Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Творческая работа ученика 8 класса по теме"Числа Мерсенна"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Творческая работа ученика 8 класса по теме"Числа Мерсенна"

библиотека
материалов

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Автономной Республики Крым

Гпавное управление образования и науки Сакской райгосадминистрации

Сакское территориальное отделение МАН Украины

Секция математики

Сакский районный филиал









ЧИСЛА МЕРСЕННА





Работу выполнил

Айсинов Иван, учащийся 8 класса, кдч

(Сакский район, Митяевская ОШ)



Научный руководитель

Будякова Л.В. учитель математики

Митяевской ОШ







с. Митяево-2012г.

Математика, как и большинство современных наук, в настоящее время развивается со все возрастающей скоростью. В мире выходят сотни математических журналов, в которых публикуется много научных работ. А более трехсот семидесяти лет назад никаких математических журналов, а тем более Интернета, еще не было, и ученые обменивались результатами своих исследований в личных письмах. Правда, был один человек- французский монах Марен Мерсенн, живший в 1588-1648 годах, который получал таких писем больше других. Написать об открытии новой теоремы Мерсенну означало установить свой приоритет, поскольку Мерсенн, как правило сообщал об этом остальным своим корреспондентам, в числе которых были Р. Декарт, Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс и многие другие ученые того времен.

Я нашел в книге »История математики» упоминание о простых числах, совершенных числах. Заинтересовался этим вопросом, прочитал еще некоторые книги и журналы, где содержалось упоминание о числах Мерсенна.

Изучил геометрическую прогрессию из курса 9 класса.

Вычислил некоторые из чисел Мерсенна и обнаружил закономерность, затем доказал, что числа вида hello_html_m5fa6a6af.gif- простое число Мерсенна, -это совершенные числа. Это такие замечательные числа.





























Марен Мерсенн родился в крестьянской семье 8.09.1588году, в посёлке Уазе; в наши дни это департамент Сарта. Учился в иезуитском коллеже в Ла-Флеш, вместе с Декартом, тесную дружбу с которым Мерсенн пронёс через всю жизнь.

В 1611 году Мерсенн присоединился к францисканскому ордену «минимов». Далее он продолжил обучение в Париже. В 1613 году был рукоположен в священники, но не прекратил обучения, занявшись математикой, музыкой и философией. Совершил несколько путешествий по Европе, побывал в Италии, Германии, Голландии и других странах. Во время поездок приобретал новые знакомства, завязывал переписку, слушал лекции в местных университетах. Затем Мерсенн вернулся в Париж, поселился в монастыре и последующие десятилетия отдал науке и преподаванию философии.

Став до некоторой степени центральной фигурой, объединяющей учёных разных стран в области физико-математических наук, своей деятельностью Мерсенн выполнял, в ограниченных, конечно, размерах, функции не существовавшей ещё в его время Парижской Академии наук. В течение его продолжительного пребывания в Париже у него еженедельно происходили собрания математиков и физиков, с целью взаимного обмена идеями и мыслями, а также информирования о результатах предпринятых исследований (четверги Мерсенна). Позднее из этого кружка образовалась, при содействии Кольбера, Парижская Академия наук (1666).

На протяжении первой половины XVII века Марен Мерсенн был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени. Эта переписка имеет огромную научную и историческую ценность. Имеет также серьёзные личные научные заслуги в области математики, акустики и теории музыки.

Мерсенн вёл чрезвычайно оживлённую переписку (на латинском языке), представляющую громадный исторический интерес. В числе его 78 корреспондентов, кроме Декарта, были Галилей, Кавальери, Паскаль, Роберваль, Торричелли, Ферма, Гюйгенс, Гассенди, Дж. Б. Дони и многие другие. Научная периодика тогда не существовала, и деятельность Мерсенна значительно способствовала быстрому прогрессу физико-математических наук. 17-томное собрание переписки Мерсенна было издано в Париже в 1932-1988 годах. Умер 1.09.1648году, не дожил до 60-летия семи дней.

Эта деятельность Марена Мерсенна способствовала созданию в Париже Академии наук.

Я заинтересовался деятельностью Марена Мерсенна, решил заняться этим вопросом и обнаружил в его работе необыкновенные числа, которые впоследствии стали называться числами Мерсенна.

Из собственных математических достижений Мерсенна наибольшей популярностью пользуются изученные им числа вида hello_html_m60f97d32.gif.

Тот, кто знает, что такое геометрическая прогрессия, сразу заметит, что hello_html_3a1d1efc.gif равняется сумме первых n членов геометрической прогрессии с первым членом hello_html_4dd87605.gif= 1 и знаменателем 2:

hello_html_m6a6f645f.gif

hello_html_4e525e3f.gif

Мерсенна интересовало, какие из чисел hello_html_m60f97d32.gif являются простыми, то есть такие натуральные числа, которые имеют два натуральных делителя.

Вопрос этот возник в задаче, поставленной еще древними грекам. Они занимались совершенными числами- числами, равными сумме всех своих натуральных делителей, отличных, конечно же, от самого числа. Например, 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 – первые три совершенных числа.

Простые числа, получающиеся по формуле hello_html_3a1d1efc.gif=hello_html_m59fd9c0e.gif, и называются числами Мерсенна.

Попробовал и я коснуться проблемы поиска чисел Мерсенна. Вычислил несколько первых чисел по формуле и записал их по порядку в таблицу из четырех столбиков.

hello_html_29610d5f.gif= 1

hello_html_4e45cc8e.gif= 31

hello_html_33a88dc2.gif= 511

hello_html_m335c8d3d.gif= 8.191

hello_html_m4c803857.gif= 131.071

hello_html_m5d8fa9e4.gif= 2.997.151

hello_html_m7acd3300.gif= 33.554.431

hello_html_4ff446ef.gif= 536.870.911

hello_html_30752dfe.gif

hello_html_4edf723d.gif

hello_html_28ab6d5c.gif= 3

hello_html_4f8fac8d.gif= 63

hello_html_m6116e5cb.gif= 1.023

hello_html_m4e619da4.gif= 16.383

hello_html_m5b42eac0.gif= 262.143

hello_html_ba53657.gif= 4.194.303

hello_html_m70197480.gif= 67.108.863

hello_html_4a046c4.gif= 1.073.741.823

hello_html_30752dfe.gif

hello_html_m7a029f82.gif

hello_html_m35d671c9.gif= 7

hello_html_m619714d.gif= 127

hello_html_m5928b557.gif= 2.047

hello_html_4478b414.gif= 32.767

hello_html_m7141c005.gif= 524.287

hello_html_de90bd7.gif= 8.388.607

hello_html_5e7aa986.gif= 134.217.727

hello_html_3c9e1658.gif= 2.147.483.647

hello_html_m1d670e05.gif

hello_html_m73c01bc4.gif

hello_html_5eddedb0.gif= 15

hello_html_m7a3e5004.gif= 255

hello_html_f022ae2.gif= 4.095

hello_html_62e3e5af.gif= 65.535

hello_html_2b725a6c.gif= 1.048.575

hello_html_70d41b48.gif= 16.777.215

hello_html_11265519.gif= 268.435.455

hello_html_m6ab489ed.gif=4.294.967.295

hello_html_m1d670e05.gif

hello_html_70b98270.gif



Первое наблюдение: числа, попадающие в один и тот же столбец, оканчиваются на одну и ту же цифру. А именно, числа, попадающие в первый столбец, оканчиваются на 1, во второй столбец – на 3, в третий столбец – на 7, а в третий – на 5. Это обусловлено тем, что первая степень числа 2 оканчивается цифрой 2, вторая – цифрой 4, третья – цифрой 8, четвертая – цифрой 6, а дальше идет повторение 2, 4, 8, 6, ровно через 4, а если вычесть 1, то и получатся цифры 1, 3, 7, 5. Значит, числа hello_html_3a1d1efc.gif, попадающие в четвертый столбец делятся на 5, и среди них не может быть чисел Мерсенна.

Несложно доказать и второе наблюдение: числа, попадающие во второй столбец делятся на 3. В самом деле, числа hello_html_3620bd99.gif при k=1равно 3 и делится на 3, допустим, чтоhello_html_3620bd99.gif делится на 3, докажем, что иhello_html_m272be124.gif делится на3. Составим разность hello_html_m272be124.gif и hello_html_3620bd99.gif :

hello_html_353e141f.gif

Разность и одно из чисел делится на3, значит, и второе число тоже делится на 3. Поэтому, если число hello_html_3620bd99.gif делится на 3, то и числоhello_html_m272be124.gif делится на 3 по принципу математической индукции.

Поэтому числа Мерсенна (за исключением hello_html_7d80ea0e.gif=3) имеет смысл искать в первом и третьем столбцах.

Более пристальное изучение чисел hello_html_m60f97d32.gif приводит к третьему наблюдению: если n – составное число, hello_html_m20f0e6f9.gif, то hello_html_3a1d1efc.gif делится на hello_html_34ade7e2.gif и на hello_html_m7253b3d0.gif. Это следует из того, что hello_html_m40f9d8e0.gif, а hello_html_m1f3f464d.gif. Кстати, из третьего наблюдения вытекают и первые два, поскольку все числа из второго столбца делятся на 3, а в четвертом делятся на 5.

Итак, число hello_html_m59fd9c0e.gif будет простым только при условии, что n – простое.

Но для любого ли простого р число hello_html_m30673d25.gif , будет простым? Надежда на положительный ответ рушится очень быстро: уже число hello_html_m5928b557.gif=2047=23hello_html_7e6cc508.gif89 является составным.

Сам Мерсенн указал все простые значения n, не превосходящие 257, для которых, по его мнению, числа hello_html_3a1d1efc.gif=hello_html_m59fd9c0e.gifбудут простыми. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснилось, что его предположение оказалось частично ошибочным.

И снова вернемся к так называемым совершенным числам. Еще Евклид доказал, что ели число hello_html_m59fd9c0e.gif простое, то число hello_html_12b32d85.gif- совершенное. Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют вид hello_html_12b32d85.gif, где hello_html_m59fd9c0e.gif - число Мерсенна.

Я докажу это. Выпишу все делители этого числа: hello_html_m2bb87f45.gif .

Найду их сумму: hello_html_2bd7b915.gif)hello_html_m6ab6145.gif Значит, hello_html_12b32d85.gif - число совершенное.



















































Поисками чисел Мерсенна занимался и Леонард Эйлер, член Петербургской Академии наук, один из величайших математиков Нового времени. В 1750 году он обнаружил десятое по счету число Мерсенна; это hello_html_7491f450.gif

Если раньше поиск чисел Мерсенна велся “кустарным и” методами, то в 20 и21 веках в работу включилась ЭВМ, считающие с огромной скоростью. В 1952 сразу было найдено пять новых чисел Мерсенна:hello_html_m687199ae.gif ; они являются соответственно тринадцатым- семнадцатым числами Мерсенна. Следующие числа были найдены в период с 1957 года по 1963 год. Наконец, в 1971 году найдено 24-е число hello_html_m532dc9ae.gif. В 1978 году – 25-е число hello_html_f4a563f.gif, в 1979году – 26-е и 27-е числа hello_html_m703c8bf5.gif. До настоящего времени были известны только 44 числа Мерсенна, последнее из которых 232582657 - 1 было найдено еще в 2006 г. тоже участниками Great Internet Mersenne Prime Search. Независимые эксперты подтвердили нахождение 45-го и 46-го по счету известных человечеству чисел Мерсенна в 2008 году.

В наши дни Мерсенн известен более всего как исследователь «чисел Мерсенна», играющих важную роль в теории чисел, криптографии и генераторах псевдослучайных чисел. Большие простые числа используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел Атака «человек посередине»— термин в криптографии, обозначающий ситуацию, когда атакующий способен читать и видоизменять по своей воле сообщения, которыми обмениваются корреспонденты, причём ни один из последних не может догадаться о его присутствии в канале.

В криптографии, протокол поиска информации (PIR) позволяет потребителю (или игроку) получить интересующую его частную информацию с сервера. Причём сервер не сможет распознать какая именно часть его информации стала известна игроку. Задача : Есть база данных состоящая из битов. Есть игрок, который хочет достать бит номер так, чтобы база данных содержащая все битов не смогла узнать никакой информации какой именно бит достал игрок. Тривиальное (но не эффективное) решение состоит в посылке всех битов игроку, включая искомый им бит. Другой путь — использование PIR-протокола где игрок задаёт вопрос (функцию) базе данных. Последняя берёт эту функцию, прилагает её ко всей совокупности базы данных и получает ответ, который высылается обратно игроку. Условия этой игры следующие:

1) Длина суммы вопроса (функции) и ответа должна быть много меньше чем n.

2) игрок должен для любого бита послать такой вопрос, чтобы ответ был правильный, то есть бит был верно получен.

3) База данных не может ничего узнать по поводу этого игрока.











































Литература.

  1. И.Н.Виноградов И.Н.Математическая энциклопедия.- М.: Советская энциклопедия. 1977.- с.123.

  2. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-9кл.-М.: Просвещение,1983.

  3. О.М.Мамедов. Числа Мерсенна. //Журнал «Квант» №10, 1986г.-с.24-25.

  4. П.П.Орлов. Новые методики решения задач о числах. –М.: изд-во Либроком,2011.-с. 34-37.

  5. Яковлев. А. Я. Леонард Эйлер.-М.: Изд-во «Просвещение»,1983.-с.41-42.

  6. Ю.В.Королев.: Совершенные числа. //Журнал «Квант» №6, 1972г.- с.27-28.











































hello_html_m1bfeadf9.png















hello_html_29610d5f.gif= 1

hello_html_4e45cc8e.gif= 31

hello_html_33a88dc2.gif= 511

hello_html_m335c8d3d.gif= 8.191

hello_html_m4c803857.gif= 131.071

hello_html_m5d8fa9e4.gif= 2.997.151

hello_html_m7acd3300.gif= 33.554.431

hello_html_4ff446ef.gif= 536.870.911

hello_html_30752dfe.gif

hello_html_4edf723d.gif


hello_html_28ab6d5c.gif= 3

hello_html_4f8fac8d.gif= 63

hello_html_m6116e5cb.gif= 1.023

hello_html_m4e619da4.gif= 16.383

hello_html_m5b42eac0.gif= 262.143

hello_html_ba53657.gif= 4.194.303

hello_html_m70197480.gif= 67.108.863

hello_html_4a046c4.gif= 1.073.741.823

hello_html_30752dfe.gif

hello_html_m7a029f82.gif

hello_html_m35d671c9.gif= 7

hello_html_m619714d.gif= 127

hello_html_m5928b557.gif= 2.047

hello_html_4478b414.gif= 32.767

hello_html_m7141c005.gif= 524.287

hello_html_de90bd7.gif= 8.388.607

hello_html_5e7aa986.gif= 134.217.727

hello_html_3c9e1658.gif=2.147.483.647

hello_html_m1d670e05.gif

hello_html_m73c01bc4.gif

hello_html_5eddedb0.gif= 15

hello_html_m7a3e5004.gif= 255

hello_html_f022ae2.gif= 4.095

hello_html_62e3e5af.gif= 65.535

hello_html_2b725a6c.gif= 1.048.575

hello_html_70d41b48.gif= 16.777.215

hello_html_11265519.gif= 268.435.455

hello_html_m6ab489ed.gif=4.294.967.295

hello_html_m1d670e05.gif

hello_html_70b98270.gif






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

 Это творческая работа ученика 8 класса на тему "Числа Мерсенна", которую он выполнил с моей помощью и с использованием интернета.

 Математика,как и большинство современных наук, в настоящее время развивается со все возрастающейскоростью. В мире выходят сотни математических журналов, в которых публикуется много научных работ. А более трехсот семидесяти лет не было математических журналов, а тем более Интернета, и ученые обменивались результатами своих исследований в личных письмах. Правда был такой такой человек- французкий монах Марен Мерсенн, живший в 1588-1648 годах, который получал таких писем больше других. Ему писали Р.Декарт, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс и многие другие ученые того времени.

 

 

 

Автор
Дата добавления 10.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1323
Номер материала 182686
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх