Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 2

         Глава II

Треугольники

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами.

Соотношения между сторонами и углами треугольника:

- если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого;

- в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы (и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны);

- в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (и обратно: против большего угла лежит большая сторона).

Периметр многоугольника – это сумма длин сторон многоугольника. (P)

Легко найти периметр для школьника,

Сложив длины сторон многоугольника.

Периметр треугольника – это сумма длин трёх сторон треугольника.

Классификация треугольников по углам:

Остроугольный треугольник – треугольник, в котором все углы острые.

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один из углов прямой.

Тупоугольный треугольник – треугольник, в котором один из углов тупой.

В треугольнике: - либо все углы острые;

                               - либо два угла острые, а третий прямой;

                               - либо два угла острые, а третий тупой.

Классификация треугольников по сторонам:

Разносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны имеют различные длины.

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны.

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны.

	остроугольный	прямоугольный	тупоугольный
равнобедренный	+	+	+
равносторонний	+	-	-
разносторонний	+	+	+

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема.   I признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема.  II признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема.  III признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

         

Перпендикуляр АН, проведённый из точки А к прямой  а  - это такой отрезок, для которого выполнены следующие два условия:

1)    прямая АН перпендикулярна к прямой а;

2)    точка А не принадлежит прямой а, точка Н принадлежит прямой а;

Точка Н – основание перпендикуляра. 

Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА, ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника.

Точка О – точка пересечения медиан треугольника.

Медианы треугольника проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – биссектрисы треугольника.

Точка О – точка пересечения биссектрис треугольника.

Биссектрисы треугольника проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на её продолжение.

ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В остроугольном треугольнике высоты проходят внутри треугольника и пересекаются внутри треугольника в одной точке.

АН₁, ВН₂, СН₃ – высоты остроугольного треугольника.

Точка О – точка пересечения высот остроугольного треугольника.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В прямоугольном треугольнике высоты проходят: высота, опущенная из вершины прямого угла – внутри треугольника; а две высоты, опущенные из вершин острых углов, являются сторонами треугольника, образующими прямой угол; точка пересечения высот – вершина прямого угла.  

СН, АС, ВС  – высоты прямоугольного треугольника.

Точка С – точка пересечения высот прямоугольного треугольника.

ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В тупоугольном треугольнике высоты проходят: высота, опущенная из вершины тупого угла -  внутри треугольника, а две высоты, опущенные из вершин острых углов – вне треугольника на продолжении двух его сторон; высоты пересекаются в одной точке  вне треугольника.

АН₁, ВН₂, СН₃ – высоты тупоугольного треугольника.

Точка О – точка пересечения высот тупоугольного треугольника.

Биссектриса будет нам

Делить угол пополам.

А разделит сторону

Медиана поровну.

Высота со стороной

Угол сделают прямой.

Теорема. Угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен 90⁰.

Теорема. Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180⁰.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1.     Углы при основании равнобедренного треугольника равны и только острые.

2.     В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3.     Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию,  является медианой и биссектрисой.

4.     Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию,  является высотой и биссектрисой.

5.     В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны (№261).

6.     Если треугольник равнобедренный, то один из внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом (№232).

7.     Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию (№233).

Признаки равнобедренного треугольника:

1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

3. Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

4. Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

5. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то треугольник равнобедренный.

6. Если один из внешних углов треугольника в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный .

7. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный (№242).

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

1.     Каждый угол равностороннего треугольника равен 60⁰.

2.     Медианы, высоты и биссектрисы в равностороннем треугольнике совпадают.

Аксиома – утверждение, не требующее доказательства.

Постулат – аксиома.

Теорема - утверждение,  требующее доказательства.

Определение – объяснение какого-либо понятия.

Следствия – утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

Замечание: равносторонний треугольник можно считать равнобедренным треугольником, и он будет иметь те же свойства и признаки, что и равнобедренный треугольник.

ОКРУЖНОСТЬ

Число  – это отношение длины окружности к длине её диаметра.

 =С/d       формула нахождения числа П;

С=  d        формула нахождения длины окружности через диаметр;

С=2 r      формула нахождения длины окружности через радиус;

S= r²        формула нахождения площади круга;

Отношение С к d

Не забудем мы нигде.

Архимедово число

Приближённо равно:  ≈3,14…≈ 22/7.

Длину окружности найти несложно:

  на d умножить можно,

Так же ясно, что она

2 r ещё равна.

Я площадь круга видеть рад,

Она равна  r².

Окружность – это геометрическая фигура, все точки которой одинаково удалены от её центра.

Точка О – центр окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус – это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой

               окружности.

Все радиусы одной и той же окружности имеют одну и ту же длину.

 

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (т.е. сама   большая хорда окружности).

d=2r

 

Дуга – это часть окружности.

Сектор – это часть круга, ограниченная двумя его радиусами.

Сегмент – это часть круга, отсекаемая хордой.