Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Статьи / Туынды ұғымының шығу тарихы туралы мәліметтерді оқыту әдістемесі
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Туынды ұғымының шығу тарихы туралы мәліметтерді оқыту әдістемесі

библиотека
материалов

Туынды ұғымының шығу тарихы туралы мәліметтерді оқыту әдістемесі


Математикада ең маңызды ұғымдардың бірі – функция туындысы ұғымы болып табылады. Туындылар және олардың функциялары математикалық анализ курсының ең негізгі бөлімі болып табылады. Бұл терминмен оқушылар «Алгебра және анализ бастамалары» атты курсында танысады.

Туынды ұғымы бастапқыда шек түрінде анықталады. Бұл жерде оқушыларға «Шек» терминін кезінде Ньютон еңгізгенін, оның lim белгіленуі – латынның limes (меже, шекара) деген сөзінің қысқарған түрі екенін түсіндіріп, айта кету керек. Математикада шексіз аздардың алатын орны ерекше екенін айта кетіп, сондықтан да математикалық анализді кейде шексіз аздар анализі деп атайтынын айтып кеткен жөн. Бірінші сабақта туынды ұғымын еңгізбес бұрын келесі есептерді қарастырған жөн. Олар: химиялық реакцияның жылдамдығы, токтың лездік күші, денелердің лездік жылдамдығын табу, дененің жылуы, қисыққа жанама жүргізу т.с.с. солардың кейбіреулеріне тоқталайық. Функция туындысы түсінігін лездік жылдамдықты анықтау мен жанама жөніндегі есептерді шешуден бастайды.


Қозғалыстың лездік жылдамдығы туралы есеп


Физикадан таныс есепке назар аударайық. Нүктенің түзу бойымен қозғалысын қарастырайық. Айталық нүктенің t уақыт мезетіндегі hello_html_m5da48b36.gif координатасы hello_html_m62f327ac.gif болсын. Физика курсынан белгілі болғандай, қозғалыс үздіксіз және біркелкі деп ұйғарайық. Басқаша айтқанда, нақтылы өмірде байқалатын қозғалыстар туралы сөз болып отыр. Өзімізге түсінікті болу үшін тас жолдың түзу сызықты бөлігіндегі материалдық нүктенің қозғалысы туралы есепті қарастырайық.

Мынадай есепті шығарайық: белгілі hello_html_m69f8b616.gif тәуелділігі бойынша, автомобильдің t уақыт мезетінен басталатын қозғалыстың жылдамдығын анықтау керек (бұл жылдамдық лездік жылдамдық деп аталады). Егер hello_html_m69f8b616.gif тәуелділігі сызықтық тәуелділік болса, жауабы оңай: кез келген уақыт мезетіндегі жылдамдық дегеніміз жүрілген жолдың уақытқа қатынасы. Егер қозғалыс бірқалыпсыз болса, есепті шығару қиынға соғады.

Материалдық нүкте бірқалыпты қозғалыспен жүретіні айқын. Яғни, ол бірдей уақыт аралықтарында ұзындықтары бірдей жол жүріп өтетін болса, онда бұл қозғалыс жылдамдықты береді. Бұл жылдамдықты табу оңай, ол үшін t уақыт мезетіндегі спидометрдің фотосуретін жасау керек. hello_html_m69f8b616.gif тәуелділігін біле отырып, hello_html_m240ab34b.gif жылдамдығын физикалық жолмен табуға болады.

hello_html_m68df2bd9.gif-ден hello_html_m5210821.gif-ға дейінгі ұзақтығы hello_html_ccf849a.gif уақыт аралығындағы орташа жылдамдық белгілі


hello_html_19b99922.gif(1.3.1)


Өзіміздің ұйғарғанымыздай дене бірқалыпты қозғалады. Сондықтан былай деп жорамалдау орынды: егер hello_html_m49c6a4dd.gif өте аз болса, онда осы уақыт аралығында жылдамдық өзгермейді.hello_html_m2dd7ef4f.gif ұмтылған жағдайда орташа жылдамдықтың мәні қандай да бір толық анықталған мәнге ұмтылады. Ол нүктені сол нүктенің hello_html_m68df2bd9.gif уақыт мезетіндегі материалдық нүктенің жылдамдығын лездік жылдамдық деп атайды. Сонымен,

hello_html_1bfbeed9.gif


Бірақ туындының анықтамасы бойынша:


hello_html_16b868c6.gif


Сондықтан, hello_html_m72a84ffe.gif лездік жылдамдығы кез келген hello_html_m40470eb4.gif функциясының дифференциалы болып табылады:


hello_html_m4e241c4c.gif


Қысқаша айтқанда, уақыттан координатаға қарағандағы туынды жылдамдықтың өзін береді. Бұл жерде оқушыларға бұған ұқсас есепті кезінде Ньютон шешкенін айта кету керек. Ол туындыны флюксия, ал функцияны флюента деп атағанын түсіндіріп кету керек.


Ток күшіне арналған есеп


Мысалы, тогы бар электрлік тізбекті қарастырайық. hello_html_m7f32175.gif уақытта сым арқылы өткен электрдің санын hello_html_m46a817d8.gif (кулон) арқылы белгілейік. hello_html_m7f32175.gif уақытына электрдің саны сәйкес келгендіктен, уақыттың функциясы ретінде электрдің саны алынады. hello_html_m49c6a4dd.gif уақыттың бір мезеті, hello_html_1f20a207.gif уақыт пен hello_html_m550d94d2.gif уақыт аралығында сым арқылы өткен электрдің саны. Онда hello_html_m5d7af16e.gif қатынасын токтың орташа күші деп атайды. Егер тізбекте ауыспалы ток болса, онда уақыт мезетіне байланысты hello_html_m17bc3bf4.gif - ток та ауыспалы болады. Мұндай ток тізбегі үшін токтың лездік күші деген ұғым еңгізілді.

Токтың лездік жылдамдығын hello_html_m2a219bbc.gif-ның hello_html_m49c6a4dd.gif-ға қатынасын шекке апарып қойсақ, онда:


hello_html_3bc7ce7d.gif


мұндағы hello_html_585457d7.gif ұмтылады.


Химиялық реакцияға арналған есеп


Кейбір заттар химиялық реакцияға түссін. hello_html_m7f32175.gif уақытында реакцияға түскен заттардың санын hello_html_m588d3e0f.gif арқылы белгілейік. hello_html_ada6f3a.gif айнымалының функциясы. Егер hello_html_m49c6a4dd.gif уақыттың белгілі бір шамасы болса, hello_html_m7f32175.gif мен hello_html_m550d94d2.gif уақыт аралығындағы реакцияға түскен заттардың саны hello_html_1516cb4b.gif тең болады. Бұдан hello_html_20221fb4.gif қатынасынан реакцияға түскен заттардың орташа жылдамдығы шығады. Бұл қатынасты шекке апарып қойсақ, онда келесі формула шығады:hello_html_m7d38f7e7.gif .

«Туынды» ұғымын оқытуда бір-екі физикалық еептерді көрсету жеткілікті. Бұл есептер негізінде «туынды» ұғымы еңгізіледі. Әсіресе қозғалыстың лездік жылдамдығы туралы есептің маңызы зор, өйткені бұл есеп туындының механикалық сипатын ашады, ал функцияның графигіне жүргізілген жанама туындының геометриялық маңызын ашады.

hello_html_m38f297fb.gifфункциясын қарастырайық. hello_html_m3c145a5b.gif интервалында берілген нүкте болсын, және кез келген hello_html_73aa30e6.gif - нүктелері берілсін. Яғни, hello_html_53b722e1.gif . мұндағы hello_html_m1bf537e8.gif - аргумент өсімшесі. Бұл жерде «аргумент өсімшесі» мен «функция өсімшесі» деген ұғымдар пайдаланады. Оқушыларға міндетті түрде бұл ұғымдардың мағынасын түсіндіріп кету керек.

Айталық,hello_html_m8f00716.gif - қандай да бір белгіленіп алынған hello_html_507c66af.gif нүктесінің маңайында жатқан еркін алынған нүкте болсын. hello_html_45168a76.gif айырмасын тәуелсіз айнымалының

hello_html_507c66af.gifнүктесіндегі өсімшесі (немесе аргументтің өсімшесі) деп атайды да, hello_html_m1bf537e8.gif деп белгілейді. Сонымен,

hello_html_m48e84f1d.gif

бұдан hello_html_m59bd9707.gif болатыны шығады.

Аргументтің бастапқы hello_html_507c66af.gif мәні hello_html_m1bf537e8.gif өсімшесін алды деп те атайды. Осының салдарынан hello_html_71af9f88.gif функциясының өсімшесі деп аталады және hello_html_m4ab441e0.gif символымен белгіленеді, яғни анықтама бойынша


hello_html_4228e050.gif


бұдан

hello_html_3948a79c.gif


hello_html_507c66af.gifбелгіленіп көрсетілгенде hello_html_m4ab441e0.gif өсімшесі hello_html_m1bf537e8.gif-тің функциясы болатынына назар аударыңдар.

hello_html_m4ab441e0.gif-тің hello_html_m1bf537e8.gif-ке қатынасын қарастырайық:


hello_html_3a88efeb.gif


Берілген қатынастан hello_html_m1bf537e8.gif-тің барлық мәндері үшін (hello_html_m42f1570b.gif-ден басқа) hello_html_68b94f3d.gifинтервалында анықталған hello_html_m1bf537e8.gif өсімшесінен өзі шығады. Бұл қатынасты шекке апарып қойсақ, онда келесі теңдік шығады:


hello_html_7e44b23c.gif


Егер hello_html_b481705.gif қатынасының hello_html_m45b0f38f.gif ұмтылғандағы шегі бар болатын болса, онда бұл шекті hello_html_71af9f88.gif функциясының hello_html_507c66af.gif нүктесіндегі туындысы деп аталады.

Бұл анықтаманы келесі түрде жазуға болады:


hello_html_m68755762.gif


Осыдан кейін оқушыларға «туынды» терминінің шығу тарихымен таныстыру қажет.

«Туынды» термині derive деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы, оны 1797 ж. Ж. Лагранж (1736-1813) енгізген болатын. Бұл тарихи мағлұматтар оқушылардың математикалық анализ тақырыбына деген қызығушылығын ояту үшін пайдаланылуы тиіс. Мектеп оқулықтарында «дифференциалдау» термині мен туындының функция ретінде қарастырылуы орын алады. Дифференциалдау формуласы енді қандай да бір hello_html_m5da48b36.gif нүктесі үшін жазылады. Қарап отырсақ кітаптарда hello_html_507c66af.gif нүктесіндегі туынды деп емес hello_html_360d56e5.gif ұмтылғандағы туынды деп жазылады. Ең бастысы оқушылар мына екі айырмашылыққа назар аударулары қажет. Мысалы:

  1. Нүктедегі туынды;

  2. Жанасу нүктесі;

Бірінші сабақта туындыны hello_html_m5da48b36.gif арқылы емес hello_html_507c66af.gif нүктесі арқылы белгілеп түсіндіру қажет және көрнекі түрде көрсету керек:hello_html_m9e2415c.gif

Аргументті hello_html_m5da48b36.gif нүктесі арқылы белгілеген жағдайда туынды функция ретінде қарастырылады. Мысалы, дифференциалдық формуланы қорытып шығаруда келесі шарттарды анықтаған жөн. Егер hello_html_m45b0f38f.gif ұмтылған жағдайда шек болатын болса, онда hello_html_m5da48b36.gif және hello_html_m1bf537e8.gif-тің мәндері тәуелсіз болады да, hello_html_m5da48b36.gif тұрақты шама ретінде қарастырылады.

Қолданбалы есептер шығаруда, мысалы, физикалық есептер туынды көмегімен шешіледі. Оған жоғарыда қарастырылған есептер (жылдамдық – жолдың уақыт бойынша алынған туындысы, үдеу – жылдамдықтың уақыт бойынша алынған туындысы т.б) жатады. Бұл есептер туындының қандай айнымалыда орналасқанын көрсетеді.

Сабақтың бірінші кезеңінде бір айнымалы функцияның туындысы қарастырылады. Мектеп оқулығында hello_html_539942a4.gif аралығында анықталған hello_html_mf521690.gif функциясы беріледі. Нүктедегі туындының анықтамасынан кейін функцияны hello_html_m5abfc691.gif арқылы қарастыруға болады. Бұл жерде оқушылар кейін қиыншылықтарға тап болмас үшін міндетті түрде функцияның оқылуын айта кету керек. hello_html_71af9f88.gif функциясының hello_html_507c66af.gif нүктесіндегі туындысы, яғни hello_html_m5da48b36.gif-тен эф штрих деп оқылады. Тағы бір назар аударарлық жағдай мұндағы hello_html_188f7aaa.gif белгілеулерін сонау XII ғасырда өмір сүрген Ж. Лагранж еңгізгенін айта кету керек.

Дифференциалдық есептеудің негізгі мақсаты – сызықтық функцияларды қарастыру болып табылады. Бұдан туындыны оқытудың бірінші бағыты анықталады. Ол – сызықтық функцияны тереңдетіп оқыту.

Екінші бағыты – аргумен пен туынды өсімшелерімен жұмыс. Туынды ұғымын еңгізуде оқушылар hello_html_31f1fa24.gif, (немесе hello_html_449ac05b.gif) қатынастарыhello_html_m126c7099.gif-тің функциясы екенін түсіну қажет. Әсіресе бұл қатынастардың механикалық және геометриялық мағынасын түсіндіру қажет.

Үшінші бағыты – функцияның графигіне жүргізілген жанама туралы есеп. Бұл есептің математикалық анализ курсында алатын орны ерекше. Өйткені бұл есеп жаратылыстану ғылымының математикалық моделі болып табылады. Сондықтан мектеп курсында бұл есепке ерекше көңіл бөлінеді. Мектеп курсында функцияға жүргізілген жанама есебі туынды ұғымын еңгізуде, оның геометриялық мағынасын анықтауда қолданылады.

Бұл кезеңдердің әрқайсысына тереңірек тоқталайық:

1)Туынды тақырыбын өтпес бұрын оқушылар сызықтық функцияның анықтамасымен, оның графигінің түрлерімен танысады. Мұнда ең маңыздысы оқушылар түзу мен абсцисса осінің арасындағы бұрышты түсіну қажет.

Бұрыш туралы айтқанда 3 жағдайды қарастыру қажет:

  1. Егер түзу hello_html_m5da48b36.gif осіне параллель болса, онда бұрыш 0-ге тең;

  2. Егер түзу hello_html_m5da48b36.gif осіне перпендикуляр болса, бұрыш hello_html_m518c44ed.gif-қа тең;

  3. Түзу hello_html_m5da48b36.gif осіне параллель де, перпендикуляр да болмаған жағдайда.

Соңғы есепте нүктелер арқылы өтетін қиюшының бұрыштық коэффицеттері қарастырылады. Сөйтіп, бұрыш келесі теңсіздікті қанағаттандырады: hello_html_c578478.gif. Ескерту: функция графигі төменгі жарты жазықтықта орналасқан жағдайда оқушылар көптеген қателіктер жібереді. Олар жанама бұрышы деп hello_html_m39241bed.gif-ті белгілейді (1.3.1 – сурет). Бұл қателіктен оларды сақтау қажет.

hello_html_m35c55e4c.png

1.3.1 – сурет.


Сызықтық функция мен оның қасиеттерінен келесі заңдылық шығады: егер сызықтық функция hello_html_m507bca68.gif формуласы арқылы берілсе, онда осы функция графигінің көлбеу түзуі болатын бұрыштық тангенсі hello_html_m326d0b74.gif-ға тең болады.

Аргумент өсімшесін еңгізуде функцияны hello_html_31cafce8.gif арқылы белгілегені дұрыс. Мұнда оқушыларға айырымды hello_html_m2a219bbc.gif - дельта символымен белгіленетінін айта кету керек және hello_html_m5da48b36.gif-ті hello_html_m2a219bbc.gif символынан аластатып жазуға болмайтынын түсіндіру керек. Бұл символдың негізгі теңдігін көрнекі түрде жазып кету керек:


hello_html_m17314ec9.gif, яғни hello_html_34c2d4b1.gif

hello_html_m24c770a0.gif


Геометриялық иллюстрацияның рөліне ерекше назар аударған жөн. Суретте аргумент өсімшесінің оң, теріс, 0-ге тең болатын жағдайлар көрсетілген. (1.3.2 – сурет)



hello_html_m181b1e9.png

1.3.2 – сурет.


Есептер шығаруда hello_html_m5da48b36.gif нүктесіндегі функция өсімшесін табу үшін оған сәйкес hello_html_m1bf537e8.gif аргументі мен hello_html_449ac05b.gif - ке қатынасын анықтаған жөн. Нақты жағдай үшін оқушыларды hello_html_m9156ae1.gif - ті дұрыс табуды үйрету керек.

Мысалдар: hello_html_m64806d15.gif функция графигінің hello_html_449ac05b.gif қатынасын табу керек. Бұл есепте hello_html_449ac05b.gif қатынасын hello_html_m1bf537e8.gif-тің функциясы ретінде қарастыруға болады. Бұл функцияның шегі hello_html_m45b0f38f.gif ұмтылады. hello_html_m64806d15.gif функциясы hello_html_507c66af.gif нүктесінде дифференциалданатын hello_html_71af9f88.gif функциясының графигі hello_html_507c66af.gif - дің маңайында жанаманың кесіндісінен өзгешелігі жоқ, демек, ол hello_html_3ecd2c1c.gif және hello_html_4c25f039.gif нүктелері арқылы өтетін hello_html_23f2f433.gif қиюшының кесіндісіне жақын. hello_html_3ecd2c1c.gif нүктесінен өтетін түзуді, оның бұрыштық коэффициенті деп қабылдаймыз.

hello_html_3ecd2c1c.gifжәне hello_html_b2c7dbe.gifнүктелерінен өтетін қиюшының hello_html_4d7b1c3c.gif бұрыштық коэффиценті hello_html_449ac05b.gif –ке тең, мұнда hello_html_512df196.gif - аргументтің hello_html_m1bf537e8.gif өсімшесіне сәйкес келетін hello_html_m285ed0f2.gif функциясының hello_html_507c66af.gif нүктесіндегі өсімшесі. hello_html_m64806d15.gif функциясы үшін


hello_html_79871b6.gif


Енді жанаманың бұрыштық коэффицентін табу үшін, егер hello_html_m1bf537e8.gif нөлге жуықтайтын болса, hello_html_m29a86c68.gif қандай мәнге жақын болатынын айқындау ғана қалады. hello_html_m29a86c68.gif мәні hello_html_3ece4f8a.gif-ге жақын екені анық. Олай болса, hello_html_m1bf537e8.gif мәндері өте аз болғанда, қиюшының бұрыштық коэффиценті hello_html_3ece4f8a.gif-ге жақын. hello_html_593f4ff3.gif болса, hello_html_mcdf26e7.gif шығады. Ізделініп отырған жанама (1; 1) нүктесінен өтетінін ескеріп, жанаманың теңдеуі hello_html_36ab4bf2.gif болады деген қорытындыға келеміз.

Сызықтық функцияның ерекшеліктері: функция үшін hello_html_449ac05b.gif қатынасы тұрақты шама және графиктің бұрыш коэффицентіне тең болады. Кері жорамалдауға да болады, егер функцияның hello_html_449ac05b.gif қатынасы тұрақты шама болса, онда функция сызықты болады.

Бұл жерде келесіге назар аудару қажет: кейбір аралықта hello_html_m1bf537e8.gif-тің оң мәні үшін hello_html_512df196.gif-тің оң мәні сәйкес келеді (немесе hello_html_m5f18bbf3.gif), онда функция өспелі болады және кері жорамал да дұрыс. Сәйкес мәндердің шарты бойынша hello_html_46a54ec5.gifтің hello_html_m35d0ccfa.gifке қатынасы 0-ден үлкен болса, hello_html_m1b17d231.gif, онда функция өседі және керсінше, егер hello_html_68f3b97.gif болса, онда қатынасты өспелі функцияның анықтамасы ретінде анықтауға болса, сол сияқты функцияның кему аралығы да қарастырылады.

Мұнда hello_html_449ac05b.gif қатынастың геометриялық мағынасын анықтау қажет. Келесі жағдайларға тоқталайық: hello_html_6ff3aa18.gif осінің кесіндінің ұзындықтары ретінде қарастырамыз. Келесі суретке назар аударайық. (1.3.3 – сурет)

hello_html_4447c6aa.png


1.3.3 – сурет.


Мұнда hello_html_m1a2edcab.gif ұмтылғандағы жағдай көрсетілген. Үшбұрыш hello_html_m437c78e4.gif дан келесі теңдік шығады: hello_html_m3b241c37.gifөйткені hello_html_6658fe3b.gif hello_html_m5442059d.gif Сол сияқты hello_html_m454ca86c.gif басқа жағдайлар да қарастырылады.

hello_html_m5371e760.gifжағдайы жеке қарастырылады. Мұнда қиюшыhello_html_m8f00716.gif осіне параллель, көлбеу бұрышы hello_html_m668f1088.gif -қа тең. Сондықтан, бұрыштың тангенсі 0-ге тең және hello_html_69d5f41e.gif қатынасы 0-ге тең.

Осыдан hello_html_20f04b75.gif шығады. Мұнда hello_html_5321036.gif. hello_html_68f3b97.gif болғанда функция өседі, hello_html_m1f0e12fa.gif мұндағы hello_html_66531e99.gifсүйір бұрыш. Сүйір бұрыштың тангенсі оң мәнді қабылдайды. Сонымен, егер қиюшы функцияның кез келген екі нүктесі арқылы өтетін болса және абсциссалар өсімен сүйір бұрыш жасайтын болса, онда функция өседі.

hello_html_449ac05b.gif-тің қатынасының геометриялық мағынасын түсіндіру үшін физикалық есептерді қарастыру қажет. Мысалы, жолдың жүру заңына байланысты есептер қарастыру қажет. hello_html_351e44a2.gif - жылдамдық); hello_html_72529315.gif (hello_html_m557978cc.gif- бастапқы жылдамдық, hello_html_1df337e2.gif- үдеу); hello_html_m53989814.gif ( g – еркін түсу үдеуі).

Туынды деп – берілген функцияның өзгеру жылдамдығын айтады.

Туындының геометриялық мағынасы: туынды деп – функцияның графигіне жүргізілген hello_html_m5da48b36.gif осіне жүргізілген жанаманың hello_html_m3f2b0cfc.gif осіне оң бағытымен жасалған бұрыштың тангенсін атайды.

Туындыны табу амалы дифференциалдау деп атайды. Сөйтіп осы жерде дифференциал ұғымы еңгізіледі. Оның геометриялық мағынасы анықталады. Мектеп оқулығында бұл тақырыптардан кейін келесі тақырыптар қарастырылады: функцияны дифференциалдау ережелері, туындыны табу ережелері, негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесі келтіріледі. Бұл материалдардан кейін мектеп оқулығында қосымша ретінде күрделі функциялар мен кері функциялардың туындылары, жоғары ретті туындылар, Ферма мен Ролль теоремасы және Лагранж теоремалары беріледі. Оқушылар үшін бұл күрделі тақырыптардан кейін қарапайым тақырыптар, туындыны функцияны зерттеуде қолдану, функцияның экстремумдарының қажетті және жеткілікті шарттары, функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері, функция графигінің ойыс – дөңестігі және иілу нүктелері, Лопиталь ережесі, туындыны функцияның шегін табу, Тейлор және Моклорен қатары сияқты күрделі тақырыптар беріледі.




















Автор
Дата добавления 04.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров896
Номер материала ДБ-066099
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх