Инфоурок Математика Другие методич. материалыУчебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей.

Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей.

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Бурмистрова МВ рекомендации.doc

 

Методические рекомендации.

 

1. Электронное учебное пособие «Математика» создано согласно определению:

 

Электронное учебное пособие - учебное электронное издание, частично или полностью заменяющее или дополняющее электронный учебник.

2. Данное электронное учебное пособие является частью учебно-методического комплекса «Математика» для специальностей 030912 и 034702 СПО, которое составлено в соответствии с Федеральными государственными  образовательными стандартами СПО по специальностям 030912 «Право и организация социального обеспечения» (приказ № 770 Министерства образования и науки РФ от 13.07.2010г) и 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение» (приказ №75 Министерства образования и науки РФ от 25.01.2010г).  Направлено на приобретение практических навыков при решении прикладных задач. Материалы учебного пособия могут быть использованы для дистанционной формы обучения студентов.

3.В учебное пособие дополнительно включены:  презентации (в демонстрационном варианте – галерея учёных, стоящих у истоков возникновения  производной), интерактивный кроссворд; образовательные мультимедиа системы с аудиокомментариями;  в учебный материал включены аудио и видеосюжеты (в демонстрационной версии видеосюжеты отсутствуют – большой объём), анимация.

4. Организованы контекстные подсказки, ссылки; программная оболочка APMS, в которой выполнена работа,  базируется на отлаженной системе моментальной навигации (гипертекст).

5.Возможен оперативный самоконтроль знаний студентов при выполнении ими упражнений и тестов (ОМС).

6. Этот “электронный лектор” призван не только сохранить все достоинства учебного пособия, но и в полной мере использовать современные информационные технологии, мультимедийные возможности, предоставляемые компьютером.

7. Чтобы организовать просмотр образовательных мультимедиа систем, необходимо загрузить с портала и установит на своём локальном компьютере специальное программное обеспечение – проигрыватель ресурсов: http://fcior.edu.ru/player.page.

 8.Для работы с данным учебным пособием необходимо запустить файл autorun.exe.

 

Интернет – ресурсы:

Образовательные мультимедиа системы (ОМС) – интерактивный продукт  Федерального центра информационно – образовательных ресурсов: http://fcior.edu.ru/ .



 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Дефектоскопист

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 6.docx

ГЛАВА 6.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

§1. Определение определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Вычисление определённых интегралов.

Определение: Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a , b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Свойства определённого интеграла.

1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

                        

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:   

4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5.Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае если можно найти соответствующую первообразную F(x), служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры: Вычислить определенные интегралы.

Упражнения. Вычислить интегралы.

                                               

                                             

                               

                             

§2. Вычисление площадей плоских фигур.

 1.Пусть f(x)>0, x = a, x = b, y =0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, находится по формуле:   

2.Пусть f(x) <0, x=a, x=b, y=0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, находится по формуле:

3.Если функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то формула каждый раз составляется индивидуально с учетом формул (1) и (2).

4. Пусть f(x) >g(x) на отрезке [a; b], тогда площадь фигуры, ограниченной функциями f(x), g(x), x = ax=b определяется по формуле:

Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x=0,  x=2,  y=0

Решение:

картинки\1.jpg     

                                                      

Фигура, площадь которой нужно вычислить, является криволинейной трапецией, ограниченной сверху кривой, снизу осью Ох, слева осью Оу, справа прямой х=2.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: картинки\2.JPG

Получилась криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью Ох, снизу котангенсоидой  y = ctgx, справа прямой . Для решения задачи применяем вторую формулу, так как криволинейная трапеция находится ниже оси Ох.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

На чертеже видно, что фигура, ограниченная заданными линиями, состоит из двух криволинейных трапеций, одна из которых находится над, а другая под осью абсцисс.                               

 3,5

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:                   

Для построения парабол выделим в правых частях их уравнений полные квадраты: 

Найдём точки пересечения парабол:  Левые части уравнений равны,  значит равны и правые:

По теореме Виета, определяем: 

Для решения задачи воспользуемся четвёртой формулой:    

    УпражненияВычислить площади фигур, ограниченных линиями:

                                                      

 

 

 

 

§3.Применение определённого интеграла при решении физических задач.

 

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью  V0 = V(t).Требуется  найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t = a  до t = b.Если скорость постоянна, то S = V(b-a). Если скорость непостоянна поступают следующим образом: промежуток времени [ а; в ] разбивают точками t0 = a, t1,…, t n-1, tn = b  на  n  отрезков одинаковой длины, которая определяется формулой: ti= t i-t i-1=, где  i = 1, 2, … , n.Выбрав произвольную точку с на каждом отрезке  [ t i-1, t i ] , составим сумму:V(Ci)ti.Это приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки разбиения, S =V(Ci)ti . А этот предел есть определенный интеграл от функции  V(t)  на отрезке  [;] , то есть: S = V(t)dt  .

 Пример 1.  Тело движется прямолинейно со скоростью V (t) = (3t2  + 4t + 1) м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды.

S =( 3t2  + 4t  + 1 ) dt = ( t3  + 2t2  + t )=  48 м.

Пример  2. Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (t + 6t 2) м/с. Найти путь, пройденный телом за  третью  секунду.

S = ( t + 6t2 ) dt = (t2+ 2t3 ) = 40,5 м.

Пример  3.  Определить максимальную высоту подъема камня, брошенного вертикально вверх со скоростью (18t+3t2 ) м/с.

1.Определим время движения тела от начала движения до остановки:                 

 18t – 3t2  = 0

 6tt2   = 0

  t ( 6 – t ) = 0

  t1 = 0        t 2= 6

2.Найдем высоту подъема:

H = (18t – 3t2) dt = 9t - t3 = 9(36–0) - (216 –0) =324 –216 = 108 (м).

Ответ: 108 метров.

Упражнения. Решить задачи.

299)  Скорость движения точки изменяется по закону V= (3t2  + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

300) Скорость движения точки  V = (9t2  - 8t ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за четвёртую секунду.

301) Скорость движения точки  V = (12t – 3t2) м/с.  Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

302) Скорость движения точки  V = (6t2  + 4 ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

303) Скорость движения точки  V = (18t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

304) Скорость движения точки  V=(24t – 6t2) м/с. Найдите: 1) путь, пройденный точкой за 3 секунды от начала движения; 2) путь, пройденный точкой за третью секунду; 3) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

305) Два  тела  начали  двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = (6t2  + 2t ) м/с,  второе – со скоростью V = (4t + 5 ) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

306) Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = 3t2   м/с,  второе – со скоростью V = (6t2 +10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

307) Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2   + 4t) м/с,  второе – со скоростью v = (6t + 12)  м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

308) Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2  - 6t) м/c, второе – со скоростью  V= (10t + 20)м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

309) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью

V = (39,2 – 9,8 t) м/с.   Найти наибольшую высоту подъема тела.

310) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью

V = (29,4 – 9,8 t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

311) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t2  + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за первые 5 секунд.

312) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t3  + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от t = 1с до t = 3c.

313) Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается формулой V(t) =

 (12t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный телом от начала его движения до остановки.                                         

314) Два  тела  начали  двигаться  по прямой в один и тот же момент из одной и точки в одном направлении соответственно со скоростями   V1(t) =(6t2 + 4t) м/с и  V2(t) = 4t м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?  

315) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) =(4t+a)м/с. Найдите  ускорение а, если известно, что путь, пройденный телом за 2 с от начала движения, равен 48 м.

316) Тело движется по прямой со скоростью V(t) = (6t + 4)м/с.  Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду.

317) Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t = 0 c  до t=5 c, если точка двигалась прямолинейно со скоростью V(t) = (9,8t – 0,003t2) м/с.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Глава 7.docx

Глава 7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

  §1.Понятие численного интегрирования. Виды численного интегрирования.

Определенный интеграл  вида          c пределами интегрирования a и b можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямы х=а и х=в, осью абсцисс  и графиком подынтегральной функции f(x). Если известна первообразная F(x) для функции f(x), то интеграл легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница. Для некоторых подынтегральных функций f(x) интеграл можно вычислить аналитически, то есть найти в таблице. Однако в общем случае функция F(x)  может быть не определена:  либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

         Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией f(x)).

«Классические» методы.

Во всех этих методах отрезок интегрирования [a; b] разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся искомые площади (рис. 1): h = и xn = x0 + nh.

Оценкой площади под кривой f(x) служит сумма площадей криволинейных трапеций S0; S1…..Sn-1. Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что подынтегральная функция f(x) заменяется

на отрезке [a; b]  интерполяционным многочленом y(x) и получается приближенное равенство: .                                           рис. 1

Метод прямоугольников.

 

            Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников, заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунках 2 и 3.

В обычном методе прямоугольников значение f(x) вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением:

S=S0 +S1 +…. + Sn-1 =, где Si = hf(xi).

Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах [xi;xn-1] получим примерное значение искомого определенного интеграла:

S = , где хi=a+ih. (1 случай).

Погрешность приближения показана на рисунке 2 закрашенной фигурой.

        рис 2                                                                            рис 3

         Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении f(x) не в начальной, а в средней точке каждого отрезка рис 3. В этом случае искомый интеграл оценивается выражением:

S = , где хi =h.

Метод трапеций.

 

Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными значениям f(x) в начале и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения  f(x)  в начальной и конечной точках отрезка (рис 4).

 рис 4.

Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле

S1 = h, где h =.

Просуммируем элементарные площади, то полная площадь определяется выражением: S = (f(a) + f(b) + 2). Погрешность показана на рисунке 4 заштрихованной фигурой.

Метод Симпсона (парабол).

Более высокую точность расчетов обеспечивает использование параболической (квадратичной) интерполяции по трем соседним точкам отрезка. Уравнение полинома второй степени, проходящего через точки (x0;y0), (x1;y1), (x2;y2) можно записать в виде

   

Проинтегрировав данное равенство с учетом того, что  получим — площадь под параболой  на отрезке [x0; x2]:

S0 =  = (y0 + 4y1 + y2) h.

Просуммировав все элементарные площади, получим:

S =  = (f(a) + 4f(a + h) + 2f(a + 3h) + 2f(a + 4h) +….+4f(b – h) + f(b),

причем  — обязательно четное число.

Условия применяемости, точность и сходимость классических методов.

А. Практически все выведенные формулы применимы для численного интегрирования достаточно регулярных функций f(x), то есть для функций, которые можно представить полиномом:

                                                

В методе прямоугольников f(x) на каждом малом сегменте заменяется прямой, описываемой первым членом в разложении: y = x0 (рис 2). В методе трапеций для f(x)  берутся два члена разложения: y = a0 + a1x  (рис 4); метод Симпсона (парабол) учитывает еще и третий член разложения: y = a0  + a1 + a2x2.

Очевидно, что величина погрешности зависит от характера функции f(x), ее поведения на концах отрезка интегрирования, следовательно, никакой численный метод не может быть рекомендован как универсальный. Применение конкретного метода зависит от вида подынтегральной функции.

         Б. Не вдаваясь в математические тонкости выведения формул погрешностей  вычисления интеграла различными методами, приведем лишь сами формулы. Итак, формулы для оценки погрешности численного интегрирования методом:

1)    прямоугольников (обычным и модифицированным)

                                                                        

2)  трапеций

                                                                       

3) Симпсона

                                                                

где

         Очевидно, формула Симпсона обладает повышенной точностью:

1.Она оказывается точной для функций, являющихся полиномами до третьей степени включительно, так как для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю;

2.Для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в формуле Симпсона можно брать меньшее число  отрезков разбиения.

Пример 1. Вычислить интеграл S =  по формуле трапеций, разделив отрезок  на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений.  Оценим ошибку метода. Для этого найдем вторую производную подынтегральной функции: f// = (2 – х2)sinx + 4xcosx.       На отрезке [0; 1] вторая производная  всюду положительна, причем ее значение ограничено сверху числом 3,3. Таким образом, используя формулу  имеем:

                           

полагая , получим

Итак, приняв на заданном участке интегрирования n = 10, мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей 0,001375, если будем вести вычисления таким образом, чтобы погрешность округления не исказила окончательный результат в пределах точности метода.    В соответствии с формулой трапеций  и учетом рассчитанной ошибки получим 

Пример 2. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона, n = 10.

Для оценки остаточного члена найдем производную четвертого порядка от  подынтегральной функции f(x) = x2sinx.            y//// = (х2 – 12)sinx – 8xcosx.

Производная четвёртой степени ограничена числом 14.                       

                                     

Приведем полученный результат в соответствии с оценкой

                           

Упражнения:

 318) Вычислить определённые интегралы:

Вариант

Подынтегральная функция

Пределы интегрирования

             a                 b

1

5

6,5

2

2

3,5

3

3

3,5

4

0

2

5

0,5

2

6

2

2,5

7

0

1

8

2

9

2

5

10

0,2

0,3

11

0

12

0

2

13

0

14

1

2

15

0

1

16

0

2

17

0

1

18

0,5

1

19

0

20

0

21

0,1

0,5

22

1

2

23

0

1

24

3

4

25

0,1

0,3

§2.Понятие численного дифференцирования.

Проектирование формулы численного дифференцирования получается в результате дифференцирования интерполяционных формул. Пусть известны значения функции в точках (x1,...,xn)  и требуется вычислить производную f(k)(x0). Построим интерполяционный многочлен Pk(x) и положим f^k(x_0)\approx L^{k}_n(x_0) .

Другой способ построения формул численного дифференцирования приводит к тем же формулам - метод неопределённых коэффициентов. Чаще всего метод используется в многомерном случае, когда построить интерполяционный многочлен достаточно сложно. В этом случае коэффициенты численного дифференцирования ci выбираются из того, чтобы формула f^{(k)}(x)\approx \sum^{n}_{i=1} {c_if(x_i)} была точна для многочленов максимально высокой степени. Пусть f(x)=\sum^{m}_{j=0} {a_jx^j} и потребуем, чтобы для такого многочлена соотношение для f(k)(x) обратилось в равенство: \sum^{m}_{j=0} {a_j(x^j)^{(k)}}\mid  _{x_0} =\sum^{n}_{i=1} {c_i (\sum^{m}_{j=0} {a_jx^j_i})} .

Чтобы равенство выполнялось для любого многочлена степени m , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при aj в правой и левой частях были равны (xj)(k)= j(j − 1)...(j  k + 1)xj  k. Получаем систему уравнений: j(j-1)...(j-k+1)x^{j-k}_0=\sum^{n}_{i=1} {c_ix^j_i, j=0,...,m} относительно ci. Если m = n − 1, то число уравнений равно числу неизвестных. Определитель системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля , то есть всегда можно построить формулу численного дифференцирования с n узлами, точную для многочленов степени n  i.

Формулы численного дифференцирования, получение интерполяционного многочлена.

Приводимые ниже формулы численного дифференцирования применяются в тех случаях, когда функция y = f(x) задана таблично ( yi= f(xi) в равносторонних узлах x_i=x_0+ih  (i=0,\pm 1,...)  ). 1) y^'_0=f^'(x_0)\approx {1 \over h}(\mathcal {4} y_0- {1 \over 2} \mathcal {4} ^2 y_0 + {1\over 3} \mathcal {4} ^3 y_0 -...+(-1)^{n-1} {1\over n} \mathcal {4} ^n y_0) (Формула применяется только для начальных строк таблицы) 2) y^'_0=f^'(x_0)\approx {1 \over h}(\mathcal {4} y_{-1} + {1 \over 2} \mathcal {4} ^2 y_{-2} + {1\over 3} \mathcal {4} ^3 y_{-3} +...+{1\over n} \mathcal {4} ^n y_{-n}) (Формула применяется только для последних строк таблицы)

В середине таблицы применяется формулаy^'_0=f^'(x_0)\approx {1 \over h}(\frac{\mathcal {4} y_{-1} + \mathcal {4} y_0}{2} - {1\over 6} \frac{\mathcal {4} ^3 y_{-2} + \mathcal {4} ^3 y_{-1}}{2} + {1\over 30} \frac{\mathcal {4} ^5 y_{-3} + \mathcal {4} ^5 y_{-2}}{2} + ...), полученная путем дифференцирования инерполяционного многочлена Стирлинга.

Замечание: Основной принцип численного дифференцирования заключается в следующем: поскольку любую функцию, заданную таблично, можно представить  интерполяционным  многочленом, выбрав какое-нибудь множество из  n +1  узлов, то производную от интерполяционного многочлена P^'_n(x) можно использовать в качестве приближенного применения таблично заданной функции f^'(x) \approx P^'_n(x). Обычно формулы численного  дифференцирования  применяют для нахождения производных в узлах xi ,  так как при этом любую точку можно принимать за начальную, то формулы записывают для x0. Приближенные формулы нахождения производных второго порядка получается путем двукратного дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и Стирлинга.

1) y^{''}_0 = f^{''}(x_0)\approx {1 \over h^2} (\mathcal {4} ^2 y_0- \mathcal {4} ^3 y_0 + {11\over 12} \mathcal {4} ^4 y_0 - {5\over 6} \mathcal {4} ^5 y_0 +...)  (для начала таблицы)

2) y^{''}_0=f^{''}(x_0)\approx {1 \over h^2} (\mathcal {4} ^2 y_{-2}+ \mathcal {4} ^3 y_{-3} + {11\over 12} \mathcal {4} ^4 y_{-4} + {5\over 6} \mathcal {4} ^5 y_{-5} +...)  (для конца таблицы)

3)y^{''}_0=f^{''}(x_0)\approx {1 \over h^2} (\mathcal {4} ^2 y_{-1}- {1\over 12} \mathcal {4} ^4 y_{-2} + {1\over 90} \mathcal {4} ^6 y_{-4} +...)  (для середины таблицы)

При численном дифференцировании таблично заданной функции y = f(x) возникают погрешности двух типов:

§  погрешности усечения

§  погрешности округления

При оценке погрешности усечения, оценив на практике, предполагают, что f(x) не имеет быстро колеблющихся составляющих (период которых не превосходит h). При этом условии величина разностей определенного может свидетельствовать о качестве приближения функции f(x) интерполяционным многочленом подходящей степени. Если разности порядка m различаются меньше, чем на величину погрешности их округления, то считают, что эти разности практически постоянны и погрешность усечения не превосходит единицы младшего разряда значений \frac{y_i}{h} . С уменьшением шага расчета погрешность усечения убывает O(f^{''}(x)h)= \frac {h}{2} f^{''}(x)).

Погрешности округления обратно пропорциональна шагу расчета h в формулах для первой производной, обратно пропорциональна h2 в формулах для второй производной и так далее. Поэтому при уменьшении шага расчета h погрешность округления увеличивается. Для оценки используются правила из теории погрешности O\left ( \frac {\varepsilon f(x)}{h} \right ) = \frac {2\varepsilon f(x)}{h}.

Обобщения погрешность вычисления производной может рассматриваться как сумма погрешности усечения и погрешности округления {h\over 2} f^{''} (x)+\frac {2\varepsilon f(x)}{h} так как с уменьшением порядка интерполяции погрешность усечения убывает, а погрешность округления возрастает, то существует оптимальный шаг расчета, при котором полная погрешность минимальна:h_0\approx \sqrt{4\left| {\varepsilon f(x)\over f^{''}(x)} \right|}.

 

Пример 1. Найти  у / (1)  и  у // (1) для функции у (х), заданной таблицей:

Значения функции у (х):


x


y


Δy


Δ2y


Δ3y


Δ4y

0.96

0.7825361

 

 

 

 

 

 

– 86029

 

 

 

0.98

0.7739332

 

– 1326

 

 

 

 

– 87355

 

25

 

1.00

0.7651977

 

– 1301

 

1

 

 

– 88656

 

26

 

1.02

0.7563321

 

– 1275

 

 

 

 

– 89931

 

 

 

1.04

0.7473390

 

 

 

 


Решение.  В соответствии с таблицей получим: h = 0,02, х = 1, х0 = 1, следовательно, q = 0. Составив конечные разности для функции у (х) и используя подчеркнутые значения, по формуле 1 получим:

http://www.simumath.net/library/materials/Num_Dif_example/images/Eqn001.png

Аналогично, используя выделенные значения по формуле 2 получим:

http://www.simumath.net/library/materials/Num_Dif_example/images/Eqn002.png

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 1.pdf

ГЛАВА 1.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

§1.Числовая последовательность. Монотонность, ограниченность числовой последовательности. Предел последовательности. Теоремы о

пределах числовой последовательности.

Определение 1.  Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определённая на множестве N натуральных чисел.

Пример:       (аn): 1; 2; 3; 4; 5; 6…

                     (bn): 2; 4; 6; 8; 10; 12; …                    

Определение 2.  Последовательность (an) называется возрастающей      (убывающей), если каждый её член, начиная со второго, больше (меньше )

предыдущего, т.е.  an+1›a( an+1‹an ).

Замечание. Если выполняется одно из неравенств  an+1›an, (an+1≤an), то последовательность называется невозрастающей (неубывающей).

Определение       3.                 Убывающие,        возрастающие,     неубывающие      и невозрастающие последовательности называются монотонными.

Определение 4.  Последовательность an называется ограниченной сверху (снизу), если можно указать такое число М (число m), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство an≤М (an≥m). Числа М и m называются соответственно верхней и нижней границей.

 Определение 5.  Последовательность an называется ограниченной, если существуют два таких числа m и М, что для всех n выполняется неравенство 

m ≤ an ≤ M.                                        

Определение 6.   Последовательность an называется постоянной, если все члены её совпадают.

Примеры:

1)     (an):  1,2,3,4,5… 

Пусть m = 1,  так как  1 an последовательность ограничена снизу

                        1           1      1 1         1

2)     (an) = :   1; ; ; .... ... n 2 3 4 1000

Пусть m = 0  и  М = 1,  так как  0 an 1 последовательность ограничена.

3)     (an):   2; 2; 2; 2 …- постоянная последовательность.

Способы  задания  последовательностей:

1

1)  Формулой,   например:          an = 2

n

2)  Графически:                                                  х

                                           0       1      2           

 

3)  Рекуррентный  способ:  правило, с помощью которого можно вычислить  n-ый член последовательности по известным предыдущим членам:      

  хn = 3хn + 1 ,  х1 = 2                 

Примеры:    

1

1)Доказать, что  an 2                    монотонно убывает.


n 1

                                                 1               1

Найдем  an12        2        n 11         n 2n

an1

Покажем, что  an1< an , то есть          1. an

a n1                               1                 1               n2 1

                 2                  :         2          =        2               <

a n                         n 2n           n 1           n 2n

последовательность  (an ) убывает.

n1

2) Доказать, что  an =      ограничена. n


1, так как  n21n22n, то   n1 1     an1 последовательность больше 1, m = 1. n      n

1

    an1  2 последовательность ограничена сверху  и М = 2                                  n

    1an 2    (аn ) - ограничена

Упражнения: 

1) Вычислить первые три члена последовательности:

3

1)  хn2n 3                  5) хn  n

(1)

2)  хn                  6) хn2n

                                                 (1)n                7) х n 1            n

3)  хn          n 2 n        2

4)  х n 4                      8)х n4n2 3n 1    2) Написать общий член последовательности:

          1). 1; ...                       5). 1; 3; 5; 7; 9...

          2). 1; 7; 13; 19;...                     6). 1; 7; 17; 31... 

          3). 2; 4; 8; 16; 32...                  7).-3; 9; -27; 81; -243...

          4). 2; 4; 6; 8; 10...                    8). 1;... 

3)  Установить вид монотонности:

                                            n                                          3n5

           1). хn                              4). xn              n 1     2n1

                                            n2                                                                           1

           2). xn2                                 5). xn 1 n 2      n

                                          2n                                        n2 1

           3). xn2                                    6). xn        n 1      n

4)  Определить ограниченные последовательности:

2

          1). xn3n1                          5). xn        n(n1)

                                        1                                            n

           2). xn 2                             6). xn              n n 1

                                      n(n1)                                      1 n

           3). xn                                     7). xn = ()

                                              3                                          2

                                            1                                           2n

           4). xn3                        8). xn n n 1 2 1

Определение.  Число а называется пределом числовой последовательности  хn , если для любого ε0 все члены последовательности хn , кроме, может быть конечного числа, лежат в ε - окрестности числа а:  (a-ε; a+ε), то есть найдётся такое  натуральное N, что при n>N выполнено неравенство:

                                                xn a < ε 

Обозначение:                       lim x n a n  

Определение.                          Последовательность,     имеющая    предел,           называется сходящейся, не имеющая предела - расходящейся.     

  

Теоремы о пределах. Пусть     lim(an) a ,   lim(bn) b, тогда:

                              n                              n

1)          liman bn liman limbn a b

             n                                n                   n

Cледствие:  liman bnliman limbn ab  

                                    n                             n              n

2)          liman bn liman limbn a b   


         n                                  n                    n

a n

3)          Пусть b0 ,   тогда  lim n  b n

limn a n    a

lim b n   b

n 


Определение  Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Свойства  бесконечно  малых  последовательностей.

1)      Сумма двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малой.

2)      Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой.

Следствие:  Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.

3)      Для того, чтобы выполнялось равенство   lim        x n a , необходимо и

n 

достаточно, чтобы  xn a an ,  где   liman 0

n

Определение.  Последовательность  an называется бесконечно большой, если  lim an   n

lim21 2 ,  так как  Примеры: 1)  limn=nn1

    1                                                           1

an         -  бесконечно малая величина и: lim  0 n1    nn 1 n2 n3    

2)         n 3 (делим числитель и знаменатель на  n3 ) =   lim    


n 2n4 

                                          1           3

0 0 0

                                    lim                                     0

= n  1            2       3                  1 0 0

                                      n           n                                                

5

                          2n4 5       

3)         lim          

              nn3 2n    limn                                    


                                                                                              n n2              n4

                                                                                            1      1

                      3n3 n2 n          3 n n2   3 0 0    3 

4)   limn 5n3 1  limn 5 1  5 0        5

n

 

Выводы:

1)            Если степень числителя выше степени знаменателя, то предел

последовательности равен   .

2)            Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел последовательности равен нулю.

3)            Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то предел последовательности равен отношению коэффициентов при старших

степенях.

 

Упражнения:  Вычислить пределы.

                 2n3 7n2 2                                           5n5 2n 1

1.limn 6n3 4n 1                                 9. limn13n2 n5    

                   12n 4n2                                                                           23nn2

2.      limn n3 n2                                          10. limn       4n4 1           

                         3     7

                    14nn4                                                                                 n5 n2 n

3.      limnn3n2 2n4                                 11. limn             n3 1      6         3              2

                     4n n 2n                                              2 3n n

4.      limn        2n6 1                                           12. limn 4 n3 n 

                  2 n2 3n3                                                                              6n3 n2 1

5.      limn 13n6n3                                  13. limn n2 n2

               3n2 4n2                                               4n6 2n1

6.limn 6n3 4n1                                    14. limn5n7 3n4 2         

25n2 3 7. lim                                     15. lim         nn 5n1

                     n2 2n3                                                 n4 1

8. limn       4                                                       16. lim    2            

                      4n 3n2                                        n n 3

 

n

§2. Второй   замечательный   предел:  limn   1

1

      е.

n

Данный     термин,     использующийся     в     российских

учебниках       по

математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела.

Замечание:  1) Число е - иррациональное, е 2,7182818...

            2) Логарифм по основанию е  числа в называется натуральным и                         обозначается   ln b.

 

Примеры:     

2n

                    3   

1) lim1  1 (разделим числитель и знаменатель на  3 ) = nn

2n

                             

                             

1

   = limn1 n (сравниваем с формулой: показатель равен знаменателю



                          3

дроби, уравниваем; затем используем свойства степеней для того, чтобы

3h

     n       2

                   2 4                  1     

2)    limn13n  nlim1 3n        4n32n   16 е       1

                                                           2     

                                                                     

n


2n1

3)    nlim2n3 =

4 n

                                                                                                    2 n3 2 n3

                                                                                                 4

n  1   lim 4 n      4

lim 1                      lim 1                             e n 2 n3 e 2

                                                                                   4

Упражнения: Вычислить пределы.

       

                                         n                                                     n2

                        2                         2n3

17. lim1                  21. lim          n3n    n2n1

n1

3n43

        25. lim         n3n2

                                        n                                                    2n1

                        5                            n3

4n1

42nn

n        2n 3         n        2n 3                                            


           n     4n                         nn2

n12n

2n1

3

19. lim14n5n                23. limn2                                                        

           n                                                             nn1

3n

                                          2n

   27. lim n2n 3

18. lim1                       22. lim                      26.lim              

                                         3n                                                 2             n2                                                           5n3 2n

                     2n                              n 1


20. limn2n1              24. limnn2 1            28. limn5n3       

                                                     

n21

2n3n3

29. lim             n2n1

2 1 n

                                      n2 2                         3n2 42n2

            30. limn 2            31.  limn3n2 1                   

n 1

32.  lim 3n2 1

n

 

           33.  lim      nn1  

n4

3n2 4n4n3

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

§1. Определение предела функции. Теоремы о пределах функций.

Вычисление пределов функций. Устранение неопределённости вида .

Пусть функция  у = f (х) определена в некоторой окрестности точки х0, быть может, за исключением самой точки х0.

Определение. Число А называется пределом функции  f (х) при  х х0, если для любого  ε>0  cуществует такое  > 0 , что для всех  х,  удовлетворяющих условиям:  х х0  < , х х0  имеет место неравенство   f хA < ε .            lim f хA  

0

Теоремы   о   пределах   функций.

1)    limfхA тогда и только тогда, когда  f хAх, где   xa

- бесконечно малая функция при  хa

2)    limfхqхlimfхlimqх

         xa                                      xa                   xa

3)    limf хqхlimf хlimqх

xa     xa       xa f х   limxa f х

4)    limxa qхlimqх,при qх0, limxa qх0

xa

Следствия:

1)      Постоянный множитель можно вынести за знак предела.

2)      limf хqхlim f хlimqх

          xa                                       xa                   xa

3)      Предел степени равен степени предела функции.        lim f хn lim f хn

              xa                                   xa

Вычисление  пределов  функций.

1)     Предел  многочлена.

limх3 х2 2х33

x1

То есть, достаточно подставить вместо  х единицу, и предел найден.

2)     Предел  отношения  двух  многочленов.

х0                               lim x2 x 1   4 2 1  7

1). lim q

           xa                                                                             x2          x 1            2 1  

2)Пусть limqx0,alimf x0             lim x 3 x 2   

xa                            xa                                                     x1

x 1

0

3)Пусть limqx0 и   limfx0 - неопределённость вида        xa   xa

В этом случае  lim

xa

f x

q x можно вычислить разложением многочленов 

fx и  qx на множители или заменой  у = x- a

                                         x2 1      0        x 1x 1

1   способ   limx1        0 limx1        x 1 limx1x 12          

                                         x 1      

                                            x2 1     0

2   способ     limx1 x 1  0( пусть y = x-1x y1, y 0 при х 1

                 y12 1           y2 2y11            y2 2y

  = lim         lim  lim      y0 y11      y0          y11         y0          y

yy2

  = lim limy22

           y0            y          y0

4)  Предел отношения многочленов  f x при  x   смотри п(1). qx

5)  Вычисления некоторых иррациональных функций:

                                 2x                0

  limx0 3x2 x4 2 0(умножаем числитель   и    знаменатель    на 

выражение,                               сопряжённое                              знаменателю)=

        2x 3x2 x 4 2   2x3x2 x 4 2

lim     2              limx0            x3x 1   x0 3x x 4 4

             23x2 x 4 22 0 0 4 2     6

=  limx0                                                    3 0 1       1  6

3x 1

Упражнения: Вычислить пределы функций.

                           x12 4 x                             2x2 9x1

34)    xlim4    2                           48) limx6 2x2 7x6  

x       2x8

                           x 10    4 x                         4x2 5x 21

35)    xlim3    2x2 x 21             49) limx3 2x2 3x 9    2             2

x       x 12      x x 6

14 9xx2 x7 2x2 13x7

x3 1

52)    xlim1 x2 3x 2

x2 3x 10

53)    xlim2                x2 4

                         x2 3x2                                            x3 8

40)lim                  54) limx2 x2 4 x2 5 x x1

                          x 1                                            x3 1

41)lim                           55) limx1 x2 xx1 x x 1

3x2 4x1

1

4

42) lim                56) limx2 x 2 x2 4  x1 x3 53x

2

                                                                                                             3           2  

57)                 limx11x3 1x2 

                                                                                                             3           2

58)                 lim

2x 1x 6

59)                 lim x5 2x2 7x15  x0

2x1 x4

46)    lim        x2 5x                         60) limx4 x5


                         x2 x 12                                        4x2 13x 7

47)    lim                             61)  lim


                x3 2x2 3x 9                                 x7 14 9x x2

 

§2.Первый  замечательный  предел. Вычисление пределов.

 

Данный       термин,       использующийся в        российских          учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела.

sinx 0

lim 01 x0 x

Примеры: 

sin 3x 0

1)     limx0 x    0(умножим числитель и знаменатель на 3) =

                3sin 3x             sin 3x

= lim  3lim      31 3 x0          3x      x0          3x

                 tgx    0            sinx            sin x     1

2)     limx0 x  0limx0 cosxx limx0    x        cosx 111

                 1cosx    0                          2 x

3)     limx0         x         0  1cosx 2sin 2 =

                           2 x                  x                     1      x

= limx0        x

2 2lim        sin x 2lim 2   2 sin x

                  x0 x            2       x0       1            2

x

2

               2sin                sin                          sin

x

= limx0    x limx0 sin 2 10 0

2

 

tg5x      0          sin5x      1

4)     limx0 sin3x 0  limx0 cos5x sin3x  (умножим числитель и знаменатель

                                sin 5x         x             1     

на"x")= limx0 x    sin 3x cos 5x  

 

x0 5sin5x5x 3sin3x3x cos15x        53 x0 sin5x5x   13x   1             lim                          lim

                                                                                                                             sin           cos 5x

                                                                                                                                       

                                                                                                                   3x                    

=   1  


                         ctgx                                                                

5)     xlim           x ( ] x 2 y x 2 y, т.к. x 2 то 

2

ctg    y

                          ctgx                 2         lim tgy  lim sin y      1

limlim

                         xx0                           y                  y0 y            y0       y      cos

2 x

2

y0 )

 11 1

y


Упражнения: Вычислить пределы.

                      sin 5x                                5x                                    sin x cos x

62)     limx0      3x                70) limx0 cos x                     78)limx               tgx 1

4 2   2

                      sin 3x                             sin2xcosx                           cos x

63)     lim            71) lim            79)xlim1sin3 x  x0 2x x0 x

2

                       sin 2 5x                         sin2xsinx                           cos3x cos4x

64)     limx0      x2                  72) limx0     x2                              80)limx0    x2      

                              sin     3 x                 sin3xsinx                             cos 4 x cos 2 x

65)     limx 0   5 x 3         73) limx0     x                      81)limx0   x 2   

                        sin 3 x                            sin 3x                           lim cos x

66)     lim 2           74) limx0 sin 5x                 82) x2 x x0 x

2

                           2x                          sin2x sin4x

67)     limx0 sin3 x            75) limx0       x            83)limx0 x ctgx               

                            x2                                                    cos2xcosx

68)     limx0 sin2 2x            76) limx0      x                        84) limx           

2

                            3x3                                                     sin2 x                                    tgx

69)     limx0 5sin 3 x           77) limx1cos x                  85) limx0 sin x            

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 3.pdf

ГЛАВА 3.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

§1.Определение производной функции. Правила дифференцирования

функции. Геометрический и физический смысл производной. 

Вычисление производной функции. 

 

Определение. Производной функции f(x)  в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆ (x)  к приращению аргумента х при 

х → 0                             f/0) = limх→   х = limх(х)х (       ).

 

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.


1.   С/ = 0

2.   (КХ)/ = К

3.   (КХ+В)/ = К

4.   (U+V)/ = U/+V/

5.   (U-V)/ = U/-V/

6.   (UV)/ =U/V+V /U     (КU)/ = К(U)/

                         /              /

7.   ( )/ =         

8.   (     ) = Х 

9.(sinx)/ = cosx

10.   (cosx)/ = -sinx

11.   (tgx)/ =  

12.   (ctgx)/ = -  

13.(logax)/ =  

14.(lnx)/ =  

15.(lgx)/ =  

16.(    ) =     

17.(ах)/ = axlna

18.(arctgx)/ =  

19.   (arcctgx)/ = -   

20.   (arcsinx)/ = .

21.(arccosx)/ = -   


 

Примеры.

1.(5х3+4х-7)/ = 15х2+4

2.(х38-10х))/ = (х3)/ (х8-10х)+ (х8-10х)/ х3 = 3х28-10х)+(8х7-10)х3=3х10-

30х3+8х10-10х3=11 х10-40 х3

          х         /            ( х )/( х )                ( х )( х )/                            ( х )            ( х )

3.          =         =        =        х            ( х )        ( х )        ( х )

4.(2sinx – 5 cosx)| = 2cosx + 5sinx

5.(х + =(х+х-1-2-х )/=1-1х-2-2х-3-        х        = 1 –  –  –  х                х                              х              х              х

 

Геометрический смысл производной.

1.Значение производной функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в точке

с абсциссой х0.

к = tg =f/0)

2.Уравнение касательной к кривой, проведённой в точку касания:

у – у0 = у/0)(х – х0).

3.Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали: у – у0 = у/(х ) (х – х0).

 

Примеры.

1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции у = х2 + 5 в точке с абсциссой х0 = 2.

Решение:

а) Исходя из уравнения касательной: у – у0 = у/0)(х – х0), необходимо найти у0 и у/0).

б) у0 =у(х0) = 22+5 = 9

в) у/= 2х

   у/(2) = 4

г) Подставим полученные значения в формулы касательной и нормали:

     

у – у0 = у/0)(х – х0)     у – 9 = 4 (х – 2)      у  = 4х + 1 – уравнение касательной

 

у – у0 = /(х ) (х – х0) у

у – 9 =  (х – 2) у =  х + 9,5 –  уравнение нормали

Физический смысл первой производной.

Мгновенная скорость движения точки в любой момент времени t есть производная пути S по времени t: V = S/.

Примеры. Тело движется прямолинейно и равноускоренно по закону  s = 5t2 + 8t + 10(м). Найти: 

1.Скорость движения в конце 8 секунды. 2. По истечении скольких секунд скорость достигнет 128 м . сек

Решение:

1)V = S/.                                            

   V = (5t2 + 8t + 10)| = 10t + 8 ( м ) сек

   V(8) = 108 + 8 = 88( м ) сек

2. V = S/.

     V = 10t + 8       V = 128    

     следовательно: 10t + 8 = 128

     10t = 120       t = 12(сек)

м

Ответ: 1. 88     2. через 12 сек. сек

Упражнения: Вычислить производные следующих функций:

86)     4 + 6х9 -9

87)     18х2 +16х3 +19

88)     2-7)(х3 + 9)

89)     (4х4-8)(3х3 -10)

х

90)                                              х х

91)      

х

92)     -3х-5 + 15х-4 – 2х-3 + х-1 +2

92) 4х0,75 + 3х0,5 + 4х2 +3х

93).хх

94)   х2 х

95)   + −  х х х

Решить следующие задачи:

96)   Составить уравнение касательной к графику функции у = х3 – 2х2 + 2 в

точке х0 = 1. 97) Написать уравнение касательной у = х       в точке А(2;3).

 х

98)          Составить уравнение нормали к кривой у = х3 + 4х2 – 1 в точке с

абсциссой х0 = -1.                                               

99)          Какой угол (острый или тупой) образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции у = х +  в точке с абсциссой х0 = 2. х

100)     Написать уравнение касательной к графику функции у = х +ln(2х+1) в

точке с абсциссой х0 = е.

101)     Найти угловой коэффициент к графику функции у = lnx в точке с

абсциссой  х0 = 1.

102)     В какой точке касательная к кривой у = lnx наклонена к оси ОХ под углом .

103)     Написать уравнение нормали к кривой у = ех в точке с абсциссой 0. 104)  В каких  точках касательные к кривой у = х3 + х – 2 параллельны прямой  у = 4х – 1?

105)   Закон движения точки выражается формулой S = 1 + t2 +  .

106)   Точка движется по закону S = 0,25(t4 -4t3+2t2 -12t)м. В какой момент времени точка остановится.

107)   Какая из этих функций у = 2х + 5, у = ех, у = 0,5х2 имеет наибольшую скорость изменения в точке х0 = 0; 1; 2.

§2.Производная сложной функции.

Определение. Сложная функция – это функция (внешняя функция), аргументом которой является другая функция (внутренняя функция).

 

Теорема. Пусть у = у (U) и U = V(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция у = у (U) есть так же дифференцируемая функция, причём у/ = у/ х/. Эта теорема справедлива для любого конечного числа дифференцируемых функций, её составляющих.

 

Примеры. Вычислить производные сложной функции.

1.((х3 + х2 + 6)4)/ = 4(х3 + х2 + 6)3(3х2 + 2х)

х

2.(

                                                                                  х         х

3.(sin3 2x)| = 3 sin2 2x cos2x 2 = 6 sin2 2x cos2x

4.(lnlog2 (8x+1))/ = ∙ ∙8

                                                            (           )           (           )

5.(         )/ =           ∙4x3

Упражнения. Вычислить производные функций.

108)    2+4х)4                                                             

109)    (зх3+4х4-8)3                                                                

110)    (9х3+14х4-18)6                                

111)    ( - )4 х х

112)    х + 5х

113)    х + 4х

 

115) хх + 4х                                     

 

х

117)     ln5x

118)     ln3x4

119)     log3х + 5х 120) lg

 

121)   lnln(2x+1)

                 (           )

122)    

 

124)   ln2x + 4

125)   e-5x ∙ 7 

126)        

127) 0,5(e3x + e -3x ) 128) lnsinex  

129)   lnlog3(x3 + x2)

130)   lncos

131)   sin36x

132)   √           ∙ √        

133)    

134)   0,3(lntg2x + lncos23x)

135)   lg                                             

136)   3        

5

137)    

138)   arcctg

 

- accos√         + 2

140)   arcsin(3ln2x)

141)   Написать уравнение касательной к графику функции: 

1)у = е2х 1+2х, параллельная прямой у = 4х – 1. 

2) у = х2 – ln(2x-1), параллельной прямой  у = 2х – 3.

143)       Найти угол между касательной к графику функции у = ln(2x + 1) в точке с абсциссой 1.

144)       Точка совершает гармоническое колебание по закону: f(t) = . Найти скорость в момент времени t1=c, t2 = c, t3 = 1c.

 

§3.Производная второго порядка. 

Физический смысл производной второго порядка.

 

Определение. Производная от первой производной называется второй

производной и обозначается: у//.

Производная от второй производной называется третьей производной и т.д.

 

Физический смысл второй производной.

Вторая производная f//(х) выражает скорость изменения первой производной,

то есть ускорение изменения функции у = f(x).           а = V/  = S// Примеры: 1.Найти вторую производную функции: у = sin4x. y/ = 4cos4x, y// = -16sin4x

2. Найти у//(0), если у = х3 + 2х2.

у/ = 3х2 +4х у// = 6х + 4 у// (0) = 0 + 4 = 4

Упражнения: Вычислить вторую производную функции:

145)     а) 18х2 +16х3 +19             б) 8х4 - 6х5 +180

         в) ln4x                                 г) х                                              х

         д) sin26x                              е)  

         ж) х +  

х

146)     Показать, что функция у = 4е - 5х удовлетворяет уравнению:  у/// - 3у/ + 2у = 0.

147)     По прямой движутся две точки. Определить, в какие моменты времени они будут иметь одинаковые ускорения, если f(x) = t4 + 2t3 + 5t +1, а g(x) =

12t2.

148)     Выяснить, удовлетворяет ли функция у = х2  уравнению у// + у/ + 3у = 0.

149)     Найти значение третьей производной функции у = xln2x в точке х =2.

150)     у = хе. Найти: у//(0), у//(1).

151)     В какие моменты времени точки будут иметь одинаковые ускорения: 

f(x) = et, g(x) = 5t2 +  t + 0,5.

152)     S = 2t3 + 4t2 -7(м). Определить ускорение и скорость движения точки через 3 секунды от начала движения.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 5.pdf

ГЛАВА 5.

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 

§1.Определение неопределённого интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Свойства неопределённого

интеграла.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной от данной функции. Рассмотрим обратную задачу, состоящую в отыскании функции по ее производной.

Пример1.  Известно, что производная от некоторой функции F(x) равна

2 x : ( F ( x))' 2 x . Нужно найти функцию F (x) . Решением этой задачи является функция x2 , так как ( x 2 )' 2 x . Следовательно, F(x) x2 . Пример2.  Дана функция f (x) sin x , являющаяся производной от некоторой функции F (x) : F '(x) sin x . Нужно найти функцию F (x) .

Решением    этой     задачи     является    функция            cosx,       так    как

(cosx)'(sinx) sinx.                     

Определение. Функция F (x) называется первообразной для данной функции f (x), если ее производная равна f (x) , т.е. F ' ( x ) f ( x )

Так, функция F(x) x2 является первообразной для функции f (x) 2x , так как (x2 )'2x . Функция F (x)  cos x является первообразной для функции f (x) sin x, так как (cos x)' sin x . Заметим, что одна и та же функция может иметь несколько первообразных. Так, например, для функции f (x) 2x первообразной является функция F1(x)x23, так как ( x2 3)' 2 x , функция F2(x) x2 5также является первообразной для f (x) 2x , так как

(x2 5)' 2x.

Вообще всякая функция вида x2 C , где C - произвольная постоянная, является первообразной для f (x) 2x , так как (x2 C)'2x.

Определение.  Неопределенным интегралом от функции f (x) называется семейство ее первообразных функций F(x) C. Неопределенный интеграл от функции f (x) обозначается так: f (x)dx= F(x) + C.

Как следует из определения, для отыскания неопределенного интеграла от данной функции нужно найти какую-нибудь ее первообразную F (x) и затем записать все семейство первообразных F (x) C .

Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой параллельным

переносом вдоль оси OY.                                                     

Определение.  Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием этой функции. 

Дифференцирование и интегрирование функций – это две взаимно обратные операции. 

Свойства неопределённого интеграла.

Свойство1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ( f ( x ) dx )' f ( x ) .

Следствие.          Дифференциал     от      неопределенного интеграла   равен подынтегральному выражению, т.е. d(f (x)dx) f (x)dx .

Замечание. dF ( x ) F ( x ) C .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

kf (x)dx kf (x)dx .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме их неопределенных интегралов, т.е. (f1(x)f2(x))dxf1(x)dxf2(x)dx.

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: 10 sin xdx .

По свойству 2 получаем: 10sinxdx10sinxdx10cosxC.

Пример       6.Найти      следующий          неопределенный интеграл (2x 5 sin x)dx .

Используя              свойства              2              и              3,             получаем:

(2x5sinx)dx2xdx5sinxdxx2 5cosxC .

 

Таблица неопределённых интегралов.

                n                xn1                                                               dx

1. x dx     C                2. ln x C n1       x

                    dx 1lnkxbC            4. f 'xdx ln f xC

3.

kxb kf x

1

5.                                                         sinxdxcosxC                    6.       sin kx dx   coskx C k

1

7.                                                          cos x dxsin xC                   8.      cos kx dx  sin kx C k


                    x                      a x                                                                   x

9.a dx                   C              10. e    dx e

ln a

                 kx             1 kx                                                                                dx

dx

13. 2

sin x

ctg x C  

dx

    14. 2 x 1

11.e dxe C                            12. 2 k   cos    x

                        dx        1          x                         dx

x

C

tg x C

arctg x C

 


15.a2 x2 a arctga C      16. arcsin xC

 

                        dx                    x                                dx

17.arcsin C               18.            lnsec x tg xC

                                                               a                              cos x

Примеры. Найти интегралы:

           3 2                  1                            1         5                         5x 3 2 x 3

1.x 6x dx;   2.dx ;   3. dx .

         2                 5                      

                                       3 2                        1             3 2                                                  1

Решение.1.x 6x  dx x dx 6xdx dx

                                    2                 5            2                                 5

3          2                                              1            3 x3                x2          1             x3                     2 x

x dx6xdxdx                6 xC 3x  C.

2                                  5            2 3         2     5              2               5

                           1           5     23              54                   2

2.             dx       2x        x 5x         dx



1

2x23dxx45dx5x2dx2x x 4 5x1 C63 x44 5C.

                                                                                              1                             x x

               x     ex             x       1             x                  dx        x

3.             e 1x dx e x dx e dx x e ln x C .

               1               5               dx                  dx

4.              1x2 1x2 dx 1x2 51x2 arcsinx 5arctg x C .

                           3                                  dx


5.             2sinxcos2xdx2sinxdx3cos2 x 2cosx3tgxC.


 

Упражнения.  Найти интегралы:

2            1   x

225)x 2xdx              232)

226)1               dx            233)





227) 3                                   1 dx         234)





228)                        235)x 3 2               239) x 13 dx

dx

x                                          x

x 1                                     x 2 12

dx                               240)    3              dx x    

x 2

2

                                  241)     2                    dx

x

1xx2 1

dx          242)dx x x


                  1     1      1                          x             1                           x        a x

229) x x2 x3 dx           236)2 1 2 dx 243) a 1 x 5 dx x

                 7cosxdx       237)4e x 12 dx    

230) 1x2                                                     sin x     

2

                       x          x                           x            ex

 231)sin 2 cos dx         238)e 1cos 2 x dx           

                                  2                            

 

§2.Метод подстановки в неопределённом интеграле.

Теорема.  Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой

функции от неё, т. е. если:f (x)dx F(x)C , то и f (u)du F(u) C

,где u x – любая дифференцируемая функция от х. Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией её. 

Примеры: Вычислить интегралы способом замены переменной.

5x t

                                                                           dxdt                                                                         x

1.                                                                   5 dt  5    2 5 tgt C 5 tg C .

                                                                                                   cos       t                                              5

dx 5 dt

t 7 x

2.                                                                   e 7 x dx dx  7 dx e t   dt   e t dt         e t C          e 7 x C .

                                                                                     7

dx   dt7

3.                                                                   x 111 dx t x 1 t 11 dt t 12 C x 112 C dt dx12       12

t2 x


4.cos 2 xdx dt  dxcos dt  cos tdt   sin t C   sin 2 xC


dx  dt

t 3x 2

5.                dt 3dx                              t13dt 1 t C 1 3 t2 C 3 3x 22 C

                                                                                                                             2                         2

dx dt3

                                             t x 2                                t                  t                         x 2

e dt e C e C

dt 2 xdx


t x2 3x 1 2 dt 2x 3dx t

ln t C ln x 3x 1 C

t x2 1

11 t


tdt  C x2 1x2 1 C

2

xdx dt2

Упражнения. Найти интегралы:

244) cos 2 2x dx                      245)3x2 x26x1dx

246) e x 2 5 x 1 2 x 5 dx       247) x3 5x2 1dx        

                      7 xdx                                                 2x2dx

248)   2                                249)

                    1 x                                                    x 1

2

                                                                                            xdx                                   x 4

250)                                251)    2                    252) 2           dx 

                                                                                        1x                                    x 1

                       x4dx                                4x1

253)5                        254)2   dx                255)dx x 1     2x x

                     1    3x                                                                                         2 1x3                                                                                                2x3

256)2 e dx              257)x 6 dx                258)  2 dx 43xx

 

                                                              26x5                                                                        dx

259)x x 3 dx                               260)dx           261)       3    3       2

                                                                                             3x25x4                                      6x x

                     x3 sin3x4dx              263) 2 x 22dx3              264) 2xdx 2

262) cos x                                                     x 1

2


                      x dx                                   2ln x                                                  3dx

265)3                       266)        dx                   267)    2            

                   1x                                       x                                                   x ln x


                  3                                          2sin x

268)sin x cosxdx          269)7                                      dx               270) tgxdx       

                                                                                            cos   x

ctgx


arcsin xdx

271)2     dx                   272) 2            dx                  273) sin         x        cos      x

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ГЛАВА 6.pdf

ГЛАВА 6.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 

§1. Определение определённого интеграла. Свойства определённого

интеграла. Вычисление определённых интегралов.

Определение: Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a , b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: 

                                                    b                                                            n

a f (x)dx  maxlimxk0 k1 f (zk)xk

Свойства определённого интеграла.

1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от

                                              b                                                           b                               b

слагаемых функций: (f1(x)f2(x))dxf1(x)dxf2(x)dx.

                                              a                                                           a                               a

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

b                                                    b

k f (x)dxkf (x)dx a                       a                                               

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:    

b                                     a

f (x)dxf (x)dx

a                                    b

4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

a

f (x)dx0

a

5.Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

b                                    c                 b

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

a                                                                    a                                                                 c

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае если можно найти соответствующую первообразную F(x), служит формула

bb

Ньютона-Лейбница: f (x)dx F (x)F (b) F (a)

aa

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры: Вычислить определенные интегралы.

     0                                                                           0

1.(3x2 1)dx (x3 x)0 (11) 2

    1                                                                      1

           3dx                  2

3 ln x 3(ln 2 ln 1) 3 ln 2

1

2 tgt 2 (tg     tg 0 ) 2 cos 2 t    0                      4

Упражнения. Вычислить интегралы.

          2                                                                                                           4

                 2         1

277.1 (x x4 )dx.                           278 .1 xdx .                     

279. a a2 x2.                                280 .                               

2

281 . 2 cos tdt                              282 . (                        )dx. 

2

                                                                            8

                xcosx1                                              1

283.         dx.                      284.(4x3 2)dx.       

                                                                            1                  3 x

2

§2. Вычисление площадей плоских фигур.

 1.Пусть f(x)>0, x = a, x = b, y =0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими

b

линиями, находится по формуле:  S f ( x ) dx 

a

2.Пусть f(x) <0, x=a, x=b, y=0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими

b

линиями, находится по формуле: S   f ( x ) dx .

a

3.Если функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то формула каждый раз составляется индивидуально с учетом формул (1) и (2).

4. Пусть f(x) >g(x) на отрезке [a; b], тогда площадь фигуры, ограниченной функциями f(x), g(x), x = a,  x=b определяется по формуле:

b

S(f(x)g(x))dx

a

Пример1.      Вычислить      площадь      фигуры,      ограниченной      линиями:

yx2 2x4 ,  x=0,  x=2,  y=0  Решение:

      

                                                       

Фигура, площадь которой нужно вычислить, является криволинейной трапецией, ограниченной сверху кривой, снизу осью Ох, слева осью Оу, справа прямой х=2.

2

2

S (x2 2x4)dx (x3 x2 4x)|0 6(кв.ед.)

0

Пример     2.     Вычислить     площадь     фигуры,     ограниченной     линиями:

5      y ctgx , x , x , y 0.      

6      2

Получилась криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью Ох, снизу

5

котангенсоидой  y = ctgx, справа прямой x          .          Для решения задачи 6

применяем вторую формулу, так как криволинейная трапеция находится ниже оси Ох. 

                          cosxdx    sinx t                                               1

S ctgdxsinx cosxdxdt                 lnt|1 ln 2 ln1ln20ln2.

         2                             2

Пример     3.     Вычислить     площадь     фигуры,

                                                   3

y cos x, x  , x , y 0.

                                           6           2

ограниченной

линиями:

 

На чертеже видно, что фигура, ограниченная заданными линиями, состоит из двух криволинейных трапеций, одна из которых находится над, а другая под осью абсцисс.                                

                                                       3

       2                                                                  

                                                    2           2                      3

Scosxdxcosxdxsinx sinx(sin2sin6)(sin2sin2) 3,5

                                          

         6                       2                                         6         2

Пример     4.     Вычислить     площадь     фигуры,     ограниченной     линиями:   

               

Для построения парабол выделим в правых частях их уравнений полные y x 2 6 x 10 ( x 3) 2 1;

квадраты:  2        2                      y 2 4 x x  ( x 2) 6.

Найдём точки пересечения парабол:  Левые части уравнений равны,  значит

 y x 2 6 x 10 ,

равны и правые: 2  y 2 4 x x ,

x2 6x1024xx2

2x2 10x80 x2 5x40

По теореме Виета, определяем:  x1 1; x2 4.

Для        решения        задачи        воспользуемся        четвёртой       формулой:

         4                                                                                                                  4

S ((2 4x x2) (x2 6x 10))dx (2 4x x2 x2 6x 10)dx

   

1                                                                                                                 1

4

2                                                                                                                 2 3                       2                      4                      2

(2x 10x 8)dx (x 5x 8x)|   64 516 84

     1                                                                             3                        1               3                                    

(5 8)  42  8032   5 89(ед2)

    УпражненияВычислить площади фигур, ограниченных линиями: 

285. yx2,x8,x0,y0.                        286. y 3 2xx2, y 0.

287 `.         y 3x4 4x3, y 0.                   288 yxx2,x1,x4, y0.

1

289. y,x1,xa,a0,y0. 290. y ex,x 1,x 0,y 0. x x

291.      y tgx,x,y 0,x0.              292 .        y 4xx2, y 0.

                                     4                             

293 .          y 3 2 x, y x2.                294 .      y 3x2 2x, y 0.

295. y x3 x2, y 0.                            296. yx2 1,yx3.

297. yx2 8x6,yx.                     298. y2xx2, yx.

§3.Применение определённого интеграла при решении физических

задач.

                                                                                                                                                                                    ἀ                    

1. Задача о вычислении пути.                                                                                    нумерованный + Уровень: 1 + Стиль

нумерации: 1, 2, 3, … + Начать с: 1 + Выравнивание: слева + Выровнять по:  0 см + Табуляция после:  0,63 см + Отступ:  0,63 см, Поз.табуляции:

нет в  1,27 см

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью  V0 = V(t).Требуется  найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t = a  до t = b.Если скорость постоянна, то S = V0(b-a). Если скорость непостоянна поступают следующим образом: промежуток времени [ а; в ] разбивают точками t0 = a, t1,…, t n-1, tn = b  на  n  отрезков одинаковой

ba длины, которая определяется формулой: ti= t i-t i-1=    , где  i = 1, 2, … , n

n.Выбрав произвольную точку с на каждом отрезке  [ t i-1, t i ] , составим

n

сумму: V(Ci)ti.Это приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки i 1

разбиения, S = lim           V(Ci)ti . А этот предел есть определенный n n 1

b

интеграл от функции  V(t)  на отрезке  [a;b] , то есть: S = V(t)dt  .

a

 Пример 1.  Тело движется прямолинейно со скоростью V (t) = (3t2  + 4t + 1) м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды.

        3                                                                         3

S =( 3t2  + 4t  + 1 ) dt = ( t3  + 2t2  + t ) | =  48 м.

       0                                                                         2

Пример  2. Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (t + 6t 2) м/с.

Найти путь, пройденный телом за  третью  секунду.

33

S = ( t + 6t2 ) dt = ( t2+ 2t3 ) | = 40,5 м.

22

Пример  3.  Определить максимальную высоту подъема камня, брошенного вертикально вверх со скоростью (18t+3t2 ) м/с.

1.Определим время движения тела от начала движения до остановки:                  

 18t – 3t2  = 0

 6t – t2   = 0   t ( 6 – t ) = 0   t1 = 0        t 2= 6

2.Найдем высоту подъема:

         6                                       6         6

H = (18t – 3t2) dt = 9t | - t3 | = 9(36–0) - (216 –0) =324 –216 = 108 (м).

         0                                       0         0

Ответ: 108 метров.

Упражнения. Решить задачи.

299)           Скорость движения точки изменяется по закону V= (3t2  + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

300)           Скорость движения точки  V = (9t2  - 8t ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за четвёртую секунду.

301)           Скорость движения точки  V = (12t – 3t2) м/с.  Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

302)           Скорость движения точки  V = (6t2  + 4 ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

303)           Скорость движения точки  V = (18t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

304)           Скорость движения точки  V=(24t – 6t2) м/с. Найдите: 1) путь, пройденный точкой за 3 секунды от начала движения; 2) путь, пройденный точкой за третью секунду; 3) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

305)           Два  тела  начали  двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = (6t2  + 2t ) м/с,  второе – со скоростью V = (4t + 5 ) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

306)           Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = 3t2   м/с,  второе – со скоростью V = (6t2 +10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

307)           Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2   + 4t) м/с,  второе – со скоростью v = (6t + 12)  м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

308)           Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2  - 6t) м/c, второе – со скоростью  V= (10t + 20)м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

309)           Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью  V = (39,2 – 9,8 t) м/с.   Найти наибольшую высоту подъема тела. 310) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью  V = (29,4 – 9,8 t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

311)  Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t2  + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за первые 5 секунд.

312)  Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t3  + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от t = 1с до t = 3c.

313)  Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается формулой V(t) =

 (12t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный телом от начала его движения до остановки.                                          

314)  Два  тела  начали  двигаться  по прямой в один и тот же момент из одной и точки в одном направлении соответственно со скоростями   V1(t) =(6t2 + 4t) м/с и  V2(t) = 4t м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?   

315)  Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) =(4t+a)м/с. Найдите  ускорение а, если известно, что путь, пройденный телом за 2 с от начала движения, равен 48 м.

316)  Тело движется по прямой со скоростью V(t) = (6t + 4)м/с.  Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду.

317)  Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t = 0 c  до t=5 c, если точка двигалась прямолинейно со скоростью V(t) = (9,8t – 0,003t2) м/с. 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ГЛАВА5.pdf

ГЛАВА5.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ.

§1. Монотонность функции.

 

Определение. Функция (x) называется возрастающей, если для любого большего значения аргумента х из D(у) соответствует большее значение у.

Определение. Функция (х) называется убывающей, если для любого большего значения аргумента х из D(у) соответствует меньшее значение функции.

Теорема (необходимое условие возрастания функции).

Если дифференцируемая функция (х), х є (a;b) возрастает на интервале (a;b), то ’(х0)>0 для х0є (a;b).

Теорема (необходимое условие убывания функции).

Если дифференцируемая функция (х), х є (a;b) убывает на интервале (a;b), то ’(х0) <0 для х0 є (a;b).

Теорема (достаточное условие возрастания функции).

Если функция у = (х), х є (a;b) имеет положительную производную в каждой точке

интервала (a;b), то эта функция возрастает на интервале (a;b).

Теорема (достаточное условие убывания функции).

Если функция (х), хє(a;b) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (a;b), то эта функция убывает на интервале (a;b).

АЛГОРИТМ:

1.Находим область определения функции.

2.Находим производную функции (х): ’(х).

3.  Находим корни производной и точки, в которых производная не существует.

4.  Наносим на область определения функции полученные точки.

5.  Определяем знаки производной в каждом полученном промежутке.

6.  Если ’(х) >0 на (a;b), то (х) возрастает на (a;b).

   Если ’(х) <0 на (a;b), то (х) убывает на (a;b).

Пример1:  у = lnх2 - найти промежутки возрастания  и убывания функции.

                     2                    2x 2

y  (ln x )      

                                 x2            x

 Корней производная не имеет: х = 0 – точка, в которой производная не существует.            

           -                        +   х

                                 0                                                                                                           

Ответ:  (х) убывает  при  х є (-∞;0] ,       (х)  возрастает при  х є [0;+∞).

Пример 2: y = х2 – 2х + 6                 D(у)=R 

1)у/ = 2х – 2 2) 2х – 2 = 0

    х = 1                      

              -              1       +       х

Ответ:  (х) убывает  при  х є (-∞;1] ,       (х) возрастает при  х є 1;+∞).

Упражнения. Исследовать функцию на монотонность:

210)     y = х32-8х+1

211)     y = х4-12х2+24х-3

212)     y = х4-8х3+22х2-24х+12

213)     y = 2х4 – х

214)     у = 0,25х4 + 8

215)     у = х3 -4х          

216)     у = 2х3 – 3х2 – 12х + 8

217)     у = 2х3 + 9х2  +  12х -2

218)     у = (х+2)2(х-3)3

219)     у =  

                     х2       1

220)     у = 1 х2  

§2.Экстремумы функции.

Определение. Точка х0 из области определения функции (х) называется точкой минимума этой функции, если найдётся такая б - окрестность

0 - б; х0 + б) точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство (х)>0 ).

Определение. Точка х0 из области определения функции (х) называется точкой

максимума, если найдётся такая б - окрестность (х0 - б; х0 + б) точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство (х)<0).

Определение. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Теорема Ферма (необходимое условие существования экстремума).

Если точка х0 является точкой экстремума функции у=(х) и в этой точке существует производная ’(х0), то ’(х0) = 0.

Определение. Точки, в которых производная обращается в ноль или не существует, называются критическими точками (1 рода).

Теорема (достаточное условие существования экстремума).

Пусть функция у=(х) непрерывна в х0 и в некоторой её окрестности имеет производную, кроме, может быть самой точки х0, тогда: 

1)                  если производная ’(х) при переходе через точку х0, меняет знак с плюса на минус, то х0,  является точкой максимума.

2)                  если производная ’(х) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то точка х0 является точкой минимума.

3)                  если производная ’(х) при переходе через точку х0 не меняет знак, то в точке х0 функция не имеет экстремума.

 

АЛГОРИТМ.

1.Находим область определения функции.

2.  Находим производную функции у’= ’(х).

3.  Находим корни производной и точки, в которых производная не существует.

4.Разбиваем полученными точками область определения функции на промежутки.

5.  Определяем знак ’(х) в каждом из полученных промежутков.

6.  Выделяем те точки, в которых функция определена и по разные их стороны производная имеет разные знаки. Это и есть экстремальные точки:

 а) Если при переходе через точку х’(х) меняет знак с «+» на «-»,  то х0 - точка max

б)  Если при переходе через точку х’(х) меняет знак с «-» на «+»,  

то х0 - точка min.                            

7.  Находим значения функции в точках экстремумов.

                                        х3               2

Пример:        у =  - 2х + 3х – 4.  Исследовать функцию на экстремум.   3 D(у)=R   у’=х2-4х+3   х2-4х+3=0 

 х1=1, х2=3                                        

                      + max – min +       х

                       1             3 

уmax(1)=-2 2/3                 уmin(3)=-4

х 5

Пример:   у =   .    Исследовать функцию на экстремум.

х 3

                                              у/ =  =                        D(у) = R \ {3} (х  )

 Корней производная не имеет, но существуют точки, в которых производная не существует:

                (х-3)2=0   х1,2=3

                         -   3   +-           х                         

При переходе через точку, производная не изменяет свой знак, поэтому в точке х = 3 экстремумов нет.

Ответ: экстремумов не существует.

Упражнения. Исследовать функции на экстремум:

221) у = х2 + 4х

222)у = -х2 + 6х

223)у = х3 – 3х                                 

224)у = - х3 + 3х

225)   у = х32-8х+1

226)   у = х4-12х2+24х-3

227)   у = х4-8х3+22х2-24х+12

228)у =                                                                

                  х2       1

229)у = х2 1                                             

230)у = 2х4  - 1

231)у = 2х4 – х

232)у = 0,25х4 + 8

233)у = х3 – 4,5х2 + 6х – 2

                  х3         х2

234)у =  +  - 6х + 1

3 2 х3       2

235)у = -  + 3,5х – 6х + 2

3

236)у = х4 -8х3  + 22 х2 – 24х + 12

237)у = (х2 – 8) ех

х 1

238)у = 8 х2

§3.Наибольшее и наименьшее значения функции.

Если функция у = (х) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке всегда найдутся точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются в критических точках или на концах данного отрезка. 

Наибольшее значение достигается либо во внутренней точке максимума, либо на концах отрезка; наименьшее – либо во внутренней точке минимума, либо на концах отрезка.

АЛГОРИТМ.

1.Находим производную ’(х).

2.Находим критические точки (1 рода).

3.Проверяем, какие из значений х принадлежат данной нам области определения.

4.Находим экстремальные значения и значения функции на концах отрезка: (a) и (b).

5.Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

 

Пример 1:  у=-3х²+4х-8,  х є [0;1]. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения. у’=-6х+4

 –6х+4=0  -6х=4

х=2/3   є [0;1] у = - 6 у (0) = -у(1) = -3 + 4 – 8 = -7       Ответ: унаиб = - 6; унаим = -8

 

Пример 2. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения:

у = 25 х2, х принадлежит [−4; 4]

                              2х                   х

             у/ =              =             

                                    2                             2

                         2 25 х ,                    25 х ,

Критические точки (1 рода):            -х=0             25-х²=0       х1=0 є [-4;4]     

 х3=-5 є [-4;4]                             

 х2=5 є [-4;4]          

 (0) = 5 – наибольшее,  (- 4) = 3   -  наименьшее , (4) = 3                

Ответ: унаиб.(0)=5;  унаим.(-4)=3, унаим.(4)=3.

Упражнения. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение:

239)у = х2 -6х + 3, [0;6]    

240)у = 0,5х2 - 1х3, [1;3]                                       

3

241)у = 6х2 – х3, [-1;6]    

242)у = х3 –3х2 – 9х + 35, [-4;4]    

243)у = - х3 +9х2 – 24х + 10, [0;3]             

244)у = х3 +3х2 – 9х - 7, [-4;3] 

245)у = 6х2 – 3х4  - 1, [-2;2] 

х

246)у =  4 х2, х – любое число

х 1

247)у =  , [0;4]  1 х

248)у = хln2х, [ ;е]  е

§4.Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

 

Определение. График функции у=(х), х є (a;b) называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если график расположен ниже любой касательной, проведённой к графику функции в точках (a;b).

Определение. График функции у=(х), х є (a;b) называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках (a;b).

 

 

Теорема (достаточное условие выпуклости функции).

Если на интервале (a;b) дважды дифференцируемая функция у =(х), х є (a;b) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз). 

Определение. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (2 рода).

Определение. Точкой перегиба называется такая точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

 

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба).

Если функция у =(х), х є (a;b) дважды дифференцируема на интервале (a;b) и при переходе через х0 є (a;b) вторая производная ”(х) меняет знак то точка кривой с

абсциссой х =х0, является точкой перегиба.

АЛГОРИТМ.

1.      Находим область определения функции.

2.      Находим ’(х).

3.      Находим ”(х).

4.      Находим критические точки 2 рода.

5.      Разбиваем область определения функции полученными точками 

на промежутки и определяем знак ”(х) в каждом из них:

6.      а) если ”(х) < 0 на (a;b), то (х) выпукла вниз на  (a;b)

б) если ”(х) > 0 на (a;b), то (х) выпукла вверх на (a;b)

7.      Из критических точек выделяем те, в которых (х) определена и 

”(х) имеет разные знаки по разным сторонам каждой из них.

8.      Находим значения функции в выделенных точках.

Пример: Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба:  

        у=х²+4х+3            D(у) = R        у’=2х+4                    у”=2>0 => кривая выпукла вниз на D(у)

            Ответ: кривая выпукла вниз при х є (-∞;+∞).

Пример: Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба:

 у=х4-10х³+36х²-31х-37 у’=4х³-30х²+72х-31 у”=12х²-60х+72

 Критические точки 2 рода

 12х²-60х+72=0

   х²-5х+6=0                                                               

   х1=2  х2=3                                          знак у//

   2     ∩    3                             у(2) = -19         у(3) = 5

 Ответ: кривая выпукла вверх при х є (2;3), кривая выпукла вниз при  х є (-∞;2)(3;+∞) .     А(2; -19) и В(3; 5) – точки перегиба.  

Упражнения. Исследовать функции на выпуклость и точки перегиба:

249)у = х²+5х+6

250)у = -х²+2х

251)у = х³-6х²+2х-6                       

252)у = х³-х

253)у = х³-3х²+8х-4

254)у = х4-10х³+36х²-100

255)у =  х4-8х³+10х²-48х+31

256)у = х4-2х³+ 6х – 4

257)у = хех

258)у =  

259)у = ln(x2 + 4)

х 5

260)у =  х 7

261)у = хе –х   

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ История производной.pptx

Скачать материал "Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Галерея ученых Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциальног...

    1 слайд

    Галерея ученых
    Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциального исчисления

  • Из истории дифференциального исчисления
Дифференциальное исчисление – это раз...

    2 слайд

    Из истории дифференциального исчисления

    Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций. Приращения вида , представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Поэтому естественно появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления.

    Термин «производная» является буквальным переводом на русский язык французского слова derivee, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж. Он же ввел современные обозначения и . Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как df/dx. Это обозначение встречается и в современной литературе.
    Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.

  • Тартальи 
(около 1500 - 1557 гг.)итальянский математикПонятие производной  вп...

    3 слайд

    Тартальи
    (около 1500 - 1557 гг.)
    итальянский математик
    Понятие производной впервые встречалось в работах Тартельи
    Николо
    Касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
    В сочинении «Новая наука» (1537) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Работа «Общий трактат о числе и мере» содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тартальи также связано с разработкой способа решения кубических уравнений.

  • Галилео Галилей (1564-1642)Итальянский философ, математик, физик, механик и а...

    4 слайд

    Галилео Галилей (1564-1642)
    Итальянский философ, математик, физик, механик и астроном
    Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей – основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической кинематики. В XVII веке на основе учения Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной.

  • Декарт Рене 
(1596-1650), французский ученый
Декартовы координатыЕстественно-...

    5 слайд

    Декарт Рене
    (1596-1650), французский ученый
    Декартовы координаты
    Естественно-научные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единого метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a2, x-1...).
    Автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике.

  • Джеймс Грегори (1638 – 1675)Шотландский математик и астрономОдин из основопол...

    6 слайд

    Джеймс Грегори (1638 – 1675)
    Шотландский математик и астроном
    Один из основоположников математического анализа. Автор одного из первых проектов зеркального телескопа.
    Разработал приём вычисления площади сектора круга, гиперболы и эллипса. Попытался доказать, что круговые и логарифмические функции не могут быть сведены к алгебраическим операциям. Вывел формулу приближённого интегрирования.

  • Ньютон Исаак 
(1643-1727), английский ученый
Бином Ньютона - это формула,  да...

    7 слайд

    Ньютон Исаак
    (1643-1727), английский ученый

    Бином Ньютона - это формула, дающая выражения степени (a+b) n двучлен (a+b) с любым натуральным показателем n. Например:
    при n=1, (a+b)= a+b,
    при n=2, (a+b)= a 2 +2ab+ b 2.
    Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математические и физические теории.

  • Немецкий философ, математик, юрист, дипломат.Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 –...

    8 слайд

    Немецкий философ, математик, юрист, дипломат.
    Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 – 1716)
    Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия и четко указал на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования.

    Создал комбинаторику как науку.

    Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела. Привел доказательства существования подсознания человека.

  • Якоб Бернулли (1654 – 1705)Швейцарский математик.Внёс огромный вклад в развит...

    9 слайд

    Якоб Бернулли
    (1654 – 1705)
    Швейцарский математик.
    Внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Решил задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки.

    Ввёл и проинтегрировал дифференциальное уравнение. Принадлежат значительные достижения в теории рядов, теории вероятностей, теории чисел.

  • Гийом Франсуа Лопиталь 
(1661 – 1704)Французский математикИздал первый печатн...

    10 слайд

    Гийом Франсуа Лопиталь
    (1661 – 1704)
    Французский математик
    Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению — «Анализ бесконечно малых» (1696). В книге есть т. н. правило Лопиталя — правило нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к 0,
    Кроме того, он создал курс аналитической геометрии конических сечений, Ему также принадлежит исследование и решение с помощью математического анализа нескольких трудных задач по геометрии и механике, в частности одно из уравнений знаменитой задачи о брахистохроне.

  • Леонард Эйлер (1707 – 1783)Немецкий и русский математик, механик и физик.Ему...

    11 слайд

    Леонард Эйлер
    (1707 – 1783)
    Немецкий и русский математик, механик и физик.
    Ему принадлежат сочинения о дифференциальном и интегральном исчислениях, где рассматриваются не только данные разделы математики, но и развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных.

    Ему принадлежит первое изложение вариационного исчисления. Он является создателем теории специальных функций. Известны его работы по теории чисел.

  • Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)Французский математик и механик итальянского п...

    12 слайд

    Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)
    Французский математик и механик итальянского происхождения.
    Лучший математик 18 века.
    Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

    Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики.

    Внёс огромный вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.


Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данное электронное учебное пособие предназначено для проведения занятий математики для студентов второго курса гуманитарных специальностей системы среднего профессионального образования. Содержит весь необходимый теоретический и практический материал, а так же интерактивный кроссворд по теме "Производная", презентацию по истории возникновения и становления производной, а так же образовательные мультимедийные системы по всем темам

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 609 675 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 18.09.2016 4462
    • RAR 24 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Бурмистрова Марина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Бурмистрова Марина Васильевна
    Бурмистрова Марина Васильевна
    • На сайте: 7 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 36480
    • Всего материалов: 27

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Няня

Няня

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 185 человек из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 678 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Практические аспекты применения современных технологий при обучении школьников математике в рамках ФГОС ООО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 58 человек из 31 региона

Мини-курс

Основы дизайна в Figma

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Интерактивные материалы на печатной основе

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 16 регионов

Мини-курс

Управление стрессом и эмоциями

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 46 человек из 20 регионов