Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 4

Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 4

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Глава IV

Соотношения между сторонами и углами треугольника

п/п

Название

Формулировка

Чертёж

1

Определение

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого

треугольника.

hello_html_7707454f.gifBCD – внешний угол Δ;

hello_html_2f29e3ab.gif

2

Теорема о сумме углов треугольника:

сумма углов треугольника равна 1800.

hello_html_7707454f.gifА+hello_html_7707454f.gifВ+hello_html_7707454f.gifС=180º;

hello_html_m69144db5.gif

3

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:

1. каждый угол равностороннего треугольника равен 600;

hello_html_7707454f.gifА=hello_html_7707454f.gifВ=hello_html_7707454f.gifС=60º;

hello_html_m69faf892.gif

2. углы при основании равнобедренного треугольника только острые;

hello_html_7707454f.gifА=hello_html_7707454f.gifС – острые;

hello_html_m4d1c5a39.gif

3. в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой;

1) hello_html_7707454f.gifА – острый, hello_html_7707454f.gifВ - острый,

hello_html_7707454f.gifС – острый;

2) hello_html_7707454f.gifА – острый, hello_html_7707454f.gifВ - острый,

hello_html_7707454f.gifС – тупой;

3) hello_html_7707454f.gifА – острый, hello_html_7707454f.gifВ - острый,

hello_html_7707454f.gifС – прямой;

4. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним;

hello_html_7707454f.gifBCD=hello_html_7707454f.gifА+hello_html_7707454f.gifВ;

hello_html_2f29e3ab.gif

5. если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в 2 раза больше угла при основании;

hello_html_7707454f.gifCBD=2hello_html_7707454f.gifА;



hello_html_m7055811f.gif

6. биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию;

BE | | АС;

hello_html_7e4ad545.gif

hello_html_m7055811f.gif

7. если один из внешних углов треугольника в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный;

hello_html_7707454f.gifCBD=2hello_html_7707454f.gifА, значит ΔАВС – равнобедренный;

hello_html_m7055811f.gif

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

4

Название сторон

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами (катеты – это стороны треугольника, образующие прямой угол).


hello_html_m37cc1aed.gif

5

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.


В треугольнике

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.


(рис. п. 4)

большая сторона АВ – больший угол С;


больший угол С – большая сторона АВ;

6

Следствия из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника:


1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета;

АВ>ВС; АВ>АС;


2) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

hello_html_7707454f.gifА=hello_html_7707454f.gifВ, значит ΔАВС – равнобедренный;

hello_html_m6029a89.gif

7

Теорема о неравенстве треугольника:

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше разности двух других сторон;

в-с < а < в+с;

а-с < в < а+с;

а-в < с < а+в;


hello_html_m195d3f06.gif

8

Свойства прямоугольных треугольников:

1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

hello_html_7707454f.gifА+hello_html_7707454f.gifВ=90º;


hello_html_m37cc1aed.gif

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

hello_html_7707454f.gifА=30º, значит ВС=½АВ;

hello_html_m37cc1aed.gif

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300.

ВС=½АВ, значит hello_html_7707454f.gifА=30º

hello_html_m37cc1aed.gif

Признаки равенства прямоугольных треугольников


9

I признак равенства прямоугольных треугольников:

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.



hello_html_1525d9b4.gif


II признак равенства прямоугольных треугольников:

если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны.


hello_html_1525d9b4.gif


III признак равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.


hello_html_1525d9b4.gif


VI признак равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.


hello_html_1525d9b4.gif

10

Теорема.

(№231)

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

СM=½АВ, значит ΔАВС – прямоугольный;

hello_html_3bafbd9c.gif

11

Определение

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

АН – расстояние от точки до прямой;

АН – длина перпендикуляра (или просто перпендикуляр);

АМ – наклонная;


hello_html_1cc1c58b.gif


12

Теорема.

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой:

АН<АМ;


(рис. п. 11)


Дополнение

Расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.



13

Теорема о свойстве параллельных прямых.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой:

РЕ=КТ=NМ;


hello_html_m3f7f7089.gif

14

Определение

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими параллельными прямыми.

АВ – расстояние между параллельными прямыми.



hello_html_m311f907b.gif


Дополнение

Расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.



15

Теорема, обратная теореме о свойстве параллельных прямых:


Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

a||b;

hello_html_m3f7f7089.gif


ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ


АНАЛИЗ даёт возможность составить план решения задачи на построение (т.е. отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи).


ПОСТРОЕНИЕ выполняется по намеченному плану.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.


ИССЛЕДОВАНИЕ – выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 16.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров514
Номер материала ДВ-265390
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх