Учебный элемент. Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности

Учебный Элемент Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности. Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата: 2013 г.

Стр. 2

Пирамида — многогранник, основание которого  — многоугольник, а остальные грани  — треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида с равными боковыми ребрами. Такие пирамиды обладают важным свойством. Теорема: Если у пирамиды все боковые ребра равны, то вокруг ее основания можно описать окружность, и высота пирамиды попадает в центр этой окружности. Замечание.  Вместо равенства  боковых ребер часто используется равносильное условие, что все углы между боковыми ребрами и основанием равны.

Учебный Элемент Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности. Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата: 2013 г.

Стр. 3

Далеко не над каждым многоугольником можно построить пирамиду с равными боковыми ребрами. Необходимым требованием является то, чтобы вокруг него можно было описать окружность. Теорема. Если у пирамиды все двугранные углы при основании равны, то в основании этой пирамиды можно вписать окружность, и высота пирамиды попадает в центр вписанной окружности. Пирамида называется правильной, если ее основание есть правильный многоугольник, и высота пирамиды попадает в центр этого многоугольника. Свойства правильной пирамиды:

Учебный Элемент Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности. Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата: 2013 г.

Стр. 4

1.                  Все боковые ребра правильной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию. 2.                  Все боковые грани правильной пирамиды есть равные равнобедренные треугольники и образуют с основанием равные двугранные углы. В частности высоты всех боковых граней равны. Высота каждой из боковых граней, опущенная из вершины, называется апофемой правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды. Площадь боковой поверхности (сумма площадей всех боковых граней) правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Sбок. поверх.= Р осн. h/2

Учебный Элемент Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности. Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата: 2013 г.

Стр. 5

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC K- середина ребра BC, S – вершина. Известно, что AB = 4,  SK = 21. Найдите площадь боковой поверхности. Дано: SABC-правильная пирамида,           ABC - треугольник,            АВ = ВС = АС            СК = КВ,            АВ = 4 см.,            SК = 21 см. Найти: Sбок.пов.- ?

Решение. Боковая поверхность состоит из трех треугольников. Поскольку пирамида правильная, то все эти треугольники равны. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти площадь одного из треугольников боковой поверхности, например BSC, и умножить на 3. Площадь треугольника, равна половине произведения основания на высоту. Основание – это BC. Оно вообще-то не дано, но дана другая сторона треугольника АВ = 4. А из того, что пирамида правильная, следует, что все стороны треугольника АВС между собой равны. То есть ВС = 4. Дана еще медиана SK. МЕДИАНА – это такая линия в треугольнике, которая соединяет вершину с СЕРЕДИНОЙ противоположной стороны. А из того, что пирамида правильная, следует, что SB = SC, то есть треугольник равнобедренный. Всем известно в равнобедренном треугольнике МЕДИАНА является одновременно и ВЫСОТОЙ (то есть перпендикулярна к основанию). Отсюда Sбок.пов.= 3*42 = 126 см. Ответ: Sбок.пов.= 126 см.

Учебный Элемент Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности. Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата: 2013 г.

Стр. 6

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что SR = 6 см., а площадь боковой поверхности равна 36 см. Найдите длину отрезка BC.  Дано: SABC - правильная пирамида           ABC - треугольник,            АВ = ВС = АС            АR = RВ,            SR = 6 см.,            Sбок.пов  = 36 см. Найти: ВС = ?

Решение. Отрезок SR - медиана, опущенная на основание, а значит, и высота боковой грани. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трёх равных боковых граней  Sбок.пов.. = 3 · SABS. Отсюда SABS = 36 : 3 = 12 см - площадь грани.  Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту  SABS = 0,5 · AB · SR.  Зная площадь и высоту, найдём сторону основания АВ = ВС. 12 = 0,5 · АВ · 6 12 = 3 · АВ АВ = 4 см. Ответ: АВ = 4см.