Тригонометрические тождества (Шпаргалка по тригонометрии)

Тригонометрические тождества:

➀ Основные тригонометрические тождества:

2

1

2

1

sin2 x + cos2 x = 1

tg x ⋅ ctg x = 1

1+ tg

x =

1+ ctg

x =

cos2 x

sin2 x

➁

Формулы приведения:

1) Формулы тупых углов:   f (πn − x) = ± f (x) ;

f (πn + π 2 − x) = ± g(x) ,

где  f и g – взаимообратные функции ( sin - cos,

cos - sin,

tg - ctg,

ctg - tg ),   n = 0; 1.

sin(−x) = − sin x

sin(π 2 − x) = cos x

sin(π − x) = sin x

sin(3π 2 − x) = − cos x

cos(−x) = cos x

cos(π 2 − x) = sin x

cos(π − x) = − cos x

cos(3π 2 − x) = − sin x

Формулы тупых углов выводятся через равные треугольники на числовой окружности полярно-

декартовой системы координат.

2) Формулы периодических углов:   f (x ± π) = − f (x) ;

f (x ± π 2 ± πn) = ± g(x) ,

где  f и g – взаимообратные функции ( sin - cos,

cos - sin,

tg - ctg,

ctg - tg ),   n = 0; 1.

sin(x ± π 2) = ± cos x

sin(x ± π) = − sin x

sin(x ± 3π 2) =  cos x

cos(x ± π 2) =  sin x

cos(x ± π) = − cos x

cos(x ± 3π 2) = ± sin x

Формулы периодических углов выводятся из формул тупых углов.

➂ Формулы суммы и разности углов:

sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y                                    cos(x ± y) = cos x cos y   sin x sin y

tg(x ± y) =

tg x ± tg y

ctg(x ± y) = ctg x ctg y  1

1  tg x tg y

ctg y ± ctg x

➃

Формулы двойного угла:

2 tg x

ctg2 x −1

sin 2x = 2sin x cos x

cos 2x = cos

2

x − sin

2

x

tg 2x =

ctg 2x =

2ctg x

1− tg2 x

➄ Формулы половинного угла (формулы понижения степени):

x

1− cos 2x

x

1+ cos 2x

1− cos x

2

x =

1+ cos x

2

x =

sin

= ±

sin

2

cos

= ±

cos

2

2

2

2

2

	tg	x	= ±	1− cos x	=		sin x	=	1− cos x
				1+ cos x		1+ cos x			sin x
2
➅	Формулы произведения тригонометрических функций:
sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y)							sin x cos y = sin(x − y) + sin(x + y)
2
cos x cos y = cos(x − y) + cos(x + y)									2
2

➆ Формулы суммы и разности тригонометрических функций:

sin x ± sin y = 2sin

x ± y

cos

x  y

2

2

cos x + cos y = 2cos

x + y

cos

x − y

cos x − cos y = −2sin

x + y

sin

x − y

2

2

2

2

tg x ± tg y =

sin(x ± y)

ctg x ± ctg y = sin( y ± x)

cos x cos y

sin x sin y

➇ Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП):       (x ≠ π2 + πn, n ∈ Z)

sin 2x =

2 tg x

cos 2x =

1− tg2

x

tg 2x =

2 tg x

ctg 2x =

1− tg2

x

1+ tg2 x

1+ tg2 x

1− tg2 x

2 tg x

➈ Обратные тригонометрические функции (аркфункции):

м                                                                 arcsin x + arccos x = arctg x + arcctg x = π2

arcsin(−a) = − arcsin a               arccos(−a) = π − arccos a

arctg(−a) = − arctg a                     arcctg(−a) = π − arcctg a

Решение тригонометрических уравнений:

➀ Простые тригонометрические уравнения:       (n, k ∈ Z)

sin x = a,  a ∈[−1; 1] cos x = a,      a ∈[−1; 1]  tg x = a, x ≠ ± ^π₂ + 2πk      ctg x = a, x ≠ πk

x = (−1)n arcsin a + πn	x = ± arccosa + 2πn	x = arctg a + πn	x = arcctg a + πn
Область арксинусов:	Область арккосинусов:	Область арктангенсов:	Область арккотангенсов:

➁	a sin x + b cos x = c :	x = 2arctg	a ±  a2		+ b2 − c2	+ 2πn,  n ∈ Z.	(УТП)
				b	+ c
ОДЗ: 1) Если  c = −b, то		x = −2arctg b	+ 2πn,		n ∈ Z.
		a

М          2) УТП:    cos x2 ≠ 0        x ≠ π + 2πk,  k ∈ Z.