Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Учебный элемент. Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности

Учебный элемент. Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

2



Пирамида — многогранник, основание которого  — многоугольник, а остальные грани  — треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида с равными боковыми ребрами.

Такие пирамиды обладают важным свойством.








Теорема: Если у пирамиды все боковые ребра равны, то вокруг ее основания можно описать окружность, и высота пирамиды попадает в центр этой окружности.






Замечание. Вместо равенства боковых ребер часто используется равносильное условие, что все углы между боковыми ребрами и основанием равны.


hello_html_m4c159a67.png










hello_html_3de34916.png



hello_html_m35aa6d03.png



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

3



Далеко не над каждым многоугольником можно построить пирамиду с равными боковыми ребрами. Необходимым требованием является то, чтобы вокруг него можно было описать окружность.






Теорема. Если у пирамиды все двугранные углы при основании равны, то в основании этой пирамиды можно вписать окружность, и высота пирамиды попадает в центр вписанной окружности.






Пирамида называется правильной, если ее основание есть правильный многоугольник, и высота пирамиды попадает в центр этого многоугольника.









Свойства правильной пирамиды:


hello_html_m143498c6.png



hello_html_m519d47e5.png




hello_html_6beb5c89.png



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

4



  1. Все боковые ребра правильной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию.






  1. Все боковые грани правильной пирамиды есть равные равнобедренные треугольники и образуют с основанием равные двугранные углы. В частности высоты всех боковых граней равны.




Высота каждой из боковых граней, опущенная из вершины, называется апофемой правильной пирамиды.




Боковая поверхность правильной пирамиды.


Площадь боковой поверхности (сумма площадей всех боковых граней) правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Sбок. поверх.= Р осн.h/2


hello_html_m793e84d9.png

hello_html_3a9b98eb.png



hello_html_m221cf4d3.png


hello_html_3aa1838.png



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

5



Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC K- середина ребра BC, S – вершина. Известно, что AB = 4,  SK = 21. Найдите площадь боковой поверхности.






Дано: SABC-правильная пирамида,

ABC - треугольник,

АВ = ВС = АС

СК = КВ,

АВ = 4 см.,

SК = 21 см.

Найти: Sбок.пов.- ?





hello_html_10838982.png


Решение.

Боковая поверхность состоит из трех треугольников. Поскольку пирамида правильная, то все эти треугольники равны. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти площадь одного из треугольников боковой поверхности, например BSC, и умножить на 3. Площадь треугольника, равна половине произведения основания на высоту. Основание – это BC. Оно вообще-то не дано, но дана другая сторона треугольника АВ = 4. А из того, что пирамида правильная, следует, что все стороны треугольника АВС между собой равны. То есть ВС = 4. Дана еще медиана SK. МЕДИАНА – это такая линия в треугольнике, которая соединяет вершину с СЕРЕДИНОЙ противоположной стороны. А из того, что пирамида правильная, следует, что SB = SC, то есть треугольник равнобедренный. Всем известно в равнобедренном треугольнике МЕДИАНА является одновременно и ВЫСОТОЙ (то есть перпендикулярна к основанию). Отсюда

hello_html_m7499de67.png

Sбок.пов.= 3*42 = 126 см.


Ответ: Sбок.пов.= 126 см.



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

6



Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что SR = 6 см., а площадь боковой поверхности равна 36 см.
Найдите длину отрезка BC. 


Дано: SABC - правильная пирамида

ABC - треугольник,

АВ = ВС = АС

АR = RВ,

SR = 6 см.,

Sбок.пов = 36 см.

Найти: ВС = ?




hello_html_m257ccdae.jpg



Решение.


Отрезок SR - медиана, опущенная на основание, а значит, и высота боковой грани.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трёх равных боковых граней

Sбок.пов.. = 3 · SABS.

Отсюда SABS = 36 : 3 = 12 см - площадь грани.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

SABS = 0,5 · AB · SR.

Зная площадь и высоту, найдём сторону основания АВ = ВС.

12 = 0,5 · АВ · 6

12 = 3 · АВ

АВ = 4 см.

Ответ: АВ = 4см.





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 27.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров275
Номер материала ДВ-101304
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх