Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тетрадь для правил по геометрии 8 класс

Тетрадь для правил по геометрии 8 класс


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

6


Глава VII

Подобные треугольники

Текст

Рисунок, чертеж

Комментарий

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин.




hello_html_m4be36de8.gif=hello_html_c8b9084.gif;

Отрезки AB и CD пропорциональ-

ны отрезкам A1B1 и C1D1, если

hello_html_2c9a2b08.gif




Теорема о свойстве биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. (№535)



hello_html_60a268bc.gif


hello_html_e5068ef.gif


Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.


hello_html_mfebf762.gif

hello_html_597ad7c5.gif


hello_html_7707454f.gifA=hello_html_7707454f.gifA1; hello_html_7707454f.gifВ=hello_html_7707454f.gifВ1; hello_html_7707454f.gifС=hello_html_7707454f.gifС1;

hello_html_m635f9d4f.gif

(коэффициент подобия)

Сходственные стороны – стороны, лежащие против равных углов в подобных треугольниках.


AB - A1B1;

BC - B1C1;

AC - A1C1;

Коэффициент подобия – число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.


hello_html_m635f9d4f.gif

(коэффициент подобия)

Теорема об отношении площадей подобных треугольников: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.


ΔNDK ~ ΔCMR;




hello_html_m56f6931c.gif


hello_html_m40176524.gif






S1 : S2 = k2;

Теорема об отношении высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках: отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённым к этим сторонам;

или

отношение высот, проведённых к сходственным сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия. (№543)


hello_html_905152f.gifhello_html_29d66c1d.gif


hello_html_5951fc3b.gifhello_html_m7eaa7d36.gif


hello_html_612af33c.gif





hello_html_289192af.gif;




hello_html_2ffbefce.gif;


Теорема об отношении периметров двух подобных треугольников: отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. (№547)

рис. см. выше;

ΔАВС ~ Δ А1В1С1;


P : P1=k;

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

I признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.






hello_html_m40176524.gif





hello_html_m56f6931c.gif



hello_html_7707454f.gifA=hello_html_7707454f.gifA1; hello_html_7707454f.gifВ=hello_html_7707454f.gifВ1;

II признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.



hello_html_m40176524.gif


hello_html_m56f6931c.gif

hello_html_m2adf65e4.gif; hello_html_7707454f.gifA=hello_html_7707454f.gifA1;

III признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.




hello_html_m40176524.gif





hello_html_m56f6931c.gif





hello_html_1ed471af.gif;

Теорема о свойстве параллельных прямых, пересекающих стороны угла (более общая формулировка теоремы Фалеса): параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. (№556; №558)


hello_html_m3094fc44.gif


hello_html_m32e8c30e.gif=hello_html_m42e56ea0.gif;


hello_html_m1588356d.gif=hello_html_m7d6ad9d6.gif;

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.


hello_html_m6ce22fe7.gif


MNсредняя линия треугольника;




MN | | AC;

MN= ½AC;

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


hello_html_6caec2a4.gif


QPсредняя линия трапеции;

BC | | QP | | AD;


QP=½ (BC+AD);

Теорема: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. (№567)


hello_html_m74dd4af9.gif


KMNF - параллелограмм

Теорема о медианах треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.


hello_html_18e48392.gif

hello_html_m1d2e9e29.gif


Теорема: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. (№569)


hello_html_m1ab2a16.gif


BC | | MN | | AD;


MN=½ (AD- BC);

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков AB CD, если XY=hello_html_m42ad858f.gif;



Теорема: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Следствие 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Следствие 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.


hello_html_40a24c18.gif


hello_html_2e85d6ba.gifADC ~hello_html_2e85d6ba.gifACB~hello_html_2e85d6ba.gifBDC;








CD=hello_html_8251add.gif;








AC=hello_html_m497b907d.gif;


CB=hello_html_m20071439.gif;

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике


hello_html_m7342d6f9.gif






1. hello_html_6170d955.gif;

2. hello_html_m4b8ee56a.gif;

3. hello_html_20ab35d1.gif;

4. hello_html_m2587372a.gif;

5. hello_html_m6a586c83.gif;

6. hello_html_m7bd183ab.gif;

7. hello_html_21a3c2.gif;


СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.


Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.


Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.


Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.


Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.


Котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла.



hello_html_m3c755aa9.gif


sinhello_html_2e28ff68.gif=hello_html_6688fcbb.gif;




coshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_17afd4c.gif;




tghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m1588356d.gif;




tghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_3693cb09.gif



ctghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m28836b38.gif;



ctghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m3e94286.gif

Основное тригонометрическое тождество


sin2hello_html_2e28ff68.gif+cos2hello_html_2e28ff68.gif=1;

Теорема: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны, тангенсы этих углов равны, котангенсы этих углов равны.


hello_html_m3aaa269f.gif

sinA=sinA1;

cosA=cosA1;

tgA=tgA1;

ctgA=ctgA1;

ЗНАЧЕНИЯ sin, cos, tg, ctg ДЛЯ УГЛОВ 300, 450, 600



300

450

600

sinhello_html_2e28ff68.gif



hello_html_16b7c471.gif

hello_html_mbc9fd9e.gif

hello_html_m72c3cd02.gif

coshello_html_2e28ff68.gif



hello_html_m72c3cd02.gif

hello_html_mbc9fd9e.gif

hello_html_16b7c471.gif

tghello_html_2e28ff68.gif



hello_html_m1b866bc3.gif

1

hello_html_774d1622.gif

ctghello_html_2e28ff68.gif



hello_html_774d1622.gif

1

hello_html_m1b866bc3.gif




Автор
Дата добавления 18.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров615
Номер материала ДВ-353773
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх