181330
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Математика Другие методич. материалыТиповой экзаменационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года (с решениями всех заданий)

Типовой экзаменационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года (с решениями всех заданий)

библиотека
материалов

1. Задание 1.

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1200 рублей?

Решение.

С учетом наценки горшок станет стоить 100 + 0,3 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099p.png 100 = 130 рублей. Разделим 1200 на 130:

 

http://reshuege.ru/formula/d5/d5084f45d52eeeae4309ed54581fff4ap.png.

Значит, можно будет купить 9 горшков.

Ответ: 9


24355

9

2. Задание 2.

На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

http://reshuege.ru/pic?id=a2889

 

Решение.

Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рисунок).

Ответ: 6


18845

6

Задание 3.

http://reshuege.ru/get_file?id=458

Вектор http://reshuege.ru/formula/30/300cdf70f6aa163126f136da1aa251eep.png с концом в точке http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571p.png(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png

Решение.

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.

Ответ: 2


27728

2

Задание 4.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 200 + 4 = 204 сумок в среднем 200 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

 

http://reshuege.ru/formula/32/32486f6db2f8f041014c2ae6d55a20a5p.png


Ответ: 0,98


283627

0,98

Задание 5.

Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/c7/c77d9cb5c5e536e198dbcb538c8ca7a2p.png.

Решение.

Последовательно получаем:

http://reshuege.ru/formula/0c/0ce189f758a2148a1d1d7ab8fccdd4f1p.png

Ответ: -4

26659

-4


Задание 6.

http://reshuege.ru/get_file?id=1329

В треугольнике http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngугол http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.pngравен 90°, http://reshuege.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8p.png– высота, угол http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngравен http://reshuege.ru/formula/10/1059da93b2ac36307bdb9e72956e74ebp.png. Найдите угол http://reshuege.ru/formula/43/43f2b0dd09b2b91146fe726dcc47381bp.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.

углы http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи http://reshuege.ru/formula/43/43f2b0dd09b2b91146fe726dcc47381bp.pngравны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, значит,

 

http://reshuege.ru/formula/2c/2c87c7443814945780d638d0c8772cf9p.png.

Ответ: 34


27755

34

Задание 7.

Прямая http://reshuege.ru/formula/78/786dd0b31e8bed1ccb3de2253642d91cp.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/9e/9e0598886c8e0f447bb89a6434ab9c2fp.png. Найдите c.

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/d0/d02937084a4f9409bf2e09ab58b9ffc0p.png 

Ответ: 17









121217

17

Задание 8.

http://reshuege.ru/get_file?id=3367

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки http://reshuege.ru/formula/af/afc1b9133c3b02b7e79d435793a1c81dp.pngпараллелепипеда http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71p.png, у которого http://reshuege.ru/formula/04/044cdf08d9bf7de4b9645228826df96dp.png, http://reshuege.ru/formula/a2/a226d970ee000a37f0c1cf5e0d77b1c2p.png, http://reshuege.ru/formula/af/af156af026dc884f754b7c01eb87c8b6p.png.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=3374

Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника

 

http://reshuege.ru/formula/73/737959b556f54ae29a4d2007d7b4ff8cp.png

Ответ: 120


264511

120

Задание 9.

Найдите значение выражения

http://reshuege.ru/formula/27/27f09e2da228cbe1bdbe7b701e6d608cp.png.

Решение.

Выполним преобразования:

http://reshuege.ru/formula/15/15a088e5cacc16384a461741eaba8204p.png.

Ответ: -6


62251

-6

Задание 10.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нhttp://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099p.pngм) определяется формулой http://reshuege.ru/formula/5c/5c432b62dcbec0ebf78a6c0f0d0c37b6p.png, где http://reshuege.ru/formula/be/be03b7f369d7cff7f7be149a69cdce2bp.png– сила тока в рамке, http://reshuege.ru/formula/3b/3bfddab38ecaf22a7fea8b3c20ab2992p.pngТл – значение индукции магнитного поля, http://reshuege.ru/formula/af/afa4161845ba8feff73a8c4f49d3f917p.pngм – размер рамки, http://reshuege.ru/formula/06/0641841b1d81ebea663f2618c5ca1d05p.png– число витков провода в рамке, http://reshuege.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.png– острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла http://reshuege.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.png(в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нhttp://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099p.pngм?




Решение.

Задача сводится к решению неравенства http://reshuege.ru/formula/82/8270e7fa113c526a359770e10d93d26cp.pngна интервале http://reshuege.ru/formula/22/22d5cac281069e1c3c248c79d0d72554p.pngпри заданных значениях силы тока в рамке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13725bd9f98662a66a0c8655a144d3p.png, размера рамки http://reshuege.ru/formula/64/64e4824621981e6816ea45352c5e417dp.pngм, числа витков провода http://reshuege.ru/formula/bf/bf03db6e35003ccc3459dc56be75bf2ap.pngи индукции магнитного поля http://reshuege.ru/formula/5a/5a1884a1a9cc3f1cfea2c859adb52d72p.pngТл:

 

http://reshuege.ru/formula/6d/6d1a6b751907cbce372d5122aa86b07cp.png.

Ответ: 30


27999

30

Задание 11.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна http://reshuege.ru/formula/9e/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2ap.pngкм/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 12 км больше, чем второй, отсюда имеем

http://reshuege.ru/formula/a2/a2758ed15c91da83714c9a83e2ffcf05p.png

Ответ: 91


114147

91

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/9f/9f53c68acbfe8ddb2d46b0e07776162ap.pngна отрезке http://reshuege.ru/formula/8b/8ba3553dc70061cfe7b0e86f86d4ac33p.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/ff/ff88b983f78d9db7a93e5c46bb1ea878p.png

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/04/04f91f6f3a417f5602031b136ef25900p.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=20255

В точке http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26dp.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

http://reshuege.ru/formula/84/84649bf249d45c940776e032a5d6c2afp.png.

Ответ: -3


3967

-3

Задание 13.

а) Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/3e/3ef86d914502c3a035031fe56af0b0afp.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/af/af8e55359ec2272a5cf27cf364e799e8p.png




Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5086а) Из данного уравнения получаем:

 

http://reshuege.ru/formula/92/92940d500bcd1bbe3387605cba1369e7p.png

Значит, или http://reshuege.ru/formula/27/27117250d1df2699c35953edd37a61cep.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/90/90d300072123c39a91572623734bb2f4p.pngили http://reshuege.ru/formula/a7/a7adc4ecd807d32e44f265a0183ed9b4p.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/f1/f13bb92ee438e730a75a51a3ce80d156p.pngили http://reshuege.ru/formula/fe/fe70380e535f383ec4a7b584b21c7be6p.png

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/b2/b2c1867e7d9488d66e43ba110e00b3dap.pngПолучим числа: http://reshuege.ru/formula/1a/1a944e9baa6ed856983ae88ef94b7e59p.png

Ответ: а) http://reshuege.ru/formula/38/3858b6d8c2afe09d72892cd0a5c17b5ep.png; б) http://reshuege.ru/formula/1a/1a944e9baa6ed856983ae88ef94b7e59p.png


Задание 14.

В правильной треугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7p.pngс основанием http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngизвестны ребра http://reshuege.ru/formula/40/40df9f777da9984ff08a60f5b906c75bp.png

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер http://reshuege.ru/formula/a2/a2c29192484301fa800100e16e494acfp.pngи http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646fp.png

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=14440

Пусть http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.pngи http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaap.png — середины ребер http://reshuege.ru/formula/a2/a2c29192484301fa800100e16e494acfp.pngи http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngсоответственно. http://reshuege.ru/formula/d9/d9681d05860552e9c3113da381f916fcp.png— медиана правильного треугольника http://reshuege.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51bp.pngследовательно, находится по формуле http://reshuege.ru/formula/94/94e615a2d8c1d79a7a9a4fd497e8796fp.pngПрямая http://reshuege.ru/formula/a2/a2c29192484301fa800100e16e494acfp.pngпроецируется на плоскость основания и прямую http://reshuege.ru/formula/c0/c0136da5b3a1876e67ea3f0b94821f34p.pngПоэтому проекция точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.png — точка http://reshuege.ru/formula/0a/0a04315fff14859d66e75bebbaaa6990p.png— лежит на отрезке http://reshuege.ru/formula/c0/c0136da5b3a1876e67ea3f0b94821f34p.pngЗначит, прямая http://reshuege.ru/formula/d9/d9681d05860552e9c3113da381f916fcp.pngявляется проекцией прямой http://reshuege.ru/formula/ed/edde821f05cdcfcdcacb24e4ca253190p.pngследовательно, угол http://reshuege.ru/formula/93/93cfc5e63c877e73207bf7037eba4b60p.png— искомый.

http://reshuege.ru/formula/2b/2bc7a5764cb267264c50c6124f3c90a4p.pngгде http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506ep.png — центр основания, значит, http://reshuege.ru/formula/b1/b1d45746f2dc3ca161336ddc59359d53p.png — средняя линия треугольника http://reshuege.ru/formula/82/825ab011bb32a22228679ca99089333dp.pngпоэтому http://reshuege.ru/formula/79/79a7346443d7d92309da3d80779640f6p.pngТогда http://reshuege.ru/formula/28/2834ac28dcfe2f4e40659ff867d591f5p.pngи http://reshuege.ru/formula/e1/e1e098e7f5988f19b3ce17f3e3235d9dp.pngИз прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/4a/4acf05b1de658088ffc8099377e11532p.pngнаходим:

 

http://reshuege.ru/formula/2e/2ec2a41ed5e10d7cbf6f86b2646a252ap.png

 

Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/11/11330cd5ec071c096a5963a61aaaa022p.pngнаходим:

 

http://reshuege.ru/formula/c1/c195666284b78ab88d461021899f827fp.png

 

Значит, искомый угол равен http://reshuege.ru/formula/ce/ce209ac508b17d78d243e678b895deffp.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/7a/7ab8bfb59adf6a00d03df066226738e5p.png


Задание 15.

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/14/14266b9c3ee48529bdc9d5ec0147a766p.png

Решение.

Решение будем искать при условиях:

 

http://reshuege.ru/formula/85/856c5dff4d463531a6c5b3405922f442p.png.

 

Рассмотрим исходное неравенство на множестве http://reshuege.ru/formula/42/42e3c4c8289a9709295fb973577d203dp.pngтогда http://reshuege.ru/formula/9e/9e3caa6dd40f9e2c0bf25870395bd17ap.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/99/99c8537b141847468dfe2bf66119894ap.pngто есть http://reshuege.ru/formula/e7/e71ddfa708d391d7c7c6cc6527aee3a2p.png.

Рассмотрим исходное неравенство на множестве http://reshuege.ru/formula/5b/5b242678446adee773961eaaac1bb41fp.pngтогда http://reshuege.ru/formula/35/35176fcd80b67467d1f429ce7a6f13b5p.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/26/2684f2b2032d913e7972426982bbb458p.pngто есть http://reshuege.ru/formula/e9/e95101d328ca99810e0c421f570a64aap.pngили http://reshuege.ru/formula/f1/f1136e2ef9d13f80705bee327a4300d5p.png

 

Ответ: http://reshuege.ru/formula/dc/dce69e594cd670eb61fb1929007d645bp.png.


Задание 16.

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.








Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=17992http://reshuege.ru/get_file?id=17993

 

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 − соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.

Для треугольника со стороной 5 радиус равен http://reshuege.ru/formula/03/034d67bdeea8fa9aaa6fdda308c5a454p.png

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников http://reshuege.ru/formula/4d/4d1904de6c15b2cf5e4cf3236746ec8ep.pngи http://reshuege.ru/formula/3b/3bb6e0ad320f88b018bd620492e476efp.png

 

http://reshuege.ru/formula/26/2656adad933528eb319bebd4411d2f98p.png

 

Для треугольника со стороной 3 радиус равен http://reshuege.ru/formula/6b/6b300af9dca46a26295d0cf91d3d6e08p.png

Чтобы найти площадь четырехугольника http://reshuege.ru/formula/a5/a5236be21dccd0b2a6cdff30b73497dap.pngвычтем из площади параллелограмма площади треугольников http://reshuege.ru/formula/86/86fdba8daca52c460fbbafe6bcd62e58p.pngи http://reshuege.ru/formula/49/495830e1490abe0e2721d5fa96fddecbp.png

 

http://reshuege.ru/formula/4e/4e7e3f950aac9b21e62cb4a3eed460cep.png

 

 

 

Ответ: http://reshuege.ru/formula/d9/d952229302148b25c792e024cc244e33p.pngили http://reshuege.ru/formula/2a/2adcaa34e620590c613aa3ce49e0560dp.png

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 19.11.2009 с решениями: вариант 1. (Часть С)

Задание 17.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sbx. После второй выплаты сумма долга составит

 

http://reshuege.ru/formula/99/999361e3c349861594bfb238b81285b7p.png

 

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

 

http://reshuege.ru/formula/c3/c375d88fd92b6105189dbc8080ec80cfp.png

 

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

 

http://reshuege.ru/formula/3f/3f16bf528413922fddc7386966dbc9b4p.png

 

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

 

http://reshuege.ru/formula/ad/add845becfbbec7c1186eafa001c2621p.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/dd/dd9dc74773787eb10f955d1119d1766bp.png

 

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

 

http://reshuege.ru/formula/db/dbd270807a27e30075afde3aaa1daf4cp.png

 

Ответ: 2 296 350.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 

http://reshuege.ru/formula/78/7859d6627dc5f4b4625e2b5cd2efba4dp.png

 

имеет более двух решений.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=19560

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

 

http://reshuege.ru/formula/1e/1e6334379a924eaa1244d41fca480802p.png

http://reshuege.ru/formula/6c/6c230fe49bf073312dcfe96840de70bep.png

http://reshuege.ru/formula/d4/d41531bf254af2d91fcc5a1128890a19p.png

 

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O1(2; 4) и радиусом http://reshuege.ru/formula/89/89fd7bdfa33437cd870dc38d6c602dbfp.png

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

 

http://reshuege.ru/formula/4c/4cfb703fb60509fd0f874f541fa345f4p.png

 

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O2(0; 0) и радиусом http://reshuege.ru/formula/89/89fd7bdfa33437cd870dc38d6c602dbfp.png

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω1 с концами в точках A и B, во втором — дугу ω2 с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка http://reshuege.ru/formula/56/567ec9a9d2acda442d32b59e0dcf1868p.pngлежит на дуге ω2 и прямая O2C перпендикулярна прямой O1O2.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O1O2 или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При http://reshuege.ru/formula/36/36d29e889587e55273866ca36c807b16p.pngпрямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при http://reshuege.ru/formula/ad/ad98ce753df4f694a28d77ce6afac822p.pngпрямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.

При http://reshuege.ru/formula/f5/f54b025d05954bc95fdcc883aa7dfda2p.pngили http://reshuege.ru/formula/06/06ea36985ef43ec6a1f34d36d901e27fp.pngпрямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При http://reshuege.ru/formula/f1/f11358505f37886bd6e1ff43985f1214p.pngили http://reshuege.ru/formula/4a/4ae7c6d72da34b4a08223d8fc66f5207p.pngпрямая m не пересекает дуги ω1 и ω2, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при http://reshuege.ru/formula/c3/c36c90e877e0afae297ba6b10107fdf7p.pngили http://reshuege.ru/formula/5d/5d22056818034935f5d09e0fd2b5000cp.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/a7/a7c6db28283ab76c6389d3cff3a3bb7fp.png

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

Задание 19.

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение.

Случай а). Пусть числа http://reshuege.ru/formula/58/58b3baad3d867da1d8f23b8cdae212dbp.pngгде по условию http://reshuege.ru/formula/92/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fp.png— натуральное число, http://reshuege.ru/formula/dc/dcf2b75cc83898b82d268229bd8f0bb9p.png— искомые члены прогрессии. Их произведение равно http://reshuege.ru/formula/0b/0b6c766e561d3ca03d3bc18de56c61bbp.pngно уравнение http://reshuege.ru/formula/bc/bc84115a6edc725c593eaad5943d5a12p.pngне имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.

Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов http://reshuege.ru/formula/73/73ea445a45f4bc4de623a5d414a72ec1p.pngа пятое натуральное число равно http://reshuege.ru/formula/00/00884c5e389a26ffde2fb1e712dac2e2p.pngПоскольку http://reshuege.ru/formula/7b/7b412246710887d303e3cc066a0f09b2p.pngимеем: http://reshuege.ru/formula/bf/bf6de04e42bed91df294fa870f79b482p.pngчто невозможно для натуральных http://reshuege.ru/formula/1a/1afd78216f84c6a6ef8cbec8103f0d2bp.pngи http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3p.pngпоскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии http://reshuege.ru/formula/76/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611dp.pngможет не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть http://reshuege.ru/formula/c8/c87e79e0595792655728639112185acdp.png— несократимая дробь, http://reshuege.ru/formula/a5/a59484276aa5e5f1dc9e8315ebbe892dp.pngТогда http://reshuege.ru/formula/ed/ed52e65e1aabefef2b75483dd5868fe8p.pngчто невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов http://reshuege.ru/formula/f2/f2010d71a547036b084801177c56e7e5p.pngа четвертое и пятое натуральные числа равны http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3p.pngи http://reshuege.ru/formula/fd/fdc8f7ceed11af6d1ab52a7479f6c19cp.pngТогда http://reshuege.ru/formula/db/db10c363ae87d5d2ca3aee31c8cf6070p.pngПоложим в этом равенстве http://reshuege.ru/formula/73/73c00867084890d0541804735001ca0ap.pngДалее, полагая http://reshuege.ru/formula/71/716d6a86df816ed6acda26117b019f02p.pngполучим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.