Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ. Алгебра, 11 кл
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ. Алгебра, 11 кл

библиотека
материалов

hello_html_9e20b4e.gifhello_html_m23bc34b6.gifhello_html_4a7703d2.gifhello_html_4cf8cff7.gifhello_html_4a7703d2.gifhello_html_m12590108.gifhello_html_m1f31ae01.gifhello_html_m6179688a.gifhello_html_4fb79b46.gifhello_html_m1712b072.gifhello_html_m2286558a.gifhello_html_m6179688a.gifhello_html_4fb79b46.gifhello_html_m1712b072.gifhello_html_4fb79b46.gifhello_html_m6179688a.gifhello_html_4fb79b46.gifhello_html_m1712b072.gifhello_html_4fb79b46.gifhello_html_4550975e.gifhello_html_142a21ea.gifhello_html_m456da30a.gifhello_html_md5943a5.gifhello_html_m49bb9a77.gifhello_html_m49bb9a77.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m1b17a9ed.gifhello_html_1d43e976.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_3255992c.gifhello_html_m6782cbcf.gifhello_html_21369b88.gifhello_html_m4fec12e8.gifhello_html_21369b88.gifhello_html_174f39f.gif 29 февраля 2016 года

Районный семинар учителей математики, физики и информатики

при МОУ «Лямбирская СОШ №1» Лямбирского района Республики Мордовия


Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Тип урока: урок коррекции и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ.

Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение свойств тригонометрических функций;

- обобщение и систематизация материала;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- исторические сведения.

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.


Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.


Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.


Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема; на партах учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы учета знаний, карточки - задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями.


Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:

  • знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений;

  • умение решать тригонометрические уравнения, выбирая наиболее рациональные методы.

Обоснование возможности использования системно-деятельностного подхода при изучении темы: Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие учебные ситуации, предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области адекватного оценивания учащимися своих действий.

Ресурсы:

  • Учебники «Алгебра 10» и «Алгебра 11» под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. - М.: «Просвещение», 2014-15гг.

  • Презентация офисе Microsoft Power Point и для интерактивной доски Smart Board

  • Демонстрационный и раздаточный материал

  • Интернет сайт: социальная сеть работников образования : nsportal.ru

  • http://www.yandex.



Структура урока:

1 этап - мотивационно - ориентировочный: разъяснение целей учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 этап - подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для решения тригонометрических уравнений – это основные формулы тригонометрии и примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

3 этап - основной: осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой оболочке КРАБ 2

5 этап - заключительный: подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

Ход урока

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

Рене Декарт.

1 этап - мотивационно - ориентировочный

Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас гости . «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно  своим друзьям удачи! 

Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …

У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне.

Итак, начинаем.

2 этап - подготовительный: актуализация опорных знаний

Скажите пожалуйста, какие темы мы повторили на последних уроках?

  • Определения тригонометрических функций, свойства и графики

  • Основное тригонометрическое тождество

  • Формулы приведения

  • Формулы сложения

  • Формулы двойного угла

  • Формулы понижения степени (формулы половинного угла)

  • Тригонометрические выражения, тождества и уравнения


Коль собираемся говорить о тригонометрии, как вы думаете, какова цель нашего урока? Сформулируйте её.

Действительно, сегодня у нас урок закрепления навыков решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов. Будем работать и вместе, и индивидуально.

«Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы, мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса», - сказал Василий Александрович Сухомлинский, советский педагог.

Вопросы для учащихся:

1) Какие уравнения называют тригонометрическими? - Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2 Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений? - cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

3 Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? - Зависит от а: может не иметь корней, может иметь множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.

4 Что значит решить тригонометрическое уравнение? - Найти множество корней или убедиться, что корней нет

5 В уравнениях cos x = a; sin x = a оцените число а? Если а<-1 и а>1, то нет корней.

6. Решите простейшие тригонометрические уравнения

hello_html_6b77c7f5.gif

при hello_html_3eba19aa.gif hello_html_3d763f65.gif

hello_html_277f4a34.gif

при hello_html_3eba19aa.gif hello_html_1c94e7fa.gif

hello_html_494110a3.gif

hello_html_mfe2d081.gif

hello_html_556539da.gif

hello_html_ed2d975.gif

Напомните типы тригонометрических уравнений и методы их решения

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным a sin2 x + b sin x + c = 0

  • Однородные уравнения а sin x +b cos x = 0 a sin2 x + b cos2x +c sin x cos x = 0

  • Уравнения, решаемые разложением левой части на множители а(х)hello_html_79c0f69b.gif b(x) =0

  • Уравнения вида а sin x +b cos x = с



3 этап - основной

Задание 1. Решите уравнение 8 cos4x +3 sin2x = 8

Решение.

  1. Определите тип уравнения

  2. Наметьте план решения

  3. Введите соответствующую замену переменной

  4. Найдите область допустимых значений введенной переменной

  5. Решите полученные простейшие уравнения

  6. Запишите верно ответ

Учитывая, что из основного тригонометрического тождества sin2x = 1- cos2x, получим

8 cos4x +3 (1-сos2x) = 8

8 cos4x -3 сos2x - 5 = 0

Исходное уравнение свелось к квадратному относительно сos2x

Пусть сos2x = t, при условии hello_html_m237b053c.gif, тогда 8t2-3t-5=0,

откуда t1=1, t2= -5/8- не удовл.усл. t

cos2 x =1, cos x =hello_html_706845c2.gif, x=hello_html_m2588b6b9.gif, hello_html_7355f82e.gif

Ответ. x=hello_html_m2588b6b9.gif, hello_html_7355f82e.gif

Важнейшая задача цивилизации –

научить человека мыслить

Томас Эдисон

Задание 2. Решите уравнение cos xsin x=1.

Решение.

1 способ. Преобразование разности в произведение. cos xsin x = 1

hello_html_m764fd305.gif

hello_html_fbbb6cb.gif


hello_html_6ec14c72.gif


hello_html_m78fd97e4.gif


hello_html_m4ef29aac.gif hello_html_m1bb45881.gif


hello_html_m13a59045.gif hello_html_m62d91d15.gif

Ответ. hello_html_m62e929e6.gif hello_html_fb7bb2e.gif


2 способ. Введение вспомогательного угла

cos xsin x=1, hello_html_m3c2a67b8.gif hello_html_m20fc1fce.gif

Введем вспомогательный угол hello_html_m58576334.gif такой, что hello_html_m59ad65b5.gif

Откуда hello_html_55c59e3b.gif Значит, hello_html_2983a043.gif

Получим hello_html_52a6f5fa.gif hello_html_m309fdd94.gif hello_html_m5f6c7dd1.gif

hello_html_m62e929e6.gif hello_html_fb7bb2e.gif


Ответ. hello_html_m62e929e6.gif hello_html_fb7bb2e.gif

3 способ. Использование формул двойного угла.

cos x – sin x=1


hello_html_m4a5064f7.gif


hello_html_m64249ada.gif


hello_html_2c69d1a6.gif


hello_html_m15f9c608.gif


hello_html_4ea8623b.gif

hello_html_15a86692.gif

hello_html_e2b65fd.gif

hello_html_m1c24a362.gif

hello_html_fb7bb2e.gif

Ответ. hello_html_m62e929e6.gif hello_html_fb7bb2e.gif


4 способ. С учетом множества значений функций


cos xsin x = 1 0 1

Разность косинуса и синуса одного угла может быть равна 1, если

а) hello_html_4d939ba7.gif и б) hello_html_m1073a9de.gif -1


Откуда получим hello_html_m62e929e6.gif hello_html_fb7bb2e.gif


Задание 3. Решите уравнение cos x + sin x = 7.

Решение.

Учитывая множество значений функций y=cos x и y=sin x, которыми являются отрезки hello_html_m5c4329d9.gif , сумма не может быть равна 7. Поэтому, уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.


Тригонометрические выражения, уравнения и отбор корней присутствуют в заданиях ЕГЭ по математике базового и профильного уровней.


Задание 4. (базовый уровень ЕГЭ)

Найдите значение выражения hello_html_57c5b7ba.gif

Решение. hello_html_773866ba.gif

Ответ. 59.


4 этап - Компьютерное тестирование.

N

Задание

Вариант ответа

1

2

3

4

1

Вычислить cos 600

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_6eec8aff.gif

1

2

Вычислить sin 1200

hello_html_m3d15adeb.gif


hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_538d53cd.gif

hello_html_6eec8aff.gif

3

Вычислить hello_html_m2e8e1775.gif

0

1

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_5909bbae.gif

4

Решить уравнение cos x= -1

2Пп

П+2Пп

0

hello_html_m409acf61.gif

5

Решить уравнение sin x = 1

2Пп

Пп

hello_html_5751de2a.gif

hello_html_m409acf61.gif

6

Решить уравнение cos x=0

hello_html_50661fa5.gif

П

hello_html_m2bf5a2e4.gif

7

Решить уравнение tg x=1

600

900

450

1800

8

Упростите выражение hello_html_m52925af9.gif

hello_html_1b2ffc56.gif

hello_html_m3b6df13a.gif

hello_html_61e0f1a8.gif

hello_html_m448b349f.gif

9

Упростите выражение hello_html_39286631.gif

hello_html_61e0f1a8.gif

hello_html_m448b349f.gif

hello_html_m3b6df13a.gif

hello_html_1b2ffc56.gif

10

Упростите выражение hello_html_8e47960.gif

hello_html_m3b6df13a.gif

hello_html_1b2ffc56.gif

hello_html_m448b349f.gif

hello_html_61e0f1a8.gif


Исторический материал (сообщение)

Учащиеся, которые изучают свойства тригонометрических функций, решают уравнения, неравенства, пользуются функциями тригонометрии, должны помнить имя этого ученого.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.


hello_html_m4448ecc.png


Задание 5. (профильный уровень ЕГЭ)

ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79, 5. Задачи повышенной сложности 5.1.13. а) Решите уравнение hello_html_562a1043.gif

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_63ec7cc5.gif

  • Определите тип уравнения

  • Наметьте план решения

  • Выберите подходящий способ отбора корней тригонометрического уравнения:

- с помощью оси ОХ,

- с помощью единичной окружности,

- с помощью двойного неравенства,

- с помощью последовательного перебора целых значений n

а) Решите уравнение hello_html_562a1043.gif

Решение.

hello_html_562a1043.gif

hello_html_65364b92.gif

Решением данного уравнения является решение системы, состоящей из области определения логарифмической функции и решения тригонометрического уравнения.

hello_html_meba75a3.gif

1)hello_html_m6533292d.gif

Учитывая множество значений функций y= sin x и y=sin 2x, которыми являются отрезки hello_html_m5c4329d9.gif , сумма может быть в промежутке (-2;2), а множество значений функции hello_html_m7aaf481e.gif заключено в промежутке (14; 18). Поэтому, неравенство hello_html_m6533292d.gif выполняется при любых значениях х. Значит, hello_html_50e8285f.gif

hello_html_4ca03cee.pnghello_html_m3e37745e.png

2)hello_html_m4be528f8.gif

hello_html_m1fddd582.gif

hello_html_m39e2982c.gif

hello_html_m767af2d5.gif

hello_html_4e620564.gifhello_html_m40796e5.gif

hello_html_52cb4bdd.gif

hello_html_eb7e20c.gif

Таким образом, получаем систему hello_html_52993a3b.gif

Значит, решением уравнения является hello_html_6a98f5bc.gif

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_63ec7cc5.gif












































































































x

-4П -3П hello_html_29a59dbf.gif -2П - П hello_html_4dc6a4d6.gif 0 hello_html_m619a51e8.gif П

у

1



- 3П 0 -4П х



hello_html_29a59dbf.gif

Ответ. а) hello_html_6a98f5bc.gif б) hello_html_2d1b6561.gif

Задание 6. При каких значениях а уравнение hello_html_m3412dc2a.gif имеет корни. Найдите эти корни.

Решение. (продемонстрировать на слайде, используя опцию «шторка»)

hello_html_m3412dc2a.gif

Преобразуем правую часть уравнения hello_html_m47b1d59b.gif

hello_html_5c4b5ff6.gif hello_html_7869288.gif

Полученное уравнение имеет корни, если hello_html_m6d05806b.gif, откуда hello_html_m661e62d7.gif

Таким образом, при hello_html_m661e62d7.gif исходное уравнение имеет корни.

hello_html_543424b6.gif

hello_html_7a74110.gif

hello_html_m2fd1dc01.gif hello_html_m83aecc0.gif

или hello_html_3c42a55a.gif

hello_html_750758c7.gif

Ответ. При hello_html_m661e62d7.gif уравнение имеет корни hello_html_750758c7.gif

5 этап - заключительный

Информация о домашнем задании и инструктаж о её выполнении. 1) по учебнику: №317(4) Решите систему уравнений, используя метод сложения hello_html_m7247d854.gif

2) ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79

5.1.14. а) Решите уравнение hello_html_19acbd9b.gif

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m6eba0325.gif

3) подготовиться к тестовой работе по теме «Тригонометрия»


Итог урока.

Вывод:

- обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными способами, провели подготовку к ЕГЭ;

- развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

- развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

Оценивание:

- За работу у доски

- За активное участие на уроке


N

Этапы урока

Оценка работы

1

Повторение ранее изученного


 

*Знание формул, правил


 

*Применение формул и правил на практике


2

Закрепление ранее изученного материала


 

*Преобразование выражений


 

*Решение уравнений


 

* Отбор корней


3

Тестирование (компьютерное)


 

Оценка за работу на уроке



Рефлексия

Выразите свое отношение к уроку. Постройте на листах контроля график функции y=cosx и поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы себя на гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке.

Предлагаю закончить урок словами чешского педагога Яна Амоса Коменского: «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Спасибо за хорошую работу на уроке. До свидания.



Лист рефлексии Фамилия, имя__________________


Вопрос

Ответ ( + или - )

1

Комфортно ли вам было на уроке?

.

2

Поняли ли вы материал урока?

.

3

Требовалась ли вам помощь:

а) учителя

б) учебника

в) соседа по парте?



.

.

.

4

Оцените свою работу на уроке по

пятибалльной системе.

.










































Лист рефлексии Фамилия, имя__________________


Вопрос

Ответ ( + или - )

1

Комфортно ли вам было на уроке?

.

2

Поняли ли вы материал урока?

.

3

Требовалась ли вам помощь:

а) учителя

б) учебника

в) соседа по парте?



.

.

.

4

Оцените свою работу на уроке по

пятибалльной системе.

.













-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





Лист рефлексии Фамилия, имя__________________


Вопрос

Ответ ( + или - )

1

Комфортно ли вам было на уроке?

.

2

Поняли ли вы материал урока?

.

3

Требовалась ли вам помощь:

а) учителя

б) учебника

в) соседа по парте?



.

.

.

4

Оцените свою работу на уроке по

пятибалльной системе.

.





















Оценочный лист

N

Этапы урока

Оценка работы

1

Повторение ранее изученного


 

*Знание формул, правил


 

*Применение формул и правил на практике


2

Закрепление ранее изученного материала


 

*Преобразование выражений


 

*Решение уравнений


 

* Отбор корней


3

Тестирование (компьютерное)


 

Оценка за работу на уроке









---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






Оценочный лист

N

Этапы урока

Оценка работы

1

Повторение ранее изученного


 

*Знание формул, правил


 

*Применение формул и правил на практике


2

Закрепление ранее изученного материала


 

*Преобразование выражений


 

*Решение уравнений


 

* Отбор корней


3

Тестирование (компьютерное)


 

Оценка за работу на уроке












--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Оценочный лист

N

Этапы урока

Оценка работы

1

Повторение ранее изученного


 

*Знание формул, правил


 

*Применение формул и правил на практике


2

Закрепление ранее изученного материала


 

*Преобразование выражений


 

*Решение уравнений


 

* Отбор корней


3

Тестирование (компьютерное)


 

Оценка за работу на уроке



Формулы тригонометрии


E:\Все с раб стола 07.02.2014\Рабочий стол\папка со всеми докум\ЕГЭ 2012\формулы на егэ\togd4.gif

E:\Все с раб стола 07.02.2014\Рабочий стол\папка со всеми докум\ЕГЭ 2012\формулы на егэ\togd6.gifE:\Все с раб стола 07.02.2014\Рабочий стол\папка со всеми докум\ЕГЭ 2012\формулы на егэ\togd8.gif



E:\Все с раб стола 07.02.2014\Рабочий стол\папка со всеми докум\ЕГЭ 2012\формулы на егэ\togd5.gifE:\Все с раб стола 07.02.2014\Рабочий стол\папка со всеми докум\ЕГЭ 2012\формулы на егэ\togd11.gif



E:\Все с раб стола 07.02.2014\Рабочий стол\папка со всеми докум\ЕГЭ 2012\формулы на егэ\togd12.gif





























Автор
Дата добавления 23.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров215
Номер материала ДВ-548167
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх