Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Творческая работа по математике."Задачи на проценты".Выполнила ученица 7-А класса Доронькина Дарья.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Творческая работа по математике."Задачи на проценты".Выполнила ученица 7-А класса Доронькина Дарья.

библиотека
материалов


hello_html_m2aad6a34.gif

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА І - ІІІ СТУПЕНЕЙ №2

ОТДЕЛА ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

ГОРОДА КИРОВСКОЕ



Творческая работа

по математике на тему

hello_html_a46e9b8.jpg


Выполнила ученица 7 «А» класса

Доронькина Дарья

Руководитель учитель математики

Чумакова Галина Владимировна.




2011 – 2012 уч. год

Содержание



I. Вступление……………………………………………………………………… … 2

II. Из истории процентов……………………………………………………………3

III. Основные понятия

п.1 Понятие процента………………………………………………………....4

п.2 Нахождение процентов от числа……………………………………...4

п.3 Нахождение числа по его процентам ...……………………………... 4-5

п.4 Нахождение процентного отношения чисел……………………….. 5

п.5 Процентные расчеты……………………………………………………. 6-8

п.6 Сложные проценты……………………………………………………….. 9

IV. Задачи на проценты

п.1 Банковские вклады………………………………………………………….10

п.2 Изменение стоимости товара………………………………………….10-12

п.3 Работа……………………………………………………………………….12-13

п.4 Растворы, смеси, сплавы…………………………………………………13-15

п.5 Разные задачи……………………………………………………………….16

V. Задачи для самостоятельного решения………………………………………..17-18

VI. Заключение…………………………………………………………………………..19

VII. Список литературы………………………………………………………………20



hello_html_3de6f036.jpg

I. Вступление


Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении определенных задач. Первая потребность процентов была экономическая. Она возникла ещё в древности, когда появилось понятие долга, и нужно было начислять выплаты по закладным и займам. Затем проценты стали универсальной величиной измерения разных величин и объектов. Они проникли, практически, во все отросли знаний. Их широко применяли в различных отраслях и науках: математике, химии, физике и т. д.. И в наше время проценты приобрели широкое распространение. Можно заметить, что проценты применяют даже там, где на первый взгляд они не применимы. Так, например, человек на вопрос «Как у него здоровье?», может ответить, что здоров процентов на семьдесят. Отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин, как килограммы, рубли и.т.д.. В настоящей повседневной жизни проценты применяются очень широко: выполнение планов, выработка продукции, рост производительности труда и т. д. обычно выражаются в процентах. Их используют и в различных денежных расчетах. Вот почему полезно овладеть простейшими и более сложными процентными расчетами. Именно поэтому для творческой работы мной выбрана тема «Задачи на проценты».

В связи с этим, при написании данной работы я ставлю перед собой следующие цели и задачи:

  • Изучить научную литературу по теме «Проценты», расширить и углубить свои знания по этой теме.

  • Овладеть простейшими и более сложными процентными расчетами.

  • Рассмотреть способы решения задач на сложные проценты, задач связанных с такими понятиями, как «концентрация» и «процентное содержание», задач на смеси и сплавы.



hello_html_7e09385c.jpg

II. Из истории процентов.


Слово процент произошло от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты стали встречаться в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Есть еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Существует мнение, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

III. Основные понятия.

п. 1 Понятие процента

Процент – это одна сотая часть.

Пример. Ежемесячно рабочий с зарплаты отчисляет 1% в пенсионный фонд. Какую сумму он отчисляет ежемесячно, если его зарплата составляет 2500 рублей?

Решение. 2500 : 100 = 25 (руб)

Ответ. 25 рублей.


п. 2 Нахождение процентов от данного числа.


Если нужно найти p% от числа а, то надо число а разделить на 100 и полученное частное умножить на p.

Это правило можно записать в виде формулы:

p% от а равны (а : 100) · p =hello_html_3e69ab1b.gif (*)

Пример. Учреждение вносит в страховую кассу за каждого сотрудника 4% от его зарплаты. Сколько должно внести учреждение в страхкассу за сотрудника, если его зарплата 2400р.?

Решение этой задачи можно записать так:

4% от 2400 равны (2400:100)·4 = 24·4=96 (р.)


п. 3 Нахождение числа по его процентам.


Чтобы найти число а по его процентам, надо известную величину процентов b разделить на число процентов p и полученное частное умножить на 100.

Это правило можно записать в виде следующей формулы:

а=(b:p)·100 = hello_html_51d5b041.gif (**)

Однако иногда удобней пользоваться не формулами (*) и (**), а выражать проценты в виде десятичной дроби или обыкновеной дроби и использовать правила нахождения части числа и числа по его части .

Пример. Фермер засеял овсом 47,36 га земли, что составляет 37% всей площади. Определить всю площадь.

Решение. Обозначим искомую площадь через x га. Тогда по условию имеем, что 37% от x равны 47,36 га. Так как 37%=0,37, то получаем 0,37 от x равны 47,36. По правилу нахождения числа по его части получаем

x=47,36 : 0,37=128 (га).


п. 4 Нахождение процентного отношения чисел.


Вы знаете, что неравенство двух чисел можно охарактеризовать с помощью их разностного или кратного отношения. Так, имея числа 2 и 5, можно сказать, что 5 больше 2 на 3 или 2 меньше 5 на 3. Можно найти и кратное отношение этих чисел, но в данном случае оно дробное и не очень удобно говорить: «5 больше 2 в 2,5 раза» (хотя иногда так говорят). Более удобно в этом случае найти процентное отношение этих чисел, т.е. узнать, сколько процентов составляет одно число от другого. Для этого находим их частное и выражаем это частное в процентах: 2:5=0,4=0,40=40%. Значит, 2 составляет 40% от 5. Или: 5:2=2,5=2,50=250%. Значит, 5 составляет 250% от 2.

Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо частное выразить в процентах.

Пример. Из винтовки сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Узнать процент попадания.

Решение. Процент попадания - это отношение числа попаданий к общему числу выстрелов, выраженное в процентах. Находим отношение

45 : 50 = 0,90 = 90%

Значит, процент попаданий равен 90%.


п.5 Процентные расчеты


Рассмотрим несколько задач на процентные расчеты.

  1. Число А больше числа В. Определите, на сколько процентов число А больше, чем число В?

Из контекста задачи следует, что В-первоначальное число, А - новое число. С помощью пропорции найдем, сколько процентов составляет новое число А от первоначальног числа В:

В – 100%

А – Х%

Х = hello_html_m38b42bc0.gif·100%.

Далее находим искомую процентную разность данных чисел:

hello_html_m38b42bc0.gif·100% - 100% = hello_html_4e5dd379.gif·100%

(разность чисел надо поделить на первоначальное число, и результат перевести в проценты).

Пример. Заводу надо изготовить 24 машины, но завод изготовил 27 машин. На сколько процентов изготовлено машин больше, чем намечено?

Решение. hello_html_m1a269b6f.gif· 100% = 12,5%

  1. Число А больше числа В. Определите, на сколько процентов число В меньше, чем число А?

Из контекста задачи следует, что А – первоначальное число, В – новое число. С помощью пропорции найдем, сколько процентов составляет новое число В от первоначального числа А:

А – 100%

В – Х%

Х = hello_html_52b02ce6.gif·100%.

Далее находим искомую процентную разность данных чисел:

100% - hello_html_52b02ce6.gif·100% = hello_html_m5529f077.gif·100%

(разность чисел надо поделить на первоначальное число, и результат перевести в проценты)

Пример. Один и тот же товар в одном магазине стоит 10 руб., а в другом – 8 руб.. На сколько процентов этот товар во втором магазине дешевле, чем в первом?

Решение. hello_html_m6ae9068f.gif · 100% = 20%


Для решения более сложных задач на проценты полезно освоить «свернутое» увеличение и уменьшение числа на заданное число процентов.


  1. Число А увеличили на р%. Чему равен результат?

Сначала найдем р% от числа А: hello_html_1bfffd00.gif·р

Далее находим новое число: А+hello_html_1bfffd00.gif·р = А·(1+hello_html_4188dae.gif)

Пример. Новейшие разработки конструкторского бюро позволят увеличить предельную скорость автомобиля на 30%. Какой будет эта скорость, если сейчас она составляет 180 км/час?

Решение. 180+180·0,3 = 180·1,3 = 234 (км/час)


  1. Число В уменьшили на р%. Чему равен результат?

Сначала найдем р% от числа В: hello_html_359e6555.gif·р

Далее находим новое число: В- hello_html_359e6555.gif·р = В·(1-hello_html_4188dae.gif)

Пример. Во время новогодней распродажи магазин снижает цены на все товары на 25%. Сколько будут стоить во время распродажи сапоги по цене 2000 руб.?

Решение. 2000-2000·0,25 = 2000·0,75 = 1500 (руб)


  1. Число А сначала увеличили на р%, а затем уменьшили на р%. Чему равен результат?


Используя предыдущие рассуждения, получим: А·(1+hello_html_4188dae.gif)·(1-hello_html_4188dae.gif)

Пример. Цену товара повысили на 60%, затем полученную цену понизили на 60%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов?

Решение. Пусть первоначальная цена товара х, тогда после двукратного изменения новая цена составит х·1,6·0,4 = 0,64х. Видим, что новая цена меньше первоначальной (так как 0,64х<х). Теперь определим на сколько процентов число 0,64х меньше числа х: hello_html_33be937.gif·100% = 36%

Ответ: цена уменьшилась на 36%.

  1. Число А сначала уменьшили на р%, а затем увеличили на р%. Чему равен результат?

Аналогично предыдущей задаче получим: А·(1-hello_html_4188dae.gif)·(1+hello_html_4188dae.gif)

Заметим, что результат в этой и в предыдущей задаче одинаков.

Пример. Цену товара понизили на 60%, затем полученную цену повысили на 60%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов?

Решение. Решение данного примера совпадает с решением предыдущего с точностью до перестановки мест второго и третьего множителей при выполнении первого действия:

1). х·0,4·1,6 = 0,64х.

2). hello_html_33be937.gif·100% = 36%

Ответ: цена уменьшилась на 36%.




п.6 Сложные проценты.


  1. Число А увеличили на р%, затем полученное число снова увеличили на р% и так далее (всего n раз). Чему равен результат?

Используя рассуждения задачи 3 из п.5 , получим:

А·(1+hello_html_4188dae.gif)·(1+hello_html_4188dae.gif)· …·(1+hello_html_4188dae.gif) = А ·(1+hello_html_4188dae.gif)n

________________________

n множителей

Пример. Банк начисляет 10% годовых. Какова будет сумма на счету у вкладчика через три года, если он внесет 1000 рублей?

Решение. Применяя полученную формулу для случая А = 1000, р = 10, n = 3, получим:

1000 · (1+0,1)3 =1331 (руб.)

Ответ. 1331 руб.


  1. Число В уменьшили на р%, затем полученное число снова уменьшили на р% и так далее (всего n раз). Чему равен результат?

Используя рассуждения задачи 4 из п.5, получим:

В·(1-hello_html_4188dae.gif)·(1-hello_html_4188dae.gif) ·…· (1-hello_html_4188dae.gif)= В·(1-hello_html_4188dae.gif)n

__________________________________

n множителей

Пример. Находясь на диете, человек терял ежемесячно 5% своего веса. Каким стал его вес через два месяца, если в начале он составлял 60 кг?

Решение. Применяя полученную формулу для случая В = 60, р = 5, n = 2, получим:

60 · ( 1 – 0,05 )2 = 54,15 (кг)

Ответ. 54 кг 150 г.

hello_html_m15caa800.png

Задачи на проценты.

п.1 Банковские вклады.

Пример 1. Вкладчик положил в банк деньги под 20% годовых. Через год он добавил к сумме, имеющейся у него на счету, такую же сумму, что вкладывал первоначально. Еще через год на его счету оказалось 396 рублей. Сколько руб­лей было вложено первоначально?

Решение. Пусть первоначально было вложено х руб., тогда через год на счету стаю 1,2х руб., а после добавления первоначальной суммы х+1,2х=2,2х (руб). Ещё через год полученная сумма увеличится на 20% и составит 2,2х·1,2 = =2,64х (руб). По условию задачи имеем уравнение 2,64х=396, из кото­рого находим

х =150.

Ответ: 150 руб.

Пример 2. Вкладчик взял из банка 20% своих денег, потом 60% оставшихся и еще 1400 рублей. Каков был исходный вклад, если после этого у него в банке осталось 22% от исходной суммы?

Решение. Пусть исходный вклад составлял х руб., тогда после первого снятия денег со счёта останется х - 0,2х = 0,8х (руб). После второго снятия денег со счёта оста­нется 0,8х - О,8х·0.6 = 0,8х·О,4 = 0,32х (руб). Вычитая теперь из найденной сум­мы 1400 руб., получим 0,22х (руб): 0,32х-1400=0,22х. Решая это уравнение, на­ходим х = 14000.

Ответ: 14000 руб.


п.2 Изменение стоимости товара.

Пример 1. Цена товара 1200 руб. Ее повысили на 30%. На сколько процентов следует понизить полученную цену, чтобы получить первоначальную?

Решение. После повышения цена товара станет 1200·1,3 = 1560(руб). Теперь нужно определить., на сколько процентов первоначальная цена товара меньше новой:

hello_html_m38b6083e.gif=hello_html_1039fb22.gifhello_html_m3132e3c.gif23%

Ответ: hello_html_m3132e3c.gif 23%.

Пример 2. На сколько процентов понизили цену товара, если теперь за ту же
сумму можно купить на 25% товара больше, чем до понижения цены?
Решение. Затраченная на покупку товара сумма равна произведению цены товара на его количество.

Пусть первоначально цена товара равна с, а количество товара равно n. Тогда
затраченная при этом сумма составит (с
n). В другом случае за ту же сумму (сn)
можно купить количество товара, равное 1,25
n, следовательно, его цена соста­
вит hello_html_b20f08e.gif= 0,8с. Таким образом, цену товара понизили на 20%.

Свои рассуждения можно было оформить в виде таблицы.


Первоначально

После изменения

Цена товара

c

0,8c

Количество товара

n

1,25n

Сумма

cn

cn

Теперь найдем искомую величину: hello_html_m67e85af4.gif=20%

Ответ: на 20%.

Пример 3. Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

Решение. Пусть на прошлой неделе магазин продал х едениц товара по цене у рублей, тогда на этой неделе будет продано 0,9х товара по цене 1,1у рублей.

Значит, на прошлой неделе было продано товара на сумму ху рублей, а на этой неделе на сумму 0,9х·1,1у=0,99ху рублей. Поэтому на этой неделе магазин выручит товара на сумму, меньшую на 1-0,99=0,01 или на 1%.

Ответ: на 1%.

Пример 4. Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

Решение. Пусть х рублей – первоначальная цена, у рублей – сумма, подлежащая выплате клиенту магазина. Когда первоначальная цена была снижена на 12% и составила 0,88х рублей, магазин получил прибыль 0,88х-у рублей или hello_html_79926628.gif процентов прибыли, что по условию задачи равно 10%. Составим и решим уравнение: hello_html_3f5d7dcd.gif; hello_html_m65d91.gif. Таким образом, магазин предполагал получить 25% прибыли.

Ответ: 25 %.

п.3 Работа.

Пример 1. Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

Решение. Пусть за х деталей рабочий должен получить у рублей, тогда на 1 деталь приходится hello_html_m59df605d.gifрублей. Фактически рабочий сделал 1,15х деталей и получил за них 1, 104у рублей (hello_html_m4d699c10.gif= 0,96hello_html_m59df605d.gif рублей за 1 деталь). Значит, расход на оплату труда в расчете на еденицу продукции уменьшился на 1- 0,96 = 0,04 или на 4%.

Ответ: на 4%.

Пример 2. В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

Решение. Не на 6 %! Обозначим дневное задание через а, тогда за два дня рабочий выполнил 1,02a + 1,04a = 2,06a вместо 2a, что составило hello_html_6141c803.gif = 1,03, или 103 % задания двух дней. Значит задание перевыполнено на 3 %.

Ответ: на 3%.

Пример 3. Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил на 20% больше, а ученик на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?

Решение. Пусть х деталей изготовил в первый день мастер, а (100-х) деталей изготовил в первый день ученик. Тогда во второй день мастер изготовил 1,2х деталей, а ученик 1,1(100-х) деталей. По условию задачи во второй день они вместе изготовили 116 деталей.

Составим и решим уравнение: 1,2х+1,1(100-х)=116, отсюда х=60. Значит, мастер изготовил 60 деталей, а ученик 40 деталей.

Ответ: 60 деталей, 40 деталей.

Пример 4. Для перевозки грузов используются автомобили двух типов: А и В. Работая вместе , они перевезут груз за 5 рейсов. Если будет работать только один автомобиль типа В, то он перевезёт 75% груза за 15 рейсов. Найдите отношение грузоподъёмностей автомобилей А и В.

Решение. Пусть а и b – грузоподъёмности соответственно автомобилей типов А и В, тогда весь груз равен 5(а+b). Из второго условия задачи следует, что 15b=5(а+d)·0,75; 3b=а; hello_html_m76fa386c.gif=3.

Ответ: грузоподъёмность автомобилей типа А в 3 раза больше.

п.4 Растворы, смеси, сплавы.

Пример 1. Свежая трава содержит 70% влаги, а высушенная - 20%. Сколько килограммов травы необходимо накосить, чтобы получить 150 кг сена?

Решение. Траву можно условно разделить на два компонента - воду и сухое вещество. В процессе сушки количество воды уменьшается, а количест­во сухого вещества остаётся неизменным.

Пусть искомая масса свежей травы х кг, тогда в ней содержится О,3х кг (30%) сухого вещества. В 150 кг сена содержится 150·0,8 = 120 (кг) (80%) сухого ве­щества. Из уравнения 0,3х=120 находим х=400.

Ответ: 400 кг.

Пример 2. Из молока, жирность которого 5%, делают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога полу­чится из 1 т молока?

Решение. Как и в предыдущей задаче, молоко разделим условно на две составляю­щие — воду и сухое вещество (жиры, белки и др.). Составим таблицу по условию задачи:


Молоко

Творог

Сыворотка

Масса продукта, кг

1000

Х

1000-х

Масса сухого вещества, кг

50

0,155х

0,005(100-х)

Составим и решим уравнение: 0,155х + 0,005(100-х) = 50. Отсюда находим х=300.

Ответ: 300 кг.

Пример 3. Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примесей. Сколько процентов примесей в руде?

Решение. В металле 20·0,06 = 1,2 т примесей, в руде 40-20+1,2 = 21,2 т примесей, что составляет 21,2:40 = 0,53 или 53% массы руды.

Ответ: 53%.

Пример 4. При смешении 30%-ного раствора серной кислоты с 10%-ным раствором серной кислоты получилоь 400г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора (30%-ного и 10%-ного) было взято?

Решение. Пусть было взято х грамм 30%-ного раствора и (400-х) грамм 10%-ного раствора. По условию задачи после их смешения получили 400г 15%-ного раствора. Составим и решим уравнение: 0,3х+0,1(400-х)=0,15·400. Отсюда х=100. Значит, было взято 100г 30%-ного раствора и 300г 10%-ного раствора.

Ответ: 100г, 300г.

Пример 5. В 2 литра 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 литров чистой воды. Определите процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.

Решение. В 2 литрах 10%-ой уксусной кислоты содержится 0,2 л кислоты и 1,8 л воды. После добавления воды уксусной кислоты осталось 0,2 л, а воды стало 1,8+8=9,8 л. Поэтому процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе hello_html_14a9f48d.gif=2%.

Ответ: 2%.

Пример 6. Сколько килограммов воды нужно добавить к 30 кг пятипроцентного раствора соли в воде, чтобы получить полуторапроцентный раствор?

Решение. В 30 кг пятипроцентного раствора содержится 30·0,05=1,5 (кг) соли. Если количество добавленной воды обозначить за х (кг), то получим уравнение:

(х+30)·0,015+1,5. Отсюда получаем х=70. Значит надо добавить 70 кг воды.

Ответ: 70 кг.

Пример 7. Имеются два сплава чугуна с никелем с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять металла каждого из этих двух сортов, чтобы получить 140 т нового сплава с содержанием 30% никеля?

Решение. Пусть надо взять х т первого сплава, тогда второго сплава (140-х) т. Составим и решим уравнение: 0,05х+0,4·(140-х)=0,3·140; х=40. Надо взять 40 т первого сплава и 100 т второго сплава.

Ответ: 40т и 100т.


п.5 Разные задачи.

Пример 1. Две противоположные стороны прямоугольника увели­чили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его пло­щадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон уве­личили на 10 %?

Решение. Если соседние сто­роны прямоугольника а и b, тогда площадь ab. После увеличения одной пары противоположных сторон (все равно какой) на 10 % площадь будет равна 1,1ab. Это больше аb на 0,1аb или на 10 %.

Ответ: на 10%. Не зависит.

Пример 2. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Решение. Пусть длина прямоугольника а, ширина b. Длина стала 0,8a =4/5 а. Чтобы площадь аb не изменилась, надо длину 4/5 a умножить на ширину 5/4b = =1,25b, то есть надо уве­личить ширину на 1/4b или на 25 %.

Ответ: на 25%.

Пример 3. В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников сек­ции составляют девочки?

Решение. Пусть в спортивной секции х мальчиков, тогда 0,6х девочек. Значит, девочки составляют hello_html_m1c219359.gif·100%=37,5% всех участников.

Ответ: 37,5%.

Пример 4. В некотором царстве, в некотором государстве школьники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько про­центов учебного времени потеряли школьники? Ответ ок­руглите до десятых.

Решение. Было учебное время 6·45=270 мин, стало 5·40=200 мин. Значит, школьники потеряли (1 - hello_html_431a962b.gif)·100% hello_html_m3132e3c.gif25,9% учебного времени.

Ответ: 25,9%.

hello_html_dd3d8a7.jpg


V. Задачи для самостоятельного решения.


    1. 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — больше или меньше первона­чального? На сколько процентов?

    1. Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился зале-то на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму приба­вил в весе 10 %. Остался ли за этот год его нес прежним?

    2. Все стороны прямоугольника увеличили на 10%. Нa сколько процентов увеличилась его площадь?

    3. Каждую сторону квадрата увеличили па 20 %. На сколь­ко процентов увеличилась его площадь?

5. Две противоположные стороны прямоугольника увели­чили па 20 %, две другие уменьшили на 20 %. Как измени­лась площадь прямоугольника?

6. Две противоположные стороны прямоугольника увели­чили на 20 %, две другие уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

7. На некотором участке пути машинист уменьшил ско­рость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится вре­мя движения на этом участке?

8. трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 тыс. рублей, причем второй получил 33hello_html_m19e8bb17.gif% того, что получил первый, и еще 60 тыс. рублей, а третий получил 33hello_html_m19e8bb17.gif% денег второго и еще 30 тыс. рублей. Какую премию получил каждый?

  1. Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%?

  2. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На сколько процентовуменьшается масса яблок при сушке?

  3. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, после переплавки получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит полученный металл?

  4. Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежегод­но из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает до­ход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

13. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход ил расчета 150 % от вложенной суммы; в течение полугода 130 % годовых, в течение трех месяцев - 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наиболь­ший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

14. Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кис­лоты?

15. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, прино­сят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сум­ма удвоится?

16. Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

17. На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хра­нится при влажности 25 %?

18. а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10 %-й раствор соли? б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержа­щий 20 % сахара?

19. Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немно­го усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Како­ва теперь масса арбуза?

20. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый ме­сяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?



hello_html_m1e4e792f.jpg

Заключение.


При написании данной творческой работы я изучила большое количество дополнительной научной литературы по теме «Проценты», расширила и углубила свои знания по данному вопросу, овладела простейшими и более сложными процентными расчетами. В ходе написания работы мной рассмотрены различные способы решения задач на проценты. Особый интерес у меня вызвало решение задач, связанных с таким понятием, как «концентрация раствора», а так же задачи на смеси и сплавы. Мною было рассмотренно несколько интересных задач, которые могут встретиться учащимся и вызвать у них затруднения. Например, на банковские вклады или изменение стоимости товара. Кроме того, в работе есть раздел «Задачи для самостоятельного решения», которые позволят учащимся проверить свои знания и навыки по теме «Проценты». При написании работы я узнала много полезного и интересного и, думаю, что эти знания в дальнейшем мне очень пригодятся не только в учебе, но и в повседневной жизни.

Хочется ещё раз обратить внимание на актуальность темы данной работы, особенно в наше время, когда на первое место в отношениях выходит экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни. Поэтому считаю, что материалы данной работы могут пригодиться не только учащимся средних школ, но и учителям, студентам и даже людям, которые не имеют непосредственного отношения к математике.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров351
Номер материала ДВ-331052
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх