Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Творческая исследовательская работа по теме: Магические квадраты
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Творческая исследовательская работа по теме: Магические квадраты

библиотека
материалов



Общие сведения.



Среди «занимательных « задач теории чисел одним из интереснейших являются те, которые связаны с магическими (волшебными) квадратами. Учение о них занимало значительное место в древние времена, когда в обществе царствовали суеверия и астрология. В работах XYII века магические квадраты уже выступили в роли математических развлечений; XYIII-XIXстолетия особенно богаты исследованиями этого направления. Интерес к таким квадратам не утрачен и в наше время.

В давние века, научившись считать и выполнять арифметические операции, люди с удивлением обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную. Складывая различные числа, они иногда получали одинаковую сумму; располагая их друг за другом или одно под другим, а затем складывая слева направо и сверху вниз, в случае удачи приходили к одному и тому же результату. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, посвященные увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах, а те, что расположены вдоль диагоналей, - даже в трёх, и все эти суммы равны между собой! Недаром древние китайцы, индусы, а вслед за ними арабы и народы средневековой Западной Европы приписывали этим конструкциям таинственные и магические свойства.

Своеобразная мозаика чисел действительно придаёт магическому квадрату силу произведения искусства. Этот факт привлекал не только математиков, но и художников. В начале XYI века выдающийся немецкий художник, гравёр, астроном и географ, Альбрехт Дюрер (1471-1528) в одной из своих гравюр, названной « Меланхолия» (1514), за фигурой крылатой женщины воспроизвел магический квадрат порядка 4:


  1. 14 15 4 16 3 2 13

12 7 6 9 5 10 11 8

8 11 10 5 9 6 7 12

13 2 3 16 13 2 3 16


Подобно тому, как в истинно художественном произведении, чем больше вглядываешься в него, тем больше находишь новых привлекательных черт, так ив этом произведении математического искусства таится немало красивых и загадочных свойств. Прежде всего, сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой из двух диагоналей одна и та же: она равна 34- магической постоянной S. Далее, сумма чисел, расположенных по углам квадрата, также 34, а именно, 1+4+16+13=34; сумма чисел в каждом из четырёх - клеточных подквадратов, примыкающих к вершине данного квадрата, и в током же центральном квадрате из 4 клеток одинаковы, каждая из них равна 34, т.е. 1+14+12+7 = 8+11+13+2 = 15+4+6+9 = 10+5+3+16 = 7+6+11+10 = 34.

В любой строке квадрата имеется сумма рядом стоящих чисел, равная 15, и ещё пара рядом стоящих чисел, сумма которых 19; получаются попарно равные суммы. Такое же свойство имеют суммы квадратов чисел, расположенных в каждой из двух крайних и двух средних строк:


12+142+152+42+ = 438 и 132+22+32+32+162 = 438;


122+72+62+92 = 310 и 82+112+102+52 = 310.


Аналогичным свойством обладают и числа в столбцах:


12+122+82+132 = 378 и 42+92+52+162 = 378;


142+72+112+22 = 370 и 152+62+102+162 = 370.


Суммы чисел, расположенных в симметричных ячейках относительно центра квадрата, одинаковы и равны половине магической постоянной 34:


1+16 = 4+13 = 15+2 = 14+3 = 12+7 = 8+9 = 7+10 = 11+6 = 17.

Если в рассматриваемый квадрат вписать другой с вершинами в серединах сторон исходного, то суммы чисел вдоль двух пар его противоположных сторон равны между собой, каждая из этих сумм вновь является магической постоянной:

12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34.

Ещё более удивительный факт, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

122+142+52+32 = 152+92+82+22 = 374


123+143+53+33 = 153+93+83+23 = 4624.

Можно отыскать и другие свойства квадрата Дюрера.





Магическим квадратом порядка n называется такое расположение первых n2 чисел натурального ряда в таблице размера n * n (n.>2), что сумма чисел, стоящих в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей постоянна и равна одному и тому же значению S = n(n2 + 1)/n, называемому магической постоянной.

Иногда к магическому квадрату предъявляются дополнительные условия, например, чтобы свойства магичности выполнялось и на всех «параллелях» к данным диагоналям (их также называют «ломаными» диагоналями). Такие квадраты имеют ещё и другие названия: совершенные, полные, изящные, дьявольские, кабалистические, панмагические.

Совершенный магический квадрат 4 порядка был известен в Индии уже в XIXII веках:

hello_html_m3480c1ed.png


Сумма чисел в каждой его строке, каждом столбце и на двух диагоналях равна 34 также, как сумма чисел в каждой из шести «ломаных» диагоналях проходящих через клетки с числами 15, 9, 2. 8; 10, 4, 7, 13; 6, 4, 11, 13; 3, 9, 14, 8; 10, 16, 7, 1; 4, 5, 3, 12.



1 15 24 8 17

9 18 2 11 25


  1. 21 10 19 3


20 4 13 22 6


23 7 16 5 14


Свойства и методы построения магических квадратов зависят от их порядка n, который бывает либо нечетным (n = 2k +1), либо нечётно- чётным, т.е. делящимся на 2, но не на 4 (n = 2 (2k + 1)), либо чётно-чётным, т.е. кратным 4 (n = 4k). Доказано ,что не существует нечетно-четных магических квадратов совершенных. Из 880 магических квадратов 4 порядка совершенных 48. Дж. Россер и Р. Уокер в 1938 году установили, что имеется точно 3620 совершенных магических квадратов порядка 5 и более 6,5 миллиардов таких квадратов порядка 8.

Магические квадраты можно составить из членов любых арифметических прогрессий и, в частности, из четных или нечетных чисел:



  1. 17 3 4 14 12

18 10 2 S == 30

5 9 13 S == 27

8 6 16


15 1 11


Существуют квадраты из треугольных и других видов фигурных чисел. Магические квадраты из простых чисел порядка 12 включительно строили Г. Дьюдени, Э. Бергхольт, К.Щультхапм, Х. Сэйлес, Дж. Манси и другие. Для n = 3, 4 такими примерами являются:


67 1 43 3 71 5 23

13 37 61 S = 112 53 11 37 1 S = 102

31 37 7 17 13 41 31

29 7 19 47

Можно рассматривать квадраты, в которых постоянную величину имеет не сумма, а произведение чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на других диагоналях. Например, в магическом квадрате порядка 3:

64 2 256

128 32 8

4 512 16

вместо чисел 1 и 9 взяты первые девять степеней числа 2. Магическое произведение Р = 215 = 32768.

Можно построить магические квадраты, в которых магическая сумма равна наперёд заданному числу, например, году:

4 9 4 504 505 491

499 497 496 502


495 501 500 498


506 492 493 503

Исторические сведения.


Известно, что магические квадраты появились до нашей эры на Древнем Востоке. Одна из сохранившихся легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан (2000 года до н.э.) стоял на берегу реки Ло, приток жёлтой реки, вдруг появилась большая рыба (в других вариантах- огромная черепаха, сказочно чудовище), у которой на спине был рисунок из двух мистических символов, - черных и белых кружочков:

hello_html_m561fd101.png


Это диаграмма и стала известна под названием «ло щу) (документ реки Ло), впоследствии осознанная как изображение магического квадрата порядка 3:


4 9 2


3 5 7


8 1 6

Первое специальное напоминание о нём найдено около I века до н. э. в «Записях ритуалов, собранных старшим Даем». Вплоть до X века н.э. квадраты 3 порядка были воплощены в амулетах, заклинаниях. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман. Его можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры.

Магические квадраты порядка 3 может быть получен путём транспозиции накрест- расположенных чётных («Инь») чисел:


2 9 4


7 5 3


6 1 8

На протяжении многих веков (вплоть до IX столетия) китайцы не предпринимали каких-либо попыток построения квадратов более высоких порядков. Происходило это, по-видимому, в первую очередь оттого, что само существование «ло щу» считалось явлением более магическим, чем объектом для простого человеческого любопытства. Но и в IX веке все они строились на основе «ло щу».

От Китая магические квадраты распространились в Индию и граничащие с нею страны. В одном из джайнистских храмов был найден панмагический квадрат порядка 4, построенный в X-XI веках..


7 12 1 14


2 13 8 11


16 3 10 5


9 6 15 4


Магические квадраты использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках, амулетах. Такие квадраты были найдены в Тибете, на Суматре, Малайе, Филиппинах и других странах.

К магическим квадратам проявляли глубокий интерес арабские ученые, внёсшие важный вклад в развитие их теории. В энциклопедии «Чистых братьев и Верных друзей», - союза математиков, возникшего около X века В Басре – богатом торговом и культурном городе на берегу Персидского залива- приведены квадраты порядков 4-9.

Построение квадратов порядка 3 выполняются с помощью ходов фигур на шахматной доске: начало в средней нижней клетке, затем дважды ходом коня, ходом пешки, дважды ходом ферзя , ходом пешки, дважды ходом коня до средней верхней клетки:

hello_html_m1f69d33b.png

16 – клеточный квадрат «Чистые братья и Верные друзья» составляли по «точечному» методу: вместо точек, расположенных в диагональных клетках, записывают (при заданной нумерации) их номер; затем, начиная с конца, в каждую клетку с номером х помещают дополнительное число, равное (42 + 1)-х. В результате получается магический квадрат:

hello_html_3ccc47b2.png


В этом квадрате сумма чисел во всех 5 подквадратах порядка 2 равна 34, т.е. магической сумме самого квадрата.





Методы построения магических квадратов.


Сложность и разнообразие методов построения магических квадратов зависят от того, каким является их порядок: нечетным, кратным двум или делящимся на четыре. Перечислим лишь некоторые из них .

1. Магические квадраты четных порядков.

1.1.Диагональный метод построения квадратов неоднократно переоткрывался. Процесс построения квадратов порядка n = 2k =1 состоит в следующем.Число 1 помещается в среднюю клетку одной из крайних строк или столбцов. Другие числа размещаются по порядку вдоль диагонали, идущей вверх (вниз) направо (налево) от данной клетки. При этом необходимо учитывать особые случаи:

а) если достигнута верхняя строка, то следующее число записывается в нижнюю строку так, как если бы она располагалась над первой строкой;

б) при достижении крайнего правого столбца следующее число записывается в первый столбец так, как если бы он был помещен рядом с крайним правым столбцом;

в) если заполняемая клетка уже занята или достигнута верхняя (нижняя) клетка крайнего правого столбца, то очередное число помещается в клетке под (над) той, где расположено предшествующее число. Построенные таким образом квадраты порядка n = 3, 5, 7 имеют вид:








8 1 6 17 24 1 8 15 30 39 48 1 10 19 28

3 5 7 23 5 7 14 16 38 47 7 9 18 27 29

4 9 2 4 6 13 20 22 46 6 8 17 26 35 37

10 12 19 21 3 5 14 16 25 34 36 45

11 18 25 2 9 13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20


1.2. Метод террас восходит к древним китайцам. Название ему дал де ла Ир (1640 – 1717) – французский математик. Согласно этому методу «естественный квадрат порядка n = 2k + 1 поворачивается относительно центра на 45 градусов. В нём отделяется квадратной рамкой (2k - 1)*(2k - 1) – таблица. Числа, записанные в не её, и образующие выступы (террасы), перемещаются параллельно противолежащим сторонам и заполняют пустые клетки таблицы. Ниже показано построение квадратов для порядков n = 3, 5:


1 2 3 1 4 9 2

4 5 6 4 2 3 5 7

7 8 9 7 5 3 8 1 6 8 6

9

1 2 3 4 5 1

6 7 8 9 10 6 2

11 12 13 14 15 11 7 3

16 17 18 19 20 16 12 8 4

21 22 23 24 25 21 17 13 9 5 22 18 14 10

23 19 15

. 24 20

25



11 24 7 20 3

4 12 25 8 16

17 5 13 21 9

10 18 1 14 22

23 6 19 2 15



1.3. Метод Мосхопулоса с использованием ходов шахматных фигур на доске, о котором уже говорилось ранее.


2. Магические квадраты нечетно - четных порядков.

Для этих квадратов существует: метод Р. Бола (XIX век), метод ал - Кораджи ( X век), метод К.Агрипы (XVI век).


3. Магические квадраты чётно - чётных порядков.

Для этих квадратов существует:3.1. «Точечныё метод ученых стран ислама (рассматривался ранее).

3.2.Метод ал-Исфизари (ум. 1121/22 г.г.) Основной квадрат разбивается на 16 подквадратов, каждый из которых состоит из k2 как показано ниже:

hello_html_m5b93f67.png


Транспортируя друг с другом квадраты I и XVI, IV и XIII, VI и XI, VII и X, получается магический квадрат, причём перестановки ячеек выполняется следующим образом:

hello_html_m4e15f500.png


В качестве примера построен магический квадрат порядка 8, состоящий из 16 подквадратов порядка 2, Затем, что с равным успехом можно транспортировать подквадраты II и XV, III и IV, V и VII, VIII и IX, выполняя аналогичный поворот ячеек в каждом из них. Интересно отметить, что данный метод был впоследствии переоткрыт несколько раз математиками конца XIX – начала XX века.


3.3. Метод Ян. Хуэя (XIIIвек). В естественном квадрате меняются местами диагональные числа в главных диагоналях, а остальные остаются без изменения:


hello_html_33ad862.png


4. Рамочные магические квадраты.


5.Двойные магические квадраты.1


6.Магические кубы.

Некоторые авторы решили идею магических квадратов, перенеся её из плоскости в пространство. Магический куб n- го порядка состоит из последовательных чисел от 1 до n3, расположенных в форме куба таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце, в каждом ряду и каждой из 4 диагоналей одна и та же и равна S = n (n3 + 1) /2.



О количестве магических квадратов и их применении.

Нетрудно убедиться в том, что существует только один магический квадрат 3-го порядка, хотя, используя отражения и повороты, его можно записать в 8 различных положениях:


4 9 2 4 3 8 2 7 6 2 9 4

3 5 7 9 5 1 9 5 1 7 5 3

8 1 6 2 7 6 4 3 8 6 1 8



6 7 2 8 1 6 6 1 8 8 3 4

1 5 9 3 5 7 7 5 3 1 5 9

8 3 4 4 9 2 2 9 4 6 7 2

Количество магических квадратов порядка 4 равно 880 (получено Ф. де Беси), однако отражения и повороты увеличивает их число до 7040. Вопрос о количестве магических квадратов порядка 5 решён не полностью, однако с учётом новых методов построения оказалось, что их было 13 миллионов.

Уже в прошлом веке магические квадраты нашли приложения. Заметный вклад при этом внесли и отечественные учённые. В.И.Ермаков (2845 – 1922) заметил, что один из методов составления магических квадратов тесно связан с разложением двучлена хn – 1 на множители. Он впервые показал также возможность использовать систему уравнений с n не известными для составления «волшебных» квадратов. Этой идеей почти сразу же воспользовался И.А. Износков, рассмотрев обратную задачу: с их помощью решал уравнения со многими неизвестными.

Начиная с 60 – х годов нашего столетия магические квадраты стали использоваться для обнаружения и коррекции ошибок в кодах системы управления спутниками Земли и межпланетными космическими станциями, при расчетах электрических, кабельных сетей и др.1







Заключение



Приведу высказывание французского математика А.Оби во вступлении к книге Э.Казаласа « магические квадраты: «Ценность теории определяется не только возможностью её практического использования, для какого она разработана, но также её способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требует глубоких знаний, представляет собой превосходную гимнастику ума, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетаний, симметрии, классификации, обобщения и т.д… Можно сказать, что это умственная гимнастика включает тонкие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум. Естественная красота, которую содержат магические квадраты, многократно встречающаяся и разнообразная, достаточна для того, чтобы привлечь и удержать любителя».








Используемая литература.

  1. У. Болл, Г.Коксетер. Магические эссе и развлечения: Пер с англ./ Под ред. И.М.Яглома. – Мир, 1986.

  2. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М.: Физмат – гиз, 1958.

  3. Малых А.Е. Магические квадраты в работах русских математиков конца 19 века. – 1988.

  4. Постников М.М. Магические квадраты. М.: Наука. 1963.

  5. Малых А.Е. Магические квадраты. Пермь 1992.





































Республика Хакассия

Муниципальное образовательное учреждение.

Ширинсая средняя общеобразовательная школа № 4.











Творческая исследовательская работа по теме:


Магические квадраты.










Работу выполнила: ученица 7 б класса

Нарожная Виктория.

Работу проверила: учитель математики

Пикурина Н.А.












Шира 2010 г.


Автор
Дата добавления 14.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров351
Номер материала ДВ-155051
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх