Учебное пособие

«Различные методы решения систем уравнений»

 

для учащихся 8-9 классов

 

(автор-составитель: Федорчук О.Ф.)

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2017

Оглавление

 

Введение ……………………………………………………………………………...	3
Основные понятия …………………………………………………………………...	3
Основные методы решения систем уравнений ……………………………………	4
Симметрические системы уравнений ……………………………………………...	7
Системы, содержащие однородные уравнения ……………………………………	8
Метод разложения на множители ………………………………………………….	9
Комбинированный метод решения систем уравнений ……………………………	10
Графический метод решения систем уравнения …………………………………..	11
Системы уравнений в материалах ОГЭ ……………………………………………	12
Дополнительная литература и источники …………………………………………	13
Ответы к заданиям для самостоятельного решения …. …………………………..	14

 

 

1.    ВВЕДЕНИЕ

Система уравнений является одним из основных понятий в курсе школьной алгебры. Можно рассматривать системы линейных уравнений с двумя переменными (уравнений первой степени), системы нелинейных уравнений (второй и выше степеней) и другие. Решение некоторых текстовых задач приводит к решению систем двух и более уравнений. Существуют различные методы решения систем, но только некоторые из них представлены в школьном учебнике.

Данное учебное пособие «Различные методы решения систем уравнений» адресовано учащимся 8-9 классов. В пособии представлен необходимый теоретический материал, рассмотрены примеры решения систем уравнений различными методами. К каждому методу приведены задания для самостоятельного решения и ответы к ним.

Отдельный раздел пособия посвящен заданиям на решение систем уравнений ОГЭ по математике в 9 классе (часть 2, задания №21). В нем рассмотрены системы уравнений из Открытого банка заданий ОГЭ по математике (сайт Федерального института педагогических измерений), пособия «ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты» (под редакцией И.В. Ященко), с сайта «Решу ОГЭ» (обучающая система Д.Д.Гущина), тренировочных и диагностических работ СтатГрада.

Анализ заданий ОГЭ и контрольно-измерительных материалов показал, что на экзамене в 9 классе во второй части в основном предлагаются системы уравнений, решаемые методами подстановки и алгебраических действий. Также встречаются задания, которые удобно решать, используя методы замены переменной и разложения на множители, а более сложные системы уравнений – комбинированным методом.

 

2.    ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Если рассматривают два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти все пары чисел (а;b), таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений.

Систему уравнений    и   записывают в виде:

 

 

Решить систему уравнений — значит найти множество всех пар чисел (а; b), таких, что при подстановке числа а вместо х и числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Такие пары чи­сел (а; b) называются решением системы уравнений. Если множество решений системы уравнений — пустое множество, то ее на­зывают несовместной.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных. Будем рассматривать системы, у которых число уравнений равно числу переменных.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.

В частности, если обе системы несовместны (не имеют решений), то их также счита­ют равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравне­ний, в процессе решения систем уравнений важно знать, при каких преобразованиях данная система переходит в равносильную ей сис­тему уравнений.

При этом можно использовать следующие утверждения о равносильности систем уравнений:

1)   если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;

2)   если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;

3)   если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную х на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

В частности, можно выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Выделяют аналитический и графический методы решения систем уравнений.

Основными средствами аналитического решения системы являются метод подстановки, метод введения новых переменных (замены переменной), метод алгебраических действий (сложения, умножения).

Для графического решения системы двух уравнений с двумя переменными надо построить в одной системе координат графики обоих уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

В работе рассмотрим также некоторые особые виды систем уравнений и способы их решения: симметрические системы уравнений, системы, содержащие однородные уравнения, метод разложения на множители.

 

3.      ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки, метод алгебраических действий и метод замены переменной.

 

3.1          Метод подстановки  или исключения неизвестного основан на том, что если из   одного   уравнения  системы  выразить  одну  переменную  через  другую  (например, y = f(x)) или подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы

          и     

Решение последней системы сводится к решению уравнения = 0 с одной переменной x. Подставляя затем найденные x в уравнение y = f(x), находим соответствующие значения y.

Этот метод особенно удобен, если в одно из уравнений системы какая-нибудь переменная входит в первой степени.

Пример.

Решим систему

Решение. Из первого уравнения находим y = 4 – 2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем 4 – 2² = 16.

Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквадратное уравнение

5x⁴ – 16x² = 0 или х²(5х² – 16) = 0.

Решая его, находим = 0,   

Подставляя найденные значения x в выражение y = 4 – 2,

находим

Ответ: (0; 4); (

 

Задания для самостоятельного решения

12.

34.

5

 

3.2   Метод алгебраических действий

3.2.1 Метод алгебраического сложения уравнений основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной. Обычно с помощью этого метода получают систему, к которой затем применяют метод подстановки.

Пример.

Решим систему 

Решение. Если вычесть второе уравнение из первого, получим – 2x – 3y = – 11, т.е.

2x + 3y = 11. Значит, надо решить систему уравнений  

Из первого уравнения находим, что x =.

Подставляя x во второе уравнение, получаем  + y² = 10,

откуда 121 – 66y + 9y² + 4y² = 40, т.е. 13y² – 66y + 81 = 0.

Корнями этого квадратного уравнения являются  .

Если   то из  x =   находим

Если  ,  то .

Ответ: , или , .

 

3.2.2 Метод почленного умножения и деления уравнений системы рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Решим систему

Решение. Разделим почленно первое уравнение на второе, получим

;   ;   ; ;  

Ответ: (2 ; 1)

 

Задания для самостоятельного решения

1.                     2.

3.        4.

5..

 

3.3  Метод замены переменной также рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Решим систему  .

Решение. Пусть ,  тогда ; .

Получаем:

a)   ; .

Возвращаясь к переменным x и y, получаем:  .

 

б) .

 

в) .

 

г) .

 

Ответ: (1,5 ; -0,5); (0 ; 1); (3 ; 1); (1,5; 2,5)

        

 

Задания для самостоятельного решения

                            2.  

         4.

5.

 

4.      СИММЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Обозначим многочлен от переменных x и y через P(x,y). Тогда P(y,x) обозначает многочлен, получаемый заменой в P(x,y) переменной х на y, а y на x.

Например, если P(x,y) = 6х⁴ –3x³y + 7xy³ + 8y⁴ , то P(y,x) = 6y⁴ –3y³x + 7yx³ + 8х⁴.

Если выполняется равенство P(x,y) = Р(y,x), то есть многочлен остается неизменным после замены х на у, а у на х, то многочлен P(x,y) называют симметрическим.

Например, симметрическими являются многочлены х + у  и  ху.

При решении систем уравнений вида  , где  и  -  симметрические многочлены, используется замена неизвестных: х + у = u, ху = v.

Пример.

Решим систему

Решение. Запишем систему в виде  

Пусть х + у = u,  ху = v.

Тогда относительно u и v система примет вид    .

Решив эту систему способом подстановки, найдем

Соответствующие значения v найдем из формулы v = 11 – u.

Тогда  

Осталось решить системы уравнений  .

Первая система имеет решения (2 ; 3) и (3 ; 2). А вторая не имеет решений.

Ответ: (2 ; 3) и (3 ; 2).

 

Задания для самостоятельного решения

1.             2.

3.                4.        5.

СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1. Системы уравнений, одно из которых однородно

Многочлен Р(х,у) называется однородным многочленом n-ой степени, если все его члены имеют n-ю степень.

Уравнение  Р(х,у) = 0  называется однородным уравнением  n-ой степени, если Р(х,у) – однородный многочлен n-ой степени.

Пример.

Решим систему   

Решение. Первое уравнение этой системы является однородным степени 2.

Так как х = 0 ни при каком значении у не входит в решение системы, то разделим обе части первого уравнения на  и введем новую переменную  Получим квадратное уравнение 2 – 3u + = 0. Корни этого уравнения ,  

т.е.     = 1 или    

Теперь нужно решить совокупность двух систем

Первая система несовместна, так как при подстановке выражения у = х во второе уравнение получим 0 = 12.

Решая вторую систему, подставим выражение у = 2х во второе уравнение.

Получим 4х² – х² = 12 или  х² = 4. Отсюда находим .

Так как у = 2х,  то .

Ответ: (2 ; 4) ; (-2 ; - 4).

 

5.2. Системы уравнений с однородной левой частью

В некоторых системах оба уравнения не являются однородными, но, применив метод алгебраического сложения, удается перейти к равносильной системе, одно из уравнений которой является однородным.

Пример 1.

Решим систему

Решение. Ни одно из уравнений не является однородным. Действительно, в первом уравнении члены  и ху имеют степень 2, а -12 имеет нулевую степень. По той же причине не является однородным и второе уравнение. Но если умножить первое уравнение  на  7, а второе на 3 и затем их сложить, то получим однородное уравнение     7у² – 10ху + 3х² = 0. Решая теперь систему уравнений , находим решение исходной системы: , или , .

Ответ: (7; 3) ; (-7; -3)

 

Пример 2.

Рассмотрим систему уравнений

Левая часть каждого из уравнений этой системы – однородный многочлен второй степени. Умножив обе части первого уравнения на -2 и заменив любое из уравнений системы (например, первое) полученной суммой уравнений, получим систему , одно из уравнений которой однородно.

 

Задания для самостоятельного решения

1.        2.       

3.           4.       

5.

 

5.      МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Метод разложения на множители основан на том, что если выражения  и  определены для всех значений переменных х и у, то система уравнений

 

  равносильна совокупности систем    и  

 

Пример.

Решим систему   

Решение. Система равносильна совокупности двух систем

  и

 Заметим, что  – однородное уравнение и у = 0 не входит в решение системы.

Разделим первое уравнение на у². Получим:

Введем новую переменную u =   и  найдем корни квадратного уравнения

u² – 3u + 2 = 0. Получим  Значит, либо либо .

Подставляя у = 2х и у = х поочередно во второе уравнение системы, получаем совокупность уравнений 5х² = 10  и 2х² = 10.

Решая уравнение 5х² = 10, находим  Подставляя найденные значения в выражение у = 2х, получаем                 

Решая уравнение 2х² = 10 и подставляя результаты в выражение у = х, находим , ,  

Таким образом, решением первой системы является:

Решая вторую систему, выразим из первого уравнения у. Получим у = х.

Так как этот случай уже рассмотрен, то решением исходной системы будет множество пар (; (;();().

Ответ: (; (; (); ().

 

Задания для самостоятельного решения

1.          2.

 

3.         4.

 

5.

 

6.      КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Комбинированный метод решения систем основан на использовании нескольких методов на разных этапах решения систем.

Пример.

Решим систему

Решение.

Пусть  .   Тогда ;   ;

;   ;

a)   ;    (1 ; 1); (-1 ; -1)

б) ;     ( 0;);  (0 ; -.   

Ответ:  (1 ; 1); (-1 ; -1); (0 ;); (0 ; -.

 

Задания для самостоятельного решения

1.            2.

                          4.

5.

 

7.      ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решить графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Будем считать известными уравнения:

а) прямой: ах + by + c = 0

б) параболы: y = x² + bx + c

в) окружности: (х – а)² + (у – b)² = R²

г) гиперболы: ху = k

 

Пример.

Решим систему

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем

= (х² – 2х + 1) + (у² + 4у + 4) – 1 – 4 – 20 = (х – 1)² + (у + 2)² – 25.

Значит, систему уравнений можно записать так:  

Графиком первого уравнения является окружность с центром А(1 ; - 2) и радиусом 5. 2х – у =  –1  – уравнение прямой, проходящей через точки В(0;1) и С (2;5). Строим окружность радиусом 5 с центром в точке А и проводим прямую через точки В и С. Эти линии пересекаются в двух точках М(1;3) и N(-3; -5). Значит, решением системы уравнений являются

 

Ответ: (1;3); (-3; -5).

 

Задания для самостоятельного решения

1.                        2.

         3.          4.

9.      СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В МАТЕРИАЛАХ ОГЭ

                   2.

3.       4.

5.                6.

7.                      8.

9.            10.

11.                  12.

13.                 14. 

15.

16.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ

1. Виленкин Н.Я.Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики. – Москва: "Просвещение", 2013.

2. Виленкин  Н.Я.Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. – Москва: "Просвещение", 2013.

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. – Москва: "Просвещение", 2014.

4. Шахмейстер А.Х. Системы уравнений. Пособие для школьников, абитуриентов и учителей. – С.-Петербург, Москва, 2003.

5. Решу ОГЭ, адрес доступа:  http://sdamgia.ru/test?theme=21

6. Открытый банк заданий ОГЭ, адрес доступа: 

http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=0A2243D019E2A3F84407BD957179EC00&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0

7. ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (под редакцией И.В. Ященко). – Москва: Издательство «Национальное образование», 2016.

 

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1 1) (2;7);(6,8;-2,6); 2) (2;1);(-2;5); 3) (7;3);(-3;); 4) (2;6);(5;3);5) (-; ); (4;5);

3.2 1) (3;4);(4;3);(-3;-4);(-4;-3);  2) (2;1)(-2;-1);(-2;1);(2;-1);  3) (2;1);(-2;-1);  4) (3;-1);(-1;3);  5) (5;5);(0;0);

3.3. 1) (5;1);(1;5);(3;20);(2;3)  2) (1;2);(2;1); 3) (4,5;1);(3;2);(;(2;-); 4) (-2;-1);(2;1); 5) (3;2);(-10;15);

4. 1) (3;5);(5;3);  2) (); ( 3) (3;5);(5;3);  4) (2;8);(8;2);  5) (1;3);(3;1);

5. 1) ); (1;2);(-1;-2);  2) (1;2);(-1;-2);  3) (2;1);(-2;-1); 4) );(4;5);(-4;-5);    5)();(3;2);(-3;-2);

6.  1) (-0,2;-3,1); 2) (1;1);  3) (8);  (; );  (; );  4) ( ( (0,5+0,5;2,5+0,5); (0,5-0,5; 1,5+0,5); 5) (0;0); (2;2);(-2;-2);

7.   1) (1;);(1;-);(7- ; -);(7+;-15-3);  2) (0;0);(1;-1);  3) (0;0);(;

(-); (); (3;2);(2;3); (-2;-3); (-3;-2);  4) (124;76); 5)  (1;-3);(-1;3);(0;2);(0;-2);

8.  1) (5;0);(0;-5);  2) (2;4); 3)  (4;9); 4 (-5;0); (-2;3);

9.  1) (3; −4); 2) (-7; −2), (-3; 2); 3) (-2;-2);(-2;2);(-1;-2);(-1;2); 4)  (2;4);(5;13); 5) (1;5);(-1;);   6) (3; 6); 7)  (−1; 4); (1; 4); 8) (1;1);(; 9)  (−4; 2); (4; 2); 10) (−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1); 11) (-1;3);(1;3);      12) (2; −1); (2; 1); 13) (−1; −3), (1; 3), (−3; −1); (3; 1);  14) (-1;-1);  15) (26,5;-5,5); 16) (5;9)