Учебное пособие по геометрии "Параллельность и перпендикулярность в пространстве"

Министерство образования Оренбургской  области

государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение

 «Бугурусланский нефтяной колледж»

г. Бугуруслана Оренбургской области

Учебное пособие

раздел 2 Геометрия

Тема 2.2 Параллельность в пространстве

Тема 2.3. Перпендикулярность в пространстве

Разработчик (и):

Шаляпина О.Р. - преподаватель математики первой квалификационной категории ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области

г. Бугуруслан, 2018 г.

Шаляпина О.Р.

Учебное пособие по геометрии, - Бугуруслан, 2018

Предлагаемое учебное пособие «Геометрия» содержит материал тем «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве» единого курса геометрии, читаемого на 1-2 курсах отделения ППКРС.

Здесь дано изложение элементов геометрии на плоскости, теории прямой, теории плоскостей. Оно написано в полном соответствии с новой программой.

В пособии даны основные понятия: прямая, плоскость, точка, расстояние между прямой и плоскостью и т.д., а также  ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ по выше перечисленным темами. 

Пособие рассчитано на студентов нефтяного колледжа отделения ППКРС и всех, желающих освоить основы стереометрии.

Рецензент – заместитель директора по общеобразовательным дисциплинам Т.Б.Ронжина

Оглавление

Пояснительная записка........................................................................................4

Тема 2.2 Параллельность в пространстве

§ 1. Аксиомы стереометрии и их следствия. 5

§ 2. Признак параллельности прямой и плоскости. 8

§ 3. Признак параллельности двух плоскостей. 13

§ 4. Построение сечений плоскостью.. 16

Тема 2.3 Перпендикулярность в пространстве

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. 21

§ 2. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости. 26

§ 3. Перпендикуляр и наклонная. 29

§ 4. Теорема о трех перпендикулярах. 33

§ 5. Угол между прямой и плоскостью.. 36

§ 6. Двугранный угол. 38

§ 7. Признак перпендикулярности двух плоскостей. 44

§ 8. Изображение пространственных фигур. 50

§ 9. Задачи на построение сечений. 54

Список используемой литературы...................................................................58

Интернет-ресурсы...............................................................................................58

РЕЦЕНЗИЯ...........................................................................................................59

Пояснительная записка

Пособие является частью учебно-методического комплекта по дисциплине и содержит основные теоретические аспекты и ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ темы 2.2 Параллельность в пространстве, темы 2.3 Перпендикулярность в пространстве (по учебникам Л.С. Атанасяна «Геометрия» и М.И.Башмакова «Математика»), что позволяет повторить тему, по которой выполняется работа,  эффективно организовать работу студентов. В разработке имеются необходимые схемы, справочные сведения.

 Учебное пособие  составлен в соответствии с программой курса математики ГАПОУ «БНК» (профильный уровень). В каждом параграфе предлагаются разноуровневые задания. Задания повышенной сложности отмечены, как дополнительные.

Тема 2.2 Параллельность в пространстве

§ 1. Аксиомы стереометрии и их следствия

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.

рис. 1	рис. 2	рис. 3

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

	А В       (точки А, В, С лежат в плоскости ) С
рис. 4

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

	АB  Прямая АВ лежит в плоскости
рис. 5

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

	а   = М Прямая а и плоскость  пересекаются в точке М.
рис. 6

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

	= a  и  пересекаются по прямой а.
рис. 7

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Перечертить кроссворд в тетрадь. Заполнить его.

По горизонтали:

1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.

По вертикали:

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.

2. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Решить задачу:

А1. Пользуясь изображением на рисунке 1, назовите:

а) точку пересечения прямой AD с плоскостью DD₁C;

б) линию пересечения плоскостей ADD₁ и D₁CD.

§ 2. Признак параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

рис. 21

Замечания.

рис. 22

1.     Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 2.     Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

Выводы.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

рис. 23

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность плоскостей  и  обозначается так:  || . Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

ПРИВЕДЕМ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Построить параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найти пары:

1) параллельные прямые к АВ;    2) скрещивающиеся прямые к ВС.

Решение:

1). A₁B₁,  CD и C₁D₁;    2)  А₁В₁ и D₁C₁, AA₁ и DD₁

2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Решение:

      Т.к. секущая плоскость проходит  параллельно основанию  =>  отрезки параллельных плоскостей будут параллельны по свойству параллельности плоскостей ( 1°. Если 2-е параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения будут параллельны).

       1. Построим через т. М,  MNǁАВ.

       2. Построим через т. N, NKǁВС.

       3. Соединим МК по 2*.

       4. MNK - искомое сечение.

3. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости α.

Дано:

 ABCD - трапеция

MN - средняя линия трапеции, MN ⊂α.

Доказать: ВСǁα, ADǁα.

Доказательство:

      Т.к. MN - средняя линия трапеции, то по свойству средней линии MNǁAD, MNǁВС  =>

ВСǁα, ADǁα по признаку параллельности прямой и плоскости ( Признак (- ти прямой и плоскости): Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости).

                                                                                                                                       ч.т.д.

4. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АС - скрещивающиеся прямые.

Дано:

 ABCD - ромб

mǁBD, m⊄α.

Доказать:  m∸АС.

Доказательство:

      Т.к. прямая mǁBD => mǁ ABCD по признаку параллельности прямой и плоскости. По определению параллельных прямых m и BD лежат в одной плоскости, а т.к. АС BD в точке не лежащей на прямой m, то по признаку скрещивающихся прямых,  m∸АС ( Признак (∸ прямых): Если одна из 2-х

прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке,

не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся).                                                                                                                                 

ч.т.д.

5. Дан тетраэдр SABC. Точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC. Доказать, что плоскость MNKǁABC.

Дано:

 SABC - тетраэдр

Точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC.

Доказать:  MNKǁABCD.

Доказательство:

      Т.к. точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC => MN, NK и MK - средние линии

ΔDAB, ΔDBC и ΔADC соответственно. По свойству средней линии треугольника MNǁAB,

NKǁBC и MKǁAC. По признаку параллельности плоскостей, MNKǁABCD ( Признак (ǁ - ти плоскостей): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся другой плоскости, то эти плоскости параллельны).                                                                                                                                                 ч.т.д.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

I вариант	II вариант
1. Построить параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найти пары: 1) параллельные прямые к АD;    2) скрещивающиеся прямые к AВ.	1. Построить параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найти пары: 1) параллельные прямые к C1D1 ;    2) скрещивающиеся прямые к A1D1.
2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости ВDС.	2. Точка М лежит на середине ребра DС тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АDВ.
3. Точка Мплоскости параллелограмма ABCD. Доказать, что CDABM.	3. т.Aα и т.Bα, а точка Сα. Докажите, что прямая проходящая через середины AC и BC -на плоскости α.
4. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что AD∸EK.	4. Дан параллелограмм ABCD м точка S∉ABCD. Точки M и N - середины SB и SC. Доказать, что MN∸CD.
5. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K,L,M и N середины сторон AD,BC, B1C1 и A1D1 соответственно. Докажите плоскость KLMNǁABB1A1.	5. Дана четырехугольная пирамида SABCD. Точки K,L,M и N - середины ребер SA,SB,SC и SD соответственно. Доказать, что плоскость KLMNǁABCD.

§ 3. Признак параллельности двух плоскостей

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются или не пересекаются.

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β

Пример:

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях - пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β - данные плоскости, a₁ и a₂ – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b₁ и b₂ соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой  плоскости β.

Прямая a₂ параллельна прямой b₂,  значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a₁ или a₂ пересекает  прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую c, прямая a₁ или a₂ пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a₁ и a₂ параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны. 

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 

Доказательство.

Пусть α и β - параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.  

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b. 

Линии пересечения a и b лежат  в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны. 

Доказательство.

Пусть α и β - параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость - эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD. 

По предыдущей  теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCDесть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1: Даны параллельные плоскости . Через точки А и В плоскости  проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках  и . Найдите  , если АВ = 12 см.

Задание №2: Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках и ,  и . Известно, что М = 6 см,  = 8 см,  = М. Найдите М и М.

Задание №3 (закончите предложения):

1.                 Признак параллельности прямой и плоскости:

2.                 Существует 2 случая расположения  двух плоскостей:

3.                 Плоскости пересекаются, если…

Дополнительное задание Основанием параллелепипеда АВСD является ромб АВСD.

1)    Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, D и середину К ребра .

2)    Какой геометрической фигурой является построенное сечение? Ответ обоснуйте.

3)    Найдите периметр сечения, если ВD=18 см, DК=20 см.

§ 4. Построение сечений плоскостью

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

1.                 Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

2.                 В задачах используются в основном простейшие многогранники.

3.                 Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

·                     что значит построить сечение многогранника плоскостью;

·                     как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;

·                     как задается плоскость;

·                     когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

·                     тремя точками;

·                     прямой и точкой;

·                     двумя параллельными прямыми;

·                     двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

1.                 Метод следов.

2.                 Метод вспомогательных сечений.

3.                 Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

·                     построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

·                     построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;

·                     построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

·                     построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

·                     построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Приведем пример решения задачи

Построить сечение куба ABCDEHGF(рис.1) плоскостью проходящей через точки J,K,M его рёбер.

Построение

рис.1	Пусть α-плоскость определённая точками J,K,M. Для построения искомого сечения необходимо построить пересечение плоскости α с гранями данного куба. 1)KM-след плоскости α на плоскости ABC, P=KMBC;
рис.2	2)Q=JPCB , QJ-след плоскости α на плоскости BCG; 3)R=ABKM;
рис.3
рис.4	4)S=PJAE JS-след плоскости α на плоскости ABE;
рис.5	5)SK-след плоскости α на ADH;
рис.6	6)MQ-след плоскости α на плоскости DCG; 7)JSKMQ-искомое сечение.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Решить кроссворд По горизонтали: 1.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.  2. Поверхность, простирающаяся неограниченно во все стороны. 3. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и   A1B1C1D1 и четырех параллелограммов. 4. Метод, суть которого состоит в том, что искомая величина находится с помощью уравнения, составленного по условию задачи. 5. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами L1 и L2. 6. Тело, ограниченное сферой. По вертикали: 3. Многогранник, составленный из  n-угольника А1А2...Аn и n треугольников. 7. Метод, который чаще всего используется при решении задач на доказательство. 8. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны. 9. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2...Аn и В1В2...Вn , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
2. Построить сечения
1 вариант	2 вариант
1. Построить сечение пирамиды EABCD плоскостью  FHG, где  F DE, HEC  и G AE.	2. Построить сечение прямой призмы ABCDEFGH плоскостью , проходящей через точку A и точки I и J, лежащие соответственно на рёбрах DH и BF, если AD и BC  не параллельны.
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R. P AA1,Q BB1 , R CC1

 

Тема 2.3 Перпендикулярность в пространстве

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

рис. 37	Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость  перпендикулярна к прямой а.
рис. 38	Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости  имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

рис. 39

1.     Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 2.     Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

рис. 40

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Замечания.

1.     Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

2.     Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

3.     Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Приведем пример решения задач

1. Точки А,М, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠АОВ, ∠МОС и ∠DАМ

Решение:

ОВ⊂α, ∠АОВ=90° (т.к. а⊥α)

ОС⊂α, ∠МОС=90° (т.к. а⊥α)

DА⊄α, ∠МОС≠90°.

                                       Ответ: ∠АОВ, ∠МОС - прямые.

2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 8,9 и 12.

Решение:

Пусть а=8, b=9 и с=12

Используя Т₅, получаем d²=8²+9²+12²=64+81+144=289,

тогда d=.

                                               Ответ: d=14

3. В тетраэдр DАВС все ребра равны. Построить (найти) линейный угол двугранного угла ∠DАСВ.

Построение:

1. Проведем в плоскости ADC  =>  DM⊥АС

2. Проведем в плоскости АВС   =>  ВМ⊥АС

3. ∠DMB - линейный угол двугранного угла ∠DАСВ.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ определить вид ΔА₁DC.

 Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед

Определить: вид ΔА₁DC 

Решение:

Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, тогда

∠ADC=90°, т.е. DC⊥AD ( где AD - проекция наклонной A₁D). По теореме о 3-х ⊥ - рах . DC⊥ A₁D    =>    ΔА₁DC - прямоугольный.

                            Ответ: ΔА₁DC - прямоугольный.

      5. Через вершину А равностороннего треугольника АВС проведена прямая АD, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки D до прямой ВС, если AB=AC=BC=6 см, а АD=13 см.

 Дано:

 ΔABC - равносторонний, AB=AC=BC=6 см 

АD⊥ΔАВС, АD=13 см

Найти: ρ(D,ВС)

Решение:

 Проведем DK⊥BC, тогда по теореме о 3-х ⊥- рах АК⊥ВС  =>  ρ(D,ВС)=DK.

 Найдем DK из ΔADK-прямоугольный (т.к. AD⊥ ΔАВС) по теореме Пифагора: DK=,   DA=13 см, АК - ?

Найдем АК из ΔАВК, АК - высота (т.к. АК⊥ВС), а в равностороннем треугольнике и медиана, и биссектриса, а значит ВК= 

 По теореме Пифагора АК= см     =>      DK=

                                      Ответ: ρ(D,ВС)=14 см.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

I вариант	II вариант
1. Точки К,Е, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, А и М лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠ВОЕ, ∠ЕКА и ∠КВЕ.	1. Точки К,Е, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, А и М лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠МОК, ∠ОКВ и ∠АОЕ.
2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны .	2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны .
3. В тетраэдре DАВС ребро AD⊥ΔABC. ΔABC - прямоугольный, ∠С=90°. Построить (найти) линейный угол двугранного угла ∠DВСА.	3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены диагонали В1D и В1С. Построить (найти) линейный угол двугранного угла ∠В1DCB.
Дополнительное задание
5. Прямая SA перпендикулярна к плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что SC=5 см, AD=2 см, а сторона АВ в 2 раза больше, чем AD. Найдите расстояние от точки S до прямой DC.	5. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ΔАВС. Известно, что BD=9 см, АС=10см, ВС=ВА=13 см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

§ 2. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Продолжить предложения
1 вариант	2 вариант
a)     Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если b)    Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то ….	1.Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…… 2. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…
2. Решить задачи
a)     Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. b)    Назовите: 1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC1)  2) плоскости, перпендикулярные ребру BB1  c)     Определите взаимное расположение: 1) прямой CC1 и плоскости (DСВ)  2) прямой D1C1 и плоскости (DCB)	a)     Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны b)       Назовите: 1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (BCC1)  2) плоскости, перпендикулярные ребру AA1 c)       Определите взаимное расположение: 1) прямой DD1 и плоскости (DСВ)  2) прямой D1C1 и плоскости (BCB1)
3. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин B и C, если AC=a, BC=b, AD=c.	Отрезок BM перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBC.

§ 3. Перпендикуляр и наклонная

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости,  не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB - наклонная.
B - основание наклонной  

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

 Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC - перпендикуляр.

C - основание перпендикуляра. 

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB - проекция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

∢CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.

 

Если AD>AB, то DC>BC

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

∢DAB - угол между наклонными
∢DCB - угол между проекциями
Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

Приведем пример решения задач

Задача 1

Из точки К, на расстоянии 9 см, к плоскости  опущен перпендикуляр КС и  проведена наклонная КМ, равная 15 см.

Найти проекцию наклонной. ( Устно, менять условие, найти наклонную, найти перпендикуляр)

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник КСМ: (КС-перпендикуляр, по условию), по теореме Пифагора:

 =12 (см)

Ответ: Проекция наклонной МС=12 см.

Задача2

К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 8 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

В

Решение:                                     Рассмотрим треугольник АВО: прямоугольный, ВО- расстояние от точки В до плоскости            перпендикулярно АО. Следовательно угол В=30, а АО =4 см, как катет лежащий против угла в 30.

По теореме Пифагора:

                                                     

В = (см)

Ответ: 4 см.

Задача 3

АВ перпендикулярно плоскости α. Наклонная AС  образует с плоскостью α , угол 60, а наклонная АD равна . Длина  проекции наклонной ВD равна 2 см.

Вычисли длину наклонной АС.

Решение:

А

 

1)       Рассмотрим о теореме Пифагора: ;

АВ=.

2)       Угол АСВ = 60(по условию), следовательно САВ=30.

3)       Рассмотрим ,  ;

АС =;

АС = 2.

Ответ: 2см.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Решить задачу. Выполнить построение и указать обоснованное решение.
1 вариант	2 вариант
1. Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°.В∈a, точка А - проекция точки В на плоскость β. ВC=12 см. Найдите ВА.	К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 25 см, проекция наклонной равна 15 см . На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?
2. К плоскости α проведена наклонная AС (A∈α). Длина наклонной равна 24 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычислите, на каком расстоянии от плоскости находится точка С.	К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 12 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
3. Наклонная AК с плоскостью α образует угол 30, а наклонная КC с плоскостью α образует угол 45.Длина перпендикуляра КB равна 12 см. Вычислите длины  наклонных.

§ 4. Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.  

a⊥AB	a⊥ABBC⊥BA}⇒a⊥CA

 Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

a⊥AC	a⊥ACBC⊥BA}⇒a⊥BA

Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

Рисунок:

ABCD квадрат, все углы которого равны по 900 градусов. 1. Грань ASB - прямоугольный треугольник, 2. Грань BSC - прямоугольный треугольник, т.к. BS - перпендикуляр к плоскости. 3. Грань DSC - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: CD⊥BC,т.к.ABCD− квадрат.SB⊥BC,т.к.перпендикуляр}⇒CD⊥SC значит, ∢SCD=900 4. Грань ASD - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах:  AD⊥AB,т.к.ABCD− квадратSB⊥AB,т.к.перпендикуляр}⇒AD⊥SA значит, ∢SAD=900 Приведем пример решения задач Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник СВD прямоугольный. б) Найдите ВD, если ВС=а, DС=b. Решение:       ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Решить задачи. Указать решение и ответ. 1 вариант 2 вариант 1.      Угол  C треугольника ABC- прямой. AD- перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Докажите, что треугольник BCD- прямоугольный. 2.      Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.               1.      Угол  C треугольника МРC- прямой. МD- перпендикуляр к плоскости треугольника МРC. Докажите, что треугольник РCD- прямоугольный. 2.      Из вершины A квадрата ABCD со стороной 10 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 16 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.              ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ В правильном треугольнике ABC точка O- центр. OM- перпендикуляр к плоскостиABC. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если  AB=10см., OM=5см.    В правильном треугольнике ABC точка O- центр. OM- перпендикуляр к плоскостиABC. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если  AB=12см., OM=6см.

§ 5. Угол между прямой и плоскостью

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью

1) Найти точку пересечения М прямой а с плоскость . 2) Из точки К прямой а опустить перпендикуляр КН к плоскости . 3) Соединить точки Н и М. НМ – проекция прямой а на плоскость . Следовательно,  – искомый угол.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Перечертить чертеж в тетрадь. Выполнить построение.

1)                АА₁ ^ (АВС). Найдите угол между СB₁ и (АА₁С₁).

ΔАВС– равносторонний	ΔАВС – прямоугольный, ÐС = 900	ΔАВС – тупоугольный, ÐС > 900

2) BD ^ (АВС). Найдите угол между CD и (ABD).

ΔАВС – равносторонний	ΔАВС – прямоугольный, ÐА = 900	ΔАВС – прямоугольный, ÐС = 900

3) АА₁ ^ (АВС). Найдите углы между

	В1D и (ABC)	B1D и (DD1C1)	B1D и (ВВ1C1)
A B C D к

4) BF ^ (АВС). Найдите угол между

	AF и (АВС)	DF и (BCF)	CF и (ABF)
т
A B C D

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

Решить задачу. Выполнить построение.

5. Сторона основания правильной призмы АВСА₁В₁С₁ равна , боковое ребро равно . Найдите синус угла между прямой СВ₁ и плоскостью боковой грани (АА₁С₁).

§ 6. Двугранный угол

Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его  гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

Выберем на ребре a двугранного угла произвольную точку C и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые плоскость γ перпендикулярно ребру a.

Линии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ACB. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла . Величина линейного угла не зависит от выбора точки C  на ребре a .

Обрати внимание!

Величина двугранного угла  0°< ∡ACB <180°.
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов 90°, то три остальные углы тоже 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодится при решении задач.

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

3. Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Многогранные углы.

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей - трёх, четырёх или больше и назвать рёбрами многогранного угла.

 Трёхгранный угол

 Четырёхгранный угол

 Пятигранный угол

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.

Приведем пример решения задачи

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,  

АС ⊥ АВ,  АС ⊂ α,

BD ⊥ АВ,  BD ⊂ β,

АВ = АС = ВD = а.

Найти: СD.

Рис. 2

Решение:

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит,  АКВD– параллелограмм. Значит,  АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем  с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DКперпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая  DК  перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Ответ: 2а.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Выполнить тест (10 баллов)
1.     Двугранным углом называется фигура, образованная … 2.     Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются … А) полупрямыми Б) половинами В) вершинами Г) гранями 3. Общая граница полуплоскостей, называется …              А) центром              Б) ребром              В) прямой              Г) общей точкой 4. Линейный угол двугранного угла образуется …, проведенными из точки перпендикулярно … . 5. Линейные углы двугранного угла …              А) перпендикулярны              Б) параллельны              В) прямые              Г) равны 6. Две пересекающиеся плоскости называются взаимно перпендикулярными, если … 7. Дополните признак перпендикулярности двух плоскостей     Если одна из двух плоскостей проходит через … , перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости … 8. Сколько двугранных углов имеет тетраэдр? 9. Сколько двугранных углов имеет параллелепипед? 10. Градусной мерой двугранного угла называется …               А) градусная мера его линейного угла               Б)градусная мера его острого угла               В)градусная мера его двугранного угла               Г) градусная мера его тупого угла
1 вариант	2 вариант
2. Решить задачу
Треугольник AВС равносторонний, сторона АВ наклонена под ∠45° к плоскости α. Под каким углом наклонена плоскость ΔABC к плоскости α?	Плоскость квадрата ABCD со стороной а перпендикулярна плоскости равнобедренного ΔВСМ с углом В 120°. Найдите SΔADM.
3. Решить задачу
Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5   DВ = .

§ 7. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Имеем плоскости α и β, которые образуют двугранный угол. l – ребро двугранного угла (рис. 3). Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку О на ребре l. Проведем прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α и прямую ВО перпендикулярно ребру l в плоскости β. Тогда, ∠ВОА – линейный угол двугранного угла. Если ∠ВОА =90°, то плоскости α и β перпендикулярны.

Рис. 3

Признак перпендикулярности плоскостей

Пусть, прямая ОА перпендикулярна плоскости β и ОА лежит в плоскости α. Тогда плоскости α и β перпендикулярны.

Следствие из признака

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β (рис. 4).

Рис. 4

Доказательство

Прямая l перпендикулярна плоскости γ по условию, но плоскость α проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Плоскость β также проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости β. Следствие доказано. 

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

Свойство

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру и граням своего двугранного угла. 

Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то его плоскость перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рис. 5

Рассмотрим рисунок 5. Мы имеем плоскость α и плоскость β. Они пересекаются по прямой l. Из точки О проводим прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α. Из точки О в плоскости β проводим вторую прямую ВО перпендикулярно к ребру l. Получаем линейный угол двугранного угла – угол ВОА. Обозначим плоскость ВОА за γ.

Тогда, плоскость линейного угла γ перпендикулярна прямой l, так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО из плоскости γ по построению. Также через перпендикуляр l к плоскости γ проходит плоскость α, значит, по признаку α ⊥ γ. Аналогично, β ⊥ γ.

Приведем пример решения задачи

Задача №1: плоскости равностороннего треугольника АВС и квадрата ВСDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DE, если АВ.

Решение:  1. Искомое расстояние это длина перпендикуляра опущенного из точки Ана прямую DE : длина отрезка АК. 2. Проведем высоту АМ в треугольнике АВС. АМ перпендикулярна прямойВС. По теореме 4 (обратной) КМ перпендикулярна DE (и ВС)  3. Рассмотрим треугольник АВС.В нем по условию АВ=4, АМ - высота, следовательно АМ2=АВ2-(ВС:2)2; АМ2=12  4. Рассмотрим треугольник АМК, в нем угол М=90o; АМ2=12 (по пункту 3); КМ2=16. По теореме Пифагора АК2=АМ2+КМ2; АК2=12+16; АК2=28; Ответ: АК=.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Заполните пропуски 1.     Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 2.     Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ……………………… 3.     Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. 4.     Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости. 5.     Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости. 6.     Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее ……………….., перпендикулярна и самой наклонной. 7.     Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является …………….. 8.     Все линейные углы……………….угла равны друг другу. 9.     Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла. 10. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. 11. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-……………………… 12. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -…………………… 13. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда. 14. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений. 15. …………………прямоугольного параллелепипеда равны.
2. Решить задачу
1 вариант	2 вариант
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда АВСD А1В1С1D1 равны 6см и 8 см, а угол между диагональю АС1 параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите длину СС1 (Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная). Указания к решению: 1.Из треугольника АВС найдите длину АС. 2.Треугольник АСС1 -…………. 3.Из треугольника АСС1 найдите длину СС1.	Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда АВСD А1В1С1D1 равно 6 см, сторона основания равна 6см. Найдите угол между прямыми АВ1 и СD1. (Угол между скрещивающимися прямыми) Указания к решению: 1.     Угол между прямыми АВ1 и С D1 - это угол между прямыми АВ1 и ВА1. 2.     Из треугольника АВА1 найдите ВА1. 3.     По свойству диагоналей прямоугольника АВВ1А1 длина АО (О – точка пересечения диагоналей прямоугольника) равна……………………………….. 4.     В треугольнике АВО длины АВ, ВО и АО ……………………… Значит треугольник-……………………………………………….. 5.     Углы треугольника АВО равны … градусов. 6.     Угол АОВ равен………………….., значит, угол АОА1 равен……………..
3. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Ответить на вопросы теста
1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые: а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают. 2. Какое из следующих утверждений неверно: а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ. 4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости , прямая а перпендикулярна к плоскости . Каково взаимное расположение прямых с и в? а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают,  д) определить нельзя. 5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда: а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость,  д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г. 6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ  АВ, ВЕ  ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. 7.Какое из следующих утверждений неверно? а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин,  г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны. 9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно? а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны. 10.Какое из следующих утверждений верно? а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны.

§ 8. Изображение пространственных фигур

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа , проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка А₁ пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А (рис. 336). Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее издали.

Отметим некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из описанного ее построения.   

 
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками (рис. 337).

Действительно, все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат В одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа а по прямой А₁С₁. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой В₁ отрезка А₁С₁.

Замечание. В только что доказанном свойстве и далее предполагается, конечно, что проектируемые отрезки не параллельны направлению проектирования. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельные отрезками (рис. 338).

Действительно, пусть АС и А'С' — параллельные отрезки фигуры. Прямые А₁С₁ и A'₁C'₁ параллельны, так как они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью . Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и АА₁, а вторая — через прямые А'С' и A'A'₁.

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании. Покажем, например, что (рис. 339)

Проведем через точку В прямую А₂С₂, параллельную A₁C₁ Треугольники ВАА₂ и BСС₂ подобны. Из подобия треугольников и равенств A₁B₁=А₂В и B₁C₁=BC₂ следует пропорция (*).

Приведем пример решения задачи

 Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?

Решение. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проектируется в середину проекции этой стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Составить кроссворд, состоящий из 20 вопросов. В конце указать ответы.

Правила составления кроссвордов

Среди кроссвордистов существуют определенные правила, касающиеся, как собственно составления кроссвордов, так и подбора определений к словам и создания сеток кроссвордов. Правил же составления кроссвордов не так уж много:

- не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску;
- в каждую белую клетку кроссворда вписывается одна буква;
- каждое слово начинается в клетке с номером, соответствующим его определению, и заканчивается черной клеткой или краем фигуры;
- можно включать не более трех однородных понятий и не включать однокоренные слова;
- имен собственных в кроссворде может быть не более 1/3 от всех слов. - слов с правильным чередованием согласных и гласных букв может быть не более половины;
- начальные буквы загаданных слов должны полнее представлять алфавит, то есть не стоит загадывать слова на одну букву;
- слова должны быть в именительном падеже и единственном числе, кроме слов, которые не имеют единственного числа;

-слова-ответы должны быть существительными в именительном падеже и единственном числе, множественное число допускается только тогда, когда оно обозначает единственный предмет;
- не следует применять при составлении кроссвордов слова, которые могут вызвать негативные эмоции, слова, связанные с болезнью, жаргонные и нецензурные, если только именно это и не является целью составления кроссворда;
- не желательно при создании кроссвордов употреблять малоизвестные географические названия, специализированные термины, фамилии малоизвестных героев кинофильмов и других произведений, устаревших и вышедших из обихода слов.

В тематических кроссвордах, особенно узкоспециальных, некоторыми из этих правил можно пренебречь.
При составлении определений к словам тоже существуют определенные правила, поскольку именно продуманные определения к словам делают кроссворд интересным и оригинальным, выгодно отличающемся от большого количества кроссвордов, составляемых при помощи специальных программ по составлению кроссвордов. Обычно приветствуется легкий тон определений, наличие юмора сделает кроссворд более интересным.

Для внешнего вида (сетки) кроссворда тоже существуют некоторые правила. Что касается сеток кроссвордов, то существует разные их виды: от нерегулярных крестословиц до правильных, максимально заполненных фигур. Причем, такие фигуры не обязательно должны быть квадратными. Хорошим тоном считается максимальная плотность кроссворда, определяемая отношением числа белых клеток кроссворда к их общему количеству. Чем выше плотность, тем труднее составлять и легче разгадывать кроссворд. Сетки могут быть как регулярными (симметричными), так в виде различных фигур. Составление кроссворда начинают с самых длинных слов.

§ 9. Задачи на построение сечений

При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.

1) Определение секущей плоскости

Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые; 
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую; 
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую; 
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

Приведем пример составления сечения

Задача 1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Дано

Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а также пара P и R – они принадлежат грани ABC. Их можно сразу соединять:

Шаг 1

Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Но нужна нам не любая, а особенная точка, которая также будет принадлежать и плоскости сечения. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. Заметим, что прямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания, но не только. Она еще лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение.  Воспользуемся случаем: найдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC)  граней пирамиды.

Шаг 2

Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой:

Шаг 3

Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды,  от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.

Шаг 4

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R (1 балл).

2. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R (1 балл).

3. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R, причем точка P принадлежит грани ASC (1 балл).

Список используемой литературы

1 Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия:  учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

3 Математика. 10 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений: (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.]; под ред. А.Г. Мордковича, И.М. Смирновой. – 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 416 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. –  14-е изд. – М.: Просвещение,  2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

Интернет-ресурсы

5 www.examens.ru

6 http://www.1september.ru/ издательский дом «Первое сентября»

7 http://www.vschool.ru/ Виртуальная школа KM.ru

РЕЦЕНЗИЯ

на учебное пособие «Геометрия»

преподавателя математики ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области

Шаляпиной О.Р. 

Рецензируемое учебное пособие написано в полном соответствии с программой по математике (профильный уровень).

Проведенный анализ показал, что учебное пособие является оригинальным образцом учебной литературы, не дублирующим другие известные пособия. Его содержание соответствует идее углубленного изучения математики. В нем сконцентрирован богатый фактический материал. Математическая символика используется в разумных пределах и удачно сочетается со словесным языком. Учебное пособие написано с глубоким пониманием предмета и поэтому понятна и доступна в своих основных частях. Представляется, что автору удалось найти оптимальное сочетание между качественной и операционной компонентами раздела 2 Геометрия.

Важно также, что учебное пособие  получилось цельным и интересным, причем этого удалось достигнуть, в первую очередь, за счет хорошо продуманной и внутренне эмоциональной подачи материала. Оно может быть использован и преподавателем и студентом при выполнении различных видов учебной работы, в том числе и как пособие для домашнего выполнения заданий.

Учебное пособие отличается разнообразием представленного фактического материала, а также методов и приемов рассуждений. Она доставляет возможности для развития алгоритмической и логической культуры. Важно также, что она имеет потенциал для развития у обучающихся интереса к математике и их общей культуры.

Считаю возможным рекомендовать учебное пособие Шаляпиной О.Р. к дальнейшему использованию в учебном процессе.

Рецензент, председатель П(Ц)К общеобразовательных дисциплин, преподаватель информатики высшей квалификационной категории

И.И.Стоянова