Творческая работа "Секреты устного счета"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 2 им. А.С.Пушкина»

г. Арзамас, Нижегородская область

V Всероссийский Вахтеровский фестиваль-конкурс

творческих работ по математике

«Красота и величие математики»

Творческие работы школьников по математике

«Секреты устного счета»

Ф.И.О. исполнителя:

Пятаева Валерия Евгеньевна, 7 класс

Ф.И.О. руководителя:

Огурцова Елена Михайловна

607230, Нижегородская область, г.Арзамас,

ул. Парковая ул., д.16/1

Тел./факс [phone]

E-mail: [e-mail]

2016 г.

Ну-ка в сторону карандаши.
Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.
Устный счёт! Мы творим это дело
Только силой ума и души.
 Числа сходятся где-то во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица,
Потому что считаем в уме.

                         Валентин Берестов

В наш век высоких компьютерных технологий умение быстро и правильно производить устные вычисления не утратило своей актуальности. Способность совершать математические действия в уме приходят на помощь человеку в учебе,  профессиональной деятельности, быту. Устный счет называют гимнастикой ума, помогающей в сложных жизненных ситуациях быстро находить правильные, нестандартные решения.

Устные вычисления активизируют мыслительную деятельность, развивают память, внимание, речь, быстроту реакции и что немаловажно,  повышают интерес к математике.

Устные вычисления экономят время при выполнении математических заданий. Я люблю использовать различные приемы вычислений, отличные от традиционных способов решения «в столбик».

Некоторые приемы устного счета мы узнали еще в начальных классах. Например, не забыть таблицу умножения на 9 нам помогают пальцы на руках:

Чтобы умножить 7 на 9, надо положить две руки перед собой, загнуть, отсчитав слева направо, 7 палец. Число пальцев от загнутого слева будет равно числу десятков, а справа -  числу единиц искомого произведения.  Итак, 7*9 = 63.

Зная переместительное и сочетательное свойства умножения, переставляя и группируя множители, можно легко решать на первый взгляд трудные примеры: 25*37*4  = (25*4)*37 = 100*37  = 3700.

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания), несложно устно найти произведение чисел: 47*5 = =(40+7)*5 = 40*5 + 7*5 = 200+35 = 235.

Когда одно из умножаемых чисел можно разложить на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например, 225*6 = 225*2*3 = 450*3 = 1350.

Зная результаты произведений 5*2 = 10, 25*4 = 100, 8*125 = 1000, легко решаются различного типа примеры:

64*(125*7*3) = (64*125)*7*3 = 8*8*125*7*3 = 8000*21 = 168000;  (8*28)*(125*25) = 8*28*125*25 = 8*125*4*25*7 = 1000*100*7 = 700000.

Чтобы умножить число на 4, можно дважды умножить его на 2, например, 62*4 = (62*2)*2  = 124*2 = 248.

При умножении на 8, воспользуемся этим методом три раза: 62*8 = (62*2)*2*2 = 124*2*2 = 248*2 = 496.

Изучая математику, мы открываем для себя новые  секреты устного счета.

Чтобы умножить число на  = 1+, достаточно к числу прибавить его половинку. Например, 68*.

Чтобы умножить число на  = 2+, надо удвоить это число и прибавить его половинку. Например, 84*.

Чтобы умножить число на = 2-, надо удвоить это число и вычесть его четверть. Например, 48*.

Мне интересно узнавать о новых способах вычисления, которые дают выигрыш в вычислительной работе, помогают безошибочно решать примеры, задачи, уравнения, неравенства.

Цель моей работы: изучить, научиться применять на практике различные способы быстрого устного счета.

Задачи:

·     Узнать различные способы устного счета, используя литературу и Интернет;

·     Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые пригодятся не только на уроках математики, но и в жизни;

·     Познакомить учеников школы (одноклассников, учащихся младших классов) с приемами устного счета на факультативных занятиях, на внеклассных мероприятиях с целью повышения интереса учащихся к математике;

·     Расширить свой кругозор, получить новые знания и умения.

В своей работе я рассматриваю способы устного счета относительно умножения. Думаю, что моя работа вызовет у вас такой же интерес, как и у меня.

Рассмотрим несколько оригинальных и очень красивых приемов устного счета.

Умножение чисел на 5. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10 и делят на 2, т.е. приписывают ноль и делят пополам. Например, 74*5 = 740:2 = 370; 243*5 = 2430:2 = 1215.

При умножении четного числа на 5 удобнее сначала делить пополам, и к полученному результату приписать 0.

Умножение чисел на 15, на 150. Чтобы четное число умножить на 15, достаточно к нему прибавить его половину и к сумме приписать 0. Например, 78*15 = 1170;  78+39 =117 и к 117 приписываем 0.

Чтобы четное число умножить на 150, достаточно к нему прибавить его половину и к сумме приписать два 0. Например, 24*150 = 3600; 24+12 = 36 и приписываем к 36 два нуля.

При умножении нечетного числа на 15, надо к нему прибавить целую часть его половины и к сумме приписать 5. Например, 39*15 = 585;  39+19 = 58 и к 58 приписываем 5.

Аналогично, при умножении нечетного числа на 150, надо к нему прибавить целую часть его половины и к сумме приписать 50. Например, 41*150 = 6150;  41+20 = 61, произведение равно 6150.

Интересны приемы умножения чисел на 11. Представьте следующую задачу:  32 надо умножить на 11.  Для ее решения складываем цифры 3 + 2 = 5, а затем помещаем пятерку между двойкой и тройкой. Ответ: 32*11 = 352.

         В примере 26 * 11=2 * 6, вместо * пишем число, которое является суммой 2 и 6.

         При умножении 67 * 11=6 * 7, вместо * надо записать результат суммы чисел 6 и 7, но это двузначное число, а на месте разряда десятков можно записать только одну цифру, поэтому на месте десятков мы пишем 3, а к 6 единицам, которые должны стоять на месте сотен прибавляем 1 и получаем 7.

Итак, 67 * 11 = 737.             

         Также быстро можно умножать на 11многозначные числа.

 Например, для задачи 314*11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454.

Рассмотрим еще пример: 78432*11= 862752.

Как и в предыдущем примере воспользуемся последовательным сложением цифр множимого справа налево и сразу же записываем результат умножения. Все рассуждения проводились устно в таком порядке: пишем 2, затем 5=2+3, 7=3+4, складываем 4 и 8, получаем 12, в ответ пишем 2 и 1 запоминаем, 8+7=15, да 1 запомнили, пишем 6, а 1 прибавляем к 7 и в ответ записываем 8. Получилось 862752.  

         Приемы умножения на 111.

Рассмотрим пример:  359 * 111=…9

В ответе на последнем месте записываем 9, т.к. 9 * 1 = 9.

Слева от 9 записываем цифру, которая получилась в результате сложения двух последних цифр в числе 359. Это 5 + 9 = 14, т.е. пишем цифру 4.

Затем находят суммы цифр, взятых по три, и прибавляют 1 (если есть переход через разряд).   (3 + 5 + 9) + 1 = 18

Перед цифрой 4 пишем цифру 8.

Затем находим сумму двух последних цифр: (3 + 5) + 1 = 9. Перед цифрой 8 пишем 9. На первом месте запишем цифру 3, т.к. она первая цифра в данном множителе.  Итак, 359 * 11 = 39849.

Пример: 3456 * 111 = …6

5 + 6 = 11, тогда записываем …16

(4 + 5 + 6) + 1 = 16, тогда записываем …616

(3 + 4 + 5) + 1 = 13, тогда записываем …3616

(3 + 4) + 1 = 8, тогда записываем …83616

Итак, 3456 * 111 = 383616.

Пример: 895123 * 111 = …3

2 + 3 = 5             …53

1 + 2 + 3 = 6       …653

5 + 1 + 2 = 8       …8553

9 + 5 + 1 = 15     …58553

(8 + 9 + 5) + 1 = 23    ….358553

(8 + 9) + 2 = 19         …9358553

8 + 1 = 9

Итак, 895123 * 111 = 99358653  

Красивая комбинация цифр получается при возведении в квадрат чисел 11, 111, 1111, …..…, 111111111. Эти ответы легко запомнить, выявив закономерность расположения цифр.

11*11= 121

111*111=12321

1111*1111=1234321

--------------------

111111111*111111111= 12345678987654321

При возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, необходимо запомнить следующие правила:

1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра.

2. Ответ заканчивается на 25.

         Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру 3 на 4, то есть на единицу бóльшую цифру, после чего приписываем 25. Так как 3 * 4 = 12, следовательно, ответ — 1225. Таким образом, 35 * 35 = 1225.

Аналогично, 95*95=9025, т.е. 9*10=90, это первые две цифры и приписываем 25.  Пример: 305*305 = 93025 (30*31 = 930 и приписываем в ответе 25.)

Разберем на примере возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25.  Перемножим 325 на 325:

 - в конце числа записываем 625,

- число сотен 3 умножаем на 5 (3*5 = 15), записываем 5, запоминаем 1, получаем …5625,

 - число сотен 3 возводим в квадрат и прибавляем 1, полученное число 10 приписываем к результату, получаем 325*325 = 105625.

Можно применить похожий прием при умножении двузначных чисел, с одинаковым числом десятков и суммой  единиц равной 10.

Ответ будет состоять из числа, полученного с помощью вышеописанного метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу бóльшую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.)  Так как 8 * 9 = 72 и 3 * 7 = 21, ответ — 7221. 

Аналогично, можно умножать числа с одинаковым числом десятков и суммой единиц, равной 10.

Например,  нам необходимо умножить 302 на 308.

- умножаем 30 на 31, записываем ответ – 930,

- умножаем единицы 2 на 8, приписываем к ответу 16.

Итак, 302*308 = 93016

Рассмотрим способ умножения двузначных чисел с одинаковым числом единиц и суммой  десятков равной 10. Например,  перемножим числа 63 и 43.

- перемножаем числа десятков и к полученной сумме прибавляем число единиц: 6*4 + 3 записываем в ответ число 27,

- находим произведение единицы данных чисел: 3*3 = 09, приписываем к ответу 09.  Итак, 63*43 = 2709.

Несложен способ умножения двузначных чисел от 10 до 20. Чтобы перемножить два двузначных числа величиной от 10 до 20, необходимо:

- к первому числу прибавить цифру единиц второго числа,

- данную сумму умножить на 10,

- к полученному результату прибавить произведение единиц данных чисел.    Например, 13*16= (13+6)*10 + 3*6= 190+18=208,

          19*16= (19+6)*10 + 9*6 = 250+ 54 = 304.

Аналогично выполняется умножение двузначных чисел величиной от 20 до 30.  Для этого необходимо:

- к первому числу прибавить цифру единиц второго числа,

- данную сумму умножить на 20,

- к полученному результату прибавить произведение единиц данных чисел.

Например, 23*26= (23+6)*20 + 3*6= 580+18=598,

                    24*28= (24+8)*20 + 4*8 = 640+ 32 = 672.

Производить умножение двух чисел, близких к числу 100 можно различными способами.    

1 способ. Например,  нам надо умножить числа 98 и 96.  До 100 первому числу не хватает 2 единицы, второму – 4 единицы.

- из 100 вычитаем сумму 2 и 4, результат умножаем на 100, получаем  (100-(2+4))*100=9400

- умножаем 2 на 4, прибавляем к предыдущему результату, записываем ответ 9408.

Итак, 98*96= (100 - (2 + 4))*100 + 4*2 = 9408.

2 способ. Умножаем числа 98 и 96, близкие к 100. До 100 первому числу не хватает 2 единиц, второму – 4 единиц.

 - из первого числа вычесть недостающие до ста единицы второго числа: 98 – 4 = 94,

 - найти произведение недостающих до ста чисел в обоих множителях 2*4 = 08  и приписать справа к полученному результату, получаем 9408.

Итак, 98*96 = 9408

98-4 = 94

2*4 = 08  

Необычный прием перекрестного умножения удобен при действии с двузначными числами. В старину он назывался «умножением крестиком». Данный прием применялся еще в древней Индии и имел название «молниеносный».

Рассмотрим пример: 54 * 26.

1)      Умножаем 4 на 6, получаем 24, пишем на месте единиц 4, а 2 запоминаем.

2)      5 умножаем на 6, получаем 30 и прибавляем цифру, которую запомнили, т.е. 2. Получаем 32. Запомним цифру 32.

3)      2 умножаем на 4, получаем 8 и прибавляем 32,получаем 40. Цифру 0 пишем перед 4.

4)      2 умножаем на 5 и прибавляем 4, получаем 14.

5)      Пишем 14 перед всеми записанными цифрами.

6)      Получили число 1404.

 Пример: 67 * 39 .

1)      7 * 9 = 63     …3

2)      6 * 9 + 6 = 60

3)      3 * 7 + 60 = 81  …1

4)      3 * 6 + 8 = 26

Итак, 67 * 39 = 2613

 Хочется отметить необычный «Русский» способ умножения чисел.

32*12 16*24 8*48 4*96 2*192 1*384

Этот способ этот был в обиходе у русских крестьян и унаследован ими из глубокой древности. Сущность его состоит в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Существуют в математике равенства – помощники, позволяющие быстро находить правильное решение.

Полезно запомнить: 37*3 = 111. Зная это равенство, можно выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т.п.

37*6 = 37*3*2 = 111*2 = 222,

37*9 = 37*3*3 = 111*3 = 333,

37*12 = 37*3*4 = 111*4 = 444,

37*15 = 37*3*5 = 111*5 = 555.

         Легко запомнить еще одно равенство: 7*11*13 = 1001.

Несложными для вычисления будут примеры следующего рода:

77*13 = 1001

77*26 = 2002

77*39 = 3003

и т.д.

91*11 = 1001

91*22 = 2002

91*33 = 3003

и т.д.

143*7 = 1001

143*14 = 2002

143*21 = 3003

 и_т.д.

Знание секретов устного счета позволяет показывать математические фокусы и помогает заинтересовать даже тех учеников, которые «не дружат» с математикой. Рассмотрим некоторые из них.

Фокус 1. Я предлагаю своим одноклассникам возвести в куб любое двузначное число и назвать мне результат. Зная таблицу кубов чисел от 1 до 10, можно легко «угадать» задуманное число.

Число	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Куб числа	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Например, при возведении в третью степень получили число 658503.

Первые три цифры 658 находятся между числами 512 (8 в кубе) и 729 (9 в кубе), значит, первая цифра задуманного числа лежит между 8 и 9. Берем меньшее из двух чисел, т.е. 8, это первая цифра ответа. По последней цифре 3 числа 658503 называем вторую цифру искомого числа: 7. Итак, задуманное число 87.

Фокус 2. Я прошу назвать любое число. Записываю это число на доске и предлагаю умножить его на число, изображаемое несколькими девятками. Секрет состоит в том, что число должно состоять из того же количества девяток, что и предложенное. Через пару секунд записываю ответ и предлагаю присутствующим проверить правильность решения.

Например, 23457 *99999 = 2345676543

Первые пять цифр произведения представляют собой число на 1 меньше заданного первого сомножителя (23456); следующие пять цифр (76543)  - это соответствующие дополнения до 9 к первым пяти цифрам результата.  

Фокус 3. Сложение в уме трех многозначных чисел. Один ученик записывает на доске произвольное многозначное число. Другой ученик записывает второе число, состоящее из того же количества цифр.  Я записываю третье число и предлагаю присутствующим найти сумму этих чисел. Сама же мгновенно делаю запись ответа. Предлагаю проверить правильность.

Секрет этого фокуса состоит в том, что  третье число надо записать такое, чтобы каждая цифра в сумме с соответствующей цифрой второго числа давала бы девять. Сумма этих трех чисел вычисляется легко: в ней будут цифры первого числа в том же порядке, только последняя цифра будет на 1 меньше и эта 1 ставится в самом начале вычисляемой суммы.

Например,    56784  +32175     67824   156783

Фокус 4.  “Угадать задуманное число”. Я предлагаю кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Следующий ученик, умножит это число на 2. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем листочек передается обратно. Я делю полученное число пополам и называю задуманное число.

Разгадка фокуса «спрятана» в одном из приемов устного счета, который был рассмотрен в моей работе. Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001 = 7*11*13, то есть получили задуманное трехзначное число, умноженное на 2.

Изучая различную литературу, статьи я открыла для себя очень интересные, необычные способы устного счета, а также, много различных закономерностей, красивых преобразований и неожиданных результатов.

Несмотря на то, что калькулятор стал помощником и неотъемлемой частью нашей жизни, мне хотелось бы научиться считать быстро и правильно.

Секреты устного счета доступны каждому, это не тайна «за семью печатями», а научно разработанная система. Ее можно изучать, ею можно овладеть и ее нужно применять. Множество предлагаемых устных методов умножения чисел  говорит о многолетнем интересе ученых и простых людей к этому вопросу. 

Применение секретов устного счета вызывает интерес к математике, позволяет экономить время,  развивает внимание, наблюдательность, смекалку, повышает культуру математических вычислений и помогает усваивать школьные предметы естественно-математического цикла.

Литература

1.   Артур Бенджамин, Майкл Шермер  «Магия чисел» Моментальные вычисления и другие математические фокусы. (Интернетресурсы)

2.   Гайштут А. «Нестандартные приемы устного счета»

3.   Гончар Д.Р. «Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры», в сборнике «Устный счёт и память». Донецк: Сталкер, 1998

4.   Давыдов М.А. Красота математики. –Н. Новгород, 2007

5.   Мартин Гарднер, Математические чудеса и тайны, Москва, “Наука”, 1982.

6.   Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Издательский дом: Дом занимательной науки, 1941. (Итернетресурсы)

7.   Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл.  – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2005