Учебные задачи по математике для 9 класса

Познавательные УУД

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Геометрическая прогрессия

Познавательные УУД

Планируемые результаты: владеть навыками исследовательской деятельностью; управлять познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей; уметь действовать по алгоритму и обобщать.

Задача. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 р. А ты мне в первый день за 100 000 р. дашь 1 к. , во второй день за 100 000 р.-2к. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Создаётся проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

Составив последовательность чисел, что вы заметили?

Под руководством учителя учащиеся выводят формулу суммы геометрической прогрессии для 30 членов.

Мы получаем необходимую формулу для вычисления.

Учитель предлагает ответить на вопрос задачи и сделать вывод.

1. Ознакомление с условием задачи.

2. Учащиеся составляют последовательность чисел:

1;2;4;8;16;32;64;128;256;…..

3.Учащиеся убеждаются, что эти числа составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2, первым членом а=1, и п=30.( Большинство школьников стремятся составить всю последовательность, но убеждаются, что очень громоздкая работа.)

b₂=bq

b₃=bq²

b₄=bq³

………..

b₃₀=bq²⁹

4.Учащиеся записывают сумму 30 слагаемых.

 S₃₀= b₁ + b₁q + b₁q² + b₁q³ + ... + b₁q^30– 1.

Добавим к S₃₀ число b₁q³⁰ и получим:

S₃₀+ b₁q³⁰= b₁ + b₁q + b₁q² + b₁q³ + ... + b₁q^30 1 + b₁qⁿ = b₁ + (b₁ + b₁q + b₁q² + b₁q³ + ... + b₁q^30 –1) q = b₁ + S₃₀q.

Отсюда S₃₀(q – 1) = b₁ (q³⁰– 1).

5.Учащиеся по этой формуле вычисляют,

сколько денег должен отдать купец.

S₃₀ = 1 (2³⁰– 1) / (2– 1)=1073741823

6. Проиграл в этой сделке купец.

7.Учащиеся с помощью задачи вывели формулу

суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = b₁ (qⁿ – 1) / (q – 1).

УУД: Познавательные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Арифметическая прогрессия

Планируемые результаты: владеть навыками исследовательской деятельностью, управлять познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей; уметь действовать по алгоритму и обобщать

Задача.

Школьник решил сделать садовую лестницу с таким расчётом, чтобы нижняя ступень имела длину 500 мм, а каждая из следующих 12 ступеней была на 18 мм короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступень лестницы?

1.Создаётся проблемная ситуация. Как определить длину верхней ступеньки?

2.Зная первый член и разность арифметической прогрессии, что мы можем узнать?

3.Вычисляя длину каждой ступеньки, что вы заметили?

4.Как же нам ответить на вопрос задачи?

5.Учитель предлагает записать формулу n-члена арифметической прогрессии.

1. Ознакомление с условием задачи.

2. Учащиеся делают вывод, что длины ступеней лестницы образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 500 и d=-18.

3. Мы можем узнать длину каждой последующей ступени.

4. а₂=500-18

а₃=(500-18)-18=500-2·18

а₄=(500-2·18)-18=500-3·18

а₅=(500-3·18)-18=500-4·18

…………………………………………….

5. Мы заметили, что каждый раз из 500 вычитается произведение18 и числа, на единицу меньше, чем номер определяемого члена.

6.Мы должны найти 13-й член этой прогрессии.

а₁₃=500-12·18=284

7.а_n=а₁+(n-1)d

УУД: Коммуникативные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Арифметическая прогрессия

Планируемые результаты: уметь организовывать совместную деятельность в паре; искать и устранять причины возникших трудностей; взаимно контролировать действия друг друга.

Задача. Дана последовательность двузначных натуральных чисел кратных 6.

а) Составьте формулу п-ого члена последовательности.

б) Найдите сумму членов последовательности.

Решение:

Учитель организует работу в паре:

Деятельность учащихся:

1.Учащиеся определяют, какая это прогрессия (арифметическая).

2. Находят первый член прогрессии ( а₁=12)

3. Вспоминают формулу п-ого члена арифметической прогрессии и определяют, что известно в задаче (а_п=а₁+(п-1)d ) ; известно в задаче а₁=12 и d=6

4. Составляют формулу п-ого члена для данной прогрессии (а_п=12+(п-1)6=12+6п-6=6п+6).

5.Определяют количество членов в данной прогрессии.

6п+6<100

6п<94

n<п=15

6.Вычисляют сумму членов арифметической прогрессии ;

Учащиеся отчитываются о проделанной работе.

Учитель спрашивает: А кто решил другим способом?

а₁₅=12+6·14=96 a_n=6·n+6

S_n=·n a=6·15+6=96

S₁₅=12+

S₁₅=12+·15=810
Ответ:810

УУД: Регулятивные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Арифметическая прогрессия

Планируемые результаты: научиться анализировать условие, составлять математическую модель реальной ситуации, применять формулы.

Задание: Найти x из уравнения 1+7+13+…+x=280; x-натуральное число.

2.Учитель предлагает проанализировать условие

задания и выяснить, чем является неизвестная величина.

3.Какие формулы нужны для решения данного уравнения?

4. По условию задачи нам надо составить систему уравнений.

2. Учащиеся замечают, что а₁=1; d=6; S=280, а неизвестным членом является а_п.

3.a_n=a₁+d(n-1); S=

4.

X=55

Ответ:55.

УУД: Коммуникативные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра.

Класс: 9

Тема: Теорема Виета

Планируемые результаты :уметь организовывать учебную деятельность в группе; искать и устранять причины возникших трудностей; участвовать в диалоге и отстаивать свою точку зрения; применять формулу Виета.

Задача. Корни уравнения ax²+bx+c=0 равны x₁ и x₂. Заполните таблицу.

Решение:

УУД: Регулятивные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра.

Класс: 9

Тема: График функции y=ax²+bx+c

Планируемые результаты: уметь строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей, применять формулы.

Задача. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна 18см?

Алгоритм решения:

1.Как найти площадь прямоугольного треугольника?

(Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.)

2.Как найти длины катетов?

(Ответ: Обозначим длину одного из катетов в сантиметрах буквой х, а длину другого (18-х)см.

3.На что мы должны обратить внимание?

(Ответ: По смыслу задачи 0<x<18)

4. Как же нам найти площадь треугольника?

(Ответ: S=

5. Какую связь вы увидели между формулой площади треугольника и тем преобразованием, которое вы получили?

(Ответ: В полученном преобразовании мы получили квадратичную функцию у=+9, а=, значит наибольшее значение функция принимает при

6. Какой мы можем сделать вывод?

(Ответ: Найденное значение х удовлетворяет условию 0<х<18, значит, наибольшая площадь

УУД: Коммуникативные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: геометрия.

Класс: 9

Тема: Соотношение между сторонами и углами треугольника

Планируемые результаты: уметь работать в группе; планировать и согласованно выполнять совместную работу; корректировать результаты.

Задача.

Определить вид треугольника АВС.

Решение.

∠А+∠B+∠C=180°,

80°+100°+20°=200°,

2

∠А=110°, ∠B=20°, ∠C=50°

∠А+∠B+∠C=180°,

110°+20°+50° = 180°,

3

∠А=45°, ∠B=65°, ∠C=70°

∠А+∠B+∠C=180°,

45°+65°+70°=180°,

4

а=8,в=10,с=11

=

5

а=10, в=6,с=8

с²+в²=а²; 64+36=100

6

а=4, в=7,с=10

=-0,625

7

а=4, в=2,с=18

а+в>c; 4+2>18

8

а=7, в=3, с=10

а+в>c; 7+3>10

№4 с²=а²+в²-2ав =

№6 с²=а²+в²-2ав =

Ответ: прямоугольный треугольник-№5; остроугольный треугольник-№3,№4; тупоугольный треугольник-№2,№6; треугольник не существует-№1,№7,№8.

УУД: Коммуникативные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра.

Класс: 9

Тема: Квадратные неравенства

Планируемые результаты: уметь строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей, применять формулы, уметь объективно оценивать себя и товарищей.

Задание.

Составить квадратное неравенство, решение которого записывается так:

1)-10x≤6 3) x<-4 x<12 4) x≤1 x≥3 5) x=2

Каждая группа получает план рассуждений:

.При составлении квадратного неравенства ax²+bx+c>0;ax²+bx+c<0 следует:

1. выяснить как расположена парабола относительно оси ОХ;

2. определить абсциссы всех её точек, расположенных над осью абсцисс и под осью абсцисс;

3. направление ветвей параболы;

4. разложение квадратного трёхчлена на множители;

5) Учитель подводит итоги.

1)-10<х<3

Разложение квадратного трёхчлена на множители

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)=(x-3)(x+10)

a>0, тоx²+7x-30<0

a<0 , то-x²-7x+30>0

2) 0≤x≤6

X²-6x≤0; - x²+6x>0

3) x<-4 x>12

x²-8x-48>0; - x²+8x+48<0

4)x≤1x≥3

x²-4x+3≥0 -x²+4x-3≤0

5)x=2

(x-2)²≤0 (x-2)²≥0

Внутри каждой группы выбирается координатор, распределяются задания, обсуждаются решения, готовятся сообщения.

УУД: Познавательные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: геометрия

Класс: 9

Тема: Решение треугольников

Планируемые результаты: владеть навыками исследовательской деятельностью; управлять познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей; уметь действовать по алгоритму и обобщать, осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения.

Задача:

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной a.

Решение:

2.Каким свойством обладает равносторонний треугольник?

3.Как же нам вычислить площадь треугольника?

Какой способ решения тебе больше нравится?

По какой формуле можно вычислить площадь равностороннего треугольника?

2.В равностороннем треугольнике биссектрисы являются медианами и высотами.

3.Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Учащиеся вычисляют площадь треугольника.

1-й способ:

В

А С

Д

ВД-медиана,значитАД=ДС=0,5а; АВС- прямоугольный, по теореме ПифагораАВ²=АД²+ВД²

ВД²=а²-0,25а²=0,75а^2..

S=

2-й способ.

ВД- медиана, значитАД=ДС=0,5а; АВС- прямоугольный.

= ; =; ВД=; S=

3=й способ. S=

S===

S=

УУД: Познавательные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: геометрия.

Класс: 9

Тема: Правильные многоугольники

Планируемые результаты: уметь выводить формулы выражения сторон правильного n-угольника при n =3;4;6 через радиусы вписанной окружности, управлять познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей; уметь действовать по алгоритму и обобщать.

Задача: Вывести формулы выражения сторон правильного n-угольника при n =3;4;6 через радиусы вписанной окружности.

К доске вызываются 3 ученика, которые выводят одну из формул, а остальные на местах.

1-й ученик.

n=3, a₃-?

a_n=2R a₃=22г=2r

2-й ученик.

n=4, a₄-?

a_n=2R a₄=22г=2r

3-й ученик.

n=6, a₆-?

a_n=2R a₄=22г=

Учащиеся объясняют своё решение.

Выясняются, какие ошибки были допущены остальными учениками.

Учитель подводит итог.

УУД: Коммуникативные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: геометрия

Класс: 9

Тема: Правильные многоугольники

Форма работы: групповая

Планируемые результаты: уметь работать в группе; знать формулы; уметь выражать одну переменную через другую; знать табличные значения.

Задача. Для квадрата со стороной a, вписанного в окружность радиуса R, заполните таблицу, где Р - периметр квадрата, r –радиус вписанной окружности.

Анализируется заполнение таблицы, исправляются допущенные ошибки.

УУД: Познавательные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Решение системы уравнений

Планируемые результаты: владеть навыками исследовательской деятельностью; научиться вводить новую переменную; при решении систему уравнений использовать способ подстановки; осуществлять самоанализ и самоконтроль.

Задание:

Решить систему уравнений

Решение:

Посмотрите внимательно на систему и скажите, что вы здесь заметили.

Если х=0, то, что будет следовать из системы.

Если х≠0, то какие значения будет принимать у.

Поэтому при делении первого уравнения на ху и второго решения не теряются. Разделим эти уравнения.

Как удобнее решить эту систему.

Какую систему мы получим.

Учитель предлагает решить эту систему. Один ученик самостоятельно решает на доске.

Учитель проверяет решение системы уравнений и вместе с учащимися исправляют ошибки допущенные учениками.

В обеих частях системы содержатся переменные x и y.

Из системы следует, что у=0, т.е. пара (0;0) является решением системы.

Переменная у также не будет равна нулю.

Нужно ввести новые переменные.

u; v=

8+12u+4=0

2u+3u+1=0

=-1; =;

Подставив в первое уравнение значение u, получим: =; =1;

откуда-1;=2; =-2 ; y=1.

Ответ:-1;=2; =-2 ; y=1.

0; 0.

УУД: Регулятивные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Решение систем уравнений второй степени

Планируемые результаты: владеть общим приёмом решения систем уравнений; уметь находить ошибки; уметь анализировать каждый этап решения системы.

Задача.

Найдите решения системы:

Трое учеников данную систему решили так:

1-й ученик; Ответ(2;3)

2-й ученик.
;Ответ:(-2;-3);(2;-3);(-2;3);(2;3)

3-й ученик.

;Ответ:(2;3)

1.Объясни их решения и дай оценку каждому решению.

2.Найди верное решение.(третий ученик выполнил верно)

3. Какие ошибки были допущены остальными учениками.

Учащимся предлагается решить систему уравнений. Ответ(-5;1)

УУД: Регулятивные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: Квадратичная функция».

Планируемые результаты: Уметь вычислять коэффициенты p и q по заданным координатам; научиться анализировать условие задачи, планировать свою деятельность, вносить коррективы с учётом сделанных ошибок.

Задача: Функция задана формулой y . Найдите p и q, если график функции проходит через точки (1;2); (2;1).

Решение:

y

Создаётся проблемная ситуация, как вычислить p и q.

y

Какую можно составить систему

уравнений?

Учащимся предлагается решить систему самостоятельно.

Кто решил другим способом?

Какими способами решали учащиеся и какой вам способ больше понравился?

Учащиеся замечают, что данные точки принадлежат заданной функции и если подставить координаты в заданную функцию, то можно составить систему уравнений.

( умножим первое уравнение на (-1)), получим

Ответ:p=-4 q= 5

УУД: Регулятивные

Учитель: Клопкова Н.А.

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема: График функции y=ax²+bx+c

Планируемые результаты: научиться рассуждать, отбирать нужную информацию, сопоставлять её с теоретическим материалом.

Диктант.

Задание. Верные высказывания отметить знаком «+», ложные -знаком «-».

1.Если a>0 и D>0, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

2. Если a>0 и D=0, то парабола не пересекает ось абсцисс.

3. Если a>0 и D<0, то парабола расположена ниже оси абсцисс.

4. Если a>0, то ветви параболы направлены вниз.

5. Если a<0 и D=0, то вершина параболы находится на оси абсцисс и ветви направлены вверх.

6. Если a<0 и D>0, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

7.Точка параболы, лежащая на её оси симметрии, называется вершиной параболы.

8.График y=ax²имеет ось симметрии - ось ординат.

Ответы: +----+++

Систематизация материала.

Анализ данных.

Отбор информации.

Контроль действий партнёров.

Умение работать в паре.

Краткое описание документа:

Учебные задачи по математике для 9 класса по ФГОС с использованием УУД: Общий прием решения задач включает: ● знания : этапов решения, методов решения, типов задач, оснований выбора способа решения в зависимости от умения анализировать текст задачи; ● владение: предметными знаниями(понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и операциями). ● Компоненты общего приема решения задач: ● Анализ текста задачи (семантический, логический, математический). ● Перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств. ● Установление отношений между данными и вопросом. ● Составление плана решения задачи. ● Осуществление плана решения. ● Проверка и оценка решения задачи.