Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей.

Учебное пособие "Математика" для студентов первого курса гуманитарных специальностей.


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Документы в архиве:

3.78 КБ Click1.ogg
3.74 КБ High1.ogg
3.65 КБ 0002-royale.btn
19.06 КБ 1040_0002.btn
20.56 КБ 1044_0002.btn
27.38 КБ 1044_0050.btn
480 КБ АкишинЮрa.exe
255.41 КБ ГЛАВА 1.pdf
238.76 КБ ГЛАВА 3.pdf
194.8 КБ ГЛАВА 5.pdf
449.86 КБ ГЛАВА 6.docx
1.31 МБ ГЛАВА 6.pdf
256.54 КБ ГЛАВА5.pdf
205.08 КБ Глава 7.docx
1.01 МБ История производной.pptx
5.6 МБ Таблица первообразных.oms
1.55 МБ геометрический и физический смысл производной.oms
3.76 МБ монотонность экстремумы выпуклость.oms
842.56 КБ практикум по монотонности и экстремумам.oms
1.05 МБ пределы.oms
903.7 КБ приложения определённого интеграла.oms
817.32 КБ производная сложной функции.oms
804.33 КБ производные действий.oms
2.57 МБ численное дифференцирование.oms
139.73 КБ 02.jpg
24.21 КБ 1.JPG
19 КБ Thumbs.db
94.6 КБ fb0f0870207d4b828d6aec933bd523d7.jpg
256.01 КБ shutterstock_21435451.gif
3.5 КБ Thumbs.db
5.72 КБ sb_Windows7.png
103.07 КБ autorun.cdd
29 КБ Бурмистрова МВ рекомендации.doc
6.13 МБ autorun.exe
318.32 КБ lua5.1.dll
11 КБ lua51.dll

Название документа ГЛАВА 6.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

ГЛАВА 6.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

§1. Определение определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Вычисление определённых интегралов.

Определение: Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a , b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:



Свойства определённого интеграла.

1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:



4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:



5.Отрезок интегрирования можно разбивать на части:



Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае если можно найти соответствующую первообразную F(x), служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры: Вычислить определенные интегралы.



Упражнения. Вычислить интегралы.

§2. Вычисление площадей плоских фигур.

1.Пусть f(x)>0, x = a, x = b, y =0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, находится по формуле:

2.Пусть f(x) <0, x=a, x=b, y=0, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, находится по формуле:

3.Если функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то формула каждый раз составляется индивидуально с учетом формул (1) и (2).

4. Пусть f(x) >g(x) на отрезке [a; b], тогда площадь фигуры, ограниченной функциями f(x), g(x), x = a, x=b определяется по формуле:

Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , x=0, x=2, y=0

Решение:

hello_html_m174c73c.jpg

Фигура, площадь которой нужно вычислить, является криволинейной трапецией, ограниченной сверху кривой, снизу осью Ох, слева осью Оу, справа прямой х=2.



Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_6647d613.jpg

Получилась криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью Ох, снизу котангенсоидой y = ctgx, справа прямой . Для решения задачи применяем вторую формулу, так как криволинейная трапеция находится ниже оси Ох.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:



На чертеже видно, что фигура, ограниченная заданными линиями, состоит из двух криволинейных трапеций, одна из которых находится над, а другая под осью абсцисс.

3,5

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Для построения парабол выделим в правых частях их уравнений полные квадраты:

Найдём точки пересечения парабол: Левые части уравнений равны, значит равны и правые:



По теореме Виета, определяем:

Для решения задачи воспользуемся четвёртой формулой:

Упражнения. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

















§3.Применение определённого интеграла при решении физических задач.


Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью V0 = V(t).Требуется найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t = a до t = b.Если скорость постоянна, то S = V(b-a). Если скорость непостоянна поступают следующим образом: промежуток времени [ а; в ] разбивают точками t0 = a, t1,…, t n-1, tn = b на n отрезков одинаковой длины, которая определяется формулой: ti= t i-t i-1=, где i = 1, 2, … , n.Выбрав произвольную точку с на каждом отрезке [ t i-1, t i ] , составим сумму:V(Ci)ti.Это приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки разбиения, S =V(Ci)ti . А этот предел есть определенный интеграл от функции V(t) на отрезке [;] , то есть: S = V(t)dt .

Пример 1. Тело движется прямолинейно со скоростью V (t) = (3t2 + 4t + 1) м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды.

S =( 3t2 + 4t + 1 ) dt = ( t3 + 2t2 + t )= 48 м.

Пример 2. Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (t + 6t 2) м/с. Найти путь, пройденный телом за третью секунду.

S = ( t + 6t2 ) dt = (t2+ 2t3 ) = 40,5 м.

Пример 3. Определить максимальную высоту подъема камня, брошенного вертикально вверх со скоростью (18t+3t2 ) м/с.

1.Определим время движения тела от начала движения до остановки:

18t – 3t2 = 0

6tt2 = 0

t ( 6 – t ) = 0

t1 = 0 t 2= 6

2.Найдем высоту подъема:

H = (18t – 3t2) dt = 9t - t3 = 9(36–0) - (216 –0) =324 –216 = 108 (м).

Ответ: 108 метров.

Упражнения. Решить задачи.

299) Скорость движения точки изменяется по закону V= (3t2 + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

300) Скорость движения точки V = (9t2 - 8t ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за четвёртую секунду.

301) Скорость движения точки V = (12t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

302) Скорость движения точки V = (6t2 + 4 ) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

303) Скорость движения точки V = (18t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

304) Скорость движения точки V=(24t – 6t2) м/с. Найдите: 1) путь, пройденный точкой за 3 секунды от начала движения; 2) путь, пройденный точкой за третью секунду; 3) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

305) Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = (6t2 + 2t ) м/с, второе – со скоростью V = (4t + 5 ) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

306) Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V = 3t2 м/с, второе – со скоростью V = (6t2 +10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

307) Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2 + 4t) м/с, второе – со скоростью v = (6t + 12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

308) Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью V = (3t2 - 6t) м/c, второе – со скоростью V= (10t + 20)м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

309) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью

V = (39,2 – 9,8 t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

310) Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью

V = (29,4 – 9,8 t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

311) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t2 + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за первые 5 секунд.

312) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = (2t3 + 1) м/с. Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от t = 1с до t = 3c.

313) Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается формулой V(t) =

(12t – 3t2) м/с. Найдите путь, пройденный телом от начала его движения до остановки.

314) Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной и точки в одном направлении соответственно со скоростями V1(t) =(6t2 + 4t) м/с и V2(t) = 4t м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?

315) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) =(4t+a)м/с. Найдите ускорение а, если известно, что путь, пройденный телом за 2 с от начала движения, равен 48 м.

316) Тело движется по прямой со скоростью V(t) = (6t + 4)м/с. Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду.

317) Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t = 0 c до t=5 c, если точка двигалась прямолинейно со скоростью V(t) = (9,8t – 0,003t2) м/с.







Название документа Глава 7.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Глава 7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

§1.Понятие численного интегрирования. Виды численного интегрирования.

Определенный интеграл вида c пределами интегрирования a и b можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямы х=а и х=в, осью абсцисс и графиком подынтегральной функции f(x). Если известна первообразная F(x) для функции f(x), то интеграл легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница. Для некоторых подынтегральных функций f(x) интеграл можно вычислить аналитически, то есть найти в таблице. Однако в общем случае функция F(x) может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией f(x)).

«Классические» методы.

Во всех этих методах отрезок интегрирования [a; b] разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся искомые площади (рис. 1): h = и xn = x0 + nh.

Оценкой площади под кривой f(x) служит сумма площадей криволинейных трапеций S0; S1…..Sn-1. Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что подынтегральная функция f(x) заменяется

на отрезке [a; b] интерполяционным многочленом y(x) и получается приближенное равенство: . hello_html_4774fee3.gifрис. 1

Метод прямоугольников.


Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников, заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунках 2 и 3.

В обычном методе прямоугольников значение f(x) вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением:

S=S0 +S1 +…. + Sn-1 =, где Si = hf(xi).

Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах [xi;xn-1] получим примерное значение искомого определенного интеграла:

S = , где хi=a+ih. (1 случай).

Погрешность приближения показана на рисунке 2 закрашенной фигурой.

hello_html_m11e96aa6.gif

рис 2 рис 3

Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении f(x) не в начальной, а в средней точке каждого отрезка рис 3. В этом случае искомый интеграл оценивается выражением:

S = , где хi =h.

Метод трапеций.



Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными значениям f(x) в начале и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения f(x) в начальной и конечной точках отрезка (рис 4).

hello_html_m2889aa0c.gifрис 4.

Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле

S1 = h, где h =.

Просуммируем элементарные площади, то полная площадь определяется выражением: S = (f(a) + f(b) + 2). Погрешность показана на рисунке 4 заштрихованной фигурой.

Метод Симпсона (парабол).

Более высокую точность расчетов обеспечивает использование параболической (квадратичной) интерполяции по трем соседним точкам отрезка. Уравнение полинома второй степени, проходящего через точки (x0;y0), (x1;y1), (x2;y2) можно записать в виде

Проинтегрировав данное равенство с учетом того, что получим — площадь под параболой на отрезке [x0; x2]:

S0 = = (y0 + 4y1 + y2) h.

Просуммировав все элементарные площади, получим:

S = = (f(a) + 4f(a + h) + 2f(a + 3h) + 2f(a + 4h) +….+4f(b – h) + f(b),

причем — обязательно четное число.

Условия применяемости, точность и сходимость классических методов.

А. Практически все выведенные формулы применимы для численного интегрирования достаточно регулярных функций f(x), то есть для функций, которые можно представить полиномом:

В методе прямоугольников f(x) на каждом малом сегменте заменяется прямой, описываемой первым членом в разложении: y = x0 (рис 2). В методе трапеций для f(x) берутся два члена разложения: y = a0 + a1x (рис 4); метод Симпсона (парабол) учитывает еще и третий член разложения: y = a0 + a1 + a2x2.

Очевидно, что величина погрешности зависит от характера функции f(x), ее поведения на концах отрезка интегрирования, следовательно, никакой численный метод не может быть рекомендован как универсальный. Применение конкретного метода зависит от вида подынтегральной функции.

Б. Не вдаваясь в математические тонкости выведения формул погрешностей вычисления интеграла различными методами, приведем лишь сами формулы. Итак, формулы для оценки погрешности численного интегрирования методом:

  1. прямоугольников (обычным и модифицированным)

  1. трапеций

  1. Симпсона

где

Очевидно, формула Симпсона обладает повышенной точностью:

1.Она оказывается точной для функций, являющихся полиномами до третьей степени включительно, так как для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю;

2.Для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в формуле Симпсона можно брать меньшее число отрезков разбиения.

Пример 1. Вычислить интеграл S = по формуле трапеций, разделив отрезок на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений. Оценим ошибку метода. Для этого найдем вторую производную подынтегральной функции: f// = (2 – х2)sinx + 4xcosx. На отрезке [0; 1] вторая производная всюду положительна, причем ее значение ограничено сверху числом 3,3. Таким образом, используя формулу имеем:

полагая , получим

Итак, приняв на заданном участке интегрирования n = 10, мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей 0,001375, если будем вести вычисления таким образом, чтобы погрешность округления не исказила окончательный результат в пределах точности метода. В соответствии с формулой трапеций и учетом рассчитанной ошибки получим

Пример 2. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона, n = 10.

Для оценки остаточного члена найдем производную четвертого порядка от подынтегральной функции f(x) = x2sinx. y//// = (х2 – 12)sinx – 8xcosx.

Производная четвёртой степени ограничена числом 14.

Приведем полученный результат в соответствии с оценкой

Упражнения:

318) Вычислить определённые интегралы:

Вариант

Подынтегральная функция


Пределы интегрирования

a b

1


5

6,5

2


2

3,5

3


3

3,5

4


0

2

5


0,5

2

6


2

2,5

7


0

1

8



2

9


2

5

10


0,2

0,3

11


0


12


0

2

13


0


14


1

2

15


0

1

16


0

2

17


0

1

18


0,5

1

19


0


20


0


21


0,1

0,5

22


1

2

23


0

1

24


3

4

25


0,1

0,3

§2.Понятие численного дифференцирования.

Проектирование формулы численного дифференцирования получается в результате дифференцирования интерполяционных формул. Пусть известны значения функции в точках (x1,...,xn)  и требуется вычислить производную f(k)(x0). Построим интерполяционный многочлен Pk(x) и положим hello_html_1240cb42.png.

Другой способ построения формул численного дифференцирования приводит к тем же формулам - метод неопределённых коэффициентов. Чаще всего метод используется в многомерном случае, когда построить интерполяционный многочлен достаточно сложно. В этом случае коэффициенты численного дифференцирования ci выбираются из того, чтобы формула hello_html_m7187d74e.png была точна для многочленов максимально высокой степени. Пусть hello_html_24ba78a5.png и потребуем, чтобы для такого многочлена соотношение для f(k)(x) обратилось в равенство: hello_html_m4f332e33.png.

Чтобы равенство выполнялось для любого многочлена степени m , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при aj в правой и левой частях были равны (xj)(k)= j(j − 1)...(j  k + 1)xj  k. Получаем систему уравнений: hello_html_m2e1d4af1.png относительно ci. Если m = n − 1, то число уравнений равно числу неизвестных. Определитель системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля , то есть всегда можно построить формулу численного дифференцирования с n узлами, точную для многочленов степени n  i.

Формулы численного дифференцирования, получение интерполяционного многочлена.

Приводимые ниже формулы численного дифференцирования применяются в тех случаях, когда функция y = f(x) задана таблично ( yi= f(xi) в равносторонних узлах hello_html_175ff16a.png ). 1) hello_html_29229c7f.png (Формула применяется только для начальных строк таблицы) 2) hello_html_5b6cd410.png (Формула применяется только для последних строк таблицы)

В середине таблицы применяется формулаhello_html_58a55283.png, полученная путем дифференцирования инерполяционного многочлена Стирлинга.

Замечание: Основной принцип численного дифференцирования заключается в следующем: поскольку любую функцию, заданную таблично, можно представить интерполяционным многочленом, выбрав какое-нибудь множество из  n +1  узлов, то производную от интерполяционного многочлена hello_html_5360e7d9.png можно использовать в качестве приближенного применения таблично заданной функции hello_html_2d1bfdac.png. Обычно формулы численного дифференцирования применяют для нахождения производных в узлах xi , так как при этом любую точку можно принимать за начальную, то формулы записывают для x0. Приближенные формулы нахождения производных второго порядка получается путем двукратного дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и Стирлинга.

1) hello_html_4f0c486a.png (для начала таблицы)

2) hello_html_41393767.png (для конца таблицы)

3)hello_html_172f27aa.png (для середины таблицы)

При численном дифференцировании таблично заданной функции y = f(x) возникают погрешности двух типов:

  • погрешности усечения

  • погрешности округления

При оценке погрешности усечения, оценив на практике, предполагают, что f(x) не имеет быстро колеблющихся составляющих (период которых не превосходит h). При этом условии величина разностей определенного может свидетельствовать о качестве приближения функции f(x) интерполяционным многочленом подходящей степени. Если разности порядка m различаются меньше, чем на величину погрешности их округления, то считают, что эти разности практически постоянны и погрешность усечения не превосходит единицы младшего разряда значений hello_html_m41c046bc.png. С уменьшением шага расчета погрешность усечения убывает hello_html_c6f1f2.png.

Погрешности округления обратно пропорциональна шагу расчета h в формулах для первой производной, обратно пропорциональна h2 в формулах для второй производной и так далее. Поэтому при уменьшении шага расчета h погрешность округления увеличивается. Для оценки используются правила из теории погрешности hello_html_m74fb5e73.png.

Обобщения погрешность вычисления производной может рассматриваться как сумма погрешности усечения и погрешности округления hello_html_296ed6be.png так как с уменьшением порядка интерполяции погрешность усечения убывает, а погрешность округления возрастает, то существует оптимальный шаг расчета, при котором полная погрешность минимальна:hello_html_m4e097a7b.png.



Пример 1. Найти  у / (1)  и  у // (1) для функции у (х), заданной таблицей:

Значения функции у (х):


x


y


Δy


Δ2y


Δ3y


Δ4y

0.96

0.7825361

 

 

 

 

 

 

86029

 

 

 

0.98

0.7739332

 

1326

 

 

 

 

– 87355

 

25

 

1.00

0.7651977

 

1301

 

1

 

 

– 88656

 

26

 

1.02

0.7563321

 

1275

 

 

 

 

89931

 

 

 

1.04

0.7473390

 

 

 

 


Решение.  В соответствии с таблицей получим: h = 0,02, х = 1, х0 = 1, следовательно, q = 0. Составив конечные разности для функции у (х) и используя подчеркнутые значения, по формуле 1 получим:

hello_html_m7a5243d.png

Аналогично, используя выделенные значения по формуле 2 получим:

hello_html_m446918c6.png





Название документа История производной.pptx

Галерея ученых Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциально...
Из истории дифференциального исчисления Дифференциальное исчисление – это раз...
Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) итальянский математик Понятие производной вп...
Галилео Галилей (1564-1642) Итальянский философ, математик, физик, механик и...
Декарт Рене (1596-1650), французский ученый Декартовы координаты Естественно-...
Джеймс Грегори (1638 – 1675) Шотландский математик и астроном Один из основоп...
Ньютон Исаак (1643-1727), английский ученый Бином Ньютона - это формула, дающ...
Немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 –...
Якоб Бернулли (1654 – 1705) Швейцарский математик. Внёс огромный вклад в разв...
Гийом Франсуа Лопиталь (1661 – 1704) Французский математик Издал первый печат...
Леонард Эйлер (1707 – 1783) Немецкий и русский математик, механик и физик. Ем...
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) Французский математик и механик итальянского...
1 из 12

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Галерея ученых Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциально
Описание слайда:

Галерея ученых Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциального исчисления

№ слайда 2 Из истории дифференциального исчисления Дифференциальное исчисление – это раз
Описание слайда:

Из истории дифференциального исчисления Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций. Приращения вида , представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Поэтому естественно появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления. Термин «производная» является буквальным переводом на русский язык французского слова derivee, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж. Он же ввел современные обозначения и . Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как df/dx. Это обозначение встречается и в современной литературе. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.

№ слайда 3 Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) итальянский математик Понятие производной вп
Описание слайда:

Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) итальянский математик Понятие производной впервые встречалось в работах Тартельи Николо Касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В сочинении «Новая наука» (1537) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Работа «Общий трактат о числе и мере» содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тартальи также связано с разработкой способа решения кубических уравнений.

№ слайда 4 Галилео Галилей (1564-1642) Итальянский философ, математик, физик, механик и
Описание слайда:

Галилео Галилей (1564-1642) Итальянский философ, математик, физик, механик и астроном Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей – основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической кинематики. В XVII веке на основе учения Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной.

№ слайда 5 Декарт Рене (1596-1650), французский ученый Декартовы координаты Естественно-
Описание слайда:

Декарт Рене (1596-1650), французский ученый Декартовы координаты Естественно-научные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единого метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a2, x-1...). Автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике.

№ слайда 6 Джеймс Грегори (1638 – 1675) Шотландский математик и астроном Один из основоп
Описание слайда:

Джеймс Грегори (1638 – 1675) Шотландский математик и астроном Один из основоположников математического анализа. Автор одного из первых проектов зеркального телескопа. Разработал приём вычисления площади сектора круга, гиперболы и эллипса. Попытался доказать, что круговые и логарифмические функции не могут быть сведены к алгебраическим операциям. Вывел формулу приближённого интегрирования.

№ слайда 7 Ньютон Исаак (1643-1727), английский ученый Бином Ньютона - это формула, дающ
Описание слайда:

Ньютон Исаак (1643-1727), английский ученый Бином Ньютона - это формула, дающая выражения степени (a+b) n двучлен (a+b) с любым натуральным показателем n. Например: при n=1, (a+b)= a+b, при n=2, (a+b)= a 2 +2ab+ b 2. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математические и физические теории.

№ слайда 8 Немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 –
Описание слайда:

Немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 – 1716) Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия и четко указал на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Создал комбинаторику как науку. Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела. Привел доказательства существования подсознания человека.

№ слайда 9 Якоб Бернулли (1654 – 1705) Швейцарский математик. Внёс огромный вклад в разв
Описание слайда:

Якоб Бернулли (1654 – 1705) Швейцарский математик. Внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Решил задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Ввёл и проинтегрировал дифференциальное уравнение. Принадлежат значительные достижения в теории рядов, теории вероятностей, теории чисел.

№ слайда 10 Гийом Франсуа Лопиталь (1661 – 1704) Французский математик Издал первый печат
Описание слайда:

Гийом Франсуа Лопиталь (1661 – 1704) Французский математик Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению — «Анализ бесконечно малых» (1696). В книге есть т. н. правило Лопиталя — правило нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к 0, Кроме того, он создал курс аналитической геометрии конических сечений, Ему также принадлежит исследование и решение с помощью математического анализа нескольких трудных задач по геометрии и механике, в частности одно из уравнений знаменитой задачи о брахистохроне.

№ слайда 11 Леонард Эйлер (1707 – 1783) Немецкий и русский математик, механик и физик. Ем
Описание слайда:

Леонард Эйлер (1707 – 1783) Немецкий и русский математик, механик и физик. Ему принадлежат сочинения о дифференциальном и интегральном исчислениях, где рассматриваются не только данные разделы математики, но и развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных. Ему принадлежит первое изложение вариационного исчисления. Он является создателем теории специальных функций. Известны его работы по теории чисел.

№ слайда 12 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) Французский математик и механик итальянского
Описание слайда:

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) Французский математик и механик итальянского происхождения. Лучший математик 18 века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала. Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики. Внёс огромный вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.

Название документа Бурмистрова МВ рекомендации.doc

Поделитесь материалом с коллегами:



Методические рекомендации.



1. Электронное учебное пособие «Математика» создано согласно определению:



Электронное учебное пособие - учебное электронное издание, частично или полностью заменяющее или дополняющее электронный учебник.

2. Данное электронное учебное пособие является частью учебно-методического комплекса «Математика» для специальностей 030912 и 034702 СПО, которое составлено в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами СПО по специальностям 030912 «Право и организация социального обеспечения» (приказ № 770 Министерства образования и науки РФ от 13.07.2010г) и 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение» (приказ №75 Министерства образования и науки РФ от 25.01.2010г). Направлено на приобретение практических навыков при решении прикладных задач. Материалы учебного пособия могут быть использованы для дистанционной формы обучения студентов.

3.В учебное пособие дополнительно включены: презентации (в демонстрационном варианте – галерея учёных, стоящих у истоков возникновения производной), интерактивный кроссворд; образовательные мультимедиа системы с аудиокомментариями; в учебный материал включены аудио и видеосюжеты (в демонстрационной версии видеосюжеты отсутствуют – большой объём), анимация.

4. Организованы контекстные подсказки, ссылки; программная оболочка APMS, в которой выполнена работа, базируется на отлаженной системе моментальной навигации (гипертекст).

5.Возможен оперативный самоконтроль знаний студентов при выполнении ими упражнений и тестов (ОМС).

6. Этот “электронный лектор” призван не только сохранить все достоинства учебного пособия, но и в полной мере использовать современные информационные технологии, мультимедийные возможности, предоставляемые компьютером.

7. Чтобы организовать просмотр образовательных мультимедиа систем, необходимо загрузить с портала и установит на своём локальном компьютере специальное программное обеспечение – проигрыватель ресурсов: http://fcior.edu.ru/player.page.

8.Для работы с данным учебным пособием необходимо запустить файл autorun.exe.



Интернет – ресурсы:

Образовательные мультимедиа системы (ОМС) – интерактивный продукт Федерального центра информационно – образовательных ресурсов: http://fcior.edu.ru/ .







57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Данное электронное учебное пособие предназначено для проведения занятий математики для студентов второго курса гуманитарных специальностей системы среднего профессионального образования. Содержит весь необходимый теоретический и практический материал, а так же интерактивный кроссворд по теме "Производная", презентацию по истории возникновения и становления производной, а так же образовательные мультимедийные системы по всем темам

Автор
Дата добавления 18.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров116
Номер материала ДБ-199739
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх