Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Учебно методический комплекс дисциплины ЕН.01 Математика, специальность 15.02.07
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебно методический комплекс дисциплины ЕН.01 Математика, специальность 15.02.07

Выбранный для просмотра документ ЕН.01 Математика МУ для преп 15.02.07.docx

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Красноярский промышленный колледж

(КПК НИЯУ МИФИ)


УТВЕРЖДАЮ:

Зам.директора по УР

КПК НИЯУ МИФИ

_________А.Л. Подойницына

«___»______________20____г.




МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ


учебной дисциплины ЕН.01 МАТЕМАТИКА



Для специальности


15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств ( по отраслям)










2015 г

Методические рекомендации для преподавателей охватывают общеметодические вопросы ведения учебной дисциплины, организации промежуточной аттестации, планирования учебной работы и т. д., предлагают технологии работы преподавателя по подготовке к учебным занятиям, освещают вопросы методики преподавания учебной дисциплины, применения образовательных технологий.





Разработчик:


Ермакова Т.С., преподаватель КПК НИЯУ МИФИ



Рассмотрена цикловой методической комиссией естественно-научных дисциплин, протокол № __ от « __ » ___________ 20__ г.


Рекомендована учебно-методическим советом колледжа,

протокол № __от «__»______________20 __г.

Содержание

1. Требования к содержанию дисциплины


Учебная дисциплина ЕН.01 Математика является частью программы подготовки специалистов среднего звена(ППССЗ) в соответствии с ФГОС СПО, рассчитана на студентов второго курса специальности 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств ( по отраслям).

Учебная дисциплина входит в цикл математических и общих естественнонаучных учебных дисциплин.

Преподавание дисциплины ЕН.01 Математика предполагает проведение лекционных и практических занятий, самостоятельную работу студентов, направляемую преподавателем.


Требования ФГОС СПО к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения учебной дисциплины обучающийся должен:

уметь:

  • применять математические методы для решения профессиональных задач;

  • использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

знать:

  • основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики.

Содержание дисциплины должно быть ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ППССЗ по специальности 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств ( по отраслям).

В процессе освоения дисциплины у студентов должны формироваться общие и профессиональные компетенции (ОК, ПК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ПК 4.1. Проводить анализ систем автоматического управления с учетом специфики технологических процессов.

ПК 4.2. Выбирать приборы и средства автоматизации с учетом специфики технологических процессов.

ПК 4.3. Составлять схемы специализированных узлов, блоков, устройств и систем автоматического управления.

ПК 4.4. Рассчитывать параметры типовых схем и устройств.

ПК 4.5. Оценивать и обеспечивать эргономические характеристики схем и систем автоматизации.

ПК 5.1. Осуществлять контроль параметров качества систем автоматизации.

ПК 5.2. Проводить анализ характеристик надежности систем автоматизации.

ПК 5.3. Обеспечивать соответствие состояния средств и систем автоматизации требованиям надежности.


2. Перечень элементов учебно-методического комплекса:


Нормативный блок:

1.Рабочая программа учебной дисциплины.

2.Учебно-методическое обеспечение дисциплины по видам занятий в соответствии с рабочей программой.

Теоретический блок:

Конспекты лекций:

Практический блок:

Практические работы:

  1. Решение задач на все действия с матрицами, вычисление определителей матриц.

  2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса и матричным способом.

  3. Решение систем линейных уравнений матричным способом..

  4. Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Решение задач на множестве комплексных чисел.

  5. Представление в тригонометрической и показательной формах чисел, заданных в алгебраической форме.

  6. Решение задач на множестве комплексных чисел.

  7. Вычисление пределов, производных и дифференциалов функций.

  8. Нахождение производной сложных функций.

  9. Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки, интегрирование по частям.

  10. Вычисление определенных интегралов. Решение задач на вычисление физических величин, пути, пройденного точкой.

  11. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла.

  12. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

  13. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

  14. Решение задач на определение сходимости рядов. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена.

  15. Решение задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения и умножение вероятностей. Составление закона распределения случайной величины, вычисление ее числовых характеристик.

Блок оценочно-диагностических средств и контрольно-измерительных материалов:

-фонд оценочных средств, включающий вопросы устного опроса, тестовые задания для текущего контроля, теоретические вопросы и практические задания для промежуточной аттестации по учебной дисциплине.

Методический блок:

- методические рекомендации по учебной дисциплине для преподавателя;

- методические рекомендации по учебной дисциплине для студентов.

3. Методические рекомендации по проведению лекционных занятий


Основная дидактическая цель лекции — обеспечение ориентировочной основы для дальнейшего усвоения учебного материала.

Дидактические принципы лекции:

  1. принцип научности (предполагает воспитание диалектического подхода к изучаемым предметам и явлениям, диалектического мышления, формирование правильных представлений, научных понятий и умения точно выразить их в определениях и терминах, принятых в науке);

  2. принцип связи теории с практикой (выражается в раскрытии связи теоретических закономерностей и знаний с их практическим применением);

  1. принцип систематичности и последовательности (выражается в построении логической модели лекции с выделением опорных пунктов, правильном соотношении теоретического и фактического материала, в гармонии структурных составных частей (вступление, основная часть, заключение), четком выделении центральных идей, формулировке выводов, установлении связей с другими предметами, взаимосвязи понятий и тем, индуктивного и дедуктивного способов изложения).

Функции лекции:

Информационная функция – лекция знакомит студента с логично структурированным основным содержанием учебной темы через раскрытие научных фактов и явлений, основных положений и выводов, законов и закономерностей в их последовательной доказательности.

Ориентирующая функция – лекция управляет профессионально-мотивационной направленностью студентов через отбор основных источников содержания, анализ различных научных школ и теорий.

Методологическая функция – преподаватель руководит научным мышлением студента через раскрытие методов исследования, сравнение и сопоставление принципов, предпосылок, подходов и приемом научного поиска; формирует понятийный аппарат студента.

Управляющая функция – проявляется в педагогическом руководстве процессом познания, активизацией мыслительной деятельности студентов, развитием их восприятия и памяти.

Увлекающая (воодушевляющая) функция – лекция формирует у студента эмоционально-оценочное отношение к предмету изучения, внутреннюю мотивацию на познание предъявляемого объема сведений.

Виды лекций:

Информационная лекция. В информативной лекции содержание непосредственно передается преподавателем в готовом виде через монолог. Это самый распространенный тип лекции, поскольку требует меньше всего затрат времени на подготовку. Данный тип лекции оптимален, когда материал «разбросан» по разным источникам информации, недоступен студенту, труден для понимания, или это совершенно новый материал.

Проблемная лекция. В проблемной лекции иллюстрируется какая-либо научная или практическая проблема: ее появление, направление, способы решения, а также последствия этого решения. Рассуждая, лектор публично демонстрирует процесс решения мыслительной задачи, что ценно для обучения студентов навыкам мыслительных действий.

Для каких тем следует использовать проблемные лекции – решать самому преподавателю, но предпочтительно излагать в проблемном ключе основной вопрос или основные понятия любой темы.

Лекция-визуализация. Реализует дидактический принцип наглядности через использование визульных и аудио-визуальных технических средств предъявления информации.

Выделяют несколько типов учебных фильмов:

а) иллюстративно-просветительские (для повышения наглядности и обобщения материала);

б) научно-популярные (для возбуждения интереса к учебной дисциплине);

в) научные (для наглядного представления динамики разнообразных

процессов и явлений).

В зависимости от типа учебного фильма, который демонстрируется на лекции, лекции-визуализации могут проводиться в начале преподавания нового учебного предмета, в процессе изучения предмета и для обобщения знаний по предмету.

Лекция-беседа, или «диалог с аудиторией», наиболее распространенная и сравнительно простая форма активного вовлечения слушателей в учебный процесс. Она предполагает непосредственный контакт преподавателя с аудиторией. Ее преимущество состоит в том, что она позволяет привлекать внимание слушателей к наиболее важным вопросам темы, определять содержание и темп изложения учебного материала с учетом особенностей аудитории. Участие студентов в лекции – беседе обеспечивается вопросами к аудитории, которые могут быть как элементарными, так и проблемными. Вопросы могут как предварять информационный блок, так и резюмировать содержание блока.

Лекция-дискуссия предполагает организованный преподавателем свободный обмен мнениями в интервалах между логическими разделами лекции.

Вне зависимости от типа к лекции предъявляются следующие требования:

  1. 1) высокий научный уровень излагаемой информации, имеющей, как правило, мировоззренческое значение;

  2. 2) объем научной информации должен быть четко систематизирован и методически проработан;

  3. 3) высказываемые суждения доказательны, аргументированы;

  4. 4) лекционный материал должен быть доступен для понимания;

  5. 5) вводимые термины и названия должны быть разъяснены;

  6. 6) главные мысли и положения должны быть выделены, формулировки выводов четкие, лаконичные;

  7. 7) студентам должна быть предоставлена возможность слушать, осмысливать и кратко записывать информацию;

  8. 8) организация обратной связи на лекции (прямые вопросы к аудитории, совместное размышление вслух, письменный опрос и т.д.);

  9. 9) использование дидактических материалов, средств наглядности, в т. ч. технических.


4. Методические рекомендации по проведению практических занятий


Ведущей дидактической целью практических занятий является формирование практических умений - профессиональных или учебных, необходимых в последующей учебной и профессиональной деятельности.

В соответствии с ведущей дидактической целью содержанием практических занятий является решение разного рода задач, в том числе профессиональных (анализ проблемных ситуаций, решение ситуационных производственных задач, выполнение профессиональных функций в учебных и деловых играх и т.п.)

Наряду с формированием умений и навыков в процессе практических занятий обобщаются, систематизируются, углубляются и конкретизируются теоретические знания, вырабатывается способность и готовность использовать теоретические знания на практике, развиваются интеллектуальные умения.

Для повышения эффективности проведения практических занятий рекомендуется:

  1. подчинение методики проведения занятий ведущим дидактическим целям с соответствующими установками для студентов;

  2. использование в практике преподавания активных методов обучения;

  3. применение коллективных и групповых форм работы, максимальное использование индивидуальных форм с целью повышения ответственности каждого студента за самостоятельное выполнение полного объема работ;

  4. проведение занятий на повышенном уровне трудности с включением в них заданий, связанных с выбором студентами условий выполнения работы, конкретизацией целей, самостоятельным отбором необходимых методов и средств решения задач;

  5. подбор дополнительных задач и заданий для студентов, работающих в более быстром темпе, для эффективного использования времени, отводимого на занятии и т.д.


5. Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов


В образовательном процессе СПО выделяется два вида самостоятельной работы: аудиторная - под руководством преподавателя и внеаудиторная. Тесная взаимосвязь этих видов работ предусматривает дифференциацию и эффективность результатов ее выполнения и зависит от организации, содержания, логики учебного процесса, меж предметных связей.

Аудиторная самостоятельная работа по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.

Основными видами самостоятельной работы студентов без участия преподавателей являются:

  1. формирование и усвоение содержания конспекта лекций на базе рекомендованной преподавателем учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки и др.);

  2. написание сообщений;

  3. подготовка к практическим занятиям;

  4. выполнение домашних заданий и индивидуальных работ по отдельным темам и разделам дисциплины и т.д.

Методическое пособие по организации СРС выполняет направляющую роль, указывает, в какой последовательности следует изучать материал дисциплины, обращает внимание на особенности изучения отдельных тем и разделов, помогает отбирать наиболее важные и необходимые сведения из учебных пособий, а также давать объяснения вопросам программы курса, которые обычно вызывают затруднения. При этом преподавателю необходимо учитывать следующие моменты:

  1. 1. Не следует перегружать студентов творческими заданиями.

  2. 2. Чередовать творческую работу на занятиях с заданиями во внеаудиторное время.

  3. 3. Давать студентам четкий инструктаж по выполнению самостоятельных заданий.

4. Осуществлять текущий учет и контроль за самостоятельной работой.

Технология организации контроля самостоятельной работы студентов включает тщательный отбор средств контроля, определение его этапов, разработку индивидуальных форм контроля.

Для обеспечения эффективности самостоятельной работы студентов необходимо:

  1. обоснованное сочетание объемов аудиторной и самостоятельной работы;

  2. методически правильно организовать работу студента в аудитории и вне ее;

  3. обеспечение студента необходимыми методическими материалами с целью превращения процесса самостоятельной работы в процесс творческий;

  4. использование методов активного и интерактивного обучения;

  5. контроль за организацией и ходом СРС и мер, поощряющих студента за ее качественное выполнение;

  6. обеспечение методическими разработками тем для самостоятельного изучения, списками рекомендованной литературы.


6. Применение активных и интерактивных технологий


Учебный процесс по учебной дисциплине проводится с использованием как традиционных (лекции, семинары, практические занятия, лабораторные работы в специализированных кабинетах, работа в библиотеках и т. п.), так и инновационных (использование мультимедийных средств, интерактивное обучение, работа в сети Интернет, деловые игры, творческие конкурсы и т. п.) форм и технологий образования.

Реализация компетентностного подхода предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий (деловых и ролевых игр, разборов конкретных ситуаций) в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.


7. Методические рекомендации по оценке и контролю знаний студентов


7.1 Критерии оценки устного ответа и выполнения практического задания на дифференцированном зачете


7.2 Критерии оценки знаний студентов к практическим работам


Оценка «отлично» выставляется студенту, если:

  • полно раскрыто содержание материала в объёме программы;

  • ответ самостоятельный, при ответе использованы знания, приобретенные ранее;

  • показано умение применять теоретические знания на практике;

  • выбраны рациональные способы выполнения задания, задание выполнено полностью;

  • даны ответы на все контрольные вопросы;

  • отчет составлен в соответствии с требованиями;

  • работа сдана в срок.

Оценка «хорошо» выставляется студенту, если:

  • в полном объеме усвоен программный материал;

  • показано умение применять теоретические знания на практике;

  • задание выполнено полностью, но допущены незначительные неточности, которые исправляются в присутствии преподавателя;

  • в ответах на контрольные вопросы допущено не более двух недочетов;

  • отчет составлен в соответствии с требованиями;

  • практические навыки не твердые.

Оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если:

  • усвоено основное содержание материала, но изложение фрагментарное, не всегда последовательное;

  • задание выполнено не полностью, но объем выполненной части таков, что позволяет получить правильные результаты;

  • при ответе не использовались знания полученные ранее;

  • в ходе проведения работы были допущены ошибки (не более двух грубых ошибок и двух недочетов);

  • практические навыки слабые

  • отчет составлен с нарушением требований.

Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, если:

  • работа не выполнена или объем выполненной ее части не позволяет получить результаты;

  • нет практических навыков использования материала

  • допущено больше ошибок и недочетов, чем необходимо для оценки 3;

  • отчет по практической работе не подготовлен..


7.3 Критерии оценки сообщений


Оценка «отлично» - обозначена проблема и обоснована её актуальность, сделан краткий анализ различных точек зрения на рассматриваемую проблему и логично изложена собственная позиция, сформулированы выводы, тема раскрыта полностью, выдержан объём, соблюдены требования к внешнему оформлению, даны правильные ответы на дополнительные вопросы.

Оценка «хорошо» – основные требования к сообщению и его защите выполнены, но при этом допущены недочёты. В частности, имеются неточности в изложении материала; отсутствует логическая последовательность в суждениях; не выдержан объём сообщения; имеются упущения в оформлении; на дополнительные вопросы при защите даны неполные ответы.

Оценка «удовлетворительно» – имеются существенные отступления от требований. В частности: тема освещена лишь частично; допущены фактические ошибки в содержании сообщения или при ответе на дополнительные вопросы; во время защиты отсутствует вывод.

Оценка «удовлетворительно» – имеются существенные отступления от требований. В частности: тема освещена лишь частично; допущены фактические ошибки в содержании сообщения или при ответе на дополнительные вопросы; во время защиты отсутствует вывод.

Оценка «неудовлетворительно» – тема сообщения не раскрыта, обнаруживается существенное непонимание проблемы.


7.4 Критерии оценки тестовых заданий


Процент выполнения задания / Отметка:

90 -100%% - отлично

80-89 %% - хорошо

66-79%% - удовлетворительно

менее 66% - неудовлетворительно


8. Рекомендации по проведению зачета


Зачет по дисциплине ЕН.01 Математика проводится в следующем порядке:

сначала студент дает ответы на теоретические вопросы, которые оформляет в экзаменационном листе ответа или излагает в устной форме,

затем студент выполняет практические задания письменно на экзаменационном листе.

Сложность вопросов соответствует базовому компоненту действующей учебной программы дисциплины.

Вопросы и практические задания зачета охватывают материал всех разделов дисциплины и включают в себя темы:

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

Тема 1.2 Системы линейных уравнений

Раздел 2. Основы теории комплексных чисел.

Тема 2.1 Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа.

Тема 2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Раздел 3 Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 3.1 Дифференциальное исчисление функции

Тема 3.2 Исследование функции при помощи производной

Тема 3.3 Интегральное исчисление функции: неопределенный интеграл

Тема 3.4 Интегральное исчисление функции: определенный интеграл

Раздел 4 Дифференциальные уравнения

Тема 4.1 Дифференциальные уравнения

Раздел 5 Последовательности и ряды

Тема 5.1 Числовые и степенные ряды

Раздел 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Тема 6.1 Основы теории вероятностей и математической статистики


Теоретические вопросы для зачета по дисциплине ЕН.01 Математика для студентов очной формы обучения:

  1. 1. Понятие матрицы. Действия с матрицами.

  2. 2. Определитель матрицы.

  3. 3. Понятие систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

  1. 4. Понятие комплексного числа, алгебраическая форма записи.

  2. 5. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

  3. 6. Понятие тригонометрической и показательной форм комплексного числа.

  4. 7. Последовательности и их пределы. Предел функции.

  5. 8. Первый и второй замечательный пределы.

  6. 9. Дифференциал функции. Производные функций.

  7. 10. Методы и правила дифференцирования сложных функций.

  8. 11. Производные высших порядков.

  9. 12. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Табличное интегрирование.

  10. 13. Интегрирование заменой переменных.

  11. 14. Интегрирование по частям.

  12. 15. Определенный интеграл. Свойства определенных интегралов.

  13. 16. Вычисление определенных интегралов.

  14. 17. Понятие дифференциального уравнения. Общие и частные решения дифференциальных уравнений.

  15. 18. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

  16. 19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

  17. 20. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

  18. 21. Элементы комбинаторики. Определение вероятности. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

  19. 22. Задачи математической статистики. Основные понятия. Основные выборочные характеристики.


Практические задания для зачета по дисциплине ЕН.01 Математика для студентов очной формы обучения:

1. Вычислить определитель матрицы .

2. Вычислить определитель матрицы .

3. Решить методом Крамера систему линейных уравнений .

4. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений .

5. Решить методом Крамера систему линейных уравнений .

6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений .

7. Найдите алгебраические дополнения А23, А31, А12, если .

8. Найдите обратную матрицу А-1, если .

9. Найдите обратную матрицу А-1, если .

10. Вычислите .

11. Вычислите .

12. Вычислите .

13. Вычислите .

14. Решите уравнение .

15. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число: .

16. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число: .

17. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число: .

18. Найти предел функции .

19. Найти предел функции .

20. Найти предел функции

21. Вычислить предел функции .

22. Вычислить предел функции .

23. Вычислить предел функции .

24. Вычислить производную функции .

25. Вычислить производную функции .

26. Вычислить производную функции .

27. Вычислите , если .

28. Вычислите , если .

29. Найдите , если .

30. Найдите , если .

31. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

32. Найти неопределенный интеграл .

33. Найти неопределенный интеграл .

34. Найти неопределенный интеграл .

35. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

36. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

37. Вычислить по формуле Симпсона , приняв .

38. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену .

39. Разложите в ряд Маклорена функцию .

40. Разложите в ряд Тейлора по степеням функцию .

41. Решите уравнение .

42. Решите уравнение .

43. Найти вероятность выпадения числа кратного 2 при однократном бросании игрального кубика.

44. Найти вероятность выпадения цифры 1 или 6 при однократном бросании игрального кубика.

45. В урне 12 красных, 10 зеленых и 8 синих шаров. Найти вероятность, что вынутый наугад шар будет красный.

46. Найдите математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной законом распределения





9. Список основной и дополнительной литературы по дисциплине


Основная литература:

  1. Омельченко В.П., Курбатова Э. Математика: учебник СПО/В.П. Омельченко, Э.Курбатова-9-е изд.,стереотип. –Ростов н/Дону: Феликс, 2014, 380. ISBN 978-5-222-22752-7.

Дополнительная литература:

  1. Баврин, И.И. Высшая математика: Учебник для студентов высших учебных заведений./ И.И. Баврин, В.Л.Матросов–М.: Гуманит. издат. центр ВЛАДОС, 2002.-400с. ISBN 5-691-00372-0.

  2. Богомолов, Н.В. Практические задания по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Н.В. Богомолов, 9-е изд., стереотип.–М.: Высшая школа, 2006.-495с. ISBN 5-06-003940-4.

  3. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко -5-е изд., перераб. и доп.–М.: Издательство Юрайт, 2013.-396с. ISBN 978-5-9916-2204-2.

  4. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Н.В. Богомолов, 6-е изд., стереотип.–М.: Дрофа, 2010.-204с. ISBN 978-5-358-07916-8.

  5. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2-е изд., стереотип. -М.: Издательский центр «Академия», 2002.-304с. ISBN 5-7695-1019-6.

  6. Афанасьева, О.Н. и др. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учебн. Пособие для техникумов /О.Н. Афанасьева, Я.С.Бродский, И.И. Гуткин, А.П.Павлов- М.: Наука, 1987.-208с.

  7. Валуце И.И..Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Валуцэ, Т.Д. Дилигул.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука,1990.-576с. ISBN 5-02-013930-0

  8. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: учебное пособие для техникумов. / П.Т. Апанасов, М.И. Орлов–М.: Высшая школа., 1987.-303с.

  9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. / М.Я. Выгодский--М.: Астрель, 2002.-992. ISBN 5-17-012238-1.

  10. Виноградов И.М. Элементы высшей математики: учебник для вузов/И.М.Виноградов –М.: Высшая школа, 1999, 511. ISBN5-06-003611-1.

  11. Гончарова Г.А. Элементы дискретной математики:Учебное пособие/ Г.А. Гончарова. –М.: Форум Инфра-М, 2003, 128с. ISBN 5-8199-0059-6.

  12. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. В 2х частях. Часть 1/Д. Письменный. -2-е изд., испр. –М.: Айрис Пресс, 2003, 288. ISBN 5-8112-0151-6.

  13. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. В 2х частях. Часть 2/Д. Письменный. -2-е изд., испр. –М.: Айрис Пресс, 2003, 256. ISBN 5-8112-0190-7

  14. Шипачев, В.С. Основы высшей математики: Учебн. Пособие для ВУЗов / под ред. акад. А.Н.Тихонова– 3-е изд, стер. -М.: Высшая Школа, 1998.-479. ISBN 5-06-003512-3

  15. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. Пособие для ВУЗов / В.С. Шипачев– 2-е изд, испр. -М.: Высшая Школа, 2001.-304. ISBN 5-06-003575-1

  16. Шипачев, В.С. Математический анализ: Учебн. Пособие для ВУЗов / В.С.Шипачев–М.: Высшая Школа, 1999.-176. ISBN 5-06-003510-7

Электронные пособия и интернет-ресурсы:

  1. Ищенко А.Ю. и др. Математическое моделирование. Линейное программирование. –М.: Е-Медиа, 2004 -1.(электронный оптический диск)

  2. Математика [Электронный ресурс] / Режим доступа http://www.mathematics.ru - учебный материал по разделам ,тренажеры по решению алгебраических уравнений.


1

Выбранный для просмотра документ ЕН.01 Математика МУ к СР ст 15.02.07.doc

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Красноярский промышленный колледж

(КПК НИЯУ МИФИ)



УТВЕРЖДАЮ:

Зам.директора по УР

КПК НИЯУ МИФИ

_________А.Л. Подойницына

«___»______________20____г.


МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по организации самостоятельной работы студента

учебной дисциплины ЕН.01 МАТЕМАТИКА



Для специальности


15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)









2015 г

Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта специальности среднего профессионального образования 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям).





Составители:


Ермакова Т.С., преподаватель КПК НИЯУ МИФИ



Рассмотрена цикловой методической комиссией естественно-научных дисциплин, протокол № __ от « __ » ___________ 20__ г.


Рекомендована учебно-методическим советом колледжа,

протокол № __от «__»______________20 __г.

Содержание

  1. 1 Введение…….….………………………………………………………………………………….4

  2. 2 Пояснительная записка..………………………………………………………………………….5

  3. 3 Перечень самостоятельных работ..…………………………………………………………..…..6

  4. 4 Содержание самостоятельной работы…….……………………………………………………10

  5. 5 Методические рекомендации к выполнению самостоятельных работ…….…………………

5.1 Работа с учебной литературой, конспектирование…………….…………………….

5.2 Работа над изучаемым материалом при подготовке к практическим занятиям…...

5.3 Подготовка к устному опросу/докладу……………………………………………….

5.4 Подготовка к письменному опросу……………………………………………………

5.5 Подготовка рефератов…………………………………………………………………

5.6 Подготовка материала-презентации………………………………………………….

5.7 Выполнение исследовательской, творческой работы……………………………….

  1. 6 Требования к выполнению заданий по образцу……………………………………………….

  2. 7 Контроль результатов самостоятельной работы студентов…………………………………..

  3. 8 Критерии оценки результатов самостоятельной работы студента…………………………..

  4. 9 Учебно-методическое и информационное обеспечение……………………………………..

  5. 10 Приложения

    1. Приложение 1 Образец титульного листа……………………………………………….

    2. Приложение 2 Образец оглавления………………………………………………………

    3. Приложение 3 Образец оформления конспекта…………………………………………

    4. Приложение 4 Образец оформления письменной работы……………………………..

    5. Приложение 5 Методические указания по подготовке презентации………………..


  1. Введение


Изучение учебной дисциплины ЕН.01 Математика базируется на знаниях, умениях и навыках, полученных студентами при изучении математики в курсе основной общеобразовательной школы.

Самостоятельная работа студентов проводится с целью:

  1. систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

  2. углубления и расширения теоретических знаний;

  3. формирования умений использовать нормативную и правовую документацию, справочную и специальную литературу;

  4. развития познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

  5. формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

  6. развития исследовательских умений.

Предлагаемые методические рекомендации по организации самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Математика предназначены для студентов 2 курса, позволяют систематизировать материалы по планированию и проведению самостоятельной работы студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования.


  1. Пояснительная записка


В новых социально-экономических условиях все более актуальной становится проблема формирования активной личности, способной самостоятельно ставить перед собой цели и задачи, и затем объективно оценивать результаты своей деятельности. Современному обществу требуются специалисты, обладающие логическим мышлением, умеющие рационально организовывать свою деятельность и, главное, способные самостоятельно приобретать знания, необходимые для дальнейшего самообразования и карьерного профессионального роста.

Самостоятельная работа студента – вид учебной деятельности студента, требующий большой подготовительной деятельности преподавателя математики. Самостоятельная работа позволяет оптимально сочетать теоретическую и практическую составляющие обучения. При этом обеспечивается переосмысление места и роли теоретических знаний, их упорядочивание, что, в конечном счёте, приводит к повышению мотивации обучающихся в их освоении. Самостоятельная работа планируется и организуется с целью углубления и расширения теоретических знаний, формирования логического мышления, осуществления дифференцированного подхода к студентам, овладения умениями решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности. Планомерная организация этой работы позволяет оперативно обновлять содержание образования, создавая предпосылки для формирования общих компетенций и обеспечивая, таким образом, качество подготовки специалистов на конкурентоспособном уровне.

Данные методические рекомендации составлены на основании «Рекомендации по планированию и организации самостоятельной работы студентов общеобразовательных учреждений среднего профессионального образования в условиях действия ГОС СПО» (Приложение к письму Минобразования России от 29.12.2000 № 16-52-138 ин16/13).

В ходе выполнения самостоятельной работы по математике у студентов формируются следующие общие компетенции:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

Возможны следующие виды самостоятельной работы студентов по математике:

  • решение заданий по образцу;

  • опережающие домашние задания;

  • выполнение заданий по алгоритму;

  • типовые расчеты;

  • составление алгоритмов для типовых заданий;

  • составление и решение самостоятельно составленных заданий;

  • выполнение расчетно-графических работ;

  • составление и заполнение таблиц для систематизации учебного материала;

  • ответы на контрольные вопросы;

  • составление или решение математического кроссворда на математические понятия, определения и т.п.;

  • творческие работы (реферат, доклад, сообщение, сочинение);

  1. Перечень самостоятельных работ


Тема

Кол-во часов

Вид работы

Цель

Контроль

Раздел 1 Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

Вычисление определителей разложением по какой-нибудь строке или столбцу. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.

4

Изучение материала и решение заданий по образцу

Углубление ранее изученного материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Тема 1.2 Системы линейных уравнений

Решение СЛУ с n неизвестными. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

4

Изучение материала и решение заданий по образцу

Углубление ранее изученного материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Раздел 2 Основы теории комплексных чисел

Тема 2.1 Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа

Решение задач на множестве комплексных чисел. Решение систем уравнений в поле С. Полярная система координат, истории возникновения.

2

Изучение материала и решение заданий по образцу

Самостоятельное изучение материала

Дополнительное изучение теоретического материала и практического применения по теме.

Индивидуальная защита выполненного задания

Тема 2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел

Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формула Муавра. Применение метода комплексных чисел для решения прикладных задач специальности.

4

Изучение материала и решение заданий по образцу

Углубление ранее изученного и изучение нового материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Раздел 3 Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 3.1 Дифференциальное исчисление функции

Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Составление уравнений касательной и нормали.

4

Изучение материала и решение заданий по образцу


Самостоятельное изучение материала

Углубление ранее изученного и изучение нового материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Тема 3.2 Исследование функции при помощи производной

Исследование функций с помощью первой и второй производных и построение графиков различных функций.

2

Изучение материала и решение заданий по образцу

Углубление ранее изученного и изучение нового материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Тема 3.3 Интегральное исчисление функции: неопределенный интеграл

Вычисление неопределенного интеграла. Методы интегрирования отдельных функций.

2

Изучение материала и решение заданий по образцу


Самостоятельное изучение материала

Углубление ранее изученного и изучение нового материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Тема 3.4 Интегральное исчисление функции: определенный интеграл

Приложения определенного интеграла к решению задач специальности.

Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел.

4

Изучение материала и решение заданий по образцу


Самостоятельное изучение материала

Углубление ранее изученного и изучение нового материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Раздел 4. Дифференциальные уравнения

Тема 4.1 Дифференциальные уравнения

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

4

Изучение материала и решение заданий по образцу

Углубление ранее изученного и изучение нового материала, формирование умений

Индивидуальная защита выполненного задания

Раздел 5. Последовательности и ряды

Тема 5.1 Числовые и степенные ряды

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций и определенных интегралов.

2

Самостоятельное изучение материала

Дополнительное изучение теоретического материала и практического применения по разделу.

Защита реферата, доклада и обсуждение по выполнению задания

Раздел 6. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 6.1 Основы теории вероятностей и математической статистики.

Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Метод Монте-Карло. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.

2

Самостоятельное изучение материала


Составление и решение задач на определение числовых характеристик случайных величин

Дополнительное изучение теоретического материала и практического применения по разделу


Выработка умений и навыков студентов по самостоятельному составлению заданий

Индивидуальная защита выполненного задания

  1. Содержание самостоятельной работы


Раздел 1. Линейная алгебра


Тема 1.1 Матрицы и определители


Вычисление определителей разложением по какой-нибудь строке или столбцу. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.

Цели:

  • закрепить умение вычисления определителей;

  • получить навыки нахождения обратной матрицы;

  • закрепить теоретические знания и практические умения по данной теме.


1. Краткие теоретические сведения.

Вычисление определителей разложением по какой-нибудь строке или столбцу

В общем виде определитель n-го порядка может быть представлен следующем виде:

hello_html_8f0553b.gif

где aij – элемент определителя, i – номер строки, j – номер столбца.

Возьмем aij в определителе и вычеркнем i строку, j столбец. В результате останется определитель порядка на единицу ниже. Такой определитель называется минором элемента aij. Обозначается минор – Mij.

Пример: Найти минор элемента а12 определителя hello_html_8f0553b.gif

Для этого вычеркнем первую строку, второй столбец.

hello_html_m700e9aa7.gifhello_html_82a0232.gifhello_html_1e6b923a.gif

В результате останется определитель порядка на единицу ниже и минор равен:

hello_html_m5c52fc61.gif

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которой расположен элемент, четная и с обратным знаком, если нечетная.

hello_html_m4d15ab0b.gif- алгебраическое дополнение

ТЕОРЕМА: Определитель n-го порядка равен сумме произведений какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

hello_html_6d2b238c.gif


Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

hello_html_m796741dc.gif.

  1. Матрица А-1, называется обратной к квадратной матрице А, если для нее выполняется следующее условие А-1 А = А А-1= Е, где Е - единичная матрица того же порядка что и матрица А.

Свойства обратных матриц: (А-1)-1= А; (АВ)-1 = В-1 А-1.

2. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т. е. .

  1. 3. Обратная матрица А-1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т. е.hello_html_77f269e0.gif. В этом случае её можно найти по формуле:

  2. hello_html_m5d9ad925.gif

где hello_html_2a8389dc.gif - присоединённая матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы, транспонированной к матрице А.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: а) перемена двух строк (столбцов) местами;

б) умножение стоки (столбца) на число, отличное от нуля.

в) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой стоки (столбца).


2. Пример выполнения

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка hello_html_m3515d3ad.gif

По теореме определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки и разложим определитель по первой строке:

hello_html_m19c4bab1.gif

Пример: Найти матрицу, обратную к матрице А, используя преобразования исходной матрицы к единичной Е:

hello_html_mc566a9f.gif

Решение:

Определитель матрицы hello_html_77f458d7.gif, значит, матрица А имеет обратную, матрицу А можно привести к единичной Е элементарными преобразованиями только строк или только столбцов, при этом единичная матрица, подвергаемая тем же преобразованиям, перейдёт в матрицу А-1. Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом, через черту в виде объединённой матрицы:

hello_html_m1a5e8ef3.gif

Поменяем местами 1-й и 2-й столбцы.

Затем к элементам 3-го столбца прибавим элементы 1-го, а к элементам 2-го – 1-го, умноженные на (-2). Получим:

hello_html_4a0644ee.gif

К элементам 1-го столбца прибавим элементы 2-го, умноженные на (-2), а к элементам 3-го столбца – умноженные на (-6). Далее в полученной матрице к элементам 1-го и 2-го столбцов прибавляем элементы 3-го, умноженные на (-1).

hello_html_55cc9380.gif


Слева получили единичную матрицу. Найденная справа от черты квадратная матрица является обратной к исходной матрице А:

hello_html_75402001.gif


3.Варианты заданий.


Вариант

Задание 1

Найдите определители матриц

Задание 2

Найти обратную матрицу А- с помощью элементарных преобразований

hello_html_m31c1326.gif

1

а) D = hello_html_m505c3051.gif; б) D = hello_html_48d04cb0.gif;

в) D = hello_html_m384a2d56.gif

n=3 m=1

2

а) D =hello_html_m5ec64b4d.gif; б) D = hello_html_m5a723150.gif;

в) D = hello_html_m3d1d264a.gif

n=3 m=2

3

а) D = hello_html_499565c8.gif; б) D = hello_html_m1347a1cb.gif;

в) D = hello_html_m1fd8effa.gif

n=3 m=3

4

а) D = hello_html_4b6f5b56.gif; б) D = hello_html_mc277952.gif;

в) D = hello_html_3d672ec8.gif

n=3 m=4

5

а) D = hello_html_29b910f2.gif; б) D = hello_html_m7b5fb94f.gif;

в) D = hello_html_73c60f19.gif

n=3 m=5

6

а) D = hello_html_23d9a5aa.gif; б) D = hello_html_11c743b0.gif;

в) D = hello_html_md1455b3.gif

n=2 m=-1

7

а) D = hello_html_m4a6f30bc.gif; б) D = hello_html_m68be2582.gif;

в) D = hello_html_m7cfae82.gif

n=2 m=-2

8

а) D = hello_html_13c91ac6.gif; б) D = hello_html_m4a5c58e1.gif;

в) D = hello_html_m1f82211f.gif

n=2 m=-3

9

а) D = hello_html_m2931f87.gif; б) D = hello_html_m2ec47834.gif;

в) D = hello_html_545ff1cc.gif

n=2 m=-4

10

а) D = hello_html_1eac5434.gif; б) D = hello_html_m1bff562c.gif;

в) D = hello_html_77d41a18.gif

n=2 m=-5


4.Дополнительное задание:

Найти обратную матрицу А-1 двумя способами – с помощью присоединённой матрицы и с помощью элементарных преобразований:

hello_html_m1b057513.gif


Тема 1.2 Системы линейных уравнений


Решение СЛУ с n неизвестными. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Цели:

  • получить навыки решения систем m линейных уравнений с n переменными;

  • получить навыки решения систем линейных уравнений матричным способом.

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


  1. Краткие теоретические сведения

Решение СЛУ с n неизвестными.

  1. Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

  2. Свойства ранга матрицы:

  • Если матрица А имеет размеры mxn, то rang A ≤min (m, n).

  • rang A = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0.

  • Если матрица А – квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда hello_html_1bbf9387.gif.

  1. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

  • отбрасывание нулевой строки (столбца).

  • умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

  • изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

  • прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

  • транспонирование матрицы.

  1. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

  2. hello_html_57dd46ed.gif


гдеhello_html_me4cc211.gif. Ранг ступенчатой матрицы равен r.

  1. Теорема Кронекера – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы (A|B).


Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

hello_html_5512d6e8.gif

или в матричной форме

hello_html_4ede9a69.gif,

где А=(аij) –матрица коэффициентов системы размера nxn, hello_html_e152815.gif -столбец неизвестных, hello_html_4b2a17c6.gif -столбец свободных членов.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то система совместна и определена, ее решение задается формулой hello_html_m26e94eea.gif

Отыскание решения системы по данной формуле называют матричным способом решения системы или решением системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.


  1. Пример выполнения

Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений с четырьмя неизвестными:

hello_html_m285ed4dc.gif

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

hello_html_m48e8d3d1.gif

Следовательно, ранг матрицы системы r(A) = 2.

Определитель при переменных х1, х2отличен от нуля: hello_html_m40b2e849.gif, эти переменные берём за основные (зависимые). Остальные, переменные х3, х4 (с их коэффициентами) переносим в правые части уравнений:

hello_html_7c5ed63a.gif

откуда x1 = -2x2 + 3x3 + 2x4 +1 = -2 (5x3 + x4 + 5) + 3x3 + 2x4 +1 = -7x3 – 9 .

Задавая независимым переменным произвольные значения x3 = c1, x4 = c2, найдём бесконечное множество решений системы:

1 = -7с1 – 9, х2 = 5с1 + с2 + 5, х3 = с1, х4 = с2).


Пример: Решите матричным способом СЛУ hello_html_464d77d.gif

Решение: hello_html_m26e94eea.gif

hello_html_2e4febc5.gifhello_html_m487d6c1c.gif

Ответ: (-1; 0; 0; 2).


  1. Варианты заданий.

Вариант №1

  1. 1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти все базисные решения:

  2. hello_html_m5c1a7829.gif

  1. 2. Исследовать систему уравнений относительно параметра и найти общее решение системы: hello_html_mbea295.gif

3. Решить систему линейных уравнений матричным способом hello_html_27374ad.gif


Вариант №2

  1. 1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти все базисные решения: hello_html_4ac54d10.gif

  1. 2. Исследовать систему уравнений относительно параметра и найти общее решение системы:hello_html_m200717f4.gif

  2. 3. Решить систему линейных уравнений матричным способом hello_html_3db5a78d.gif


Раздел 2 Основы теории комплексных чисел


Творческая работа (подготовка рефератов и докладов по темам):

  • «Решение систем уравнений в поле С»

  • «Полярная система координат, истории возникновения»

  • «Области применения комплексных чисел»

  • «Применение метода комплексных чисел для решения прикладных задач специальности»


Тема 2.1 Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа

Решение задач на множестве комплексных чисел. Решение систем уравнений в поле С. Полярная система координат, истории возникновения.

Цели:

  • получить навыки выполнения операций над комплексными числами в алгебраической и геометрической формах;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


1.Краткие теоретические сведения.

  1. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

  2. Комплексным числом называется выражение вида hello_html_1771891e.gif , где х и у - действительные числа, i – мнимая единица. i2=-1.

Два комплексных числа hello_html_m2de12b0c.gif и hello_html_44735ed3.gifравны, если х1 = х2; у1 = у2. Комплексное числоhello_html_1771891e.gif равно нулю если х = 0, у = 0. Понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не вводится.

Два комплексных числа hello_html_1771891e.gif и hello_html_66281096.gif, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Всякое комплексное число hello_html_1771891e.gif можно изобразить точкой P(x;y) плоскости Oxy, такой, что x =Rez , y =Imz (см. рис.1)

Пhello_html_193ae8f.gifлоскость на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Комплексное число hello_html_1771891e.gif можно изображать и с помощью радиус-вектора hello_html_4bcb6832.gif.

Д

Рисунок 1

лина вектора hello_html_m40aa2c3b.gif, изображающего комплексное число z называется модулем этого числа и обозначается hello_html_m637d224b.gif или r . Модуль hello_html_5790d642.gifоднозначно определяется по формуле hello_html_m11e35ed7.gif.


Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Обозначается . Argz

Сложение комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел hello_html_m2de12b0c.gif и hello_html_44735ed3.gif называется комплексное число, определяемое равенством hello_html_m5c976238.gif

Правило нахождения суммы комплексных чисел в геометрической форме (см. рис.2).

hello_html_m4d03e8c2.pnghello_html_m68142cae.png

Рисунок 2 Рисунок 3


Вычитание комплексных чисел.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел hello_html_m2de12b0c.gif и hello_html_44735ed3.gif называется комплексное число, определяемое равенством hello_html_73fb7abf.gif.

Правило нахождения разности комплексных чисел в геометрической форме (см. рис.3).

Умножение комплексных чисел.

Произведением комплексных чисел hello_html_m2de12b0c.gif и hello_html_44735ed3.gif называется комплексное число, определяемое равенством hello_html_28a136a8.gif

Деление комплексных чисел.

Деление комплексных чисел определяется как действие обратное умножению. Частным двух комплексных чисел hello_html_m2de12b0c.gif и hello_html_44735ed3.gif (z2называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1.

hello_html_4d114d77.gif

Все арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме проводятся по правилам действий над многочленами.

hello_html_m30d888df.png

Рисунок 4

2. Пример выполнения


Пример: Найти сумму и произведение комплексных чисел z1=2 – 3i и z2= –7 + 8i.

Решение: z1 + z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)i = –5 + 5i

z1z2 = (2 – 3i)(–7 + 8i) = –14 + 16i + 21i + 24 = 10 + 37i (см.рис.4).




Пример: Найти сумму и произведение комплексных чисел z1=1 + 2i и z2= 2 - i.

Решение: hello_html_15b67986.gifhello_html_aa584ed.gifПример: Даны комплексные числа z1= 4 + 5·i и z2= 3 + 4·i. Найти разность z2 – z1 и частное hello_html_2cec7d45.gif

Решение: z2 – z1 = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i

hello_html_2cec7d45.gif=hello_html_m4cf24e41.gif=hello_html_e869174.gif

3.Варианты заданий

Вариант № 1

  1. Дано комплексное число z=21 – 4i. Записать число равное, противоположное, сопряженное исходному.

  2. Выполнить действие z =(3 - 2i + (-6 - 2i)

  3. Выполнить умножение z = (3 + 4i) (1 + 3i)

  4. Выполнить деление z = (-6 + 2i ):(3 - 4i)

  5. Выполнить действия z = (5 + 2i):( 2 - 5i) + (7 + 3i):( 1 - 2i)


Вариант № 2

  1. Дано комплексное число z = 3 + 9i. Записать число равное, противоположное, сопряженное исходному.

  2. Выполнить действие z =(5 + 3i) + ( -2 - 5i).

  3. Выполнить умножение z = (-2 + 3i) ( -1 - 6i)

  4. Выполнить деление z = (4 +-3i):( -2 - 5i)

  5. Выполнить действия z = (-1 + 3i ):( 5 + i) - ( 3 - 4i):( 4 + 3i).


Тема 2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел

Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формула Муавра.

Цели:

  • получить навыки выполнения операций с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах;

  • научиться переводить комплексные числа из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


1.Краткие теоретические сведения

Запись числа комплексного числа hello_html_6a6876f0.gif в виде называется тригонометрической формой, где hello_html_692b3e87.gif, φ- аргумент комплексного числа.

Аргумент φ определяется из формул hello_html_20b4dd54.gif. Аргумент z можно найти, используя формулу hello_html_7db674ee.gif, так как hello_html_22392ee0.gif, то из формулы hello_html_7db674ee.gif находим

hello_html_m54855ad7.gif

Запись комплексного числа в виде hello_html_6c2db38a.gif называется показательной формой комплексного числа.

Умножение комплексных чисел.

При умножении комплексных чисел, представленных в тригонометрической или показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пусть hello_html_6050da02.gif, hello_html_56cb88e.gif. Тогда

hello_html_76125e62.gif

Деление комплексных чисел.

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

hello_html_m68f56fac.gif

Возведение в степень. Формула Муавра.

hello_html_98633.gif

Извлечение корня.

hello_html_43187b99.gif

где k=0, 1, 2,…, n-1.

Формула Эйлера hello_html_33eed45a.gif.




2 Примеры выполнения

Пример: Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число hello_html_4278d15b.gif.

Решение:

  1. Находим модуль комплексного числа

hello_html_15314151.gif

  1. Находим главное значение аргумента комплексного числа z:

Так как вектор, изображающий число z лежит в I четверти и hello_html_d725fdc.gif, то hello_html_mdad63df.gif.

  1. Находим тригонометрическую форму: hello_html_7af7d619.gif.

  2. Находим показательную форму: hello_html_cbb72aa.gif.


3. Задания для самостоятельной работы

Представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

1

1-i

-1-i

-2+2i

-2-i

2

hello_html_m43c2042f.gif-i

hello_html_m4d33471a.gif-hello_html_m66dcc440.gifi

hello_html_m4c77a51d.gif-2i

hello_html_m43c2042f.gif-hello_html_m66dcc440.gifi

3

-hello_html_m43c2042f.gif+i

hello_html_m4c77a51d.gif+hello_html_m66dcc440.gifi

hello_html_m4d33471a.gif+hello_html_m43c2042f.gifi

hello_html_mbe6924c.gif+hello_html_m66dcc440.gifi

4

5+4i

-3+2i

5-2i

-5+2i


Раздел 3 Дифференциальное и интегральное исчисление


Творческая работа (подготовка рефератов и докладов по темам):

  • «Производные и дифференциалы высших порядков»

  • «Приближенные вычисления с помощью дифференциала»

  • «Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел»

  • «Приложения определенного интеграла к решению задач специальности»

  • «Интегрирование функции, содержащих квадратный трехчлен»

  • «Поверхность тела вращения»

  • «Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами»

  • «Задачи на составление дифференциальных уравнений»

  • «Уравнение Бернулли»

  • «Составление уравнений касательной и нормали»


Тема 3.1 Дифференциальное исчисление функции


Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Составление уравнений касательной и нормали.

Цели:

  • получить навыки раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя;

  • получить навыки вычисления приближенных значений функций с помощью дифференциала;

  • выработать навык составления уравнений касательной и нормали;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


1.Краткие теоретические сведения

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов функций.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа hello_html_me84bc5f.gif или hello_html_7af3cef9.gif.

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если hello_html_50a3c7a9.gif и hello_html_m2f2ccb65.gif, то hello_html_m1f94b8fe.gif.

Если hello_html_m62d7cffe.gif и hello_html_m525d43b4.gif, то аналогично hello_html_m1f94b8fe.gif.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Неопределенности вида hello_html_m5be7b2e3.gif можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида hello_html_m7e3f9b30.gif, f(x)>0 вблизи точки а при hello_html_2a2a52b6.gif. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции hello_html_62ee8c0e.gif.


Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Дифференциал функции у = f(x) в точке hello_html_48bafc8f.gif- это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента hello_html_6067f45.gif. Обозначается hello_html_m746c46f3.gif. Дифференциал независимой переменной х равен ее приращению hello_html_m7d0d9bb0.gif. Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал аргумента hello_html_44b80ccf.gif.

Правила вычисления дифференциалов.

Пусть U и V - дифференцируемые функции, тогда

hello_html_m24e5be49.gif

Основная формула в приближенных вычислениях

hello_html_1fb8b274.gif


Составление уравнений касательной и нормали.

Гhello_html_m6ce09a87.gif

Рисунок 5

еометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке (см.рис.5).

hello_html_5bc3c850.gif

Уравнение касательной к графику функции у = f(x)в точке М(х0; f(x0)) имеет вид

hello_html_m701bf137.gif

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания М(х0; f(x0)), называется нормалью к кривой. Уравнение нормали к графику функции у = f(x)в точке М(х0; f(x0)) имеет вид

hello_html_m6174f811.gif

Если hello_html_121b8b77.gif (т.е. касательная горизонтальная), то нормаль вертикальна и имеет уравнение hello_html_m7d0909ff.gif.


2. Примеры выполнения

Пример: Найти предел hello_html_17b13c78.gif.

Решение: Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида hello_html_me84bc5f.gif. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

hello_html_m72ac2d7f.gif

Пример: Найти предел hello_html_m66e10e8d.gif.

Решение:

hello_html_730036ce.gif

Пример: Найти предел hello_html_m25f264c7.gif.

Решение:

hello_html_766dc374.gif

Пример: Найти предел hello_html_m611d466d.gif.

Решение:

hello_html_m746e5e8.gif

hello_html_m32bac57f.gif

Пример: Найти предел hello_html_46578848.gif.

Решение: Здесь hello_html_m60d6fac3.gif. Тогда

hello_html_m778a5e90.gif.

Следовательно

hello_html_m7b7801a0.gif

Пример: Найти с помощью дифференциала приближенное значение hello_html_m39fccd81.gif.

Решение: Рассмотрим функцию hello_html_m4665efd1.gif и найдем ее значение в точке х=1,006.

Воспользуемся формулой hello_html_1fb8b274.gif.

hello_html_4d1552b7.gifhello_html_43fb3739.gif.

Тогда hello_html_m487abb25.gif.

Пример: Вычислить приближенно hello_html_m20ff9b5f.gif.

Решение: Аналогично предыдущему примеру получаем:

hello_html_m495ad05.gif,

hello_html_m7800c8d1.gif,

hello_html_684240b9.gif.

Пример: Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке hello_html_m5e062c2f.gif в точке hello_html_m19dd4a94.gif.

Найдем hello_html_m1ac4b387.gif. hello_html_m67eb6b38.gif.

Найдем hello_html_e18e90c.gif, для этого необходимо знать hello_html_30b607d3.gif

hello_html_1f48387f.gifуравнение касательной для кривой hello_html_1c840411.gifимеет вид hello_html_141293ba.gif или hello_html_3ba46746.gif

Запишем уравнение нормали hello_html_m2d9d21ec.gif или hello_html_m11569069.gif.


3. Задания для самостоятельной работы

3.1 Вычислите пределы функций, используя правило Лопиталя

  1. hello_html_m7da84471.gif

  2. hello_html_439beb27.gif

  3. hello_html_1eda1876.gif

  4. hello_html_55b7f3f1.gif

  5. hello_html_m5ee09925.gif

  6. hello_html_m16151d0f.gif

  7. hello_html_m724cc939.gif

    1. Найдите пределы функций, не используя правило Лопиталя

  1. hello_html_cb722b7.gif

  2. hello_html_m4a869cc4.gif

  3. hello_html_3993ac42.gif


    1. Найти с помощью дифференциала приближенное значение выражений

  1. hello_html_m65ff2628.gif

  2. hello_html_m191fe0cc.gif

  3. hello_html_7e1e404.gif

  4. hello_html_73e109ae.gif

  5. hello_html_m798ad8bb.gif

  6. hello_html_m1e8072d.gif

    1. Составить уравнения касательной и нормали к функции hello_html_m4058012a.gif в точке hello_html_m47d25e70.gif.

  1. hello_html_m10b0aa07.gif

  2. hello_html_m6760ef84.gif


Ответы к заданиям 3.2.

hello_html_442dcf15.gif

hello_html_4574bae5.gifhello_html_m34412dfa.gif

hello_html_m6f8fe9e6.gif


Тема 3.2 Исследование функции при помощи производной


Исследование функций с помощью первой и второй производных и построение графиков различных функций.

Цели:

  • получить навыки применения производной при исследовании функций;

  • закрепить теоретические знания и практические умения


1.Краткие теоретические сведения

Общая схема исследования функций с помощью производной

1. Нахождение области определения функции.

2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной, периодической или эта функция – функция общего вида.

3. Определение точек пересечения с осями координат.

4. Нахождение промежутков монотонности функции и точек экстремума.

5. Определение промежутков знакопостоянства функции.

6. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек перегиба (исследование проводится по второй производной функции).

7. Нахождение асимптот функции.

8. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем недостаточна).

Данную схему можно варьировать в зависимости от конкретных особенностей функции, переставлять отдельные этапы, некоторые из них опускать, какие-то, наоборот, добавлять.


2. Примеры выполнения

Пример: Исследовать функцию hello_html_3bd73089.gif и построить ее график.

Решение:

  1. Область определения функции hello_html_m7e5dcf24.gif.

  2. Функция hello_html_3bd73089.gif является нечетной т.к. hello_html_m198f7a05.gif. Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при hello_html_m1e143768.gif.

  3. Точки пересечения с осями координат hello_html_7a7a0d50.gif

Точка (0;0) - точка пересечения графика с осями ОХ и ОУ.

  1. Найдем промежутки монотонности функции и точки экстремума.

hello_html_m7ff55089.gif

Так как у’>0 в области определения, то функции является возрастающей на каждом интервале области определения.

Т.к. hello_html_66212de0.gif, то критическими точками является точки х1 = -1 и х2 = 1.

Данные точки не принадлежат области определения функции, значит, функция экстремумов не имеет.

  1. Функция знакоположительна (у>0) в интервалах hello_html_9b44353.gif и hello_html_52a1471c.gif, знакоотрицательна – в интервалах hello_html_m1c83aeae.gif и hello_html_34e6cbf7.gif.

  2. Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба:

Найдем у”

hello_html_m270c3588.gif

hello_html_6f13e4cd.jpg

Точка (0;0) – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах hello_html_m1c83aeae.gif и hello_html_34e6cbf7.gif; выпуклый вниз на интервалах hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_9b44353.gif и hello_html_52a1471c.gif.

  1. Найдем асимптоты функции:

Прямые х = 1 и х = -1 являются вертикальными асимптотами функции.

Выясним наличие наклонной асимптоты.

hello_html_m6d22dddc.gif

Следовательно, есть горизонтальная асимптота ее уравнение у=0. Наклонных асимптот нет.

Прямая у=0 является асимптотой и при hello_html_4d0ff572.gif, и при hello_html_m43514cf5.gif.

  1. Проведенного исследования достаточно для построения графика функции hello_html_3bd73089.gif.

hello_html_m3c2e8fe9.jpg















3. Задания для самостоятельной работы

Исследовать функцию и построить ее график.

а)

hello_html_m95a272e.gif

е)

hello_html_227e5876.gif

б)

hello_html_41937e4f.gif

ж)

hello_html_4c61dc96.gif

в)

hello_html_m292c531.gif

з)

hello_html_m57bf019b.gif

г)

hello_html_15f8226d.gif

и)

hello_html_1eadc3c8.gif

д)

hello_html_m2f39bba3.gif

к)

hello_html_5047cb94.gif


Тема 3.3 Интегральное исчисление функции: неопределенный интеграл


Вычисление неопределенного интеграла. Методы интегрирования отдельных функций.

Цели:

  • получить навыки вычисления неопределенного интеграла различными методами;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


1.Краткие теоретические сведения

Функция называется первообразной функцией для данной функции на данном промежутке, если на этом промежутке hello_html_m1fe143c6.gif.

Выражение F(x)+С, где F(x)-первообразная функции f(x) и С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x).


hello_html_m4b65e110.gif

Основные свойства неопределенного интеграла

hello_html_520d6fc4.gif

hello_html_7a49ba47.gif

hello_html_425431b1.gif

hello_html_m53a74d00.gif

hello_html_m263f3acd.gif


Таблица основных интегралов

hello_html_m21287435.gifв частности,

hello_html_m122dabf9.gif

hello_html_m3d170b87.gif

hello_html_m37821feb.gif

hello_html_5c35af2b.gif

hello_html_73a0f50.gif

hello_html_m5f04cf0e.gif

hello_html_m749eb5d8.gif

hello_html_m315293f.gif

hello_html_40f70a09.gif

hello_html_fadc711.gif

hello_html_m63048a32.gif

hello_html_b8461fa.gif

hello_html_34672cb.gif

hello_html_56264c0b.gif

hello_html_1a1ddd16.gif

hello_html_m31d75112.gif

hello_html_2637cebb.gifhello_html_m50d77fdc.gif



Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственном интегрированием.

Примеры:

hello_html_m783c3d4b.gif

hello_html_m679ef1a1.gif

Метод интегрирования подстановкой

Метод подстановки (или замены переменной) заключается в том, что заменяют hello_html_m27e40da3.gif на hello_html_m413afac4.gif, где hello_html_m413afac4.gif - непрерывно дифференцируемая функция, полагают hello_html_7d005799.gif и получают hello_html_m5027e584.gif.

Примеры:

hello_html_6dacb63a.gif

hello_html_61ab1518.gif

hello_html_64307352.gif

hello_html_m3a311034.gif


Метод интегрирования по частям

hello_html_71665404.gif


Вид интеграла

P(x)- многочлен

a, b, k –некоторые числа

Рекомендуемая подстановка

u

dv

hello_html_7245b0ae.gif

hello_html_m5b9736d5.gif

hello_html_m25ad78af.gif

hello_html_m31a914af.gif

hello_html_15ef28ad.gif

hello_html_16d8092b.gif

hello_html_m7aba8c1c.gif

hello_html_74f62c5b.gif

hello_html_481de5e.gif

hello_html_2d36ddbb.gif

hello_html_21e7978a.gif

hello_html_ce19167.gif

hello_html_6fe8aea4.gif

hello_html_4571d2d6.gif

hello_html_m198197aa.gif

hello_html_5ca64a0d.gif

hello_html_m142942dc.gif

hello_html_m30a4d1af.gif

hello_html_43ddc867.gif

hello_html_36ce71e1.gif

При решении метод применяется дважды


Примеры:

hello_html_70ead43c.gif

hello_html_m546b9034.gifhello_html_3fc06b5c.gif


2. Задания для самостоятельной работы

2. 1 Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы:

hello_html_60b2b93a.gifhello_html_6c38bcd2.gifhello_html_2b827a6a.gifhello_html_368d12da.gifhello_html_16d23ff1.gifhello_html_m633642c1.gifhello_html_13185f79.gif

hello_html_8b077ba.gifhello_html_66d183b3.gifhello_html_7436f6e9.gifhello_html_m56ccba72.gifhello_html_23a124a4.gifhello_html_m5e4c5f14.gif

hello_html_6890368f.gifhello_html_m250c401b.gifhello_html_63d71b8f.gifhello_html_55475689.gif

hello_html_m65021eab.gifhello_html_78a87135.gifhello_html_6801c488.gifhello_html_m8d70e71.gifhello_html_m4b4a8cca.gifhello_html_58463108.gifhello_html_m222bc8f1.gifhello_html_67698f12.gifhello_html_m194f0ab4.gifhello_html_m7bd4087a.gifhello_html_m80ac23a.gifhello_html_m63765932.gifhello_html_m59ac835b.gif


    1. Пользуясь методом подстановки вычислить интегралы:


hello_html_m16e13adc.gif

hello_html_6c6ce5b3.gifhello_html_m165fa7cf.gif

hello_html_76692847.gif

hello_html_3af315f3.gif

hello_html_m5487d4cc.gif

hello_html_60f3f0d8.gif

hello_html_3793337e.gif

hello_html_3f7b1377.gif

hello_html_m7c67d6fa.gifhello_html_30f49e81.gifhello_html_m395c528a.gifhello_html_m4356de26.gifhello_html_m6a58e5d.gifhello_html_m320d032d.gifhello_html_m7d10bb32.gifhello_html_m4b8ffcbf.gifhello_html_75587750.gifhello_html_3a510f93.gifhello_html_m504676d9.gif

hello_html_6195181.gif

hello_html_885e7a0.gif

hello_html_m23e82df2.gif

hello_html_5f8e4763.gif

hello_html_mbc6de58.gifhello_html_58a92a5c.gifhello_html_26a9ab85.gif

hello_html_3db25fae.gifhello_html_m32c4ea53.gifhello_html_m57c6ba88.gif

hello_html_40730672.gif


2.3 С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы:

hello_html_m452dbf66.gif

hello_html_2bdd9498.gifhello_html_m3afb8fdb.gifhello_html_m28034f6.gifhello_html_m46b93b95.gifhello_html_m574f89a9.gifhello_html_m2ac2f101.gifhello_html_m54733393.gifhello_html_36e9f2be.gifhello_html_m123ab338.gifhello_html_m20191652.gif

hello_html_527f479a.gif

hello_html_1eca6eb3.gif

hello_html_m1cc7e20a.gif

hello_html_3ce0d4ae.gif

hello_html_7847354.gif

hello_html_1ede128e.gif

hello_html_1f983b34.gifhello_html_m4b53e5c0.gifhello_html_m680e7e90.gifhello_html_1b62c9ea.gifhello_html_3a4c7e55.gifhello_html_mca1f050.gifhello_html_60a5fe69.gifhello_html_165d3239.gifhello_html_180442a1.gifhello_html_m49136d65.gif


Тема 3.4 Интегральное исчисление функции: определенный интеграл


Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел. Численное интегрирование.

Цели:

  • получить навыки вычисления определенного интеграла различными методами;

  • получить навыки применения определенного интеграла к вычислению площадей, объемов тел и других величин;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


  1. Краткие теоретические сведения

Пусть функция hello_html_c8e85f5.gif определена на отрезке [a;b], a. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками hello_html_m26ed71fe.gif. В каждом из полученных частичных отрезков hello_html_m538b49b6.gif выберем произвольную точку Сi hello_html_337e77e8.gif и составим сумму

hello_html_m1c352d17.gif(*)

где hello_html_m22a2a2b1.gif.

Сумма вида (*) называется интегральной суммой для функции hello_html_m1a267428.gif на отрезке [a;b].

Обозначим через hello_html_7a00ba7d.gif длину наибольшего частичного отрезка разбиения:hello_html_4298ed27.gif. Если существует конечный предел интегральной суммы hello_html_m775cd7b0.gif, когда hello_html_m4904589.gifтак, что hello_html_m74d82e98.gif, то этот предел называют определенным интегралом от функции hello_html_c8e85f5.gif на отрезке [a;b] и обозначают следующим образом:

hello_html_7b93f829.gifили hello_html_b43b71f.gif.

В этом случае функция hello_html_c8e85f5.gif называется интегрируемой на отрезке [a;b] . Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, hello_html_m1a267428.gif– подынтегральной функцией, hello_html_m27e40da3.gif– переменной интегрирования.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости.


Основные свойства определенного интеграла

hello_html_m60357648.gif;

hello_html_57199e98.gif;

hello_html_1a9bfc58.gif;

где a, b, c любые числа.

hello_html_m795282de.gif

hello_html_m2a39bc96.gif



Формула Ньютона – Лейбница

Если функция hello_html_c8e85f5.gif непрерывна на отрезке [a;b] и функция у = F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница

hello_html_m35b0e6b7.gif.


Вычисление определенных интегралов

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла hello_html_723ef968.gif от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:

hello_html_a8a9122.gif.

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование подстановкой

Теорема. Пусть для вычисления интеграла hello_html_723ef968.gif от непрерывной функции сделана подстановка hello_html_m27e40da3.gif=hello_html_m4ef7215e.gif(t). Если:

1) функция hello_html_5bd265cc.gif и её производная hello_html_19776e90.gif непрерывны при hello_html_m7dd44f46.gif;

2) множеством значений функции hello_html_5723368c.gif при hello_html_m291c7572.gif является отрезок [a;b];

3) hello_html_m780e3ec7.gif и hello_html_650e90af.gif то

hello_html_71f850fc.gif


Интегрирование по частям

Теорема. Если функции hello_html_m47286c00.gifhello_html_m53d4ecad.gifи hello_html_m1ebd248f.gifимеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула

hello_html_7f6eadae.gif.


Вычисление площади плоской фигуры

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_3d9cf271.gif осью hello_html_m55f401b1.gif и двумя прямыми hello_html_m5e383f3d.gifи hello_html_6966b759.gif, где hello_html_35c6d078.gif, hello_html_m490b7b29.gif (см. рис. 6)

Рисунок 6


hello_html_6d634c43.png

Рисунок 7


hello_html_m3bf526b1.png

Рисунок 8


Так дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой hello_html_m66a31e82.gif, т. е. hello_html_m1bf654db.gif, то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим

hello_html_m723cfe9f.gif

Если криволинейная трапеция прилегает к оси hello_html_1328a11c.gif так, что hello_html_29eb703f.gif, hello_html_m56cab2fd.gif (см.рис. 7), то дифференциал переменной площади S равен hello_html_2531ac95.gif откуда

hello_html_m3d1869fe.gif

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой hello_html_mb681d8a.gif, осью hello_html_m55f401b1.gif и прямыми x=a и x=b, лежит под осью hello_html_m55f401b1.gif (см.рис. 8), площадь находится по формуле

hello_html_78ba0778.gifhello_html_35da0084.gif


Е

Рисунок 9

сли фигура, ограниченная кривой hello_html_270d0e98.gif, осью hello_html_m55f401b1.gif и прямыми x=a и x=b, расположена по обе стороны от оси hello_html_m55f401b1.gif (см.рис.9), то hello_html_d8f9b5c.gif

Пhello_html_7bc3c8dd.jpgусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми hello_html_m1f5860a.gif и hello_html_2391ff7b.gif и прямыми x=a и x=b, где hello_html_35c6d078.gif и hello_html_2d43b1be.gif (см.рис.10). Тогда ее площадь находится по формуле

hello_html_m5b69124c.gif

Рисунок 10



Вычисление пути, пройденного точкой

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью hello_html_5aa1dffe.gif за промежуток времени от hello_html_67dec7e8.gif до hello_html_m310efd46.gif, вычисляется по формуле

hello_html_767a91d8.gif

Вычисление работы силы

Работа, произведенная переменной силой hello_html_m1a267428.gif при перемещении по оси hello_html_m5bf66fe5.gif материальной точки от hello_html_m2ec1b4ec.gif до hello_html_6966b759.gif, находится по формуле

hello_html_m7a4d3388.gif

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:

hello_html_m2002f280.gif

где F - сила, H; x - абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности, Н/м.




Вычисление силы давления жидкости

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

hello_html_557db677.gif

где hello_html_m74bc58cb.gif - плотность жидкости, hello_html_39ed32a1.gif; S площадь площадки, hello_html_36a334b4.gif; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р(х).


Длина дуги плоской кривой

Пусть плоская кривая АВ (см.рис.11) задана уравнением hello_html_m52ed037f.gif причем hello_html_m66a31e82.gif и hello_html_m7e46818.gif - непрерывные функции в промежутке hello_html_m47bfcaac.gif Тогда дифференциал hello_html_645d8342.gif длины дуги АВ выражается формулой

hello_html_5c8e7afb.gifhello_html_m5aabfe41.png

Рисунок 11

или hello_html_m876ede6.gif

а длина дуги АВ вычисляется по формуле

hello_html_65be867a.gif

где hello_html_60d2f2c2.gif и hello_html_m46087894.gif - значения независимой переменной х в точках А и В.

Если кривая задана уравнением hello_html_4b800503.gif то длина дуги АВ вычисляется по формуле

hello_html_m141cef30.gif

где c и d – значения независимой переменной у в точках А и В.


  1. Пример выполнения

Пример: Вычислить hello_html_m12884e50.gif.

Решение:

hello_html_3a278f2e.gif

hello_html_5b45038.gif

hello_html_mc39bea6.gif

Оhello_html_m4951ce1a.jpgтвет: hello_html_mc39bea6.gif

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями hello_html_m6a81684d.gifhello_html_m64dfee9.gifhello_html_m1ffe8c3a.gif и hello_html_m10c338ff.gif

Решение: Выполним построение фигуры. Строим прямую hello_html_m5bc782ce.gif по двум точкам А(4;0) и В(0;2) (см.рис.12).

В

Рисунок 12

ыразив у через х, получим hello_html_757d9fb5.gif По формуле hello_html_m723cfe9f.gif, где hello_html_m7fcf6227.gif, hello_html_m63eed7c.gif и hello_html_m7a9594b9.gif, находим

hello_html_m45eb8d4b.gif(кв. ед.)

В качестве проверки вычислим площадь трапеции hello_html_5b7918b5.gif обычным путем. Находим: hello_html_e8ab626.gif, hello_html_17778c65.gif, hello_html_5a199275.gif. Следовательно, hello_html_m5c6a648b.gif (кв. ед.).

Пример: Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_5e92c1d1.gif м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Решение: Согласно условию, hello_html_65337b21.gif, hello_html_f168d7c.gif, hello_html_m785a5db0.gif. По формуле hello_html_767a91d8.gif находим hello_html_53b0e127.gif (м).

Пример: Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Решение: Так как, hello_html_325ee8ab.gifм при hello_html_m1ccb3b82.gifН, то, подставляя эти значения в равенство hello_html_m2002f280.gif, получим hello_html_m6d836365.gif откуда hello_html_5d720958.gif1000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение k, находим hello_html_m780063ee.gif, т. е. hello_html_7dbb4b3d.gif Искомую работу найдем по формуле hello_html_m7a4d3388.gif, полагая hello_html_m48ddad20.gif, hello_html_695c03ed.gif: hello_html_m16aaf7f0.gif (Дж).

Пример: Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Рhello_html_m65a593f8.jpg

Рисунок 13

ешение: Выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dx (см.рис. 13).

Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна hello_html_me51de67.gif.

Изменение глубины х на малую величину dx вызовет изменение объема V на величину hello_html_1d0a1d83.gif и изменение веса Р на величину hello_html_m565c2881.gifпри этом совершаемая работа А изменится на величину hello_html_174f7842.gif

Проинтегрировав это равенство при изменении х от 0 до Н, получим hello_html_4667d7f1.gif (Дж).

Пhello_html_31e89937.pngример: Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5 м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).

Р

Рисунок 14

ешение: На глубине х выделим горизонтальную полоску шириной dx (см.рис.14). Сила давления Р на стенку шлюза есть функция от х. Изменение глубины х на малую величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую величину hello_html_3ced5a0e.gif.

Продифференцировав переменную Р, получим приближенное значение (главную часть) hello_html_m51eda6f1.gif приращения hello_html_3ced5a0e.gif.

Находим приближенное значение силы давления воды на эту полоску: hello_html_m60aa77b9.gif Но hello_html_m7ffd4547.gif Интегрируя hello_html_m51eda6f1.gif при изменении х от 0 до 5, получим

hello_html_m6377dad0.gif(МН).

Пример: Найти длину окружности hello_html_7848d25b.gif

Решение: Дифференцируя уравнение окружности, имеем hello_html_m4a9aaf9a.gifhello_html_6a782cc9.gif

По формуле hello_html_65be867a.gif вычислим длину дуги четверти окружности, взяв пределы интегрирования от 0 до r:

hello_html_mce2f27f.gif

Длина окружности равна hello_html_m152768ed.gif


3. Варианты заданий

3.1 Вычислить определенный интегралы:

1. hello_html_5a77c0d1.gif

2. hello_html_m43489914.gif

3. hello_html_4c73e2b6.gif

4. hello_html_4efe0e0a.gif

5. hello_html_m2b2c761d.gif

6. hello_html_m2f938342.gif

7. hello_html_m26e6603c.gif

8. hello_html_m3aebd191.gif

9. hello_html_m6d3213f0.gif

10. hello_html_m41e9bd42.gif

11. hello_html_m5f65fc5c.gif

12. hello_html_m718b1dff.gif

13. hello_html_m1277554e.gif

14. hello_html_aed8ade.gif

15. hello_html_28baa50e.gif

16. hello_html_m1f8c4dd9.gif

17. hello_html_6099706e.gif

18. hello_html_m3d720f54.gif

19. hello_html_505bfb11.gif

20. hello_html_mad7fda2.gif

21. hello_html_7d98337e.gif

22. hello_html_1a4df019.gif

23. hello_html_23273e14.gif

24. hello_html_2d2ea506.gif

25. hello_html_m1196d9cf.gif

26. hello_html_5d931c2e.gif

27. hello_html_m25bb906.gif

28. hello_html_m54f42c81.gif

29. hello_html_m135de776.gif

30. hello_html_m13e08e78.gif

31. hello_html_m183b4c11.gif

32. hello_html_m4fc9046e.gif

33. hello_html_51088d42.gif

34. hello_html_31b3b82c.gif

35. hello_html_m188eed40.gif

36. hello_html_6fed28bb.gif


3.2 Задачи на приложение определенного интеграла

  1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0.

  2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функцией x2+y2=r2.

  3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями 7x2-9y+9=0, 5x2-9y+27=0.

  4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями x-y+2=0, y=0, x=-1, x=2.

  5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями 2x-3y+6=0, y=0, x=3.

  6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями: y=2x2+1, y=x2+10.

  7. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями y=-1.5x2+9x-7.5, y=-x2+6x-5.

  8. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v=(4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

  9. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2-6t) м/с, второе – со скоростью v=(10t+20) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

  10. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=3t2 м/с, второе – со скоростью v=(6t2+10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?

  11. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2+4t) м/с, второе – со скоростью v=(6t+12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

  12. При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?

  13. Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж?

  14. Цилиндр с подвижным поршнем, площадь поперечного сечения которого S кв.ед., заполнен газом. Считая, что при увеличении объема газа в цилиндре соблюдается закон Бойля-Мариотта pV=k=const, вычислить работу, произведенную силой давления газа при увеличении его объема от V0 до V1 (температура газа поддерживается постоянной).

  15. Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?

  16. В цилиндрическом сосуде объема V0=0,2 м3 заключен атмосферный воздух при нормальном давлении P0=1014325Н/м2. Воздух сжимается поршнем до объема 0,05 м3. Какая работа производится при этом, если температура воздуха поддерживается постоянной?

  17. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1 м. Сила в 20Н растягивает её на 0,01м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её от 0,12 до 0,14 м?

  18. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

  19. Вычислить работу, которую надо произвести, чтобы выкачать из резервуара конической формы с вершиной, обращенной книзу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус основания конуса R=1м, высота конуса 2м.

  20. Прямоугольный резервуар, основанием которого служит квадрат со стороной 3м, а высота равна 2м, заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара.

  21. Цилиндрический резервуар с радиусом основания 2 м и высотой 3м заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара.

  22. Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20м и высотой 5м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).

  23. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции с основаниями a и b (a b) и высотой h.

  24. Треугольная пластина с основанием 0,2 м и высотой 0,4 м погружена вертикально в воду так, что вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислите силу давления воды на пластину.

  25. Найти длину дуги параболы y=hello_html_5f0a9b99.gif между точками О (0;0) и А(hello_html_2d077f92.gif;3/2).

  26. Найти длину дуги параболы y=4-x2 между точками её пересечения с осью Ох.

  27. Найти длину дуги параболы y2=x между точками О (0;0) и А(hello_html_332f045e.gif; hello_html_73b84cef.gif).

  28. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = x2, y2 = 8x.

  29. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y2=x, y=x2.

  30. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y2=8x, y=x2.

  31. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из бассейна, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а=25 м, а радиус R=20 м.

  32. Вычислите работу, необходимую для выкачивания воды из полусферического сосуда, диаметр которого 20 м.


Раздел 4. Дифференциальные уравнения


Тема 4.1 Дифференциальные уравнения


Темы рефератов и докладов:

«Задача Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

«Задачи на составление дифференциальных уравнений»

«Уравнение Бернулли»

«Составление уравнений касательной и нормали»


Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Цели:

  • получить навыки нахождения решения дифференциальных уравнений;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


  1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальное уравнение –это равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Общий вид дифференциального уравнения:

hello_html_m6b1cd24b.gif

где x –независимая переменная, yнеизвестная функция, hello_html_4558b90b.gif -ее производная первого порядка и т.д.

Если из уравнения можно выразить hello_html_4558b90b.gif, то оно примет вид: hello_html_7ec6e758.gif -явная форма. Это уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Порядок дифференциального уравнения –это порядок высшей производной, содержащийся в этом уравнении.

Решение дифференциального уравнения –это функция hello_html_2f0d7712.gif, определенная на некотором интервале (a, b), удовлетворяющая этому уравнению, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общее решение –это решение, зависящее от произвольных постоянных. Оно содержит столько независимых переменных, каков порядок уравнения. Общее решение дифференциального уравнения –это семейство функций hello_html_8bcfd0c.gif, удовлетворяющее этому уравнению при произвольном значении постоянных С.

Частное решение –это решение, получающееся из общего решения при конкретных определенных значениях произвольных постоянных hello_html_m76eccbdf.gif. Для нахождения частных решений задают условия, которые называются начальными. Начальные условия, или условия Коши, задают значение функции hello_html_637e99d8.gif в фиксированной точке hello_html_48bafc8f.gif.

hello_html_m2002ee5a.gif

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Уравнение первого порядка hello_html_645f1d61.gif называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:

hello_html_4a82999.gif

При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1. В уравнении производную переписать через ее дифференциалы.

2. Сгруппировать слагаемые с одинаковыми дифференциалами.

3. Разделить переменные. После уравнение будет иметь вид:

hello_html_57974496.gif.

4. Проинтегрировать обе части уравнения, найти общее решение.

hello_html_m6de171d4.gif

5. Если заданы начальные условия, найти частное решение (решить задачу Коши).


Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка –это уравнение вида:

hello_html_m3071850d.gif

где P(x) и Q(x) –непрерывные функции.

Виды линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

  • Линейное однородное уравнение hello_html_15481a68.gif.

Это уравнение с разделяющимися переменными, и его решение будет иметь вид:

hello_html_m445ae107.gif


  • Линейное неоднородное уравнение hello_html_m221107db.gif.

Общее решение линейного уравнения первого порядка можно найти методом вариации постоянной, и оно будет иметь вид:

hello_html_36f3be9b.gif

Или в уравнении hello_html_m445ae107.gif постоянную С заменить на неизвестную функцию u(x), решение искать в виде: hello_html_5c341d5d.gif (метод Лагранжа).

Также решить линейного уравнения первого порядка методом Бернулли:

1. Введите подстановку

  1. hello_html_51770a12.gif

hello_html_m15c79e78.gif

Тогда исходное уравнение примет вид:

hello_html_6559aada.gif

2. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобку:

hello_html_1cb2c4d8.gif

3. Найти функцию v=v(x) так, чтобы

hello_html_258c89bf.gif

4. Найденную функцию v=v(x) подставить в уравнение, после чего оно примет вид

hello_html_m494f2339.gif

Решив это уравнение найдем функцию u=u(x,C).

5. Вернитесь к подстановке и найдите общее решение исходного уравнения:

hello_html_94a35a2.gif


Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнения вида

hello_html_m590c2845.gif

называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаются эти уравнения по следующему алгоритму:

1. Составить характеристическое уравнение: hello_html_42816431.gif

и найти все его решения.

2. Записать общее решение.

Корни характеристического уравнения

Общее решение уравнения

Действительные и различные

hello_html_88c73b1.gif

hello_html_37c4671a.gif

Действительные и равные

hello_html_4f75c567.gif

hello_html_24ebb593.gif

Комплексные

hello_html_m66afd917.gif

hello_html_m6810eeb3.gif


  1. Примеры выполнения

Пример: Найти общее решение уравнения hello_html_2d41afa0.gif.

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в данном уравнении, деля его части на hello_html_6eb1ea73.gif.

hello_html_m66df5a24.gif

Почленно интегрируя первое слагаемое по y, а второе –по x, получим искомое решение:

hello_html_m789b3035.gif.

Пример: Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m772731ce.gif при hello_html_29d72aa9.gif.

Решение: Это уравнение, в котором переменные уже разделены, поэтому взяв интегралы обеих частей уравнения получим:

hello_html_m49ff6a14.gif

hello_html_4f7c7998.gif

Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC.

Умножим hello_html_m63097547.gif на lne, (lne=1)

hello_html_m7ae2fbae.gif;

hello_html_63b18957.gif-это общее решение дифференциального уравнения.

Найдем частное решение. Для этого вычислим С при мhello_html_29d72aa9.gif.

hello_html_m702ab2fd.gif

Частное решение hello_html_m73e22651.gif.

Пример: Решить уравнение hello_html_2101e8a9.gif.

Решение: Это линейное неоднородное уравнение первого порядка, где hello_html_m1009996e.gif и hello_html_727c70d2.gif.

В решении используем формулу

hello_html_36f3be9b.gif

В итоге получим:

hello_html_c655c66.gif

hello_html_64b90ddf.gif.

Пример: Решите уравнение hello_html_5872e5a1.gif

Решение: Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решим его методом Бернулли.

Сделаем подстановку hello_html_51770a12.gif, hello_html_m15c79e78.gif. Тогда данное уравнение примет вид:

hello_html_m7a2b35f3.gif

Далее выполняя шаги алгоритма, получим решение:

hello_html_m20398781.gif

Приравняв скобку к нулю найдем функцию v=v(x):

hello_html_42c0ebea.gif.

Подставив найденную функцию в уравнение, получим:

hello_html_m7cde8eb8.gif.

Таким образом решением данного уравнения является функция hello_html_3224acbf.gif.

Ответ: hello_html_174fdc11.gif.

Пример: Решите уравнение hello_html_60c2bbe1.gif.

Решение: Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

hello_html_m4ad74305.gif.

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

hello_html_m1fc647d2.gif.

Пример: Решите уравнение hello_html_7eb6d9bd.gif.

Решение:

hello_html_m18f9578f.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

hello_html_m28e4168.gif.

Пример: Решите уравнение hello_html_m7e06f4ab.gif.

Решение:

hello_html_6ea9e77.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

hello_html_7a142010.gif.


  1. Варианты заданий

3.1 Найти общее решение уравнений:

  1. hello_html_mbdfcc74.gif

  2. hello_html_585fdcb4.gif

  3. hello_html_mcd7b567.gif

  4. hello_html_m6e769e5a.gif

  5. hello_html_m17003847.gif

  6. hello_html_m6e417823.gif

  7. hello_html_m5157b2f6.gif

  8. hello_html_54f143c1.gif

  9. hello_html_m2618628f.gif

  10. hello_html_m74ca37c8.gif

  11. hello_html_m3ad2de5f.gif

  12. hello_html_m5c1cf1e0.gif

  13. hello_html_m16c3c912.gif

  14. hello_html_39223824.gif


3.2 Найти частные решения дифференциальных уравнений.

  1. hello_html_m7d530960.gif

  2. hello_html_m679ef24a.gif

  3. hello_html_5d013bb8.gif

  4. hello_html_m500ef7e9.gif

  5. hello_html_195e6220.gif

  6. hello_html_79c1f2cf.gif

  7. hello_html_4f568bbb.gif

  8. hello_html_1e717797.gif

  9. hello_html_m4869e45e.gif

  10. hello_html_m6da2f8f4.gif

  11. hello_html_m9725e28.gif


Раздел 5. Последовательности и ряды


Тема 5.1 Числовые и степенные ряды


Темы рефератов и докладов:

«Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций и определенных интегралов»


Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций и определенных интегралов

Цели:

  • получить навыки применения численных методов вычисления значений функций и определенных интегралов;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


1. Краткие теоретические сведения

Числовой ряд –это выражение вида hello_html_331bd657.gif.

Числа hello_html_m30de6272.gifназываются членами ряда. Они образуют бесконечную последовательность.

Общий член ряда –это член hello_html_m3d399ef3.gifс произвольным номером.

Для краткости записи ряд обозначают следующим образом hello_html_38756b2b.gif.

Частичные суммы ряда –это сумма конечного числа членов ряда. Частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм hello_html_32e2ce86.gif.

Если существует конечный предел частичных сумм при hello_html_m26c62e.gif, то ряд называют сходящимся, а его значение –суммой ряда.

hello_html_55d82628.gif

Числовые ряды, в зависимости от его членов, подразделяют на:

  • знакоположительные –это ряды, все члены которых положительны

hello_html_75b3af3.gif

  • знакопеременные –ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены;

  • знакочередующиеся –это ряды, в которых положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно

hello_html_m61dc2d60.gif

где hello_html_m74ee2cfb.gif-положительные числа;

  • функциональные –это ряды, все члены которого функции

hello_html_5fec44aa.gif

где hello_html_m741a1cfa.gif-некоторая последовательность функций от x;

      • степенные –это функциональный ряд вида:

hello_html_5b3f8b9a.gif

где х –переменная, х0 –некоторое число.


Если функция hello_html_48601f42.gif определена в некоторой точке х0 и имеет производные всех порядков в этой точке, то степенной ряд вида:

hello_html_27c4152b.gif

называется рядом Тейлора для функции hello_html_6310c60d.gif в точке х0.

Если х0=0, то получается ряд

hello_html_m9def297.gif,

который называется рядом Маклорена.


Степенные ряды имеют приложения для приближенного вычисления значений функций и определенных интегралов.

Для приближенного вычисления определенных интегралов используются следующие формулы:

  • формула прямоугольников:

hello_html_m1545fb08.gif

  • формула трапеций:

hello_html_3cd3f9c7.gif

  • формула Симпсона:

hello_html_m43dfd0a0.gif

Общая формула Симпсона

hello_html_1542e99a.gif


2. Примеры выполнения

Пример: Разложить в ряд Маклорена функцию hello_html_m2f12729.gif.

Решение: Чтобы получить разложение функции в ряд Маклорена необходимо найти производные данной функции и вычислить значение функции и ее производных в точке х0=0.

hello_html_2f39074b.gif

hello_html_mcdc787e.gif

Тогда ряд Маклорена для данной функции:

hello_html_m63faa3e4.gif

Пример: Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл hello_html_61a0cfbd.gif, приняв n=8. Вычисление вести с шестью знаками после запятой.

Решение: Определим шаг разбиения:

hello_html_2dca5073.gif

Вычислим значения функции в точках разбиения:

n

xn

xn+h

yn


0

х0

1

y0

hello_html_65d30b86.gif

1

x1

1,125

y1

hello_html_m26a29992.gif

2

x2

1,25

y2

hello_html_1c6363ab.gif

3

x3

1,375

y3

hello_html_720b8b41.gif

4

x4

1,5

y4

hello_html_m6f0d6c0c.gif

5

x5

1,625

y5

hello_html_m438af5c7.gif

6

x6

1,75

y6

hello_html_m35145669.gif

7

x7

1,875

y7

hello_html_2c640749.gif

8

x8

2

y8

hello_html_197787a4.gif

Подставляя эти данные в формулу Симпсона

hello_html_m3d1f3de7.gif

получим:

hello_html_7f715a16.gif


3. Варианты заданий

3.1 Разложить функции в ряд Маклорена:

hello_html_m2dbf957.gif

hello_html_m52be268f.gif

hello_html_14202f1d.gif

3.2 Вычислить интегралы:

hello_html_m7fa8b788.gif

hello_html_m5e0a1632.gif


Раздел 6. Основы теории вероятностей и математической статистики


Тема 6.1 Основы теории вероятностей и математической статистики


Темы рефератов и докладов:

  • «Метод Монте-Карло. Популярная комбинаторика»

  • «Обработка и использование статистических данных для научных и практических выводов»

  • «Приложения математической статистики»

  • «Закон больших чисел. Теорема Чебышева»


Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Метод Монте-Карло. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.

Цели:

  • изучить материалы по видам распределений и составить опорный конспект;

  • получить навыки вычисления вероятности события, составления закона распределения случайной величины;

  • закрепить теоретические знания и практические умения.


1. Краткие теоретические сведения:

Теория вероятностей –это раздел математики изучающий закономерности массовых случайных событий.

Испытанием (опытом) называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.

Событие –это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначают большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Событие бывают:

  • достоверным –это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти;

  • невозможное –это событие, которое в результате испытания не может произойти;

  • случайное –это событие, которое при испытании может произойти или не произойти.

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

События, входящие в полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются исходами, или элементарными событиями.

Два несовместных события hello_html_m62170625.gif и hello_html_4146790c.gif называются противоположными, если в результате испытания одно из них должно обязательно произойти.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность осуществления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Вероятность события –это число, характеризующее степень возможности появления события при многократном повторении испытаний.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу равновозможных несовместных исходов n:

hello_html_m2838b8bc.gif

Основные свойства:

  1. Вероятность случайного события А заключена между нулем и единицей:

hello_html_m7361c689.gif.

  1. Вероятность достоверного события U равна 1:

hello_html_32824712.gif

  1. Вероятность невозможного события V равна нулю:

hello_html_2eb85cfe.gif

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

hello_html_m26c16a7a.gif

Если события hello_html_33d3d64e.gif образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

hello_html_50fe416a.gif

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А/В)).


Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

hello_html_48a2e88a.gif

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события В, которое может наступить только при условии появления одного из событий (гипотезы) hello_html_33d3d64e.gif, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий hello_html_33d3d64e.gif на соответствующую условную вероятность события В.

После проведения опыта, в результате которого осуществилось событие В, вероятности гипотез Аi можно переоценить по формуле Байеса:

hello_html_m9c9e00c.gif

Схема повторных испытаний. Формула Бернулли

Если при одних и тех же условиях определенный опыт повторяется п раз и если вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна р, то вероятность того, что событие А в серии из п опытов произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли:

hello_html_m372d283b.gif

Случайные величины

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений.

В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной.

Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной.

Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.

Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Х

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х=хi (i =1,2,…,n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р12+…+ рn=1.

Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.


Функция распределения вероятностей

Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P (X

Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

10 Значение функции распределения принадлежит отрезку hello_html_m60ee82e0.gif.

20 Функции распределения есть неубывающая функция.

30 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

hello_html_57df5701.gif.

40 Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу hello_html_m4181438d.gif, то hello_html_m3ad67770.gif.

50 Справедливы следующие предельные отношения:

hello_html_20edbdf.gif.


Числовые характеристики случайной величины

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.

1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).

2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).

3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).

Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.

Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

hello_html_m1e6ed5d0.gif.

Модой дискретной случайной величины Мо, называется ее наиболее вероятное значение, а модой непрерывной случайной величины - значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой (срединная точка) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M[X –М(Х)]2.Дисперсию дискретной случайной величины Х удобно вычислять по формуле:

hello_html_m49fe2bb.gif;

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е. hello_html_6feab5e.gif. Заметим, что размерность σ совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.


Теоретические распределения.

Биномиальное распределение. Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А может произойти с одной и той же вероятностью р (следовательно, вероятность непоявления q=1–p). Дискретная случайная величина Х – число наступлений события А – имеет распределение, которое называется биномиальным.

Ряд распределения случайной величины Х, подчиненной биномиальному закону, можно представить в виде следующей таблицы

0

1

k

n

hello_html_m2ed93a42.gif

hello_html_m36736742.gif

hello_html_m24dcc870.gif

hello_html_m59465842.gif

Название закона связано с тем, что вероятности Pn(k) при k = 0, 1, 2, …, n являются членами разложения бинома Ньютона

hello_html_5d6767a8.gif.


Распределение Пуассона

Это распределение представляет собой предельный случай биномиального, когда вероятность р очень мала, а число испытаний n велико.

Таким образом, им можно пользоваться при описании частот распределения редких событий, таких, например, как случай обширных наводнений на протяжении долгого периода времени наблюдений.

Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями hello_html_m7718ac6d.gif, где k – число появления событий в n независимых испытаниях, hello_html_m7f5126bf.gif (среднее число появлений события в n испытаниях), называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ.

В отличие от биномиального распределения здесь случайная величина может принимать бесконечное множество значений, представляющее собой бесконечную последовательность целых чисел 0, 1, 2, 3, … .

Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, которая характеризуется параметром hello_html_m7f5126bf.gif. Так как для распределения Пуассона вероятность р появления события в каждом испытании мала, то это распределение называют законом распределения редких явлений.

Для теоретического распределения Пуассона имеет место: М(Х) = D( X) = λ.

Равномерное распределение

Равномерным называется распределение непрерывных случайных величин, все значения которых лежат на отрезке [a, b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке. Закон равномерного распределения случайной величины может быть задан следующими образом:

hello_html_25336912.gif


Показательное (экспоненциальное) распределение

Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

hello_html_f54ded3.gif

Для данного вида распределения характерно, что:

hello_html_700b69c7.gif

Экспоненциальным законом описываются случайные величины, выражающие время безотказной работы устройств или их отдельных элементов.


Нормальное распределение (закон Гаусса)

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а и σ, если ее плотность распределения задается формулой:

hello_html_m140ef324.gif

где а – математическое ожидание случайной величины, σ2 –дисперсия случайной величины, σ –среднее квадратическое отклонение.


2. Примеры выполнения

Пример: Из урны, в которой находится 4 белых, 9 черных, 7 красных шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение: Элементарным исходом является извлечение любого шара. Число таких исходов равно числу шаров: 4+9+7=20, т.е. n=20. Событие А – извлечение белого шара, ему благоприятствуют 4 исхода, т.к. белых шаров 4, значит m=4, поэтому:

hello_html_31be5150.gif.

Пример (Задача о выборке): В партии из S деталей имеются Т нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу p деталей нестандартными окажутся ровно t деталей.

Решение: Элементарным исходом является выборка любых p изделий из общего числа S. Число таких исходом равно числу сочетаний из S по p, т.е. hello_html_18944ee9.gif

Интересующее нас событие А – это извлечение p деталей, из которых t нестандартные. Следовательно, благоприятными для А являются такие группы по p изделий, в которых p-t изделий – качественные, а t – нестандартные.

Число таких групп hello_html_29b1b000.gif, где hello_html_m795faa18.gif-группа стандартных изделий, hello_html_79b3af0e.gif -группа нестандартных изделий, причем события из группы стандартных комбинируются из группы нестандартных, тогда

hello_html_m656ee067.gif


Пример: В партии из 50 изделий содержится пять бракованных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 30 изделий не более одного бракованного?

Решение: Пусть А — событие, состоящее в том, что 30 изделий выборки — качественные, В — в рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно бракованное, С— не более одного бракованного. Тогда, очевидно, С=А+В. Так как события А и В несовместны, то Р(С)=Р(А)+Р(В).

Найдем вероятности событий А и В:

hello_html_m37f93fc8.gif

Отсюда hello_html_191741a7.gif.

Пример: Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение некоторого времени t равна p1= 0,9, второго — р2= 0,8. Какова вероятность бесперебойной работы обоих станков в течение указанного промежутка времени?

Решение: Рассмотрим следующие события: A1 и А2— бесперебойная работа соответственно первого и второго станков в течение времени t; A — бесперебойная работа обоих станков в течение указанного времени. Тогда событие А есть совмещение событий А1 и А2, т. е. А=А1·A2. Так как события A1 и А2 независимы (станки работают независимо друг от друга), то по получим

hello_html_33ff5892.gif.

Пример: Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 черных, во второй — 5 белых и 4 черных, в третьей — 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется белым; б) белый шар вынут из второй урны.

Решение:

а) Пусть А — событие, означающее, что извлечен белый шар. Рассмотрим три гипотезы:

H1— выбрана первая урна; Н2— выбрана вторая урна; Н3— третья.Так как урна, из которой извлекают шар, выбирается наугад, тоhello_html_m13b46bc6.gif.

Условные вероятности события А соответственно равны:

hello_html_30e8e5da.gif (вероятность извлечения белого шара из первой урны),

hello_html_300898f3.gif (вероятность извлечения белого шара из второй урны),

hello_html_m2882ee11.gif (вероятность извлечения белого шара из третьей урны).

Отсюда по формуле полной вероятности получим

hello_html_m5b55e12a.gif.

б) Для определения вероятности того, что белый шар извлечен из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:

hello_html_m5f93b4bf.gif


3. Задания для выполнения

Вариант 1

  1. В группе 20 студентов, среди них 14 юношей. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6-ти студентов будут 3 девушки и 3 юноши.

  2. Имеются 4 коробки с шарами.

1-я: 4 синих и 5 красных;

2-я: 5 синих и 4 красных;

3-я: 7 красных;

4-я: 12 синих.

Наудачу берут шар. Он красный. Найти вероятность того, что он из 2-й коробки.

  1. Двум студентам предложена задача. Вероятность того, что её решит 1-й студент равна 0,72, что решит 2-й – 0,65. Найти вероятность того, что задачу решат оба студента; что решит только один?


Вариант 2

  1. Имеются 23 детали и среди них 19 стандартные. Случайным образом выбирают сразу 6. Какова вероятность, что среди выбранных ровно 5 стандартных?

  2. В цехе продукция производится на 3-х станках:

1-й станок 45% всей продукции, из них брак 5%;

2-й станок 35% всей продукции, из них брак 10%;

3-й станок 20% всей продукции, из них брак 2%.

Найти вероятность, что наудачу взятая деталь из всех произведенных стандартная. Какова вероятность, что она была произведена на 1-м станке?

  1. Два стрелка независимо друг от друга производят выстрел по мишени. Вероятность попадания первым - 0,8, вторым – 0,9. Какова вероятность, что после одного выстрела в мишени будет только одна пробоина?


Вариант 3

  1. В урне лежат шары: 7 белых, 4 черных и 9 красных. Наудачу вынимают сразу два шара. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?

  2. В автоколонне 12 машин. Вероятность выхода на линию каждой машины – 0,8. Найти вероятность, что работа автоколонны будет осуществляться без сбоев, если для этого требуется, чтоб не менее 10 машин вышли на линию?

  3. Цех производит продукцию на 2-х станках:70% изготавливается на 1-м станке, среди них 12% составляют бракованные детали, остальные детали производятся на втором станке, среди них 15% бракованные. Какова вероятность, что наудачу взятая деталь окажется бракованной? Какая вероятность, что бракованная деталь произведена на 2-м станке?




Вариант 4

  1. Три стрелка стреляют независимо друг от друга по цели. Вероятность попадания первым -0,8; вторым – 0,75; третьим – 0,7. Найти вероятность того, что будет:

1) хотя бы одно попадание;

2) ровно одно попадание;

если произведен один выстрел каждым.

  1. В магазин поступают часы, выпускаемые на 3-х заводах. Первый завод поставляет 40%, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завод 20% часов спешат, второго завода – 30% часов спешат, третьего – 10% спешат. Найти вероятность того, что купленные часы спешат?

  2. Какова вероятность, что при десяти бросках игральной кости пять очков выпадут ровно 3 раза?


Вариант 5

  1. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются:

1) ровно 4 мотора;

2) перегреются все моторы?

  1. Детали на сборку попадают из трёх автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2% брака, третий – 4% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если 1-й автомат произвел 1000 деталей, 2-й – 2000 деталей и 3-й – 2500 деталей. Какова вероятность, что бракованная деталь произведена на 2-м автомате?

  2. Из 3000 лотерейных билетов выигрышными являются 12. Какова вероятность, что из наудачу взятых 15 билетов хоть один будет с выигрышем?


Вариант 6

  1. В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров, в желтом ящике 15 красных и 10 синих шаров. Наудачу из некоторого ящика выбирают шар. Какая вероятность, что он красный? Какова вероятность, что красный шар вынут из белого ящика?

  2. По самолету противника производят три выстрела. Вероятность попадания при 1-м выстреле-0,5, при 2-м – 0,6, при 3-м – 0.8. Вероятность сбить самолет при условии попадания при 1-м выстреле – 0,3, при 2-м – 0,6 и при 3-м – 0,9. Найти вероятность того, что самолет будет сбит. Какова вероятность, что он будет сбит при 1-м выстреле?

  3. 3. Два студента решают задачу независимо друг от друга. Вероятность того, что решит 1-й – 0,7, что решит 2-й – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) решат оба;

б) решит только один?


  1. Методические рекомендации к выполнению самостоятельных работ


    1. Работа с учебной литературой, конспектирование


Большое значение имеет совершенствование навыков конспектирования у студентов.

Преподаватель может рекомендовать студентам следующие основные формы записи: план (простой и развернутый), выписки, тезисы.

Результаты конспектирования могут быть представлены в различных формах.

План – это схема прочитанного материала, краткий (или подробный) перечень вопросов, отражающих структуру и последовательность материала. Подробно составленный план вполне заменяет конспект.

Конспект – это систематизированное, логичное изложение материала источника. Различаются четыре типа конспектов:

  • План-конспект – это развернутый детализированный план, в котором достаточно подробные записи приводятся по тем пунктам плана, которые нуждаются в пояснении.

  • Текстуальный конспект – это воспроизведение наиболее важных положений и фактов источника.

  • Свободный конспект – это четко и кратко сформулированные (изложенные) основные положения в результате глубокого осмысливания материала. В нем могут присутствовать выписки, цитаты, тезисы; часть материала может быть представлена планом.

  • Тематический конспект – составляется на основе изучения ряда источников и дает более или менее исчерпывающий ответ по какой-то схеме (вопросу).

Помимо всего прочего студентами может быть выполнено написание конспекта первоисточника (статьи, монографии, учебника, книги и пр.). Это конспектирование представляет собой вид внеаудиторной самостоятельной работы студента по созданию обзора информации, содержащейся в объекте конспектирования, в более краткой форме (см.прил. 3). В таком конспекте должны быть отражены основные принципиальные положения источника, то новое, что внес его автор, основные методологические положения работы, аргументы, этапы доказательства и выводы. Ценность конспекта значительно повышается, если студент излагает мысли своими словами, в лаконичной форме. Конспект должен начинаться с указания реквизитов источника:

[Омельченко В.П., Курбатова Э. Математика: учебник СПО/В.П.Омельченко, Э.Курбатова-9-е изд.,стереотип. –Ростов н/Дону: Феликс, 2014, 380.]

Особо значимые места, примеры выделяются цветным подчеркиванием, взятием в рамку, пометками на полях, чтобы акцентировать на них внимание и прочнее запомнить.

Работа выполняется письменно. Озвучиванию подлежат главные положения и выводы работы в виде краткого устного сообщения (3-4 мин) в рамках теоретического занятия. Контроль может проводиться и в виде проверки конспектов преподавателем.

Деятельность студента:

  • читает материал источника, выбирает главное и определяет второстепенные моменты;

  • устанавливает логическую связь между элементами темы;

  • записывает только то, что хорошо уяснил;

  • выделяет ключевые слова и понятия;

  • заменяет сложные развернутые обороты текста более лаконичными (свертывание).

Критерии оценки:

  • содержательность конспекта, соответствие плану;

  • отражение основных положений, результатов работы автора, выводов;

  • ясность, лаконичность изложения мыслей студента;

  • наличие схем, графическое выделение особо значимой информации;

  • соответствие оформления требованиям;

  • грамотность изложения;

  • - конспект сдан в срок.


    1. Работа над изучаемым материалом при подготовке к практическим занятиям


Важной составной частью учебного процесса являются практические занятия.

Планы практических занятий, их тематика, рекомендуемая литература, цель и задачи ее изучения сообщаются преподавателем на вводных занятиях или в методических указаниях по данной дисциплине.

Прежде чем приступить к изучению темы, необходимо прокомментировать основные вопросы плана занятия. Такой подход помогает студентам быстро находить нужный материал к каждому из вопросов, не задерживаясь на второстепенном.

Подготовка к практическому (семинарскому) занятию включает 2 этапа:

1й – организационный;

2й - закрепление и углубление теоретических знаний.

На первом этапе студент планирует свою самостоятельную работу, которая включает:

- уяснение задания на самостоятельную работу;

- подбор рекомендованной литературы;

- составление плана работы, в котором определяются основные пункты предстоящей подготовки.

Составление плана дисциплинирует и повышает организованность в работе.

Второй этап включает непосредственную подготовку студента к занятию. Начинать надо с изучения рекомендованной литературы. Необходимо помнить, что на лекции обычно рассматривается не весь материал, а только его часть. Остальная его часть восполняется в процессе самостоятельной работы. В связи с этим работа с рекомендованной литературой обязательна. Особое внимание при этом необходимо обратить на содержание основных положений и выводов, объяснение явлений и фактов, уяснение практического приложения рассматриваемых теоретических вопросов. В процессе этой работы студент должен стремиться понять и запомнить основные положения рассматриваемого материала, примеры, поясняющие его, а также разобраться в иллюстративном материале.

Заканчивать подготовку следует составлением плана (конспекта) по изучаемому материалу (вопросу). Это позволяет составить концентрированное, сжатое представление по изучаемым вопросам.

В процессе подготовки к занятиям рекомендуется взаимное обсуждение материала, во время которого закрепляются знания, а также приобретается практика в изложении и разъяснении полученных знаний, развивается речь.

При необходимости следует обращаться за консультацией к преподавателю. Идя на консультацию, необходимо хорошо продумать вопросы, которые требуют разъяснения.

В начале занятия студенты под руководством преподавателя более глубоко осмысливают теоретические положения по теме занятия, раскрывают и объясняют основные положения публичного выступления. В процессе творческого обсуждения и дискуссии вырабатываются умения и навыки использовать приобретенные знания для различного рода ораторской деятельности.

Записи имеют первостепенное значение для самостоятельной работы студентов. Они помогают понять построение изучаемого материала, выделить основные положения, проследить их логику. Ведение записей способствует превращению чтения в активный процесс, мобилизует, наряду со зрительной, и моторную память. Следует помнить: у студента, систематически ведущего записи, создается свой индивидуальный фонд подсобных материалов для быстрого повторения прочитанного, для мобилизации накопленных знаний. Особенно важны и полезны записи тогда, когда в них находят отражение мысли, возникшие при самостоятельной работе.

Ввиду трудоемкости подготовки к занятию преподаватель может предложить студентам алгоритм действий, рекомендовать еще раз внимательно прочитать записи лекций и уже готовый конспект по теме, тщательно продумать свое устное выступление.

На занятии каждый его участник должен быть готовым к выступлению по всем поставленным в плане вопросам, проявлять максимальную активность при их рассмотрении. Выступление должно строиться свободно, убедительно и аргументировано. Следите за тем, чтобы выступление не сводилось к репродуктивному уровню (простому воспроизведению текста), не допускается и простое чтение конспекта. Необходимо, чтобы выступающий проявлял собственное отношение к тому, о чем он говорит, высказывал свое личное мнение, понимание, обосновывал его и мог сделать правильные выводы из сказанного. При этом студент может обращаться к записям конспекта и лекций, непосредственно к первоисточникам, использовать факты и наблюдения современной жизни и т. д.


    1. Подготовка к устному опросу/ докладу1


Многие считают, что страх перед выступлением на публике испытывают только люди, робкие и стеснительные от природы. На самом деле через такие переживания проходит практически каждый. Не у вас одного от волнения путаются мысли, потеют ладони, слабеют колени, учащается пульс и срывается голос.

Даже волнуясь, можно произвести хорошее впечатление на публику.

Как выглядеть спокойным и уверенным:

  • жесты должны быть свободными

  • говорите убежденно громким голосом, а не еле слышным шепотом

  • избегайте долгих и лишних пауз, частых запинок.

Все это придаст вам внутренней уверенности, которую почувствуют и педагоги: раз уверен – значит, знает.

Упражняйтесь и в непрерывности речи, например, 10 мин говорите о каком-либо предмете или явлении.

Что делать, если сбились с мысли:

  • проговорите про себя слова “потому что”, “поэтому” – они помогают найти нужные слова и мысли

  • задайте про себя вопрос, связанный с темой ответа перейдите к смежной, родственной теме, с нее вы быстрее сможете вернуться к главному предмету обсуждения

  • возникла заминка – развейте последнюю мысль.

При подготовке к докладу определите свои речевые недостатки. Со многими из них можно справиться самостоятельно, без логопеда. Например, невнятная артикуляция – часто всего лишь небрежность произношения. Запишите свою речь на магнитофон и объективно оцените: вы скомкано произносите звуки, бубните, спотыкаетесь на трудных и длинных словах, говорите монотонно или немного шепелявите? С каждым из дефектов лучше разбираться по отдельности, а затем переходить к следующему. Сохраните первую запись – так вы сможете наблюдать прогресс и корректировать систему занятий.

Одно из самых эффективных упражнений – чтение вслух с выражением в размеренном темпе.

Достаточно читать по 15-20 мин ежедневно, чтобы устранить:

  • нечеткую дикцию

  • проглатывание звуков при слишком быстром темпе речи

  • монотонность, невыразительность речи

  • небольшой словарный запас.

Добиться чистого произношения, ясной и четкой речи помогут и такие упражнения:

  • Откройте словарь на тех буквах, которые вам сложно произносить (часто это бывают “л”, “р” или “с”). Читайте слова каждый день по странице.

  • Произносите глубокий звук “ааааааааа”, чтобы расслабить горло.

  • Перед тем, как начать говорить, опустите челюсть немного вниз. Это поможет создать небольшой промежуток между зубами, чтобы свободно произносить звуки.

  • Заведите словарик труднопроизносимых слов. Проговаривайте длинное и сложное слово по пять-шесть раз, пока не освоите его. Так вы пополните свой словарный запас и устраните общий недостаток всех абитуриентов – слабое владение русским литературным языком.

  • С помощью секундомера замерьте скорость речи. В среднем человек произносит 120-160 слов в минуту. Если вы говорите быстрее, наверняка “срезаете” часть звуков, вот почему ваша речь становится непонятной. Замедлить речь просто – нужно четко произносить все звуки и слоги.

  • Монотонная речь утомительна для слуха. Чтобы говорить выразительно, учитесь интонировать – произносить одно и тоже предложение, выделяя голосом разные слова и меняя его смысл:

Я буду читать книгу – буду делать то, что сказано.
Я буду читать книгу – то есть читать буду именно я, а не кто-то другой.
Я буду читать книгу – то есть сделаю это в будущем.
Я буду читать книгу – не пролистывать, а читать.
Я буду читать книгу – именно книгу, а не журнал или газету.

Негативное впечатление на публику оказывает и употребление сленга, слов-паразитов. Если сами вы их не замечаете, попросите родителей или друзей оценить вашу речь и делать замечания всякий раз, как вы произнесете “как бы”, “типа”, “э-э-э-э” и т.д. Точно так же поступают педагоги на курсах мастерства общения: они копируют вредные речевые привычки слушателей, обращая на них внимание, и со временем человек начинает замечать свои недостатки без посторонней помощи, старается их избегать, а затем совсем от них избавляется.

Полезно не только услышать, но и увидеть себя со стороны, свою мимику и жестикуляцию, сделав запись на видеокамеру. Чтобы не отвлекаться при устном ответе, не беспокоиться, что делать с руками, куда поставить ноги, порепетируйте перед зеркалом, в какой позе вам удобно сидеть и стоять.

Бороться с волнением можно не только на психологическом, но и на физическом уровне.

Упражнения для осанки, дыхания и голоса:

  • Встаньте так, чтобы лопатки, задняя сторона плеч, ягодицы, икры слегка касались стены. Не пытайтесь “вдавливать” в стену шею и поясницу – это естественные изгибы позвоночника. Мышцы спины и груди максимально расслаблены. Представьте, что голова подобна воздушному шару, наполненному гелием, поэтому она стремится вверх, увлекая за собой позвоночник. Вообразите, что воздушный шар словно “витает” в воздухе от легкого дуновения ветерка. Сохраняйте это ощущение “плавающей” головы во время речи.

  • Чтобы расправить плечи – не напрягайте мышцы! Уравновесьте плечи. Для этого чуть приподнимите их вверх, слегка отведите назад и расслабьте. Пусть плечи пассивно упадут вниз. Повторите это упражнение несколько раз. Ощущайте легкость в плечах.

  • Зевок поможет снять напряжение с мышц, участвующих в формировании голоса. Зевок должен быть круглым, мягким, “сладким”. Язык лежит расслабленный, “распластанный”, не торчит “колом”. Мягкое небо высоко поднято “куполом”. Это упражнение растягивает мышцы глотки, позволяет говорить свободно.

  • После зевка произнесите несколько фраз. А теперь, уже не зевая, но сохраняя это ощущение, повторите те же фразы.

  • Вспомните, какой вздох облегчения вырывался у вас в детстве, когда ручка учителя скользила по списку учеников в классном журнале и останавливалась не на вашей фамилии. А теперь на таком же вздохе облегчения (на выдохе) произнесите гласный звук “а” или “о”. Это освобождает дыхание и голос.

Чтобы перестроить диафрагму, перевести дыхание с грудного в глубокое, выполняйте вот такие упражнения:

  • выдыхая, произносите “ой-ой-ой”, как будто испугались, сокращая мышцы живота

  • через нос бесшумно вдохните и через рот (губы слегка сжаты, как на “ф”) шумно выдыхайте на счет 10 (постепенно увеличивайте количество выдохов, но вдох – только один)

  • надувайте шарики, контролируя подачу воздуха через диафрагму

  • тренируйте речевое дыхание: короткий вдох и ровный, а не затухающий долгий выдох (очередную порцию воздуха надо добирать во время ближайшей паузы в речи, когда возникло желание сделать вдох).


    1. Подготовка к письменному опросу2


Письменный ответ на вопросы, в отличие от устного, с одной стороны, избавляет от напряженной борьбы с преподавателем, с другой – лишает возможности защитить свой ответ. Поэтому успех сдачи письменного ответа полностью зависит от того, насколько эффектно и убедительно будет выглядеть написанный текст.

  • К содержанию письменного ответа предъявляются требования более высокие, чем к устному. Поэтому готовиться к такому опросу следует более тщательно, а на самом опросе постараться воспроизвести как можно больше информации по теме. 

  • Очень хорошо, если помимо текстовой информации удастся вспомнить схемы, графики, таблицы, иллюстрации, любой другой наглядный материал.

  • Как и при устном ответе, важно уделять внимание структуре ответа. Структурировать текст можно, используя красную строку, списки, подзаголовки. Следует помнить, что сплошной текст плохо воспринимается и создает впечатление сумбурности ответа.

Проверено на практике: не забывайте использовать черновик. На нем можно излагать свои мысли в любом порядке, зачеркивать, переставлять местами. А затем переписать в чистовик, в котором лучше избегать помарок. Кстати, это один из эффективных способов вспоминания материала: если покажется, что вы ничего не помните, берите черновик, и пишите на нем все, что приходит в голову по теме. Через некоторое время материал обязательно начнет вспоминаться.

Выполненная работа оформляется (см.прил. 4) и сдается на проверку через отведенное для нее время.


    1. Подготовка реферата


Подготовка рефератов направлена на развитие и закрепление у студентов навыков самостоятельного глубокого, творческого и всестороннего анализа научной, методической и другой литературы по актуальным проблемам дисциплины; на выработку навыков и умений грамотно и убедительно излагать материал, четко формулировать теоретические обобщения, выводы и практические рекомендации.

Рефераты должны отвечать высоким квалификационным требованиям в отношении научности содержания и оформления.

Темы рефератов, как правило, посвящены рассмотрению одной проблемы. Объем реферата может быть от 12 до 15 страниц машинописного текста, отпечатанного через 1,5 интервала, а на компьютере через 1 интервал (список литературы и приложения в объем не входят).

Реферат сдается на проверку преподавателю за 1-2 недели до зачетного занятия. При оценке реферата преподаватель учитывает:

  • - соответствие содержания теме;

  • -грамотность и полноту использования источников;

  • - связность, логичность и грамотность составления;

  • - оформление в соответствии с требованиями ГОСТ.

Защита тематического реферата проводится на занятии в рамках часов учебной дисциплины и предусматривает доклад не более 5-7 минут и ответы на вопросы. Общая оценка за реферат выставляется с учетом оценок за работу, доклад, умение вести дискуссию и ответы на вопросы.

Содержание и оформление разделов реферата (см.прил 1)

Титульный лист является первой страницей реферата и заполняется по строго определенным правилам. В верхнем поле указывается полное наименование учебного заведения. В среднем поле дается заглавие реферата, которое проводится без слова " тема " и в кавычки не заключается. Далее, ближе к правому краю титульного листа, указываются фамилия, инициалы студента, написавшего реферат, а также его курс и группа. Ниже указываются фамилия и инициалы преподавателя - руководителя работы. В нижнем поле указывается год написания реферата.

После титульного листа помещают оглавление, в котором приводятся все заголовки работы и указываются страницы, с которых они начинаются (см.прил. 2). Заголовки оглавления должны точно повторять заголовки в тексте. Сокращать их или давать в другой формулировке и последовательности нельзя. Все заголовки начинаются с прописной буквы без точки на конце. Последнее слово каждого заголовка соединяют отточием / …………… / с соответствующим ему номером страницы в правом столбце оглавления.

Заголовки одинаковых ступеней рубрикации необходимо располагать друг под другом. Заголовки каждой последующей ступени смещают на три - пять знаков вправо по отношению к заголовкам предыдущей ступени.

Введение. Здесь обычно обосновывается актуальность выбранной темы, цель и содержание реферата, указывается объект / предмет / рассмотрения, приводится характеристика источников для написания работы и краткий обзор имеющейся по данной теме литературы. Актуальность предполагает оценку своевременности и социальной значимости выбранной темы, обзор литературы по теме отражает знакомство автора реферата с имеющимися источниками, умение их систематизировать, критически рассматривать, выделять существенное, определять главное.

Основная часть. Содержание глав этой части должно точно соответствовать теме работы и полностью ее раскрывать. Эти главы должны показать умение исследователя сжато, логично и аргументировано излагать материал, обобщать, анализировать, делать логические выводы.

Заключительная часть. Предполагает последовательное, логически стройное изложение обобщенных выводов по рассматриваемой теме.

Библиографический список использованной литературы составляет одну из частей работы, отражающей самостоятельную творческую работу автора, позволяет судить о степени фундаментальности данного реферата. В список литературы студент включает только те документы, которые он использовал при написании реферата.

В приложении помещают вспомогательные или дополнительные материалы, которые загромождают текст основной части работы / таблицы, карты, графики, неопубликованные документы, переписка и т.д. /. Каждое приложение должно начинаться с нового листа / страницы / с указанием в правом верхнем углу слова " Приложение" и иметь тематический заголовок. При наличии в работе более одного приложения они нумеруются арабскими цифрами / без знака " № " /, например, " Приложение 1". Нумерация страниц, на которых даются приложения, должна быть сквозной и продолжать общую нумерацию страниц основного текста. Связь основного текста с приложениями осуществляется через ссылки, которые употребляются со словом " смотри " / оно обычно сокращается и заключается вместе с шифром в круглые скобки - (см. прил. 1) /.


    1. Подготовка материала-презентации


Доклад – это сообщение по заданной теме, с целью внести знания из дополнительной литературы, систематизировать материл, проиллюстрировать примерами, развивать навыки самостоятельной работы с научной литературой, познавательный интерес к научному познанию.

Действия по подготовке презентации:

- сбор и изучение литературы по теме;

- выделение основных понятий;

- введение в текст дополнительных данных, характеризующих объект изучения;

- оформление доклада письменно и иллюстрация компьютерной презентацией;

- сдача на контроль преподавателю.

Необходимо помнить, что выступление состоит из трех частей: вступление, основная часть и заключение.

Вступление помогает обеспечить успех выступления по любой тематике. Вступление должно содержать:

- название презентации (доклада)

- сообщение основной идеи

- современную оценку предмета изложения

- краткое перечисление рассматриваемых вопросов

- живую интересную форму изложения

- акцентирование оригинальности подхода.

Основная часть, в которой выступающий должен глубоко раскрыть суть затронутой темы, обычно строится по принципу отчета. Задача основной части - представить достаточно данных для того, чтобы слушатели заинтересовались темой и захотели ознакомиться с материалами. При этом логическая структура теоретического блока должны сопровождаться иллюстрациями разработанной компьютерной презентации.

Заключение –это ясное четкое обобщение и краткие выводы.

Создание материалов-презентацийэто вид самостоятельной работы студентов по созданию наглядных информационных пособий, выполненных с помощью мультимедийной компьютерной программы PowerPoint (см.прил 5).

Материалы-презентации готовятся студентом в виде слайдов с использованием программы Microsoft PowerPoint. В качестве материалов-презентаций могут быть представлены результаты любого вида внеаудиторной самостоятельной работы, по формату соответствующие режиму презентаций.

Затраты времени на создание презентаций зависят от степени трудности материала по теме, его объема, уровня сложности создания презентации, индивидуальных особенностей студента и определяются преподавателем.

Деятельность студента:

- изучает материалы темы, выделяя главное и второстепенное;

- устанавливает логическую связь между элементами темы;

- представляет характеристику элементов в краткой форме;

-выбирает опорные сигналы для акцентирования главной информации и отображает в структуре работы;

- оформляет работу и предоставляет к установленному сроку.

Критерии оценки:

- соответствие содержания теме;

- правильная структурированность информации;

- наличие логической связи изложенной информации;

- эстетичность оформления, его соответствие требованиям;

- работа представлена в срок.


    1. Выполнение исследовательской, творческой работы


Самостоятельное творческое исследование по избранной теме должно начинаться с обоснования выбранной темы и личного отношения к ней (чем тема привлекает, в чем ее актуальность). Работа строится не произвольно, а по определенной структуре, которая является общепринятой для научных трудов. Основными элементами этой структуры являются: титульный лист, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованной литературы, приложения.

Структура работы

    1. Титульный лист является первой страницей работы и заполняется по образцу.

    2. После титульного листа помещается содержание, в котором приводятся разделы (главы) работы с указанием страниц.

    3. Во введении в краткой форме обосновываются актуальность выбранной темы, цель и содержание поставленных задач, формулируются объект и предмет исследования, указывается избранный метод (или методы) исследования, сообщается, в чем заключаются теоретическая значимость и прикладная ценность полученных результатов.

    4. В главах основной части работы подробно рассматриваются методика и техника исследования и обобщаются результаты. Все материалы, не являющиеся важными для понимания решения научной задачи, выносятся в приложения. Содержание глав основной части должно точно соответствовать теме исследовательской работы и полностью ее раскрывать. Эти главы показывают умение исследователя сжато, логично и аргументировано излагать материал.

    5. В заключении предполагается наличие обобщенной итоговой оценки проделанной работы. При этом указывается, в чем заключается ее главный смысл, какие важные результаты получены.

    6. В конце работы приводится список литературы. В тексте работы могут быть ссылки на тот или иной научный источник (номер ссылки должен соответствовать порядковому номеру источника в списке литературы).

    7. В приложениях помещаются вспомогательные или дополнительные материалы. В случае необходимости приводятся дополнительные таблицы, графики, рисунки, и т.д.

Оформление и представление работы

  1. Титульный лист исследовательской работы оформляется по образцу.

  2. Исследовательская работа печатается строго в последовательном порядке. Не допускаются разного рода текстовые вставки и дополнения.

  3. Порядок форматирования:

  • текст исследовательской работы печатается шрифтом TimesNewRoman (14 пт), с полями: левое – 3 см, правое – 1,5 см, верхнее – 2 см, нижнее – 2 см. Выравнивание текста - по ширине листа. Междустрочный интервал – полуторный. Контуры полей не наносятся;

  • отступ первой строки абзаца составляет 1,5 см;

  • расстояние между названием главы и последующим текстом должно быть равно трем интервалам. Такое же расстояние выдерживается между заголовками главы и параграфа. Точку в конце заголовка, располагаемого посредине строки, не ставят.

  • Все страницы должны быть пронумерованы (кроме титульного листа);

  • Если в тексте работы встречаются цитаты, то внизу страницы в сносках следует указать Ф.И.О. автора, название книги, место, года издания, страницу, на которой встречается цитата;

  1. Работа помещается в папку-скоросшиватель с прозрачным верхним листом (вкладывать в файлы страницы работы не допускается, в файл помещаются только страницы приложений). Диск с программным продуктом помещается в отдельный прозрачный файл и закрепляется во избежание самопроизвольного выпадения.


  1. Требования к выполнению заданий по образцу


Для более эффективной работы при выполнении заданий по образцу, необходимо очень внимательно изучить все возможные инструкции и предложенные теоретические сведения, разобрать примеры выполнения и прочитать критерии оценки. Затем четко по инструкции выполнить вариант задания, выданного преподавателем. Успешно защитить работу у преподавателя и получить заслуженную оценку.

Студенту, выполняющему задание по образцу необходимо:

  1. 1. Изучить краткие теоретические сведения

  2. 2. Прочитать соответствующий теме задания источник литературы, указанный в перечне

  3. 3. Изучить примеры выполнения

  4. 4. Оформить выполненное задание в тетради для самостоятельных работ студента. Запись должна содержать: номер и название раздела, условие задания, решение с промежуточными выкладками, полный ответ, проверку, если необходимо.

  5. 5. Сдать работу преподавателю не позднее одной недели после получения задания.


  1. Контроль результатов самостоятельной работы студентов


Обязанность контроля своевременности и качества выполнения аудиторной и, особенно, внеаудиторной самостоятельной работы студентов — это соотношение достигнутых студентами результатов в ходе самостоятельной работы с запланированными целями обучения. Его основная цель состоит в выявлении достижений, успехов студентов, в определении путей их совершенствования, углубления знаний, умений, с тем, чтобы создавались условия для последующего включения студентов в активную самостоятельную творческую деятельность.

Эта цель, в первую очередь, связана с определением качества усвоения студентами учебного материала в рамках требований ФГОС СПО. Во-вторых, конкретизация основной цели контроля самостоятельной работы связана с обучением студентов приемам взаимоконтроля и самоконтроля, формированием потребности в самоконтроле. В-третьих, эта цель предполагает воспитание у студентов таких качеств личности, как ответственность за выполнение самостоятельной работы, проявление инициативы.

В качестве форм и методов контроля используются:

  • зачеты,

  • контрольные работы,

  • взаимопроверки учебно-творческими бригадами,

  • защита творческих работ.


  1. Критерии оценки результатов самостоятельной работы студента


Содержание и направленность заданий для самостоятельной работы должны определяться на основе дифференцированного подхода к способностям и возможностям студентов.

Условно студентов каждой учебной группы можно разделить на четыре подгруппы.

Первая подгруппа: студенты, обладающие глубокими знаниями, развитыми способностями, готовностью к самостоятельной работе, высоким темпом учебной деятельности. Их интересует действенный интерес к предмету, и, тем не менее, при выполнении самостоятельных работ они испытывают трудности из-за слабых навыков самопроверки, невнимательности при вычислениях.

Вторая подгруппа: студенты, отличающиеся старательностью и способностью. Они хорошо знают изучаемый программный материал, легко справляются с однотипными заданиями, проявляют интерес к предмету, но в отличие от первой группы, эти студенты не обнаруживают творческого подхода при выполнении заданий. Они встречают затруднения из-за недостаточно сформированных обще-учебных навыков, а также из-за неумения контролировать и проверять себя.

Третья подгруппа: студенты неглубоко знают теоретический материал, интерес к предмету у них не выражен. Затруднений при выполнении самостоятельной работы гораздо больше. Они слабо владеют общеучебными умениями и навыками, не умеют применять знания, полученные при изучении других дисциплин.

Четвертая подгруппа: студенты плохо знают теоретический материал, у них отсутствуют навыки самостоятельной работы, поэтому с заданиями на начальном этапе они не справляются, так как не всегда понимают их суть.


Общие критерии оценки результатов самостоятельной работы студентов:

  • уровень освоения студентом учебного материала;

  • умения студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

  • сформированность общеучебных умений;

  • обоснованность и четкость изложения ответа;

  • оформление материала в соответствии с требованиями.


Критерии оценки написания творческой работы:

  • содержательность реферата (доклада), соответствие плану;

  • отражение основных положений, результатов работы автора, выводов;

  • ясность, лаконичность изложения мыслей студента;

  • наличие схем, графическое выделение особо значимой информации;

  • соответствие оформления требованиям;

  • грамотность изложения;

  • реферат (доклад) сдан в срок.


Оценка «Зачтено» ставится при условии выполнения всех пунктов критерия оценки написания творческой работы.

Оценка «Условно зачтено» ставится при условии выполнения 1 - 5 пунктов критерия оценки написания творческой работы.

Оценка «Не зачтено» ставится при условии не выполнения всех семи пунктов критерия оценки написания творческой работы.


Критерии оценки выполнения заданий по образцу:

  • соответствие работы выданному заданию;

  • полное аккуратное и правильное оформление работы, в соответствии с требованиями;

  • наличие всех промежуточных выкладок;

  • наличие схем, графическое выделение особо значимой

  • информации (если необходимо);

  • наличие правильного ответа и проверки правильности выполнения;

  • грамотность изложения;

  • своевременная сдача работы.


Оценка «Зачтено» ставится при условии выполнения всех пунктов критерия оценки написания творческой работы.

Оценка «Условно зачтено» ставится при условии выполнения 1 - 5 пунктов критерия оценки написания творческой работы.

Оценка «Не зачтено» ставится при условии не выполнения всех семи пунктов критерия оценки написания творческой работы.


  1. Учебно-методическое и информационное обеспечение


Основная литература:

  1. Омельченко В.П., Курбатова Э. Математика: учебник СПО/В.П.Омельченко, Э.Курбатова-9-е изд.,стереотип. –Ростов н/Дону: Феликс, 2014, 380. ISBN 978-5-222-22752-7.

Дополнительная литература:

  1. Баврин, И.И. Высшая математика: Учебник для студентов высших учебных заведений. / И.И. Баврин, В.Л.Матросов–М.: Гуманит. издат. центр ВЛАДОС, 2002.-400с. ISBN 5-691-00372-0.

  2. Богомолов, Н.В. Практические задания по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Н.В. Богомолов, 9-е изд., стереотип.–М.: Высшая школа, 2006.-495с. ISBN 5-06-003940-4.

  3. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко -5-е изд., перераб. и доп.–М.: Издательство Юрайт, 2013.-396с. ISBN 978-5-9916-2204-2.

  4. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Н.В. Богомолов, 6-е изд., стереотип.–М.: Дрофа, 2010.-204с. ISBN 978-5-358-07916-8.

  5. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2-е изд., стереотип. -М.: Издательский центр «Академия», 2002.-304с. ISBN 5-7695-1019-6.

  6. Афанасьева, О.Н. и др. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учебн. Пособие для техникумов /О.Н. Афанасьева, Я.С.Бродский, И.И. Гуткин, А.П.Павлов- М.: Наука, 1987.-208с.

  7. Валуце И.И..Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Валуцэ, Т.Д. Дилигул.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука,1990.-576с. ISBN 5-02-013930-0

  8. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: учебное пособие для техникумов. / П.Т. Апанасов, М.И. Орлов–М.: Высшая школа., 1987.-303с.

  9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. / М.Я. Выгодский--М.: Астрель, 2002.-992. ISBN 5-17-012238-1.

  10. Виноградов И.М. Элементы высшей математики: учебник для вузов/И.М.Виноградов –М.: Высшая школа, 1999, 511. ISBN5-06-003611-1.

  11. Гончарова Г.А. Элементы дискретной математики:Учебное пособие/ Г.А. Гончарова. –М.: Форум Инфра-М, 2003, 128с. ISBN 5-8199-0059-6.

  12. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. В 2х частях. Часть 1/Д. Письменный. -2-е изд., испр. –М.: Айрис Пресс, 2003, 288. ISBN 5-8112-0151-6.

  13. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. В 2х частях. Часть 2/Д. Письменный. -2-е изд., испр. –М.: Айрис Пресс, 2003, 256. ISBN 5-8112-0190-7

  14. Шипачев, В.С. Основы высшей математики: Учебн. Пособие для ВУЗов / под ред. акад. А.Н.Тихонова– 3-е изд, стер. -М.: Высшая Школа, 1998.-479. ISBN 5-06-003512-3

  15. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. Пособие для ВУЗов / В.С. Шипачев– 2-е изд, испр. -М.: Высшая Школа, 2001.-304. ISBN 5-06-003575-1

  16. Шипачев, В.С. Математический анализ: Учебн. Пособие для ВУЗов / В.С.Шипачев–М.: Высшая Школа, 1999.-176. ISBN 5-06-003510-7


Электронные пособия и интернет-ресурсы:

  1. Ищенко А.Ю. и др. Математическое моделирование. Линейное программирование. –М.: Е-Медиа, 2004 -1. (электронный оптический диск)

  2. Математика [Электронный ресурс] / Режим доступа http://www.mathematics.ru - учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений.


Приложение 1 Образец титульного листа

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Красноярский промышленный колледж

(КПК НИЯУ МИФИ)



Р Е Ф Е Р А Т

Тема: ________________________________________________________________




Выполнил (а):Ф. И. О. студента,

Курс____, группа__________,

Специальность________________

Руководитель: Ф.И.О. преподавателя









Железногорск

20___г

Приложение 2 Образец оглавления


ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение ............................................................................................... 2


Глава 1 .................................................................................................. 3


Глава 2 .................................................................................................. 6


Глава 3 ................................................................................................ 10


Заключение ........................................................................................ 14


Список литературы............................................................................ 16

Приложение 3 Образец оформления конспекта




КОНСПЕКТ

Первоисточника (главы монографии, учебника, статьи и пр.)


Фамилия автора, полное наименование работы, места и год издания





Выполнил (а):Ф.И.О. студента,

Курс____, группа__________,

Специальность________________



План

1. ………………..

2. ………………..

3. ………………..

4. ………………..


(далее раскрываются вопросы плана)

1. ………………..

1.1. ………………..

1.2. ………………..

2. ………………..

2.1. ………………..

Приложение 4 Образец оформления письменной работы



Образец титульного листа (лист 1)


Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Красноярский промышленный колледж

(КПК НИЯУ МИФИ)



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ (КОНТРОЛЬНАЯ) РАБОТА №____


Тема: __________________________________________________________



Выполнил (а):Ф. И. О. студента,

Курс____, группа__________,

Специальность________________


Работа проверена:

Ф.И.О. преподавателя ___________

Оценка:________________________






Железногорск

20___г

hello_html_12699996.gif


Оформление содержания работы (лист 2)




задания

Решение



Ответ:

Приложение 5

Методические указания по подготовке презентации


Презентация - мультимедийный инструмент, используемый в ходе докладов или сообщений для повышения выразительности выступления, более убедительной и наглядной иллюстрации описываемых фактов и явлений.

Методические рекомендации содержат основные требования к оформлению, структуре и содержанию мультимедийной презентации ПРОЕКТА.

Структура, содержание и дизайн компьютерной презентации – это личное творчество автора. Однако опыт показывает, что наиболее успешными являются презентации, составленные с соблюдением приведенных рекомендаций, которые могут предостеречь от ряда неудач.


Рекомендации по оформлению мультимедийной презентации


  • Полезно использовать шаблоны оформления для подготовки компьютерной презентации.

  • Слайды желательно не перегружать текстом, лучше разместить короткие тезисы, убрав вводные слова, даты, имена, термины и т.п. На слайдах необходимо демонстрировать небольшие фрагменты текста доступным для чтения на расстоянии шрифтом (количество слов на слайде не должно превышать 40); 2-3 фотографии или рисунка.

  • Наиболее важный материал лучше выделить.

  • Таблицы с цифровыми данными плохо воспринимаются со слайдов, в этом случае цифровой материал, по возможности, лучше представить в виде графиков и диаграмм.

  • Не следует излишне увлекаться мультимедийными эффектами анимации. Особенно нежелательны такие эффекты как вылет, вращение, волна, побуквенное появление текста и т.д. Оптимальная настройка эффектов анимации – появление, в первую очередь, заголовка слайда, а затем -текста по абзацам. При этом если несколько слайдов имеют одинаковое название, то заголовок слайда должен постоянно оставаться на экране.

  • Визуальное восприятие слайда презентации занимает от 2 до 5 секунд, в то время как продолжительность некоторых видов анимации может превышать 20 секунд. Поэтому настройка анимации, при которой происходит появление текста по буквам или словам нежелательна.

  • Стихи лучше декламировать, чем записать на слайде презентации, зато небольшой эпиграф или изречение очень хорошо впишутся в презентацию.

  • Чтобы обеспечить хорошую читаемость презентации необходимо подобрать темный цвет фона и светлый цвет шрифта. Нельзя также выбирать фон, который содержит активный рисунок.

  • Звуковое сопровождение используется только по необходимости, поскольку даже тихая фоновая музыка создает излишний шум и мешает восприятию содержания.

  • Режим просмотра презентации лучше установить «по щелчку мыши». Тогда вы сможете контролировать соответствие содержимого слайда тексту выступления.

  • Желательно подготовить к каждому слайду заметки по докладу (Вид — страницы заметок). Затем распечатать их (Печать — печатать заметки) и использовать при под­готовке или на самой презентации. Можно распечатать некото­рые ключевые слайды в качестве раздаточного материала.

  • Необходимо обязательно соблюдать единый стиль оформления презентации и обратить внимание на стилистическую грамотность (отсутствие орфографических и пунктуационных ошибок).

  • Пронумеруйте слайды. Это позволит быстро обращаться к конкретному слайду в случае необходимости.


Рекомендации по содержанию слайдов мультимедийной презентации:


1-й слайд (титульный), на фоне которого конкурсант представляет тему проекта, фамилию, имя автора (ов) и научного руководителя.

Фоном данного слайда не обязательно должен быть цвет, намного информативнее может выглядеть изображение, заставляющее зрителя сразу окунуться в суть исследования. Это заранее настраивает на тему и вызывает интерес слушателей.

2-й слайд. Включает в себя объект, предмет и гипотезу исследования.

3-й слайд. Содержит цель и задачи исследования. Цель проекта должна быть написана на экране крупным шрифтом (не менее кегля 22). Здесь же, если позволяет место, можно написать и задачи. Задачи могут быть представлены и на следующем слайде.

4-й - … слайд. Содержит структуру работы, которую можно предоставить, например, в виде графических блоков со стрелками. А также – перечисление применяемых методов и методик.

5-й - … слайд. Представляется содержание и теоретическая значимость проекта. Суть решаемой проблемы может быть представлена в виде схем, таблиц, диаграмм, графиков, фотографий, фрагментов фильмов и т.п. Необходимо следить за тем, чтобы содержание соответствовало изображению. На теоретическую часть представления проекта должно быть создано несколько слайдов.

6-й - … слайд. Возможности применения результатов работы на практике. Эта часть проекта должна быть достойно представлена в презентации, особенно, при наличии эксперимента. На эту тему также должно быть несколько слайдов.

7-й слайд. Главные выводы, итоги, результаты проекта целесообразно поместить на отдельном слайде. При этом не следует перечислять то, что было сделано, а лаконично изложить суть практической, экономической, социальной или иной значимости проекта или полученных результатов исследования.

Последний слайд. В конец презентации желательно поместить титульный слайд, что позволит вести дискуссию не на фоне черного экрана или текста «Спасибо за внимание!», а, находясь еще под впечатлением услышанного, оставаться «в теме».


Общие рекомендации к подготовке мультимедийной презентации


Защиту проекта с мультимедийной презентацией желательно выполнять с использованием 10—15 слайдов (общая продолжительность не более 5 минут).

Презентация легко поможет провести выступление, но она не должна его заменить. Если конкурсант только читает текст слайдов, то это сиг­нал экспертам, что он не ориентируется в содержании. Но если он растерялся, то прочтение презентации будет лучшим выходом из ситуации.

Презентация составляется после тщательного обдумывания и написания текста доклада на защиту: сюжеты презентации иллюстрируют основные положения доклада.

Основными принципами при составлении подобной презентации являются лаконичность, ясность, уместность, сдержанность, наглядность (подчеркивание ключевых моментов), запоминаемость (разумное использование ярких эффектов).

Следует помнить, что при использовании в презентации табличных и иллюстративных материалов ссылки на авторов обязательны.

Важное значение имеет предварительная репетиция презентации

При демонстрации презентации нет необходимости постоянно поворачиваться к экрану, достаточно произнести: «Обратите внимание на экран, рисунок, схему…» или «Результаты эксперимента представлены на слайде» и т.п.

Помните, что все перечисленное - не жесткие требования, а рекомендации, поскольку, прежде всего, вы должны проявить свое творчество.


Приложение 6

Таблица выполнения внеаудиторной работы студента ______гр

_______ФИО__________

Тема

Виды задания

Количество часов

Отметка о выполнении

Срок представления

Причина не выполнения задания

Оценка

1







Пример заполнения таблицы

Дифференциальное исчисления

1. Нахождение производной.

2. Исследование функции

3. Построение графика


1



2



1






+



+



-


*












* Срок устанавливается в зависимости от периодичности проведения предмета, установленной учебным планом и расписанием

1 Рекомендации составлены на базе статьи Алены Казаковой (источник: http://www.student44.ru дата обращения 29.03.2014)

1



Выбранный для просмотра документ ЕН.01 Математика РП 15.02.07.doc

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Красноярский промышленный колледж

(КПК НИЯУ МИФИ)



УТВЕРЖДАЮ:

Зам.директора по УР

КПК НИЯУ МИФИ

_________А.Л. Подойницына

«___»______________20____г.






рабочая ПРОГРАММа УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


ЕН.01 МАТЕМАТИКА



















2015 г


Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01 «Математика» разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) специальности среднего профессионального образования (далее СПО) 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)




Организация-разработчик: Красноярский промышленный колледж – филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (КПК НИЯУ МИФИ)


Разработчики:


Ермакова Т.С., преподаватель



Рассмотрена цикловой методической комиссией естественно-научных дисциплин, протокол № __ от « __ » ___________ 20__ г.


Рекомендована учебно-методическим советом колледжа,

протокол № __от «__»______________20 __г.















Учебная дисциплина обеспечена основной литературой

Заведующий библиотекой КПК НИЯУ МИФИ ____________________/Л.А.Бобачева/



СОДЕРЖАНИЕ




ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

    1. Область применения рабочей программы

Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01 «Математика» является частью программы подготовки специалистов среднего звена в соответствии с ФГОС специальности СПО 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям) (техник), входящих в состав укрупненной группы 15.00.00 Машиностроение.


    1. Место учебной дисциплины в структуре программы подготовки специалистов среднего звена: дисциплина ЕН.01 «Математика» входит в математический и общий естественнонаучный цикл.


    1. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения учебной дисциплины:

В результате изучения учебной дисциплины обучающийся должен:

уметь:

  • применять математические методы для решения профессиональных задач;

  • использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

знать:

  • основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики,

  • теории вероятностей и математической статистики.


Дисциплина является основой для формирования общих и профессиональных компетенций для всех видов профессиональной деятельности техника:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ПК 4.1. Проводить анализ систем автоматического управления с учетом специфики технологических процессов.

ПК 4.2. Выбирать приборы и средства автоматизации с учетом специфики технологических процессов.

ПК 4.3. Составлять схемы специализированных узлов, блоков, устройств и систем автоматического управления.

ПК 4.4. Рассчитывать параметры типовых схем и устройств.

ПК 4.5. Оценивать и обеспечивать эргономические характеристики схем и систем автоматизации.

ПК 5.1. Осуществлять контроль параметров качества систем автоматизации.

ПК 5.2. Проводить анализ характеристик надежности систем автоматизации.

ПК 5.3. Обеспечивать соответствие состояния средств и систем автоматизации требованиям надежности.

Объектами профессиональной деятельности выпускников являются:

  • технические средства и системы автоматического управления, в том числе технические системы, построенные на базе мехатронных модулей, используемых в качестве информационно-сенсорных, исполнительных и управляющих устройств, необходимое программно-алгоритмическое обеспечение для управления такими системами;

  • техническая документация, технологические процессы и аппараты производств (по отраслям);

  • метрологическое обеспечение технологического контроля, технические средства обеспечения надежности;

  • первичные трудовые коллективы.


    1. Рекомендуемое количество часов на освоение рабочей программы учебной дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 98 часов, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 64 часа;

самостоятельной работы обучающегося 34 часов.

  1. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


    1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы


лабораторные работы

-

практические занятия

30

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

34

в том числе:


изучение теоретического материала по учебному пособию

внеаудиторная самостоятельная работа

8

26

Итоговая аттестация в форме дифференцированный зачет



2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины ЕН.01 «Математика»


Линейная алгебра

12


Тема 1.1

Матрицы и определители

Содержание учебного материала

6

2,3

Матрицы и действия над ними. Обратная матрица.

2

Определители. Обратная матрица и методы ее нахождения.

2

Практические занятия

2

Решение задач на все действия с матрицами, вычисление определителей матриц.

Самостоятельная работа обучающихся

4

Вычисление определителей разложением по какой-нибудь строке или столбцу.

Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.

Тема 1.2

Системы линейных уравнений

Содержание учебного материала

6

2,3

Системы линейных уравнений. Матричная запись и матричное решение систем линейных уравнений (методы Гаусса, Крамера и матричный метод).

2

Практические занятия


Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса.

2

Решение систем линейных уравнений матричным способом.

2

Самостоятельная работа обучающихся

4

Решение СЛУ с n неизвестными. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Раздел 2.

Основы теории комплексных чисел

10


Тема 2.1

Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа

Содержание учебного материала

4

1, 2, 3

Понятие комплексного числа. Геометрическая и алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи.

2

Практические занятия

2

Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Решение задач на множестве комплексных чисел.

Самостоятельная работа

2

Решение задач на множестве комплексных чисел.

Решение систем уравнений в поле С. Полярная система координат, истории возникновения.

Тема 2.2

Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел

Содержание учебного материала

6

1, 2, 3

Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Формула Муавра.

2

Практические занятия


Представление в тригонометрической и показательной формах чисел, заданных в алгебраической форме.

2

Решение задач на множестве комплексных чисел.

2

Самостоятельная работа

4

Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формула Муавра. Применение метода комплексных чисел для решения прикладных задач специальности (реферат)

Раздел 3

Дифференциальное и интегральное исчисление

22


Тема 3.1

Дифференциальное исчисление функции

Содержание учебного материала

8

1, 2, 3

Предел функции. Первый и второй замечательный пределы. Производные функций. Правило Лопиталя при вычислении пределов функций.

2

Методы и правила дифференцирования сложных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.

2

Практические занятия


Вычисление пределов, производных и дифференциалов функций.

2

Нахождение производной сложных функций.

2

Самостоятельная работа

4

Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Составление уравнений касательной и нормали.

Тема 3.2

Исследование функции при помощи производной

Содержание учебного материала

2

1, 2, 3

Исследование функций и построение их графиков.

2

Самостоятельная работа

2

Исследование функций с помощью первой и второй производных и построение графиков различных функций.

Тема 3.3

Интегральное исчисление функции: неопределенный интеграл.

Содержание учебного материала

4

1, 2, 3

Неопределенный интеграл, свойства методы вычисления неопределенного интеграла.

2

Практические занятия

2

Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки, интегрирование по частям.

Самостоятельная работа

2

Вычисление неопределенного интеграла. Методы интегрирования отдельных функций.

Тема 3.4

Интегральное исчисление функции: определенный интеграл.

Содержание учебного материала

6

1, 2, 3

Определенный интеграл, свойства и методы вычисления определенного интеграла. Приложения определенного интеграла к решению практических задач

2

Практические занятия


Вычисление определенных интегралов. Решение задач на вычисление физических величин, пути, пройденного точкой.

2

Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла.

2

Самостоятельная работа

4

Приложения определенного интеграла к решению задач специальности (реферат).

Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел.

Раздел 4

Дифференциальные уравнения

8


Тема 4.1

Дифференциальные уравнения

Содержание учебного материала

8

2, 3

Понятие дифференциального уравнения. Общие и частные решения дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

2

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

2

Практические занятия


Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

2

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

2

Самостоятельная работа

4

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Раздел 5

Последовательности и ряды

8


Тема 5.1

Числовые и степенные ряды

Содержание учебного материала

4

2, 3

Виды последовательностей и действия над ними. Числовые ряды и признаки их сходимости. Степенные ряды. Ряд Тейлора, Маклорена.

2

Практические занятия

2

Решение задач на определение сходимости рядов. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена.

Самостоятельная работа

2

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций и определенных интегралов (реферат).

Раздел 6

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

6


Тема 6.1

Основы теории вероятностей и математической статистики.

Содержание учебного материала

6

2, 3

Элементы комбинаторики. Определение вероятности. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

2

Задачи математической статистики. Основные понятия. Основные выборочные характеристики.

2

Практические занятия

2

Решение задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения и умножение вероятностей. Составление закона распределения случайной величины, вычисление ее числовых характеристик.

Самостоятельная работа

2

Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Метод Монте-Карло. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.

Дифференцированный зачет

2



Зачетная работа.


Всего часов по дисциплине

98



Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством);

3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач).

  1. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


    1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация учебной дисциплины требует наличия учебного кабинета математики.

Оборудование учебного кабинета: посадочные места по количеству учащихся в группе, рабочее место преподавателя, доска, плакаты, стенды, учебно-методическая и справочная литература.

Технические средства обучения: компьютер/ноутбук, проектор, акустические системы (колонки).


    1. Информационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Учебники и учебные пособия

Основная литература:

  1. Омельченко В.П., Курбатова Э. Математика: учебник СПО/В.П.Омельченко, Э.Курбатова-9-е изд.,стереотип. –Ростов н/Дону: Феликс, 2014, 380. ISBN 978-5-222-22752-7.

Дополнительная литература:

  1. Баврин, И.И. Высшая математика: Учебник для студентов высших учебных заведений./ И.И. Баврин, В.Л.Матросов–М.: Гуманит. издат. центр ВЛАДОС, 2002.-400с. ISBN 5-691-00372-0.

  2. Богомолов, Н.В. Практические задания по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Н.В. Богомолов, 9-е изд., стереотип.–М.: Высшая школа, 2006.-495с. ISBN 5-06-003940-4.

  3. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко -5-е изд., перераб. и доп.–М.: Издательство Юрайт, 2013.-396с. ISBN 978-5-9916-2204-2.

  4. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Н.В. Богомолов, 6-е изд., стереотип.–М.: Дрофа, 2010.-204с. ISBN 978-5-358-07916-8.

  5. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2-е изд., стереотип. -М.: Издательский центр «Академия», 2002.-304с. ISBN 5-7695-1019-6.

  6. Афанасьева, О.Н. и др. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учебн. Пособие для техникумов /О.Н. Афанасьева, Я.С.Бродский, И.И. Гуткин, А.П.Павлов- М.: Наука, 1987.-208с.

  7. Валуце И.И..Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Валуцэ, Т.Д. Дилигул.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука,1990.-576с. ISBN 5-02-013930-0

  8. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: учебное пособие для техникумов. / П.Т. Апанасов, М.И. Орлов–М.: Высшая школа., 1987.-303с.

  9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. / М.Я. Выгодский--М.: Астрель, 2002.-992. ISBN 5-17-012238-1.

  10. Виноградов И.М. Элементы высшей математики: учебник для вузов/И.М.Виноградов –М.: Высшая школа, 1999, 511. ISBN5-06-003611-1.

  11. Гончарова Г.А. Элементы дискретной математики:Учебное пособие/ Г.А. Гончарова. –М.: Форум Инфра-М, 2003, 128с. ISBN 5-8199-0059-6.

  12. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. В 2х частях. Часть 1/Д. Письменный. -2-е изд., испр. –М.: Айрис Пресс, 2003, 288. ISBN 5-8112-0151-6.

  13. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. В 2х частях. Часть 2/Д. Письменный. -2-е изд., испр. –М.: Айрис Пресс, 2003, 288. ISBN 5-8112-0190-7

  14. Шипачев, В.С. Основы высшей математики: Учебн. Пособие для ВУЗов / под ред. акад. А.Н.Тихонова– 3-е изд, стер. -М.: Высшая Школа, 1998.-479. ISBN 5-06-003512-3

  15. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. Пособие для ВУЗов / В.С. Шипачев– 2-е изд, испр. -М.: Высшая Школа, 2001.-304. ISBN 5-06-003575-1

  16. Шипачев, В.С. Математический анализ: Учебн. Пособие для ВУЗов / В.С.Шипачев–М.: Высшая Школа, 1999.-176. ISBN 5-06-003510-7


Электронные пособия и интернет-ресурсы:

  1. Ищенко А.Ю. и др. Математическое моделирование. Линейное программирование. –М.: Е-Медиа, 2004 -1.(электронный оптический диск)

  2. Математика [Электронный ресурс] / Режим доступа http://www.mathematics.ru - учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений.

  3. Башмаков М.И. Математика [Электронный ресурс]: учебник /М.И. Башмаков. –М.:КНОРУС, 2013. -Режим доступа: http://www.book.ru/book/915056

  4. Макаров С.И. Математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебное пособие /С.И. Макаров. -2-е изд., стер. –М.: КНОРУС, 2011. -Режим доступа: http://www.book.ru/book/907473

  5. Математика для экономистов. Задачник [Электронный ресурс]: учебно-практическое пособие /кол. авторов; под ред. С.И. Макарова, М.В. Мищенко. М.: КНОРУС, 2008. -Режим доступа: http://www.book.ru/book/192661

  6. Чулков П.В. Практические занятия по элементарной математике (2-й курс) [Электронный ресурс]: Учебное пособие. –М.: МПГУ, 2012. -Режим доступа: http://www.book.ru/book/914849

  7. Балдин К.В. Математика и информатика [Электронный ресурс]: учебное пособие /К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.ВРукосуев, В.Б Уткин; под ред. К.В. Балдина. –М.: КНОРУС, 2015. --Режим доступа: http://www.book.ru/book/917614

  8. Асланов Р.М, Матросова Л.Н., Матросов В.Л., Матросов С.В. Предшественники современной математики. [Электронный ресурс]. Историко-математические очерки в пяти томах. Том III. –М.: МПГУ, 2011. -Режим доступа: http://www.book.ru/book/911574

  9. Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. -3-е изд., перераб. и доп. –М.: КНОРУС, 2009. -Режим доступа: http://www.book.ru/book/218122


    1. Применение активных и интерактивных технологий

  • Интерактивные лекции: лекция-беседа, лекция-дискуссия, лекция с разбором конкретных ситуаций

  • Творческие задания: построение графиков функции на основе проведенных исследований.

  • Тренинги.

  • Проведение тестирования.




  1. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.

Результаты обучения (освоенные умения, усвоенные знания)

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Умения:


  • применять математические методы для решения профессиональных задач;

  • использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

- защита практических заданий;

- тестирование;

- самостоятельные работы;

- домашние работы;

- выполнение творческих заданий, заданий на опережение изучаемого материала

Знания:


  • основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики,

  • теории вероятностей и математической статистики.

- защита практических заданий;

- тестирование;

- самостоятельные работы;

- зачетная работа


1


Выбранный для просмотра документ ЕН.01 Математика ФОС 15.02.07.doc

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Красноярский промышленный колледж

(КПК НИЯУ МИФИ)











Фонд оценочных средств

учебной дисциплины

ЕН.01 МАТЕМАТИКА





Специальность


15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)













2015 г


Фонд оценочных средств составлен в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ЕН.01 «Математика», разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта специальности среднего профессионального образования 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)



Составитель:


Ермакова Т.С., преподаватель



Рассмотрена цикловой методической комиссией естественно-научных дисциплин, протокол № __ от « __ » ___________ 20__ г.


Рекомендована учебно-методическим советом колледжа,

протокол № __от «__»______________20 __г.



Паспорт фонда оценочных средств


Специальность: 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)

Учебная дисциплина: «Математика»

Требования ФГОС СПО к результатам освоения дисциплины:

общие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

профессиональные компетенции:

ПК 4.1. Проводить анализ систем автоматического управления с учетом специфики технологических процессов.

ПК 4.2. Выбирать приборы и средства автоматизации с учетом специфики технологических процессов.

ПК 4.3. Составлять схемы специализированных узлов, блоков, устройств и систем автоматического управления.

ПК 4.4. Рассчитывать параметры типовых схем и устройств.

ПК 4.5. Оценивать и обеспечивать эргономические характеристики схем и систем автоматизации.

ПК 5.1. Осуществлять контроль параметров качества систем автоматизации.

ПК 5.2. Проводить анализ характеристик надежности систем автоматизации.

ПК 5.3. Обеспечивать соответствие состояния средств и систем автоматизации требованиям надежности.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

  • применять математические методы для решения профессиональных задач;

  • использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

  • основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики,

  • теории вероятностей и математической статистики.

Форма промежуточной аттестации: дифференцированный зачет (III семестр)

1 Общие положения

Фонд оценочных средств (ФОС) предназначен для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины Математика.

ФОС включает контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета.

ФОС разработан на основании положений:

программы подготовки специалистов среднего звена специальности СПО 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям);

рабочей программы учебной дисциплины Математика.


2 Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке


Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Основные показатели оценки результатов

У1 применять математические методы для решения профессиональных задач

- Выполнение действий над матрицами;

- Решение систем линейных уравнений разными методами;

- Вычисление предела функции в точке и в бесконечности;

- Нахождение производной функции;

- Нахождение неопределенных и определенных интегралов;

- Разлагать элементарные функции в ряд Маклорена;

- Решение простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка;

- Решать задачи на применение формул комбинаторики;

- Нахождение вероятности случайного события;

- Составление закона распределения случайной величины;

- Вычисление числовых характеристик случайных величин.

У2 использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях

- Решение прикладных задач с помощью определённых интегралов;

- Выполнение арифметических действий с комплексными числами в алгебраической форме;

- Выполнение арифметических действий с комплексными числами в тригонометрической форме.

З1 основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики

- Понятие матрицы и определителя;

- Методы решения систем линейных уравнений;

- Понятие комплексного числа;

- Понятие предела последовательности и функции на бесконечности и в точке;

- Правила вычисления пределов функций на бесконечности и в точке;

- Правила дифференцирования и производные основных элементарных функций;

- Правила вычисления производных сложных функций;

- Табличные интегралы;

- Методы решения дифференциальных уравнений;

- Ряды Тейлора и Маклорена;

- Методы вычисления и применения определённых интегралов.

З2 теории вероятностей и математической статистики

- Основные понятия и формулы теории вероятностей;

- Основные понятия математической статистики.


3 Распределение оценивания результатов обучения по видам контроля


Наименование элемента умений или знаний

Виды аттестации

Текущий контроль

Промежуточная аттестация

У1 применять математические методы для решения профессиональных задач

Практическое задание

Контрольная работа

дифференцированный зачет

У2 использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях

З1 основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики

Практическое задание

Устный опрос

Тестирование

З2 теории вероятностей и математической статистики

Устный опрос


4 Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и умений


Содержание учебного материала

по программе УД

Тип контрольного задания


У1

У2

З1

З2

Раздел 1 Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

ПЗ 6.2.1

КР 1


УО 6.2.1


Тема 1.2 Системы линейных уравнений

ПЗ 6.2.2

КР 1


УО 6.2.2


Раздел 2 Основы теории комплексных чисел

Тема 2.1 Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа


ПЗ 6.3.1

КР 2

УО 6.3.1


Тема2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел


ПЗ 6.3.2

КР 2

УО 6.3.2


Раздел 3 Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 3.1 Дифференциальное исчисление функции

ПЗ 6.4.1, 6.4.2

КР 3


УО 6.4.1

Т 6.4.2


Тема 3.2 Исследование функции при помощи производной

КР 3




Тема 3.3 Интегральное исчисление функции: неопределенный интеграл

ПЗ 6.4.3

КР 3


Т 6.4.3


Тема 3.4 Интегральное исчисление функции: определенный интеграл

ПЗ 6.4.4

КР 3

КР 3

УО 6.4.4


Раздел 4 Дифференциальные уравнения

Тема 4.1 Дифференциальные уравнения

ПЗ 6.5.1, 6.5.2

КР 4

ПЗ 6.5.1

КР 4

УО 6.5.1, 6.5.2


Раздел 5 Последовательности и ряды

Тема 5.1 Числовые и степенные ряды

ПЗ 6.6.1


ПЗ 6.6.1


Раздел 6 Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Тема 6.1 Основы теории вероятностей и математической статистики

ПЗ 6.7.1



УО 6.7.1

ПЗ – практическое задание; КР –контрольная работа; УО – устный ответ; Т – тестирование.


5. Распределение типов и количества контрольных заданий по элементам знаний и умений, контролируемых на промежуточной аттестации.


Содержание учебного материала

по программе УД

Тип контрольного задания


У1

У2

З1

З2

Раздел 1 Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

З


УО


Тема 1.2 Системы линейных уравнений

З


УО


Раздел 2 Основы теории комплексных чисел

Тема 2.1 Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа


З

УО


Тема2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел


З

УО


Раздел 3 Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 3.1 Дифференциальное исчисление функции

З


УО


Тема 3.2 Исследование функции при помощи производной

З




Тема 3.3 Интегральное исчисление функции: неопределенный интеграл

З


УО


Тема 3.4 Интегральное исчисление функции: определенный интеграл

З

З

УО


Раздел 4 Дифференциальные уравнения

Тема 4.1 Дифференциальные уравнения

З


УО


Раздел 5 Последовательности и ряды

Тема 5.1 Числовые и степенные ряды

З


З


Раздел 6 Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Тема 6.1 Основы теории вероятностей и математической статистики

З



УО

УО –устный ответ, З –задача (практическое задание)

6. Структура контрольного задания


6.1 Входной контроль.


Контрольная работа для проверки остаточных знаний студентов.


hello_html_m4b9558d0.gif

  1. hello_html_m5f98d6de.gif

  2. hello_html_16285271.gif

Выполните действия над множеством комплексных чисел:

  1. hello_html_2c3d2939.gif

  2. hello_html_7b297e25.gif

  1. hello_html_m288a2f62.gif

  2. hello_html_m3d0a0e12.gif

Вычислите пределы функций:

  1. hello_html_m7fcf1271.gif

  2. hello_html_m2e406b6a.gif

  3. hello_html_61a75cc.gif

  1. hello_html_m2900ad18.gif

  2. hello_html_6255e3f.gif

  3. hello_html_m303e8252.gif

Вычислите производную функций:

hello_html_1fab70ab.gif

hello_html_m1127ccb0.gif

hello_html_59e5ed67.gif

hello_html_594e62a6.gif

hello_html_m2ac17cf.gif

hello_html_2f824420.gif

Вычислите интегралы:

hello_html_118ab5eb.gif

hello_html_m7a379373.gif

hello_html_6cba933f.gif

hello_html_m586e380f.gif

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными функциями и отрезком [-1; 1]

hello_html_m7d7eabf2.gif

hello_html_m7b6e378b.gif

Время на выполнение: 60 мин.

За верное решение задания выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

Критерии оценки

12 - 13 баллов – оценка «5»

10 - 11 баллов – оценка «4»

7 - 9 баллов – оценка «3»

Менее 7 баллов оценка «2»


6.2 Раздел 1 Линейная алгебра


Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки

Основные показатели оценки результата

Тип контрольного задания

У1 применять математические методы для решения профессиональных задач

- Выполнение действий над матрицами

- Вычисление определителей

- Решение систем линейных уравнений разными методами.

Практическое задание 6.2.1, 6.2.2

Контрольная работа №1

З1 основные понятия о математическом синтезе и анализе, дискретной математики, теории вероятности и математической статистики

- Понятие матрицы и определителя;

- Методы решения систем линейных уравнений.

Устный опрос 6.2.1, 6.2.2


6.2.1 Практическое задание

Тема: Решение задач на все действия с матрицами, вычисление определителей матриц.

1. Вычислить матрицу hello_html_m676541a8.gif, где hello_html_m74b0d3f3.gif.

2. Вычислите определитель: hello_html_m6557de4c.gif.

Время на выполнение: 60 мин.

За верное решение каждого действия выставляется положительная оценка – 1 балл. Всего 7 действий.

За неверное решение действия выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.



6.2.1 Устный опрос

1. Что такое матрица?

2. Определение квадратной матрицы?

3. Виды матриц.

4. Опишите операцию умножения одной матрицы на другую.

5. Опишите операции сложения и вычитание матриц.

6. Опешите операцию транспонирования матриц.

7. Что такое алгебраическое дополнение?

Время на выполнение: 20 мин.

За верный ответ выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверный ответ выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

13 - 14 баллов – оценка «5»

10 - 12 баллов – оценка «4»

7 - 9 баллов – оценка «3»

Менее 7 баллов оценка «2»


6.2.2 Практическое задание

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса.

Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) методом Гаусса.

Вариант 1

hello_html_785363f8.gif

Вариант 2

hello_html_m181b3288.gif

Вариант 3

hello_html_1b9b65f5.gif

Вариант 4

hello_html_2be27e55.gif

Вариант 5

hello_html_66910d9.gif

Вариант 6

hello_html_m5db30417.gif

Вариант 7

hello_html_6369105d.gif

Вариант 8

hello_html_m646eae93.gif

Вариант 9

hello_html_7dcd76c1.gif

Время на выполнение: 70 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


6.2.2 Устный опрос

1. Напишите общий вид системы m линейных уравнений с n переменными.

2. Напишите общий вид системы n линейных уравнений с n переменными.

3. Какими методами можно определить решение системы линейных уравнений?

Время на выполнение: 10 мин.

За верный ответ выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверный ответ выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

5 баллов – оценка «5»

4 балла – оценка «4»

3 балла – оценка «3»

Менее 3 баллов оценка «2»


Контрольная работа №1

Контрольная работа по разделу 1

Вариант №1
    1. Найдите значение матричного многочлена hello_html_m1f6b5ec4.gif

hello_html_717810b0.gifhello_html_m76e4ec61.gif.

    1. Вычислите определитель матрицы hello_html_m2cb8f03a.gif.

    2. Найдите матрицу, обратную к матрице B.

    3. Решите матричное уравнениеhello_html_19e1c97c.gif.

    4. Используя формулы Крамера, найдите значение переменной x если hello_html_m103df0be.gif.


Вариант №2

    1. Найдите значение матричного многочлена hello_html_m1f6b5ec4.gif

hello_html_m7393a9be.gifhello_html_69bf713c.gif.

    1. Вычислите определитель матрицы hello_html_6764e20f.gif.

    2. Найдите матрицу, обратную к матрице B.

    3. Решите матричное уравнениеhello_html_m58bc2a4d.gif.

    4. Используя формулы Крамера, найдите значение переменной y если hello_html_701e90b7.gif.

Вариант №3

    1. Найдите значение матричного многочлена hello_html_m1f6b5ec4.gif

hello_html_bb0c912.gifhello_html_m327198d8.gif.

    1. Вычислите определитель матрицы hello_html_m53120202.gif.

    2. Найдите матрицу, обратную к матрице B.

    3. Решите матричное уравнениеhello_html_m4c1fe7e.gif.

    4. Используя формулы Крамера, найдите значение переменной z если hello_html_3ee27385.gif.


Вариант №4

    1. Найдите значение матричного многочлена hello_html_m1f6b5ec4.gif

hello_html_43961383.gifhello_html_395ad61e.gif.

    1. Вычислите определитель матрицы hello_html_5045b590.gif.

    2. Найдите матрицу, обратную к матрице B.

    3. Решите матричное уравнениеhello_html_m10acc4e2.gif.

    4. Используя формулы Крамера, найдите значение переменной x если hello_html_3ee27385.gif.

Время на выполнение: 70 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

5 баллов – оценка «5»

4 баллов – оценка «4»

3 балла – оценка «3»

Менее 3 баллов оценка «2»


6.3 Раздел 2 Основы теории комплексных чисел


Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов контроля и оценки

Основные показатели оценки результата

Тип контрольного задания

У2 использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях

- Выполнение арифметических действий с комплексными числами в алгебраической форме;

- Выполнение арифметических действий с комплексными числами в тригонометрической форме

Практическое занятие 6.3.1, 6.3.2

Контрольная работа №2

З1 основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики

- Понятие комплексного числа.

Устный опрос 6.3.1, 6.3.2


6.3.1 Практическое задание

Тема: Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Решение задач на множестве комплексных чисел.


Записать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) hello_html_m5f24e063.gif; 2) hello_html_389e77d5.gif; 3) hello_html_d237a1f.gif; 4) hello_html_m5f3dc71.gif.

2.

Найти модуль комплексного числа:

1) hello_html_49464ef4.gif; 2) hello_html_6c6279a0.gif.

3.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом hello_html_5780e4b.gif.

4.

Решить уравнение hello_html_76ee9c24.gif.

5.

Вычислить: hello_html_75f0085e.gif, если hello_html_714beb39.gif.

6.

Вычислить hello_html_m6a1ebc9f.gif

Вариант 2

1.

Записать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) hello_html_7d688971.gif; 2) hello_html_4b80ff3e.gif; 3) hello_html_79e57257.gif; 4) hello_html_m382b25b.gif.

2.

Найти модуль комплексного числа:

1) hello_html_57c289a1.gif; 2) hello_html_606b2509.gif.

3.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом hello_html_m1345b05d.gif.

4.

Решить уравнение hello_html_m55ef3954.gif.

5.

Вычислить: hello_html_75f0085e.gif, если hello_html_m36445689.gif.

6.

Вычислить hello_html_m5f981823.gif

Вариант 3

1.

Записать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) hello_html_m7c6186a1.gif; 2) hello_html_664f7291.gif; 3) hello_html_mfb5ff89.gif; 4) hello_html_m5387dd16.gif.

2.

Найти модуль комплексного числа:

1) hello_html_cdf9e4e.gif; 2) hello_html_3c05b2c1.gif.

3.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом hello_html_7caf3067.gif.

4.

Решить уравнение hello_html_79157617.gif.

5.

Вычислить: hello_html_75f0085e.gif, если hello_html_m4159ff28.gif.

6.

Вычислить hello_html_270e8b29.gif

Вариант 4

1.

Записать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) hello_html_149f261e.gif; 2) hello_html_3ff37221.gif; 3) hello_html_79e57257.gif; 4) hello_html_6ef00c2b.gif.

2.

Найти модуль комплексного числа:

1) hello_html_m1c5063a3.gif; 2) hello_html_4cce30a.gif.

3.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом hello_html_m67b4aef7.gif.

4.

Решить уравнение hello_html_59d00c0f.gif.

5.

Вычислить: hello_html_75f0085e.gif, если hello_html_m4f9048b4.gif.

6.

Вычислить hello_html_402e1725.gif

Вариант 5

1.

Записать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) hello_html_m9206467.gif; 2) hello_html_m129c611a.gif; 3) hello_html_6be666fe.gif; 4) hello_html_m5d19cb9c.gif.

2.

Найти модуль комплексного числа:

1) hello_html_6d21ad00.gif; 2) hello_html_52a435af.gif.

3.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом hello_html_m109060b1.gif.

4.

Решить уравнение hello_html_m6776f00b.gif.

5.

Вычислить: hello_html_75f0085e.gif, если hello_html_m68c07616.gif.

6.

Вычислить hello_html_58a94b53.gif

Вариант 6

1.

Записать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) hello_html_m21d8aa75.gif; 2) hello_html_m348c2a8.gif; 3) hello_html_4e7c53f4.gif; 4) hello_html_1ca341a1.gif.

2.

Найти модуль комплексного числа:

1) hello_html_m651b2349.gif; 2) hello_html_2efb9f65.gif.

3.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом hello_html_3b17f6a1.gif.

4.

Решить уравнение hello_html_562af127.gif.

5.

Вычислить: hello_html_75f0085e.gif, если hello_html_5b545c9c.gif.

6.

Вычислить hello_html_m19ca4bc0.gif

Время на выполнение: 60 мин.

За верное решение задания выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение задания выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


6.3.1 Устный опрос

1. Дайте понятие комплексного числа.

2. С помощью какой формулы можно выполнить операцию сложения комплексных чисел в алгебраической форме?

3. С помощью какой формулы можно выполнить операцию умножения комплексных чисел в алгебраической форме?

Время на выполнение: 10 мин.

За верный ответ выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверный ответ выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

9 баллов – оценка «5»

7-8 баллов – оценка «4»

6 баллов – оценка «3»

Менее 6 баллов оценка «2»


6.3.2 Практическое задание

Тема: Представление в тригонометрической и показательной формах чисел, заданных в алгебраической форме

Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) hello_html_m2fd00027.gif; б) hello_html_m5e4d5ac0.gif.

2.

Представить в показательной форме комплексное число:

а) hello_html_m5625199f.gif; б) hello_html_m1341ba1c.gif.

Вариант 2

1.

Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) hello_html_62927790.gif; б) hello_html_5923d71b.gif.

2.

Представить в показательной форме комплексное число:

а) hello_html_m35f789c.gif; б) hello_html_m38235cd4.gif.

Вариант 3

1.

Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) hello_html_3c8a3f92.gif; б) hello_html_5f2feec5.gif.

2.

Представить в показательной форме комплексное число:

а) hello_html_m2fd00027.gif; б) hello_html_m6e09ffd1.gif.

Вариант 4

1.

Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) hello_html_m5625199f.gif; б) hello_html_m1341ba1c.gif.

2.

Представить в показательной форме комплексное число:

а) hello_html_62927790.gif; б) hello_html_5923d71b.gif.

Вариант 5

1.

Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) hello_html_m218aa641.gif; б) hello_html_m38235cd4.gif.

2.

Представить в показательной форме комплексное число:

а) hello_html_3c8a3f92.gif; б) hello_html_m6800901e.gif.

Время на выполнение: 50 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


6.3.2 Устный опрос

1. Запишите тригонометрическую форму комплексного числа.

2. Запишите показательную форму комплексного числа.

3. Опишите выполнение операции умножения над комплексными числами в тригонометрической форме.

Время на выполнение: 10 мин.

За верный ответ выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверный ответ выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

7 баллов – оценка «5»

6 баллов – оценка «4»

5 баллов – оценка «3»

Менее 5 баллов оценка «2»


Контрольная работа №2

Контрольная работа по разделу 2.

а) hello_html_6fefffdd.gif;

б) hello_html_6003acd7.gif.

а) hello_html_6e2a6d65.gif;

б) hello_html_m19d2322e.gif.

в*) hello_html_m37967b22.gif;

г*) hello_html_12be46b0.gif.

в*) hello_html_339603b8.gif;

г*) hello_html_m23364a70.gif.



  1. Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:

hello_html_5a68e280.gif.

hello_html_17be3a6a.gif



  1. Вычислите:

а) hello_html_m14cee22b.gif;

б) hello_html_m282062d4.gif.

а) hello_html_m1f342a4f.gif;

б)hello_html_2401bf09.gif.



  1. Решите уравнения:

а) hello_html_3059041d.gif;

б) hello_html_m1afa2736.gif.

а) hello_html_m59b43c87.gif;

б) hello_html_m17019dbd.gif.

в*) hello_html_99933c4.gif;

г*) hello_html_18937a24.gif.

в*) hello_html_7e5c457f.gif;

г*) hello_html_m11cbc174.gif.



  1. Найдите значение a, при котором данные числа являются сопряженными:

hello_html_m6be9b57.gifи hello_html_3d4770e5.gif.

hello_html_180c75ac.gifи hello_html_m39b33329.gif.

Время на выполнение: 70 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

10-12 баллов – оценка «5»

7-9 баллов – оценка «4»

5-6 баллов – оценка «3»

Менее 5 баллов оценка «2»


6.4 Раздел 3 Дифференциальное и интегральное исчисление


Перечень объектов контроля и оценки

У1 применять математические методы для решения профессиональных задач

У2 использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях

- Вычисление предела функции в точке и в бесконечности;

- Нахождение производной функции;

- Нахождение неопределенных и определенных интегралов;

- Решение прикладных задач с помощью определённых интегралов

Практическое задание 6.4.1, 6.4.2, 6.4.3, 6.4.4

Контрольная работа №3

З1 основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики

- Понятие предела последовательности и функции на бесконечности и в точке;

- Правила вычисления пределов функций на бесконечности и в точке;

- Правила дифференцирования и производные основных элементарных функций;

- Правила вычисления производных сложных функций;

- Табличные интегралы;

- Методы вычисления и применения определённых интегралов.

Устный опрос 6.4.1, 6.4.4

Тестирование 6.4.2, 6.4.3



6.4.1 Практическое задание

Тема: Вычисление пределов функций. Неопределенности и их раскрытие.

Найти пределы:

Вариант 1
  1. hello_html_53933e17.gif;

  2. hello_html_ccc4f44.gif;

  3. hello_html_m2be9a8.gif;

  4. hello_html_m3c1e2071.gif;

  5. hello_html_584d931f.gif.

Вариант 2

  1. hello_html_57b2038c.gif;

  2. hello_html_m7fa699.gif;

  3. hello_html_28e8bd56.gif;

  4. hello_html_3cda02dc.gif;

  5. hello_html_557b9d22.gif

Вариант 3

  1. hello_html_m2a0a3ea8.gif;

  2. hello_html_2870d93f.gif;

  3. hello_html_m65419432.gif;

  4. hello_html_222e5d43.gif;

  5. hello_html_7b851d2d.gif

Вариант 4

  1. hello_html_2edabd17.gif;

  2. hello_html_m5f2b00a5.gif;

  3. hello_html_68c2c5e9.gif;

  4. hello_html_5e004236.gif;

  5. hello_html_32d7b3e7.gif

Вариант 5

  1. hello_html_66e0eb1.gif;

  2. hello_html_m4c64adc3.gif;

  3. hello_html_7cfe904a.gif;

  4. hello_html_2f125919.gif;

  5. hello_html_40dc4d79.gif

Вариант 6

  1. hello_html_1701d1b0.gif;

  2. hello_html_m3962e59c.gif;

  3. hello_html_m1008a64a.gif;

  4. hello_html_2860e066.gif;

  5. hello_html_67ebaf21.gif

Вариант 7

  1. hello_html_11fa6e70.gif;

  2. hello_html_m4b2b4d10.gif;

  3. hello_html_m300604a4.gif;

  4. hello_html_1bcbb97a.gif;

  5. hello_html_62588b13.gif.

Вариант 8

  1. hello_html_m44ee735a.gif;

  2. hello_html_410c7c2.gif;

  3. hello_html_c185c72.gif;

  4. hello_html_m324cb1ce.gif;

  5. hello_html_m6fd23f76.gif

Вариант 9

  1. hello_html_2e6a5c51.gif;

  2. hello_html_7517a3ee.gif;

  3. hello_html_m56e17c97.gif;

  4. hello_html_m18ccbc0.gif;

  5. hello_html_18db3861.gif

Время на выполнение: 60 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


6.4.1 Устный опрос

1. Что такое предел функции?

2. Свойства предела функции.

3. Раскрытие неопределенности hello_html_m72db000.gif

4. Раскрытие неопределенности hello_html_m1eb2964e.gif

5. Теорема о первом замечательном пределе.

6. Теорема о втором замечательном пределе.

Время на выполнение: 50 мин.

За верный ответ выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверный ответ выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


Критерии оценки

10 - 11 баллов – оценка «5»

8 - 9 баллов – оценка «4»

6 - 7 баллов – оценка «3»

Менее 6 баллов оценка «2»


6.4.2 Практическое задание

Тема: Нахождение производной сложных функций.

Найти производные заданных функций:

Вариант 1
  1. hello_html_m6ac22300.gif;

  2. hello_html_cc63b48.gif;

  3. hello_html_m1bcbf259.gif;

  4. hello_html_45fcb7b2.gif.

Вариант 2

  1. hello_html_m73de5db6.gif;

  2. hello_html_53b0d72b.gif;

  3. hello_html_m44f6ed5c.gif;

  4. hello_html_326c3d9f.gif.

Вариант 3

  1. hello_html_m581bc368.gif;

  2. hello_html_m590c09f3.gif;

  3. hello_html_1778c338.gif;

  4. hello_html_1ac60ac2.gif.

Вариант 4

  1. hello_html_2b7fe469.gif;

  2. hello_html_5d0dc021.gif;

  3. hello_html_2aa7933d.gif;

  4. hello_html_2e202dce.gif.

Вариант 5

  1. hello_html_3041555b.gif;

  2. hello_html_m271763ae.gif;

  3. hello_html_m4e7bc329.gif;

  4. hello_html_2c7b22d2.gif.

Вариант 6

  1. hello_html_m7298a0aa.gif;

  2. hello_html_m2eb49d01.gif;

  3. hello_html_6acbaa6d.gif;

  4. hello_html_m18b34c24.gif.


Время на выполнение: 30 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.



6.4.2 Тестирование

Вариант 1
  1. Укажите соответствие формул дифференцирования:

А) hello_html_m2842f082.gif 1) hello_html_m526ece7f.gif

Б) hello_html_59358c62.gif 2) hello_html_4f253645.gif

В) hello_html_3c699eb2.gif 3) hello_html_7d31534b.gif

Г) hello_html_m2f7c2a82.gif 4) hello_html_6f2fcc07.gif

  1. Формула производной произведения двух функций равна:

А) hello_html_m5a9b5991.gif В) hello_html_2c75c4ac.gif

Б) hello_html_474c0eb8.gif Г) hello_html_m31842238.gif

  1. Касательная к графику функции y=f(x) в точке M0(x0, y0) имеет вид:

А) hello_html_b515480.gif В) hello_html_m2fd3f2fd.gif

Б) hello_html_m242c483b.gif Г) hello_html_79eece7f.gif

Вариант 2

  1. Укажите соответствие формул дифференцирования:

А) hello_html_m4bcd1b89.gif 1) hello_html_79b607b4.gif

Б) hello_html_m5cf84472.gif 2) hello_html_m2517d98d.gif

В) hello_html_me0deec8.gif 3) hello_html_m27ed2631.gif

Г) hello_html_66d7aca1.gif 4) hello_html_m582c8b06.gif

  1. Формула производной частного двух функций равна:

А) hello_html_76e9dede.gif В) hello_html_6bc327fb.gif

Б) hello_html_m39e9621a.gif Г) hello_html_m285b5956.gif

  1. Прямая, проходящая через точку касания M0(x0, y0), перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой y=f(x) и имеет уравнение:

А) hello_html_mcd9aa22.gif В) hello_html_70ec50f0.gif

Б) hello_html_m6a04753b.gif Г) hello_html_m3dbf5ac6.gif


Время на выполнение: 10 мин.

За верный ответ выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверный ответ выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.



Критерии оценки

7 баллов – оценка «5»

6 баллов – оценка «4»

5 баллов – оценка «3»

Менее 5 баллов оценка «2»


6.4.3 Практическое задание

Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки, интегрирование по частям.

Найти заданные интегралы:

Вариант 1
  1. hello_html_m2391f0e3.gif;

  2. hello_html_m17f6add.gif;

  3. hello_html_764e5153.gif;

  4. hello_html_10f00b22.gif;

  5. hello_html_m73fdbe27.gif;

  6. hello_html_5a2e6fd0.gif.

Вариант 2

  1. hello_html_36d8581c.gif;

  2. hello_html_6322f17a.gif;

  3. hello_html_m70c95d19.gif;

  4. hello_html_12bad4f0.gif;

  5. hello_html_5055ad99.gif;

  6. hello_html_m86591d7.gif.

Вариант 3

  1. hello_html_6b5bee39.gif;

  2. hello_html_bb360c6.gif;

  3. hello_html_m707cc756.gif;

  4. hello_html_m3bb64be0.gif;

  5. hello_html_7292b905.gif;

  6. hello_html_m4e7c74a4.gif.

Вариант 4

  1. hello_html_2eca9108.gif;

  2. hello_html_18136913.gif;

  3. hello_html_m6eaebed0.gif;

  4. hello_html_m7b5ec5a3.gif;

  5. hello_html_62716b07.gif;

  6. hello_html_m445d2768.gif.

Вариант 5

  1. hello_html_3863e8ef.gif;

  2. hello_html_m7e48d703.gif;

  3. hello_html_3453bb4f.gif;

  4. hello_html_2f8f231e.gif;

  5. hello_html_m625d56cb.gif;

  6. hello_html_m3aaee44f.gif.

Вариант 6

  1. hello_html_m7cdb506a.gif;

  2. hello_html_6b556afc.gif;

  3. hello_html_m3f6490e1.gif;

  4. hello_html_m62d25937.gif;

  5. hello_html_m22a46a8b.gif;

  6. hello_html_5e4dddbc.gif.


Время на выполнение: 60 мин.

За верное решение примера выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неверное решение примера выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.


6.4.3 Тестирование

Вариант 1
  1. Укажите соответствие формул интегрирования:

А) hello_html_58532a8a.gif 1) hello_html_m7bf9be50.gif

Б) hello_html_43329df1.gif 2) hello_html_m74c0dfed.gif

В) hello_html_415e7dda.gif 3) hello_html_3b6c0337.gif

Г) hello_html_m329f5263.gif 4) hello_html_m7c90cff9.gif

  1. Первообразная функция для функции y=f(x) называется такая функция F(x), что имеет место равенство:

А) hello_html_m1c2930f9.gif В) hello_html_6f2796c8.gif

Б) hello_html_2c5caff.gif Г) hello_html_4f5ddfe7.gif

  1. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

А) hello_html_m7ccae8ec.gif В) hello_html_76234d76.gif

Б) hello_html_394016b8.gif Г) hello_html_3a51dc27.gif

Вариант 2

  1. Укажите соответствие формул интегрирования:

А) hello_html_65319364.gif 1) hello_html_m6fc167ab.gif

Б) hello_html_6b6fa898.gif 2) hello_html_611685fe.gif

В) hello_html_36655d15.gif 3) hello_html_m79e6c2be.gif

Г) hello_html_m12adabfc.gif 4) hello_html_m4cdf5de3.gif

  1. Совокупность все