Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Типовой экзаменационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года (с решениями всех заданий)

Типовой экзаменационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года (с решениями всех заданий)



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

1. Задание 1.

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1200 рублей?

Решение.

С учетом наценки горшок станет стоить 100 + 0,3 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099p.png 100 = 130 рублей. Разделим 1200 на 130:

 

http://reshuege.ru/formula/d5/d5084f45d52eeeae4309ed54581fff4ap.png.

Значит, можно будет купить 9 горшков.

Ответ: 9


24355

9

2. Задание 2.

На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

http://reshuege.ru/pic?id=a2889

 

Решение.

Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рисунок).

Ответ: 6


18845

6

Задание 3.

http://reshuege.ru/get_file?id=458

Вектор http://reshuege.ru/formula/30/300cdf70f6aa163126f136da1aa251eep.png с концом в точке http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571p.png(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png

Решение.

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.

Ответ: 2


27728

2

Задание 4.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 200 + 4 = 204 сумок в среднем 200 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

 

http://reshuege.ru/formula/32/32486f6db2f8f041014c2ae6d55a20a5p.png


Ответ: 0,98


283627

0,98

Задание 5.

Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/c7/c77d9cb5c5e536e198dbcb538c8ca7a2p.png.

Решение.

Последовательно получаем:

http://reshuege.ru/formula/0c/0ce189f758a2148a1d1d7ab8fccdd4f1p.png

Ответ: -4

26659

-4


Задание 6.

http://reshuege.ru/get_file?id=1329

В треугольнике http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngугол http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.pngравен 90°, http://reshuege.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8p.png– высота, угол http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngравен http://reshuege.ru/formula/10/1059da93b2ac36307bdb9e72956e74ebp.png. Найдите угол http://reshuege.ru/formula/43/43f2b0dd09b2b91146fe726dcc47381bp.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.

углы http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.pngи http://reshuege.ru/formula/43/43f2b0dd09b2b91146fe726dcc47381bp.pngравны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, значит,

 

http://reshuege.ru/formula/2c/2c87c7443814945780d638d0c8772cf9p.png.

Ответ: 34


27755

34

Задание 7.

Прямая http://reshuege.ru/formula/78/786dd0b31e8bed1ccb3de2253642d91cp.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/9e/9e0598886c8e0f447bb89a6434ab9c2fp.png. Найдите c.

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/d0/d02937084a4f9409bf2e09ab58b9ffc0p.png 

Ответ: 17









121217

17

Задание 8.

http://reshuege.ru/get_file?id=3367

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки http://reshuege.ru/formula/af/afc1b9133c3b02b7e79d435793a1c81dp.pngпараллелепипеда http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71p.png, у которого http://reshuege.ru/formula/04/044cdf08d9bf7de4b9645228826df96dp.png, http://reshuege.ru/formula/a2/a226d970ee000a37f0c1cf5e0d77b1c2p.png, http://reshuege.ru/formula/af/af156af026dc884f754b7c01eb87c8b6p.png.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=3374

Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника

 

http://reshuege.ru/formula/73/737959b556f54ae29a4d2007d7b4ff8cp.png

Ответ: 120


264511

120

Задание 9.

Найдите значение выражения

http://reshuege.ru/formula/27/27f09e2da228cbe1bdbe7b701e6d608cp.png.

Решение.

Выполним преобразования:

http://reshuege.ru/formula/15/15a088e5cacc16384a461741eaba8204p.png.

Ответ: -6


62251

-6

Задание 10.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нhttp://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099p.pngм) определяется формулой http://reshuege.ru/formula/5c/5c432b62dcbec0ebf78a6c0f0d0c37b6p.png, где http://reshuege.ru/formula/be/be03b7f369d7cff7f7be149a69cdce2bp.png– сила тока в рамке, http://reshuege.ru/formula/3b/3bfddab38ecaf22a7fea8b3c20ab2992p.pngТл – значение индукции магнитного поля, http://reshuege.ru/formula/af/afa4161845ba8feff73a8c4f49d3f917p.pngм – размер рамки, http://reshuege.ru/formula/06/0641841b1d81ebea663f2618c5ca1d05p.png– число витков провода в рамке, http://reshuege.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.png– острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла http://reshuege.ru/formula/7b/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08p.png(в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нhttp://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099p.pngм?




Решение.

Задача сводится к решению неравенства http://reshuege.ru/formula/82/8270e7fa113c526a359770e10d93d26cp.pngна интервале http://reshuege.ru/formula/22/22d5cac281069e1c3c248c79d0d72554p.pngпри заданных значениях силы тока в рамке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13725bd9f98662a66a0c8655a144d3p.png, размера рамки http://reshuege.ru/formula/64/64e4824621981e6816ea45352c5e417dp.pngм, числа витков провода http://reshuege.ru/formula/bf/bf03db6e35003ccc3459dc56be75bf2ap.pngи индукции магнитного поля http://reshuege.ru/formula/5a/5a1884a1a9cc3f1cfea2c859adb52d72p.pngТл:

 

http://reshuege.ru/formula/6d/6d1a6b751907cbce372d5122aa86b07cp.png.

Ответ: 30


27999

30

Задание 11.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна http://reshuege.ru/formula/9e/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2ap.pngкм/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 12 км больше, чем второй, отсюда имеем

http://reshuege.ru/formula/a2/a2758ed15c91da83714c9a83e2ffcf05p.png

Ответ: 91


114147

91

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/9f/9f53c68acbfe8ddb2d46b0e07776162ap.pngна отрезке http://reshuege.ru/formula/8b/8ba3553dc70061cfe7b0e86f86d4ac33p.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/ff/ff88b983f78d9db7a93e5c46bb1ea878p.png

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/04/04f91f6f3a417f5602031b136ef25900p.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=20255

В точке http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26dp.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

http://reshuege.ru/formula/84/84649bf249d45c940776e032a5d6c2afp.png.

Ответ: -3


3967

-3

Задание 13.

а) Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/3e/3ef86d914502c3a035031fe56af0b0afp.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/af/af8e55359ec2272a5cf27cf364e799e8p.png




Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5086а) Из данного уравнения получаем:

 

http://reshuege.ru/formula/92/92940d500bcd1bbe3387605cba1369e7p.png

Значит, или http://reshuege.ru/formula/27/27117250d1df2699c35953edd37a61cep.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/90/90d300072123c39a91572623734bb2f4p.pngили http://reshuege.ru/formula/a7/a7adc4ecd807d32e44f265a0183ed9b4p.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/f1/f13bb92ee438e730a75a51a3ce80d156p.pngили http://reshuege.ru/formula/fe/fe70380e535f383ec4a7b584b21c7be6p.png

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/b2/b2c1867e7d9488d66e43ba110e00b3dap.pngПолучим числа: http://reshuege.ru/formula/1a/1a944e9baa6ed856983ae88ef94b7e59p.png

Ответ: а) http://reshuege.ru/formula/38/3858b6d8c2afe09d72892cd0a5c17b5ep.png; б) http://reshuege.ru/formula/1a/1a944e9baa6ed856983ae88ef94b7e59p.png


Задание 14.

В правильной треугольной пирамиде http://reshuege.ru/formula/a5/a50b32b001d7b7c5bba7d080e4ad8fc7p.pngс основанием http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.pngизвестны ребра http://reshuege.ru/formula/40/40df9f777da9984ff08a60f5b906c75bp.png

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер http://reshuege.ru/formula/a2/a2c29192484301fa800100e16e494acfp.pngи http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646fp.png

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=14440

Пусть http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.pngи http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaap.png — середины ребер http://reshuege.ru/formula/a2/a2c29192484301fa800100e16e494acfp.pngи http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.pngсоответственно. http://reshuege.ru/formula/d9/d9681d05860552e9c3113da381f916fcp.png— медиана правильного треугольника http://reshuege.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51bp.pngследовательно, находится по формуле http://reshuege.ru/formula/94/94e615a2d8c1d79a7a9a4fd497e8796fp.pngПрямая http://reshuege.ru/formula/a2/a2c29192484301fa800100e16e494acfp.pngпроецируется на плоскость основания и прямую http://reshuege.ru/formula/c0/c0136da5b3a1876e67ea3f0b94821f34p.pngПоэтому проекция точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.png — точка http://reshuege.ru/formula/0a/0a04315fff14859d66e75bebbaaa6990p.png— лежит на отрезке http://reshuege.ru/formula/c0/c0136da5b3a1876e67ea3f0b94821f34p.pngЗначит, прямая http://reshuege.ru/formula/d9/d9681d05860552e9c3113da381f916fcp.pngявляется проекцией прямой http://reshuege.ru/formula/ed/edde821f05cdcfcdcacb24e4ca253190p.pngследовательно, угол http://reshuege.ru/formula/93/93cfc5e63c877e73207bf7037eba4b60p.png— искомый.

http://reshuege.ru/formula/2b/2bc7a5764cb267264c50c6124f3c90a4p.pngгде http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506ep.png — центр основания, значит, http://reshuege.ru/formula/b1/b1d45746f2dc3ca161336ddc59359d53p.png — средняя линия треугольника http://reshuege.ru/formula/82/825ab011bb32a22228679ca99089333dp.pngпоэтому http://reshuege.ru/formula/79/79a7346443d7d92309da3d80779640f6p.pngТогда http://reshuege.ru/formula/28/2834ac28dcfe2f4e40659ff867d591f5p.pngи http://reshuege.ru/formula/e1/e1e098e7f5988f19b3ce17f3e3235d9dp.pngИз прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/4a/4acf05b1de658088ffc8099377e11532p.pngнаходим:

 

http://reshuege.ru/formula/2e/2ec2a41ed5e10d7cbf6f86b2646a252ap.png

 

Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/11/11330cd5ec071c096a5963a61aaaa022p.pngнаходим:

 

http://reshuege.ru/formula/c1/c195666284b78ab88d461021899f827fp.png

 

Значит, искомый угол равен http://reshuege.ru/formula/ce/ce209ac508b17d78d243e678b895deffp.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/7a/7ab8bfb59adf6a00d03df066226738e5p.png


Задание 15.

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/14/14266b9c3ee48529bdc9d5ec0147a766p.png

Решение.

Решение будем искать при условиях:

 

http://reshuege.ru/formula/85/856c5dff4d463531a6c5b3405922f442p.png.

 

Рассмотрим исходное неравенство на множестве http://reshuege.ru/formula/42/42e3c4c8289a9709295fb973577d203dp.pngтогда http://reshuege.ru/formula/9e/9e3caa6dd40f9e2c0bf25870395bd17ap.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/99/99c8537b141847468dfe2bf66119894ap.pngто есть http://reshuege.ru/formula/e7/e71ddfa708d391d7c7c6cc6527aee3a2p.png.

Рассмотрим исходное неравенство на множестве http://reshuege.ru/formula/5b/5b242678446adee773961eaaac1bb41fp.pngтогда http://reshuege.ru/formula/35/35176fcd80b67467d1f429ce7a6f13b5p.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/26/2684f2b2032d913e7972426982bbb458p.pngто есть http://reshuege.ru/formula/e9/e95101d328ca99810e0c421f570a64aap.pngили http://reshuege.ru/formula/f1/f1136e2ef9d13f80705bee327a4300d5p.png

 

Ответ: http://reshuege.ru/formula/dc/dce69e594cd670eb61fb1929007d645bp.png.


Задание 16.

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.








Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=17992http://reshuege.ru/get_file?id=17993

 

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 − соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.

Для треугольника со стороной 5 радиус равен http://reshuege.ru/formula/03/034d67bdeea8fa9aaa6fdda308c5a454p.png

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников http://reshuege.ru/formula/4d/4d1904de6c15b2cf5e4cf3236746ec8ep.pngи http://reshuege.ru/formula/3b/3bb6e0ad320f88b018bd620492e476efp.png

 

http://reshuege.ru/formula/26/2656adad933528eb319bebd4411d2f98p.png

 

Для треугольника со стороной 3 радиус равен http://reshuege.ru/formula/6b/6b300af9dca46a26295d0cf91d3d6e08p.png

Чтобы найти площадь четырехугольника http://reshuege.ru/formula/a5/a5236be21dccd0b2a6cdff30b73497dap.pngвычтем из площади параллелограмма площади треугольников http://reshuege.ru/formula/86/86fdba8daca52c460fbbafe6bcd62e58p.pngи http://reshuege.ru/formula/49/495830e1490abe0e2721d5fa96fddecbp.png

 

http://reshuege.ru/formula/4e/4e7e3f950aac9b21e62cb4a3eed460cep.png

 

 

 

Ответ: http://reshuege.ru/formula/d9/d952229302148b25c792e024cc244e33p.pngили http://reshuege.ru/formula/2a/2adcaa34e620590c613aa3ce49e0560dp.png

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 19.11.2009 с решениями: вариант 1. (Часть С)

Задание 17.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sbx. После второй выплаты сумма долга составит

 

http://reshuege.ru/formula/99/999361e3c349861594bfb238b81285b7p.png

 

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

 

http://reshuege.ru/formula/c3/c375d88fd92b6105189dbc8080ec80cfp.png

 

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

 

http://reshuege.ru/formula/3f/3f16bf528413922fddc7386966dbc9b4p.png

 

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

 

http://reshuege.ru/formula/ad/add845becfbbec7c1186eafa001c2621p.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/dd/dd9dc74773787eb10f955d1119d1766bp.png

 

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

 

http://reshuege.ru/formula/db/dbd270807a27e30075afde3aaa1daf4cp.png

 

Ответ: 2 296 350.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 

http://reshuege.ru/formula/78/7859d6627dc5f4b4625e2b5cd2efba4dp.png

 

имеет более двух решений.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=19560

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

 

http://reshuege.ru/formula/1e/1e6334379a924eaa1244d41fca480802p.png

http://reshuege.ru/formula/6c/6c230fe49bf073312dcfe96840de70bep.png

http://reshuege.ru/formula/d4/d41531bf254af2d91fcc5a1128890a19p.png

 

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O1(2; 4) и радиусом http://reshuege.ru/formula/89/89fd7bdfa33437cd870dc38d6c602dbfp.png

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

 

http://reshuege.ru/formula/4c/4cfb703fb60509fd0f874f541fa345f4p.png

 

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O2(0; 0) и радиусом http://reshuege.ru/formula/89/89fd7bdfa33437cd870dc38d6c602dbfp.png

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω1 с концами в точках A и B, во втором — дугу ω2 с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка http://reshuege.ru/formula/56/567ec9a9d2acda442d32b59e0dcf1868p.pngлежит на дуге ω2 и прямая O2C перпендикулярна прямой O1O2.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O1O2 или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При http://reshuege.ru/formula/36/36d29e889587e55273866ca36c807b16p.pngпрямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при http://reshuege.ru/formula/ad/ad98ce753df4f694a28d77ce6afac822p.pngпрямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.

При http://reshuege.ru/formula/f5/f54b025d05954bc95fdcc883aa7dfda2p.pngили http://reshuege.ru/formula/06/06ea36985ef43ec6a1f34d36d901e27fp.pngпрямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При http://reshuege.ru/formula/f1/f11358505f37886bd6e1ff43985f1214p.pngили http://reshuege.ru/formula/4a/4ae7c6d72da34b4a08223d8fc66f5207p.pngпрямая m не пересекает дуги ω1 и ω2, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при http://reshuege.ru/formula/c3/c36c90e877e0afae297ba6b10107fdf7p.pngили http://reshuege.ru/formula/5d/5d22056818034935f5d09e0fd2b5000cp.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/a7/a7c6db28283ab76c6389d3cff3a3bb7fp.png

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

Задание 19.

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение.

Случай а). Пусть числа http://reshuege.ru/formula/58/58b3baad3d867da1d8f23b8cdae212dbp.pngгде по условию http://reshuege.ru/formula/92/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fp.png— натуральное число, http://reshuege.ru/formula/dc/dcf2b75cc83898b82d268229bd8f0bb9p.png— искомые члены прогрессии. Их произведение равно http://reshuege.ru/formula/0b/0b6c766e561d3ca03d3bc18de56c61bbp.pngно уравнение http://reshuege.ru/formula/bc/bc84115a6edc725c593eaad5943d5a12p.pngне имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.

Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов http://reshuege.ru/formula/73/73ea445a45f4bc4de623a5d414a72ec1p.pngа пятое натуральное число равно http://reshuege.ru/formula/00/00884c5e389a26ffde2fb1e712dac2e2p.pngПоскольку http://reshuege.ru/formula/7b/7b412246710887d303e3cc066a0f09b2p.pngимеем: http://reshuege.ru/formula/bf/bf6de04e42bed91df294fa870f79b482p.pngчто невозможно для натуральных http://reshuege.ru/formula/1a/1afd78216f84c6a6ef8cbec8103f0d2bp.pngи http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3p.pngпоскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии http://reshuege.ru/formula/76/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611dp.pngможет не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть http://reshuege.ru/formula/c8/c87e79e0595792655728639112185acdp.png— несократимая дробь, http://reshuege.ru/formula/a5/a59484276aa5e5f1dc9e8315ebbe892dp.pngТогда http://reshuege.ru/formula/ed/ed52e65e1aabefef2b75483dd5868fe8p.pngчто невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов http://reshuege.ru/formula/f2/f2010d71a547036b084801177c56e7e5p.pngа четвертое и пятое натуральные числа равны http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3p.pngи http://reshuege.ru/formula/fd/fdc8f7ceed11af6d1ab52a7479f6c19cp.pngТогда http://reshuege.ru/formula/db/db10c363ae87d5d2ca3aee31c8cf6070p.pngПоложим в этом равенстве http://reshuege.ru/formula/73/73c00867084890d0541804735001ca0ap.pngДалее, полагая http://reshuege.ru/formula/71/716d6a86df816ed6acda26117b019f02p.pngполучим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 17.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров6852
Номер материала ДВ-165475
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх