Типовой экзаменационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года (с решениями всех заданий)

1. За­да­ние 1.

Ма­га­зин за­ку­па­ет цве­точ­ные горш­ки по опто­вой цене 100 руб­лей за штуку и про­да­ет с на­цен­кой 30%. Какое наи­боль­шее число таких горш­ков можно ку­пить в этом ма­га­зи­не на 1200 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки гор­шок ста­нет сто­ить 100 + 0,3  100 = 130 руб­лей. Раз­де­лим 1200 на 130:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 9 горш­ков.

Ответ: 9

24355

9

2. За­да­ние 2.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с пя­то­го по две­на­дца­тый месяц (с мая по де­кабрь) была в но­яб­ре и со­став­ля­ла 6 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 6

18845

6

За­да­ние 3.

 

Век­тор  с кон­цом в точке (5; 3) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. Ко­ор­ди­на­ты точки A вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. От­ку­да x = 2, y = 2.

Ответ: 2

27728

2

За­да­ние 4.

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 200 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

По усло­вию из любых 200 + 4 = 204 сумок в сред­нем 200 ка­че­ствен­ных сумок. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна

Ответ: 0,98

283627

0,98

За­да­ние 5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: -4

26659

-4

За­да­ние 6.

 

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, угол равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

углы и равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, зна­чит,

.

Ответ: 34

27755

34

За­да­ние 7.

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

 

Ответ: 17

121217

17

За­да­ние 8.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что мно­го­гран­ник яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной дан­но­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Сле­до­ва­тель­но, объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка

Ответ: 120

264511

120

За­да­ние 9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

 .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -6

62251

-6

За­да­ние 10.

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Нм) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где – сила тока в рамке, Тл – зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля, м – раз­мер рамки, – число вит­ков про­во­да в рамке, – ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Нм?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях силы тока в рамке , раз­ме­ра рамки м, числа вит­ков про­во­да и ин­дук­ции маг­нит­но­го поля Тл:

.

Ответ: 30

27999

30

За­да­ние 11.

Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 106 км/ч, и через 48 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна км/ч. За 4/5 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 12 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 91

114147

91

За­да­ние 12.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

.

Ответ: -3

3967

-3

За­да­ние 13.

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Из дан­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Зна­чит, или от­ку­да или от­ку­да или

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) ; б)

За­да­ние 14.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра

Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и

Ре­ше­ние.

Пусть и  — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но. — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки  — точка — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой сле­до­ва­тель­но, угол — ис­ко­мый.

где  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

За­да­ние 15.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние будем ис­кать при усло­ви­ях:

.

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть .

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть или

Ответ: .

За­да­ние 16.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ре­ше­ние.

Окруж­но­стей две: каж­дая из них впи­сан­ная в пра­виль­ный тре­уголь­ник. Эти тре­уголь­ни­ки имеют сто­ро­ны рав­ные 5 и 3 − со­от­вет­ствен­но. По­это­му ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны тре­тьей части вы­со­ты пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 5 ра­ди­ус равен

Най­дем пло­щадь не­вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков и

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 3 ра­ди­ус равен

Чтобы найти пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка вы­чтем из пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и

Ответ: или

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2009 с решениями: ва­ри­ант 1. (Часть С)

За­да­ние 17.

31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­плат кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк x руб­лей. Какой долж­на быть сумма x, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После четвёртой вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

от­ку­да

При S = 6 902 000 и a = 12,5, по­лу­ча­ем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

Источник: Ти­по­вые тестовые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2016 г.

За­да­ние 18.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы.

Рас­смот­рим два слу­чая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₁(2; 4) и ра­ди­у­сом

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₂(0; 0) и ра­ди­у­сом

По­лу­чен­ные окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в двух точ­ках A(−1; 3) и B(3; 1), ле­жа­щих на пря­мой x + 2y − 5 = 0, по­это­му в пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем дугу ω₁ с кон­ца­ми в точ­ках A и B, во вто­ром — дугу ω₂ с кон­ца­ми в тех же точ­ках (см. рис.).

За­ме­тим, что точка лежит на дуге ω₂ и пря­мая O₂C пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой O₁O₂.

Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы. Оно задаёт пря­мую m, па­рал­лель­ную пря­мой O₁O₂ или сов­па­да­ю­щую с ней.

При a = −5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, от­лич­ной от точки A, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при a = 5 пря­мая m про­хо­дит через точку B и ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

При пря­мая m про­хо­дит через точку C, зна­чит, пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При или пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точ­ках, от­лич­ных от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

При −5 < a < 5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, от­лич­ной от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При или пря­мая m не пе­ре­се­ка­ет дуги ω₁ и ω₂, то есть ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет более двух ре­ше­ний при или

Ответ:

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

За­да­ние 19.

Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1512 и

а) пять;

б) че­ты­ре;

в) три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Ре­ше­ние.

Слу­чай а). Пусть числа где по усло­вию — на­ту­раль­ное число, — ис­ко­мые члены про­грес­сии. Их про­из­ве­де­ние равно но урав­не­ние не имеет на­ту­раль­ных ре­ше­ний. Итак, не­об­хо­ди­мой про­грес­сии из 5 чисел не су­ще­ству­ет.

Слу­чай б). Пусть про­грес­сия со­сто­ит из че­ты­рех чле­нов а пятое на­ту­раль­ное число равно По­сколь­ку имеем: что не­воз­мож­но для на­ту­раль­ных и по­сколь­ку раз­ло­же­ние числа 1512 не со­дер­жит чет­вер­тых сте­пе­ней про­стых со­мно­жи­те­лей от­лич­ных от 1. За­ме­тим од­на­ко, что зна­ме­на­тель про­грес­сии может не быть на­ту­раль­ным чис­лом и ис­сле­ду­ем этот слу­чай. Пусть — не­со­кра­ти­мая дробь, Тогда что не­воз­мож­но, так как раз­ло­же­ние числа 1512 не со­дер­жит ше­стых сте­пе­ней про­стых со­мно­жи­те­лей от­лич­ных от 1.

Слу­чай в). Пусть про­грес­сия со­сто­ит из трех чле­нов а чет­вер­тое и пятое на­ту­раль­ные числа равны и Тогда По­ло­жим в этом ра­вен­стве Далее, по­ла­гая по­лу­чим один из тре­бу­е­мых на­бо­ров чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.