Учебное пособие для курса "Введение в геометрию", 5 класс

Антипина Г. В.

5класс

УВК «Лицей»

г. Риддер, 2011г.

Введение.

Дорогой друг, ты начинаешь изучать новый предмет. Страницы этой книги послужат тебе стартовыми площадками для увлекательных путешествий в геометрию. Что же такое геометрия? Это наука, которая изучает пространственные отношения и формы тел. А своё название она получила от древнегреческих слов «гео»- Земля и «метео»- измеряю. Очень нужная наука – геометрия. Иначе не написал бы Платон у входа в свою академию : «Не знающий геометрии пусть не входит сюда». Однако и нелегкая это наука - геометрия. Иначе не говорили бы первокурсники технических вузов: «Перевали сначала начерталку, тогда ты – студент». Наконец, не утверждал бы сам Евклид, что в геометрии нет легких путей даже для царей.

На уроках Введения в геометрию ты научишься измерять длины, массы, объемы; делать модели геометрических фигур, находить площади их поверхностей, длины линейных элементов; укладывать паркет, находить связь между геометрическими фигурами и объектами в природе.

Ты будешь испытывать удовольствие от сознания, что ты объяснил все возможные варианты, или от того, что ты нашел ответ задачи, или просто от ощущения, что ты занят чем-то стоящим. Как это всегда бывает с исследователями, ты, конечно, обнаружишь, что некоторые из намеченных путей не приводят к цели. Зато найденное тобой самим решение наполнит тебя силой и огромной радостью. Недаром великий физик, математик, философ, физиолог и лирик, неплохо владеющий шпагой, Рене Декарт в своей книге «Геометрия» писал: «И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что я добровольно опустил, с целью предоставить им удовольствие самим найти это». Итак, в добрый путь.

Измерения

Пусть тебе нужно измерить отрезок. Лучше всего при этом использовать измеритель. Нужно развести ножки измерителя так, чтобы они находились в концах отрезка, а затем приложить измеритель к линейке и посмотреть результат измерений.

Часто размеры отрезка так велики, что он не умещается на листе. Тогда применяют масштаб. Например, считают, что 1см соответствует 1м, то есть истинные размеры уменьшены в 100 раз. Масштаб применяется в географических картах.

Иногда достаточно измерить приблизительно длину отрезка. Для этого нужно знать некоторые данные про себя.

Длина шага

Вы хотите определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удалёнными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит её на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всём старании вы вряд ли сможете сделать один обычный шаг - для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы. Так, как же всё-таки определить длину своего шага?

                                                          

Измерение голыми руками

На протяжении многих веков отдельные части тела человека служили единицами длины. Так, у древних египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), который равнялся семи ладоням (66,5 мм), ладонь, в свою очередь равнялась четырем пальцам. Основными мерами длины в России были сажень и локоть, связанные с ростом человека; кроме того, применялся дюйм - длина сустава большого пальца, пядь - расстояние раздвинутых большого и указательного пальцев, ладонь - ширина кисти руки.

Еще в Древнем Египте за единицу измерения тела принимали длину стопы. При этом высота человека составляла в среднем 7 длин его стопы. В соответствии с эстетическим каноном греческого скульптора Поликлета единицей измерения тела служила голова; длина тела должна быть равной восьми размеров головы.

Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдалённо напоминает движение гусеницы). Найдите длину такого размаха своих пальцев.

В романе «Мальчик-моряк» писатель Майн-Рид повествует о юном любителе морских путешествий, который оказался закупоренным в трюме корабля и выжил, благодаря своим познаниям в геометрии. Мальчик мог успешно разрешить свою геометрическую задачу только потому, что незадолго до путешествия измерил свой рост и твердо знал результаты измерения.

Хорошо бы каждому из нас обзавестись таким ''живым метром'', чтобы в случае нужды пользоваться им для измерения. Полезно также помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту - правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи: оно позволяет пользоваться нашими ''живыми метрами'' удобнее, чем это делал мальчик у Майна-Рида. В среднем высота взрослого человека (славянской расы) около 1,7м, или 170см; это легко запомнить. Но полагаться на среднюю величину не следует: каждый должен измерить свой рост и размах своих рук. Для отмеривания - без масштаба – мелких расстояний следует помнить длину своей ''четверти'', т.е. расстояние между концами расставленных большого пальца и мизинца. У взрослого мужчины оно составляет около 18см – примерно 1/ 4 аршина, но у людей молодых оно меньше и медленно увеличивается с возрастом (до 25 лет). Далее, для этой же цели полезно измерить и запомнить длину своего указательного пальца, считая ее двояко: от основания  и от большого. Точно так же должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев, - у взрослого около 10см. Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев. Ширина трех средних пальцев, плотно сжатых, примерно 5см. Вооруженные всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнить разнообразные измерения буквально голыми руками, и даже в темноте.

Точность.

Измеряя при помощи линейки, вы можете допустить ошибку, если отрезок оканчивается посередине деления. Сама ошибка при этом не будет превышать половины деления линейки. Эта возможная ошибка называется точностью измерения. Значит, если вы хотите измерить отрезок с точностью до 0,5см, то вам нужна линейка с сантиметровыми делениями.

Какие деления должны быть у линейки, если вам нужна точность 1м, 0,5мм?

С какой точностью можно измерить длину отрезка «голыми руками».

Угол

Фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, называется углом. Угол образуют две любые спицы велосипедного колеса, воображаемые солнечные лучи, пересекающиеся тропинки. В зависимости от того, насколько "разведены" лучи (их называют сторонами угла), различают виды углов: прямые, острые и тупые. Если стороны угла лежат на одной прямой, то угол называют развернутым.

Одна сто восьмидесятая часть этого угла называется градусом. Угол, равный половине развернутого, называется прямым. Он содержит 90 градусов. Углы, меньшие прямого, называются острыми. Они содержат меньше 90 градусов. Углы, большие прямого, но меньшие развернутого, называются тупыми и содержат больше 90, но меньше 180 градусов.

Определи вид углов 1,2,3,4,5. Объясни свой ответ. Предложи свой способ определения вида угла.

Первые астрономы жили в Вавилоне. Они разработали календарь, согласно которому год делился на 12 месяцев. В каждом месяце было 30 дней (это значит, что у них в году было 360 дней). Не исключено, что именно поэтому круг был разделен на 360 градусов. И сегодня, 4000 лет спустя, мы продолжаем измерять углы, пользуясь этой системой.

Штурманы кораблей и самолетов отмечают направление курса с помощью азимута. Азимут – это угол между направлением курса и направлением на север, отсчитываемый по часовой стрелке. Значение азимута может меняться от 0^° до 360^°. Значок «^°» в математике заменяет слово «градус». Нарисуй стрелку, указывающую направление движения туриста по азимуту 68^°, 251^°, 318^°.

Самолет, машина и парусник следуют по азимутам 90^° , 240^° и 295^°. Определи, у кого какой азимут.

Площади

Какой из островов больше, Пуэрто-Рико или Ямайка? Величина поверхности фигуры называется её площадью. Площади простых фигур рассчитываются очень легко. А вот определить площадь неправильных фигур иногда невозможно, поэтому расчеты здесь зависят от того, какова требуемая степень точности.

Чтобы сделать приблизительный подсчет площади острова, можно поделить его на клетки площадью 0,5 км². Подсчитав затем количество клеток, полностью или в основном лежащих в пределах острова, мы найдём, что площадь острова равна примерно 16 км².

Площадь суши в двух таких клетках равна примерно 1 кв. км.

Можно получить и более точный результат, если подогнать в клетки более мелкие участки острова, занимающие лишь часть какой-то клетки. Как иначе можно подсчитать площадь более точно?

Площадь небольших плоских предметов, таких, как кафельная плитка, измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см). Квадратными метрами измеряют площадь пола в помещении (кв.м). В гектарах (то есть в квадратах, длина стороны которых 100м) измеряют площадь земельных участков.

В прямоугольниках число клеток быстро подсчитывается путем умножения длины на ширину. Площадь этого прямоугольника равна 7*3=21 клетке.

Отсюда формула для расчета площади прямоугольника выглядит так: S= a* b, где а-ширина прямоугольника, b- его длина.

Часто площадь сложной фигуры проще подсчитать, если преобразовать её в более простую фигуру путём перестановки её частей. При этом её площадь остаётся неизменной, меняется лишь взаимное расположение частей фигуры.

Задание 1

Фигура АСКМ называется параллелограммом. Разрежь его по линии МЕ и переставь полученный треугольник с другой стороны. Какая фигура получилась? Как найти площадь параллелограмма? Попробуй составить формулу для вычисления площади любого параллелограмма. Учти, что отрезок МЕ называется высотой параллелограмма.

Задание 2.

Возьми лист бумаги и начерти любой треугольник.

Затем, используя большую из сторон треугольника в качестве основания, начерти прямоугольник, как это показано на рисунке. Вырежи прямоугольник и разрежь его по сторонам треугольника. Сложи из отрезанных частей новый треугольник. Сравни его со старым. Как найти его площадь?

Задание 3.

Как найти площадь сложной фигуры?

Моделирование.

Всё в мире обладает формой, представляет собой какую-то фигуру, будь то снежинка или небоскреб. Фигуры бывают плоские, такие как многоугольники, круги, углы и т.д.

Задание 1.

Сколько разных фигур можно получить, соединяя три одинаковых квадрата край в край?

А из четырех квадратов?

Задание 2.

Можно заставить фигуру из четырех квадратов «двигаться» по странице. Для этого на каждом шаге один квадрат отрезают и помещают в другое место, сохраняя форму фигуры. Такие фигуры называются «животными».

Если попробовать сделать то же самое с другой фигурой, мы обнаружим, что она движется, но корни держат её на месте - средний квадратик сдвинуть нельзя.

 Такая фигура – цветок.

А такую фигуру сдвинуть вообще невозможно. Это – камень.

Исследуй, как ведут себя остальные фигуры, составленные из четырех квадратов.

Параллелепипед.

Кроме плоских фигур, есть фигуры объёмные, например, куб, шар и другие.

Такая фигура называется прямоугольным параллелепипедом. Она превращается в куб, если все её рёбра будут одинаковые.

                                                                           Рёбра

                              Грани                                     вершины

Чтобы склеить из бумаги такую фигуру, нужно сначала сделать «выкройку» или, как говорят математики, развёртку.

Вырежьте фигуру по контуру. Не забудьте оставить уголочки для склеивания. Склейте прямоугольный параллелепипед.

Задание 1.

Как сделать развертку куба? Чем она отличается от развертки прямоугольного параллелепипеда?

Задание 2.

Площадь развёртки называется площадью полной поверхности фигуры. Как найти площадь полной поверхности куба? Прямоугольного параллелепипеда?

Задание 3.

Какую тень будет отбрасывать куб, если свет падает на верхнюю грань? А если на одно из ребер? А если куб из проволоки?

Призма.

На протяжении многих веков математиков волнуют загадки объемных фигур. Легче других поддаются изучению так называемые многогранники. В XVIII веке российским математиком Эйлером было установлено, что для любого многогранника число граней, плюс число вершин минус число ребер всегда равно 2, то есть Г+В-Р=2. Ну-ка проверь это сам.

У этой фигуры 5 граней, 6 вершин и 9 ребер. Такая фигура называется треугольной призмой.

В основании у неё лежит треугольник.

У других призм в основании может лежать 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник и любой другой многоугольник. Сама призма тогда называется 4-угольной, 5-угольной, 6-угольной и т.д. А если в основании призмы лежит многоугольник с большим числом сторон, то сама призма становится похожа на цилиндр. Форму цилиндра имеют такие предметы, как кастрюля, шляпа, некоторые карандаши.

Задание 1.

Сколько граней имеет новый шестигранный карандаш? Какую геометрическую фигуру он из себя представляет? Выполняется ли для него формула Эйлера?

Задание 2.

На участке земли, имеющем форму квадрата, построен дом квадратной формы, длина стены которого равна половине стороны участка. Как разделить оставшийся участок на четыре равные по форме и площади части? Сделай рисунок.

Пирамида

Если взять любой многоугольник и соединить все его вершины с одной точкой, не лежащей в плоскости многоугольника, то получится каркас объёмной фигуры, которая называется пирамидой. В учебнике истории ты видел рисунки древнеегипетских пирамид. Все боковые грани у них – треугольники.

Грани

Вершины

Ребра

Задание 1.

Эта пирамида лежит на боковой грани. Мы видим, что основание у неё является прямоугольником. Такая пирамида называется четырехугольной. Сосчитай количество ребер, вершин и граней. Проверь, выполняется ли формула Эйлера.

Задание 2.

Исследуй, каждая ли фигура, составленная из четырех треугольников, может быть согнута так, что получится треугольная пирамида, то есть пирамида, в основании которой лежит треугольник?

Треугольная пирамида называется ещё тетраэдром. А, если у неё все грани равны, то - правильным тетраэдром. Развёртка правильного тетраэдра состоит из четырёх равных треугольников с одинаковыми сторонами.

Задание 3.

Построй угол в 60^°. Отложи на его сторонах по 10 см. Соедини полученные точки. В построенном треугольнике соедини середины сторон. Вырежи большой треугольник и перегни бумагу по сторонам маленького треугольника. Какая фигура получилась? Что ты про неё можешь рассказать?

Задание 4.

Постарайся найти площадь поверхности фигуры, полученной в третьем задании.

Задание 5.

Как из развёртки правильного тетраэдра получить 16 равных треугольников?

Задачи на построение.

Конструирование самолётов, сооружение зданий, запуск спутников и огромное множество других проектов зависят от точности геометрических построений. Евклид – один из самых знаменитых древнегреческих геометров. Его удивительно точные чертежи позволили ему сделать целый ряд замечательных открытий.

При выполнении задач на построение используются такие инструменты, как линейка, циркуль, транспортир. Научимся решать некоторые задачи на построение.

Как построить отрезок заданной длины?

1.                    Начерти отрезок длиннее того, что тебе требуется.

2.                    Разведи циркуль до требуемой длины.

3.                    Поставь иглу циркуля на один из концов отрезка и пересеки отрезок дугой.

Как начертить треугольник

 со сторонами 5см, 3см и 7см?

1.                    Построй на прямой отрезок в 7см.

2.                    Разведи ножки циркуля на 3см, поставь иглу на один из концов отрезка и проведи дугу.

3.                    Разведи циркуль на 5см, поставь иглу циркуля на другой конец отрезка и проведи вторую дугу до пересечения с первой.

4.                    Соедини концы отрезка с точкой пересечения дуг.

5.                    Проверь себя, измерив длины сторон полученного треугольника.

Как разделить отрезок пополам?

1.                      Разведи циркуль на расстояние, превышающее половину отрезка.

2.                      Установи ножку циркуля на одном из концов отрезка, проведи выше и ниже его две дуги.

3.                      Не меняя расстояния между ножками циркуля (т.е. тем же раствором циркуля), установи ножку циркуля в другой конец отрезка и снова проведи две дуги по обе стороны отрезка.

4.                      Соедини точки пересечения дуг прямой линией. Она разделит твой отрезок точно пополам.

Как разделить угол пополам?

1.                    Установи ножку циркуля на вершину угла и проведи дугу так, чтобы она пересекала обе стороны угла.

2.                    Установи ножку циркуля в точку пересечения дуги с одной стороной угла и произвольным радиусом проведи дугу.

3.                    Не меняя раствора циркуля, повтори то же самое из точки пересечения дуги с другой стороной угла.

4.                    Соедини вершину угла с точкой пересечения этих дуг. Полученный луч делит угол пополам и называется биссектрисой угла.

Железнодорожные рельсы, электрические провода, края доски представляют собой примеры линий, которые никогда не пересекаются и называются параллельными.

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они называются перпендикулярными.

Как чертить перпендикулярные линии?

1.                    Отметь на прямой точку.

2.                    Поставь ножку циркуля в эту точку и произвольным радиусом отложи отрезки на прямой по обе стороны от этой точки.

3.                    Из полученных точек проведи по обе стороны прямой пересекающиеся дуги, увеличив предварительно радиус.

4.                    Соедини точки пересечения дуг. Полученная прямая будет перпендикулярна первой прямой.

Как построить параллельные прямые?

1.                    Возьми на прямой две любые точки.

2.                    Построй в каждой из них перпендикуляры к данной прямой.

3.                    Отложи на каждом перпендикуляре одинаковые отрезки по одну сторону от прямой.

4.                    Соедини концы отложенных отрезков. Полученная прямая параллельна данной.

Задание 1.

Не используя транспортир, построй угол, содержащий ровно а)45^°, б)60^°, в)30^°, г)15^°. Какие углы ты еще можешь построить без транспортира?

Задание 2.

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, называется трапецией. Построй трапецию.

Задание 3.

В своей книге «Начала» Евклид, поясняя свои открытия, писал: «Смотри чертёж». Попробуй повторить открытие Евклида о вершинах прямых углов, опирающихся на один и тот же отрезок.

Возьми произвольный отрезок. Построй несколько прямых углов, как показано на рисунке.

Найди середину синего отрезка. Измерь циркулем расстояние от середины синего отрезка до вершин прямых углов. Сформулируй своё открытие.

Задачи на разрезание и раскладывание.

Задачи на разрезание – одна из загадочных, не до конца исследованных частей математики. Главный интерес для нас в наших исследованиях будут представлять правильные многоугольники, то есть такие многоугольники, у которых все углы и все стороны равны между собой. Например, правильный треугольник, четырехугольник (квадрат), пятиугольник, шестиугольник и т.д.

 

Задание 1:

На сколько квадратов можно разбить квадрат? Как понимать эти рисунки?

 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25…

 

                     6, 9,12, 15, 18, 21, 24, 27…

 

                     8, 11, 14, 17, 20, 23, 26…

Ответ: Кроме 2, 3 и 5.

Чтобы изобразить правильный многоугольник, используют окружность. При помощи циркуля её делят на равные части и соединяют точки деления отрезками. Полученный при этом многоугольник будет правильным.

 

Правильные многоугольники используют для изготовления паркетов. Голландский художник М. Эшер создал картины, на которых фигуры прилегают одна к другой без малейших зазоров, образуя, как говорят математики, паркет.

 

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использован или показан широкий круг математических идей. Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже.

Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

 

Паркеты

Правильным называется паркет, составленный повторением одной и той же фигуры. Самые простые паркеты составлены из правильных 3-угольников, 4-угольников, 6-угольников.

 

Очень интересные паркеты получаются, если на исходных фигурах имеется рисунок. Можно составить паркет, создающий рисунок, подобный рисункам Эшера. Для этого начни с простой фигуры, из которой можно получить

паркет. Вырежи из неё кусочек и добавь его с противоположной стороны. Повтори эту операцию несколько раз. Чуть-чуть воображения - и фигура превратится в знакомого героя.

Танграмы.

В древнем Китае была изобретена головоломка, которая у нас сейчас распространена под названием «Пифагор».

Дата создания может быть определена приблизительно XVIII веком. Первой известной древней книгой по танграму является “Собрание фигур из семи частей” (Китай 1803 г.). Издана она была на рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе, были лишь отчасти оригинальны, а в своей основе имели китайские источники.

Одним из поклонников игры был Эдгар А. По. Принадлежавший ему танграм сделан из слоновой кости и в настоящее время хранится в Нью-Йоркской публичной библиотеке.
Из семи частей квадрата удается сложить самые разнообразный фигуры.

 

Попробуй придумать сам несколько фигур из деталей танграма.

 

В танграме из семи кусочков уже имеются треугольники трех разных размеров. Но можно сложить ещё один треугольник, используя четыре кусочка: один большой треугольник, два маленьких и квадрат.

 

Задание 1

Можешь ли ты сложить такой же треугольник, используя 1) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм (два решения); 2) один большой треугольник, один средний и два маленьких?

Задание 2

Можно ли составить треугольник, используя два кусочка? Три кусочка? Пять кусочков? Шесть кусочков? Все семь кусочков?

Очевидно, что из всех семи кусочков составляется квадрат. Можно ли составить квадрат только из двух кусочков, из трех кусочков?

Какие различные кусочки составляют прямоугольники? Какие ещё фигуры можно составить?

Задание 3: Составь следующие фигуры:

 

Симметрия

Две точки называются симметричными относительно прямой (называемой осью), если они лежат на одном перпендикуляре к этой прямой и на одинаковых от неё расстояниях.

Фигура, изображенная на рисунке, обладает осевой симметрией. Если рисунок согнуть по вертикальной линии, то все точки фигуры совпадут.

Задание1:Начертите произвольный треугольник и прямую, не пересекающую этот треугольник. Постройте фигуру, симметричную треугольнику, относительно этой прямой. Каким свойством обладает полученная фигура?

Задание 2: Многие природные объекты обладают осевой симметрией. Соберите коллекцию симметричных природных объектов или сделайте их рисунки, указав ось симметрии.

Две точки, лежащие на одной прямой с третьей точкой и на одинаковых от неё расстояниях, называются центрально симметричными.

Центральной симметрией обладают многие предметы.

Задание 3: Назовите природные объекты, обладающие центральной симметрией. Сделайте рисунок, укажите центры симметрий.

Задание 4: Определите, какой симметрией обладают данные объекты.

Спирали

Что общего имеют Млечный Путь, ананас, горный баран и морская раковина с последовательностью чисел 1, 1, 2, 2,3, 3 …? Дело в том, что всё это примеры спиралей. А последовательность чисел описывает спираль на бумаге в клеточку, если каждое число считать расстоянием до очередного поворота. Прочерти отрезок длиной, равный длине стороны клеточки. Поверни на 90⁰ и проведи еще один такой же отрезок. Потом снова на 90⁰ и теперь проведи отрезок в две клеточки. Продолжай построение, проводя отрезки длиной, равной числам ряда. Получится спираль.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.

 

Рис. 12. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Спирали широко проявляют себя в живой природе. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне.

Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции

12 июня - 13 июня 2008г специально на открытие Центра современной культуры «Гараж» Рафаэлем Лозано Хэммером была привезена работа «Пульсирующая спираль». Эта инсталляция представляет собой трехмерные спиральный параболоид, созданный из 400 лампочек, собранных как «спираль Ферма» – разновидность Архимедовой спирали, созданной математиком Пьером де Ферма в 17 веке в процессе решения задачи оптимального распространения объектов на плоскости. Именно такова в природе схема роста листьев и стеблей у растений (филлотаксис).

Работа Хэммера – интерактивна, посетители могли управлять сенсором, расположенным под спиралью, и этот сенсор записывал и реагировал на их сердечный ритм.

Математика растений.

Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8… называют числами Фибоначчи по имени итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	и т.д.
Пары кроликов	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.

Фибоначчи также занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Казалось бы чисто математическая находка. Однако, попробуй провести небольшое исследование в огороде. Рассмотри внимательно, как расположены семена подсолнечника в его шляпке. Ты увидишь несколько закручивающихся линий – спиралей. Удивительно, что число спиралей, закрученных по часовой стрелке и против часовой стрелки равно двум последовательным числам Фибоначчи – 21 и 34.

Можно продолжить это исследование, гуляя в парке или за городом. Спирали роста можно обнаружить у всех кактусов, у пальм, в сосновых шишках, в цветках маргаритки и у многих других растений. Например, колючки ананаса образуют сразу два множества спиралей: 8 спиралей идут по часовой стрелке, а 13 – против часовой стрелки. Поразительно то, что у всех растений число спиралей, идущих по часовой стрелке и число спиралей, идущих против часовой стрелки – это соседние числа Фибоначчи (21 и 34 у подсолнуха, 8 и 13 у ананаса, 1 и 2 у сельдерея). Наиболее часто встречается пара 5 и 8, которую можно найти в еловой шишке.

В мире растений спирали встречаются на каждом шагу: в строении соцветий, шишек, листьев, цветов, усиков и даже в самом расположении листьев и ветвей вокруг ствола дерева. Число витков спирали, которое необходимо сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему, также равно одному из чисел ряда Фибоначчи. Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса». Этому же закону подчиняется и угол поворота листьев на стебле относительно друг друга.

По спирали перемещаются и неживые предметы, и представители живой природы: любая точка, кроме осевой, вращающегося винта самолета; белка, взбегающая вверх по дереву; стаи летучих мышей, вылетающие из подземных пещер. В качестве примеров конической спирали можно привести водовороты, воронки ураганов, траекторию точек воды, стекающей по желобу, и тысячи других явлений природы.

Уже более трех веков ботаники и математики восхищаются сложностью и красотой спиральных структур, образующихся по мере развития растения. Семена на стебле, семена или лепестки в цветке, причем у самых разных растений – броколли, сосны, артишока, водяной лилии – все они создают сложные спирали, повторяющие известную математическую последовательность чисел. Чтобы выявить математические основания филлотаксиса (организации листьев и других органов вокруг стебля) математики Крис Гол из Smith College (США) и его швейцарская коллега Пау Атела объединились с ботаниками из Ботанического сада Smith College.
Гол рассказал, что спирали у растений часто образуются согласно последовательности Фибоначчи (1,1,2,3,5,8,13 и т.д.), где каждое число является суммой двух предыдущих. Спиральные цепочки у растений часто идут в противоположных направлениях, причем обычно их несколько. Число спиралей часто тоже выражается двумя последовательными числами Фибоначчи. Так, цветок английской дэйзии состоит из 21 спирали по часовой стрелке и 34 – против.

Сосновая шишка имеет 8 спиралей в одном направлении и 13 – в другом (8 и 13 идут друг за другом в последовательности Фибоначчи). Чтобы объяснить, почему в растительных спиралях доминируют числа Фибоначчи, Гол и Атела начали с теории ботаника XIX века Вильгельма Хофмейстера, который заметил, что листья у растений появляются в наименее "населенных" участках стебля вокруг

меристемы (или растущей верхушки). Затем они по кругу перемещаются от центра. Модель динамической системы, разработанная учеными, позволяет предположить, что этих простых геометрических правил достаточно, чтобы получить те спирали, которые мы видим в природе.
Ученые утверждают, что вне зависимости от того, знают ли растения математику, они запрограммированы следовать определенному набору законов развития, что позволяет предположить, что эти "узоры" дают эволюционное преимущество.

У некоторых моллюсков количество частей, формирующих конические раковины, отвечает числам Фибоначчи. Так, раковины фораминифер имеют 13 частей, раковины шпорцевой улитки - 8, количество камер раковины наутилуса - 34, тело наутилоидей делится на 13 частей, раковина гигантской тридакны собрана в 5 складок. Число ребер ископаемой раковины брахиопод равно 34. Такое же количество ребер имеют крохотные раковины тектакулитов. По краям пятнистой раковины ципреи из Индийского океана расположены мелкие зубцы, количество которых равно 21. Из приведенных примеров видно, что конструкции раковин многих ископаемых и современных моллюсков предпочитают числа 5, 8, 13, 21, 34.

Задание 1:

Возьми веточку березы. Измерь расстояние вдоль ветки между соседними листьями. Измерь угол смещения листьев по отношению друг к другу. Сделай рисунок и соответствующие записи.

Числа Фибоначчи и золотое сечение.

Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, Парфенон в Афинах – это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.

Фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют так называемое «золотое сечение». Длина прямоугольника примерно в 1,6 раза больше его ширины. Вычислить точное значение нельзя; греки умели строить золотые прямоугольники, но не умели находить длины сторон.

Современные ЭВМ могут вычислить отношение длины к ширине с любой заданной точностью. С точностью до трех знаков после запятой оно равно 1, 618. Это значит, что прямоугольник со стороной 1 м. должен иметь длину приблизительно 1 м. 61 см. 8 мм.

Древние греки считали, что прямоугольники, стороны которых образуют золотое сечение, имеют наиболее приятную для глаз форму. Греки приписывали золотому сечению и некоторые магические свойства, так же как и египтяне, использовавшие его для расчетов пирамид.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.
Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Рис. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой - в прямоугольник с модулем

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Таким образом, золотое сечение и числа Фибоначчи являются бесспорным элементом роста живых существ.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон. Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Задание 1:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 – это первые 10 чисел Фибоначчи. Попробуй с помощью калькулятора разделить каждое из них на предыдущее.

1: 1 = 1; 2 : 1 = 2; 3 : 2 = 1,5; и т. д. Если делить всё большие и большие числа, то как близко можно подойти к золотому сечению?

Задание 2:

Начерти единичный квадрат, т. е. квадрат со стороной, равной единице измерения длины, например, 1 см. или 1 дм.

 

Добавим второй такой же квадрат.

Построим на длинной стороне ещё один квадрат. Потом ещё один и ещё.

Объясни, при чем здесь золотое сечение. И при чем здесь числа Фибоначчи?

Задание 3:

Построй золотой прямоугольник, то есть такой прямоугольник, у которого одна сторона в 1,6 раз больше другой.

Отрежь от него квадрат и убедись, что получился маленький, но тоже золотой прямоугольник. А что, если ещё раз отрезать квадрат? И еще?

Построение золотого прямоугольника можно выполнить при помощи циркуля и линейки.

Начнем с квадрата. Разделим его на два равных прямоугольника. Проведем диагональ одного из них.

Проведем циркулем дугу окружности из одного конца этой диагонали радиусом, равным длине диагонали. Продолжим основание до пересечения с этой дугой.

Проведем боковую сторону под прямым углом и закончим построение золотого прямоугольника.

Измерь его стороны и убедись, что это золотой прямоугольник.

История “Золотого сечения” - это история человеческого познания мира. Понятие “Золотое сечение” прошло в своем развитии все стадии познания. Первая ступень познания открытие “золотого сечения” древними пифагорейцами. От простого созерцания действительности они перешли к выражению его в мире чисел, но ими были спутаны причинно-следственные понятия мира и догадка о мировой значимости “Золотого сечения” осталась лишь догадкой на века. И все же, в своей жизнедеятельности человек начинает использовать “Золотое сечение” в своих художественных произведениях.

Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Фригийские гробницы и античный Парфенон, театр Диониса в Афинах - все они исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой. В целом ряде музыковедческих работ подчеркивается наличие золотого сечения в композиции произведений Баха, Шопена, Бетховена.

 В эпоху Ренессанса золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и другие великие художники возрождения компонуют свои полотна, сознательно используя золотую пропорцию. Нидерландский композитор XV века Якоб Обрехт широко использует “Золотое сечение” в своих музыкальных композициях, которые до сих пор уподобляют “кафедральному собору”, созданному гениальным архитектором.

Практические нужды торговли подводят Фибоначчи к открытию своих рядов, которые еще никто не связывает с “Золотым сечением”. В XIX веке уже не художники, а ученые-экспериментаторы, изучавшие закономерности филлатаксиса (расположение цветков), вновь обратились к золотой пропорции. Оказалось, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. “упакованы” по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа “правых” и “левых” спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34), предел последовательности которых является золотая пропорция.

 Ученые открывают “Золотые пропорции” в живой и не живой материи и уже на основании этого опыта происходят удивительные открытия нашими современниками Стаховым А. П. и Витенько И. В. обобщенных золотых пропорций и обобщенных рядов Фибоначчи. Их анализ приводит исследователей к результатам ошеломляющим по своей простоте и от того более значительных: “Золотое сечение” обладает избыточностью и устойчивостью, которые позволяют организовываться самоорганизующимся системам.

Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора.

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

Заключение

Наверное, ты читал книгу «Алиса в стране чудес». Выдающийся математик нашего столетия Давид Гильберт сказал, что автор этой книги Л. Кэролл был его учеником, но математиком не стал – у него было недостаточно фантазии, чтобы быть математиком, и он стал писателем. Конечно, это шутка, но, как во всякой шутке, в ней есть доля истины. Истина здесь в том, что математику для своей работы нужно иметь много воображения, изобретательности.

Ты еще только чуть – чуть познакомился с математикой, лишь слегка приоткрыл занавес, за которым скрывается изумительно красивый мир математики. Наш великий соотечественник Михаил Васильевич Ломоносов писал: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

В шестом классе ты продолжишь путешествие по миру чисел и фигур, научишься проводить топологические опыты своими руками, находить размеры недоступных тебе объектов, узнаешь, что такое графы и симметрия, как измерять объемы и поверхности и многое другое.

Желаю тебе успехов и творческой радости.

5класс 2

Введение. 2

Измерения_ 3

Длина шага_ 3

Измерение голыми руками_ 4

Точность. 5

Угол_ 5

Площади_ 6

Моделирование. 8

Параллелепипед. 9

Призма. 10

Пирамида_ 11

Задачи на построение. 12

Как построить отрезок заданной длины? 12

Как начертить треугольник 12

со сторонами 5см, 3см и 7см? 12

Как разделить отрезок пополам? 12

Как разделить угол пополам? 13

Как чертить перпендикулярные линии? 13

Как построить параллельные прямые? 13

Задачи на разрезание и раскладывание. 14

Паркеты_ 16

Танграмы. 16

Симметрия_ 19

Спирали_ 20

Математика растений. 22

Числа Фибоначчи и золотое сечение. 24

Заключение 32