Творческая исследовательская работа по теме: Магические квадраты

Общие сведения.

                 Среди «занимательных « задач теории чисел одним из интереснейших являются те, которые связаны с магическими  (волшебными) квадратами. Учение о них занимало значительное место в древние времена, когда в обществе царствовали суеверия и астрология. В работах  XYII века магические квадраты уже выступили в роли математических развлечений; XYIII-XIXстолетия особенно богаты исследованиями этого направления. Интерес к таким квадратам не утрачен и в наше время.

                 В давние века, научившись считать и выполнять арифметические операции, люди с удивлением обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную. Складывая различные числа, они иногда получали одинаковую сумму; располагая их друг за другом или одно под другим, а затем складывая слева направо и сверху  вниз, в случае удачи приходили к одному и тому же результату. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, посвященные увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах, а те, что расположены вдоль диагоналей, - даже в трёх, и все эти суммы равны между собой! Недаром древние китайцы, индусы, а вслед за ними арабы и народы средневековой Западной Европы приписывали этим конструкциям таинственные и магические свойства.

                 Своеобразная мозаика чисел действительно придаёт магическому квадрату силу произведения искусства. Этот факт привлекал не только математиков, но и художников. В начале XYI века выдающийся немецкий художник, гравёр, астроном и географ,  Альбрехт Дюрер (1471-1528) в одной из своих гравюр, названной « Меланхолия» (1514), за фигурой крылатой женщины воспроизвел магический квадрат порядка 4:

1        14    15  4                        16    3     2    13

                   12  7       6  9                         5    10   11    8

                    8   11    10  5                        9     6     7     12

                  13   2       3  16                     13    2     3     16

              Подобно тому, как в истинно художественном произведении, чем больше вглядываешься в него, тем больше находишь новых привлекательных черт, так ив этом произведении математического искусства таится немало красивых и загадочных свойств. Прежде всего, сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой из двух диагоналей одна и та же: она равна  34- магической постоянной  S. Далее, сумма чисел, расположенных по углам квадрата, также 34, а именно, 1+4+16+13=34; сумма чисел в каждом из четырёх - клеточных подквадратов,  примыкающих к вершине данного квадрата, и в током же центральном квадрате из 4 клеток одинаковы, каждая из них равна 34, т.е. 1+14+12+7 = 8+11+13+2 = 15+4+6+9 = 10+5+3+16 = 7+6+11+10 = 34.

              В любой строке квадрата имеется сумма рядом стоящих чисел, равная  15, и ещё пара рядом стоящих чисел, сумма которых 19; получаются попарно равные суммы. Такое же свойство имеют суммы квадратов чисел, расположенных в каждой из двух крайних и двух средних строк:

1²+14²+15²+4²+ = 438        и       13²⁺2²+3²+3²+16² = 438;

12²+7²+6²+9² = 310           и        8²+11²+10²+5² = 310.

              Аналогичным свойством обладают и числа в столбцах:

1²+12²+8²+13² = 378         и         4²+9²+5²+16² = 378;

14²+7²+11²+2² = 370         и         15²+6²+10²+16² = 370.

              Суммы чисел, расположенных в симметричных ячейках относительно центра квадрата, одинаковы и равны половине магической постоянной 34:

 1+16 = 4+13 = 15+2 = 14+3 = 12+7 = 8+9 = 7+10 = 11+6 = 17.

              Если в рассматриваемый квадрат вписать другой с вершинами в серединах сторон исходного, то суммы чисел вдоль двух пар его противоположных сторон равны между собой, каждая из этих сумм вновь является магической постоянной:

12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34.

              Ещё более удивительный факт, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

              12²+14²+5²+3² = 15²+9²+8²+2²  = 374

              12³+14³+5³+3³ = 15³+9³₊8³+2³ = 4624.

              Можно отыскать и другие свойства квадрата Дюрера.

              Магическим квадратом порядка n называется такое расположение первых  n²  чисел натурального ряда в таблице размера  n * n  (n.>2),  что сумма чисел, стоящих в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей постоянна и равна одному и тому же значению  S =  n(n² + 1)/n,  называемому магической постоянной.

              Иногда к магическому квадрату предъявляются дополнительные условия, например, чтобы свойства магичности выполнялось и  на всех «параллелях» к данным диагоналям (их также называют «ломаными» диагоналями). Такие квадраты имеют ещё и другие названия: совершенные, полные, изящные, дьявольские, кабалистические, панмагические.

              Совершенный магический квадрат 4 порядка был известен в Индии уже в XI – XII веках:

              Сумма чисел в каждой его строке, каждом столбце и на двух диагоналях равна 34 также, как сумма чисел в каждой из шести «ломаных» диагоналях проходящих через клетки с числами 15, 9, 2. 8;  10, 4, 7, 13;  6, 4, 11, 13;  3, 9, 14, 8;  10, 16, 7, 1;   4, 5, 3, 12.

                                      1   15    24    8    17

                                      9    18   2     11    25

12       21  10    19    3

                                      20   4     13   22    6

                                      23   7     16    5     14

              Свойства и методы построения магических квадратов зависят от их порядка n,  который бывает либо нечетным  (n = 2k +1), либо нечётно- чётным, т.е. делящимся на 2, но не на 4 (n = 2 (2k + 1)), либо чётно-чётным, т.е. кратным 4 (n = 4k). Доказано ,что не существует нечетно-четных магических квадратов совершенных. Из  880 магических квадратов 4 порядка совершенных 48. Дж. Россер и Р. Уокер в 1938 году установили, что имеется точно 3620 совершенных магических квадратов порядка 5 и более 6,5 миллиардов таких квадратов порядка 8.

              Магические квадраты можно составить из членов любых арифметических прогрессий и, в частности, из четных или нечетных чисел:

7          17     3                                            4     14    12

                                                              18   10      2          S == 30

              5     9      13      S == 27                         

                                                                            8     6      16

15    1     11

              Существуют квадраты из треугольных и других видов фигурных чисел. Магические квадраты из простых чисел порядка 12 включительно строили Г. Дьюдени, Э. Бергхольт, К.Щультхапм, Х. Сэйлес, Дж. Манси и другие. Для n = 3, 4 такими примерами являются:

              67    1   43                                   3   71    5    23

              13   37   61   S = 112                     53   11   37   1       S = 102

              31   37    7                                    17   13   41   31

                                                                  29     7   19   47

              Можно рассматривать  квадраты, в которых постоянную величину имеет не сумма, а произведение чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце  и на других диагоналях. Например, в магическом квадрате порядка 3:

                            64         2       256

                            128      32         8

                             4        512       16

              вместо чисел 1 и 9 взяты первые девять степеней числа 2. Магическое произведение Р = 2¹⁵ = 32768.

              Можно построить магические квадраты, в которых магическая сумма равна наперёд заданному числу, например, году:

                            4 9 4      504     505     491

                            499        497      496    502

                            495       501      500    498

                            506      492      493    503

Исторические сведения.

              Известно, что магические  квадраты появились до нашей эры на Древнем Востоке.  Одна из сохранившихся легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан (2000 года до н.э.) стоял на берегу реки Ло, приток жёлтой реки, вдруг появилась большая рыба (в других вариантах- огромная черепаха, сказочно чудовище), у которой на спине был рисунок из двух мистических символов, - черных и белых кружочков:

              Это диаграмма и стала известна под названием  «ло щу) (документ реки Ло), впоследствии осознанная как изображение магического квадрата порядка 3:

                                               4    9    2

                                               3    5    7

                                               8   1    6

              Первое специальное напоминание о нём найдено около I века до н. э. в «Записях ритуалов, собранных старшим Даем». Вплоть до X века н.э. квадраты 3 порядка были воплощены в амулетах, заклинаниях. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман. Его можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры.

              Магические квадраты порядка 3 может быть получен путём транспозиции накрест- расположенных чётных («Инь») чисел:

                                               2    9    4

                                               7   5    3

                                               6    1    8  

              На протяжении многих веков (вплоть до IX столетия) китайцы не предпринимали каких-либо попыток построения квадратов более высоких порядков. Происходило это, по-видимому, в первую очередь оттого, что само существование «ло  щу» считалось явлением более магическим, чем объектом для простого человеческого любопытства. Но и в IX веке все они строились на основе «ло щу».

              От Китая магические квадраты распространились в Индию и граничащие с нею страны. В одном из джайнистских храмов был найден панмагический квадрат порядка 4, построенный в X-XI веках..

                                      7     12     1    14

                                      2     13     8    11

                                      16    3    10      5

                                      9      6     15      4

              Магические квадраты использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках, амулетах. Такие квадраты были найдены в Тибете, на Суматре, Малайе, Филиппинах и других странах.

              К магическим квадратам проявляли глубокий интерес арабские ученые, внёсшие важный вклад в развитие их теории. В энциклопедии «Чистых братьев и Верных друзей», - союза математиков, возникшего около X века В Басре – богатом торговом и культурном городе на берегу Персидского залива- приведены квадраты порядков 4-9.

              Построение квадратов порядка 3 выполняются с помощью ходов фигур на шахматной доске: начало в средней нижней клетке, затем дважды ходом коня, ходом пешки, дважды ходом ферзя , ходом пешки, дважды ходом коня до средней верхней клетки:

              16 – клеточный квадрат «Чистые братья и Верные друзья» составляли по «точечному» методу: вместо точек, расположенных в диагональных клетках, записывают (при заданной нумерации) их номер; затем, начиная с конца, в каждую клетку с номером  х помещают дополнительное число,  равное (4² + 1)-х. В результате получается магический квадрат:

              В этом квадрате сумма чисел  во всех  5 подквадратах  порядка 2 равна 34, т.е. магической сумме самого квадрата.

Методы построения магических квадратов.

Сложность и разнообразие методов построения магических квадратов зависят от того, каким является их порядок: нечетным, кратным двум или делящимся на четыре. Перечислим лишь некоторые из них .

1. Магические квадраты четных порядков.

              1.1.Диагональный метод построения квадратов неоднократно  переоткрывался. Процесс построения квадратов порядка  n = 2k =1 состоит в следующем.Число 1 помещается в среднюю клетку одной из крайних строк или столбцов. Другие числа размещаются по порядку вдоль диагонали, идущей вверх (вниз) направо (налево) от данной клетки. При этом необходимо учитывать особые случаи:

              а) если  достигнута верхняя строка, то следующее число записывается в нижнюю строку так, как если бы она располагалась над первой строкой;

              б) при достижении крайнего правого столбца следующее число записывается в первый  столбец так, как если бы он был помещен рядом с крайним правым столбцом;

              в) если заполняемая клетка уже занята или достигнута верхняя (нижняя)  клетка крайнего правого столбца, то очередное число помещается в клетке под (над) той, где расположено предшествующее число. Построенные таким образом квадраты порядка  n = 3, 5, 7 имеют вид:

8   1   6                 17    24   1   8     15                  30   39   48   1   10   19   28

3   5   7                 23      5    7  14   16                  38   47     7   9   18    27   29

4   9   2                   4     6    13  20  22                  46    6      8   17   26  35   37

                             10    12   19  21   3                   5   14    16   25   34  36   45

                            11   18    25   2    9                   13   15   24   33   42  44    4

                                                                            21   23   32   41  43    3    12

                                                                           22   31   40   49   2   11    20

              1.2. Метод террас восходит к древним китайцам. Название ему дал де ла Ир (1640 – 1717) – французский математик. Согласно этому методу «естественный квадрат порядка n = 2k + 1 поворачивается относительно центра на 45 градусов. В нём отделяется квадратной рамкой (2k - 1)*(2k - 1) – таблица. Числа, записанные в не её, и образующие выступы (террасы), перемещаются параллельно противолежащим сторонам и заполняют пустые клетки таблицы. Ниже показано построение квадратов для порядков n = 3, 5:

1  2  3                                      1                                              4  9  2

4  5  6                            4                2                                      3  5  7

7  8  9                       7               5             3                            8  1  6                                                                                                          8                 6              

                                                  9                                    

1      2     3     4      5                                                       1

6      7     8      9    10                                             6                 2

11  12   13    14   15                                         11               7                3

16  17   18    19   20                                16              12               8                4

21  22   23    24   25                      21              17              13              9                  5                                                                 22            18               14               10

                                                                           23              19             15

.                                                                                  24               20

                                                                                             25

                                    11    24    7   20    3

                                     4     12  25     8  16

                                    17      5  13    21   9

                                     10   18    1    14  22

                                      23    6  19      2  15

              1.3. Метод Мосхопулоса с использованием  ходов шахматных фигур на доске, о котором уже говорилось ранее.

2. Магические квадраты нечетно - четных порядков.

              Для этих квадратов существует: метод Р. Бола (XIX век), метод ал - Кораджи ( X век), метод К.Агрипы (XVI век).

3. Магические квадраты чётно - чётных порядков.

              Для этих квадратов существует:3.1. «Точечныё метод ученых стран ислама (рассматривался ранее).

              3.2.Метод ал-Исфизари (ум. 1121/22 г.г.) Основной квадрат разбивается на 16 подквадратов, каждый из которых состоит из k² как показано ниже:

              Транспортируя друг с другом квадраты I и   XVI,  IV и  XIII,  VI и   XI,   VII и   X, получается магический квадрат, причём перестановки ячеек выполняется следующим образом:

              В качестве примера построен магический квадрат порядка 8, состоящий из 16 подквадратов порядка 2, Затем, что с равным успехом можно транспортировать подквадраты II и  XV,   III и  IV,  V  и VII,    VIII  и IX, выполняя аналогичный поворот ячеек в каждом из них. Интересно отметить, что данный метод был впоследствии переоткрыт несколько раз математиками конца XIX – начала XX века.

3.3. Метод Ян. Хуэя (XIIIвек). В естественном квадрате меняются местами диагональные числа в главных диагоналях, а остальные остаются без изменения:

4. Рамочные магические квадраты.

5.Двойные магические квадраты.1

6.Магические кубы.

              Некоторые авторы решили идею магических квадратов, перенеся её из плоскости в пространство. Магический куб n- го порядка состоит из последовательных чисел от 1 до n³, расположенных в форме куба таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце, в каждом ряду и каждой из 4 диагоналей одна и та же и равна  S = n (n³ + 1) /2.

О количестве магических квадратов и их применении.

              Нетрудно убедиться в том, что существует только один магический квадрат 3-го порядка, хотя, используя отражения и повороты, его можно записать  в 8 различных положениях:

4  9   2          4  3  8           2  7  6        2  9  4

3  5   7          9  5  1           9  5  1        7  5  3

8  1    6         2  7   6          4   3  8        6  1  8

6  7  2          8  1  6            6  1  8         8  3  4

1  5  9          3  5  7            7  5  3         1  5  9

8  3  4          4  9  2            2  9  4         6  7  2

              Количество магических квадратов порядка 4 равно 880 (получено Ф. де Беси), однако отражения и повороты увеличивает их число до 7040. Вопрос о количестве магических квадратов порядка 5 решён не полностью, однако с учётом новых методов построения оказалось, что их было 13 миллионов.

              Уже в прошлом веке магические квадраты нашли приложения. Заметный вклад при этом внесли и отечественные учённые. В.И.Ермаков (2845 – 1922) заметил, что один из методов составления магических квадратов тесно связан с разложением двучлена хⁿ – 1 на множители. Он впервые показал также возможность использовать систему уравнений с n  не известными для составления «волшебных» квадратов. Этой идеей почти сразу  же воспользовался И.А. Износков, рассмотрев обратную задачу: с их помощью решал уравнения со многими неизвестными.

              Начиная с 60 – х  годов нашего столетия магические квадраты стали использоваться для обнаружения и коррекции ошибок в кодах системы управления спутниками Земли и межпланетными космическими станциями, при расчетах электрических, кабельных сетей и др.1

Заключение

              Приведу высказывание французского математика А.Оби во вступлении к книге Э.Казаласа « магические квадраты: «Ценность теории определяется не только возможностью её практического использования, для какого она разработана, но также её способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требует глубоких знаний, представляет собой превосходную гимнастику ума, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетаний, симметрии, классификации, обобщения и т.д… Можно сказать, что это умственная гимнастика включает тонкие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум. Естественная красота, которую содержат магические квадраты, многократно встречающаяся и разнообразная, достаточна для того, чтобы привлечь и удержать любителя».

Используемая литература.

1.     У. Болл, Г.Коксетер. Магические эссе и развлечения: Пер с англ./ Под ред. И.М.Яглома. – Мир, 1986.

2.     Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М.: Физмат – гиз, 1958.

3.     Малых А.Е. Магические квадраты в работах русских математиков конца 19 века. – 1988.

4.     Постников М.М. Магические квадраты. М.: Наука. 1963.

5.     Малых А.Е. Магические квадраты. Пермь 1992.

Республика Хакассия

Муниципальное образовательное учреждение.

Ширинсая средняя общеобразовательная школа № 4.

Творческая исследовательская работа по теме:

Магические квадраты.

Работу выполнила: ученица 7 б класса

                                                                  Нарожная Виктория.

                                               Работу проверила: учитель математики

                                                                  Пикурина Н.А.

Шира 2010 г.