Учебное пособие на тему "Нестандартное применение производной в профильных классах математического направления"

Тем, кто учит математику
Тем, кто учит математике
Тем, кто любит математику
Тем, кто еще не знает,
Что может полюбить математику…
Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев
сделать его немного занимательным.

Б. Паскаль

Тема исследования

Нестандартное применение производной в профильных классах математического направления.

Актуальность проблемы

Тема «Производная и ее применение» - это один из важнейших разделов курса алгебры и начал математического анализа. Часто, ученики, сталкиваясь с этим понятием в первый раз, не понимают для чего нужно его изучать. Они не видят практического применения этой темы. Хочется заинтересовать учащихся, чтобы изучение данной темы было более осознанно, показать многогранность применения понятия производной. Поэтому данный проект направлен на то, чтобы ученики выяснили, зачем нужно изучать производную, в каких задачах применять, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах.

Цели проекта:

− получение учащимися новых знаний по теме “Нестандартное применение производной”;

− формирование собственного опыта учащихся, связанного с организацией самообучения; а также устойчивого, познавательного интереса к предмету;

− приобретение навыков научно-исследовательской деятельности у школьников;

− развитие интеллектуальных творческих способностей личности,

− воспитание у учащихся духа сотрудничества, соавторства.

Задачи

1. Исследовать материал по применению производной для работы с

− уравнениями,

− неравенствами,

− при сравнении чисел,

− применении производной для решения текстовых задач на наибольшее и наименьшее значение функции.

2. Изучить исследуемый материал.

3. Классифицировать задачи по применению производной.

4. Привести решения типичных задач для каждого класса.

5. Разработать серию задач для самостоятельного решения.

Гипотеза

Нестандартное применение производной в задачах разного типа помогает успешно освоить программу школьного курса и сдать экзамены ЕГЭ.

Этапы исследования

Формулировка цели и задач, выдвижение гипотезы, обсуждение методов исследования, сбор информации, анализ экспериментальных данных, выводы, оформление результатов.

Объект исследования

Раздел математики: Производная и ее применение

Предмет исследования

Нестандартное применение производной.

Методы

Поисковый, исследовательский, научно-познавательный

В данной работе хотелось бы акцентировать внимание на применении производной для решения задач.

Рассмотрим вопросы, касающиеся производной в обязательном минимуме содержания основных образовательных программ в стандарте среднего (полного) общего образования по математике для базового и профильного уровней.

Для базового уровня:

АЛГЕБРА

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной.

Для профильного уровня:

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

Очевидно, что для профильных классов изучение производной происходит более углубленно, поэтому в данном педагогическом проекте, хотелось бы остановиться более подробно на применении производной для работы с уравнениями, неравенствами, при сравнении чисел, а также на применении производной для решения текстовых задач на наибольшее и наименьшее значение функции. Здесь не будут рассмотрены традиционные примеры применения производной, а именно: геометрический и физический смысл производной, задачи на экстремумы, исследование функций на монотонность и т.д.

На рис. 1 представлена классификация задач, решаемых с помощью производной в данном педагогическом проекте.

В педагогическом проекте представлены упражнения с решениями, дидактический материал, а также необходимые теоретические пояснения, причем часть задач дидактического материала используется в ЕГЭ.

Организационная диаграмма

Рис.1 Классификация задач, решаемых с помощью производной.

1. Теоретический материал.

1.1. Из истории дифференциального исчисления

Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной – возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.

Займёмся первой из них.

Пусть s, пройденный прямолинейно и неравномерно движущейся точкой, есть функция от времени t. Пусть это движение выражается некоторым законом

и требуется найти скорость движения в момент t₁. Если t₁ и t₂ являются двумя различными значениями аргумента t, а s₁и s₂ – соответствующими им значениями функции s, то «средняя» скорость Vср движения за промежуток времени t₂-t₁ выразится так:

Чем ближе будет t₁ к t₂, т.е. чем короче промежуток времени t₂-t₁, тем точнее эта формула определит скорость в мгновенье t₁. Поэтому естественно принять за мгновенную скорость v движущейся точки в момент t₁ предел, к которому стремится средняя скорость Vср точки, когда промежуток времени t₂-t₁стремиться к нулю, или, что то же самое, когда t₂стремится к t₁.Итак,

Эта задача была впервые решена Ньютоном. Функции он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной (от латинского fluere-течь), производную же – флюксией (от того же fluere). Ньютон обозначал функции последними буквами латинского алфавита u, x, y, z, а их флюксии, т.е. производные от флюэнт по времени,- соответственно теми же буквами с точкой над ними: u, x, y, z.

Ньютон пришёл к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате, названном им «Метод флюксий и бесконечных рядов», который был составлен около 1671г. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксии ещё в середине 60-х годов XVII века, однако вышеназванный его трактат был опубликован посмертно лишь в 1736г.

1.2. Определение производной

Существуют разные определения производной:

1) Математический энциклопедический словарь:

Производная есть функция, определяемая для каждого числа x как предел отношения:

если он существует. Производную функции y = f(x) обозначают

2) А.Н.Колмогоров: Производной функции f в точке называется число, к которому стремится разностное отношение

при стремящемся к нулю.

Найденное таким образом число иногда называют (по аналогии с физикой)

скоростью изменения функции f в точке .

3) Н.Я.Виленкин: Производной функции f называется функция значение которой в точке x выражается формулой

4) Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой её окрестности. Дадим аргументу x приращение , такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдём соответствующее приращение функции и составим отношение Если существует предел этого отношения при то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке x и обозначают .

Итак,

Для обозначения производной часто используют символ

1.3. Стих о производной

(из учительского фольклора)

В данной функции от икс, нареченной игреком,

Вы фиксируете x, отмечая индексом.

Придаёте вы ему тотчас приращение,

Тем у функции самой вызвав изменение.

Приращений тех теперь, взявши отношение,

Пробуждаете к нулю стремление.

Предел такого отношенья вычисляется,

Он производною в науке называется.

1.4. Теорема Лагранжа и теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Критическими точками функции y=f(x) называются внутренние точки области определения f(x), в которых производная равна нулю или не существует.

В критических точках, где производная не существует функция y=f(x) также может иметь экстремум, например y=|x| - эта функция не имеет производной в т. х=0, но имеет минимум в этой точке.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то найдется по крайней мере одно значение такое, что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть АВ – хорда, соединяющая точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) (рис. 2). Тогда отношение равно тангенсу угла наклона к оси ОХ прямой, проходящей через точки А и В, а производная f'(c) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке касания (c;f(c)). Другими словами, у графика непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b) функции существует хотя бы одна точка (c;f(c)), через которую проходит касательная, параллельная хорде АВ.

Рис. 2

Теорема (о промежуточном значении непрерывной функции). Пусть y=f(x) – непрерывная и монотонная функция на отрезке [a;b], причем f(x) принимает положительные и отрицательные значения на этом отрезке, тогда существует единственное решение уравнения f(x)=0.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке надо:

1. Найти значение функции на концах отрезка;

2. Найти значение функции в точках, где производная равна 0;

3. Найти значение функции в точках, где производная не существует;

4. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

2. Практическая часть.

2.1. Уравнения.

2.1.1. Решение уравнений

№ 1 Решить уравнение

Решение.

Рассмотрим

Т.к. - критические точки f(x).

В точках x=-1, x=1 f(x) непрерывна, поэтому x=-1 – локальный min f(x),

x=1 – локальный max f(x).

, поэтому y=0 – горизонтальная асимптота f(x).

f(-1)=-1; f(1)=1.

Рассмотрим функцию g(x)=x²-2x+2, g(x) определена на всей числовой прямой.

g'(x)=2x-2

g'(x)=0 при x=1, поэтому х=1 – критическая точка g(x)

В точке х=1 g(x) непрерывна, поэтому х=1 – локальный min g(x). g(1)=1.

g(x)

f(x)

Изобразим графики функций f(x) и g(x)

Из графиков видно, что уравнение имеет единственное решение х=1.

Ответ: х=1.

2) lnx-x=-1+(x-1)²

Решение: Рассмотрим f(x)= lnx-x.

D(f): x>0.

f'(x)=0 при х=1, поэтому х=1 – критическая точка f(x). Заметим, что f'(x) не существует при х=0, но т.к. D(f): x>0, поэтому х=0 не является критической точкой f(x).

В точке x=1 f(x) непрерывна, поэтому x=1 – локальный max f(x). f(1)=-1.

Рассмотрим функцию g(x) =-1+(x-1)², g(x) определена на всей числовой прямой.

g'(x)=2(x-1)

g'(x)=0 при x=1, поэтому х=1 – критическая точка g(x)

В точке х=1 g(x) непрерывна, поэтому х=1 – локальный min g(x). g(1)=-1.

Изобразим графики функций f(x) и g(x).

f(x)

g(x)

Из графиков видно, что уравнение имеет единственное решение х=1.

Ответ: х=1.

3) xe^-^x+e^-^x+0,5x²-1=0

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = xe^-^x+e^-^x+0,5x²-1, f(x) непрерывна и определена на всей числовой прямой. Найдем участки возрастания и убывания f(x).

Т.к. f'(x)= e^-x-xe^-x+x-e^-x=x(1-e^-x), то

f'(x)=0 при х=0,

f'(x)>0 при х>0 и x<0.

Таким образом функция f(x) непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой, поэтому ее график может пересечь ось ОХ только в одной точке. Следовательно, решение данного уравнения единственно. Учитывая, что f(0)=0, заключаем, что решением уравнения является х=0.

Ответ: х=0.

Решение: Перепишем это уравнение в виде:

Рассмотрим функцию и g(x)=3-x.

Заметим, что решением данного уравнения являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций f(x) и g(x). Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x). Область определения f(x) состоит из всех x≥0.

Так как при х>0, поэтому f(x) возрастает при х≥0.

Областью определения функции g(x)=3-x является вся числовая прямая и функция g(x) убывает.

Так как f(x) возрастает при х≥0, а функция g(x) убывает на всей числовой прямой, то решение уравнения f(x)=g(x) единственно, если существует.

Нетрудно заметить, что при х=1 f(1)=2 и g(1)=2, х=1 – это решение данного уравнения.

Ответ: х=1.

Решение: Рассмотрим функцию

Сделаем замену переменных: .

Область определения f(y) состоит из всех y>0.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем критические точки f(y).

f'(y)=0, если (2y+1)ln3=(y+1)ln12 и следовательно y(2ln3-ln12)=ln12-ln3

Точка <0 и, следовательно не входит в область определения f(y).

f'(y) – не существует при y=0 и y=-1, но эти точки тоже не входят в область определения f(y), поэтому критических точек у функции нет.

При y>0 f'(y)<0, поэтому f(y) убывает при y>0.

Следовательно, если решение уравнения f(y)=0 существует, то оно единственно. Нетрудно заметить, что при y=3 f(y)=0, следовательно y=3 - решение уравнения f(y)=0.

Найдем x, зная что .

Поэтому х=40,5 решение уравнения f(x)=0.

Ответ: х=40,5

Решение: решением данного уравнения являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций и .

Исследуем на монотонность f(x). Область определения f(x) состоит из всех х≥0.

При х≥0 f'(x)>0, поэтому при х≥0 f(x) –возрастает.

Область определения g(x) состоит из всех х, таких что , поэтому .

Найдем промежутки возрастания и убывания g(x).

При g'(x)<0, поэтому g(x) убывает.

Область определения уравнения f(x)=g(x) состоит из всех , причем на этом интервале f(x) возрастает, а g(x) убывает, поэтому если решение существует, то оно единственно. Нетрудно заметить, что при х=16 f(x)=5 и g(x)=5, поэтому х=16 решение уравнения f(x)=g(x).

Ответ: х=16.

Решение: пусть f(x)= и .

Исследуем функции на монотонность. Область определения f(x) состоит из всех х>0.

Так как , то критической точкой f(x) является х=1.

Так как f(x) непрерывна, то в точке х=1 имеется локальный min f(x), т.е.

Область определения g(x) состоит из всех y>0.

Так как g'(y)=3(1-lny)-3=-3lny, то критической точкой g(y) является y=1, т.к. g'(y)=0 при y=1.

Таким образом при любом при любом х>0 , а

при любом y>0 .

Таким образом данное уравнение имеет единственное решение при

Ответ: .

8) 4^x+1=2^x+1siny

Решение: преобразуем данное уравнение к следующему виду: .

Пусть .

Исследуем функцию на монотонность. Областью определения является все множество действительных чисел R.

Так как f'(x)=2^x-1ln2-2^-^x-1ln2=), то критической точкой является х=0.

Поэтому , а siny≤1.

Итак siny≤1≤f(x), поэтому .

Ответ: .

2.1.2. Определение количества корней

№2 Найти число действительных корней уравнения.

Решение: пусть , D(f): x≥1.

Найдем промежутки возрастания и убывания непрерывной функции f(x).

Так как , то f(x) возрастает при любом х≥1.

Заметим, что f(1)=

f(10)=.

Так как f(x) возрастает при х≥1, то f(x) возрастает и при . Так как на концах отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции заключаем, что функция f(x)=0 при в единственной точке х1, такой что , то есть f(x1)=0, поэтому данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: один.

2) x⁵+x²+1=0

Решение: пусть f(x)= x⁵+x²+1, тогда D(f)=R.

f'(x)=x(5x³+2)

, причем f(x) непрерывна в своей области определения. Схематично график функции выглядит следующим образом:

Очевидно, что график функции f(x) пересекает ось ОХ в одной точке, поэтому в уравнении f(x)=0 одно решение.

Ответ: одно.

Решение: перепишем уравнение в виде

Пусть f(x)=

D(f): x≥2.

Найдем промежутки возрастания и убывания непрерывной функции f(x).

, то f(x) возрастает при , f(2)=2.

Поэтому при выполняется неравенство f(x)≥f(2)=2.

Равенство f(x)=0 в данном случае никогда не выполняется, поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет.

Решение: перепишем уравнение в виде

Пусть f(x)=

D(f): x≥1/2.

Найдем промежутки возрастания и убывания непрерывной функции f(x).

то f'(x)=0 при х=17/6.

Заметим, что f(200)>0

Так как f(x) возрастает при х≥17/6, то f(x) возрастает и при . Так как на концах отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции заключаем, что функция f(x)=0 при в единственной точке х1, такой что , то есть f(x1)=0, поэтому данное уравнение имеет единственное решение.

Схематично график функции выглядит следующим образом:

Исследования показали, что график функции пересекает ось абсцисс ровно в одной точке, следовательно данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: одно.

2.1.3. Определение количества корней в зависимости от параметра

№ 3 Для каждого значения а найти число действительных решений уравнения.

1) x⁴-4ax³-2=0

Решение: перепишем уравнение в виде: . Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.

Пусть . Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f)=R\{0}.

f(-x)=-f(x), поэтому f(x) нечетная функция и график ее будет симметричен относительно начала координат.

Найдем нули и промежутки знакопостоянства функции.

Поэтому f(x)=0 при и .

Критических точек у f(x) нет, функция возрастает при любом х из D(f).

Найдем асимптоты f(x).

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).

Найдем наклонную асимптоту f(x).

Следовательно - наклонная асимптота f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a. Из того, что f(x) является непрерывной и возрастающей на интервалах и следует, что данное уравнение имеет 2 решения при любом значении а.

Ответ: два.

2) 2x³-3ax²+1=0

Решение: перепишем уравнение в виде: . Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.

Пусть . Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f)=R\{0}.

Критическая точка f(x) это х=1.

Так как f(x) непрерывна в точке х=1, то эта точка является локальным min f(x).

Найдем асимптоты f(x).

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).

Найдем наклонную асимптоту f(x).

Следовательно - наклонная асимптота f(x), х=0 – вертикальная асимптота f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.

Следовательно, при а<1 уравнение f(x)=a имеет одно решение,

при а>1 уравнение f(x)=a имеет 3 решения,

при а=1 уравнение f(x)=a имеет 2 решения.

Ответ: при а<1 - одно решение; при а>1 - 3 решения, при а=1 - 2 решения.

3) lnx=ax

Решение: перепишем уравнение в виде: . Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.

Пусть. Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f):x>0.

Так как , то f'(x)=0 при х=е, эта точка является критической.

Так как f(x) непрерывна в точке х=e, то эта точка является локальным max f(x).

Найдем асимптоты f(x).

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).

Следовательно - горизонтальная асимптота f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Следовательно, при а=1/е, а≤0 уравнение f(x)=a имеет одно решение,

при а>1/e уравнение f(x)=a не имеет решений,

при 0<а<1/e уравнение f(x)=a имеет 2 решения.

Ответ: при а=1/е; а≤0 - одно решение,

при а>1/e - не имеет решений,

при 0<а<1/e - 2 решения.

4) e^x=ax²

Решение: перепишем уравнение в виде: . Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.

Пусть. Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f)=R\{0}.

Так как , то f'(x)=0 при х=2, эта точка является критической.

Так как f(x) непрерывна в точке х=2, то эта точка является локальным min f(x).

Найдем асимптоты f(x).

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).

;

Следовательно - горизонтальная асимптота f(x) при .

График f(x) выглядит следующим образом:

Следовательно, при уравнение f(x)=a имеет одно решение,

при а≤0 уравнение f(x)=a не имеет решений,

при уравнение f(x)=a имеет 2 решения,

при уравнение f(x)=a имеет 3 решения.

Ответ: при - одно решение, при а≤0 - не имеет решений, при - имеет 2 решения, при - 3 решения.

5) cos³xsinx=a при

Решение: Пусть f(x)=cos³xsinx . Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f)=R.

Так как ,

то f'(x)=0 при cosx=0, т.е. ,

tgx=, т.е.

На числовой прямой отметим точки, удовлетворяющие условию: .

Так как f(x) непрерывна в точке х=, то эта точка является локальным max f(x).

Так как f(x) непрерывна в точке х=, то эта точка является локальным min f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Следовательно, при уравнение f(x)=a имеет одно решение,

при , уравнение f(x)=a не имеет решений,

при , уравнение f(x)=a имеет 2 решения,

при уравнение f(x)=a имеет 3 решения.

Ответ: при - одно решение, при , - не имеет решений,

при , - имеет 2 решения, при - имеет 3 решения.

2.1.4. Доказательство того, что уравнение имеет заданное число корней

№4 Определить все значения а, при каждом из которых уравнение имеет заданное число корней.

1) Один корень 2х³-13х²-20х+а=0

Решение: перепишем уравнение в виде: -2х³+13х²+20х=а.

Пусть f(x)= -2х³+13х²+20х. Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f)=R.

Так как ,

то f'(x)=0 при х=5 и х=-2/3, эти точки является критическими.

Так как f(x) непрерывна в точке х=-2/3, то эта точка является локальным min f(x).

и так как f(x) непрерывна в точке х=5, то эта точка является локальным max f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Чтобы найти число корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.

Следовательно, данное уравнение имеет один корень при а>175 и a<-188/27.

Ответ: при а>175 и a<-188/27.

2) Два корня 10^х=ах.

Решение: перепишем уравнение в виде:.

Пусть. Найдем участки возрастания и убывания f(x) и построим ее график.

D(f)=R\{0}.

Так как ,

то f'(x)=0 при , эта точка является критической.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным min f(x).

Найдем асимптоты f(x).

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).

;

Следовательно - горизонтальная асимптота f(x) при .

График f(x) выглядит следующим образом:

Следовательно, данное уравнение имеет два корня при а>eln10.

Ответ: при а>eln10.

3) Три корня 6arctgx-x³+a=0.

Решение: перепишем уравнение в виде: -6arctgx+x³=a.

Пустьf(x)=-6arctgx+x³. Найдем участки возрастания и убывания f(x) и построим ее график.

D(f)=R.

Так как ,

то f'(x)=0 при и х=-1, эти точки являются критическими.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным min f(x).

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным max f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Следовательно, данное уравнение имеет три корня при , т.е. .

Ответ: при .

2.2. Неравенства.

2.2.1. Решение неравенств

№5 Решить неравенство.

1) x³+4x-16>0

Решение: пустьf(x)=x³+4x-16. Найдем участки возрастания и убывания f(x) . D(f)=R.

f'(x)=3x²+4>0 при любом х, следовательно f(x) возрастает на всей числовой прямой и является непрерывной, поэтому график может пересечь ось ОХ только в одной точке, т.е. решение у данного неравенства единственно. При х=2 f(x)=0, поэтому f(x)>0 при х>2.

Ответ: .

Решение: рассмотрим , D(f): x≥0.

f'(x)=0 при х=0 и х=3/5, поэтому эти точки критические.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным max f(x).

f(0)=0.

График f(x) выглядит следующим образом:

Можно сделать вывод, что множеством решений данного неравенства будет .

Ответ: .

3) х²⁷+х¹⁸+448<0

Решение: сделаем замену переменных: x⁹=t.

Неравенство имеет вид: t³+t²+448<0

Рассмотрим , D(f)=R.

f'(x)=0 при t=0 и t=-2/3, поэтому эти точки критические.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным max f(x).

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным min f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

Значения функции в точках локального min и локального max положительны, причем f(t) возрастает при , следовательно, график может пересечь ось ОХ только в одной точке, поэтому уравнение f(t)=0 имеет единственное решение.

Нетрудно заметить, что при t=-8 f(t)=0, поэтому f(t)<0 при t<-8.

x⁹<-8; ; ;

Решение: перепишем неравенство в виде: .

Сделаем замену переменных: .

Неравенство имеет вид:

Рассмотрим, D(f): t>0.

Найдем критические точки f(t). f'(t)=0 , если

tln4-(1+t)ln5=0

<0 – эта точка критической не является, т.к. t>0.

f(t) убывает при t>0, поэтому если решение уравнения f(t)=0 существует, то оно единственно.

Нетрудно заметить, что при t=4 f(t)=0, поэтому f(t)>0 при t.

0<t<4; 0<<4;

0<<16; 0<x<4.

Ответ: 0<x<4.

2.2.2. Доказательство неравенств

№6 Доказать неравенство.

1) доказать, что если, то

Решение: перепишем неравенство в виде: и докажем его.

Пусть f(x)= .

f(0)=0

f'(0)=0

, поэтому f'(x) возрастает при .

f'(x)>f'(0)=0, следовательно f'(x)>0, т.е. f(x) возрастает при .

f(x)>f(0)=0, следовательно

2) доказать, что если, то

Решение: пусть

f(0)=0

f'(0)=0

при , поэтому f'(x) возрастает, т.е.

f'(x)>f'(0)=0, следовательно f'(x)>0, т.е. f(x) возрастает при .

f(x)>f(0)=0, следовательно

3) доказать, что если, то ,

Решение: пусть , D(f): ,

- критическая точка.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным min f(x).

. Поэтому при .

4) доказать, что если, то

Решение: перепишем неравенство в виде: и докажем его.

Пусть f(x)= .

f(0)=0

при

f(x) убывает при .

Следовательно f(x)<f(0)=0 .

5) При x>a>0 доказать

Решение: перепишем неравенство в виде: и докажем его.

Пусть f(x)= , причем x>a.

f(а)=0.

при x>a>0.

f(x) убывает

Следовательно f(x)<f(а)=0

6) докажите неравенство , при решении можно использовать теорему Лагранжа.

Решение: рассмотрим f(x)=lnx на отрезке [a;b]. По теореме Лагранжа:

, .

Так как , то ,

. Умножим неравенство на положительную величину 2ab(b-a)

7) при 0<x<1 доказать неравенство: .

Решение: перепишем неравенство в виде: и докажем его.

Пусть f(x)= , D(f): .

f(0)=0.

при 0<x<1.

f(x) убывает

Следовательно f(x)<f(0)=0, , .

8) при x>0 доказать неравенство: 2x⁴-4x³+3x²+4x+1>0

Решение: перепишем неравенство в виде: 2x⁴-4x³+3x²>-4x-1.

Пусть f(x)=2x⁴-4x³+3x², D(f)=R.

g(x)= -4x-1, D(f)=R.

f'(x)=8x³-12x²+6x=2x(4x²-6x+3).

f'(x)=0 при x=0.

Так как f(x) непрерывна в точке x=0, то эта точка является локальным min f(x).

. Поэтому при любом х.

g'(x)=-4<0, поэтому g(x) убывает при любом х.

g(0)=-1.

Следовательно при х>0

, поэтому , т.е. 2x⁴-4x³+3x²>-4x-1,

2x⁴-4x³+3x²+4x+1>0.

9) при x>0 доказать неравенство: ,

Решение: докажем сначала, что , т.е. .

Рассмотрим f(x)= , D(f)=R.

f(0)=0.

, поэтому f(x) убывает

Следовательно f(x)<f(0)=0, т.е. .

Теперь докажем .

Рассмотрим g(x)= , D(f)=R.

g(0)=0.

, поэтому g(x) убывает

Следовательно g(x)<g(0)=0, т.е. , т.е. .

10) доказать неравенство a⁴+b⁴≥a³b+ab³

Решение: перепишем неравенство в виде: a⁴+b⁴-a³b-ab³ ≥0 .

Преобразуем левую часть неравенства:

a⁴+b⁴-a³b-ab³=a³(a-b)+b³(b-a)=(a-b)(a³-b³)=(a-b)²(a²+b²+ab)≥0 – докажем это неравенство.

Докажем, что a²+b²+ab>0.

Пусть f(a)=a²+b²+ab, D(f)=R.

f'(а)=2a+b.

Точка a=-b/2 – критическая для f(a).

Так как f(a) непрерывна в точке a=-b/2, то эта точка является локальным min f(а).

. Поэтому - доказали, что требовалось, поэтому (a-b)²(a²+b²+ab)≥0. Равенство, достигается при a=b.

11) при 0<x<1/2 доказать неравенство: .

Решение: перепишем неравенство в виде: .

Пусть. Исследуем эту функцию и построим ее график.

D(f)=R\{0}.

Критическая точка f(x) это х=1.

Так как f(x) непрерывна в точке х=1, то эта точка является локальным min f(x).

Найдем асимптоты f(x).

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).

Найдем наклонную асимптоту f(x).

Следовательно - наклонная асимптота f(x), х=0 – вертикальная асимптота f(x).

График f(x) выглядит следующим образом:

При f(x) убывает.

f(1/2)=0, поэтому при f(x)>0, следовательно .

12) при x>0 доказать неравенство: ln(1+x)<х . При доказательстве можно использовать теорему Лагранжа.

Решение: перепишем неравенство в виде ln(1+x)-х<0.

Рассмотрим f(x)=ln(1+x) на отрезке [0;b], где b – это любое положительное число. По теореме Лагранжа:

, .

Так как , то ,

Из правой части получившегося неравенства следует ln(1+b)<b, где b – любое положительное число, т.е. доказали то, что требовалось.

13) доказать неравенство: . При доказательстве можно использовать теорему Лагранжа.

Решение: перепишем неравенство в виде .

Рассмотрим f(x)=lnx на отрезке [n;n+1].

По теореме Лагранжа: , .

Так как , то ,

14) доказать, что если, то

Решение: Пусть f(z)= .

при

f(z) убывает при .

f(x)>f(y), т.е. .

14) доказать неравенство cos200<1+cos201

Решение: перепишем неравенство в виде 200+cos200<201+cos201.

Рассмотрим f(x)=x+cosx.

f'(x)=1-sinx≥0, поэтому при любом х f(x) возрастает, следовательно

f(200)<f(201)

200+cos200<201+cos201

cos200<1+cos201

15) доказать неравенство

Решение: перепишем неравенство в виде

Рассмотрим f(x)=2x-xlnx, D(f): х>0.

f'(x)=0 при х=e, поэтому эта точка критическая.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным max f(x).

Поэтому f(x)<f(e)=e при .

2x-xlnx<e

, поэтому неравенство .

Следовательно .

2.3. Сравнение чисел

Для сравнения двух чисел часто бывает полезно перейти к более общему функциональному неравенству.

№7 Какое из чисел больше?

1) sin99+1 или sin100 ?

Решение: рассмотрим f(x)=x-sinx.

f'(x)=1-cosx≥0, поэтому при любом х. Причем f'(x)=0 при , , поэтому f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел, поэтому

f(99)<f(100), т.е.

99-sin99<100-sin100

sin100<1+sin99

Ответ: sin100<1+sin99

2) 18tg2°tg11° или 11tg3°tg12°

Решение: рассмотрим f(x)=tgx/x на интервале .

Числитель выражения x-sinxcosx=1/2(2x-sin2x)>0 при , поэтому f(x) возрастает на интервале . Следовательно,

И, следовательно, 18tg2°tg11° < 11tg3°tg12°.

3) sin³1°+ sin³4° или sin³2°+ sin³3°

Решение: рассмотрим при .

Чтобы узнать знак f'(x) рассмотрим

при .

при , поэтому g(x) возрастает, следовательно g(x)< , т.е.

, поэтому f'(x)<0 и f(x) убывает при ,

следовательно f(x)>f, при x=°

sin³1°- sin³2° или sin³3°-sin³4°, поэтому

sin³1°+ sin³4° или sin³2°+ sin³3°.

4) или

Решение: рассмотрим f(x)=, D(f): х>0.

f'(x)=0 при х=e, поэтому эта точка критическая.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным max f(x).

Поэтому f(x) возрастает при и убывает при .

Поэтому если 0<x<y<e, то

<, т.е. .

Аналогично, если е≤x<y, то

>, т.е. .

Отсюда, с учетом неравенства

, получим

< .

№8 Расставьте числа в порядке возрастания:

Решение: рассмотрим функцию f(x)=lnx на отрезке [52;53].

По теореме Лагранжа: , .

Так как , то ,

Ответ:

2) и ln2

Решение: рассмотрим f(x)=, D(f): х>0.

f'(x)=0 при х=e, поэтому эта точка критическая.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным max f(x).

Поэтому f(x) возрастает при и убывает при .

Поэтому если , то 2<e, следовательно f(2)<f(e),

, поэтому .

Ответ: .

3) tg55° и 1,3

Решение: рассмотрим функцию f(x)=tgx при .

По теореме Лагранжа: , .

, , поэтому

Из правой части неравенства следует, что

, поэтому , поэтому

Ответ: .

4) и

Решение: перепишем неравенство в виде: и ;

рассмотрим f(x)=, D(f): х>0.

f'(x)=0 при х=1/e, поэтому эта точка критическая.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным min f(x).

Поэтому f(x) возрастает при и убывает при .

При верно неравенство:

Ответ: > .

5) log₁₁12 и lg11

Решение: рассмотрим f(x)=log_x(x+1),

D(f): .

Критических точек нет.

При x>1 f(x) возрастает, поэтому f(10)<f(11).

Следовательно lg11< log₁₁12.

Ответ: lg11< log₁₁12.

2.4. Наибольшее и наименьшее значение функции.

2.4.1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

№9 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

1) при

Решение: перепишем функцию в виде

D(f):

Отрезку принадлежит только одна критическая точка х=4.

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным минимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:

; , поэтому

Ответ: ; 1.

2) ,

Решение: уравнение 1+х=0 имеет единственный корень х=-1, поэтому найдем наибольшее и наименьшее значение f(x) при .

При справедливо неравенство , поэтому

при .

, т.е. при f(x) убывает.

Так как f(x) непрерывна при х=-2;х=-1, то f(x) убывает на отрезке . Поэтому:

При справедливо неравенство , поэтому

при .

, т.е. при f(x) возрастает.

Так как f(x) непрерывна при х=0;х=-1, то f(x) возрастает на отрезке . Поэтому:

Следовательно

График f(x) выглядит следующим образом:

Ответ: 1; 0.

3) ,

Решение: перепишем функцию в виде

D(f): R

Критической точкой является х=0, но она не принадлежит отрезку .

При f(x) убывает, причем f(x) непрерывна в точках , .Следовательно:

Ответ: 16; 2.

4) ,

Решение: у функции

D(f): R.

Чтобы легче было найти критические точки f(x) сделаем замену.

Критическими точками являются y=1/2; y=-4. Точка y=-4 не удовлетворяет условию положительности y, поэтому y=1/2 – единственная критическая точка f(y).

, поэтому

f(x) непрерывна в точке , поэтому является локальным минимумом f(x). Следовательно:

f(0,14)=e^-0,72+2e^0,72-2,02,

f(1)=

f(1)>f(0,14), следовательно .

Ответ: ; .

5) ,

Решение: решим уравнение

Сделаем замену:

y²-y-2=0, корни y₁=2; y₂=-1.

Данному отрезку принадлежит только х=2, поэтому найдем наибольшее и наименьшее значение f(x) при и .

При верно неравенство ≤0, поэтому

Решение уравнения =0 является критической точкой f(x).

f(x) непрерывна в точке , поэтому является локальным максимумом f(x). Следовательно:

f(1/2)=2,

f(2)=0 ,

следовательно .

При верно неравенство ≥0, поэтому

На данном отрезке f'(x)>0, причем f(x) непрерывна в точке , , поэтому f(x) возрастает на отрезке . Следовательно:

Следовательно

Ответ: 9/4; 0.

6) ,

При справедливо неравенство , поэтому

При f'(x)>0 , причем f(x) непрерывна при х=-2;х=-1, поэтому f(x) возрастает на отрезке . Поэтому:

При справедливо неравенство , поэтому

х=2 – критическая точка f(x).

; , поэтому

Следовательно:

Ответ: e⁵; -e³.

2.4.2. Решение текстовых задач

№10 Найти расстояние между графиками функций y=x² и y=x-1.

Решение: графики этих функций не пересекаются и не касаются друг друга.

Наименьшим будет расстояние между прямой y=x-1 и точкой параболы y=x², такой что касательная проведенная через нее будет параллельна прямой.

Взаимное расположение функций показано на графике:

Пусть это будет точка (x₁;y₁) параболы.

Уравнение касательной через эту точку имеет вид:

Прямая y=x-1 и касательная g(x) должны быть параллельны, т.е. 1=2х₁, поэтому

х₁=1/2; y₁=1/4.

(1/2;1/4) – точка параболы y=x².

Найдем теперь расстояние от т. (1/2;1/4) до прямой y=x-1.

, причем D(f)=R.

Искомое наименьшее расстояние равно

Ответ:

№11 Найти все значения a, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение х²-(a-2)x-a-1=0

Решение: найдем корни данного уравнения:

Рассмотрим

где

Так как f(а) непрерывна в точке , то эта точка является локальным минимумом f(а) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:

Ответ: а=1.

№12 Доказать, что если , то

Решение: Для доказательства данного неравенства достаточно доказать, что , где

Критическими точками f(x) являются , но учитывая, что получим:

Так как f(x) непрерывна в точке и f(x) возрастает при, то эта точка является локальным минимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:

. Следовательно - доказали, что требовалось.

№13 Найти наибольшее значение функции .

Решение: D(f)=R.

Чтобы проще было найти критические точки сделаем замену 5^х=y, y>0.

Критическими точками f(y) являются корни уравнения -y²+20y+125=0

y₁=-5; y₂=25.

5^x=-5 – не удовлетворяет условию что y>0.

5^x=25 , то х=2.

f(x) непрерывна в точке , поэтому является локальным максимумом f(x). Следовательно:

Ответ: .

№14 Найти минимум квадрата расстояния от точки М(-1;0) до точек графика функции , где

Решение: Задача сводится к отысканию наименьшего значения функции

x=2 – критическая точка g(x)

Так как g(x) непрерывна в точке x=2, то эта точка является локальным минимумом g(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:

Ответ: 27/2.

№15 Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади S, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

Решение: S – площадь треугольника АВС.

S=1/2CK*AB

OK=OL=r - радиус вписанной окружности.

СК=r+OC; ; ;

; AB=2AK

Задача сводится к отысканию аргумента функции f(), при котором эта функция принимает наибольшее значение.

при

Критическими точками f() являются:

и корни уравнения

;

f() непрерывна в точке , поэтому является локальным максимумом f(). Следовательно:

Ответ:

№16 На интервале задана функция f(x)=1-cosx. Найти наибольшее значение абсциссы точек пересечения касательных к графику данной функции с осью ОХ.

Решение: пусть касательная проведена к f(x)=1-cosx в точке (х₁;1-cos х₁).

Уравнение касательной в этой точке имеет вид:

Если касательная пересекает ось ОХ, то f(x)=0, следовательно

Задача сводится к отысканию наибольшего значения на интервале

Критическими точками являются:

Для данного интервала подходит только точка

g(x₁) непрерывна в точке, поэтому является локальным максимумом g(x). Следовательно:

Ответ: .

№17 Найти координаты точки М, лежащей на графике функций f(x)=1+cosx, и наименее удаленной от прямой

Решение: Нахождение наименьшего расстояния между т.М и заданной прямой равносильно поиску расстояния между параллельными прямыми: прямой, проходящей через т.М и данной прямой. Заметим, что прямые параллельны, если угол наклона к оси ОХ у них одинаков.

Пусть М(х₁;1+cosx₁). Угол наклона прямой (1)

Уравнение прямой через т. М с углом равным имеет вид:

(2)

Расстояние между параллельными прямыми (1) и (2) вычисляется по формуле:

, где ay+bx+c₁=0 и ay+bx+c₂=0 – две параллельные прямые.

(1) имеет вид , а

(2) имеет вид .

Задача сводится к поиску аргумента x₁, при котором функция g(x₁) (расстояние между параллельными прямыми) принимает наименьшее значение.

Критическими точками , которые принадлежат отрезку являются:

g(x) непрерывна в точках и , поэтомуявляется локальным максимумом g(x), а является локальным минимумом g(x).

Нам требуется найти :

, поэтому х₁=0; y₁=1+1=2

Ответ: M(0;2).

№18 В фигуру, ограниченную линиями y=4-x² и y=0, причем вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти эту площадь.

Решение:

Задача сводится к поиску наибольшего значения функции:

, .

Так как f(x) непрерывна в точке , то эта точка является локальным максимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наибольшее значение:

Ответ: .

№19 Криволинейная трапеция ограничена параболой y=x²+1 и отрезками прямых y=0, х=1; х=2. В какой точке М данной кривой y=x²+1, следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?

Решение:

Пусть М=(х₁;х₁²+1). Уравнение касательной через т. М будет иметь вид:

Точки пересечения касательной с прямой:

х=1

х=2

А=(1; ; В=(2; ;

Задача сводится к поиску наибольшего значения функции:

при

f(х) непрерывна в точке х=3/2, поэтому х=3/2 является локальным максимумом f(х). Следовательно:

. Поэтому х₁=3/2; y₁=13/4

Ответ: .

Приложение

Решение уравнений

№1 Для каждого значения а найти число действительных решений уравнения.

1) 3х⁴+4x³-36x²=a

Ответ: при а=-189 - одно решение,

при а<-189 - не имеет решений,

при -189<а<-64; a>0 - 2 решения,

при а=-64; a=0 - 3 решения,

при -64<а<0 – 4 решения.

2) xlnx=a

Ответ: при а=-1/e; a≥0 - одно решение,

при а<-1/e - не имеет решений,

при -1/e<a<0 - имеет 2 решения.

№2 Определить все значения а, при каждом из которых уравнение имеет заданное число корней.

1) ни оного корня х²-х-lnx +a=0

Ответ: при а>0.

2) один корень а^х=х

Ответ: а=; 0<a<1.

3) два корня х³+ах²+2=0

Ответ: .

4) Три корня .

Неравенства

№3 Решить неравенство.

1) (замечание: при решении рекомендуется сделать замену )

Ответ: .

Ответ: х>-1.

№4 Доказать неравенство.

1) доказать, что если, то (замечание: при решении рекомендуется подсчитать третью производную).

2) доказать, что если, то

3) доказать, что если, p>0, q>0, то

4) доказать, что если, то

5) доказать, что если, то (замечание: при решении рекомендуется использовать формулу )

6) при x<0 доказать неравенство: (замечание: при решении рекомендуется рассмотреть функцию f(x)=e^-^x+x)

7) при x>1 доказать неравенство:

8) при x≥1 доказать неравенство:

9) при x≥0 доказать неравенство:

10) при x≥0 доказать неравенство:

11) доказать неравенство: (замечание: при решении рекомендуется рассмотреть функцию f(x)= )

12) доказать неравенство: , . При доказательстве можно использовать теорему Лагранжа. (Замечание: при решении рекомендуется рассмотреть функцию f(x)=tgx на отрезке )

Сравнение чисел.

№5 Какое из чисел больше?

1) или ;

2) или ;

3) или ;

4) или .

Наибольшее и наименьшее значение функции.

№6 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

1) при

Ответ: 105; -11/27.

2) при

Ответ:1/3; 1/9.

№7 В фигуру, ограниченную линиями y=x² и y=2x², х=6 вписан параллелограмм наибольшей площади. Найти эту площадь.

Ответ: 32.

№8 В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти его радиус, высоту и объем.

Ответ:

№9 Найти наибольшее значение функции

Ответ: 2.

№10 Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

Заключение

В результате нестандартного применения производной, изложенной в данном педагогическом проекте, выпускники стали быстрее и правильнее решать задачи, связанные с применением производной.

Список использованной литературы и информационных источников.

Асланян, И. Решаем задачи повышенной трудности: Аспект подготовки к ЕГЭ [Текст] / И. Асланян // Методическая работа в школе. – 2010. - № 3. – С. 58-64.
Безрукова, Г. К. ЕГЭ по математике: Анализ типичных ошибок [Текст] / Г. К. Безрукова, Ю. А. Глазков. А. Р. Рязановский // ОКО. Оценка качества образования. – 2009. - № 3. – С. 10-20.
Глазков. Ю. А. Тренировочные варианты для подготовки к ЕГЭ [Текст] / Ю. А. Глазков // Математика в школе. – 2009. - № 2. – С. 8-19.
Денищева, Л. О. Типы заданий Единого государственного экзамена [Текст] / Л. О. Денищева // Математика в школе. – 2008. - № 2. – С. 32-44.
Ершова, С. Н. Рекомендации по подготовке обучающихся к ЕГЭ по математике [Текст]/ С. Н. Ершова, А. Б. Румянцева, Н. В. Яровикова // Справочник заместителя директора школы. – 2010. - № 4. – С. 33-38.
Самсонов. П. Ошибки в решении задач части С в вариантах ЕГЭ-2009 по математике [Текст] / П. Самсонов // Математика – Первое сентября. – 2009. - № 20, 16-31 октября. – С. 10-14.
Семенко, Е. Наш ответ ЕГЭ: разноуровневое обобщающее повторение [Текст[ / Е. Семенко, Е. Белай // Математика – Первое сентября. – 2009. - № 4, 16-28 февраля. – С. 16-21.
Чанина. В. В. Наследие Декарта в задачах ЕГЭ [Текст] / В. В. Чанина // Мастер-класс: Приложение к журналу “Методист”. – 2009. - № 7. – С. 24-32.
Шноль, Д. Э. Медленное падение: ЕГЭ по математике и реальный уровень математического образования современных школьников [Текст] / Д. Э. Шноль // Учительская газета. – 2009. - № 23, 9 июня. – С. 4.
П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский Задачи с параметрами. "Илекса" , "Гимназия", Москва-Харьков 2002г.
И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник Примени математику. "Наука", Москва 1989 г.
А.В. Самусенко, В.В. Казаченок Типичные ошибки абитуриентов. "Вышэйшая школа", Минск 1991 г.
С.В. Процко, А.И. Азаров, В.С. Федосенко Руководство к решению конкурсных задач по математике. "ТетраСистемс", Минск 2000 г.
С.В. Кравцев, Ю.Н. Макаров Методы решения задач по алгебре. "Экзамен. Оникс 21 век" Москва 2001 г.
В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко Задачи по математике. Начала анализа. Справочное пособие."Наука", Москва 1990г.
Е.Д. Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко 3000 конкурсных задач
Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехник, М.К. Потапов Задачи вступительных экзаменов по математике.
И.Ф. Шарыгин Математика для поступающих в ВУЗы. "Дрофа", Москва 1999 г.
И.И. Мельников, И.Н. Сергеев Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах.
В.П. Супрун Избранные задачи повышенной сложности по математике.
http://www.ecsocman.edu.ru/db/msg/147161 Применение производной к исследованию производственных функций в экономике
http://masteroid.ru/content/view/1582/42/ Производная
http://archives.maillist.ru/78472/128328.html Математика для экономистов
http://ru.wikipedia.org/wiki/Экономика Экономика - Википедия
http://www.bestreferat.ru/referat-46695.html Приложения производной

Скачать материал

Скачать материал "Учебное пособие на тему "Нестандартное применение производной в профильных классах математического направления""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 660 710 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pptx

Презентация к неделе математики. Час памяти." Математика +..." (6 класс)

27.08.2015
827
0

docx

Технологическая карта урока математики по теме"Сравнение десятичных дробей"

27.08.2015
889
1

pptx

Презентация проекта учащихся 5 класса по теме " Такие разные числа"

27.08.2015
1313
0

pptx

Презентация по математике 6 класс "Координатная плоскость"

26.08.2015
666
0

docx

Урок-закрепление по теме "Координатная плоскость"

26.08.2015
1038
9

docx

8 КЛАСС. Урок с применением технологии РКМ.

26.08.2015
620
1

docx

Разработка урока к презентации Параллельные прямые

26.08.2015
751
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 27.08.2015 825
- DOCX 2 мбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Курилова Оксана Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Курилова Оксана Леонидовна
- На сайте: 8 лет и 7 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 18073
- Всего материалов: 13