Тренировочные варианты ЕГЭ для 11 классов

Правильное решение каждого из заданий 1–20 оценивается 1 баллом.

Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный

ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби, или последовательности цифр.

Первичные баллы базового уровня ЕГЭ по математике переводятся в следующие школьные оценки:

• "2" (неудовлетворительно) - от 0 до 6 баллов

• "3" (удовлетворительно) - от 7 до 11 баллов

• "4" (хорошо) - от 12 до 16 баллов

• "5" (отлично) - от 17 до 20 баллов

Ответы

Математика 11 класс профильный уровень

Вариант 2016041

1. Система навигации, встроенная в спинкусамолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37 170 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считай те, что 1 фут равен 30,5 см.

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, вмиллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединенылинией. Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков.

3. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O (0; 0) и A(6; 8).

4. Вероятность того, что на тестировании поматематике учащийся П. верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что П. верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найди те вероятность того, что П. верно решит ровно 12 задач.

5. Решите уравнение

6. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.

Ответ дайте в градусах.

7. На рисунке изображен график функции у= f(х), определенной на интервале (-6;5). Найдите количество точек, в которых касательная кграфику функции параллельна прямой у =-6.

8. Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высотуна отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

9. Найдите значение выражения

11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 25% никеля. На сколь ко килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

12. Найдите наименьшее значение функции у = на отрезке .

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14. На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что Точка — середина ребра Известно, что

а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью

15. Решите неравенство:

16. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен

17. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

18. Найти все значения a, при каждом из которых система

не имеет решений.

19. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. 

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Математика 11 класс профильный уровень

Вариант 2016042

1. В летнем лагере на каждого участника полагается 30 г сахара в день. В лагере 103 человека. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 6 дней?

2. На рисунке точками показана аудитория поискового сайта Ya.ru во все месяцы с декабря 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали − количество посетителей сайта хотя бы раз в данном месяце. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей аудиторией сайта Ya.ru в указанный период.

3. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты (1;7), (5;5), (5;7), (1;9)

.

4. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

5. Решите уравнение

6. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

7. На рисунке изображен график функции у= f(х), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(х).

8. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

9. Найдите значение выражения

10. При нормальном падении света с длиной волны λ = 400нм на дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsinφ = kλ. Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решетке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

11. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

12. Найдите наименьшее значение функции у =

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14. На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что Точка — середина ребра Известно, что

а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью

15. Решите неравенство:

16. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен

17. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

18. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

19. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Математика 11 класс профильный уровень

Вариант 2016043

1. Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если в 1 футе 12 дюймов, а в 1 дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

2. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наибольшую среднесуточную температуру в период с 8 по 18 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 138°. Найдите угол C . Ответ дайте в градусах.

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

5. Найдите корень уравнения: х = . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

6. В треугольнике ABC АС = ВС, вы со та CH равна 24, АВ = 14. Найдите cosА.

7. На рисунке изображён график функции у = F(х) и одной из первообразных некоторой функции f(х) , определённой на интервале

(-2;6) . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(х) = 0 на отрезке .

8. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

9. Найдите cosα, если sinα = - и αє.

10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения не больших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ вырази те в метрах.

11. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

12. Найдите наименьшее значение функции у = 9cosх + 14х + 7 на отрезке

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 10, AA₁ = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

15. Решите неравенство:

16. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем длины катета

б) Найдите радиус второй окружности.

17. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

19. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?

в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

Математика 11 класс профильный уровень

Вариант 2016044

1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 10 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 15 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 8 литров маринада?

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

3. Высота правильного треугольника равна 99. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

4. В чемпионате мира участвуют 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Рос сии окажется в четвёртой группе?

5. Найдите корень уравнения

6. Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса .

7. На рисунке изображён график у = производной функции f(х) и восемь точек на оси абсцисс: х₁,х₂,х₃,…,х₈ . В скольких из этих точек функция f(х) убывает?

8. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

9. Найдите значение выражения .

10. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l = , где R = 6400 (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 16 километров? Ответ выразите в километрах.

11. Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй — 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?

12. Найдите точку минимума функции у = .

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K — середина ребра BB₁. Через точки K и С₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

15. Решите неравенство:

16. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

17. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

19. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Примерная шкала перевода первичных баллов ЕГЭ по математике 2016 профильного уровня в стобалльную систему тестовых баллов*

Минимальный порог для поступления в вузы и получения аттестата:
минимальный первичный балл — 6, минимальный тестовый балл — 27.

Система оценивания

Ответы к заданиям 1–12

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

2016041

2016042

2016043

2016044

1

11336,85

19

185

6

2

3

650000

23

14

3

4

8

69

66

4

0,09

0,16

0,25

0,2

5

1,5

1,4

5

-124

6

30

36

0,28

3

7

7

44

10

5

8

1

4

5

72

9

12

2,4

0,28

8

10

60

30

1

0,02

11

50

300

25

100

12

-18

13

16

2

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Решение варианта 2016041

13 а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем: откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем

Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

14. На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что Точка — середина ребра Известно, что

а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью

Решение.

а) Проведём отрезок и в плоскости грани проведём через точку прямую, параллельную Эта прямая пересечёт ребро в точке Точка лежит в плоскости Треугольники и подобны. Следовательно,

Таким образом, Тогда и

б) Четырёхугольник — сечение параллелепипеда плоскостью Поскольку стороны и параллельны, но не равны. Четырёхугольник — трапеция. Продолжим боковые стороны и до пересечения в точке Точка — середина поэтому отрезок — средняя линия треугольника Из равенства треугольников и получаем откуда то есть трапеция — равнобедренная.

Найдём стороны трапеции:

Высота равнобедренной трапеции

Тогда

Ответ: б) 90.

15. Решите неравенство:

Решение.

Значения при которых определено первое неравенство: Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда

Второй случай: . Получаем, что следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.

Таким образом, решение неравенства:

Ответ:

16. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен

Решение.

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

 

Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6,

Следовательно,

 

Ответ:

17. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

Общая сумма, причитающаяся вкладчику, включая дополнительные вклады в течение четырех лет и все процентные начисления, к концу пятого года хранения денег составляет 825 (100+725) процентов от первоначального (3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:

(тыс.руб.)

Некоторая часть найденной суммы образована хранением первоначально вложенной суммы (3900 тыс.руб.) Вычислим эту часть. Поскольку процентная надбавка начислялась в размере 50% годовых, то за 5 лет хранения этой части вклада вложенная сумма увеличилась в раза. То есть стала:

(тыс. руб.)

Теперь найдем другую часть образованной суммы с учетом дополнительных вкладов в течение четырех лет, а также процентных начислений на эту сумму. Эта часть равна разности двух сумм, вычисленных выше.

(тыс. руб.)

Это — с одной стороны. С другой же стороны эта сумма образовалась так:

Пусть вкладчик в конце года и еще три раза в следующие годы вносил дополнительный вклад в сумме тыс. руб.

В конце первого года хранения этой суммы (к концу второго года от открытия вклада) она выросла до тыс. руб.

Вкладчик дополнительно внес еще тыс. руб. На начало следующего календарного года эта часть суммы стала:

(тыс.руб.)

Через год эта сумма выросла до:

(тыс.руб.)

Но вкладчик внес на счет еще тыс.руб. Сумма стала:

(тыс. руб.)

Через год эта сумма выросла до:

(тыс. руб.)

Вкладчик вновь внес на счет тыс. руб. Часть вклада становится равной:

(тыс.руб.)

К концу последнего года хранения всего вклада эта часть вырастает до:

(тыс. руб.)

Теперь решим уравнение:

Итак, искомая сумма равна 210 тыс. руб.

Ответ: 210 000.

18. Найти все значения a, при каждом из которых система

не имеет решений.

Решение.

Рассмотрим второе неравенство системы: Если то неравенство, а значит и система не имеет решений. Если то решение неравенства — луч Если то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы принимает вид:

Если то решение этой системы — два луча с концами в точках Если то решение этой системы — полуинтервал с концами в точках Отметим, что точки нет в множестве решений второго неравенства. Для того, чтобы система не имела решений, при необходимо и достаточно:

Таким образом, при исходная система неравенств не имеет решений.

Ответ:

19. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Решение.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

 Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Решение варианта 2016042

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем: откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем

Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

14. На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что Точка — середина ребра Известно, что

а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью

Решение.

а) Проведём отрезок и в плоскости грани проведём через точку прямую, параллельную Эта прямая пересечёт ребро в точке Точка лежит в плоскости и делит на две части. Треугольники и подобны. Следовательно,

Таким образом, Тогда и

б) Четырёхугольник — сечение параллелепипеда плоскостью Поскольку стороны и параллельны, но не равны. Четырёхугольник — трапеция. Продолжим боковые стороны и до пересечения в точке Точка — середина поэтому отрезок — средняя линия треугольника Из равенства треугольников и получаем откуда то есть трапеция — равнобедренная.

Найдём стороны трапеции:

 

Проведём в трапеции высоту Имеем:

Площадь трапеции равна

Ответ: б) 120.

15. Решите неравенство:

Решение.

Значения при которых определено первое неравенство: и Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда

Второй случай: . Получаем, что следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.

Таким образом, решение неравенства:

Ответ:

16. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен

Решение.

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x=2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

Отсюда находим, что значит,

Следовательно,

Ответ:

17. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение.

Пусть банк первоначально принял вклад в размере у.е. под годовых. Тогда к началу второго года сумма стала у.е.

После снятия четверти накопленной суммы на счету осталось у.е.

С момента увеличения банком процентной ставки на 40% к концу второго года хранения остатка вклада накопленная сумма стала

у.е.

По условию задачи эта сумма равна у.е.

Решим уравнение

 

;

Этот корень не подходит по смыслу задачи: Новые годовые составляют 20 + 40 = 60 %.

Ответ: 60

18. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение.

Первое уравнение системы раскладывается на множители: (x − 2y)(y − 2x) = 0. Следовательно, уравнение задаёт пару прямых x = 2y и y = 2x.

Второе уравнение при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (a, a) и радиусом

Если a = 0, то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

Пусть a ≠ 0. Тогда условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.

Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.

Отсюда a = ± 0,2.

Ответ: a = ± 0,2

19. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решение.

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.

Решение варианта 2016043

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Левая часть уравнения определена, если и При этом

Поэтому уравнение можно переписать в виде

Решив последнее уравнение как квадратное относительно получим или Значит, либо откуда

либо что невозможно в силу условия

б) Отберем с помощью единичной окружности отберём корни, принадлежащие промежутку

Ответ: а) б)

Приведём другое решение.

а)

б)

Отрезку принадлежит корень

14. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что

A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 10, AA₁ = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Решение.

а) Плоскость EFT пересекает грани BB₁C₁C и AA₁D₁D по параллельным отрезкам.

Значит, треугольники D₁A₁E и TB₁F подобны, причём прямые D₁A₁ и B₁C₁ параллельны, прямые A₁E и B₁F тоже параллельны. Поэтому прямые ED₁ и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D₁, то получается, что в плоскости AA₁D₁D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.

б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA₁.

 

Тогда

Следовательно, EF = D₁T, и трапеция EFTD₁ равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.

Тогда площадь трапеции равна

Ответ: б) 97,5.

15. Решите неравенство:

Решение.

Значения при которых определено первое неравенство: и Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда:

Второй случай: . Получаем, что следовательно,

при неравенство верно.

Ответ:

16. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем длины катета

б) Найдите радиус второй окружности.

Решение.

а) Пусть — центр второй окружности, и — её точки касания со сторонами и соответственно, а точка — проекция точки на Имеем: следовательно, Тогда Поэтому что и требовалось доказать.

б) Пусть — радиус второй окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора откуда:

Условию удовлетворяет только Кстати, отсюда следует, что точки и совпадают.

Ответ: 2,5

17. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение.

Пусть сумма кредита составляет у.е., а процентная ставка по кредиту К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила у.е.

После возвращения банку 3/4 части от суммы долга долг фермера на следующий год составил у.е.

На эту сумму в следующем году вновь начислены проценты. Сумма долга фермера к концу второго года погашения кредита с учетом процентной ставки составила у.е. По условию задачи эта сумма равна у.е.

Решим уравнение на множестве положительных чисел.

Ответ: 120.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение.

Заметим, что

Тогда исходная система равносильна следующей смешанной системе:

Построим её график и определим, при каких значения параметра пучок прямых имеет единственную общую точку с объединением прямых и при условиях (см. рис.)

Ответ:

19. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?

в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

Решение.

а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске.

б) Да, может. Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7). Сумма полученных 5 чисел равна 63.

Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз.

в) Как было замечено в пункте а), все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, то есть 784, на 7. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1.

Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится.

В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения, то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно 96, что меньше 112.

Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно.

Приведем пример, как его получить за 8 минут:

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.

Решение варианта 2016044

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Левая часть уравнения определена, если и При этом

Поэтому уравнение можно переписать в виде

Решив последнее уравнение как квадратное относительно получим или Значит, либо откуда либо что невозможно в силу условия

б) Отберем с помощью единичной окружности отберём корни, принадлежащие промежутку (см. рис.):

Ответ: а) б)

14. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K — середина ребра BB₁. Через точки K и С₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

Решение.

а) Проведём KE — среднюю линию треугольника BB'D', проведём прямую СE, прямая СE содержит диагональ верхнего основания, поэтому проходит через точку A'. Треугольник A'C'K является искомым сечением по признаку параллельности прямой и плоскости.

Прямоугольные треугольники A'B'K и С'B'K равны по двум катетам, поэтому A'K = С'K, следовательно, треугольник A'C'K — равнобедренный.

б) Далее имеем:

Ответ: б) 16.

15. Решите неравенство:

Решение.

Воспользуемся свойствами логарифма:

Сделаем замену

Если то

Если то

Значит, решение данного неравенства или

Ответ:

16. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

Решение.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

17. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение.

Пусть в январе 2000 года вкладчик положил на счет у.е. Тогда в январе 2001 года на счету сумма станет у.е. Но в январе же 2001 года вкладчик снял у.е. На счету осталось:

у.е.

В январе 2002 года сумма на счету будет равна:

Функция является квадратичной от .

У нее есть наибольшее значение при

Ответ: 25.

18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Заметим, что

Поэтому исходная система равносильна смешанной системе

Полученная смешанная система имеет ровно два решения в том и только в том случае, когда семейство прямых имеет с графиком системы

ровно две общие точки, то есть при

19. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.