Творческий проект по математике:"Мир флексагонов"

 Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №3 имени К.А. Москаленко»

                          Творческий проект: «Удивительный мир   флексагонов.»

           Работу выполнил:    

 Новодворский Серафим

9В класса

Руководитель учитель математики:

Чеботарева Марина Викторовна

                                                    Липецк

                                                       2020 

                                       Оглавление

Введение…   …………………………………………...……                  3           

1.     История открытия флексагонов……………………………………………..  5

2.     Флексагоны. Виды флексагонов……………………………………….……. 8

3.     Складывание  флексагонов 

4.     Мои флексагоны                                                 …………….…..                     .9

5.     Применение флексагонов…………………………………………………..…13

6.     Заключение………………………………………………………………….… 14

7.      Литература                                         ………………………………………..  15

8.         Приложение

                                            Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

Многие считают, что математика неинтересна и состоит только из формул, задач, решений уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что это разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Сегодня в магазинах можно найти много различных игрушек, в то же время дети и взрослые любят заниматься рукоделием. Бумажное творчество – это одно из любимых занятий многих людей. Очень многие известные люди занимались различными видами бумажного искусства, которые хранятся в музеях стран мира.

Лист бумаги таит в себе много интересного, особенно привлекательны головоломки из бумаги. Увлекательными головоломками являются и флексагоны, которые не сложно изготовить самому. Флексагоны и подобные им фигуры обладают необычной способностью изгибаться разными способами, при перегибании флексагонов одни поверхности прячутся внутрь, показывая новые грани

        Актуальность выбранной темы связана с  тем, что на первый взгляд флексагоны и им подобные фигуры всего лишь игрушки, но они сумели привлечь внимание в различных отраслях. Это шарнир двойного действия, который используется для петель дверей и окон ,в креплениях на настенные телевизоры. Флексагоны связаны со многими математическими понятиями :лентой Мебиуса, тором (тороидом). Необычный цикл изгибания фигур привлекает к ним внимание рекламных акций, так как, к любому флексагону можно прикрепить плоский предмет . В форме флексагонов закручены молекулы веществ.

Анализ структуры флексагонов очень трудоемок, статьи о них можно встретить даже в специализированных журналах, например, таких, как «Наука и жизнь», «Квант». Всегда интересно встретить что-то необычное, будь то предметы интерьера или даже стенды с рекламой. Такие вещи привлекают внимание, и если они сделаны качественно, то поднимают нам настроение и радуют глаз.

   Практическая значимость данной работы исходит из возможности построения различного рода моделей флексагонов из любых материалов и для любых предметов, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни.

Цель проекта – изучить и изготовить некоторые модели флексагонов  ,

Задачи проекта:

1)     познакомиться с историей и видами моделей флексагонов;

2)     изучить схемы построения флексагонов

3)     изготовить  некоторые модели флексагонов

4)      рассмотреть использование флексагонов в повседневной жизни

 Гипотеза: удивительный мир флексагонов  тесно связан с математикой и может способствовать развитию творчества ,логического мышления.

История открытия флексагонов

Благодаря разнице в системах измерения стран мира и различным дизайнерским решениям обычных для нас вещей, а именно, разница размера «официального» американского листа, который короче привычного для нас листа формата А4 на 18 мм, была открыта необычная математическая модель, занимательная игрушка под названием флексагон.

В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску.

Рис.2. Места сгиба полоски бумаги для получения равностороннего шестиугольника

 Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон -  82 способами…

Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок.

Флексагоны. Виды флексагонов.

Таким образом, флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу .

В Советском союзе, а в последствии и в России также занимались изучением флексологии, в периодическом издании «Наука и жизнь» публиковались серии статей про эти занимательные головоломки. Были представлены развертки простейшего флексагона – с тремя сторонами, развертка гексагексафлексагона , крестообразная развертка тетрагексафлексагона, ряд исследований И.Д. Кана по гемитетра- и гемигексафлексагонам.                                                                             Флексагон (от англ. to flex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.                                                                                                                               Флексагоны бывают следующих видов: унагексафлексагон, дуогексафлексагон, тригексафлексагон , тетрагексафлексагон, пентагексафлексагон.  .

Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.)                                                                                                   Тригексафлексагон: «три» - число поверхностей, «гекса» - число углов. Гексагексафлексагон: «гекса» - число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов

Флексагоны низших порядков                                                                           Унагексафлексагон

Полоска из трех треугольников, с соединенными концами, в виде листа Мёбиуса с треугольным краем. Это лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников, поэтому его можно назвать унагексафлексагоном, но при этом, у него нет шести сторон и он не может складываться. Следовательно, как представитель класса флексагонов, унагексафлексагон мало интересен.

                                   Дуогексафлексагон

Шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала) (рис.1). По сравнению с унагексафлексагоном он имеет две стороны, но также не складывается.

Рис.1– Дуогексафлексагон

Тетрагексафлексагон

Существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски (рис.2):

Рисунок 2 – Полоска бумаги для складывания тетрагексафлексагона

Пентагексафлексагон

Этот вид флексагона складывают полоски бумаги, изображенной на рис.3:

Рисунок 3 - Полоска бумаги для складывания пентагексафлексагона

Гептагексафлексагон

Число форм таких флексагонов четыре, так как складывают его из трех полосок бумаги (рис.3), при этом первую можно сложить двумя различными способами. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал "флексагонными улицами": их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на "пути Таккермана" они встречались по порядку номеров, как дома на улице .

Рис. 3- Полоски бумаги для складывания гептагексафлексагона

Остановимся подробнее на складывании   тритетрафлексагона.

Тритетрафлексагон

Тритетрафлексагон ‒ флексагон с тремя поверхностями, который имеет форму квадрата.

Он делается из Z-образной полоски бумаги (Рис. 1а).

Рис. 1а

Обратная сторона:

Рис. 1б

Полоску перегибают и склеивают (Рис. 1с):

Рис. 1с.

Для того, чтобы увидеть третью его сторону, нужно перегнуть флексагон вдоль вертикальной оси, а затем раскрыть его с обратной стороны.

Тетратетрафлексагон

Тетратетрафлексагон ‒ флексагон с четырмя поверхностями, который имеет форму квадрата.

Существует, по крайней мере, шесть типов четырёхсторонних тетрафлексагонов. Один из таких тетратетрафлексагонов делается из прямоугольника, разделенного на 12 квадратов (Рис. 2а).

Рис. 2а

Для изготовления модели нужно вырезать по пунктирной линии и сложить квадраты:

Рис. 2б

Для того, чтобы увидеть остальные его стороны, нужно последовательно открывать четырёхугольник аналогично тритетрафлексагону.

Гексатетрафлексагон

Гексатетрафлексагон ‒ флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму квадрата.

Эта игрушка представляет собой совсем другой тип тетрафлексагона: его можно сгибать вдоль и поперек.

Для его изготовления требуется бумага, вырезанная в форме квадратной рамки (Рис. 3а). Перегибая его вдоль осей, можно увидеть стороны, помеченные цифрами от 3, 4 или 5. Если брать рамки большего размера, можно построить флексагоны с числом поверхностей.

 

Рис. 3а.

Сгибаем по схеме и склеиваем (Рис. 3б):

Рис. 3б.

                                                       Тригексафлексагон

Тригексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с тремя поверхности, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая из трех поверхностей флексагона состоит из шести треугольников.

Для создания тригексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 10 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.

Рис. 4а

Вторая сторона полоски:

Рис. 4б

Полоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников

Рис. 4в

Подогнуть последний треугольник вниз (треугольники со звездочками) и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник. 

Рис. 4г

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.

Для создания гексагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 19 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.

Рис. 5а

Вторая сторона полоски:

Рис. 5б

Полоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников:

Рис. 5в

Перегнув полоску еще раз, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый. Подогнуть последний треугольник вниз и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник. 

Рис. 5г

Схема переворачивания гексафлексагонов:

Рис. 5д.

Тетрагексафлексагон

Тетрагексафлексагон ‒ флексагон с четырьмя поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.

Для создания тетрагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 13 треугольников с равными сторонами в виде зигзага. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры) .

Рис. 6а.

Обратная сторона:

Рис. 6б.

Складываем по схеме, аналогичной предыдущей.

                           Флексоры

Флексор – многогранник, изгибая который можно увидеть другие грани.

Больше всего понравился флексор, называмеый куб Йошимото. Он состоит из 2 частей по 8 кубиков.

Рис. 7а

Для его изготовления нам понадобится 16 заготовок, которые вырезаются из схемы:

Рис. 7б

Вырезав заготовку, ее нужно согнуть по всем линям и склеить с помощью скотча. Должна получить такая половина куба:

Рис. 8

После этого склеиваем с помощью скотча по два кубика. Главное при склейке – склеить правильно, иначе куб не будет правильно раскладываться.

Рис. 9а

Затем склеиваем пары кубиков:

Рис. 9б

И наконец, собираем первую половину куба:

Рис. 9в

Аналогично собираем вторую половину куба и накладываем их на друга. Получаем готовый куб.

  

Рис. 10

Если что-то перепутали в процессе, скотч легко удаляется и процесс можно повторить. В результате должен получиться кубик, который выворачивается наизнанку (можете пометить одну из сторон одного кубика и убедиться, что в одном положении она видна, а в другом – нет).

Флексманы

Флексманы – переводятся как «гнущиеся человечки». У них действительно человеческий дар: когда флексман ставят на отклоненную под углом плоскость, он начинает «идти» по ней мелкими шажками.

Флексман делают из квадрата бумаги, который сгибают по диагоналям сгибом вверх, а посередине ‒ сгибов вниз:

Далее складываем квадрат в треугольник по уже намеченным линиям и четыре раза сгибаем по штриховой линии:

Рис. 11

В конце работы нужно только отогнуть маленькие треугольники с четырех сторон, и флексман готов начинать путь по наклонной плоскости.

                                            Мои флексагоны

По найденным разверткам  в интернете я изготовил  следующие флексагоны : унафлексагон,  дуафлексагон,  тритетрафлексагон , гексатетрафлексагон, вращающееся  кольцо тетраэдров (флексор), попытался сложить куб Йошимото.

Остановлюсь на изготовлении  и сложении  тритетрафлексагона, который  имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Его легко сложить из полоски бумаги, изображенной на рисунке 12 (а - лицевая, б - оборотная сторона полоски).

а                                             б

Рис. 12

Перевернув полоску бумаги оборотной стороной вверх, перегнем ее слева направо вдоль вертикали, разделяющей две тройки, а затем загнем самый правый нижний квадрат (рис. 12в)

Рис. 12 в.

Склеим его оборотную сторону с верхним квадратом лентой (рис. 12г).

Рис. 12г

На верхней поверхности окажутся квадраты с двойками, на нижней – квадраты с единицами. Перегнем тритетрафлексагон по вертикальной оси и сложим его вдвое так, чтобы квадраты с двойниками оказались снаружи. Вывернув получившуюся «книжечку» спереди, мы увидим, что квадраты с единицами исчезли, спрятались внутрь, зато стали видны квадраты с тройками.Из получившегося флексагона мы решили сделать календарь, поскольку он имеет 12 квадратов с двух сторон. После этого я сделал гексатетрафлексагон.  Для изготовления потребовался прямоугольный кусок тонкого картона .Его разделили на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на рис. 14а.

а                              б

Рис. 14

 Пунктиром обозначены линии разрезов. Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона (рис. 14а) была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано на рис. 14в.

Рис 14в

Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Склеивать ничего не нужно, так как потом не найти другие стороны.

Рис. 14г

Легко догадаться, как следует перегнуть тетратетрафлексагон, чтобы увидеть квадраты с единицами, двойками и тройками. Несколько труднее увидеть четверки.

                               Применение флексагонов

Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей, нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.

Одна из разновидностей флексагонов, а именно тетрафлексагон, применяется при сборке игрушек.

Флексагоны настолько замечательны, что их можно использовать в качестве открыток на различные темы: на день рождения, пасхальные открытки.

Флексагоны очень интересны и их применяют в разных областях. Самое популярное применение – в качестве игрушек. Наиболее известны цепочки из деревянных брусков или пластмассовых кубиков, скрепленных между собой крест-накрест проволочками или тесемками. Стоит лишь определенным образом передвинуть отдельные звенья цепочки, как создается полное впечатление, что верхний кубик перемещается в самый низ цепи. На самом деле это не более чем обман зрения, вызванный последовательным изгибанием шарнирных соединений, выполненных по схеме тритетрафлексагона. В 90-е годы прошлого столетия в США широкой популярностью пользовалась основанная на этом же принципе игрушка под названием «Лестница Якова». В наше время в магазинах игрушек можно было встретить ее современные варианты – «Кубики клик-клак» и «Кубики флип-флоп» .

 

В одной из них к скрытому развороту флексагона была приклеена «счастливая» монетка, которую нужно было найти. В другой, которая называлась «Cherchez la femme» . Задача заключалась в том, чтобы отыскать портрет молодой девушки. И сейчас в магазинах можно увидеть старинный детский фокус, обычно известный под названием «Волшебный доллар». Шарнирные соединения этой игрушки, выполненные по схеме тритетрафлексагона, позволяют показывать незамысловатые фокусы с исчезновением долларовой купюры и других плоских предметов.

На рисунке ниже представлена игрушка куб Йошимото, изготовленная из пластика.

Кроме игрушек действие флексагонов показывать разные стороны используется в технике, например, для создания шарнирное соединение двойного действия на дверной петле:

Интересное применение флексагоны находят в дизайне:

-     лампа и настенный светильник флексагон:

-     предметы интерьера:

одежда:

Из флексагонов можно создавать новые рекламные проекты, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы), можно использовать в качестве открытки-трансформера  или интересной игрушки. Можно сделать из него необычную основу для фотографий.

Но большее применение, я думаю, многогранник найдет в дизайнерском деле: цикл перегибаний последовательно позволяет фигуре быть и диваном, и стулом, и креслом и, если убрать одну сторону куба,‒ полкой для вещей или комодом.

Заключение

В данной работе мною были  рассмотрены флексагоны. Большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника (детали машин). Подводя итог по данной работе, отмечу, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения  простейших флексагонов. Найдены примеры практического применения флексагонов.

        В жизни, на мой взгляд, флексагоны найдут свое применение в рекламных проектах, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы). Многогранник можно использовать в качестве открытки – трансформера. Можно сделать из многогранника необычную форму для фотографий. Большое применение многогранник найдет в дизайнерском деле, так как цикл перегибаний интересен при создании диванов, кресел, стульев и других предметов Многие думают, глядя на флексагоны и флексоры - просто игрушка. А вот и не просто! Попробуй сделать своими руками. И не просто сделать, а собрать нужную информацию, исследовать, выявить закономерности, разработать чертежи, соблюсти точные вычисления (чтобы флексагон не оказался кривым). Вложить всё своё терпение и смекалку. А сколько нужно фантазии, чтобы разрисовать, украсить флексагон?! Или, например, надоел тебе флексагон с шестью поверхностями, сделай другой, где число поверхностей больше! Дерзай, пробуй, твори!!!

Благодаря самостоятельному изготовлению моделей флексагонов и флексоров,  проведенных над ними исследований, удалось лучше понять и изучить их мир, т.е. добиться поставленной цели. Конечно, на это ушло достаточно времени .Если выбор и название темы не вызвали затруднений, то поиск информации (интернет, библиотека), построение чертежей, разработка схем сборки, сама сборка моделей и исследования, проведенные над ними, а также конкретизация и оформление материала потребовали много усилий и времени.

      Работа над флексагонами и флексорами расширили  мои знания в математике. Я познакомился с ранее незнакомым нам видом флексагонов, увидел математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны.. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д. Я наглядно увидел, как работают флексагоны и флексоры. Гексафлексагоны действительно могут, выворачиваясь изменять цвета. Увидел, что кольцо тетраэдров с 6 звеньями – жесткое, с 10 звеньями принимает симметричную форму, в виде звезды. С нечетным количеством звеньев кольцо принимает асимметричную форму.

Вращаешь флексагон… и понимаешь, все эти зримые образы подготовили чувства и мышление к восприятию того, что постоянно окружает нас в жизни. Как одно явление, не переставая быть собой, одной из своих «сторон», воплощается в своей противоположности, воссоздавая, с ним друг друга, в постоянном диалоге. Такая игра граней выстраивает мир.

В мире существует много неоткрытых поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами. Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XX века, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.

В дальнейшем я планирую  изучать данную  область и, возможно, научиться создавать новые модели флексагонов.

                               Литература

1.     Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС. 1995г.

2.     Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.

3.     http//www.jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm

4.     http//www.models-paper.com›index.php…

Приложение