Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Смотреть ещё
7 631
методическую разработку по математике
Перейти в каталогВыбранный для просмотра документ ГЛАВА 1.pdf
ГЛАВА 1. КОМЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§1.Понятие комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (а; в), то есть z = (а; в).
Определение. Пусть а≠ 0, в ≠ 0, тог = а + вi – алгебраическая форма комплексного числа, причём а – действительная часть комплексного числа, вi – мнимая часть, в – коэффициент мнимой части, i – мнимая единица.
Основное свойство мнимой единицы: i2 = -1.
Определение. Два комплексных числа z1 = a1+ b1i и z2 = a2+ b2i называются равными тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства: a1 = a2 и b1 = b2.
Определение. Два комплексных числа называются сопряжёнными, если они отличаются только знаками перед мнимой частью.
Определение. Два комплексных числа называются противоположными, если они отличаются знаками перед действительной и мнимой частью.
Определение. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число, действительная и мнимая части которого равны соответственно сумме действительных и мнимых частей слагаемых чисел.
Пример. (2+3i) + (6+8i) = 8+ 11i
Определение. При вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их действительные и мнимые части.
Пример. 3 - 2i – (1 + 3 i) = 2 - 5 i
Определение. При умножении двух комплексных чисел пользуются правило умножения многочленов. В полученном результате i2 заменяется на -1.
Пример: (2 -3 i) (3 + 5 i) = 6 -9 i + 10 i - 15 i2 = 21 + i
Определение. Для того, чтобы разделить два комплексных числа, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряжённое знаменателю.
Пример. = = = = + i
Упражнения. Выполнить действия: |
|
1.(3+5 i)+(2+ i) 2.(7-5 i)+(7+5 i) 3.(2+5 i)+(-2+3 i) 4.(1+4 i)+(-1+4 i) 5.(-6+3 i)+(6+3 i) 6.(5+3 i)+(12+ i) |
7.(3+5 i)-(2+ i) 8.(7-5 i)-(7+5 i) 9.( 2+5 i)-(-2+3 i) 10. 1+4 i – (-1+8 i) 11.(5+3 i)-(5-6 i) 12.(3+2 i)-(4+3 i) |
13.(3-5 i)(7+2 i) 23.
14.( 2+5 i)(-2- i) 15. (1+4 i)(1+9 i) 16.(6+3 i)(5-2 i) 17.(3+5 i)(7+3 i) 18. (7-5 i)5 i 19.( 2+5 i)3 i 20. 4 i(-2+8 i) 21.3 i(4-6 i) |
24. 25. 26. 27. 28. 29. |
)
|
|
30. |
|
22.(3+2 i)3 i
Найти числа, сопряжённые данным:
31.z = 5+3i
32.z = -8-5i
33.z = 7i+2
34.z = -9i-9
35.z = (1-i)7
36.z = 2i22 + 3i24
§2.Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Квадратные уравнения ax2+bx+c = 0 имеют ровно два корня вне зависимости от дискриминанта (D = b2 – 4ac).
Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня |
Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых действительных корня |
Если D < 0, то уравнение имеет два комплексно – сопряжённых корня |
х х1,2 = х1,2 =
Примеры. Решить квадратные уравнения:
1.5х2 + 6х +5 = 0
D = 36 – 100 = -64
x1 = = = -0,6 + 0,8i
x2 =- 0,6 -0,8i
Ответ: -0,6 + 0,8i; -0,6 -0,8i
2. x3 + 125 = 0
Разложим по формуле суммы кубов.
(х+5)(х2-5х+25) = 0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
х+5=0→х1=-5 х2-5х+25=0
D = 25-100 = -75
x
x
Ответ: -.
Упражнения. Решить уравнения:
37. х2 + 25 = 0
38. х2 -2х+25 = 0
39. 36х2 +36х+13 = 0
40. 5х2 +2х + 2 = 0
41. х2 - 49 = 0
42. -х2 + 16 = 0
43. х2 -6х+16 = 0
44. 3х2 +4х+3 = 0
45. х2 -8х+ 20 = 0
46. 5х2 -4х+8 = 0
47. х4-3х2 -4 = 0
48. х3 + 125 = 0
49. х3 + 8 = 0
50. –х3 + 64 = 0
В нашем каталоге доступно 68 628 рабочих листов
Перейти в каталогПолучите новую специальность за 3 месяца
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Глава 10.pdf
Глава 10. Дополнительная глава.
§1. Прикладные задачи.
Приложение производной в экономической теории.
Пусть q – выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) – выручка от продаж; TC(q) – издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль ( ) = ( ) − ( ). Предположим, что выполняются следующие условия:
Функции TR(q), TC(q) определены на полуинтервале [0; ∞) и дифференцируемы при q > 0. Максимум прибыли достигается в некоторой точке q* 0. В случае, когда максимум прибыли положителен (q ∗), при условии q* 0 естественным образом выполняется, поскольку (0) ≤ 0 (нет выпуска – нет выручки, нет выручки – нет прибыли). Тогда функция ( ) = ( ) − ( ) дифференцируема и имеет на интервале [0; ∞) максимум в точке q* 0. По теореме Ферма, π/(q) = 0. Так как π/(q) = TR/ (q) - TC/(q), то в точке q = q* получаем равенство: TR'(q*)=TC'(q*) или MR=MC.
В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.
В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p, имеем TR(q) = p*q, TR'(q) = p.
Равенство TR'(q*) = C'(q*) принимает вид p = TC'(q*).
Примеры:
1.Функция спроса имеет вид QD=100 – 20p, постоянные издержки TFC составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.
Решение:
Прибыль есть выручка минус издержки:
П=TR – TC, где TR= p ∙Q; TC=TFC+TVC.
Найдём цену единицы продукции:
Тогда: П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q2 + 60Q - 1000 ® max Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.
Приравняем производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.
При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.
2. Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: QD=200 – 4p, а объём предложения – QS=6p – 100. Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равна цена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?
Решение:
В точке потребительского равновесия QS=QD,
Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении.
Рассмотрим три возможных варианта:
1) p>p0, Ю Q=QD, то есть П = QDp – QD TVC=QD(p – TVC), подставим значения и получим: П = (200 – 4p)(p – 25)= –4p2 + 300p – 5000.
2) p=p0, Ю Q=QD=QS, Ю Qпродажи=Q0=80 (ед.), Ю П2=80*(30 – 25)=400 ( ед.).
3) p < p0: Ю Q = QS, то есть П = QSp – QS TVC=QS(p – TVC), подставим значения: П=(6p – 100)(p – 25)=6p2 – 250p + 2500.
Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:
– 8p + 300=0 Ю p=75/2=37,5 (ед.)
Значит, Q=QD=200 – 4*37,5=200 – 150=50 (ед.),
а П1= – 4p2 + 300p – 5000= – 4*(37,5)2+300*37,5 – 5000=625 (ед.)
2) Во втором случае прибыль была уже найдена: П2=400 (ед.)
3) П=6p2 – 250p + 2500
П'=12p – 250;
12p – 250=0 Ю p=125/6=205/6 (ед.).
Значит, Q=QS=6*205/6 – 100=125 – 100=25 (ед.), a
П3=6p2 – 250p + 2500=6*(205/6)2 – 250*205/6+2500= – 1041/6 (ед.)
Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.
Приложение производной на оптимизацию площадей, объёмов.
Пример: Обозначив емкость банки через V см³, сформулируем задачу: Определить размеры цилиндра с объемом V см³ так, что бы площадь его полной поверхности была наименьшей. Для решения задачи обозначим радиус основания цилиндра через х, а высоту его через h (все
измерения в сантиметрах). Тогда объем цилиндра: V = .
Полная поверхность цилиндра:
S = 2 x² + 2x h = 2 x² + 2 x = 2 x² + =
Итак, S(х) =
Так как переменная х может принимать только положительные значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения S(х) на (0;).
Найдем производную S´(х): S´(х) = =
Для нахождения критических точек решим уравнение S´(х) = 0.Корень уравнения: х = .
Следовательно, в точке х = S(х) имеет минимум.
Следовательно, функция в этой точке достигает наименьшего значения.
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет
наименьшей при h = 2x = 2 , т.е. когда цилиндр равносторонний.
Упражнения:
411) Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник наибольшей площади.
412) Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2, найти прямоугольник с наименьшим периметром.
413) Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой 414) Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника. Найти такое значение х, при котором площадь треугольника наименьшая.
415) Найти на параболе у = х2 точку, ближайшую к точке А(2;0,5).
416) Из трёх досок одинаковой ширины скрлачитвается жёлоб. При каком угде наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?
417) Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь.
418) Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.
419) Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда будет наибольшим?
420) Из всех равнобедренных треугольников с пениметром р найти треугольник с наибольшей площадью.
421) Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объёма.
422) Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось 5:2.
423) Отраслевая функция спроса на продукт имеет вид P=20–0,5Q. Этот продукт производится одной фирмой с функцией общих затрат
ТС = 0,04Q3 –1,94Q2 + 32,96Q . При каком выпуске прибыль фирмы максимальна? Какова величина этой прибыли?
424) Пусть: V –количество единиц выпускаемой продукции;
L(V)–доход предприятия;
C(V) – затраты предприятия;
П(V) = L(V)-C(V) –прибыль предприятия.
Принято решение: ввести дополнительный налог r на каждую единицу продукции. Каким 425) Пусть: L(V) = -2V2 + 6V, С(V) = V2 + 3V + 2.
Найдите величину дополнительного налога r, при котором доход от его введения максимален.
426) Пусть цена единицы товара равна С условных единиц, количество единиц реализованного товара равно V. Доход от реализации товара L=CV.
Предельный доход равен L '(V). Функция спроса С=8-V. Тогда L=(8-V)V=8V-V ‘. При этом С>0,V≥0, 0≤V<8.
427) Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией С = 30 Q - 0,08 Q3. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции: а) 2=5 ед., б) 2=10ед.
428) Функции долговременного спроса D и предложения 5 от цены р на мировом рынке нефти имеют, соответственно, вид D = 30-0,9p, 5=16+1,2р. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены. Как изменятся
равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %.
429)
430) Пусть зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой C=50-0,5Q.Требуется определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q = 30 денежных ед.
431) Пусть спрос на товар определяется формулой D (Р) = 100 - ЗР.
Найти эластичность спроса при цене на товар Р= 20 денежных единиц.
432) Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса. I(P) = D(P)P.
§2.Приложение дифференциала к приближённым вычислениям.
Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал:
∆у = dy. Абсолютная погрешность от такой замены при х→ 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ∆х. Подставляя в это приближенное соотношение формулу Пример. Вычислить приближенное значение корня.
Решение. Рассмотрим функцию f в окрестности точки х 0 = 1. Поскольку производная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = , то, принимая ∆х = 0,07, получаем из формулы: √
(1 + 0,07) = f(1) + f /(1) 0,07 = 1 + 0,5∙0,07 = 1,035.
Упражнения. Вычислить значения выражений:
433) Найти приближённое значение выражения у = х2 при х = 2 и ∆х= 0,01. 434) С помощью дифференциалов найти приближённое значение выражения:
а) б) в) г)√9 д)
е) ж) у = ех, в точке х0 = 0,5 з) у = х2 – х + 1, в точке х0 = 3,01.
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 2.pdf
ГЛАВА 2.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
§1.Числовая последовательность. Монотонность, ограниченность числовой последовательности. Предел последовательности. Теоремы о пределах числовой
последовательности.
Определение 1. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определённая на множестве N натуральных чисел.
Пример: (аn); 1; 2; 3; 4; 5; 6…
(bn): 2; 4; 6; 8; 10; 12; …
Определение 2. Последовательность (an) называется возрастающей (убывающей), если каждый её член, начиная со второго, больше (меньше ) предыдущего, т.е. an+1›an ( an+1‹an ).
Замечание. Если выполняется одно из неравенств an+1›an, (an+1≤an), то последовательность называется невозрастающей (неубывающей).
Определение 3. Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.
Определение 4. Последовательность an называется ограниченной сверху (снизу), если можно указать такое число М (число m), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство an≤М (an≥m). Числа М и m называются соответственно верхней и нижней границей.
Определение 5. Последовательность an называется ограниченной, если существуют два таких числа m и М, что для всех n выполняется неравенство
m ≤ an ≤ M.
Определение 6. Последовательность an называется постоянной, если все члены её совпадают.
Примеры:
1). (an): 1,2,3,4,5…
Jm = 1 , т.к. 1 an последовательность ограничена снизу
1 1 1 1 1
2). (an) = : 1 ; ; ; .... ... n 2 3 4 1000
Jm = 0 и М = 1 , т.к. 0 an 1 последовательность ограничена.
3). (an) : 2; 2; 2; 2 …- постоянная последовательность.
Способы задания последовательностей:
1
1). Формулой, например: a =
2). Графически: х
0 1 2
3). Рекуррентный способ: правило, с помощью которого можно вычислить n-ый член последовательности по известным предыдущим членам:
хn = 3хn + 1 , х1 = 2
Примеры:
1
1)Доказать, что an 2 монотонно убывает.
n 1
Найдем an1 = 2 2 n 1 1 n 2n
an1
Покажем, что an1 < an , т .е. 1. an
2
2 : 2 = 2 < 1, т.к. n 1n 2n последовательность (an ) a n n 2n n 1 n 2n
убывает.
n1
2) Доказать, что an = ограничена. n
n1 1 an 1 последовательность больше 1, m = 1. n n
1
an1 2 последовательность ограничена сверху и М = 2 n
1an 2 (аn ) - ограничена
Упражнения:
1) Вычислить первые три члена последовательности:
3
1) х n2n 3 5) х n n
2) х n 6) х n2n
3) х 7) х n n 2
4) х n 4 8)х n4n2 3n 1 2) Написать общий член последовательности:
1). 1; ... 5). 1; 3; 5; 7; 9...
2). 1; 7; 13; 19;... 6). 1; 7; 17; 31...
3). 2; 4; 8; 16; 32... 7).-3; 9; -27; 81; -243...
4). 2; 4; 6; 8; 10... 8). 1; ...
3) Установить вид монотонности:
1). х n 4). x n n 1 2n1
n2 1
2). x n 2 5). x n 1 n 2 n
2n n2 1
3). xn 2 6). x n n 1 n
4) Определить ограниченные последовательности:
2
1). x n3n1 5). x n
n(n1)
1 n
2). x n 2 6). xn n n 1 n(n1) 1 n
3). xn 7). xn = ( )
1 2n
4). x n 3 8). x n n n 1 2 1
Определение. Число а называется пределом числовой
последовательности хn ,
если для любого ε0 все члены
последовательности хn ,
кроме, может быть конечного числа, лежат в ε - окрестности числа а: (a-ε;
a+ε), то есть найдётся такое натуральное N, что при n>N выполнено
неравенство:
xn a < ε
Обозначение: lim x n a n
Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела - расходящейся.
Теоремы о пределах. Пусть lim(an) a , lim(bn) b, тогда: n n
1) liman bn liman limbn a b
n n n
Cледствие: liman bn liman limbn ab
n n n
2) liman bn liman limbn a b
n n n
a n limn a n a
3) Пусть b 0 , тогда lim
n b n lim b n b
n
Определение Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.
Свойства бесконечно малых последовательностей.
1) Сумма двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малой.
2) Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой.
Следствие: Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.
3) Для того, чтобы выполнялось равенство lim x n a , необходимо и достаточно, n
чтобы xn a an , где limnan 0
Определение. Последовательность lim an n |
an называется бесконечно большой, если |
2n1 1
Примеры: 1) limn n1 = nlim2n12 , так как
1
an - бесконечно малая величина и: lim 1 0 n1 nn 1 n2 n3
nn 2n4 |
|
2) 3 (делим числитель и знаменатель на n3 ) = lim
1 3
0 0 0
lim 0
= n 1 2 3 1 0 0
n n
5
2n4 5
3) nlimn3 2n1 limn 2 4
n n n
1 1
4) nlim 5n3 1 limn 5n 1n32 35000 53
n
Выводы:
1) Если степень числителя выше степени знаменателя, то предел последовательности равен .
2) Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел последовательности равен нулю.
3) Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то предел последовательности равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Упражнения: Вычислить пределы.
2n3 7n2 2 5n5 2n 1
51). limn 6n3 4n 1 59). limn13n2 n5 2 2
1 2n 4n 23nn
52). limn n3 3n2 7 60). nlim 4n4 1
14nn4 n5 n2 n
53). lim 2 4 61). lim 3 nn3n 2n n n 1
4n6 n3 2n 2 3n n2
54) limn 2n6 1 62). nlim 4 n3 n
2 n2 3n3 6n3 n2 1
55). limn 1 3n 6n3 63). nlim n2 n 2
56).lim 3 64). limn5n7 3n4 2 n 6n 4n1
57) lim 65) lim nn 5n1
n2 2n3 |
lim |
n4 1 |
58) lim 66) 2 n 4n4 3n 2 n n 3
n
1
§2. Второй замечательный предел: lim 1 е.
n n
Данный термин, использующийся в российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела.
Замечание: 1) Число е - иррациональное, е 2,7182818...
2) Логарифм по основанию е числа в называется натуральным и обозначается ln b.
Примеры:
2n
3
1) lim1 1 (разделим числитель и знаменатель на 3 ) = n n
2n
1
= limn1 n (сравниваем с формулой: показатель равен знаменателю дроби,
3
уравниваем; затем используем свойства степеней для того, чтобы степень выражения не
3h
n 2
2 4 1
2) limn1 3n limn1 3n 4n32n 16
2
n
2n1
3) n2n3 = lim
2 n3
4
n 4 1
|
4 |
lim 1 lim 1 n 2n 3 n 2n 3
Упражнения: Вычислить пределы.
n n2
2 2n3
1 1
е 6 =
2 n3
lim 4 n
e n 2 n3 e 2
3n4 3
n 3n n 2n1 n3n2
4n1
n 2n1
5 n3 4 2n n
68) lim1 72) lim 76)lim n 4n nn2 n1 2n
2n1 3n
3n 2 n2 5n3 2 n
70) limn 2n2n1 limnn 1 lim 5n3
74) n2 1 78) n
n21 2n 3 n3 79) lim n 2n1 |
n2 2 80) lim n2 1 n |
2 1 n 3n2 42n2 81) lim 3n2 1 n |
82) lim 3n2 1 n
|
83) lim n n1 |
n4
3n2 4n 4n3
ГЛАВА 3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
§1. Определение предела функции. Теоремы о пределах функций. Вычисление пределов функций. Устранение неопределённости вида .
Пусть функция у = f () определена в некоторой окрестности точки 0 , быть может, за исключением самой точки 0 .
Определение. Число А называется пределом функции f () при 0, если для любого ε>0 cуществует такое > 0 , что для всех , удовлетворяющих условиям: 0 < ,
0, имеет место неравенство f A < ε . lim f A
0
Теоремы о пределах функций.
1). limf A тогда и только тогда, когда f A, где xa
- бесконечно малая функция при a
2). limfq limflimq
xa xa xa
3). limf q lim f limq
xa xa xa f limxa f
xa
Следствия:
1). Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
2). limf q lim f limq
xa xa xa
3). Предел степени равен степени предела функции.
xa xa
Вычисление пределов функций.
1) Предел многочлена.
lim3 2 2 3 3
x1
То есть, достаточно подставить вместо единицу, и предел найден.
2) Предел отношения двух многочленов.
0 lim x2 x 1 4 2 1 7
1). lim q
xa x2 x 1 2 1
3
2)Пусть limqx0,alimf x 0 lim x x 2
xa xa x1 x 1 0
3)Пусть limqx0 и limfx0 - неопределённость вида xa xa
f x
В этом случае lim можно вычислить разложением многочленов fx и x a q x
qx на множители или заменой у = x- a
x2 1 0 x 1x 1
1 способ limx1 x 1 0 limx1 x 1 limx1x 1 2
x2 1 0
2 способ limx1 x 1 0 ( пусть y = x-1 x y1, y 0 при х 1
= lim lim lim y0 y11 y0 y11 y0 y yy 2
= lim limy 2 2
y0 y y0
4) Предел отношения многочленов f x при x смотри п(1). qx
5) Вычисления некоторых иррациональных функций:
limx0 3x2 x 4 2 0 (умножаем числитель и знаменатель на выражение,
сопряжённое знаменателю)=
2x 3x2 x 4 2 2x 3x2 x 4 2
lim 2 limx0 x3x 1 x0 3x x 4 4
2 3x2 x 4 2 2 0 0 4 2 6 = limx0 3x 1 3 0 1 1 6
Упражнения: Вычислить пределы функций.
90) xlim4 105) limx6 2x2 7x6
x 10 4x2 5x 21
91) lim 106) lim
x3 2x2 x 21 x3 2x2 3x 9
x2 x 12 x2 x 6
107) limx3 3x2 8x 3
14 9xx2
108) limx7 2x2 13x 7
x3 1
109) xlim1 x2 3x 2
x2 3x 10
110) xlim2 x2 4
x2 3x 2 x3 8
96)lim 111) limx2 x2 4 x2 5 x x1
x 1 x3 1
97) lim 112) limx1 x2 x1 x1 x x 1
3x2 4x1 1 4
2
100) limx4 114) limx11 x3 1 x2
3 2
101) limx 1 115) limx11 x3 1 x
2x 1 x 6
102) lim 2x2 7x15 116) limx 0 x5
2x1 x 4
103) lim x2 5x 117) limx4 x5
x2 x 12 4x2 13x 7
104) lim 118) lim
x3 2x2 3x 9 x7 14 9x x2
§2.Первый замечательный предел. Вычисление пределов.
Данный термин, использующийся в российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела.
limx0 x 01
Примеры:
sin 3x 0
1) limx0 0 (умножим числитель и знаменатель на 3) = x
3sin 3x sin 3x
= lim 3lim 31 3 x0 3x x0 3x
tgx 0 sinx sin x 1
2) limx0 x 0 limx0 cosx x limx0 x cosx 11 1
1 cosx 0 2 x
3) lim 0 1 cosx 2sin 2 = x0 x
2 x x 1 x
x
= limx0 x limx0 sin 1 0 0
2
2
4) limx0 sin3x 0 limx0 cos5x sin3x (умножим числитель и знаменатель на"x")=
sin 5 x x 1
5sin 5x 3x 1 5 sin 5x 1 1
|
3x |
|
lim lim x0 5x 3sin 3x cos 5x 3 x0 5x sin 3x cos 5x
0 )
11 1
2 x 2 Упражнения: Вычислить пределы. |
|
sin 5x 5x |
sin x cos x |
lim |
y
ctgx |
|
= 1
5) xlim x ( ] x 2 y x 2 y, т.к. x 2 то y
2
ctg y ctgx 2 lim tgy lim sin y 1
lim lim
x x0 y y0 y y0 y cos
119) lim 127) 135) lim x0 3x x0 cos x x tgx 1
4
2 2
120) limx0 2x 128) limx0 x 136) xlim1sin3 x
2
sin 2 5x sin2xsinx cos3x cos4x
121) limx0 x2 129) limx0 x2 137)limx0 x2
sin 3 x sin3xsinx cos 4 x cos 2 x
122) lim 3 130) lim 138) lim 2 x 0 5 x x0 x x0 x sin 3 x
123) limx0 x2 131) limx0 sinsin 53xx 139) limx2 cosxx
2
2x sin2x sin4x
124) x0 sin3 x 132) limx0 x 140)limx0 x ctgx
x2 cos2xcosx
125) limx0 sin2 2x 133) limx0 x 141) limx
2
126) limx0 3 134) limx1 cos x 142) limx0 sin x
5sin x
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 4.pdf
ГЛАВА 4.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.
§1.Определение производной функции. Правила дифференцирования функции.
Геометрический и физический смысл производной.
Вычисление производной функции.
Определение. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆ (x) к приращению аргумента ∆х при ∆х → 0
f/(х0) = lim∆х→ ∆∆х = lim∆х→ (х)х ( ).
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1. С/ = 0 12. (ctgx)/ = -
2. (КХ)/ = К
13.(logax)/ =
3. (КХ+В)/ = К
14.(lnx)/ =
4. (U+V)/ = U/+V/
5. (U-V)/ = U/-V/ 15.(lgx)/ =
6. (UV)/ =U/V+V /U 16.( ) =
(КU)/ = К(U)/ 17.(ах)/ = axlna
7. ( )/ = / / 18.(arctgx)/ =
/
8. ( ) = Х 19. (arcctgx) = -
9.(sinx)/ = cosx 20. (arcsinx)/ = .
10. (cosx)/ = -sinx 21.(arccosx)/ = -
11. (tgx)/ =
Примеры.
1.(5х3+4х-7)/ = 15х2+4
2.(х3(х8-10х))/ = (х3)/ (х8-10х)+ (х8-10х)/ х3 = 3х2(х8-10х)+(8х7-10)х3=3х10-30х3+8х10-10х3=11 х10-40 х3
х / ( х )/( х ) ( х )( х )/
3. = = = х ( х )( х )
4.(2sinx – 5 cosx)| = 2cosx + 5sinx
5.(х + =(х+х-1+х-2-х)/=1-1х-2-2х-3- х = 1 – – – х х х х √х
Геометрический смысл производной.
1.Значение производной функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой х0.
к = tg =f/(х0)
2.Уравнение касательной к кривой, проведённой в точку касания:
у – у0 = у/(х0)(х – х0).
3.Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Уравнение нормали: у – у0 = у/(х ) (х – х0).
Примеры.
1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции у = х2 + 5 в точке с абсциссой х0 = 2.
Решение:
а) Исходя из уравнения касательной: у – у0 = у/(х0)(х – х0), необходимо найти у0 и у/(х0). б) у0 =у(х0) = 22+5 = 9
в) у/= 2х у/(2) = 4
г) Подставим полученные значения в формулы касательной и нормали:
у – у0 = у/(х0)(х – х0) у – у0 = у/(х ) (х – х0) у – 9 = 4 (х – 2) у – 9 = (х – 2)
у = 4х + 1 –
уравнение касательной
|
у = х + 9,5 – уравнение нормали |
Физический смысл первой производной.
Мгновенная скорость движения точки в любой момент времени t есть производная пути S по времени t: V = S/.
Примеры. Тело движется прямолинейно и равноускоренно по закону
s = 5t2 + 8t + 10(м). Найти:
1.Скорость движения в конце 8 секунды. 2. По истечении скольких секунд скорость достигнет 128 м . сек
Решение:
1)V = S/.
V = (5t2 + 8t + 10)| = 10t + 8 ( м ) сек
V(8) = 10∙8 + 8 = 88( м ) сек
2. V = S/.
V = 10t + 8 V = 128
следовательно: 10t + 8 = 128
10t = 120 t = 12(сек)
м
Ответ: 1. 88 2. через 12 сек. сек
Упражнения: Вычислить производные следующих функций:
143) 5х4 + 6х9 -9
144) 18х2 +16х3 +19
145) (х2-7)(х3 + 9)
146) (4х4-8)(3х3 -10)
х
147) х х
148) х
149) -3х-5 + 15х-4 – 2х-3 + х-1 +2
150) 4х0,75 + 3х0,5 + 4х2 +3х
х х х
Решить следующие задачи:
154) Составить уравнение касательной к графику функции у = х3 – 2х2 + 2 в точке х0 = 1. 155) Написать уравнение касательной у = х в точке А(2;3). х
156) Составить уравнение нормали к кривой у = х3 + 4х2 – 1 в точке с абсциссой х0 = -1.
157) Какой угол (острый или тупой) образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции у = х + в точке с абсциссой х0 = 2.
х
158 Написать уравнение касательной к графику функции у = х +ln(2х+1) в точке с абсциссой х0 = е.
159) Найти угловой коэффициент к графику функции у = lnx в точке с абсциссой х0 = 1.
160) В какой точке касательная к кривой у = lnx наклонена к оси ОХ под углом .
161) Написать уравнение нормали к кривой у = ех в точке с абсциссой 0.
162) В каких точках касательные к кривой у = х3 + х – 2 параллельны прямой у = 4х – 1?
163) Закон движения точки выражается формулой S = 1 + t2 + . Найти скорость движения точки через 3 секунды.
164) Точка движется по закону S = 0,25(t4 -4t3+2t2 -12t)м. В какой момент времени точка остановится.
165) Какая из этих функций у = 2х + 5, у = ех, у = 0,5х2 имеет наибольшую скорость изменения в точке х0 = 0; 1; 2.
§2.Производная сложной функции.
Определение. Сложная функция – это функция (внешняя функция), аргументом которой является другая функция (внутренняя функция).
Теорема. Пусть у = у (U) и U = V(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция у = у (U) есть так же дифференцируемая функция, причём у/ = у/ х/. Эта теорема справедлива для любого конечного числа дифференцируемых функций, её составляющих.
Примеры. Вычислить производные сложной функции.
1.((х3 + х2 + 6)4)/ = 4(х3 + х2 + 6)3(3х2 + 2х)
х
2.( х х
3.(sin3 2x)| = 3 sin2 2x ∙cos2x∙ 2 = 6 sin2 2x ∙cos2x
4.(lnlog2 (8x+1))/ = ∙8
5.( )/ = ∙ ∙4x
Упражнения. Вычислить производные функций.
166) (х2+4х)4
167) (зх3+4х4-8)3
168) (9х3+14х4-18)6
169) ( - )4 х х
170 √х + 5х
171) √х + 4х
173) х√х + 4х
√х х
174) х
175) ln5x
176) ln3x4
177) log3√х + 5х 178) lg
179) lnln(2x+1)
( )
180)
182) ln2x + 4√
183) e-5x ∙ 7
184)
185) 0,5(e3x + e -3x ) 186) lnsinex
187) lnlog3(x3 + x2)
188) lncos
189) sin36x
190) √
191)
192) 0,3(lntg2x + lncos23x)
193) lg
194) 3
5
195)
- accos√ +
198) arcsin(3ln2x)
199 Написать уравнение касательной к графику функции:
1)у = е х +2х, параллельная прямой у = 4х – 1. 2) у = х2 – ln(2x-1), параллельной прямой у = 2х – 3.
200) Найти угол между касательной к графику функции у = ln(2x + 1) в точке с абсциссой
1.
201) Точка совершает гармоническое колебание по закону: f(t) = . Найти скорость в момент времени t1= c, t2 = c, t3 = 1c.
§3.Производная второго порядка.
Физический смысл производной второго порядка.
Определение. Производная от первой производной называется второй производной и обозначается: у//.
Производная от второй производной называется третьей производной и т.д.
Физический смысл второй производной.
Вторая производная f//(х) выражает скорость изменения первой производной, то есть
ускорение изменения функции у = f(x). а = V/ = S//
Примеры: 1.Найти вторую производную функции: у = sin4x. y/ = 4cos4x, y// = -16sin4x
2. Найти у//(0), если у = х3 + 2х2.
у/ = 3х2 +4х у// = 6х + 4 у// (0) = 0 + 4 = 4
Упражнения: Вычислить вторую производную функции:
202) а) 18х2 +16х3 +19 б) 8х4 - 6х5 +180
в) ln4x г) х х
д) sin26x е)
ж) х + х
203) Показать, что функция у = 4е х - 5х удовлетворяет уравнению:
у/// - 3у/ + 2у = 0.
204) По прямой движутся две точки. Определить, в какие моменты времени они будут иметь одинаковые ускорения, если f(x) = t4 + 2t3 + 5t +1, а g(x) = 12t2.
205) Выяснить, удовлетворяет ли функция у = х2 уравнению у// + у/ + 3у = 0.
206) Найти значение третьей производной функции у = xln2x в точке х =2.
207) у = хе2х. Найти: у//(0), у//(1).
208) В какие моменты времени точки будут иметь одинаковые ускорения:
f(x) = et, g(x) = 5t2 + t + 0,5.
209) S = 2t3 + 4t2 -7(m). Определить ускорение и скорость движения точки через 3 секунды от начала движения.
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 6.pdf
ГЛАВА 6.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§1.Определение неопределённого интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Свойства неопределённого
интеграла.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной от данной функции. Рассмотрим обратную задачу, состоящую в отыскании функции по ее производной.
Пример1. Известно, что производная от некоторой функции F(x) равна
2 x : ( F ( x))' 2 x . Нужно найти функцию F (x) . Решением этой задачи является функция x2 , так как ( x 2 )' 2 x . Следовательно, F(x) x2 . Пример2. Дана функция f (x) sin x , являющаяся производной от некоторой функции F (x) : F '(x) sin x . Нужно найти функцию F (x) .
Решением этой задачи является функция cosx, так как
(cosx)'(sinx) sinx.
Определение. Функция F (x) называется первообразной для данной функции f (x), если ее производная равна f (x) , т.е. F ' ( x ) f ( x ) .
Так, функция F(x) x2 является первообразной для функции f (x) 2x , так как (x2 )' 2x . Функция F (x) cos x является первообразной для функции f (x) sin x, так как ( cos x)' sin x . Заметим, что одна и та же функция может иметь несколько первообразных. Так, например, для функции f (x) 2x первообразной является функция F1(x)x23, так как ( x2 3)' 2 x , функция F2(x) x2 5также является первообразной для f (x) 2x , так как
(x2 5)' 2x.
Вообще всякая функция вида x2 C , где C - произвольная постоянная, является первообразной для f (x) 2x , так как (x2 C)' 2x.
Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется семейство ее первообразных функций F(x) C. Неопределенный интеграл от функции f (x) обозначается так: f (x)dx= F(x) + C.
Как следует из определения, для отыскания неопределенного интеграла от данной функции нужно найти какую-нибудь ее первообразную F (x) и затем записать все семейство первообразных F (x) C .
Геометрический смысл неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой параллельным
переносом вдоль оси OY.
Определение. Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием этой функции.
Дифференцирование и интегрирование функций – это две взаимно обратные операции.
Свойства неопределённого интеграла.
Свойство1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ( f ( x ) dx )' f ( x ) .
Следствие. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d( f (x)dx) f (x)dx .
Замечание. dF ( x ) F ( x ) C .
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
kf (x)dx k f (x)dx .
Свойство 3. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме их неопределенных интегралов, т.е. (f1(x) f2(x))dx f1(x)dx f2(x)dx.
Пример 5. Найти неопределенный интеграл: 10 sin xdx .
По свойству 2 получаем: 10sinxdx10sinxdx10cosxC.
Пример 6.Найти следующий неопределенный интеграл (2x 5 sin x)dx .
Используя свойства 2 и 3, получаем:
(2x5sinx)dx2xdx5sinxdxx2 5cosxC .
Таблица неопределённых интегралов.
n xn1 dx
1. x dx C 2. ln x C n1 x
dx 1lnkxbC 4. f 'xdx ln f x C
3.
kxb kf x
1
5. sinxdxcosxC 6. sin kx dx coskx C k
1
7. cos x dx sin xC 8. cos kx dx sin kx C k
x a x x
9.a dx C 10. e dx e
kx 1 kx dx
dx 13. 2 sin x |
ctg x C |
dx 14. 2 x 1 |
11.e dx e C 12. 2 k cos x
dx 1 x dx
x
C
tg x C
arctg x C
15.a2 x2 a arctga C 16. arcsin xC
dx x dx
17. arcsin C 18. lnsec x tg x C
a cos x
Примеры. Найти интегралы:
1. 3 x2 6x 1dx; 2. 1 5 dx ; 3. 5x 3 2 x 3 dx .
2 5
|
3 2 1 3 2 1
Решение.1. x 6x dx x dx 6xdx dx
2 5 2 5
3 2 1 3 x3 x2 1 x3 2 x
x dx6xdx dx 6 xC 3x C.
2 5 2 3 2 5 2 5
|
1 5 23 54 2
2. dx 2x x 5x dx
1
23 54 2 xx 4 x1 3 4 5 .
2x dxx dx5x dx25 C6 x 4 C
1 x x
x ex x 1 x dx x
3. e 1 x dx e x dx e dx x e ln x C .
|
1 5 dx dx
4. 1 x2 1 x2 dx 1 x2 51 x2 arcsinx 5arctg x C .
|
3 dx
5. 2sinx cos2xdx 2sinxdx3cos2 x 2cosx3tgxC.
Упражнения. Найти интегралы:
|
2 1 x 3 2 dx 270) x 13 dx
262)x 2x dx 266)
x x x
263) 1 dx 267) x 1 dx 271) x 2 312 dx
x
264) 3 1 dx 268) x 2 272) 2 x 212 dx
x
265) 269)dx 273) 1 xx2 1dx x x
1 1 1
274) 2 3 dx 277)2x 1 2 dx
x x x 1 x
|
3 7cosxdx 275)4e x 12 dx
280) 1x2 sin x
2
|
x x x ex
278)sin 2 cos 2 dx 276)e 1 cos 2 x dx
x a x
279)a 1 x 5 dx
§2.Метод подстановки в неопределённом интеграле.
Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от неё, т. е. если: f (x)dx F(x)C , то и f (u)du F(u) C
,где u x – любая дифференцируемая функция от х. Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией её.
Примеры: Вычислить интегралы способом замены переменной.
5x t dx dt 5 dt 2 5 tgt C 5 tg x C .
1.5 cos t 5
dx 5 dt
t 7 x
2. e 7 x dx dx 7 dx e t dt 1 e t dt e t C e 7 x C .
7 7
dx dt7
3. x 111 dx t x 1 t 11 dt t 12 C x 112 C dt dx12 12
t 2 x
4. cos 2 xdx dt dx cos dt cos tdt sin t C sin 2 x C
dx dt
t 3x 22
5. dt 3dx t13dt 1 t C 1 3 t2 C 3 3x 2 C
2 2
dx dt3
t x 2t t x 2
6. e dt e C e C
dt 2 xdx
t x2 3x 12
7. ln t C lnx 3x 1 C
dt 2x 3dx t
t x2 1
8. x x 1dx dt 2xdx 1 t dt 1 t C x2 1 x2 1 C
2
xdx dt2
Упражнения. Найти интегралы:
281) cos 2 2x dx 288)3x2 x26x1dx
289) e x 2 5 x 1 2 x 5 dx |
282) x3 5x2 1dx |
7 xdx 2x2dx
290) 2 297)
1 x x 1
2
xdx x 4
283) 291) 2 298) 2 dx
1 x x 1
x4dx 4x1
284) 5 292) 2 dx 299) dx x 1 2x x
1 3x 2 1x3 2x3
285) 2 e dx 293) x 6 dx 300) 2 dx x 43xx
26x5 dx
286) x x 3 dx 294)2 dx 301) 3 2 3
3x 5x4 6 x x
287) x3 sin3x4dx 295) 2 x 22dx3 302) 2xdx 2
cos xx 1
x2dx 2ln x3dx
289) 3 296) dx 303) 2
1 x xx ln x
sin x 304)3 sin2 x cosxdx 306) 7 dx cos x |
308) tgxdx |
ctgx arcsin xdx
305) 2 dx 307) 2 dx 309) sin x cos x
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 7.pdf
ГЛАВА 7.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§1. Определение определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
Вычисление определённых интегралов.
Определение: Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a , b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков
b n
стремится к нулю: a f (x)dx maxlimxk 0 k1 f (zk)xk
Свойства определённого интеграла.
1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
b b b
(f1(x)f2(x))dx f1(x)dx f2(x)dx.
a a a
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
b b
k f (x)dxk f (x)dx a a
3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
b a
f (x)dx f (x)dx
a b
4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
a
f (x)dx0
a
5.Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
b c b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a a c
Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае если можно найти соответствующую первообразную F(x), служит формула Ньютона-Лейбница:
bb
f (x)dx F (x) F (b) F (a)
aa
т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Примеры: Вычислить определенные интегралы.
0 0
1. (3x2 1)dx (x3 x) 0 (11) 2
1 1
3dx 2
2 . 3 ln x 3(ln 2 ln 1) 3 ln 2
3 . 2 2 tgt 2 (tg tg 0 ) 2 cos t 0 4
Упражнения. Вычислить интегралы.
2 2 1 4
311.1 (x x4 )dx. 312 .1 xdx .
313. 2 2. 314 . a x
2
315. 2cos tdt 316.
2
8
x cos x 1 318.(4x 1 2)dx.
317 . dx. 1 33 x
2
§2. Вычисление площадей плоских фигур.
1.Пусть f(x)>0, x = a, x = b, y =0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями,
находится по формуле: S f ( x ) dx
2.Пусть f(x) <0, x=a, x=b, y=0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями,
S f ( x ) dx .
находится по формуле:
3.Если функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то формула каждый раз составляется индивидуально с учетом формул (1) и (2).
4. Пусть f(x) >g(x) на отрезке [a; b], тогда площадь фигуры, ограниченной функциями f(x),
b
g(x), x = a, x=b определяется по формуле: S(f(x)g(x))dx
a
Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y x2 2x 4 , x=0,
x=2, y=0 Решение:
Фигура, площадь которой нужно вычислить, является криволинейной трапецией, ограниченной сверху кривой, снизу осью Ох, слева осью Оу, справа прямой х=2.
2
2
S (x2 2x 4)dx ( x3 x2 4x) 6 (кв.ед.)
0
0
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
5 y ctgx , x , x , y 0.
6 2
Получилась криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью Ох, снизу котангенсоидой
5
y = ctgx, справа прямой x . Для решения задачи применяем вторую формулу, так 6
как криволинейная трапеция находится ниже оси Ох.
5
6sinx t1 cosxdx
S ctgdx sinx cosxdxdt lnt|1 ln 2 ln1ln20 ln2.
2 2
Пример 3. Вычислить площадь 3 y cos x, x , x , y 0. |
фигуры, |
ограниченной |
линиями: |
6 2
На чертеже видно, что фигура, ограниченная заданными линиями, состоит из двух криволинейных трапеций, одна из которых находится над, а другая под осью абсцисс.
3
2
2 2 3
Scosxdxcosxdxsinx sinx (sin2sin6)(sin2sin2) 3,5
6 2 6 2
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Для построения парабол выделим в правых частях их уравнений полные квадраты: y x 2 6 x 10 ( x 3)2 1; y 2 4 x x 2 ( x 2)2 6.
Найдём точки пересечения парабол: Левые части уравнений равны, значит равны и правые:
y x 2 6 x 10 ,
2
y 2 4 x x ,
x2 6x1024xx2
2x2 10x80 x2 5x40
По теореме Виета, определяем: x1 1; x2 4.
Для решения задачи воспользуемся четвёртой формулой:
4 4
S ((2 4x x2) (x2 6x 10))dx (2 4x x2 x2 6x 10)dx
1 1
4
4
(2x2 10x 8)dx (x3 5x2 8x)|1 64 516 8 4
1
( 5 8) 42 80 32 5 8 9(ед2)
Упражнения. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
320. yx2,x8,x0,y0. 330. y 3 2xx2, y 0.
321`. y 3x4 4x3, y 0. 331 yxx2,x1,x4,y0.
1
322 y ,x1,xa,a0, y0. 332. yex,x1,x0,y0.
x x
323 ytgx,x ,y0,x0. 333. y 4xx2, y 0.
4
329 y 3 2x, y x2. 334. y3x2 2x, y0. 325. yx3 x2, y 0. 335. yx2 1,yx3.
326 yx2 8x6,yx. 338. y 2xx2, yx.
§3.Применение определённого интеграла при решении физических задач.
1. Задача о вычислении пути.
Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью V0 =
V(t).Требуется найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t = a до t = b.Если скорость постоянна, то S = V0(b-a). Если скорость непостоянна поступают следующим образом: промежуток времени [ а; в ] разбивают точками t0 = a, t1,…, t n-1, tn = b
ba
на n отрезков одинаковой длины, которая определяется формулой: ti= t i-t i-1= , где i n
= 1, 2, … , n.Выбрав произвольную точку с на каждом отрезке [ t i-1, t i ] , составим сумму:
n
V(Ci) ti.Это приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки разбиения, S = lim i 1 n
V(Ci) ti . А этот предел есть определенный интеграл от функции V(t) на отрезке [a; n 1
b
b] , то есть: S = V(t)dt .
a
Пример 1. Тело движется прямолинейно со скоростью V (t) = (3t2 + 4t + 1) м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды.
3 3
S = ( 3t2 + 4t + 1 ) dt = ( t3 + 2t2 + t ) | = 48 м.
0 2
Пример 2. Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (t + 6t 2) м/с. Найти путь, пройденный телом за третью секунду.
33
S = ( t + 6t2 ) dt = ( t2+ 2t3 ) | = 40,5 м.
22
Пример 3. Определить максимальную высоту подъема камня, брошенного вертикально вверх со скоростью (18t+3t2 ) м/с.
1.Определим время движения тела от начала движения до остановки:
18t – 3t2 = 0 6t – t2 = 0 t ( 6 – t ) = 0 t1 = 0 t 2= 6
2.Найдем высоту подъема:
6 6 6
H = (18t – 3t2) dt = 9t | - t3 | = 9(36–0) - (216 –0) =324 –216 = 108 (м).
0 0 0
Ответ: 108 метров.
Упражнения. Решить задачи.
339) Скорость движения точки изменяется по закону V= (3t2 + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.
340) Скорость движения точки V = (9t2 - 8t ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за четвёртую секунду.
341) Скорость движения точки V = (12t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.
342) Скорость движения точки V = (6t2 + 4 ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.
343) Скорость движения точки V = (18t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.
344) Скорость движения точки V=(24t – 6t2) м/с. Найдите:
1) путь, пройденный точкой за 3 секунды от начала движения;
2) путь, пройденный точкой за третью секунду;
3) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.
345) Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = (6t2 + 2t ) м/с, второе – со скоростью V = (4t + 5 ) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?
346) Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = 3t2 м/с, второе – со скоростью V = (6t2 +10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?
347) Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2 + 4t) м/с, второе – со скоростью v = (6t + 12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?
348) Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2 - 6t) м/c, второе – со скоростью V= (10t + 20)м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?
349) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью V = (39,2 – 9,8 t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
350) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью V = (29,4 – 9,8 t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
351) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t2 + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за первые 5 секунд.
352) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t3 + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от t = 1с до t = 3c.
353) Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается формулой V(t) = (12t – 3t2) м/с.
Найдите путь, пройденный телом от начала его движения до остановки.
354) Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной и точки в одном направлении соответственно со скоростями V1(t) =(6t2 + 4t) м/с и V2(t) = 4t м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?
355) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) =(4t+a)м/с. Найдите ускорение а, если известно, что путь, пройденный телом за 2 с от начала движения, равен 48 м.
356) Тело движется по прямой со скоростью V(t) = (6t + 4)м/с. Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду.
357) Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t = 0 c до t=5 c, если точка двигалась прямолинейно со скоростью V(t) = (9,8t – 0,003t2) м/с.
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 9.pdf
ГЛАВА 9.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.
§1. Вычисление определителей второго и третьего порядка.
а1х bу с1 а1b1
Пусть дана система: а2х b2у с2 а b2 матрица 2 порядка.
Определение: Число а1b2 а2b1 называется определителем 2 порядка и обозначается а1b1
а1b2 b1а 2 , где а1; а2 ;b1;b2 - элементы матрицы, а 1 ; b 2 -
а 2b2 главная диагональ, а 2 ; b1 - побочная диагональ.
Определение. Чтобы вычислить определитель 2 порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали.
Определение. Определителем третьего порядка, составленным из чисел а1;b1;с1;а2;b2;с2;а3;b3с3 называется число, определяемое равенством:
а1 b1 с1
а2 с2 а2 b2
а2 b2 с2 а
а3 с3 а3 b3
а3 b3 с3
Существуют ещё ряд правил для вычисления определителей третьего порядка, например вот это: каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трёх его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определёнными знаками: со знаком плюс – три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали (рис 1); со знаком минус – три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали (рис 2).
2 4 1 4 2
3(-5+16)- 2(1+32)+2(2+20)=33-66+44=11
Упражнения. Вычислить определители матриц:
2 3 −1 −1 0 5 2 3 1
396) 4 5 −2 399) 0 1 3 402) −1 2 4
−1 0 7 2 −2 4 5 1 1
2 7 13 3 −2 −5 2 −2 0
397) −1 0 5 400) 2 −3 1 403) 2 3 1
2 5 4 2 −3 3
398) 1 3 2 401) 6 9 −2
2 10 9 10 3 −3
§2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы(причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704– 1752), придумавшего метод.
а1х b1у с1z d1
а2х b2 у с2z d2
а3х b3у с3z d3
а1 b1 с1d1 b с1
а а2 b2 с2, х d2 b2 с2 а3 b3 с3d3 b3 с3
а1 d1 с1а1 b1 d1
у а2 d2 с2, z а2 b2 d2 а3 d3 с3а3 b3 d3
х у z
у z = - формулы Крамера
Примеры: Решить систему методом Крамера:
7х 3у 5z 32
1. 5х 2 у z 11
2х у 3z 14
7 3 532 3 5
5 2 1 43, х 11 2 1 32
2 1 314 1 3
7 32 57 3 32
у 5 11 143, z 5 2 11
2 14 32 1 14
х 86 у 43 х 2 у 1 z 43 43 |
z
|
|
3 |
Ответ: (2; -1; 3)
2.
Ответ: (-152; 270; -254)
Упражнения. Решить системы методом Крамера:
404) 2х3у4z 20 405) 4х3у 2z 16
3х2у5z 6 2х3у z 17
5х 3у 4z 11 5х 8у z 7
406) 2х у 2z 6 407) х 2у 3z 1
3х 2у z 2 2х 3у2z 9
х 2у z 4 3х2уz 5
3х 5у 3z 1 2х3уz 1
408) 411) 2х 7у z 8 2х у3z 11
4х 3у 2z 9 3х у z 4
х2у3z 6
2х3у4z 16
410)
3х2у5z 12
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ ГЛАВА5.pdf
ГЛАВА5.
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ.
§1. Монотонность функции.
Определение. Функция (x) называется возрастающей, если для любого большего значения аргумента х из D(у) соответствует большее значение у.
Определение. Функция (х) называется убывающей, если для любого большего значения аргумента х из D(у) соответствует меньшее значение функции.
Теорема (необходимое условие возрастания функции).
Если дифференцируемая функция (х), х є (a;b) возрастает на интервале (a;b), то ’(х0)>0 для ∀х0є (a;b).
Теорема (необходимое условие убывания функции).
Если дифференцируемая функция (х), х є (a;b) убывает на интервале (a;b), то ’(х0) <0 для ∀х0 є (a;b).
Теорема (достаточное условие возрастания функции).
Если функция у = (х), х є (a;b) имеет положительную производную в каждой точке
интервала (a;b), то эта функция возрастает на интервале (a;b).
Теорема (достаточное условие убывания функции).
Если функция (х), хє(a;b) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (a;b), то эта функция убывает на интервале (a;b).
АЛГОРИТМ:
1.Находим область определения функции.
2.Находим производную функции (х): ’(х).
3. Находим корни производной и точки, в которых производная не существует.
4. Наносим на область определения функции полученные точки.
5. Определяем знаки производной в каждом полученном промежутке.
6. Если ’(х) >0 на (a;b), то (х) возрастает на (a;b).
Если ’(х) <0 на (a;b), то (х) убывает на (a;b).
Пример1: у = lnх2 - найти промежутки возрастания и убывания функции.
2 2x 2
y (ln x )
x2 x
Корней производная не имеет: х = 0 – точка, в которой производная не существует.
- + х
0
Ответ: (х) убывает при х є (-∞;0] , (х) возрастает при х є [0;+∞).
Пример 2: y = х2 – 2х + 6 D(у)=R
1)у/ = 2х – 2 2) 2х – 2 = 0
х = 1
- 1 + х
Ответ: (х) убывает при х є (-∞;1] , (х) возрастает при х є 1;+∞).
Упражнения. Исследовать функцию на монотонность:
210) y = х3+х2-8х+1
211) y = х4-12х2+24х-3
212) y = х4-8х3+22х2-24х+12
213) y = 2х4 – х
214) у = 0,25х4 + 8
215) у = х3 -4х
216) у = 2х3 – 3х2 – 12х + 8
217) у = 2х3 + 9х2 + 12х -2
218) у = (х+2)2(х-3)3
219) у =
х2 1
220) у = 1 х2
§2.Экстремумы функции.
Определение. Точка х0 из области определения функции (х) называется точкой минимума этой функции, если найдётся такая б - окрестность
(х0 - б; х0 + б) точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство (х)>(х0 ).
Определение. Точка х0 из области определения функции (х) называется точкой
максимума, если найдётся такая б - окрестность (х0 - б; х0 + б) точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство (х)<(х0).
Определение. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема Ферма (необходимое условие существования экстремума).
Если точка х0 является точкой экстремума функции у=(х) и в этой точке существует производная ’(х0), то ’(х0) = 0.
Определение. Точки, в которых производная обращается в ноль или не существует, называются критическими точками (1 рода).
Теорема (достаточное условие существования экстремума).
Пусть функция у=(х) непрерывна в х0 и в некоторой её окрестности имеет производную, кроме, может быть самой точки х0, тогда:
1) если производная ’(х) при переходе через точку х0, меняет знак с плюса на минус, то х0, является точкой максимума.
2) если производная ’(х) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то точка х0 является точкой минимума.
3) если производная ’(х) при переходе через точку х0 не меняет знак, то в точке х0 функция не имеет экстремума.
АЛГОРИТМ.
1.Находим область определения функции.
2. Находим производную функции у’= ’(х).
3. Находим корни производной и точки, в которых производная не существует.
4.Разбиваем полученными точками область определения функции на промежутки.
5. Определяем знак ’(х) в каждом из полученных промежутков.
6. Выделяем те точки, в которых функция определена и по разные их стороны производная имеет разные знаки. Это и есть экстремальные точки:
а) Если при переходе через точку х0 ’(х) меняет знак с «+» на «-», то х0 - точка max
б) Если при переходе через точку х0 ’(х) меняет знак с «-» на «+»,
то х0 - точка min.
7. Находим значения функции в точках экстремумов.
х3 2
Пример: у = - 2х + 3х – 4. Исследовать функцию на экстремум. 3 D(у)=R у’=х2-4х+3 х2-4х+3=0
х1=1, х2=3
+ max – min + х
1 3
уmax(1)=-2 2/3 уmin(3)=-4
х 5
Пример: у = . Исследовать функцию на экстремум.
х 3
у/ = = D(у) = R \ {3} (х )
Корней производная не имеет, но существуют точки, в которых производная не существует:
(х-3)2=0 х1,2=3
- 3 +- х
При переходе через точку, производная не изменяет свой знак, поэтому в точке х = 3 экстремумов нет.
Ответ: экстремумов не существует.
Упражнения. Исследовать функции на экстремум:
221) у = х2 + 4х
222)у = -х2 + 6х
223)у = х3 – 3х
224)у = - х3 + 3х
225) у = х3+х2-8х+1
226) у = х4-12х2+24х-3
227) у = х4-8х3+22х2-24х+12
228)у =
х2 1
229)у = х2 1
230)у = 2х4 - 1
231)у = 2х4 – х
232)у = 0,25х4 + 8
233)у = х3 – 4,5х2 + 6х – 2
х3 х2
234)у = + - 6х + 1
3 2 х3 2
235)у = - + 3,5х – 6х + 2
3
236)у = х4 -8х3 + 22 х2 – 24х + 12
237)у = (х2 – 8) ех
х 1
238)у = 8 х2
§3.Наибольшее и наименьшее значения функции.
Если функция у = (х) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке всегда найдутся точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются в критических точках или на концах данного отрезка.
Наибольшее значение достигается либо во внутренней точке максимума, либо на концах отрезка; наименьшее – либо во внутренней точке минимума, либо на концах отрезка.
АЛГОРИТМ.
1.Находим производную ’(х).
2.Находим критические точки (1 рода).
3.Проверяем, какие из значений х принадлежат данной нам области определения.
4.Находим экстремальные значения и значения функции на концах отрезка: (a) и (b).
5.Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Пример 1: у=-3х²+4х-8, х є [0;1]. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения. у’=-6х+4
–6х+4=0 -6х=4
х=2/3 є [0;1] у = - 6 у (0) = -у(1) = -3 + 4 – 8 = -7 Ответ: унаиб = - 6; унаим = -8
Пример 2. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения:
у = 25 − х2, х принадлежит [−4; 4]
2х х
у/ = =
2 2
2 25 х , 25 х ,
Критические точки (1 рода): -х=0 25-х²=0 х1=0 є [-4;4]
х3=-5 є [-4;4]
х2=5 є [-4;4]
(0) = 5 – наибольшее, (- 4) = 3 - наименьшее , (4) = 3
Ответ: унаиб.(0)=5; унаим.(-4)=3, унаим.(4)=3.
Упражнения. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение:
239)у = х2 -6х + 3, [0;6]
240)у = 0,5х2 - 1х3, [1;3]
3
241)у = 6х2 – х3, [-1;6]
242)у = х3 –3х2 – 9х + 35, [-4;4]
243)у = - х3 +9х2 – 24х + 10, [0;3]
244)у = х3 +3х2 – 9х - 7, [-4;3]
245)у = 6х2 – 3х4 - 1, [-2;2]
х
246)у = 4 х2, х – любое число
х 1
247)у = , [0;4] 1 х
248)у = хln2х, [ ;е] е
§4.Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Определение. График функции у=(х), х є (a;b) называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если график расположен ниже любой касательной, проведённой к графику функции в точках (a;b).
Определение. График функции у=(х), х є (a;b) называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках (a;b).
Теорема (достаточное условие выпуклости функции).
Если на интервале (a;b) дважды дифференцируемая функция у =(х), х є (a;b) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).
Определение. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (2 рода).
Определение. Точкой перегиба называется такая точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба).
Если функция у =(х), х є (a;b) дважды дифференцируема на интервале (a;b) и при переходе через х0 є (a;b) вторая производная ”(х) меняет знак то точка кривой с
абсциссой х =х0, является точкой перегиба.
АЛГОРИТМ.
1. Находим область определения функции.
2. Находим ’(х).
3. Находим ”(х).
4. Находим критические точки 2 рода.
5. Разбиваем область определения функции полученными точками
на промежутки и определяем знак ”(х) в каждом из них:
6. а) если ”(х) < 0 на (a;b), то (х) выпукла вниз на (a;b)
б) если ”(х) > 0 на (a;b), то (х) выпукла вверх на (a;b)
7. Из критических точек выделяем те, в которых (х) определена и
”(х) имеет разные знаки по разным сторонам каждой из них.
8. Находим значения функции в выделенных точках.
Пример: Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба:
у=х²+4х+3 D(у) = R у’=2х+4 у”=2>0 => кривая выпукла вниз на D(у)
Ответ: кривая выпукла вниз при х є (-∞;+∞).
Пример: Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба:
у=х4-10х³+36х²-31х-37 у’=4х³-30х²+72х-31 у”=12х²-60х+72
Критические точки 2 рода
12х²-60х+72=0
х²-5х+6=0
х1=2 х2=3 знак у//
2 ∩ 3 у(2) = -19 у(3) = 5
Ответ: кривая выпукла вверх при х є (2;3), кривая выпукла вниз при х є (-∞;2)(3;+∞) . А(2; -19) и В(3; 5) – точки перегиба.
Упражнения. Исследовать функции на выпуклость и точки перегиба:
249)у = х²+5х+6
250)у = -х²+2х
251)у = х³-6х²+2х-6
252)у = х³-х
253)у = х³-3х²+8х-4
254)у = х4-10х³+36х²-100
255)у = х4-8х³+10х²-48х+31
256)у = х4-2х³+ 6х – 4
257)у = хех
258)у =
259)у = ln(x2 + 4)
х 5
260)у = х 7
261)у = хе –х
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Глава8.pdf
Глава8.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ДИСКРЕТНОГО АНАЛИЗА.
§1. Элементы комбинаторики.
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов заданного множества. Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого множества различные элементы и объединяем их в группы по нашим потребностям, поэтому вместо слова "комбинации", часто используют слово "выборки" элементов.
Определение. Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами. Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их число определяется по
формуле
Pn = n·(n−1)·(n−2)...3·2·1 =n!
Определение. Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n по m обозначается Anm и определяется по формуле
Anm = n·(n − 1)·(n − 2)·...·(n − m + 1) = n!/(n − m)!
Определение. Неупорядоченные выборки называются сочетаниями из n элементов
по m и обозначаются С
С = !
Правило умножения (правило «и»). Согласно ему, если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару A и B можно выбрать n·m способами.
Правило сложения (правило «или»). Оно утверждает, что, если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B Примеры решения задач.
1.При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
Решение. Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось 6·5 = 30 карточек.
2.При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?
Решение. В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле: С62 = 6!/2!/(6 - 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.
Решение. Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.
4. В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек - 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом
капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)
Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки)
5.Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
Решение. В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования - сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2. С52 = 5!/2!/(5 - 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.
6.В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
Решение. Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков ("готовите стулья") и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов ("рассаживаете гостей").
Число перестановок из 5 определяем по формуле
P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.
7.В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одного блокнота и одной ручки?
Решение. Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми - 7-ю способами. Применяем правило умножения 4·7 = 28.
8.В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?
Решение. Выбираем одну ручку и два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из четырёх можем выбрать четырьмя способами, два блокнота из семи несколькими способами.
Чтобы определить сколько способов выбора двух блокнотов из семи, воспользуемся формулой для числа сочетаний, так как для нас несущественно в каком порядке это было сделано:
С72 =7!/2!/(7-2)!=7!/2!/5!=6·7/2=21.
Теперь применяем правило умножения 4·21 = 84.
358)Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
359) На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
360) Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
361) Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана? 362) Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
363) Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
364) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет
одинаковых цифр?
365)
366) Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы
числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
367) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8, если каждую
цифру можно использовать только один раз?
368) Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
§2. Элементы теории вероятностей.
Определение. Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. (Например: при бросании кубика выпадет 4).
Определение. Событие называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие обязательно произойдёт. (Например: при бросании кубика выпадет какое – то из чисел 1; 2; 3……6).
Определение. Событие называется невозможным по отношению к некоторому Существуют такие события, как несовместные (появление одного их них исключает другого); единственно возможные (обязательно произойдёт одно из них); равновозможные (у каждого из них одинаковые шансы появиться).
Определение. Суммой (объединением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий обозначают А + В (или А ∪ В).
Определение. Произведением (пересечением) событий А и В называют событие, которое состоит в том, что происходят оба эти события. Произведение обозначают АВ (или А ∩
В).
Определение. Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.
Р(А) = ,
Число всех возможностей 6.
Числа 2; 4; 6 – благоприятный исход, n = 3
Р(А) = , = , = 0,5
Числа 3; 6 – благоприятный исход, n = 2
Р(А) = m, = 1,
n 3
Определение. Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А или события В.
Определение. Суммой двух совместных событий называется событие С, состоящее в появлении события А или события В или их объединения.
Определение. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Теорема 1. Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме Теорема 2. Вероятность двух совместных событий вычисляется по формуле: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А∩ В).
Теорема 3. Сумма двух противоположных событий, составляющая полную группу
событий, равна 1.
Пример. Какова вероятность того, что наудачу взятая кость домино, содержит число очков не менее 3 и не более 5.
Решение:
А – сумма очков равна 3
В – сумма очков равна 4 События несовместны. С – сумма очков равна 5
m1 = 2 m2 = 3; m3 = 3
Используем теорему 1: Р(А) = + + = =
Пример. Экзаменационные билеты имеют номера от 1 до 30. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого билета кратен 5 или 6?
В – номер билета кратен 6; m2 = 5
А∩ В − номер кратен и 5 и 6; m1 = 1
Р(А + В) = + - = =
Теорема 4. Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению этих событий: Р(АВ) = Р(А) Р(В).
Пример. В коробке лежат 5 красных шаров, 4 зелёных и 2 белых шара. Последовательно вынимают три шара. Какова вероятность того, что шары вынуты в следующей последовательности: белый, красный и зелёный.
А – взяли белый шар
В – взяли красный шар
С – взяли зелёный шар
Р(АВС) = ∙ ∙ = = .
Упражнения. Решить задачи.
369) В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.
371)В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
372)В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.
373)В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
374)В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
375)Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится одна сумка со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
376)Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
377)В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Эстонии, 6 спортсменов из Латвии, 3 спортсмена из Литвы и 7 — из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Литвы.
378)В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Великобритании, 6
спортсменов из Франции, 5 спортсменов из Германии и 5 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Франции.
379)В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Чехии, 6 спортсменов из Словакии, 6 спортсменов из Австрии и 9 — из Швейцарии. Порядок, в котором 380)Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов — первые два дня по 32 доклада, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
381)Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 16 участников из России, в том числе Тарас Куницын. Найдите вероятность того, что в первом туре Тарас Куницын будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
382)В кармане у Саши было четыре конфеты — «Маска», «Красная шапочка», «Василёк» и «Белочка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».
383-1) Бросают две игральных кости. а) А – на первой кости выпало 6, В – на второй кости выпало чётное число; б) А – на первой кости выпало р- нечётное число р, В – на второй кости выпало число, кратное 3. Проверить, являются ли А и В независимыми событиями.
383-2) Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?
383-3) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
383-4) Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко.
383-5) Катя и Ира играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Ира проиграла.
383-6) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.
384)Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым орудием равна 0,8, а вторым орудием – 0,7. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одним орудием, после 385)Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика 2) оба датчика не сработают 3) сработает хотя бы один из датчиков; 4) не сработает хотя бы один из датчиков.
386) В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй – 5 белых и 9 чёрных. Не глядя, из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутые шара белые 2) оба вынутых шара чёрные 3) хотя бы один шар белый 4) хотя один шар чёрный.
387) а) Два стрелка стреляют по цели по одному разу. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,5, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что: оба стрелка попадут в цель; ни один из стрелков не попал в цель.
б) В ящике лежат 1 белый и 3 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1. 2 чёрных шара 2. белый и чёрный шары?
в) Из четырёх шаров, занумерованных числами 1, 2, 3 и 4, наугад выбирают 2 шара.
Какова вероятность того, что вынутые шары имеют номера 2 и 3?
§3.Случайные величины. Размах, мода и медиана.
Задача. 1)Распределение случайной величины х – числа прочитанных за каникулы книг десятью девочками по частотам М 2) распределение по частотам случайной величины у числа прочитанных за каникулы книг девятью мальчиками того же класса.
Х 3 4 5 8 12
М 3 2 3 1 1
∑ М = 9
У 3 4 5 6 7
М 2 4 1 1 1
∑ М = 10
Нужно сравнить интерес к чтению девочек и мальчиков этого класса. Когда число элементов небольшое, все значения, которые они принимают, можно написать в виде упорядоченного ряда чисел – последовательности значений случайной величины в
порядке их возрастания. Например: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 12
3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7.
Определение. Размах (R) - разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины.
Так как для первой совокупности R = 12 – 3 = 9. Для второй совокупности R = 7 – 3 = 4.
Разброс прочитанных книг у девочек больше, чем у мальчиков.
Определение. Мода (М0) - наиболее часто встречающиеся значение случайной величины. Так: М01 = 3, М02 = 5.
Определение. Медиана (Ме) – это так называемое серединное значение. В первом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений: Ме = = 4,5.
Для второго ряда Ме = 4 (его медиана равна среднему значению). О совокупности девочек можно сказать, что одна половина из них прочитала меньше 4,5 книг, а другая – больше 4,5 книг. Мальчики: одна половина мальчиков прочитала не больше 4 книг, а другая – не меньше 4,5 книг.
Определение. Средним значением случайной величины Х (Х) называют среднее арифметическое значение всех его значений.
Упражнения. Решить задачи.
Х 2 3 4 5
М 3 4 1 3
Х -1 2 3 5 6
М 2 3 4 4 1
389) Найти размах, моду и медиану выборки:
1).1;.3; -2; 4; -2; 0; 2; 3; 1; -2; 4 2).0,2; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6
390) Найти среднее значение величины:
Х -1 2 3 5
3 4 5 2
М
0 1 3 5 6
Х
4 5 6 3 2
М
391) При определении различными способами плотности материала, из которого сделана
г деталь, были получены следующие данные: 6,98; 7,04; 7,01; 6,97; 7,00 . см
392) Педагогический стаж восьми учителей школы, работающих в старших классах одной школы, следующий 5; 8; 15; 12; 17; 14; 18; 9 лет. Найти среднее и медиану этой выработки.
393) Девочки девятого класса на уроке физкультуры при прыжках взяли высоты, величины которых учитель записал в журнал: 90; 125; 130; 135; 135; 135; 140; 140; 140. Какая высота наилучшим способом характеризует спортивную подготовку девушек
класса.
стаж 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25
число 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2
395) Для каждой из трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, найти среднее, моду и медиану и размах:
Х 1 2 4 6
М 2 1 3 2
У -2 0 1 2 3
М 2 3 2 2 1
Z -5 -4 -2 3
М 1 3 3 1
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данное учебное пособие может быть применено в качестве основного учебного пособия для проведения занятий по математике для студентов второго курса социально-экономических специальностей. Пособие может быть применено для самостоятельной работы студентов.
Пособие содержит теоретический и практический материал, соответствующий стандартам по указанным специальностям.
6 609 569 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Бурмистрова Марина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.