Тригонометриялык теңдеулер мен теңсіздіктер(тапсырмалар жауабымен)

 Тригонометриялық  теңдеулер  мен  теңсіздіктер

№1.

   өрнегі -ның  қандай  мәнінде, ең болмағанда  -тің  бір мәнінде   – ге  тең  болады?

Шешуі:   түрлендіруінен кейін   біртекті теңдеуіне  келеді. Осы  біртекті  теңдеуді  -ке  бөліп  және        алмастыруын  енгізіп, квадраттық  теңдеуін  аламыз.    кез  келген  мән  қабылдайтын  болғандықтан, бұл  теңдеудің мына  шщартта  ғана     немесе     шешімі  болады.

Жауабы:  

№2.

 параметрінің  қандай мәнінде,  -тің  ең  болмағанда  бір  мәнінде,   және    қосындысы 1-ге  тең   болады?

Шешуі: Параметрдің  анықталу  облысы  барлық  және    болады.  + теңдеуінен     теңдеуін  аламыз.   ,    алмастыруын енгізіп, келесі теңдеуді  аламыз:

Есептің  шарты орындалады, егер соңғы  теңдеудің    кесіндісінде ең  болмағанда  бір  түбір  табылса. Есебімізде  дискриминатты  ғана зерттеу жеткіліксіз.Параболаның тармақтары  жоғары  қарай  бағытталған, төбесі    нүктесінде орналасқан,. Сондықтан    функциясы    кесіндіснде монотонды  өседі.  кесіндісінде  түбір  табылуы  үшін, үздіксіз  болуына  байланысты, кесіндінің  ұштарында      әр  түрлі таңбалар  алу  қажетті  және  жеткілікті.

   немесе  .  

 Соңғы  теңсіздікті  шешкенде,  

 Жауабы:  

№3.

  параметрінің  қандай  мәнінде   

жүйенің  шешімі  табылады?

  параметрінің  мәніне  байланысты  шешімдерін  табыңдар?

Шешуі:   өрнегін  түрлендіріп,     екенін  ескере  отырып, 1-ші  теңдеуге  қоямыз.

  

  алмастыруын енгізіп, дискриминантты есептейміз.

    

Бұл тек 2  жағдайда  ғана  болуы  миүмкін.

 

 

Онда,

 

    шешуін  аламыз.

 

  онда

 

 жүйенің  шешімі.

Жауабы:  Егер     болса,

Ал  егер  

№4.

  парметрінін  қандай  мәнінде  кез  келген    үшін  мына  теңсіздік  орындалады?

    

Шешуі:  Екі  жағдай  қарастырайық.

1)    немесе      ,  онда        функциясы  өседі  және  теңсіздік  клесі  теңсіздікке  теңкүштес   

түрлендірейік:

     немесе      .  Соңғы  теңсіздік  х – тің  кез  келген  мәнінде  орындалады, себебі     анықталу  облысы   

Егер     болса, одан 

2)    немесе    , онда      функциясы  кемитіндігін  ескеріп  келесі  теңсіздікті  аламыз:

немесе   түрлендіргеннен  кейін      .  Бірінші  жағдайды  ескеріп  келесі  теңсіздіктер  жүйесіне  келеміз:    

Одан

Ал  екінші  жағдайдың  шартымен  қйылысқанда  келесі  интервалды  береді:

Екі  жағдайдың  жауабын  біріктіреміз.

Жауабы: 

№5.

    теңдеуі   a     параметрінің  қандай  мәнінде  шешімі  табылады?

Шешуі: Параметрдің  анықталу  облысы   келесі  жүйемен  анықталады:           

 одан,

 

   функциясының  қасиетіне  негізделіп  теңдеуді  келесі  түрде  жазамыз: 

     ауыстырып,      алмастыруын  енгізіп, квадрат  теңдеу  аламыз.

Егер ,  онда  теңдеудің  шешімі  табылады.

Осыдан   мүмкін  мәндер  жиынын  ескеріп,    аламыз.   Енді  a   параметрінің қандай  мәнінде  теңдеудің  ең  болмағанда  бір  түбірі    кесіндісінде жататынын  табамыз.

    параболаның  тармақтары  жоғары  бағытталғандықтан  және  төбесі      нүктесінде  болғандықтан түбірлері       нүктесіне  қарағанда  симметриялы  орналастырылған. Сондықтан  егер  кіші  түбірі    аралығында  жатса, онда  үлкен  түбірі  де  сол  аралықта  жатады.  Олай  болса     параметрінің  қандай  мәнінде  параболаның  үлкен  түбірі     аралығында  жататынын  анықтасақ  жеткілікті.

 Ол      болғанда  ғана  болады.  - есептеп  келесі  теңсіздікті  аламыз.

     ,  ол      орынды. Осы  аралықты  алдыңғысымен  қиылысып  аламыз.

Жауабы:

№6.

  параметрінің  мәніне  байланысты  теңдеуді  шешіңдер.

Шешуі:  алмастыруын  енгізіп  теңдеуді  келесі  түрге  келтіреміз 

Егер      болса, онда  шешімі  жоқ.

Егер     болғанда     шартын  ескеріп  теңдеудің  түбірлерін  аламыз  .

 параболаның  төбесі   нүктесінде   орналастырылғандықтан,   шарты түбірлерінің  кішісіне  орынды  болады, егер     кесіндінің ұштарында функцияның таңбалары  әртүрлі  болса:     немесе     . 

Соңғы  теңсіздіктің  шешімі  келесі  интервал  болады   .

Жауабы: Егер     ,  -ның  басқа  мәндерінде  шешім  жоқ.

№7.

 параметрінің қандай  мәнінде    функциясы барлық  сан  өсінде  өспелі  болады  және  кризистік  нүктелері  болмайды?

Шешуі: а – ның  кез  келген  мәнінде     функциясы  дифференциалданады және

Есепті  басқаша  айтсақ: а – ның қандай  мәнінде кез  келген   үшін     теңсіздігі  орынды  болады?

Соңғы  теңсіздік  кез  келген     үшін  орындалатындығынан  ол   болғанда  да орындалуы  керек.Осыдан   немесе    .

  екендігін  ескеріп      болғанда  теңсіздік  кез  келген      үшін  орынды  екеніне  қорытындыға  келеміз.

Жауабы:   

Өзіндік  жұмысқа  арналған  есептер

№8

  параметрінің  мәніне байланысты  келесі  шешімін  табыңдар.

 

Жауабы: Егер ;    

Егер  ;  шешімі  жоқ. 

№9

А  параметрінің  мәніне  байланысты  келесі  теңдеудің  шешімін  табыңдар.

 

Жауабы:  Егер     

Егер   шешімі  жоқ.

№10

А  параметінің  қандай  мәнінде  теңдеуінің  шешімі  бар  болады?

Жауабы:

№11

а параметрінің  қандай  мәнінде    теңдеуінің шешімі  табылады?

Жауабы:  

№12

А  параметрінің  қандай  мәнінде     теңдеуінің  шешімі  табылады?

Жауабы:  

№13

А  параметрінің  қандай  мәнінде  кез  келген  х  үшін    өрнегінің  мәні  0- ге  тең  болмайды?

Жауабы:  )

№14

А  параметрінің  қандай  мәнінде ч – тің  ең  болмағанда  бір  мәнінде   өрнегінің  мәні  -1 – ге  тең  болады? 

Жауабы: