Учебное пособие по теме: "Тригонометрия"

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Государственное  автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

 «Чистопольский политехнический колледж»

Л.Ш. Камалова

Сборник тестовых заданий по математике

Раздел: Тригонометрия

Учебное пособие

Чистополь 2015

Печатается по решению методического совета ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж»

Рецензент:

        Волкова Любовь Михайловна – заместитель директора по учебно – производственной работе ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж», кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель Республики Татарстан.

        Албутова Татьяна Фёдоровна  - учитель высшей категории

МБОУ «Гимназия № 1» Чистопольского муниципального района.

         Камалова Л.Ш. 

        Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов учреждений  среднего профессионального образования, а также для преподавателей математики.

        В пособие включены  тестовые задания разных уровней сложности по основным темам раздела: Тригонометрия. Каждая тема  пособия снабжена кратким теоретическим введением и иллюстрациями решения типовых задач, рассматриваемых в проверочных и итоговых тестах. Учебное пособие содержит ключи к решениям тестов, что позволяет студентам самостоятельно проверить свои знания.

Пояснительная записка

       Предлагаемый  сборник  тестовых  задач  предназначен  для использования  в качестве  учебного пособия по предмету: Математика, соответствующего требованиям Государственного образовательного  стандарта  для  студентов первого курса.

       Сборник содержит задания для проведения текущего и итогового контроля  знаний  обучающихся по разделу: Тригонометрия.  Тесты и итоговые тесты тематически сгруппированы, что даёт возможность целенаправленно изучить материал.

               В пособии представлены тесты, по своей структуре напоминающие тесты 

         ЕГЭ, что пригодится для выпускников при поступлении в ВУЗы. Все вопросы

         тестов разделены на три уровня сложности. Задания части А – базового уровня,

         части В – повышенного, части С – высокого уровня. При оценивании

         результатов тестирования это необходимо учитывать. Каждое верно-

         выполненное задание уровня А оценивается в 1 балл, уровня В – в 2 балла,

         уровня С – в 3 балла. Следовательно, при оценивании  ответов, можно

         использовать следующую шкалу:

      80-100% от максимальной суммы баллов – оценка «5»;

      60 -80%  - оценка «4»;

      40 - 60% - оценка «3»;

      0 - 40% - оценка «2».

      На выполнение тематических тестов рекомендуется выделять 20-30 минут, на выполнение итоговых тестов – 45-50минут. Тематические тесты могут быть включены в урок на любом этапе: актуализации знаний, закрепления изученного материала, повторения. Они внесут разнообразие в контроль и коррекцию знаний, умений и навыков, и не отнимут много времени. И в то же время анализ выполнения тестов поможет выделить повторяющиеся ошибки, как индивидуально у каждого студента, так и в целом по группе. В приложении к  сборнику  приведены ключи  к тестам, что позволит преподавателю быстро проверить ответы, выполнить коррекцию знаний студентов.

Тест 1. Радианная и градусная мера угла

Вариант 1

А1.  Что такое угол в 1 радиан?

            1)  Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

            2)  Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна диаметру окружности.

            3)   Угол в 1 радиан – это такой тупой  угол, длина дуги которого равна радиусу  окружности.

А2.   По какой формуле можно выразить градусную меру угла в радианную?

            1)    2)      3) 

А3.   Выразите в радианной мере величины углов:  36º, 270º, 60º.

             1)              2)    3)

А4.   Выразите в градусной мере величины углов:  .

           1) 30º; 180º; 120º;            2) 120º; 180º; 30º;       3)  30º; 180º; 110º

В1.   Отметьте на единичной окружности точку  если:

                                                       

В2.  В какой четверти координатной плоскости расположена точка    

         если  равно:        ?          

С1. Выразите в радианной мере величины углов  и определите, в какой

       четверти  расположены   точки , если  равно: -150º, 216º, -310º.          

Тест 1. Радианная и градусная мера угла

Вариант 2

А1.  По какой формуле можно найти длину дуги l для окружности

        с радиусом r?

            1)                  2)                  3)      

А2.  Какой зависимостью связаны радианная и градусная меры?

            1)    2)      3)

А3.  Выразите в радианной мере величины углов:  45º, 270º, 216º.

             1)              2)       3)

А4.  Выразите в градусной мере величины углов:  .

           1) 45º; 360º; 36º;            2) 40º; 180º; 36º;       3) 45º; 180º; 360º

В1. Отметьте на единичной окружности точку  если:

               

В2.   В какой четверти координатной плоскости расположена точка    

         если  равно:        ?           

С1. Выразите в радианной мере величины углов и  определите, в какой четверти     расположены   точки , если  равно:  -215º, -40º, 240º.                         

Тема 2.  Тригонометрические функции числового аргумента

       Тригонометрические функции числового аргумента t  – это функции

 вида  y = cos t, y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

       В функциях  у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом. С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия: 
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси Ox.

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая

сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом

данного угла. Синус и косинус принимают любые значения от -1 до 1, т.е.

область значений этих функций:

Например:  нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности)

под углом 30º (см. рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны  с  окружностью соответствует . Нам известны  ордината и абсцисса этой точки. Они

 же являются  косинусом и синусом нашего угла.   А зная синус и косинус угла,

можно  найти  его тангенс и котангенс по формулам:

Следовательно, ::

      Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат,

является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента

Вариант 1

А1.   Отношение абсциссы точки на окружности к её ординате называется…..

          1) синусом угла;      2) котангенсом угла;      3) тангенсом угла

А2.    В какой четверти расположен угол 250º?

          1) В I;          2)  Во  II;        3) В III

А3.   Существуют ли  углы, для которых: ?

          1) нет, да, нет;       2) да, нет, да;       3) да, да, нет

А4.    Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и ?

           1) да;            2) нет;        3) другой ответ

В1.  Определите знак: и .            

В2.  Найдите значения синуса и косинуса =.

С1. Запишите следующие числа в порядке убывания:                                            

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента

Вариант 2

А1.  Отношение ординаты точки на окружности к её абсциссе называется…..

          1) синусом угла;         2) котангенсом угла;         3) тангенсом угла

А2.  В какой четверти расположен угол 320º?

          1) В IY;         2)  Во  II;         3) В III

А3.  Существуют ли  углы,   для которых: ?

          1) нет, да, да;          2) да, нет, да;          3) да, да, нет

А4. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и ?

           1) да;            2) нет;         3) другой ответ

В1.   Определите знак: и .              

В2.  Найдите значения синуса и косинуса =-5,5.            

С1. Запишите следующие числа в порядке возрастания: 

Тема 3. Формулы приведения

            При решении тригонометрических уравнений или совершении

тригонометрических преобразований первым делом нужно минимизировать

количество различных аргументов тригонометрических функций. Для этого

нужно все углы привести к углам первой четверти,  воспользовавшись

формулами приведения.  А также, необходимо знать знаки

 тригонометрических  функций.

Мнемоническое правило, которое позволяет не заучивать формулы приведения.

Если мы откладываем угол от вертикальной оси, то приводимая функция

меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс  на

котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от  горизонтальной

оси, то  приводимая функция  не меняет свое название. Перед приведённой

функцией ставится тот знак, который имеет функция в данной четверти.

Рассмотрим примеры.

Пример  1.  Найдите значение

1. Запишем аргумент функции в виде суммы двух углов, один из которых меньше , т.е. .

2. Совершаем поворот на , а потом, от полученной  точки откладываем

угол . Мы отложили этот угол от горизонтальной оси, поэтому функция не

меняется, угол  расположен в третьей четверти, в которой тангенс

имеет положительный знак, следовательно,  приводимая функция

положительна: 

Пример 2. Найти значение выражения:                                          

1. Выделим целую часть в дроби  

2. Так как период функции  равен , запишем:

Теперь наш аргумент находится в пределах от нуля до, следовательно:

 Чтобы попасть в точку, соответствующую углу поворота на , мы сначала совершаем поворот на  радиан, а потом из этой точки откладываем угол  радиан.

Т.к. мы отложили угол  от горизонтальной оси - косинус   не меняет своего названия, угол  расположен в третьей четверти, в которой косинус отрицателен, следовательно,  приводимая функция отрицательна.

Получаем:

Тест 3. Формулы приведения

Вариант 1

А1.   Замените тригонометрической функцией угла  выражение

         1)            2)           3)

А2.   Замените тригонометрической функцией угла  выражение

         1)          2);          3) - 

А3.   Найдите значение

         1)             2) -          3)

А4.   Найдите значение

         1)               2)           3) -

В1.    Найдите значение выражения:      

В2.    Расположите выражения в порядке  возрастания:

                             

С1.    Упростите выражение:                  

Тест 3. Формулы приведения

Вариант 2

А1.   Замените тригонометрической функцией угла  выражение

         1)      2)        3)

А2.   Замените тригонометрической функцией угла  выражение

         1)      2);       3) - 

А3.   Найдите значение

         1)             2) -          3)

А4.   Найдите значение

         1)               2)           3) -

В1.    Найдите значение выражения:        

В2.    Расположите выражения в порядке  возрастания:

                         

С1.    Упростите выражение:                   

Тема 4. Основные формулы тригонометрии

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 

,     ,    

 ,  

 ,

, 

Тригонометрические функции суммы и разности углов

, 

,  

Тригонометрические функции двойного, тройного и половинного аргумента

,

  , 

Формулы преобразования произведения тригонометрических

функций в сумму

 , 

 ,  

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

 ,      

,         ,     

          Пример 1. Какие значения может принимать , если

Из формулы  ,  выразим  В последнюю формулу подставим данное значение синуса:

         Пример №2. Могут ли одновременно выполняться равенства:   и ?

Из формулы , выразим  Подставим данные значения синуса и тангенса в последнее равенство: , т.к. значение косинуса больше 1, данные равенства выполняться не могут.

        Пример 4. Вычислите:  , если

Раскроем скобки по формуле  и в полученное выражение подставим значения синуса. 

Тест 4. Основные формулы тригонометрии

Вариант 1

А1.    Какие значения может принимать , если

         1)                      2)                 3)    

А2.    Могут ли синус и косинус одного и того же угла быть равными соответственно: и

          1) да;          2) нет;        3) другой ответ

А3.   Могут ли одновременно выполняться равенства:   и ?

          1) да;          2) нет;        3) другой ответ

А4.   Вычислите:  , если

          1)                  2)                              3)       

В1.    Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:                     

В2.    Вычислите , если: и     

С1.   Докажите тождество:

Тест 4. Основные формулы тригонометрии

Вариант 2

А1.    Какие значения может принимать , если

         1)                    2)                   3)         

А2.    Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и

          1) да;          2) нет;        3) другой ответ

А3.   Могут ли одновременно выполняться равенства:   и ?

          1) да;          2) нет;        3) другой ответ

А4.   Вычислите:  , если

         1)                   2)                     3)

В1.    Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:                     

В2.    Вычислите , если: и     

С1.   Докажите тождество: .

Тест 5.  Итоговый тест  по теме:

Основы тригонометрии

Вариант 1

А1.   Выразите в радианной мере величины углов:  180º, 216º, 150º.

             1)              2)         3)    

А2.    Определите, в какой четверти расположены   точки , если  равно: -110º, 306º, 280º.  

              1) III, YI, YI;            2) I, II, I;              3) III, YI; II     

А3.   Существуют ли  углы,   для которых: ?

          1) нет, да, нет;       2) нет, нет, да;       3) да, да, нет

А4.   Используя формулы приведения, вычислить:

          1)                 2)                3)

В1.   Упростите выражение:                  

В2.   Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: .                     

С1.   Докажите тождество:

Тест 5.  Итоговый тест по теме:

 Основы тригонометрии

Вариант 2

А1.   Выразите в радианной мере величины углов:  360º, 116º, 95º.

             1)              2)            3)

А2.    Определите, в какой четверти расположены   точки , если  равно: -100º, 206º, -310º.

                1) II, III, I;           2) I, III, I;              3) II, II, I  

А3.   Существуют ли углы,    для которых: ?

          1) нет, да, нет;       2) нет, нет, да;       3) да, да, нет

А4.   Используя формулы приведения, вычислить:

          1)                 2)                3)

В1.   Упростите выражение:          

В2.   Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:  .                     

С1.   Докажите тождество: 

Тема 6. Свойства тригонометрических функций

Соотношения сторон и их связь с функциями:

Синус — отношение противолежащего  катета  к гипотенузе.

Косинус — отношение  прилежащего  катета  к гипотенузе.

Тангенс — отношение противолежащего  катета  к  прилежащему.

Котангенс — отношение прилежащего  катета  к  противолежащему.

Свойства синуса

Область определения функции - множество всех действительных чисел,

т.е. D(y)=R.

Множество значений: E(y) = [−1;1].  Функция  y=sin(α) – нечетная, т.к.

sin(−α)=−sinα.

Функция оказывается периодической, наименьший  положительный период

соответствует 2π, т.е.  sin(α+2π)=sin(α).

Промежутки знакопостоянства:  y>0 при (2πn+0;π+2πn),n∈ Z и y<0 при

 (π+2πn;2π+2πn),n∈ Z.

Функция y=sin α возрастает при α∈(−π/2+2πn;π/2+2πn,) n∈ Z, и убывает при

α∈(π2+2πn;3π2+2πn), n∈ Z.

Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈ Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈ Z.

Свойства косинуса

 Область определения функции : D(y)=R.

Множество значений: E(y) = [−1;1].

Функция y=cos(α) - четная: cos(−α)=cosα.

Функция периодическая,  наименьший

положительный период соответствует 2π:  cos(α+2π)=cos(α).

График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn, n∈ Z.

Промежутки знакопостоянства:  y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈ Z и

y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn), n ∈ Z.

Функция y=cos α возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈ Z,  и убывает

при  α∈(2πn;π+2πn),n∈ Z.

У функции есть минимум при α=π+2πn, n∈ Z, а максимум при α=2πn, n∈ Z.

Свойства тангенса

Область определения функции: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.

Множество значений: E(y)=R.

Функция y=tg(α) – нечётная, т.к.  tg(−α)=−tg α.

Функция периодическая,  наименьший

положительный  период соответствует π,  т.е.  tg(α+π)=tg(α).

График функции пересекает ось Ох при α=πn, n∈ Z.

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈ Z и  y<0 при

(−π/2+πn;πn),n∈ Z.  Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈ Z.

   Свойства котангенса

   Область определения функции: D(y)=R, исключая числа α=πn.

   Множество значений: E(y)=R.

   Функция y=ctg(α) - нечетная: ctg(−α)=−ctg α.

   Функция периодическая,  наименьший

   положительный период     равен π, т.е.

    ctg(α+π)=ctg(α).

График функции пересекает ось Ох при    α=π/2+πn, n∈ Z.

 Промежутки знакопостоянства:  y>0 при (πn;π/2+πn), n∈ Z и y<0 при

(π/2+πn;π(n+1)), n∈ Z.

Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)), n∈ Z.

          Утверждение 1. Если функция f периодическая и имеет период Т, то

 функция Af(kx+b), где A, k и b постоянны, а также периодична,  причём её

период равен

       Пример 1.   Найдите наименьший положительный период функции y=

Т.к. наименьший положительный период функции y=sint,  а k=5,

периодом функции y=является число

Тест 6. Свойства тригонометрических функций

Вариант 1

А1.    Какая из функций:  является чётной?

          1) ;               2)  ;         3)

А2.    У каких функций наименьший положительный период Т = 2π?

           1)       2)           3)

А3.    Какое из выражений не имеет смысла?

           1)           2)            3)

А4.    Какое из чисел меньше нуля?

           1)                 2)                 3)

В1.   Углом какой четверти является угол α, если  α < 0, α < 0?   

В2.   Найдите наименьший положительный период функции     

C1.   Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции

Тест 6. Свойства тригонометрических функций

Вариант 2

А1.    Какие из функций являются нечётными?

          1) ;    2)  ;;       3) ;

А2.    У каких функций наименьший положительный период Т = π?

           1)       2)           3)

А3.    Какое из выражений не имеет смысла?

           1)           2) с           3)

А4.    Какое из чисел больше нуля?

           1)                 2)                 3)

В1.   Углом какой четверти является угол α, если  α > 0, α > 0?   

В2.   Найдите наименьший положительный период функции                      

C1.   Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции

Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Арксинус (y= arcsin x) – это функция, обратная к синусу (x=sin y), имеющая

 область определения: ,  множество значений:

  .

Арккосинус (y=arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x=cos y),

имеющая область определения , множество

 значений: .

Арктангенс  (y=arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x=tg y), имеющая

область определения:   и множество

значений: .

Арккотангенс (y= arcctg x) – это функция, обратная к котангенсу (x=ctg y),

имеющая область определения: , 

множество значений:  .

Следовательно, функции вида: y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y= arcctg x

являются обратными функциями для функций: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y= ctg x

соответственно.

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков

тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   

y = x.

     y=arctg x              y= arcctg x

           

y= arcsin x                                                       y=arccos x                                         

 Пример 1.  Найдите значение t, принадлежащее  промежутку     если

               

, т.к.

Тест 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс

Вариант 1

А1.   Что называют арккосинусом числа а?

             1) Такое число из отрезка  синус которого равен а;

             2)  Такое число из отрезка  косинус которого равен а;

             3)  Такое число из отрезка тангенс которого равен а

А2.   Имеет ли смысл выражение:

              1) да;            2) нет;              3) другой ответ

А3. Найдите значение t, принадлежащее  промежутку     если

             1)            2)               3)

А4.   Вычислите    

             1)             2)              3)

В1.   Найдите значение выражения:                     

В2.   Сравните числа:   и                    

С1.   Расположите числа в порядке возрастания:

Тест 11. Арксинус, арккосинус, арктангенс

Вариант 2

А1.   Что называют арксинусом числа а?

             1)  Такое число из отрезка   косинус которого равен а;

             2)  Такое число из отрезка   синус которого равен а;

             3) Такое число из отрезка  тангенс  которого равен а

А2.    Имеет ли смысл выражение:

             1) да;            2) нет;              3) другой ответ

А3.    Найдите значение t, принадлежащее  промежутку     если

           

             1)  ;             2) ;           3)

А4.   Вычислите    

             1) ;          2)  ;             3)

В1.    Найдите значение выражения:       

В2.    Сравните числа:   и               

С1.    Расположите числа в порядке возрастания:

Тема 8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Алгоритм решения уравнения  вида: :

-  построим единичную окружность, осевые линии Ох, Оу;

-  отметим точку на оси Ох, т.к. значения косинуса лежат на  оси Ох;

-  проведем через точку препендикуляр, до пересечения с

   окружностью;

-  полученные точки соединим с центром окружности, получим два    угла,

   которые являются корнями уравнения ;

-  т.к. наименьший положительный период  функции , ,

   запишем общее решение уравнения: .

   Частные случаи:   

1)  

2)                                                                                                                                                                                                             

3)      

Пример 1.  Решите уравнение:   

Решение:  построим единичную окружность. Т.к. значения

косинуса лежат оси Ох, отметим число  и через точку

проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью.

Получили две точки пересечения, соединим их с центром окружности,

полученные углы являются корнями уравнения.

Алгоритм решения уравнения  вида:

-  построим единичную окружность, осевые линии Ох, Оу;

-  отметим точку на оси Оу, т.к. значения синуса лежат на  

оси Оу;

-  проведем через точку препендикуляр, до пересечения с

   окружностью;

-  полученные точки соединим с центром окружности,

получим два    угла,    которые являются корнями уравнения ;

-  т.к. наименьший положительный период  функции, ,

   запишем решения уравнения:.

  

   Оба решения запишем одной формулой:

Частные случаи:

   1)        2)      3)

Пример 2. Найдите корни уравнения: 

Решение:

Алгоритм решения уравнения  вида:

Алгоритм решения

уравнения  вида:

Пример 3. Решите   уравнение:

Решение: на оси тангенсов находим  число 1, соединяем

полученные точки с центром окружности. Решением уравнения

являются углы:или   

Пример 4.

Решите уравнение:

Решение: на оси котангенсов находим число

 , соединяем полученные точки с центром

окружности. Решением уравнения является угол:

Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Вариант 1

А1.       Решите уравнение: 

            1) ;           2) ;              3)

А2.       Решите уравнение:

             1);   2);     3)

А3.       Решите уравнение: 

              1) ;           2) ;         3)

А4.       Найдите корни уравнения: 

                        1)            2)              3)

В1.       Решите уравнение:          

В2.       Найдите корни уравнения:         

С1.       Найдите координаты точек пересечения  функций и

          

Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Вариант 2

А1.       Решите уравнение: 

               1) ;     2) ;        3)

А2.       Решите уравнение:

                1) ;        2)     3)

А3.       Решите уравнение: 

                 1) ;           2) нет корней;         3)

А4.       Найдите корни уравнения: 

                  1)            2)              3) нет корней

В1.       Решите уравнение:        

В2.       Найдите корни уравнения:           

С1.       Найдите координаты точек пересечения  функций и

            

Тема 9. Тригонометрические уравнения

         Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим

 уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее

тригонометрическое уравнение.

Существует несколько основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

·                разложение на множители;

·                способ замены;

·                однородные уравнения;

·                преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;

·                преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;

·                метод рационализации для уравнения вида

·                использование формул понижения степени;

·                введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения

приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Разложение на множители

При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы:

 Пример 1. Решить уравнение   

  т.к. , получим:  

 

 или

    

Ответ:               

Пример 2.  Решить уравнение

Решение:

          или    

                         

                

Ответ:

Способ замены

Данным методом решаются уравнения вида:

Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям, путём замены

функции через переменную:

При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:

Пример 3. Решить уравнение 

Пусть тогда

Сделаем обратную замену, получим два простейших тригонометрических уравнения:

корней нет, т.к.

Ответ:

Однородные уравнения

Уравнения:

,

,                                     

,

 называются однородными относительно . Они обладают тем

свойством, что сумма показаний степеней при   у всех

членов уравнения одинакова. 

Делением  на соответственно, уравнения

 Приводятся  к алгебраическим уравнениям относительно .

Уравнение     легко сводится к

однородному уравнению, если правую часть представить в виде

             

После преобразований, получаем уравнение:

                                                     

  Пример 4. Решите уравнение:

Это уравнение является однородным относительно  , поэтому

 разделим его на , получим новое уравнение:

 

   

Пусть тогда получим квадратное уравнение и решим его:

Сделаем обратную замену, получим два простейших тригонометрических

уравнения:

                      и              

,                     

                              

Ответ:  

 Пример 5. Решить уравнение:

Решение:

Разделим уравнение на ,

 получим новое уравнение:

 

   

Пусть тогда получим квадратное уравнение и решим его:

Сделаем обратную замену, получим два простейших тригонометрических

 уравнения:

                      и              

,                     

                             

Ответ:  

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

 

      

   

Пример 6.  Решить уравнение:

Решение: преобразуем уравнение по формуле приведения:

т.к.

              или              

     

Ответ:

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

 

  

   

   Пример 7. Решить уравнение:

Решение: т.к.

                или                 ,

      

Ответ:

Использование формул понижения степени

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

   

Пример 8. Решить уравнение:

Решение: т.к.     уравнение принимает вид:

Используя, выше приведенные формулы, перепишем его в виде:

т.е.

Преобразуем суммы косинусов в произведения, тогда получим:

               или          ,            или           

    

Получилось три семейства решений данного уравнения, но ответ можно

записать в виде  т.к. он содержит в себе два других семейства

(если положить  или ).

Ответ:

Равенство одноименных тригонометрических функций

Данным методом решаются уравнения вида:

              

Теорема 1. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий

.

Теорема 2. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из условий

.

Теорема 3. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно, одновременное выполнение двух условий:

.

  Пример 9. Решить уравнение 

На основании условий равенства двух синусов имеем:

 или .

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента

Метод основан на преобразовании выражения , где a и b –

постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно.

Введем угол , положив

.

Тогда:

,

где  находится из уравнения .

         Пример 10.    Решить уравнение  

Решение: т.к.  то  и  уже являются

 соответственно косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот

 угол  Следовательно,

Ответ:

Подобное уравнение можно решить другим методом рационализации.

Метод рационализации для уравнения вида 

Известно, что если  то выражаются рационально

 через

    

Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки

получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного

 неизвестного. Данное уравнение можно переписать в виде:

.

Положим   тогда, получим:

Решим данное уравнение и получим следующие ответы

1. если , то у уравнения нет корней;

2. если , то ;

3. если , то .

Пример  11.  Решить уравнение .

 - уравнение имеет решение.

.

1)  

2)  

Ответ:

Приведение к однородному  для уравнения вида 

Данное уравнение перепишем в виде:

,

т.е. имеем однородное уравнение:

.

Тест 9. Тригонометрические уравнения

Вариант 1

А1.      Решите уравнение:

             1) ;  2);  3)

А2.      Решите уравнение, сделав подстановку: .

             1)  2;            2)  нет корней;            3) -21

А3.      Найдите корни уравнения:

             1)    ;

             2)    ;

             3)    

А4.      Чему равен наименьший корень уравнения

              1)  0;      2)       3)  нет корней

В1.      Решите уравнение, упростив левую часть:              

В2.       Решите уравнение, используя однородность: 

                

С1.       Решите систему уравнений:          

Тест 9. Тригонометрические уравнения

Вариант 2

А1.      Решите уравнение:

             1) ;  2)  ;  3) 

А2.      Решите уравнение, сделав подстановку: .              

             1)  ; ;      2)  нет корней;      3)

А3.      Найдите корни уравнения:

             1)  ;

             2)   ;;

             3)  ;

   А4.      Чему равен наименьший положительный корень уравнения:

              

              1)        2)       3)  нет корней

В1.      Решите уравнение, упростив левую часть:                      

В2.       Решите уравнение, используя однородность:     

С1.       Решите систему уравнений:          

Тема 10.  Простейшие тригонометрические неравенства

Неравенства, вида:  и т.п. называются

 тригонометрическими неравенствами. Рассмотрим их решения на примерах.

     Пример 1. Решить неравенство: 

Отмечаем на оси  косинусов число  . Все значения ,

меньшие  лежат  левее точки  на оси косинусов. Отмечаем

все точки (дугу, точнее – серию дуг)  тригонометрического

 круга, косинус,  которых,  будет меньше  .

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки, то есть

от точки  до

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

Ответ: ,

        Пример 2. Решить неравенство:

Отмечаем на оси  косинусов число  (

Все значения cos x, большие или равные  ()лежат  правее точки ( -),

включая саму точку. Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают

тому условию, что 

 

Следовательно, решением неравенства является множество углов:

Ответ:

       Пример 3. Решить неравенство:

Отмечаем  на оси синусов,  число  

Все значения (-), большие или равные (-)  лежат выше точки (-),

включая саму точку. Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают

тому условию, что 

 

Следовательно, решением неравенства является множество углов:

Ответ:

       Пример 4. Решить неравенство:

Отмечаем  на оси синусов число  

 

Следовательно, решением неравенства является множество углов:

Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств

Вариант 1

А1.       Найдите множество значений t, удовлетворяющих неравенству

              и принадлежащих   промежутку 

       1) 2) 3)

А2.       Решите неравенство:  

                   1)    2)

                             3)

А3.       Найдите корни неравенства:

                1)  2);

                             3)

А4.       Решите неравенство 

           1) 2)

                            3)

В1.       Найдите все значения x  неравенства       

В2.       Решите неравенство        

С1.       Найдите какой-либо корень уравнения , удовлетворяющий неравенству 

Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств

Вариант 2

А1.       Найдите множество значений t, удовлетворяющих неравенству  и принадлежащих   промежутку 

   1) 2) 3)

А2.       Решите неравенство:  

       1)       2)

                         3)

А3.       Найдите корни неравенства:

       1)       2) ;

                3)

А4.       Решите неравенство 

       1)         2)

                3)

В1.       Найдите все значения x  неравенства       

В2.       Решите неравенство        

С1.       Найдите какой-либо корень уравнения , удовлетворяющий неравенству 

Тест 11. Итоговый  тест по теме:

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Вариант 1

А1.        Решите уравнение:

             1) ;    2)  ;    3) 

А2.       Решите уравнение, сделав подстановку:

             1)  2) 

                          3) 

А3.       Найдите корни уравнения:

             1)  -;  2)  ;

                          3) 

А4.       Решите неравенство:  

             1)2)

                          3)

В1.       Решите уравнение:           

В2.       Укажите какое-либо число, удовлетворяющее неравенствам:

                 

С1.        При каких значениях а, уравнение   

              не имеет   решений?

Тест 11. Итоговый тест по теме:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Вариант 2

А1.        Решите уравнение:

             1) ;   2)  ;    3) 

А2.       Решите уравнение, сделав подстановку:

             1)   2)      3) 

А3.       Найдите корни уравнения:

             1)  -;       2)  ;

             3) 

А4.       Решите неравенство:  

             1)        2)  

                       3) 

В1.       Решите уравнение:           

В2.       Укажите какое-либо число, удовлетворяющее неравенствам: 

                

С1.        При каких значениях а, уравнение   

            не имеет решений?

Используемая литература

1.     Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. - 15 изд. - М.: Просвещение, 2007г. – 384 стр.

2.     Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень)-2-е изд. – М. : Издательский центр «Академия», 2009. – 320 стр.

3.     Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Под редакцией Колмогорова А.Н. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008.- 384 стр.

4.     Мордкович А.Г. и Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа в 2-х ч. Базовый, 10-11 кл. М.: Мнемозина, 2009г.(учебник и задачник)

Содержание

Пояснительная записка……………………………………………………………..

Тема 1. Радианная и градусная мера угла…………………………………………

Тест 1. Радианная и градусная мера угла………………………………………….

Тема 2.  Тригонометрические функции числового аргумента……………………

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента…………………….

Тема 3. Формулы приведения………………………………………………………

Тест 3. Формулы приведения……………………………………………………...

Тема 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………...

Тест 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………...

Тест 5.  Итоговый тест  по теме: Основы тригонометрии……………………….

Тема 6. Свойства тригонометрических функций………………………………...

Тест 6. Свойства тригонометрических функций…………………………………

Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс………………………

Тест 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс……………………….

Тема 8. Решение простейших тригонометрических уравнений………………...

Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений…………………

Тема 9. Тригонометрические уравнения………………………………………….

Тест 9. Тригонометрические уравнения…………………………………………..

Тема 10.  Простейшие тригонометрические неравенства……………………….

Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств……………….

Тест 11. Итоговый  тест по теме: Решение тригонометрических

               уравнений   и   неравенств…....................................................................

Используемая литература………………………………………………………….