Учебный исследовательский проект по математике

муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Лицей»

г. Арзамаса

Методическая разработка

Учебный исследовательский проект

по математике на тему:

Магический квадрат.

Ответы на вопросы: почему? и зачем?

Учитель  математики:

Пьянова Ирина Александровна

совместно с учеником 6 «б» класса

Илюшиным Валентином

Арзамас, 2016 г.
Содержание

Пояснительная записка---------------------------------------------------------3

Поэтапная реализация проекта-----------------------------------------------5

Приложение-----------------------------------------------------------------------6

Пояснительная записка

1. Проблемная ситуация

В учебнике математики Л.Г. Петерсон встретилась необычная задача:

«В древнекитайской  рукописи Же-Ким (XII-XIIIв. в. до н.э.) рассказано предание о том, как император Ию, живший примерно 4000 лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На панцире черепахи был изображён рисунок из белых и чёрных кружков:

В этом рисунке была найдена удивительная закономерность. Открытие её произвело неизгладимое впечатление, что символ стали считать священным и употреблять при заклинаниях. Назвали его «Ло-шу». Какая закономерность так поразила древних китайцев в этой таблице?

После прочтения задачи возникли  вопросы: «Какая закономерность на картинке?», «Что означает «Ло-шу»?», «Где еще встречаются подобные задания?».

2. Авторская позиция педагога-проектировщика

Проектная деятельность становится необходимостью современного процесса обучения, ведь именно эта деятельность направлена на поиск нового знания. Данная тема позволяет не только получить новые знания, но и способствует развитию логического мышление, технике быстрого и устного счета.

В ходе реализации учебно-исследовательского проекта намечены основные формы организации работы:

- практические занятия,

- сбор информации,

-  обсуждение,

- подведение итогов.

3. Условия реализации.

Реализация проекта не требует материальных затрат и позволяет обходиться имеющейся материально-технической базой.

4. Сроки реализации.

Проект краткосрочный, реализация рассчитана  на   4 недели  учебного и в не учебного  времени.

Поэтапная реализация проекта

Сроки реализации проекта	Виды деятельности учащихся
1 неделя октября	1 этап. Подготовительный.  ·    Обсуждение темы проекта, этапов работы.
2 неделя октября –	2 этап. Реализация проекта.  ·    Подготовка необходимой литературы. Сбор литературы с содержанием олимпиадных задач. ·    Выяснение истории магических квадратов, легенды их возникновения ·    Определение и разбиение магических квадратов на виды ·    Самостоятельное составление магических квадратов из 9 и 16 чисел ·    Знакомство с квадратом Пифагора и латинским квадратом, совершенным магическим квадратом
3 неделя октября	3 этап. Применение магических квадратов ·    Применение в игре «Такен», составление заданий для «такена» ·    Составление магических квадратов из доминошек
4 неделя октября	3 этап. Презентация проекта и обсуждение результатов

Приложение

Учебный исследовательский проект на тему:

Магический квадрат. Ответы на вопросы:  почему? и зачем?

Выполнил ученик 5б класса Илюшин Валентин

Цель исследовательского проекта: Выяснить, что такое «ло-шу» и как оно связано с  магическим квадратом.

Задачи:

ü  узнать, когда появился магический квадрат и кто его придумал;

ü  познакомиться с видами магических квадратов;

ü  определить, где его можно применить.

История магических квадратов

Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, до сих пор многие не любят числа 13; число 666 называют «звериным числом», приносящим несчастье; счастливыми считают, например, совершенные числа.

Я  выяснил, что квадрат с названием Ло-шу - это предок магического квадрата, а задача в учебнике является легендой появления магических квадратов. Квадрат Ло-шу был назван "волшебным", поскольку сумма цифр во всех его направлениях - горизонтальных, вертикальных и диагональных равняется 15-ти. И это волшебное свойство квадрата Ло-шу широко используются в фен-шуй.

При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Эти амулеты относятся примерно к 2200 г. до н. э.. Квадрат разделен на девять маленьких квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9.

В средние века «магические» квадраты были очень популярны. Один из «магических» квадратов изображен на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (Рис. 1, 2).

Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают год создания картины − 1514 г. Получение «магических» квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43 x 43, содержащие числа от 1 до 1849. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество «магических» квадратов данного размера.

Магический квадрат с цифрой 5 в середине был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине обозначала землю, а вокруг неё в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9). Мусульмане очень трепетно относились к таким квадратам с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.

 Виды магических квадратов

Магическим квадратом размера n x n называется числовая таблица размером n x n клеток, заполненная натуральными числами, которые размещены таким образом, что суммы чисел любого столбца, строки или главных диагоналей имеют одно и то же значение. Это значение называется магической постоянной квадрата. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Общий метод построения всех квадратов неизвестен. Магических квадратов 2 x 2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3 х 3 ,так как остальные магические квадраты размера 3 х 3 получаются из него. Существует 880 магических квадратов размера 4 x 4 и 275 305 224 магических квадратов размера 5 х 5.

Пример 1. Магический квадрат размера 3 x 3 из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман «Ло-шу») представляется следующей таблицей 3 x 3.(Рис. 3). Постоянная этого квадрата равна 15.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Рис. 3

Пример 2. Магический квадрат размера 4х4, известный еще в Древней Индии, представляется следующей таблицей 4x4.(Рис. 4). Постоянная "индийского" квадрата равна 34.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Рис. 4

К магическим квадратам также относятся:

1. Квадрат Пифагора. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения. С помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для совершенствования. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат, с индивидуальными числами.

2. Латинский квадрат. (Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу). (Рис. 5).

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

Рис. 5

Такие квадраты встречаются в детских журналах под названием игры «Судоку»

3. Совершенный магический квадрат.

Совершенным магическим квадратом называют  магический квадрат, в котором с постоянной совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям  в обоих направлениях.

Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (на рисунке такую диагональ образуют закрашенные клетки). (Рис. 6)

				b
		а

Рис. 6

Применение магических квадратов

1. Игра в 15 или «Такен».

Для игры необходимо: Коробка с шестнадцатью клетками, которые заполнены шашками с числами от 1 до 16, таким образом одна клетка пустая. С помощью неё можно передвигать остальные шашки. Пустую клетку будем считать числом 16.

Задание: Из «нормального» положения такена получить магический квадрат  размера 4 x 4.

Рис. 7 «Нормальное» положение такена

Рис. 8 Магический квадрат с постоянной 34

2. Магический квадрат из доминошек

Задание: 1. Из 4 костяшек домино сложить магический квадрат 3 х 3 (центральный квадрат пустой, постоянную рассчитывать только по горизонталям и вертикалям).

Рис. 9

Рис. 10

Вывод: Таким образом каждая фотография получилась из целой коробки домино

Задание 2. Из 18 костяшек домино сложить магический квадрат 6 x 6.

Рис. 11. 18 костяшек домино

Рис. 12 Магический квадрат из домино

Заключение

В результате своих исследований я выяснил, что магические квадраты появились очень давно. Существует огромное количество различных магических квадратов. Их магия заключается в том, что сумма по всем строкам, столбцам и диагоналям одна и таже. Именно поэтому в древности таким квадратам приписывались различные магические свойства: их использовали как амулеты, талисманы; по ним высчитывали судьбу и характер человека. Сейчас же магический квадрат- это хорошая логическая задача! В задаче из нашего учебника постоянная равна 15, а закрашенные точки означают – четные числа, пустые – нечетные.

Литература

1. Час занимательной математики \ Под редакцией Л.Я  Фальке. – М.: Илекса: Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2003. – 176 с.

2. Зайкин М.И. Математический тренинг: Развиваем комбинационные способности: Книга для учащихся 4-7 классов общеобразовательных учреждений / М.И. Зайкин. – М.: ВЛАДОС, 1996. − 176 с.

3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2006. − 240с.

4. Внеклассные занятия по математике. 3-4 класс / Сост. Г.Т. Дьячкова. – Волгоград: Учитель АСТ, 2005. − 112 с.

5. Математика. 4−5 классы: олимпиадные задания / cост. Г.Т. Дьячкова. –Волгоград: Учитель, 2006. − 96 с.

6. Математика: внеклассные занятия в средней школе / авт.- cост. Г.Т. Дьячкова. –Волгоград: Учитель, 2007. − 173 с.

7. Смирнова Е.С Интеллектуальный театр в школе.- М.: УЦ «Перспектива», 2008. – 112 с.

8. Интернет ресурс http://nsportal.ru/shkola