Учебный материал по теоретической механике. часть 2. Кинематика. Динамика. Методические указания (для изучения теоретического курса, практических и лабораторных занятий) для студентов очной и заочной форм обучения. Направление: Специальность 131018 Разра

Депобразования и молодежи Югры

бюджетное учреждение профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«Мегионский политехнический колледж»

(БУ «Мегионский политехнический колледж»)

 

Преподаватель физики и технической механики

Магомедов А.М.

Учебный материал по теоретической механике.

часть 2.

Кинематика. Динамика.

Методические указания  (для изучения теоретического курса, практических и лабораторных занятий) для студентов очной и заочной форм обучения.

Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.

Мегион, 2016

Депобразования и молодежи Югры

бюджетное учреждение  профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«Мегионский политехнический колледж»

(БУ «Мегионский политехнический колледж»)

Преподаватель физики и технической механики

Магомедов А.М.

Учебный материал по теоретической механике

часть 2

Кинематика. Динамика.

методические указания  (для изучения теоретического курса, практических и лабораторных занятий) для студентов очной и заочной форм обучения.

Направление: Специальность 131018 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.

Мегион,2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………	5
1. КИНЕМАТИКА…………………………………………………………	6
1.1 Основные понятия и определения………………………………….	6
1.2. Кинематика точки…………………………………………………..	8
1.2.1. Пример выполнения расчетно-графической работы………	8
1.2.2. Варианты заданий……………………………………………	12
1.3. Простейшие виды движения твердого тела………………………	13
1.3.1. Пример выполнения расчетно-графической работы………	13
1.4. Плоскопараллельное движение твердого тела……………………	14
1.4.1. Пример выполнения расчетно-графической работы………	14
1.5. Сложное движение точки………………………………………….	15
1.5.1. Пример выполнения расчетно-графической работы………	15
2. ДИНАМИКА…………………………………………………………….	17
2.1. Основные понятия и определения…………………………………	17
2.2. Динамика механических систем с одной степенью свободы……	17
2.2.1. План выполнения расчетно-графической работы………….	17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………...	19

ВВЕДЕНИЕ

         Одной из ведущих дисциплин высшей технической школы является теоретическая механика - наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел. Законы теоретической механики лежат в основе фундаментальных, прикладных и специальных наук.

         Теоретическая механика включает в себя три основных раздела: статика, кинематика и динамика.

         Кинематика - раздел теоретической механики, в котором изучают геометрические свойства движения тел без учета их масс и действующих на них сил.

         Динамика - это основной завершающий раздел теоретической механики, изучающий движение материальных точек и тел с учетом сил, вызывающих это движение.

         В общем курсе теоретической механики изучают механику материальной точки, механику твердого тела  и механику системы материальных точек.  Роль и значение теоретической механики состоит в том, что ее законы и методы позволяют изучить ряд важных явлений в окружающем мире.

         В пособии рассматриваются основные теоретические вопросы разделов механики, а так же дано подробное решение наиболее важных задач из контрольных работ по кинематике и динамике, при этом, следует уделить особое внимание тем задачам, которые будут предложены студентам на экзамене.

         По каждому разделу теоретической механики представлены контрольные задания по ряду задач для расчетно-графических работ, которые могут выполняться на практических занятиях или выдаваться  как  домашние задания, а  так же могут быть использованы в качестве контрольных заданий для заочного обучения.

         Выбор задач осуществляется по вариантам, указанным преподавателем (для очного обучения), или по двум последним цифрам личного шифра (для заочного обучения).

         Пособие содержит  по 30 вариантов заданий по  4 темам кинематики и задачу по динамике, охватывающую  при решении ее различными способами 4 темы.

         Цель работы - закрепить теоретический материал программы и приобрести твердые навыки решения задач по теоретической механике.

1. КИНЕМАТИКА

1.1 Основные понятия и определения

В задачах данного раздела определяются координаты, скорость, ускорение точки в любой назначенный момент времени при различных способах задания движения. Из всех способов задания движения точки наибольшее распространение получили координатный и естественный способы.

Рассмотрим координатный способ задания движения точки. Положение в пространстве движущейся точки определяется тремя координатами в декартовой системе координат. Эти координаты задаются как функции времени:

;  ;   .                                           

Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

При задании движения точки уравнениями  проекции скорости на оси декартовых координат равны:

;   ;   .

Модуль скорости

.

Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. При задании движения точки уравнениями  проекции ускорения на координатные оси равны:

;   ;  .

Модуль ускорения:

.                                          

Далее рассмотрим естественный способ задания движения точки.

Считается, что движение точки задано естественным способом, если указаны ее траектория и закон изменения криволинейной координаты . Модуль скорости точки определяется по формуле

.                                                                  

Вектор скорости V направлен по касательной к траектории.

Ускорение точки определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

.

Модуль касательного ускорения определяется по формуле

.                                                   

Модуль нормального ускорения определяется по формуле

,                                                             

где  – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор нормального ускорения  всегда направлен по главной нормали в сторону центра кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

.                                                           

Кинематическая мера  движения	Характер движения	Вид движения
		Поступательное	Вращательное
Перемещение	Равномерное	S = V · t	φ = ω·t
	Неравномерное	S = f(t)	φ=f(t)
	Равнопеременное	S=S0 + V0t + at2/2	φ=φ0 + ω0t + εt2/2
Скорость	Равномерное	V = S / t=const	V= R·ω
	Неравномерное	V = dS / dt
	Равнопеременное	V=V0 + a·t
Скорость угловая	Равномерное	ω = 0	ω = φ / t =const
	Неравномерное		ω = dφ / dt
	Равнопеременное		ω = ω0 + ε·t;      ω = π·n/ 30
Касательное ускорение	Неравномерное	aτ = dV / dt	aτ = R·ε
	Равнопеременное	aτ = (V-V0) / t
Ускорение нормальное	Неравномерное	an = V2 / ρ	an = ω2· R
	Равнопеременное
Полное ускорение	Неравномерное	a = √ an2 + aτ2	a = R·√ε2 + ω4
	Равнопеременное
Ускорение  угловое	Неравномерное	ε = 0	ε = dω / dt
	Равнопеременное		ε = (ω- ω0) / t

Исследование движения точек фигуры при плоскопараллельном движении

1. Для определения мгновенного центра скоростей достаточно знать направление скоростей двух любых точек фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, опущенных из этих точек к их скоростям.

2. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей:    V_A/PA=V_B/PB, где P – мгновенный центр скоростей, A и B – любые точки плоской фигуры.

При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей,

                                         

α – угол между векторами относительной и переносной скоростей.

При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости и относительной скорости точки:  Направлен вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы переносной угловой скорости и относительной скорости точки в сторону поворота вектора переносной угловой скорости к вектору относительной скорости против хода часовой стрелки.

1.2. Кинематика точки

1.2.1. Пример выполнения расчетно-графической работы

         Пример 1

1. Исходные данные. По заданным уравнениям движения точки М

,         (где x, y - в см)

установить вид ее траектории и для момента времени  сек.  найти положение точки на траектории, ее скорость, ускорение.

2. Решение.

Определяем вид траектории. Исключая время  из уравнений движения, найдем вид траектории точки М в координатной форме.

Так как время  входит в аргументы тригонометрических функций синуса и косинуса, то, используя формулу , получим

Траекторией движения точки М является эллипс. Центр эллипса  имеет координаты  X_C = 0, Y_C = 4, gолуоси эллипса а=2 см, b=3 см.

Определяем положение точки на траектории при  сек.  Подставляя время  сек.  в 34, получим   

,

.

Точку с координатами ,   обозначим  на траектории через М₁.

Скоростьточки М определим через ее проекции на координатные оси.

, , где

,

.

Тогда

.

Так как величина скорости  зависит от времени , то движение точки неравномерное.

При  сек. 

,

Построим вектор скорости точки М₁.   ₁

или.

В точке М₁ параллельно осям x, y, в выбранном масштабе, откладываем

 .

Вектор  - диагональ прямоугольника, построенного на V_1X и V_1Y,  как на сторонах.  

Пример 2.

1. Исходные данные.

Даны уравнения движения точки М в плоскости xy:

,  (где x, y - в сантиметрах,  - в секундах).

Найти уравнение траектории точки М; для момента времени  сек.,  найти положение точки на траектории, ее скорость, полное ускорение, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны в соответствующей точке.

2. Решение.

Из второго уравнения, подставляя значение  в первое уравнение, получим уравнение траектории  X = Y² + 2   – уравнение параболы.

Заметим, что траекторией движения является только верхняя ветвь параболы, т.к. время t>0 .

Полагая время  сек., найдем координаты, определяющие положение точки на траектории в этот момент времени.

 

.

Точку с координатами =6, =2 на траектории обозначим М₁.

Величину скорости точки М найдем по ее проекциям на координатные оси:

, где

V_X = (4t² + 2)' = 8tсм/с, V_Y = (2t)' = 2см/с.

Тогда, поскольку величина скорости зависит от времени , то движение точки неравномерное.

В момент времени  сек:  V_1X = 8см/с, V_1Y = 2 см/с, V₁ = 8,2 см/с.

Выберем масштаб и построим вектор скорости в положении М₁ по составляющим V_1X  и V_1Y

Модуль ускорения точки М определяем аналогично

, где

,

.

Полное ускорение

 является постоянным во все время движения точки.

Выберем масштаб, построим вектор ускорения:

,  .

Разложим полное ускорение на составляющие вдоль этих осей

, где

- касательное ускорение точки М;

- нормальное ускорение точки М.

Из рисунка ,

Касательное ускорение определяется по формуле a_τ = dV/dt.

Если dV/dt >0 – движение ускоренное,

если dV/dt <0 – движение замедленное.

Найдем

Т.к. время t > 0, a_τ >0, следовательно, движение точки М ускоренное.

, что соответствует значению на рисунке.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. В случае криволинейного движения, оно всегда существует и определяется по формуле a_n = V²/ρ, где ρ - радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Т.к. радиус кривизны параболы в точке М₁ неизвестен, то величину нормального ускорения можно определить  следующим образом:

 , что соответствует значению на рисунке.

                   Радиус кривизны параболы в точке М₁ найдем из выражения

ρ₁ = V²₁/a_1n = 68/1,8 = 37,8см

Ответ: точка М совершает криволинейное ускоренное движение, т.к. вектор касательного ускорения во все время движения совпадает с направлением вектора скорости.

1.2.2. Варианты заданий

         Точка М движется в плоскости xOy согласно уравнениям:                                                                   x=x(t), y=y(t).

Определить траекторию движения точки, для заданного момента времени t найти положение точки на траектории, ее скорость и ускорение и показать их на рисунке, а также определить радиус кривизны траектории в данной точке.

Исходные данные для расчета

№ вар.	X, см	Y, см	t, с	№ вар.	X, см	Y, см	t, с
1	4t2 + 3t + 7	8t2 + 6t + 1	2	16	t2 + 4t + 3	t2 + 8t + 1	2
2	3t2 + 6t + 2	3t	1	17	-t - 1	-2/(t + 1)	1
3	3cos(πt/3)	5sin(πt/3)	3	18	t2	3t - 2	2
4	3/(t+1)	3t+3	1	19	2sin(πt/8) +2	2cos(πt/8) - 1	2
5	2sin(πt/3) +1	3cos(πt/3)	2	20	2t3 + 3	6t3 + 12	1
6	3t2 + 2t + 5	9t2 + 6t + 11	1	21	-3/(t + 1)	-3t - 3	2
7	2t2 + 6t + 2	2t	2	22	t4 + 1	t4 - 2	2
8	t2 - 4t + 1	t + 1	1	23	3cos(t)	3sin(t)	π/6
9	-4/(t + 1)	-2t - 2	0	24	10/(5t + 1)	2,5t	1
10	2t2 + 4	3t + 1	2	25	2cos(πt/6)	3sin(πt/6) + 3	2
11	3sin(πt/4) +2	4cos(πt/4) - 1	1	26	3cos(πt/3) + 2	3sin(πt/3) - 2	1
12	7t + 1	-8/(7t + 1)	1/7	27	3t2 + 3t + 3	8t2 + 8t + 5	1
13	3cos(πt/6) + 1	2sin(πt/6) - 2	3	28	t2 + 6t + 2	2t	1
14	4t + 5	5t2 + 1	1	29	5/(t+1)	5t+5	2
15	4cos(πt/4)	4sin(πt/4) - 2	1	30	2cos(πt/3)	3sin(πt/3) + 2	2

1.3. Простейшие виды движения твердого тела

1.3.1. Пример выполнения расчетно-графической работы

1. Исходные данные.

Определить скорость и ускорение точки М, а также скорость и ускорение груза 1 в заданный момент времени.

Дано: x(t) = 7t², R₂ = 25см, r₂ = 15см, R₃ = 20см, r₃ = 10см, t₁ = 1c

                     

2. Решение

V₁ = x´(t) = 14t; a₁ = 14м/с²;

 V₁(t₁) = 14м/с

V_М = V₁(r₂· r₃)/( R₂· R₃) ; V_М =4,2t ;

V_M(t₁) = 4,2м/с

a_M = √a_τ² + a_n²;

a_τ = V_М´ = 4,2м/с²; a_n = V_М²/ r₃ = 1,76 м/с²;

a_M =4,55 м/с²

V1	a1	VМ	aM
14м/с	14м/с2	4,2м/с	4,55 м/с2

1.4. Плоскопараллельное движение твердого тела

1.4.1. Пример выполнения расчетно-графической работы

1. Исходные данные. Определить V_A, V_B, a_A, a_B, ω_AB.

Дано: OA = 25см, АВ = 25см, ω_OA = 2рад/с, ε_OA = 4рад/с²

                       

         2. Решение

V_A = ω_OA· OA; V_A = 50см/с; a_A = ОА√ ω_OA⁴ + ε_OA²; a_A = 140 см/с². Для нахождения V_B необходимо найти положение мгновенного центра скоростей (точку P) и воспользоваться V_B= V_ABP/AP; ω_AB= V_A/AP. Для вычисления ускорения точки В необходимо воспользоваться теоремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса.

1.5. Сложное движение точки

1.5.1. Пример выполнения расчетно-графической работы

1. Исходные данные. ОМ(t) = t² +t; φ(t) = t² – t; R =4м, t=1c.

        

         2. Решение. Определяем первоначально положение точки в заданный момент времени OM = 2м. Для нахождения абсолютной скорости необходимо найти относительную и переносную скорости:

 V_от= ОМ(t)´=2t+1=3м/с; V_пер=ω∙OM=φ(t)´∙OM=(2t-1)∙OM=2м/с. V_абс=√V²_от+V²_пер-2V_от∙V_перcosβ. Угол β - угол между вектором относительной скорости и вектором переносной скорости. cosβ=OM/√R²+OM²=2/√20=0,48. Тогда V_абс=7,23м/с. Абсолютное ускорение находим согласно теореме Кориолиса.

2. ДИНАМИКА

2.1. Основные понятия и определения

Общие теоремы динамики

Теорема об изменении количества движения
Теорема об изменении кинетической энергии	mV12/2 – mV02/2 = ∑Ai=FS

Кинетическая энергия тела зависит от характера его движения.

Поступательное движение	T = ½mVc2, Vc – скорость центра масс
Вращательное движение	T = ½Jzω2, Jz–момент инерции тела относительно оси вращения
Плоскопараллельное движение	T = ½mVc2 + ½Jzω2

Момент инерции однородных тел

Тело	Параметры тела	Ось	Момент инерции
Стержень	L – длина m- масса	Ось А -перпендикулярна стержню и проходит через его конец	JА = 1/3mL2
Тонкое круглое кольцо	R – радиус m - масса	Ось С - перпендикулярна плоскости кольца и проходит через его центр	JC = mR2
Круглая пластина или цилиндр	R – радиус m- масса	Ось С - перпендикулярна плоскости пластины и проходит через его центр	JC = 1/2mR2
Сплошная прямоугольная пластина	m – масса А и В - стороны	Ось X – вдоль стороны, длиной А, ось Y – вдоль стороны, длиной В	JX = 1/3mВ2 JY = 1/3mА2

Принцип Даламбера. Основой для построения теоретической механики служат законы Ньютона. Однако на основе законов Ньютона можно получить некоторые другие общие законы, позволяющие составить уравнения, описывающие движение механической системы. Такие законы получили название принципов аналитической механики. Одним из них является принцип Даламбера.     

Пусть мы имеем систему, состоящих из n  материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил  и  (в которые входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к инерциальные системе отсчета некоторое ускорение . Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим общим свойством:  если  в каждый момент времени к фактически действующим на точку силам  и  прибавить силу инерции , то полученная система сил будет уравновешенной, т.е. будет

.

Это выражение отображает принцип Даламбера для одной материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой точки дает . Перенесем здесь член  в правую часть равенства и придем к последнему соотношению.

Принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причём по принципу отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но и на любую изменяемую систему. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

                               

 2.2. Динамика механических систем с одной степенью свободы

2.2.1. План выполнения расчетно-графической работы

         Задачу, представленную в пункте 3.2.2 необходимо решать по следующему плану:

1. Найти ускорение тела 1, используя теорему об изменении кинетической энергии. T – T₀ = ∑A_i^e + ∑A_iⁱ.

2. Найти ускорение тела 1, используя принцип Даламбера.

3. Найти ускорение тела 1, используя общее уравнение динамики.

4.Найденные ускорения, при правильном решении должны совпадать, возможна небольшая погрешность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Теоретическая механика. Терминология [Текст]. Вып. 90. М.: Наука, 2016.-40с.

2. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст]: учеб. для втузов/ С. М. Тарг. 14-е изд, стер.-М.: Высш. шк., 2014.-416с.

3. Попов, М.В. Теоретическая механика. Краткий курс [Текст]: учеб. для втузов/ М. В. Попов. - М.: Наука, 1016.-336с.

4. Вебер, Г.Э. Лекции по теоретической механике [Текст]: учеб. пособие/ Г. Э. Вебер, С. А. Ляпцев. Екатеринбург: УГГГА, 2008.-272с.