Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебный проект на тему: "Линейная функция, ее свойства и график. Геометрический смысл коэффициента"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебный проект на тему: "Линейная функция, ее свойства и график. Геометрический смысл коэффициента"

библиотека
материалов

Тема: «Функции: hello_html_m5cbc16d7.gif ее свойства и график. Линейная функция, ее свойства и график, геометрический смысл коэффициента»


1. Актуальность. Данная тема является начальным этапом в обеспечении систематической фундаментальной подготовки учащихся. Функциональные понятия конкретизируются при изучении линейной функции, ее частного вида – прямой пропорциональности. Формирование всех фундаментальных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами.

Данная тема – начальный этап в систематическом изучении функции, одного из глобальных понятий математического анализа.

2. Противоречия. По данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий линейной функции и прямой пропорциональности, а так же на отработку их свойств. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применение новой темы, так как в учебнике приведен лишь один пример подобной задачи. Данная тема в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия.

3. Цель. Разработать методику обучения учащихся теме: «Функция: hello_html_m5cbc16d7.gifсвойства и график. Линейная функция, ее свойства и график, геометрический смысл коэффициента»

4.Задачи.

  • Изучить учебную и методическую литературу по данной теме;

  • Описать методику обучения теоретическому материалу темы, решению задач темы;

  • Подобрать соответствующий дидактический материал.


5. Срок реализации. 2 года

6. Целевая группа. Учащиеся 7-8 классов

7. Этапы реализации пректа.

а) Подготовительный.

1) Логико–математический анализ содержания темы

1.1. Математическая карта темы.

Фhello_html_m4324df60.gifhello_html_mba04e09.gifункция

hello_html_m697242ee.gifhello_html_a2a0e14.gifhello_html_40b5f879.gif

Оhello_html_7d17a515.gifпределение Линейная Прямая

Функции функция пропорциональность

hello_html_4641c3ba.gifhello_html_m580ed4ea.gifhello_html_4b1b3a8c.gifhello_html_4a0a6f12.gif

hello_html_m7631391c.gifhello_html_m13be8ad4.gifhello_html_m13be8ad4.gifhello_html_m13be8ad4.gif

Графики Определение Свойства Определение

функции Линейной функции Линейной функции Прямой пропорц–ти

hello_html_4a0a6f12.gifhello_html_6d974e01.gifhello_html_m294b5e27.gifhello_html_m2d3c1f68.gifhello_html_m294b5e27.gify=kx+b, и hello_html_733b9ed0.gify=kx

hello_html_549fac49.pnghello_html_m8ebdb3a.gifhello_html_m6d81fc44.gifhello_html_m6d81fc44.gif

График прямой пропорц–ти

График линейной функции hello_html_m3295ce9e.gifhello_html_m6d022375.gif

hello_html_m2b63dd5b.gifhello_html_m2b63dd5b.gifhello_html_m6f284149.gifhello_html_m6f5a97d8.gif


hello_html_m3c3e0843.gifhello_html_34920f00.jpghello_html_b34b266.jpghello_html_4a0bd094.jpg

    1. Логико–математический анализ понятий темы.

Формулировка определения

Логический анализ

Подведение под понятие

Следствие из определения

Возможные ошибки

Термин

Род

Видовые отличия

Логические связи

Вид определения

Опорные знания

Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной (аргументом), а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а, называют зависимой переменной (функцией).

независимая переменная, зависимая переменная

переменная

значения S определяются выбранными значениями а

конъюнктивная

Через род и видовые отличия

Понятие переменной

S=50t,

S-зависимая переменная, t-независимая переменная

Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Путают, какая из переменных называется зависимой, а какая независимой.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты– соответствующим значениям функции.


График

График

абсциссы равны значениям аргумента, а ординаты– соответствующим значениям функции.

конъюнктивная

Через род и видовые отличия

Понятие координатной плоскости, оси абсцисс и ординат.

hello_html_4f136f49.gif

С помощью графика функции можно найти значение функции, соответствующее заданному значению аргумента и наоборот.

недостаточные знания о координатной плоскости, в связи с этим неправильные построения.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x–независимая переменная, k и b– некоторые числа.

Линейная функция

функция

y=kx+b, где x–независимая переменная, k и b– некоторые числа.

конъюнктивная

Через род и видовые отличия

Понятие функции, независимой переменной.

hello_html_m1f1684f2.gif


При формулировке определения учащиеся путают в формуле буквы x, k и b.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x– независимая переменная, k – не равное нулю число.

Прямая пропорциональность


y=kx, где x– независимая переменная, k – не равное нулю число.

конъюнктивная

Через род и видовые отличия

Понятие функции, независимой переменной.

hello_html_m3bbd071b.gif

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.



Таким образом, по данной теме представлено 4 новых определения: независимая переменная (аргумент), зависимая переменная (функция), график, линейная функция, прямая пропорциональность.


    1. Логико–математический анализ утверждений темы.

Формулировка утверждения

Структура утверждения

Форма формулировки

Вид утверждения

Достаточное, необходимое условие

Опорные знания

Разъяснительная часть

Условие

Заключение

Графики двух линейных функций y=kx+b и hello_html_733b9ed0.gifпересекаются, если hello_html_m3295ce9e.gif

линейные функции y=kx+b и hello_html_733b9ed0.gif

hello_html_m3295ce9e.gif

Графики пересекаются

Категоричная

Простое

необходимое условие

Понятие линейной функции, пересечения

Графики двух линейных функций y=kx+b и hello_html_733b9ed0.gifпараллельны, если hello_html_m6d022375.gif

линейные функции y=kx+b и hello_html_733b9ed0.gif

hello_html_m6d022375.gif

Графики параллельны

Категоричная

Простое

необходимое условие

Понятие линейной функции, параллельности


Представленные в теме утверждения рассматриваются как свойства функции, выражают необходимое условие. Данные утверждения простые и явно выделены в тексте. Всем утверждениям дается обоснование.


1.4. Логико–математический анализ алгоритмов и правил.

В явном виде алгоритм построения графика линейной функции не представлен.

Выделим основную последовательность действий при построении графика y=kx+b:

  1. Найти координаты двух точек графика

  2. Отметить данные точки на координатной плоскости

  3. Провести через полученные точки прямую

Данный алгоритм обладает свойствами:

  • Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любую линейную функцию;

  • Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;

  • Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;

  • Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;

  • Результативность, так как алгоритм дает результат.

Опорные знания: понятие линейной функции, координатной плоскости, построение точек по координатам.


Также можно выделить алгоритм построения графика функции y=kx:

  1. Найти координату одной точки графика, отличную от точки (0,0)

  2. Провести через полученную точку и точку начала координат прямую.

Данный алгоритм обладает свойствами:

  • Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любой график функции y=kx;

  • Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;

  • Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;

  • Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;

  • Результативность, так как алгоритм дает результат.

Опорные знания: понятие функции вида y=kx, координатной плоскости, построение точек по координатам.







2) Методика обучения учащихся данной теме

Ядром темы является:

  • Понятие линейной функции

  • Алгоритм построения линейной функции

Методика обучения математическим понятиям, утверждениям и методика формирования математических умений включает четыре этапа:

  1. Подготовительный этап;

  2. Введение;

  3. Усвоение;

  4. Закрепление.

При изучении темы «Линейная функция, ее свойства и график» рассматривается четыре новых понятия.

Приведем пример методики обучения учащихся понятию линейная функция.

  1. Подготовительный этап

    1. Мотивация.

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами, например:

  • Площадь круга зависит от его радиуса;

  • Масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла;

  • Объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.

Актуализация.

Фронтальный опрос класса:

– Сформулируйте определение функции.

– Сформулируйте определение графика функции

  1. Введение (абстрактно–дедуктивный метод)

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x–независимая переменная, k и b– некоторые числа.

Примеры линейной функции:

y=5x+1,

y=x+3,

y=7-9x,

y=-x+0, 5

  1. Усвоение. Задание классу:

  1. Определите, какие из ниже перечисленных функций являются линейными. (Ученик должен обосновать свой ответ)

S=3t

y=0,5x + 1,

y=2x2 + 3,

y=–2,

y=4–x

  1. Закрепление.

    1. Линейная функция задана формулой y=x+3. Найдите значение функции при х=-12, 0, 8.

    2. Найдите значение х, при которых функция у=0,5х+6 принимает значение, равное -16, 0, 8.


В теме «Линейная функция, ее свойства и график» описывается алгоритм построения линейной функции y=kx+b и алгоритм построения функции y=kx.Среди алгоритмов построения наиболее важным является алгоритм построения графика функции y=kx+b, так как функция y=kx является частным случаем линейной функции.

Рассмотрим пример методики формирования у учащихся умения строить графики линейной функции.

  1. Подготовительный этап

    1. Мотивация.

      • Как отмечаются точки на координатной плоскости?

      • Построить график функции y=x+3

    2. Актуализация.

Задание классу:

– Определите, какие из ниже перечисленных функций являются линейными:

S=3t

y=0,5x + 1,

y=2x2 + 3,

y=–2,

y=4–x

  1. Введение (конкретно–индуктивный метод).

Задача: построить график функции у=0,5х-2

Так как графиком линейной функции является прямая, то для того, чтобы ее построить достаточно, найти координаты двух точек графика.

х

0

4

у

-2

0

Пhello_html_7013dd4c.gifостроим координатную плоскость и отметим на ней точки, координаты которых указаны в таблице.






4

2 у=0,5х-2


-4 -2 о 2 4

-2

-4









По этому принципу можно построить график любой линейной функции. Сформулируем алгоритм:

  1. Найти координаты двух точек графика

  2. Отметить данные точки на координатной плоскости

  3. Провести через полученные точки прямую

3. Усвоение.

Задание классу: В одной и той же координатной плоскости постройте графики функции: y=0,5x + 1, y=–2, y=4–x, y=x+3, y=7-9x,

  1. Закрепление.

    1. перечислите этапы выполнения алгоритма.

    2. с помощью графика функции y=4–x найти значения х, при которых значение функции равно 0, -5, 3.


Таким образом, была рассмотрена методика обучения ядру темы «Линейная функция, ее свойства и график» на конкретных примерах, являющихся особенно важными при изучении данной темы.


    1. 3) Методика обучения решению задач темы.

Методика обучения решению задач проходит в 5 этапов:

  1. Анализ содержания задачи.

  2. Поиск способа решения.

  3. Оформление решения задачи.

  4. Проверка решения и запись ответа.

  5. Исследование задачи.

Приведем пример данной методики для решения задачи на построение графика линейной функции, так как эта задача является наиболее распространенной в теме «Линейная функция» и позволяет рассматривать свойства функции.

Задача. Построить график функции у=-2х+1.


  1. Анализ содержания задачи.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

О чем идет речь в задаче?

О графике функции

Что известно из условия задачи?

Уравнение линейной функции

Что требуется в задаче?

Построить график функции


  1. Поиск способа решения.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Что требуется в задаче?

Построить график функции

Что нужно знать, чтобы построить график?

Координаты двух точек графика

Можем ли теперь построить график?

Да, нужно провести через полученные точки прямую


  1. Оформление решения задачи.

    1. координаты двух точек графика: (0,1), (1/2,0).

    2. отметим на координатной плоскости данные точки.

    3. проведем прямую через полученные точки.






hello_html_14e35012.gifhello_html_m6ade5de7.gif


1


1 о 1/2

-1


у=-2х+1




    1. Проверка решения и запись ответа.

Проверка решения осуществляется подстановкой значений независимой переменной в функцию, через эти точки должен проходить график искомой функции. Запись ответа представляется в виде построенной функции.

    1. Исследование задачи.

Вопрос классу: Каким образом можно построить необходимый график?

Ответ: С помощью таблицы соответственных значений.

б) Практическая часть

  • План конспект урока;

  • Пример тестового задания для проверки усвоения понятия функции;

  • Лабораторно–практическая работа;

  • Самостоятельная работа;

  • Карточки с индивидуальным заданием;

  • Карточки с заданием по рядам.

Предложенный план конспект урока направлен на закрепление умений учащихся строить графики линейной функции, определять свойства этих функций. План урока – закрепления именно потому, что необходимо не только ввести понятие линейной функции, ее свойств и графика, но еще и закрепить умения решать задачи по данной теме. Лучше всего умения отрабатываются при решении практических заданий.

Применение тестов позволяет:

  1. проверять большой объем изученного материала малыми порциями;

  2. быстро диагностировать овладение учебным материалом большим массивом учащихся;

  3. оживить процесс обучения, вводя не только новую для учащихся форму контроля, но и различные виды тестов.

Самостоятельная работа подобрана таким образом, чтобы проверить усвоение учениками отдельных порций темы, понять, что вызывает затруднения при изучении темы.

Карточки с индивидуальным заданием позволяют проверить уровень усвоения темы каждого учащегося в отдельности.


План–конспект урока.

Тема: линейная функция и ее график.

Предмет, класс: алгебра, 7 класс.

Тип урока: урок-практикум.

Цели:

ОЦ: обеспечить отработку умения учащихся строить графики линейной функции, определять по графику свойства функции.

ВЦ: воспитывать самостоятельность, аккуратность, старательность.

РЦ: через организацию урока развивать логическое мышление, умение анализировать, выделять главное.

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

    1. Фронтальный опрос:

  • Каким образом строится график линейной функции?

  • Назовите основные этапы алгоритма построения графика линейной функции.

    1. По графикам функций (построены на доске) определите:

  • Значение у, соответствующее х=-3,5, 1,5.

  • Значение х, соответствующее у=-0,5, 4,5.

  • В какой точке пересекаются графики?

  • Какие графики параллельны, почему?

Уhello_html_14e35012.gifченики выполняют задание в тетради, с последующей проверкой у доски.

hello_html_8bce039.gifhello_html_8bce039.gifhello_html_728833d2.gif









  1. Выполнение упражнений (у доски и в тетрадях)

№344 (у доки и в тетрадях)

    1. x

      0

      1

      y

      -4

      -1

      y hello_html_m63e94860.gifhello_html_42971aaa.gif=3x+b, при b=-4; 0

yhello_html_m39925445.gif=3x-4


y=3x-4

hello_html_153d2c52.gifhello_html_153d2c52.gifhello_html_79ebe228.gifhello_html_79ebe228.gifhello_html_79ebe228.gifhello_html_79ebe228.gif

hello_html_683a3ebd.gifhello_html_153d2c52.gifhello_html_153d2c52.gifhello_html_5e9039cb.gifhello_html_153d2c52.gifhello_html_153d2c52.gif o


hello_html_14e35012.gif -4

hello_html_672cea0e.gif

y=3x

x

0

1

y

0

3

y=3x

hello_html_153d2c52.gif








hello_html_14e35012.gif



    1. yhello_html_3f85c768.gif=kx-2, при k=1; -1

x

0

2

y

-2

0

y=x-2



hello_html_14e35012.gify=x-2



hello_html_m2b6e6b19.gif

x

0

-2

y

-2

0

y=-x-2



y=-x-2



№324.

Постройте график прямой пропорциональности y=2x. Найдите с помощью графика:

  1. Какое значение принимает функция при х, равном 2; 2,5; 3; 4;

  2. При каком х значение функции равно 7.

Рhello_html_14e35012.gifhello_html_m51a49eba.gifешение.

hello_html_153d2c52.gifhello_html_153d2c52.gifhello_html_153d2c52.gify=2x y=2x

x

0

1

y

0

2

hello_html_153d2c52.gifhello_html_153d2c52.gif









  1. При х=2 у=4

х=2,5 у=5

х=3 у=6

х=4 у=8

  1. у=7 при х=3,5

№335

Каково взаимное расположение графиков функций:

  1. y=7x-4 и y=3x+8;

  2. y=10x+8 и y=-10x+6

  3. y=3x-5 и y=-6x+1

  4. y=-4x и y=-4x-5

  5. y=3x+1 и y=-4x+1

  6. y=12x и y=-8x

  1. Итог урока.

  • Определение линейной функции?

  • Что является ее графиком?

  • Какие свойства линейной функции мы пользовались на уроке?

Тест

Заполните пропуски в истинном утверждении.

  1. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует……………… переменной у.

  2. Все значения независимой переменной образуют область………….. функции.

  3. Если функция задана формулой, то область определения этой функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула……………

  4. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны ……………………, а ординаты– ………………

  5. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида……………………………………………………………………………

  6. Графиком линейной функции является………………………

  7. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида……………………………………………………………….

  8. Графиком прямой пропорциональности является…………., проходящая через……………..

  9. Графики двух линейных функций пересекаются, если…………………………..

  10. Графики двух линейных функций параллельны, если………………………

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

баллы

1

1

1

1

2

1

2

1

2

2

Шкала балловых оценок

Процент выполненных учащимися заданий от предложенных заданий теста

Менее 60%

60-70%

75-90%

Более 90%

Расчет в баллах

Менее 5

5-8

8-10

10-14

Оценка за выполненную часть теста

2

3

4

5

Лабораторно–практическая работа.

  1. Постройте график функции и найдите область ее определения.

ВАРИАНТ 1

  1. y=3x+2

ООФ: х–…

х



У



  1. y=3х

ООФ: х–…

х



У



  1. y=3x-2

ООФ: х–…

х



У



  1. y=3x-4

ООФ: х–…

х



У



hello_html_14e35012.gifhello_html_14e35012.gif







ВАРИАНТ 2

  1. y=-3x+2

ООФ: х–…

х



У



  1. y=-3х

ООФ: х–…

х



У



  1. y=-3x-2

ООФ: х–…

х



У



  1. y=-3x-4

ООФ: х–…

х



У




Ответьте на вопросы.

ВАРИАНТ 1, 2

  1. Графики функции представляют собой…

  2. В каких координатных четвертях расположены графики?

  3. Что общего в формулах этих функций?

  4. Каково значение коэффициента?

  5. Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?


Самостоятельная работа.

ВАРИАНТ 1

  1. Постройте график функции y=1/2x-4.

  2. Используя график y=1/2x-4, найдите значение х, при котором у=3.

  3. График функции y=kx-5 проходит через точку М(-7, 12). Найдите k.

  4. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями y=4x и y=-x+10.

  5. Найдите координаты точки пересечения графика y=1/2x-4 с осями координат.

ВАРИАНТ 2

  1. Постройте график уравнения 3x-y-5=0.

  2. Постройте график функции y=kx+5, если известно, что он проходит через точку А(3, 4).

  3. Постройте график функции y=kx+, если известно, что он проходит через точку М(2, 1) и параллелен прямой y=3x-1.

  4. Постройте график функции y=hello_html_1b281b58.gif+2.

  5. Найдите угол между прямыми y=x-1и y=-x.

Карточки с индивидуальным заданием

Является ли линейной функция, заданная формулой:

  1. hello_html_9e4511b.gif;

  2. hello_html_125bd572.gif;

  3. hello_html_386718cd.gif;

  4. hello_html_mf16833f.gif?


Является ли линейной функция, заданная формулой:

  1. hello_html_9e4511b.gif;

  2. hello_html_125bd572.gif;

  3. hello_html_386718cd.gif;

  4. hello_html_mf16833f.gif?


Функция задана формулой y=2x-1.

  1. Постройте график этой функции.

  2. Принадлежат ли построенному графику точки А(1,2, -2,5) и В(-8, -17)?


Функция задана формулой y=x/2-4.

  1. Постройте график этой функции.

  2. Принадлежат ли построенному графику точки А(0,4, -3,8) и В(-24, -13)?


Графики функции y=3x+b и y=kx-6 симметричны относительно оси абсцисс.

  1. Найдите числа k и b.

  2. Найдите точку пересечения графиков этих функций.


Графики функции y=x/2+b и y=kx+2 симметричны относительно оси ординат.

  1. Найдите числа k и b.

  2. Найдите точки пересечения графиков этих функций с осью абсцисс.


8. Заключение


В проекте была проведена следующая работа:

  1. Анализ содержания темы «Линейная функция, ее свойства и график».

  2. Описание методики обучения данной теме.

  3. Проведен подбор соответствующих дидактических материалов.

Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе.



9hello_html_m3c3e0843.gifhello_html_m5aa6adf7.gif. Литература


  1. Антонова Т.И. Теория и методика обучения математике: Учебное пособие по системе профессиональной подготовки учителя общеобразовательных учреждений для студентов 3 курса, обучающихся по специальности 032100.00 «Математика с дополнительной специальностью»: В 3ч./ Авторы– сост. Т.И. Антонова, Т.С. Кармакова, Р.Г. Колпаков, – Хабаровск: Издательство ХГПУ, 2004.- Часть 1.

  2. Г.И. Саранцев: Методика обучения математике в средней школе- М.: Просвещение, 2002.

  3. О.Б. Ершов, В.И. Крупич: Учить школьников учиться математике- М.: Просвещение, 1990.

  4. Я.И. Груденов: Совершенствование методики работы учителя математики- М.: Просвещение, 1990.

  5. Алгебра 7 класс, Алимов Ш. А.–М.: Просвещение, 2002.

  6. Алгебра 7 класс, Макарычев Ю. Н.–М.: Просвещение, 2003.

  7. Алгебра 7 класс с углубленным изучением математики, Макарычев Ю. Н.–М.: Мнемозина, 2004.

  8. Газета «Математика» №20-2002. Тема: «Графики функций»/С. Нечаев, – М.: Просвещение.

  9. Газета «Математика» №44-2004. Тема: «Линейная функция и ее график»/В. Соколов, – М.: Просвещение.

  10. Газета «Математика» №38-2002. Тема: «Линейная функция и ее график». новые дидактические материалы./Б. Зив, В. Гольдич – М.: Просвещение.

  11. Газета «Математика» №13-2004. Преподавание темы: «Линейная функция и ее график»/Л. Цымбал, – М.: Просвещение.


Автор
Дата добавления 27.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров808
Номер материала ДВ-386323
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх