B) В конечномерном пространстве число собственных чисел линейного оператора не боле hello_html_52947c93.gif

C) В конечномерном пространстве непрерывный спектр линейного оператора пуст

D) В конечномерном пространстве спектр линейного оператора состоит только из собственных чисел

34. Пусть E, F банаховы пространства и hello_html_47ec8ff8.gif линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия

A)* Множество hello_html_40896f54.gif всюду плотно в F.

B) множество hello_html_40896f54.gif замкнуто

C) множество hello_html_40896f54.gif открыто

D) множество hello_html_40896f54.gif компактно

35. Пусть E, F банаховы пространства и hello_html_47ec8ff8.gif линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия: для некоторого C>0 и произвольного hello_html_m366a596f.gif выполняется

A)* hello_html_50ced73c.gif.

B) hello_html_7f510805.gif

C) hello_html_2f7771ba.gif

D) hello_html_8b1db1c.gif

36. Пусть E, F банаховы пространства и hello_html_47ec8ff8.gif линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия

A)*для некоторого C>0 и произвольного hello_html_m366a596f.gif выполняется hello_html_50ced73c.gif.

B) для некоторого C>0 и некоторого hello_html_m366a596f.gif выполняется hello_html_50ced73c.gif

C) для произвольного C>0 и произвольного hello_html_m366a596f.gif выполняется hello_html_50ced73c.gif

D) для произвольного C>0 и некоторого hello_html_m366a596f.gif выполняется hello_html_50ced73c.gif

37. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, hello_html_47ec8ff8.gif ограниченный оператор. Тогда для того чтобы выполнялось соотношение hello_html_m2dd02d08.gif

A) *достаточно, что hello_html_1f04fc2a.gif

B) достаточно, что hello_html_477bf00a.gif

C) достаточно, что hello_html_m182a6f37.gif

D) достаточно, что hello_html_1ec840c9.gif

38. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, hello_html_47ec8ff8.gif ограниченный оператор. Тогда для того чтобы существовал hello_html_m2f10c4ed.gif

A) *достаточно, что hello_html_1f04fc2a.gif

B) достаточно, что hello_html_477bf00a.gif

C) достаточно, что hello_html_m182a6f37.gif

D) достаточно, что hello_html_1ec840c9.gif

39. Найти экстремали функционала.

А) * вариационная задача не имеет смысла

B)hello_html_38f2b879.gif

C) hello_html_m518aa5ac.gif

D) hello_html_m5618a18f.gif



40. Исследовать на экстремум функционал 470с.11 а

А) * минимум при у=0

B) Минимум при у=1

C) Максимум при у=0

D) Максимум при у=1



Общая информация

Номер материала: ДБ-245396

Похожие материалы