Три урока по теме: «Решение треугольников».

МАОУ  ЛИЦЕЙ №44  г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.

Уроки  математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Решение задач с параметрами с применением производной.

Цель: повысить уровень подготовленности учащихся  к сдаче Единого Государственного Экзамена  по математике.

                                               Пояснительная записка.

                          Предлагаемая система занятий расширяет и углубляет базовую основу общеобразовательной программы по математике и ориентирована на повышение уровня подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

                    Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Это самые трудные задания и на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в ВУЗ.

                    Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

                    Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но задание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий полагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

В пособии даются краткие теоретические сведения, задания с параметрами по основным разделам алгебры.

Пособие содержит 187 заданий, большая часть из которых имеет решение. Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

Некоторые задания предлагается решить различными способами.

Рассматриваются 10 тем, в конце каждой даются задания для самостоятельной работы.

Обращаться к решению стоит только после того, как самостоятельно эти задания будут решены или когда Вы не в силах самостоятельно справиться с ними.

Данное пособие может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Иррациональные уравнения и неравенства

I Иррациональные уравнения.

При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, , тогда:

1). , f ≥ 0; q ≥ 0.

2). , f ≥ 0; q > 0.

3). , q ≥ 0.

4). , , q ≠ 0.

5). , fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение вида,  равносильно системе:

 

Пример 1.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе6

  =>   =>

Находим а, при которых

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

=>

,

х₁, х₂ являются действительными числами при а ≤ 9/16. При а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) ≥ ½

≥ а

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство  справедливо при всех допустимых а.

б).

 а ≥ ½  (а ≤ 9/16)

Следовательно, х₂ является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:, если а < ½;, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а

х₁ = 1, х₂ = а

Если а = 1, то х₁ = х₁ = 1.

Если а < 1, то х₁ = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х₁ = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х₁ = 1; х₂ = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение имеет один корень?

Решение.

х₁ = 4, х₂ = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

D =

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

, . А = 17 – минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияпринадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть

, t ≥ 0, х - 1 = t²

,

,

|t - 2| + |t - 3| = а

1) => => =>

2) => =>

3) => => =>

Ответ: .

Пример 7.

Решить уравнение.

Решение.

 х ≥ 2

(х + 1)(х - 2) = а; х² – х – 2 = а, х² – х – 2 – а = 0.

, .

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х₂.

Ответ: при а ≥ 0 .

Пример 8.

Решить уравнение.

Решение.

. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у² + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

 т.е.  <=> <=> ,

,  , .

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при .

Пример 9.

Решить уравнение.

Решение.

Пусть , тогда ,

, , а т.к. t > 0, то ,

, , . ( а > ¼)

х = .

Ответ: х =  при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций  и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .

Пример 11.

При каких а решением неравенства  является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.

х – 2 < (3 - а)²,

х < (3 - а)² +2,

х < 11 – 6а +а², т.к. , то

 

а = -1.

а = 7 – не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство , где а – параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть  х + а – 1 < 0, т.е. х < 1 – а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :

 =>                                                                    (*)

Рассмотрим возможные случаи:

1.     Если а > 1, то 1 – а ≤ х < . Объединяя с множеством х < 1 – а, получим х < .

2.     Если а = 1, то  х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством  х< а – 1 (а = 1), находим: х – любое число.

3.     Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 – а. Присовокупив х < 1 – а, имеем: х – любое число.

Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

 

Из данного уравнения следует:

1 – х² = х² + 2ах + а²,

2х² + 2ах + а² - 1 = 0.

D/4 = 2 – а². D > 0 при |a| <.

Затем если изобразить графики функций  и , то видно как меняется количество решений в зависимости от а.

Ответ: при нет решений; прии  одно решение; при  два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение .

Ответ: .

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение  имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

 , х > 0, а ≥ 0.

7х – а = ах²,

ах² – 7х + а = 0,

D = 49 – 4a² > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

 =>

При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .

При а ≠ 2 .

Выясним при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

 .

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: .

5). При всех а решить неравенство .

Решение.

ОДЗ:  

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

    => .

Ответ: при; при.

Решение задач с параметрами с применением производной.

Пример1.

При каком значении параметра а касательная к графику функции  в точке х = 1 образует с осью х угол 135°?

Решение.

;

, т.к. tg135°=-1.

2ах + 5 = -1;

а = -3.

Ответ: а = -3.

Пример 2.

При каком наибольшем значении а функция  возрастает на всей числовой прямой?

Решение.

D/4 < 0.

D/4 = а² – 14а ≤ 0,

а(а-14) ≤ 0.

-

Ответ: 14.

Пример 3.

При каких значениях параметра а функция  возрастает на всей числовой прямой?

Решение.

D/4 ≤ 0.

D/4 = (3а)² – 18а=9а² – 18а = 9а(а – 2).

Ответ: .

Пример 4.

При каких а точка х₀=а является точкой минимума функции ?

Решение.

D(у)=D(у^/)=R.

,

,

,

D = (а – 1)² ≥0.

х₁=1; х₂=а.

-

1). а < 1.

2). а = 1.

3). а > 1.

-

Ответ: при а > 1.

Пример 5.

При каком натуральном значении параметра а уравнение  имеет ровно два корня?

Решение.

.

С помощью производной строим график .

Ответ: а = 27.

Пример 6.

Найти  все возможные значения а, при которых наименьшее значение функции  на отрезке [0;а] достигается в правом конце отрезка.

Решение.

 при х = ± 2. Это критические точки.

Если о < а < 2, то f(a) < 0 и принимает наименьшее значение в правом конце, что и требуется. Критических точек на отрезке нет.

Если а = 2, то критическая точка (min) совпадает с правым концом отрезка.

Это удовлетворяет условию.

Если а > 0, то f(a) = a³ – 12a = a(a² - 12) > 2(4 - 12) > -16 = f(2),т.е. наименьшее значение принимает во внутренних точках отрезка, а не в его конце.

Ответ:

Пример 7.

Найти все значения параметра а, при которых функция  возрастает при любом .

Решение.

.

Чтобы  была ≥ 0, требуется выполнение двух условий в системе:

  =>

Ответ:

Пример 8.

При каких в и с прямые у = х и у = -2х являются касательными к графику функции у = х² + вх + с?

Решение.

Пусть t – абсцисса точки касания прямой у = х с параболой у = х² + вх + с; р – абсцисса точки касания прямой у = -2х с параболой у = х² + вх + с.

Тогда уравнение касательной у = х примет вид у = (2t + в)х +с – t², а уравнение касательной у = -2х примет вид у = (2р + в)х +с +р².

Составим и решим систему уравнений:

  =>

Ответ:

Пример 9.

Найти все а, при котором уравнение  имеет три корня.

Решение.

а ≠ 0, D₁ = 36, х₁ = ½, х₂ = ½ + 3/а.

Чтобы уравнение имело три корня, достаточно, чтобы значения функции в точках экстремума имели различные знаки, т.е. f(х₁)·f(х₂) < 0.

 

-

.

Ответ: .

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых выражение (х₁-5х₂)(х₂-5х₁), где х1 и х2 – действительные корни квадратного трехчлена х² + ах + а – 0,5, принимает наибольшее значение. В ответе записать найденное значение параметра, а если таких значений несколько, то их сумму.

Решение.

.

Пусть

 f(x) = 0 при а = 3,6.

Ответ: 3,6.

Пример 11.

Найти все значения а, при которых касательная к графику функции  в точке графика с абсциссой а не пересекает график ни одной их двух функций: у = 0,5х + 2 и у = -2/х.

Решение.

Пусть  Т.к. касательная к графику функции  не пересекается с прямой , то она ей параллельна, т.е. ее угловой коэффициент равен 0,5.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику  через его точку с абсциссой х_0, равен значению производной функции f(x) в точке х₀, т.е. f^/(x)=0,5.

Функция f(x)дифференцируема на R и ее производная равна  Или

Но если , то  и значение функции f(x) в точке х0 равно 1,5а – а².

Уравнение касательной проведенной к графику  через его точку с абсциссой х0, имеет вид:

По условию х₀ = а, значит уравнение касательной можно переписать в виде

Из равенства  (формально подставляем а вместо х₀), находим, что а может иметь вид

Воспользуемся теперь тем, что касательная  не пересекает график у = -2/х.

Это означает, что уравнение  не имеет решений. Приведем последнее уравнение к квадратному .

Квадратное уравнение не имеет решений, если D<0, т.е. , т.е. -1< а < 2.

Поскольку имеем неравенство , откуда .

Т.к.

Итак, единственным значением а, удовлетворяющим условиям задачи, является

Ответ: а =

Домашнее задание.

1.     При каком наибольшем значении m функция  убывает на всей числовой прямой?

Ответ: 6.

2.     При каком наименьшем целом значении параметра р уравнение  имеет три корня?

Ответ: -7.

3.     Найти все значения параметров в и с, при которых прямая у = 2х + 2в касается параболы f(х)=х² + вх + с в точке (2;0).

Решение.

Т.к. точка (2;0) лежит на графике f(x)=х² + вх + с, то 0 = 4 + 2в + с;

f^/(x) = 2х + в; f^/(2) = 4 + в=2.

 => в = -2, с = 0.

Ответ: в = -2, с = 2.

4.     При каких значениях а функция имеет минимум в точке х=3?

Решение.

у^/ = 6х² - 6а² = 6(х - а)(х + а)

Рассмотрим 2 случая:

1). а = 0 у^/ = 6х² ≥ 0 для любого х, функция возрастает на .

2). а ≠ 0. Знаки производной:

-

-

                         а = 3.                                                            -а = 3, а = -3.

Ответ: а = ± 3.

5.     При каких значениях р касательная, проведенная к графику функции у=х³-рх в точке с абсциссой х₀=1, проходит через точку М (2;3)?

Решение.

у^/ = 3х² - р

у_кас=(3х₀² - р)(х - х₀) + х₀³-рх₀,

3 = (3 - р)(2 - 1) +1 – р,

3 = 3 – р + 1 – р, 2р = 1, р = ½.

Ответ: р = ½.

Краткое описание документа:

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемойтемы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.