Научно-практическая конференция школьников

Открытие - 2015

 

 

 

 

Оптическое свойство параболы

 

 

 

 

 

 

 

Саратов

2015

 

 

3         4     8           10     11   13   16   17

Содержание

I    Введение…………………………………………………………………………

 

II  Теоретическая часть работы

Парабола как линия II порядка

1.      Каноническое уравнение

параболы…………………………………………………………………………….

 

2.      Нахождение фокуса и

директрисы параболы………………………………………………………..

 

III Практическая часть работы

 

1.      Пример расчёта координат

фокуса и составление уравнения

директрисы……………………………………………………………………….

 

2.      Составление уравнения

касательной………………………………………………………………………..

 

3.      Оптическое свойство параболы……………………………………………………

 

IV Заключение………………………………………………………………………..

 

Литература…………………………………………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I.                   Введение

 

Изучая математику в 8-9 классе, мы на уроках часто встречались с графиком квадратичной функции y=ax²+bx+c (a≠0).

Эта линия называется параболой. Казалось бы, всё ясно об этой линии. Однако, ещё очень много интересное можно узнать о параболе. Мы слышали также, что для этой линии существует особая точка – фокус. Знание координат этой точки даёт возможность использовать в технике особое свойство

параболы – её оптическое свойство. Введение геометрического определения параболы, изучение её оптического свойства , умение для любой параболы определять координаты фокуса и составлять уравнение директрисы стали целями моей работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Теоретическая часть работы

Парабола как линия II порядка

1.      Каноническое уравнение параболы.

 

В энциклопедиях парабола определяется как геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Используя это определение, получим каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат.

 

Задача.  

Составить уравнение геометрического места точек, для каждой из которых расстояние до данной прямой равно расстоянию до данной точки, не лежащей на данной прямой.

 

Решение. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём прямоугольную систему координат.

Начало – т. О – поместим в середину отрезка FH, ось Ох проведём параллельно прямой d.

Уравнение прямой d   y=-.

Точка F имеет координаты (0; ).

MF=ρ(M;d)

Пусть т. М(х;у) принадлежит искомому геометрическому месту точек.

Тогда

 

 

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра.

Проводим ММ₁ d.

Тогда ММ₁= ρ(M;d).

Тогда М₁ имеет абсциссу, такую же, как и т. М; ординату, равную

-.

То есть, М₁(х;- ).

Находим расстояние ММ₁:

 

ММ₁===|у+|.

 

Находим расстояние MF:

 

MF=

 

Поскольку МF=MM₁, получаем:

 

=|у+|.

 

Упрощаем его, возводя в квадрат обе его части. Получаем уравнение, равносильное данному, так как обе части уравнения могут принимать только неотрицательные значения.

 

х²+(у-)²=|у+|², (т. к. |а|²=а²)

 

х²+(у-)²=(у+)²

 

х²+у²-2*у*+=у²+2*у*+,

х²=2ру,

у=х2

 

 

 

Полученное уравнение и есть уравнение искомого геометрического места точек. Оно является уравнением второй степени с двумя переменными.

Координаты любой точки, для которой равны расстояния до прямой d и до точки F, удовлетворяют полученному уравнению. Но для всякой другой точки плоскости координаты этому уравнению удовлетворять не будут.

 

Полученное уравнение – хорошо нам знакомо. Это формула квадратичной функции, т. е. уравнение параболы (с точки зрения школьного определения параболы).

Обозначим а=. Тогда уравнение имеет вид у=ах².

р=

 

Таким образом, у параболы, заданной в прямоугольной системе координат уравнением у=ах², фокус находится в точке F(0; ), а директриса имеет уравнение у=-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.      Нахождение фокуса и директрисы параболы у=ах²+bх+с (а≠0).

 Зададимся теперь вопросом: где находятся фокус и директриса параболы, заданной в прямоугольной системе координат уравнением у=ах²+bх+с (а≠0).

Выделим квадрат двучлена:

 

у=ах²+bх+с=а(х²+2*х* + - +)=

 

=a((x+)²-)=a(x+)²-

Вершина параболы имеет координаты A(-; -).

Построим теперь вспомогательную систему координат Ах′у′, переместив начало в вершину параболы точку А, оси координат которой сонаправлены с Ох и Оу.

В новой системе точка А имеет координаты (0;0).

Точка F – фокус параболы – в системе Ах′у′ имеет координаты F(0;).

Тогда в системе Оху эта точка имеет координаты

(0-;-), т. е. F(-;).

 

Директриса d в системе Ах′у′ задаётся уравнением у=-.

В системе Оху её уравнение будет следующим:

 

у=--;  у=-.

 

 

 

 

 

 

 

 

II.                Практическая часть работы

1. Пример расчёта координат фокуса и составления уравнения директрисы.

 

Задача.

Для параболы у=2х²-х-1 найти фокус и директрису.

Решение.

 

D=b²-4ac;  D=(-1)²-4*2*(-1)=9.

 

F(-;)

 

F(;-)=F(;-1) – фокус.

 

Директриса: у=-

 

 

2. Составление уравнение касательной к параболе.

 

Изучение оптического свойства параболы требует, чтобы мы умели составлять уравнение касательной к параболе.

                                       

Задача.

Вывести уравнение касательной к параболе у=ах² в точке с абсциссой х₀.

 

Решение.

Сначала составим уравнение секущей к параболе – прямой ММ₁.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные точки (х₀;у₀) и (х₁;у₁)

 

=

 

у=( ах₁²- ах₀²)* + ах₀²

у=а(х1+х0)(х-х0)+ах02

 

 

 

Составленное уравнение – уравнение секущей М₀М₁.

Касательная к кривой в данной точке М₀ – это предельное положение секущей М₀М₁ при условии, что точка М₁ стремится к точке М₀ по данной кривой.

Таким образом, если М₁→ М₀, то х₁→х₀,  х₁+х₀→2х₀.

 

Значит, уравнение касательной будет таким:

у=2ах₀(х-х₀)+ах₀².

Значит

B(;0).

 

 

 

Нам потребуется эта точка при рассмотрении оптического свойства параболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Оптическое свойство параболы.

 

Парабола обладает очень интересным оптическим свойством.

 

Представим себе, что в фокусе параболы (точке F) помещён источник света. Пусть луч света достиг параболы и отразился от неё. Отражение происходит от бесконечно малого прямолинейного участка, лежащего на касательной к параболе.

Поставим задачу найти направление отражённого луча   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

В оптике известен закон: угол падения равен углу отражения.

d

 

F(0; )

С(x₀;-)

Найдём координаты середины отрезка FС: =;

=0.

Эта точка имеет координаты (;0).

Она совпадает с т. B пересечения касательной к параболе с Ох.

Тогда BE – медиана р/б ∆ →BE – биссектриса.

Т. Е. <BEF=<BEC_, тогда <BEC=<МЕК_.

Тогда понятно, что углы <BEC и <МЕК – вертикальные.

 

 

Значит, поскольку луч ЕС||Oy, то  направление отражённого луча ЕМ совпадает с Оу.

Таким образом, мы доказали следующее утверждение:

Любой луч света, исходящий из фокуса, после отражения от параболы становится параллельным оси параболы.

 

Оптическое свойство параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов. Представим себе, что парабола у=ах² вращается в пространстве вокруг своей оси симметрии, то есть оси Оу. При таком вращении образуется поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Прожектор.

Отражатель прожектора делают в форме параболоида вращения, а источник света помещают в фокус параболы, от вращения которой получается этот параболоид вращения. Лучи света, выходящие из источника, отразившись от внутренней зеркальной поверхности отражателя, образуют узкий направленный пучок света, параллельный оси параболы. Это позволяет освещать удалённые предметы.

Спутниковая параболическая антенна.

Этот инновационный тип телевизионных антенн был разработан на основе топологических свойств геометрической кривой - параболы, которая обладает способностью собирать разнонаправленные пучки волн в одну точку, называемую фокусом. Именно в фокусе параболической антенны расположено специальное устройство - конвертер, который передаёт преобразованный из волны высокочастотный сигнал на ресивер спутникового телевидения. Вполне естественно, что спутниковые параболические антенны обладают максимальной эффективностью в плане захвата волнового сигнала на огромном расстоянии, включая околоземную орбиту, что и позволяет этим устройствам служить неотъемлемой частью систем спутникового телевидения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 В данной работе получены следующие результаты:

- дано определение параболы, не связанное с системой координат, даны  понятия фокуса и директрисы параболы;

 

-  парабола рассмотрена как линия II-ого порядка, получены формулы расчёта координат фокуса и уравнения директрисы произвольной параболы.

 

- доказано оптическое свойство параболы и приведены примеры его использования в технике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

 

- Геометрия. Доп. Главы к учебнику 9 кл. Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

 

- Геометрия 10-11 Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

 

- Алгебра и начало анализа : учеб. Для 10-11 кл. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.

 

- http://files.school-collection.edu.ru.html

 

- https://ru.wikipedia.org