Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Тригонометрические уравнения с параметром

Тригонометрические уравнения с параметром



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тригонометрические уравнения с параметром.

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение COS4 x – (a + 2)COS2x – (a + 3) = 0 имеет решение.

Решение.

Введем новую переменную: t =COS2x, thello_html_m7d902db5.gif. Тогда данное уравнение принимает вид t2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a2 + 8a + 16 = (a + 4)2.

Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t1,2 = hello_html_m68a03dd8.gif = hello_html_m6914577b.gif ;

t1=hello_html_m2e49a5f.gif

t2 =hello_html_780fda92.gif

Число -1 не принадлежит промежутку hello_html_m5c5ae450.gifтаким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1,

-3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение COS4 x – (a + 2)COS2x – (a + 3) = 0 имеет решение при аhello_html_2be25f2e.gif.

2. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 6Sin3x = p – 10Cos2x не имеет корней.

Решение.

6Sin3x = p – 10Cos2x;

6Sin3x + 10Cos2x = p;

6Sin3x + 10(1 – 2Sin2x) = p;

6Sin3x – 20Sin2x + 10 = p.

Введем новую переменную: t = Sinx, thello_html_1d979921.gif тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t3 – 20t2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t3 – 20t2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке hello_html_m4dcefd33.gif

Находим производную: у| = 18t2 - 40t = 18t(t - hello_html_m454f2ef6.gifD(y|)=R.

Определяем критические точки функции: у|=0, 18t(t - hello_html_m5d07e527.gif, t1=0, t2=hello_html_41ff9eda.gif

Число 2hello_html_m415faa50.gifне принадлежит промежутку hello_html_m1618ac8e.gif , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке hello_html_m1618ac8e.gif.

Значит, при рhello_html_6cab90f5.gif исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6Sin3x = p – 10Cos2x не имеет корней при рhello_html_1ee323f3.gif

3. При каких значениях параметра а выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение.

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx) = 0 не имеет корней.

2 + Cosx(3Cosx + aSinx) = 0;

2(Cos2x + Sin2x) + Cosx(3Cosx + aSinx) = 0;

2Cos2x + 2Sin2x + 3Cos2x + aSinxCosx = 0;

2Sin2x + aSinxCosx + 5Cos2x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы Cosx = 0, то и Sinx = 0, что невозможно, так как Cos2x + Sin2х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на Cosx.

Получим уравнение вида 2tg2x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, thello_html_406acf90.gif тогда 2t2 + at + 5 = 0.

Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

Способ 1.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а2 – 40,

а2 – 40 ≥ 0,

а2 ≥ 40,

hello_html_4bc8b2a0.gif

аhello_html_1c7a6d0.gif]hello_html_m7da3246d.gif;hello_html_63df103e.gif).

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2hello_html_4bbbdcff.gif

Способ 2.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда Dhello_html_m2417752e.gif

D = a2 – 40,

a2 – 40hello_html_a9ddf8f.gif

а2 hello_html_mc319b33.gif 40,

hello_html_20d66c87.gif

-2hello_html_28386f5a.gif

ahello_html_mcdf55ab.gif;hello_html_mc3bdee7.gif).

Ответ. Выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если ahello_html_mcdf55ab.gif;hello_html_mc3bdee7.gif).

4. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение pCtg2x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение.

ОДЗ: хhello_html_m663eab7c.gif

Преобразуем данное уравнение:

p (hello_html_m5a795f5b.gif + p = 3.

Обозначим t = Sinx, thello_html_74f5f962.gif, тогда тригонометрическое уравнение примет вид

hello_html_7ce0934e.gif - p + 2t + p = 3,

hello_html_m27d1afec.gif

hello_html_m44990e8a.gif

P = 3t2 – 2t3.

Рассмотрим функцию f(t) = 3t2 – 2t3 (D(f) = R) и найдем множество ее значений при thello_html_74f5f962.gif.

Находим производную: f|(t) = 6t – 6t2.

Определяем критические точки: f|(t) = 0, 6t – 6t2 = 0, tt2 = 0, t(1 – t) = 0, t1=0, t2=1.

f(-1) = 3 + 2 = 5, f(t) hello_html_2408799.gif при thello_html_m1ab6d9c9.gifфункция f(t) непрерывна на промежутке [-1;0), следовательно, E(f) = (0;5] при thello_html_2239ef6e.gif[-1;0).

f(1) = 3 – 2 = 1, f(t) hello_html_2408799.gif при thello_html_m1ab6d9c9.gifфункция f(t) непрерывна на промежутке (0;1], следовательно,

E(f) = (0;1] при t hello_html_m22b8eb0c.gif (0;1].

Значит, E(f) = (0;5] при t hello_html_m22b8eb0c.gif [-1;0) hello_html_5b284892.gif (0;1].

Чтобы алгебраическое уравнение относительно t, а следовательно, и исходное тригонометрическое уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы рhello_html_m5fb7d666.gif E(f), т.е. рhello_html_m5fb7d666.gif (0;5].

Ответ. Уравнение pCtg2x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень при рhello_html_m5fb7d666.gif (0;5].

5. При каких значениях параметра а графики функций y = Sin2x + aCosx и y = 3a – 2a2 не имеют общих точек?

Решение.

Другими словами, нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение

Sin2x + aCosx = 3a – 2a2 не имеет корней.

1 – Cos2x + aCosx + 2a2 – 3a = 0;

Cos2x – aCosx – (2a2 – 3a + 1) = 0.

Введем новую переменную: t = Cosx, thello_html_m7d7a8738.gif, тогда тригонометрическое уравнение примет вид t2at – (2a2 – 3a + 1) = 0. Получили квадратное уравнение с параметром а.

D = a2 + 4(2a2 – 3a + 1) = a2 + 8a2 – 12a + 4 = 9a2 – 12a + 4 = (3a – 2)2,

t1,2 = hello_html_7025021e.gift1 = hello_html_m10845451.gift2 = hello_html_3a93952a.gif

Так как hello_html_3ee0b785.gif, то t1hello_html_12b4902f.gift2.

Случай 1.

t1hello_html_5443609d.gift2 , тогда hello_html_342b766a.gif, а = hello_html_8c95497.gif и t1hello_html_5443609d.gift2 = hello_html_3e8354cf.gif. В этом случае уравнение Cosx = hello_html_4529ff6c.gif имеет корни.

Случай 2.

t1hello_html_m51a363cf.gift2. Чтобы уравнения Cosx = t1 и Cosx = t2 не имели корней необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий: t1 < -1, t2 > 1, t2 < -1 и t1 > 1. Рассмотрим каждое из этих условий.

Условие 1. t1 < -1.

hello_html_20aacaca.gif

hello_html_m257471d7.gif

Система решений не имеет, значит, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t1 < -1.

Условие 2. t2 > 1.

hello_html_4349aa3b.gif

hello_html_m441f2bec.gif

hello_html_49e3c031.gif

Система решений не имеет, следовательно, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t2 > 1.

Условие 3. t2 < -1 и t1 > 1.

hello_html_m2b5d7f1b.gif

  1. hello_html_m3c4ea38f.gif ahello_html_m391d7950.gif

  2. hello_html_1449e889.gif hello_html_61b139d4.gif hello_html_28dfe7a1.gif ahello_html_m1e155379.gif

Таким образом, hello_html_m31d19ffe.gifahello_html_m391d7950.gif

Ответ. Графики функций y = Sin2x + aCosx и y = 3a – 2a2 не имеют общих точек, если

ahello_html_m1b673b8c.gif

















Тригонометрические уравнения с модулем и радикалом.

  1. Sin2x + hello_html_678931e7.gif

Решение.

Раскроем модуль.

Случай 1. Sinx hello_html_m291258f0.gif

Sin2x + Sinx – 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, thello_html_152c9de8.gif тогда t2 + t – 2 = 0 – приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: t1 + t2 =hello_html_10cae444.gif1, t1t2 = hello_html_10cae444.gif2, значит, t1 =hello_html_10cae444.gif2, t2 = 1.

Число hello_html_10cae444.gif2 не принадлежит промежутку hello_html_m1618ac8e.gif.

Sinx = 1 (особый случай),

x = hello_html_m7053e7d4.gif (hello_html_1cf49e6a.gif

Случай 2. Sinx hello_html_m7433157e.gif

Sin2x - Sinx – 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, thello_html_152c9de8.gif тогда t2hello_html_10cae444.gift – 2 = 0 – приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: t1 + t2 = 1, t1t2 =hello_html_10cae444.gif2, значит, t1 = 2, t2 =hello_html_10cae444.gif1.

Число 2 не принадлежит промежутку hello_html_m1618ac8e.gif.

Sinx = hello_html_10cae444.gif 1 (особый случай),

x = hello_html_10cae444.gifhello_html_m7053e7d4.gif (hello_html_m3012296a.gif

Объединяя две серии решений, получаем, что x = hello_html_35cfe120.gif

Ответ. x = hello_html_m7a33a25f.gif

2. hello_html_m5a63f4da.gif = 2Sin2x – 1.

Решение.

hello_html_2558def0.gif = 2Sin2x – 1,

hello_html_m37f6031c.gif 2Sin2x – 1,

hello_html_34ddd7a5.gif = 2Sin2x – 1,

hello_html_34ddd7a5.gif hello_html_10cae444.gif 2Sin2x + 1 = 0,

hello_html_m1d139e6b.gifhello_html_m42677f65.gif) + 1 = 0,

2hello_html_m42677f65.gif +hello_html_m7d515f53.gifhello_html_10cae444.gif 1 = 0.

Раскроем модуль.

Случай 1. Cosx hello_html_m37362af0.gif

2Cos2x + Cosx – 1 = 0.

Введем новую переменную: t = Cosx, thello_html_152c9de8.gif тогда 2t2 + t – 1 = 0 – квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t1 =hello_html_49c7ad9a.gift2 = hello_html_m37bc989d.gif

Cosx =hello_html_m573a333c.gif , Cosx =hello_html_10cae444.gif1 (особый случай)

x = hello_html_m6912484.gifx = hello_html_m1a2281a.gif

(hello_html_216add53.gif (hello_html_ef41272.gif не принадлежит промежутку

hello_html_mc3b492f.gif



Случай 2. Cosx hello_html_413f5ebc.gif

2Cos2x - Cosx – 1 = 0,

Введем новую переменную: t = Cosx, thello_html_152c9de8.gif тогда 2t2 -t – 1 = 0 – квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t1 =hello_html_380bb457.gift2 = hello_html_1d38b492.gif

Cosx =hello_html_m3e82722d.gif , Cosx = 1 (особый случай)

x = hello_html_64f5612d.gifx = hello_html_m1e0ba227.gif

(hello_html_m1f2cdcdc.gif (hello_html_m71ee1266.gif не принадлежит промежутку

hello_html_m44e6af8f.gif

Объединяя две серии решений, получаем, что x = hello_html_19064e4.gif

Ответ. x = hello_html_19064e4.gif









3. hello_html_m2bdb29c1.gif

Решение.

hello_html_1627e4b7.gif

ОДЗ: xhello_html_m52765c1b.gifhello_html_m1934d212.gifxhello_html_4c46274b.gif.

hello_html_715c86f6.gif

2Sin2x + hello_html_m123b24bc.gif

Раскроем модуль.

Случай 1. Sinx hello_html_23f62b0c.gif

2Sin2x + Sinx – 1 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, thello_html_152c9de8.gif тогда 2t2 + t –1 = 0 –квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t1 =hello_html_4a6124c4.gift2 = hello_html_m37bc989d.gif

Sinx = hello_html_6986e2ca.gifSinx = hello_html_10cae444.gif1 (особый случай),

x = (hello_html_10cae444.gif1)nhello_html_m1bccee29.gif, x =hello_html_4689b5e4.gif

(hello_html_60b64d03.gif) не принадлежит промежутку

hello_html_2c0fcc51.gif

Случай 2. Sinx hello_html_m7433157e.gif

2Sin2xhello_html_68b1f548.gifSinx – 1 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, thello_html_152c9de8.gif тогда 2t2hello_html_10cae444.gift – 1 = 0 –квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t1 =hello_html_m65121026.gift2 = hello_html_1d38b492.gif

Sinx =hello_html_68b1f548.gifhello_html_6986e2ca.gifSinx = 1 (особый случай)

x = (hello_html_10cae444.gif1)n+1hello_html_m1bccee29.gif, x =hello_html_m69ffa014.gif

(hello_html_m74bc4bdb.gif) не принадлежит промежутку

hello_html_m15694bec.gifhello_html_m57be8bed.gif

Объединяя две серии решений, получаем, что x = hello_html_181a4129.gif

Ответ. x = hello_html_181a4129.gif

4. hello_html_m619de637.gif

Решение.

hello_html_6eb5b111.gif

hello_html_39b05d30.gif

hello_html_m324b894b.gif

Оценим знаки подмодульных выражений:

hello_html_10cae444.gif1hello_html_10782690.gif

hello_html_10cae444.gif3 hello_html_m2989d1bd.gifhello_html_10cae444.gif3 hello_html_36d4472f.gif

hello_html_10cae444.gif7 hello_html_701e24dc.gif

Раскроем модули:

hello_html_m180de3a0.gif

hello_html_e730c28.gif

2Sin3x – 2 = hello_html_10cae444.gif4,

2Sin3x = hello_html_10cae444.gif2,

Sin3x = hello_html_10cae444.gif1 (особый случай),

3x =hello_html_7c0a423a.gif

x = hello_html_10cae444.gifhello_html_5d4e019f.gif

Ответ. x = hello_html_10cae444.gifhello_html_5d4e019f.gif









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Тригонометрические уравнения с параметром.

1.      Найдите все значения параметра а, при каждом из которых  уравнение                                        COS4 x – (a + 2)COS2x – (a + 3) = 0 имеет решение.

         Решение.

         Введем новую переменную:  t =COS2x,  t. Тогда данное уравнение принимает вид         t2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

        Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a2 + 8a + 16 = (a + 4)2.

         Так как  D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t1,2 =   =  ;

t1=

t2 =

         Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

          0 ≤ а +3 ≤ 1,

         -3 ≤ а ≤ -2.

         Ответ.  Уравнение  COS4 x – (a + 2)COS2x – (a + 3) = 0 имеет решение при а.

2.     Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 6Sin3x = p – 10Cos2x не имеет корней.

        Решение.

6Sin3x  = p – 10Cos2x;

6Sin3x + 10Cos2x = p;

6Sin3x + 10(1 – 2Sin2x) = p;

6Sin3x – 20Sin2x + 10 = p.

       Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда тригонометрическое уравнение примет вид  6t3 – 20t2 + 10 = p.

      Рассмотрим функцию у = 6t3 – 20t2 + 10  и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

      Находим производную: у| =  18t2 - 40t= 18t(t -  D(y|)=R.

      Определяем критические точки функции:  у|=0,  18t(t - ,  t1=0, t2=

        Число 2не принадлежит промежутку  , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

       maxy(t) = 10, miny(t) = -16 на отрезке .

       Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

       Ответ.  Уравнение 6Sin3x = p – 10Cos2xне имеет корней при р

3.     При каких значениях параметра а выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx)  не равно нулю ни при каких значениях х?

        Решение.

        Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение          2 + Cosx(3Cosx + aSinx)   = 0 не имеет корней.

2 + Cosx(3Cosx + aSinx)   = 0;

2(Cos2x + Sin2x) + Cosx(3Cosx + aSinx)   = 0;

2Cos2x + 2Sin2x + 3Cos2x + aSinxCosx = 0;

2Sin2x + aSinxCosx + 5Cos2x = 0 – однородноеуравнениевторойстепени.

      Если бы Cosx = 0, то и Sinx = 0, что невозможно, так как  Cos2x + Sin  = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на Cosx.

      Получим уравнение вида  2tg2x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную:  t = tgx, t тогда  2t2 + at + 5 = 0.

      Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

      Способ 1.

      Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до Rи будет искомым ответом.

      Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

      D = а2 – 40,

      а2 – 40 ≥ 0,

      а2 ≥ 40,

       

       а];).

      Дополнением этого множества до Rявляется промежуток (-2

      Способ 2.

      Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

       D = a2 – 40,

      a2 – 40

       а2 40,

       

       -2

       a;).

       Ответ.  Выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx)  не равно нулю ни при каких значениях х, если a;).

4.     Найдите все значения параметра р, при которых уравнение  pCtg2x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

        Решение.

        ОДЗ:  х

        Преобразуем  данное уравнение:

p( + p = 3.

        Обозначим  t = Sinx, t, тогда тригонометрическое уравнение примет вид

 - p + 2t + p = 3,

        

 

P = 3t2 – 2t3.

       Рассмотрим функцию f(t) = 3t2 – 2t3 (D(f) = R) и найдем множество ее значений при                   t.

      Находим производную:  f|(t) = 6t – 6t2.

      Определяем критические точки:  f|(t) = 0, 6t – 6t2 = 0, tt2 = 0, t(1 – t) = 0, t1=0, t2=1.

f(-1) = 3 + 2 = 5, f(t)  при tфункция f(t) непрерывна на промежутке [-1;0), следовательно, E(f) = (0;5] при t[-1;0).

f(1) = 3 – 2 = 1, f(t)  при tфункция f(t) непрерывна на промежутке (0;1], следовательно,

E(f) = (0;1] при t (0;1].

       Значит, E(f) = (0;5] при t [-1;0)  (0;1].

        Чтобы алгебраическое уравнение относительно t, а следовательно, и исходное тригонометрическое уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы      р E(f), т.е. р (0;5].

        Ответ.Уравнение  pCtg2x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень при р (0;5].

5.     При каких значениях параметра а графики функций  y = Sin2x + aCosx  и  y = 3a – 2a2  не имеют общих точек?

        Решение.

        Другими словами, нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение

Sin2x + aCosx = 3a – 2a2  не имеет корней.

1 – Cos2x + aCosx + 2a2 – 3a = 0;

Cos2x – aCosx – (2a2 – 3a + 1) = 0.

        Введем новую переменную: t = Cosx, t, тогда тригонометрическое уравнение примет вид  t2 – at – (2a2 – 3a + 1) = 0. Получили квадратное уравнение с параметром а.

D = a2 + 4(2a2 – 3a + 1) = a2 + 8a2 – 12a + 4 = 9a2 – 12a + 4 = (3a – 2)2,

t1,2 =    t1 =   t2 =

        Так как  , то  t1 t2.

Случай 1.

 t1 t2 , тогда  ,   а =   и  t1 t2 = .  В этом случае уравнение  Cosx =   имеет корни.

Случай 2.

t1 t2. Чтобы уравнения  Cosx = t1  и  Cosx = t2 не имели корней необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий:  t1 < -1,   t2 > 1,   t2 < -1  и  t1 > 1. Рассмотрим каждое из этих условий.

Условие 1.  t1 < -1.

       

 

        Система решений не имеет, значит, не существует таких значений а, при которых выполняется условие  t1 < -1.

Условие 2.  t2 > 1.

              

                          

                      

        Система решений не имеет, следовательно, не существует таких значений а, при которых выполняется условие  t2 > 1.

Условие 3.   t2 < -1  и  t1 > 1.

           

1.)         a         

2.)            a     

        Таким образом,         a  

        Ответ. Графики функций  y = Sin2x + aCosx  и  y = 3a – 2a2  не имеют общих точек, если

a  

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические уравнения с модулем и радикалом.

1.           Sin2x +

Решение.

Раскроем модуль.

Случай 1. Sinx

Sin2x  +  Sinx – 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx,  t тогда  t2 + t– 2 = 0 – приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:  t1 + t2 =1,  t1t2 = 2, значит,  t1 =2,  t2 = 1.

Число  2 не принадлежит промежутку  .

Sinx = 1 (особый случай),

x =   (

Случай 2.  Sinx

Sin2x - Sinx – 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx,  t тогда  t2 t – 2 = 0 – приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:  t1 + t2 = 1,  t1t2 =2, значит,  t1 = 2,  t2 =1.

Число 2 не принадлежит промежутку  .

Sinx =  1 (особый случай),

x =    (

Объединяя две серии решений, получаем, что  x =

Ответ.  x =

2.        = 2Sin2x – 1.

Решение.

        = 2Sin2x – 1,

        2Sin2x – 1,

        = 2Sin2x – 1,

         2Sin2x + 1 = 0,

        ) + 1 = 0,

        2  +  1 = 0.

     Раскроем модуль.

     Случай 1.  Cosx

     2Cos2x  + Cosx – 1 = 0.

     Введем новую переменную:  t = Cosx,  t тогда  2t2 + t – 1 = 0 – квадратное уравнение.

     D = 1 + 8 = 9,

     t1 =t2 =

     Cosx = ,                                                                                    Cosx =1 (особый случай)

     x =                                                                 x =

     (                     ( не принадлежит промежутку

                                                                                                   

 

     Случай 2.  Cosx 

     2Cos2x  - Cosx – 1 = 0,

     Введем новую переменную:  t = Cosx,  t тогда  2t2 -t – 1 = 0 – квадратное уравнение.

     D = 1 + 8 = 9,

     t1 =t2 =

     Cosx = ,                                                                                    Cosx = 1 (особый случай)

     x =                                                                 x =

     (                     ( не принадлежит промежутку

                                                                                                   

Объединяя две серии решений, получаем, что     x =   

Ответ.  x =    

Автор
Дата добавления 20.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров2109
Номер материала 489468
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх