Инфоурок / Математика / Конспекты / Учебный элемент. Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности

Учебный элемент. Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

2



Пирамида — многогранник, основание которого  — многоугольник, а остальные грани  — треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида с равными боковыми ребрами.

Такие пирамиды обладают важным свойством.








Теорема: Если у пирамиды все боковые ребра равны, то вокруг ее основания можно описать окружность, и высота пирамиды попадает в центр этой окружности.






Замечание. Вместо равенства боковых ребер часто используется равносильное условие, что все углы между боковыми ребрами и основанием равны.


hello_html_m4c159a67.png










hello_html_3de34916.png



hello_html_m35aa6d03.png



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

3



Далеко не над каждым многоугольником можно построить пирамиду с равными боковыми ребрами. Необходимым требованием является то, чтобы вокруг него можно было описать окружность.






Теорема. Если у пирамиды все двугранные углы при основании равны, то в основании этой пирамиды можно вписать окружность, и высота пирамиды попадает в центр вписанной окружности.






Пирамида называется правильной, если ее основание есть правильный многоугольник, и высота пирамиды попадает в центр этого многоугольника.









Свойства правильной пирамиды:


hello_html_m143498c6.png



hello_html_m519d47e5.png




hello_html_6beb5c89.png



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

4



  1. Все боковые ребра правильной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию.






  1. Все боковые грани правильной пирамиды есть равные равнобедренные треугольники и образуют с основанием равные двугранные углы. В частности высоты всех боковых граней равны.




Высота каждой из боковых граней, опущенная из вершины, называется апофемой правильной пирамиды.




Боковая поверхность правильной пирамиды.


Площадь боковой поверхности (сумма площадей всех боковых граней) правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Sбок. поверх.= Р осн.h/2


hello_html_m793e84d9.png

hello_html_3a9b98eb.png



hello_html_m221cf4d3.png


hello_html_3aa1838.png



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

5



Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC K- середина ребра BC, S – вершина. Известно, что AB = 4,  SK = 21. Найдите площадь боковой поверхности.






Дано: SABC-правильная пирамида,

ABC - треугольник,

АВ = ВС = АС

СК = КВ,

АВ = 4 см.,

SК = 21 см.

Найти: Sбок.пов.- ?





hello_html_10838982.png


Решение.

Боковая поверхность состоит из трех треугольников. Поскольку пирамида правильная, то все эти треугольники равны. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти площадь одного из треугольников боковой поверхности, например BSC, и умножить на 3. Площадь треугольника, равна половине произведения основания на высоту. Основание – это BC. Оно вообще-то не дано, но дана другая сторона треугольника АВ = 4. А из того, что пирамида правильная, следует, что все стороны треугольника АВС между собой равны. То есть ВС = 4. Дана еще медиана SK. МЕДИАНА – это такая линия в треугольнике, которая соединяет вершину с СЕРЕДИНОЙ противоположной стороны. А из того, что пирамида правильная, следует, что SB = SC, то есть треугольник равнобедренный. Всем известно в равнобедренном треугольнике МЕДИАНА является одновременно и ВЫСОТОЙ (то есть перпендикулярна к основанию). Отсюда

hello_html_m7499de67.png

Sбок.пов.= 3*42 = 126 см.


Ответ: Sбок.пов.= 126 см.



Учебный Элемент

Наименование: Пирамида и ее элементы. Площадь боковой поверхности.

Профессиональная область: НПО.

Код:














Дата:

2013 г.

Стр.

6



Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что SR = 6 см., а площадь боковой поверхности равна 36 см.
Найдите длину отрезка BC. 


Дано: SABC - правильная пирамида

ABC - треугольник,

АВ = ВС = АС

АR = RВ,

SR = 6 см.,

Sбок.пов = 36 см.

Найти: ВС = ?




hello_html_m257ccdae.jpg



Решение.


Отрезок SR - медиана, опущенная на основание, а значит, и высота боковой грани.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трёх равных боковых граней

Sбок.пов.. = 3 · SABS.

Отсюда SABS = 36 : 3 = 12 см - площадь грани.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

SABS = 0,5 · AB · SR.

Зная площадь и высоту, найдём сторону основания АВ = ВС.

12 = 0,5 · АВ · 6

12 = 3 · АВ

АВ = 4 см.

Ответ: АВ = 4см.





Общая информация

Номер материала: ДВ-101304

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»