Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебное пособие по теме: "Тригонометрия"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебное пособие по теме: "Тригонометрия"

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Чистопольский политехнический колледж»







Л.Ш. Камалова





Сборник тестовых заданий по математике

Раздел: Тригонометрия



Учебное пособие



















Чистополь 2015

Печатается по решению методического совета ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж»



Рецензент:

Волкова Любовь Михайловна – заместитель директора по учебно – производственной работе ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж», кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель Республики Татарстан.

Албутова Татьяна Фёдоровна - учитель высшей категории

МБОУ «Гимназия № 1» Чистопольского муниципального района.



Камалова Л.Ш.

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов учреждений среднего профессионального образования, а также для преподавателей математики.

В пособие включены тестовые задания разных уровней сложности по основным темам раздела: Тригонометрия. Каждая тема пособия снабжена кратким теоретическим введением и иллюстрациями решения типовых задач, рассматриваемых в проверочных и итоговых тестах. Учебное пособие содержит ключи к решениям тестов, что позволяет студентам самостоятельно проверить свои знания.







Пояснительная записка

Предлагаемый сборник тестовых задач предназначен для использования в качестве учебного пособия по предмету: Математика, соответствующего требованиям Государственного образовательного стандарта для студентов первого курса.

Сборник содержит задания для проведения текущего и итогового контроля знаний обучающихся по разделу: Тригонометрия. Тесты и итоговые тесты тематически сгруппированы, что даёт возможность целенаправленно изучить материал.

В пособии представлены тесты, по своей структуре напоминающие тесты

ЕГЭ, что пригодится для выпускников при поступлении в ВУЗы. Все вопросы

тестов разделены на три уровня сложности. Задания части А – базового уровня,

части В – повышенного, части С – высокого уровня. При оценивании

результатов тестирования это необходимо учитывать. Каждое верно-

выполненное задание уровня А оценивается в 1 балл, уровня В – в 2 балла,

уровня С – в 3 балла. Следовательно, при оценивании ответов, можно

использовать следующую шкалу:

80-100% от максимальной суммы баллов – оценка «5»;

60 -80% - оценка «4»;

40 - 60% - оценка «3»;

0 - 40% - оценка «2».

На выполнение тематических тестов рекомендуется выделять 20-30 минут, на выполнение итоговых тестов – 45-50минут. Тематические тесты могут быть включены в урок на любом этапе: актуализации знаний, закрепления изученного материала, повторения. Они внесут разнообразие в контроль и коррекцию знаний, умений и навыков, и не отнимут много времени. И в то же время анализ выполнения тестов поможет выделить повторяющиеся ошибки, как индивидуально у каждого студента, так и в целом по группе. В приложении к сборнику приведены ключи к тестам, что позволит преподавателю быстро проверить ответы, выполнить коррекцию знаний студентов.

hello_html_7c86ad4b.gif

Тест 1. Радианная и градусная мера угла

Вариант 1


А1. Что такое угол в 1 радиан?

1) Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

2) Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна диаметру окружности.

3) Угол в 1 радиан – это такой тупой угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

А2. По какой формуле можно выразить градусную меру угла в радианную?

1) hello_html_5862ad45.gifhello_html_m62a00377.gif 2) hello_html_40f1e2d1.gif 3) hello_html_m429968b.gif

А3. Выразите в радианной мере величины углов: 36º, 270º, 60º.

1) hello_html_6182a24c.gif 2)hello_html_1464348b.gif 3) hello_html_m161a9c1d.gif

А4. Выразите в градусной мере величины углов: hello_html_m3302dff1.gif.

1) 30º; 180º; 120º; 2) 120º; 180º; 30º; 3) 30º; 180º; 110º

В1. Отметьте на единичной окружности точку hello_html_m6861d38f.gif если:

hello_html_m636b30a1.gif

В2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка hello_html_m6861d38f.gif

если hello_html_m17c0599a.gif равно: hello_html_m27c34186.gif?

С1. Выразите в радианной мере величины углов и определите, в какой

четверти расположены точки hello_html_531ac2e9.gif, если hello_html_m17c0599a.gif равно: -150º, 216º, -310º.




Тест 1. Радианная и градусная мера угла

Вариант 2


А1. По какой формуле можно найти длину дуги l для окружности

с радиусом r?

1) hello_html_590fa0da.gif 2) hello_html_25487f5a.gif 3) hello_html_m76417c8d.gif

А2. Какой зависимостью связаны радианная и градусная меры?

1) hello_html_m22aaead5.gifhello_html_m62a00377.gif 2)hello_html_523c43c1.gif 3) hello_html_m651ca462.gif

А3. Выразите в радианной мере величины углов: 45º, 270º, 216º.

1) hello_html_m6ae7a021.gif 2) hello_html_d8b6bf8.gif 3) hello_html_21f062fc.gif

А4. Выразите в градусной мере величины углов: hello_html_78ce150a.gif.

1) 45º; 360º; 36º; 2) 40º; 180º; 36º; 3) 45º; 180º; 360º


В1. Отметьте на единичной окружности точку hello_html_569bfec6.gif если:

hello_html_7bbab069.gif

В2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка hello_html_m57f1cd8.gif

если hello_html_21bc3e97.gif равно: hello_html_29570e0f.gif?

С1. Выразите в радианной мере величины углов и определите, в какой четверти расположены точки hello_html_m4400c382.gif, если hello_html_m7bfc40e1.gif равно: -215º, -40º, 240º.





Тема 2. Тригонометрические функции числового аргумента


Тригонометрические функции числового аргумента t  – это функции

вида  y = cos ty = sin ty = tg ty = ctg t.

В функциях  у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом. С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия: 
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси Ox.

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая

сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом

данного угла. Синус и косинус принимают любые значения от -1 до 1, т.е.

область значений этих функций: hello_html_m4a448567.gif

Например: нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) Описание: http://raal100.narod.ru/olderfiles/3/Uglovoi_argument.png

под углом 30º (см. рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует hello_html_2c440f82.gif. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они

же являются косинусом и синусом нашего угла.   А зная синус и косинус угла,

можно найти его тангенс и котангенс по формулам: hello_html_m6ef2b67.gif

Следовательно, hello_html_m45a7d0e6.gif:hello_html_4e98791f.gif:hello_html_32cbca56.gif

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат,

является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента

Вариант 1


А1. Отношение абсциссы точки на окружности к её ординате называется…..

1) синусом угла; 2) котангенсом угла; 3) тангенсом угла


А2. В какой четверти расположен угол 250º?

1) В I; 2) Во II; 3) В III


А3. Существуют ли углы, hello_html_1ac41f5f.gifдля которых: hello_html_3dcc2d5e.gif?

1) нет, да, нет; 2) да, нет, да; 3) да, да, нет


А4. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: hello_html_m2090943d.gifи hello_html_7e586e1d.gif?

1) да; 2) нет; 3) другой ответ


В1. Определите знак: hello_html_m28904847.gifи hello_html_m1c25effc.gif.


В2. Найдите значения синуса и косинуса hello_html_m17c0599a.gif=hello_html_1891cb12.gif.


С1. Запишите следующие числа в порядке убывания: hello_html_m1a01720c.gif




Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента

Вариант 2


А1. Отношение ординаты точки на окружности к её абсциссе называется…..

1) синусом угла; 2) котангенсом угла; 3) тангенсом угла


А2. В какой четверти расположен угол 320º?

1) В IY; 2) Во II; 3) В III


А3. Существуют ли углы, hello_html_1ac41f5f.gif для которых: hello_html_m1cf906df.gif?

1) нет, да, да; 2) да, нет, да; 3) да, да, нет


А4. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: hello_html_5556b5ca.gifи hello_html_2b99b56e.gif?

1) да; 2) нет; 3) другой ответ


В1. Определите знак: hello_html_29ad31d6.gifи hello_html_16fa5716.gif.


В2. Найдите значения синуса и косинуса hello_html_m17c0599a.gif=-5,5hello_html_33c685de.gif.


С1. Запишите следующие числа в порядке возрастания: hello_html_519aa2a4.gif





Тема 3. Формулы приведения


При решении тригонометрических уравнений или совершении

тригонометрических преобразований первым делом нужно минимизировать

количество различных аргументов тригонометрических функций. Для этого

нужно все углы привести к углам первой четверти,  воспользовавшись

формулами приведения. А также, необходимо знать знаки

тригонометрических функций. Описание: Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.


Мнемоническое правило, которое позволяет не заучивать формулы приведения.


Если мы откладываем угол от вертикальной оси, то приводимая функция

меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на

котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от горизонтальной

оси, то приводимая функция  не меняет свое название. Перед приведённой

функцией ставится тот знак, который имеет функция в данной четверти.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найдите значение hello_html_m2961f57f.gif

1. Запишем аргумент функции в виде суммы двух углов, один из которых меньше hello_html_m5e0ecd.gif, т.е. hello_html_41e2be1a.gif.

2. Совершаем поворот на hello_html_m2f563712.gif, а потом, от полученной точки откладываем

угол hello_html_7b25f333.gif. Мы отложили этот угол от горизонтальной оси, поэтому функция не

меняется, угол hello_html_2d785e36.gif расположен в третьей четверти, в которой тангенс

имеет положительный знак, следовательно, приводимая функция

положительна: hello_html_234b34c8.gif

Пример 2. Найти значение выражения: hello_html_62ed8310.gif

1. Выделим целую часть в дроби hello_html_m787f1d07.gif 

2. Так как период функции hello_html_m2652ad79.gif равен hello_html_499cbc.gif, запишем: hello_html_m569e5471.gif

Теперь наш аргумент находится в пределах от нуля доhello_html_499cbc.gif, следовательно:

hello_html_m37cc33c3.gif Чтобы попасть в точку, соответствующую углу поворота на hello_html_60bd3327.gif, мы сначала совершаем поворот на hello_html_33c685de.gif радиан, а потом из этой точки откладываем угол hello_html_42599eee.gif радиан.Описание: http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/02/eokr.jpeg

Т.к. мы отложили угол hello_html_75a80cb1.gif от горизонтальной оси - косинус  не меняет своего названия, угол hello_html_m1fc8728a.gif расположен в третьей четверти, в которой косинус отрицателен, следовательно, приводимая функция отрицательна.

Получаем:hello_html_m5ec000e5.gif







Тест 3. Формулы приведения

Вариант 1

А1. Замените тригонометрической функцией угла hello_html_39774d82.gif выражение hello_html_1376d5dd.gif

1)hello_html_19168b1b.gif 2) hello_html_1eb3c0bf.gif 3)hello_html_m3342940b.gif


А2. Замените тригонометрической функцией угла hello_html_7a26ff79.gif выражение hello_html_686f9653.gif

1) hello_html_5d74bca2.gif 2)hello_html_132dc120.gif; 3) -hello_html_7c01b56f.gif


А3. Найдите значение hello_html_2947df45.gif

1) hello_html_m21b783d4.gif 2) -hello_html_12a5be42.gif 3) hello_html_57ceffb2.gif


А4. Найдите значение hello_html_m396c20b1.gif

1) hello_html_m47793da8.gif 2) hello_html_m22a1d96f.gif 3) -hello_html_m1f7900f.gif


В1. Найдите значение выражения: hello_html_m171bddbd.gif


В2. Расположите выражения в порядке возрастания:

hello_html_4d8a746b.gif


С1. Упростите выражение: hello_html_m5477f74d.gif



Тест 3. Формулы приведения

Вариант 2


А1. Замените тригонометрической функцией угла hello_html_m17c0599a.gif выражение hello_html_a9a72b4.gif

1)hello_html_m2236a0d4.gif 2) hello_html_61e49e4e.gif 3)hello_html_mdf5ed6c.gif


А2. Замените тригонометрической функцией угла hello_html_m17c0599a.gif выражение hello_html_2ab49fe0.gif

1)hello_html_61e49e4e.gif 2)hello_html_mdf5ed6c.gif; 3) -hello_html_10704876.gif


А3. Найдите значение hello_html_5330076c.gif

1) hello_html_m4f3f1209.gif 2) -hello_html_m4f3f1209.gif 3) hello_html_m25078a68.gif


А4. Найдите значение hello_html_22cf4ad5.gif

1) hello_html_m251e8356.gif 2) hello_html_m4027b32d.gif 3) -hello_html_m251e8356.gif


В1. Найдите значение выражения: hello_html_fcbc71a.gif



В2. Расположите выражения в порядке возрастания:

hello_html_8d13eba.gif


С1. Упростите выражение: hello_html_m37cbad79.gif


Тема 4. Основные формулы тригонометрии


Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 


Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f1.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt18.gifОписание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f3.gif

, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f3.gif , Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f4.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f7.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f8.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f9.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f10.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f11.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f12.gif

Тригонометрические функции суммы и разности углов


Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt13.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt14.gif


Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt15.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt16.gif

Тригонометрические функции двойного, тройного и половинного аргумента


Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt17.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt18.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt19.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/rt20.gif


Формулы преобразования произведения тригонометрических

функций в сумму


Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f36.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f37.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f38.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f39.gif

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение


Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f40.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f41.gif

Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f42.gif, Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f43.gif , Описание: http://free-math.ru/school/math-10/trifon/trig_f44.gif

Пример 1. Какие значения может принимать hello_html_3b7213c1.gif, если hello_html_m24636e49.gif

Из формулы hello_html_62f4f71c.gif, выразим hello_html_7213da33.gif В последнюю формулу подставим данное значение синуса: hello_html_m38c59f4a.gif

Пример №2. Могут ли одновременно выполняться равенства: hello_html_273d9f01.gif и hello_html_6c5946c7.gif?

Из формулы hello_html_8022bb5.gif, выразим hello_html_m487cb812.gif Подставим данные значения синуса и тангенса в последнее равенство: hello_html_m906ae75.gif, т.к. значение косинуса больше 1, данные равенства выполняться не могут.

Пример 4. Вычислите: hello_html_m5d95c2f5.gif, если hello_html_m1c2f8c64.gif

Раскроем скобки по формуле hello_html_m2795a95f.gif и в полученное выражение подставим значения синуса. hello_html_m1f15145e.gif




Тест 4. Основные формулы тригонометрии

Вариант 1

А1. Какие значения может принимать hello_html_m76b54cc0.gif, если hello_html_m7ed59310.gif

1) hello_html_658e30a6.gif 2) hello_html_m3dc1cf23.gif 3) hello_html_1623683e.gif


А2. Могут ли синус и косинус одного и того же угла быть равными соответственно: hello_html_68d858d2.gifиhello_html_2c4a92da.gif

1) да; 2) нет; 3) другой ответ

А3. Могут ли одновременно выполняться равенства: hello_html_m3adf58e2.gif и hello_html_m68116b5d.gif?

1) да; 2) нет; 3) другой ответ


А4. Вычислите: hello_html_m5973cb89.gif, если hello_html_447b5597.gif

1) hello_html_7c998364.gif 2) hello_html_31fcccad.gif 3) hello_html_m7898f266.gif


В1. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: hello_html_m4db9474d.gif

В2. Вычислите hello_html_480047d5.gif, если: hello_html_m55f40a00.gifиhello_html_m12c3b394.gif

С1. Докажите тождество: hello_html_m746e7bed.gif



Тест 4. Основные формулы тригонометрии

Вариант 2


А1. Какие значения может принимать hello_html_m436de718.gif, если hello_html_94eff9b.gif

1) hello_html_m19040708.gif 2) hello_html_m63f2a41.gif 3) hello_html_3a5306f3.gif


А2. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: hello_html_c78a7db.gifиhello_html_15a079c4.gif

1) да; 2) нет; 3) другой ответ


А3. Могут ли одновременно выполняться равенства: hello_html_m269efbec.gif и hello_html_651cb02f.gif?

1) да; 2) нет; 3) другой ответ


А4. Вычислите: hello_html_m3949cdd9.gif, если hello_html_422bf242.gif

1) hello_html_m4a8c7d15.gif 2)hello_html_16c6383d.gif 3)hello_html_m11de5d33.gif


В1. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: hello_html_m5179ecff.gif


В2. Вычислите hello_html_m59a59547.gif, если: hello_html_38468ff2.gifиhello_html_m42a7f32.gif


С1. Докажите тождество: hello_html_2aaffbec.gif.

Тест 5. Итоговый тест по теме:

Основы тригонометрии

Вариант 1


А1. Выразите в радианной мере величины углов: 180º, 216º, 150º.

1) hello_html_m3c4bc05a.gif 2) hello_html_m74cf4bf8.gif 3) hello_html_5f98441e.gif

А2. Определите, в какой четверти расположены точки hello_html_m34df1e1c.gif, если hello_html_m17c0599a.gif равно: -110º, 306º, 280º.

1) III, YI, YI; 2) I, II, I; 3) III, YI; II


А3. Существуют ли углы, hello_html_5084d9ff.gif для которых: hello_html_3e580d84.gif?

1) нет, да, нет; 2) нет, нет, да; 3) да, да, нет


А4. Используя формулы приведения, вычислить: hello_html_1f9682c.gif

1) hello_html_66dd5f53.gif 2) hello_html_m1793e907.gif 3)hello_html_m6fe233eb.gif


В1. Упростите выражение: hello_html_5dc23a49.gif


В2. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: hello_html_5915b5b5.gif.


С1. Докажите тождество: hello_html_m67587fa1.gif


Тест 5. Итоговый тест по теме:

Основы тригонометрии

Вариант 2


А1. Выразите в радианной мере величины углов: 360º, 116º, 95º.

1) hello_html_544fef9a.gif 2)hello_html_m3c5443d5.gif 3)hello_html_m2f5dcd0a.gif


А2. Определите, в какой четверти расположены точки hello_html_531ac2e9.gif, если hello_html_m17c0599a.gif равно: -100º, 206º, -310º.

1) II, III, I; 2) I, III, I; 3) II, II, I


А3. Существуют ли углы, hello_html_m1fbdfcf4.gif для которых: hello_html_m2aad0a6b.gif?

1) нет, да, нет; 2) нет, нет, да; 3) да, да, нет


А4. Используя формулы приведения, вычислить: hello_html_m19445919.gif

1) hello_html_17903037.gif 2) hello_html_m12e2d57.gif 3)hello_html_m54d7ed7b.gif


В1. Упростите выражение: hello_html_m1c7ee080.gif


В2. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: hello_html_m3ab8491e.gif.


С1. Докажите тождество: hello_html_6c6562e9.gif


Тема 6. Свойства тригонометрических функций


Соотношения сторон и их связь с функциями:

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Свойства синуса

Область определения функции - множество всех действительных чисел,

т.е. D(y)=R.

Множество значений: E(y) = [−1;1]. Функция y=sin(α) – нечетная, т.к.

sin(−α)=−sinα.

Функция оказывается периодической, наименьший положительный период

соответствует 2π, т.е. sin(α+2π)=sin(α).

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n Z и y<0 при

(π+2πn;2π+2πn),n Z.

Функция y=sin α возрастает при α(−π/2+2πn;π/2+2πn,) n Z, и убывает при

α(π2+2πn;3π2+2πn), n Z.

Минимум функции при α=−π/2+2πn, n Z, а максимум при α=π/2+2πn, n Z.

Свойства косинусаОписание: Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

 Область определения функции : D(y)=R.

Множество значений: E(y) = [−1;1].

Функция y=cos(α) - четная: cos(−α)=cosα.

Функция периодическая, наименьший

положительный период соответствует cos(α+2π)=cos(α).

График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn, n Z.

Промежутки знакопостоянства:  y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n Z и

y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn), n Z.

Функция y=cos α возрастает при α(−π+2πn;2πn),n Z, и убывает

при  α(2πn;π+2πn),n Z.

У функции есть минимум при α=π+2πn, n Z, а максимум при α=2πn, n Z.

Свойства тангенса

Область определения функции: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.Описание: Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

Множество значений: E(y)=R.

Функция y=tg(α) – нечётная, т.к. tg(−α)=−tg α.

Функция периодическая, наименьший

положительный период соответствует π, т.е. tg(α+π)=tg(α).

График функции пересекает ось Ох при α=πn, n Z.

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n Z и y<0 при

(−π/2+πnn),n Z. Функция y=tg α возрастает при α(−π/2+πn;π/2+πn),n Z.

Свойства котангенса

Область определения функции: D(y)=R, исключая числа α=πn.

Множество значений: E(y)=R.Описание: Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

Функция y=ctg(α) - нечетная: ctg(−α)=−ctg α.

Функция периодическая, наименьший

положительный период равен π, т.е.

ctg(α+π)=ctg(α).

График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn, n Z.

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn), n Z и y<0 при

(π/2+πn;π(n+1)), n Z.

Функция y=ctg α убывает при αn;π(n+1)), n Z.

Утверждение 1. Если функция f периодическая и имеет период Т, то

функция Af(kx+b), где A, k и b постоянны, а hello_html_m2133ff8d.gifтакже периодична, причём её

период равен hello_html_m1daaa368.gif

Пример 1. Найдите наименьший положительный период функции y=hello_html_62ce4456.gif

Т.к. наименьший положительный период функции y=sint, hello_html_2a6eeab6.gif а k=5,

периодом функции y=hello_html_m7f3cff93.gifявляется число hello_html_efaa87b.gif

Тест 6. Свойства тригонометрических функций

Вариант 1


А1. Какая из функций: hello_html_m5c8a693e.gif является чётной?

1) hello_html_m1cabc6df.gif; 2) hello_html_m3d46f9b0.gif; 3) hello_html_m722d619.gif


А2. У каких функций наименьший положительный период Т = 2π?

1)hello_html_m2cfade96.gif 2) hello_html_m16b9e2f9.gif 3) hello_html_20882772.gif


А3. Какое из выражений не имеет смысла?

1) hello_html_6aec6ecc.gif 2) hello_html_3dbce87e.gif 3)hello_html_m28cc34d0.gif


А4. Какое из чисел меньше нуля?

1)hello_html_24ba5d52.gif 2)hello_html_m1992db40.gif 3)hello_html_3309538b.gif


В1. Углом какой четверти является угол α, если hello_html_6df85de0.gifα < 0, hello_html_m35eb14ce.gifα < 0?


В2. Найдите наименьший положительный период функции hello_html_48063fb0.gif


C1. Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции hello_html_346a1103.gif









Тест 6. Свойства тригонометрических функций

Вариант 2


А1. Какие из функций являются нечётными?

1) hello_html_7b3c58b.gif;hello_html_d3c44af.gif 2) hello_html_m2ba2c6e3.gif;hello_html_1981dcca.gif; 3) hello_html_5629d62e.gif;hello_html_33146126.gif


А2. У каких функций наименьший положительный период Т = π?

1)hello_html_m2cfade96.gif 2) hello_html_m16b9e2f9.gif 3) hello_html_7e1cf2fb.gif


А3. Какое из выражений не имеет смысла?

1) hello_html_16f46143.gif 2) сhello_html_m17e44dad.gif 3)hello_html_3757e6b.gif


А4. Какое из чисел больше нуля?

1)hello_html_32f839e1.gif 2)hello_html_18c30758.gif 3)hello_html_596eee1e.gif


В1. Углом какой четверти является угол α, если hello_html_6df85de0.gifα > 0, hello_html_3b26bfd0.gifα > 0?


В2. Найдите наименьший положительный период функции hello_html_9304a20.gif


C1. Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции hello_html_md38d907.gif








Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс


Арксинус (yarcsin x) – это функция, обратная к синусу (x=sin y), имеющая

область определения: hello_html_m146fb5ef.gif, множество значений:

 hello_html_m74f52209.gif.

Арккосинус (y=arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x=cos y),

имеющая область определения hello_html_10d208ab.gif, множество

значений: hello_html_me3cd96.gif.

Арктангенс  (y=arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x=tg y), имеющая

область определения:  hello_html_m4b03bbfb.gif и множество

значений: hello_html_5d454e39.gif.

Арккотангенс (y= arcctg x) – это функция, обратная к котангенсу (x=ctg y),

имеющая область определения: hello_html_601d5005.gif,

множество значений:  hello_html_m173373f4.gif.

Следовательно, функции вида: yarcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y= arcctg x

являются обратными функциями для функций: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y= ctg x

соответственно.

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков

тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   

y = x.

Описание: График функции y=arcsin(x)y=arctg x Описание: График функции y=arccos(x) y= arcctg x


Описание: График функции y=arctg(x)Описание: График функции y=arcctg(x)

yarcsin x y=arccos x


Пример 1. Найдите значение t, принадлежащее промежутку hello_html_m70a3c5b2.gif если

hello_html_m783935e1.gif

hello_html_4e0ed6a.gif, т.к. hello_html_5bf1e6b.gif















Тест 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс

Вариант 1


А1. Что называют арккосинусом числа а?

1) Такое число из отрезка hello_html_m70a3c5b2.gif синус которого равен а;

2) Такое число из отрезка hello_html_m65ab662e.gif косинус которого равен а;

3) Такое число из отрезка hello_html_m450c5d5b.gifтангенс которого равен а

А2. Имеет ли смысл выражение: hello_html_m10416d4a.gif

1) да; 2) нет; 3) другой ответ

А3. Найдите значение t, принадлежащее промежутку hello_html_2ee7a184.gif если hello_html_53970606.gif

1) hello_html_6ceb4619.gif 2) hello_html_m724dd4ae.gif 3) hello_html_m104a2b59.gif

А4. Вычислите hello_html_m7c5c849.gif

1) hello_html_m7faf66ae.gif 2) hello_html_57c4d42d.gif 3) hello_html_6275abdb.gif

В1. Найдите значение выражения: hello_html_2760d61c.gif

В2. Сравните числа: hello_html_6b8fbfa1.gif и hello_html_m230a1b03.gif

С1. Расположите числа в порядке возрастания: hello_html_5e8000d7.gif





Тест 11. Арксинус, арккосинус, арктангенс

Вариант 2


А1. Что называют арксинусом числа а?

1) Такое число из отрезка hello_html_m6030950e.gif косинус которого равен а;

2) Такое число из отрезка hello_html_2ee7a184.gif синус которого равен а;

3) Такое число из отрезка hello_html_m57085beb.gif тангенс которого равен а

А2. Имеет ли смысл выражение: hello_html_26832d56.gif

1) да; 2) нет; 3) другой ответ

А3. Найдите значение t, принадлежащее промежутку hello_html_m3d9af9c9.gif если

hello_html_m21c58164.gif

1) hello_html_m15ba2bbe.gif; 2) hello_html_m15ba2bbe.gif; 3)hello_html_m737f8b06.gif

А4. Вычислите hello_html_m73bdb9de.gif

1) hello_html_739173e8.gif; 2) hello_html_6e45fc9.gif; 3) hello_html_24c85fee.gif

В1. Найдите значение выражения: hello_html_3c0d5b0.gif

В2. Сравните числа: hello_html_483c1a12.gif и hello_html_m63c979e4.gif

С1. Расположите числа в порядке возрастания: hello_html_m494a7a82.gif




Тема 8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Алгоритм решения уравнения вида: hello_html_5af51c43.gifhello_html_mcc4ff28.gif: Описание: Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

- построим единичную окружность, осевые линии Ох, Оу;

- отметим точку hello_html_78c52f3.gifна оси Ох, т.к. значения косинуса лежат на оси Ох;

- проведем через точку hello_html_m4bd1bebc.gifпрепендикуляр, до пересечения с

окружностью;

- полученные точки соединим с центром окружности, получим два угла,

которые являются корнями уравнения hello_html_m108396f6.gif;

- т.к. наименьший положительный период функции hello_html_24841bd6.gif, hello_html_m351ce177.gif,

запишем общее решение уравнения: hello_html_m5b60257.gif.

Частные случаи:

Описание: частные случаи простейших тригонометрических уравнений

1) hello_html_7fe20eb9.gif

Описание: частные случаи простейших тригонометрических уравнений

2)hello_html_5bda5e95.gif

Описание: тригонометрический круг, решение простейших тригонометрических уравнений


3) hello_html_m3584c2c7.gif




Пример 1. Решите уравнение: hello_html_68fe8e8c.gif Описание: http://egemaximum.ru/wp-content/uploads/2013/06/yravnenie-cos.jpg

Решение: построим единичную окружность. Т.к. значения

косинуса лежат оси Ох, отметим число hello_html_586691ca.gif и через точку

проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью.

Получили две точки пересечения, соединим их с центром окружности,

полученные углы являются корнями уравнения.

hello_html_287bb5e2.gif

Алгоритм решения уравнения вида: hello_html_m4deb335c.gifhello_html_d1e8215.gif

- построим единичную окружность, осевые линии Ох, Оу; Описание: Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

- отметим точку hello_html_1d2d7ba.gifна оси Оу, т.к. значения синуса лежат на

оси Оу;

- проведем через точку hello_html_78c52f3.gifпрепендикуляр, до пересечения с

окружностью;

- полученные точки соединим с центром окружности,

получим два угла, которые являются корнями уравнения hello_html_7e9d249f.gif;

- т.к. наименьший положительный период функцииhello_html_5d093f03.gif, hello_html_m18b9e614.gif, Описание: тригонометрический круг, тригономтерия на круге

запишем решения уравнения:.

hello_html_5d457da6.gif

Оба решения запишем одной формулой: hello_html_m72dde382.gif



Частные случаи:

1) hello_html_3eac0692.gif 2)hello_html_6eab970d.gif 3) hello_html_998152a.gif

Пример 2. Найдите корни уравнения: hello_html_46b37a6e.gif

Решение:

hello_html_m17d16a83.gif

Алгоритм решения уравнения вида: hello_html_59e95db6.gifОписание: ось тангенсов, ось котангенсов, тригонометрический круг

hello_html_685eef00.gif




Алгоритм решения

уравнения вида: hello_html_mc3483bd.gif

hello_html_7c3b362c.gif


Описание: нахождение тангенса

Пример 3. Решите уравнение: hello_html_1c3f5695.gif

Решение: на оси тангенсов находим число 1, соединяем

полученные точки с центром окружности. Решением уравнения

являются углы:hello_html_7635f527.gifили hello_html_m294358d8.gif

Пример 4. Описание: рещение простейшего тригонометрического уравнения

Решите уравнение: hello_html_335a20a7.gif

Решение: на оси котангенсов находим число

hello_html_m1f7900f.gif, соединяем полученные точки с центром

окружности. Решением уравнения является угол:

hello_html_mdabe04a.gif






















Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Вариант 1

А1. Решите уравнение: hello_html_m4e4fb197.gif

1) hello_html_5ddc15b2.gif; 2) hello_html_m3e2a3ab7.gif; 3) hello_html_6c8a3ac3.gif

А2. Решите уравнение: hello_html_3641e936.gif

1)hello_html_397984a8.gif; 2)hello_html_600a8a3c.gif; 3) hello_html_73039724.gif


А3. Решите уравнение: hello_html_4c4f70c6.gif

1) hello_html_3e051cdc.gif; 2) hello_html_m26ca2d33.gif; 3)hello_html_55958b9b.gif


А4. Найдите корни уравнения: hello_html_6f40c196.gif

1) hello_html_66ab71f8.gif 2) hello_html_4f93ed1.gif 3)hello_html_244edcfb.gif

В1. Решите уравнение: hello_html_10d886b0.gif

В2. Найдите корни уравнения: hello_html_494474dd.gif

С1. Найдите координаты точек пересечения функцийhello_html_m7a694a20.gif и

hello_html_m17b2089f.gif





Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Вариант 2

А1. Решите уравнение: hello_html_m5ba67bd.gif

1) hello_html_5ddc15b2.gif; 2) hello_html_322ef901.gif; 3) hello_html_m7c474eac.gif

А2. Решите уравнение: hello_html_m63a58512.gif

1) hello_html_m4e6ffdea.gif; 2) hello_html_m4c9d86d0.gif 3) hello_html_m585700a8.gif

А3. Решите уравнение: hello_html_m5a3acaf.gif

1) hello_html_m78d7e12f.gif; 2) нет корнейhello_html_m62a00377.gif; 3)hello_html_3808c584.gif


А4. Найдите корни уравнения: hello_html_m15c577d2.gif

1) hello_html_m64f93916.gif 2) hello_html_m15469868.gif 3) нет корней

В1. Решите уравнение: hello_html_m7146dc96.gif

В2. Найдите корни уравнения: hello_html_m146ff989.gif

С1. Найдите координаты точек пересечения функцийhello_html_m7f3049c0.gif и

hello_html_63157dd0.gif






Тема 9. Тригонометрические уравнения

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим

уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее

тригонометрическое уравнение.

Существует несколько основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

  • разложение на множители;

  • способ замены;

  • однородные уравнения;

  • преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;

  • преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;

  • метод рационализации для уравнения вида

  • использование формул понижения степени;

  • введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения

приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.



Разложение на множители



При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы:

hello_html_34900cd2.gif Пример 1. Решить уравнение hello_html_m449af08a.gif

hello_html_m15dcfbc3.gif т.к. hello_html_528b3c36.gif, получим:

hello_html_5624c75c.gif

hello_html_5afde371.gif или hello_html_m523b0198.gif

hello_html_6d99e853.gif hello_html_m4f7d9ed0.gif

hello_html_m77d03276.gif

hello_html_4341318c.gif

hello_html_m79144ec.gif

Ответ: hello_html_2961f0f.gifhello_html_m52d9e8b.gif 


Пример 2. Решить уравнение hello_html_5b2f7d8.gif

Решение:

hello_html_m2ab5f6b1.gif

hello_html_78730796.gif или hello_html_m517f5fe0.gif

hello_html_4108ecb5.gif hello_html_38e3d338.gif

hello_html_3dc29bdb.gif hello_html_9a6f118.gif

Ответ: hello_html_6cfdbe06.gifhello_html_m19d2d19a.gif



Способ замены



Данным методом решаются уравнения вида:

hello_html_75d3db0c.gifhello_html_m38bb2eb.gif

Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям, путём замены

функции через переменную: hello_html_m74a92b83.gif

hello_html_m62a00377.gifПри решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon73.gif

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m272c9ccb.gif

Пусть hello_html_1e97a131.gifтогда

hello_html_4538eb84.gif

Сделаем обратную замену, получим два простейших тригонометрических уравнения:

hello_html_d7fface.gifкорней нет, т.к. hello_html_5ccfb33f.gif

hello_html_m53325093.gif

Ответ: hello_html_mfd012f5.gif

 

Однородные уравнения



Уравнения:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon91.gif,

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon100.gif,                                     

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon101.gif,

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon102.gif

 называются однородными относительно hello_html_m62e56359.gif. Они обладают тем

свойством, что сумма показаний степеней при hello_html_m1004f01f.gif у всех

членов уравнения одинакова.

Делением наhello_html_m3579fee5.gif соответственно, уравнения

Приводятся к алгебраическим уравнениям относительно hello_html_324c030f.gif.

Уравнение hello_html_58f84444.gif легко сводится к

однородному уравнению, если правую часть представить в виде

hello_html_m5a86caa6.gif

После преобразований, получаем уравнение:

hello_html_mf96d237.gif

Пример 4. Решите уравнение: hello_html_m449f3734.gif

Это уравнение является однородным относительно  hello_html_m5311b9ba.gif, поэтому

разделим его на hello_html_m64733d0b.gif, получим новое уравнение:

hello_html_1076a356.gif

hello_html_m2c97eee6.gif

Пусть hello_html_m713d28fb.gifтогда получим квадратное уравнение и решим его:

hello_html_611677aa.gif

Сделаем обратную замену, получим два простейших тригонометрических

уравнения:

hello_html_295bddd5.gif и hello_html_406a1767.gif

hello_html_4c1e5add.gif, hello_html_m391fd358.gif

hello_html_b7a7cb.gif hello_html_m197e0d6c.gif

Ответ: hello_html_m77deecad.gif hello_html_m66f23001.gif

Пример 5. Решить уравнение: hello_html_md297774.gif

Решение:

hello_html_282b1f0.gif

Разделим уравнение на hello_html_5146ee5a.gif,

 получим новое уравнение:

hello_html_3c50e973.gif

hello_html_m3078455a.gif

Пусть hello_html_m6a7d2fd5.gifтогда получим квадратное уравнение и решим его:

hello_html_m67ed5d25.gif

Сделаем обратную замену, получим два простейших тригонометрических

уравнения:

hello_html_m42f6582f.gif и hello_html_3d259c03.gif

hello_html_m435344f1.gif, hello_html_m754e5451.gif

hello_html_1aaa5abd.gif hello_html_2f7e8853.gif

Ответ: hello_html_m3b71b7fc.gif hello_html_6cae866b.gif

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение


При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

hello_html_m44c400e7.gif hello_html_m62a00377.gifhello_html_m85f83d0.gif

hello_html_m2072aa58.gif hello_html_m63aa130c.gif hello_html_m5266fef2.gif

hello_html_m586fb9c9.gif hello_html_m6461d328.gif

Пример 6. Решить уравнение: hello_html_12d43526.gif

Решение: преобразуем уравнение по формуле приведения: hello_html_2d8d942c.gif

hello_html_7d79376a.gif

т.к.hello_html_4425f067.gif

hello_html_2354a2cf.gif

hello_html_m605f46c5.gif или hello_html_m110f76fc.gif

hello_html_1c650623.gif hello_html_6588c1a6.gif

Ответ: hello_html_m78f57aa6.gifhello_html_5e3a455e.gif

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

hello_html_m4af39430.gif hello_html_75957041.gif

hello_html_m6fdb3e52.gif hello_html_2cda2548.gif

hello_html_5d0bf612.gif hello_html_m29bd6cd.gif

hello_html_5bc89c50.gif

Пример 7. Решить уравнение: hello_html_7ed3cbe.gif

Решение: т.к.hello_html_m16ad1944.gif

hello_html_123fd946.gif

hello_html_47f43fb6.gifhello_html_m62a00377.gif

hello_html_766c4671.gif или hello_html_m4991c124.gif,

hello_html_85a1777.gif hello_html_m62a00377.gifhello_html_m7a8b1e6c.gif

Ответ: hello_html_274d7cab.gifhello_html_m355f9c15.gif

Использование формул понижения степени

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

hello_html_ed9387.gifhello_html_m62a00377.gifhello_html_m3792c272.gif

Пример 8. Решить уравнение: hello_html_m6d10bc21.gif

Решение: т.к. hello_html_m1595d412.gif hello_html_ac3a7ac.gif уравнение принимает вид:

hello_html_529c621b.gif

Используя, выше приведенные формулы, перепишем его в виде:

hello_html_m4da5d6bf.gif

т.е. hello_html_m2a964d32.gif

Преобразуем суммы косинусов в произведения, тогда получим:

hello_html_m26ee393e.gif

hello_html_m7794837c.gif

hello_html_648b6c96.gif

hello_html_139f27e6.gif или hello_html_m1839abe5.gif, или hello_html_37da26c7.gif

hello_html_6cb1ef5.gif hello_html_2704774c.gif hello_html_m3029aa29.gif

Получилось три семейства решений данного уравнения, но ответ можно

записать в виде hello_html_m5c1776cf.gif т.к. он содержит в себе два других семейства

(если положить hello_html_e4b41b2.gif или hello_html_6a722792.gif).

Ответ: hello_html_m7a2e5c08.gifhello_html_m28e6cb57.gif



Равенство одноименных тригонометрических функций

Данным методом решаются уравнения вида:

hello_html_163bde17.gif 

Теорема 1. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon82.gif.

Теорема 2. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из условий

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon83.gif.

Теорема 3. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно, одновременное выполнение двух условий:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon84.gif.


Пример 9. Решить уравнение hello_html_m38565dec.gif

На основании условий равенства двух синусов имеем:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon86.gif или Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon87.gif.

Ответ: hello_html_m2586930c.gif

Введение вспомогательного аргумента


Метод основан на преобразовании выражения hello_html_76c720dc.gif, где a и b –



постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно.



Введем угол Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon156.gif, положив

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon157.gif.

Тогда:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon158.gif,

где Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon156.gif находится из уравнения Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon159.gif.

Пример 10. Решить уравнение  hello_html_m9387702.gif

Решение: т.к.  hello_html_4ce8a28a.gifто hello_html_m2753c600.gif и hello_html_3e71840c.gif уже являются

соответственно косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот

угол hello_html_mca9b1b3.gif Следовательно, hello_html_12046cdc.gif

hello_html_7622dfaa.gif

Ответ: hello_html_m18c75d90.gif

Подобное уравнение можно решить другим методом рационализации.


Метод рационализации для уравнения вида hello_html_31229aa7.gif


Известно, что если hello_html_72a43a7.gif то hello_html_a03d18b.gifвыражаются рационально

через hello_html_72831074.gif

hello_html_m3fb20802.gif hello_html_4f4a16ce.gif hello_html_m5255b6f2.gif

Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки

получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного

неизвестного. Данное уравнение можно переписать в виде:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon92.gif.

Положим  hello_html_m22a6d1e9.gif тогда, получим: hello_html_5f655a01.gif

Решим данное уравнение и получим следующие ответы

1. если Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon95.gif, то у уравнения нет корней;

2. если Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon96.gif, то Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon97.gif;

3. если Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon98.gif, то Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon99.gif.


Пример  11.  Решить уравнение Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon1.gif.

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon2.gif - уравнение имеет решение.

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon3.gif.

1) hello_html_m224126cf.gif hello_html_1633d924.gif

2)hello_html_m75069147.gif hello_html_24a4004.gif hello_html_7bac243b.gif

Ответ: hello_html_780f51f1.gifhello_html_mc4a80da.gif


Приведение к однородному  для уравнения вида hello_html_73202404.gif


Данное уравнение перепишем в виде:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon7.gif,

т.е. имеем однородное уравнение:

Описание: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/trigonometr/trigon8.gif.








Тест 9. Тригонометрические уравнения

Вариант 1

А1. Решите уравнение: hello_html_365483a.gif

1) hello_html_m40726956.gifhello_html_4693d3f8.gif; 2)hello_html_76b0824.gifhello_html_md8885ff.gif; 3)hello_html_mf3ec9e7.gifhello_html_353b6d1a.gif

А2. Решите уравнение, сделав подстановку: hello_html_5761224e.gif.

1) 2; 2) нет корней; 3) -21

А3. Найдите корни уравнения: hello_html_m74c8b7a.gif

1) hello_html_m3cbd1ec7.gif hello_html_76e51362.gifhello_html_666fc958.gif;

2) hello_html_7f7acb7b.gif hello_html_22ba6055.gifhello_html_2f7ab8ff.gif;

3) hello_html_m4e8a6e4c.gif hello_html_m1e76fd9f.gifhello_html_42da9f77.gif

А4. Чему равен наименьший корень уравнения hello_html_m2cf3622f.gif

1) 0; 2) hello_html_1c1f20e5.gif 3) нет корней

В1. Решите уравнение, упростив левую часть: hello_html_2989afea.gif

В2. Решите уравнение, используя однородность:

hello_html_2b2122a2.gif

С1. Решите систему уравнений: hello_html_2ac573fe.gif






Тест 9. Тригонометрические уравнения

Вариант 2

А1. Решите уравнение: hello_html_m3586e298.gif

1) hello_html_18e62b51.gifhello_html_35f50923.gif; 2) hello_html_m4a2d435a.gifhello_html_4693d3f8.gif; 3) hello_html_mc9917c0.gifhello_html_35f50923.gif

А2. Решите уравнение, сделав подстановку: hello_html_m39253c76.gif.

1) hello_html_me991765.gif; hello_html_441006ed.gif; 2) нет корней; 3) hello_html_26e0d05d.gifhello_html_md8885ff.gif

А3. Найдите корни уравнения: hello_html_m5fb59003.gif

1) hello_html_7665c68.gifhello_html_35f50923.gif;

2) hello_html_m41045dfa.gif;hello_html_3a06491d.gif;

3) hello_html_6387ffb3.gifhello_html_3a06491d.gif;

А4. Чему равен наименьший положительный корень уравнения:

hello_html_1087a2fd.gif

1) hello_html_13c546e4.gif 2) hello_html_6067079e.gif 3) нет корней

В1. Решите уравнение, упростив левую часть: hello_html_2a0ff94.gif


В2. Решите уравнение, используя однородность: hello_html_m30381da5.gif

С1. Решите систему уравнений: hello_html_m412d34e4.gif




Тема 10. Простейшие тригонометрические неравенства

Неравенства, вида: hello_html_39e51282.gif и т.п. называются

тригонометрическими неравенствами. Рассмотрим их решения на примерах.

Пример 1. Решить неравенство: hello_html_m4aad30b2.gifОписание: 87

Отмечаем на оси  косинусов число  hello_html_m1b704854.gif. Все значения hello_html_17198f3f.gif,

меньшие hello_html_m1b704854.gif лежат  левее точки hello_html_m1b704854.gif на оси косинусов. Отмечаем Описание: ен

все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического

круга, косинус, которых, будет меньше hello_html_767474b4.gif.

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки, то есть

от точки hello_html_9abaa80.gifдо hello_html_m65398300.gif

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

hello_html_226a125a.gif

Ответ: hello_html_m8ae5e9f.gif,hello_html_5867fd6f.gifОписание: г

Пример 2. Решить неравенство: hello_html_m7020c51c.gif

Отмечаем на оси косинусов число (hello_html_2163ff94.gif

Все значения cos x, большие или равные (hello_html_586691ca.gif)лежат правее точки ( -hello_html_31c823a7.gif),

включая саму точку. Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают

тому условию, что hello_html_m7020c51c.gif

hello_html_m2d813836.gifhello_html_1ef51442.gif

Следовательно, решением неравенства является множество углов:

hello_html_1f312a6f.gif

Ответ: hello_html_m62a00377.gifhello_html_m49a623ff.gifОписание: 6

Пример 3. Решить неравенство: hello_html_15fd289e.gif

Отмечаем на оси синусов, число  hello_html_m61b7a274.gif

Все значения (-hello_html_4747e96f.gif), большие или равные (-hello_html_4747e96f.gif)  лежат выше точки (-hello_html_4747e96f.gif),

включая саму точку. Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают

тому условию, что hello_html_m783aaa85.gif

hello_html_m7b1d0d57.gifhello_html_5fb0ed3a.gif

Следовательно, решением неравенства является множество углов:

hello_html_m1e4e70ad.gif

Ответ: hello_html_m62a00377.gifhello_html_66122882.gifОписание: 89

Пример 4. Решить неравенство: hello_html_66e9a4d1.gif

Отмечаем на оси синусов число hello_html_m35860dc6.gif 

hello_html_m30d0c843.gifhello_html_61d5e953.gif

Следовательно, решением неравенства является множество углов:

hello_html_m24cc80ec.gif



Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств

Вариант 1


А1. Найдите множество значений t, удовлетворяющих неравенству

hello_html_m18c2cec7.gifи принадлежащих промежутку hello_html_m19396ea.gif

1)hello_html_m64368ed0.gif 2)hello_html_m67ac14f4.gif 3) hello_html_4a34b6a7.gif

А2. Решите неравенство: hello_html_52c32712.gif

1)hello_html_79ebd316.gif 2)hello_html_4e206235.gif

3) hello_html_73cb0c01.gif

А3. Найдите корни неравенства: hello_html_m7a34cd19.gif

1)hello_html_52aabb07.gif 2)hello_html_3045258b.gif;

3)hello_html_67fe0d21.gif

А4. Решите неравенство hello_html_4778f6b6.gif

1)hello_html_7f20a7f2.gif 2) hello_html_m4a48f89b.gif

3) hello_html_201234b.gif

В1. Найдите все значения x неравенства hello_html_71199be3.gif

В2. Решите неравенство hello_html_94bbfe4.gif

С1. Найдите какой-либо корень уравнения hello_html_eba408f.gif, удовлетворяющий неравенству hello_html_m5e722565.gif

Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств

Вариант 2


А1. Найдите множество значений t, удовлетворяющих неравенству hello_html_m52281977.gif и принадлежащих промежутку hello_html_3efa95f2.gif

1)hello_html_m64368ed0.gif 2)hello_html_md60c02d.gif 3) hello_html_m43e2cebf.gif

А2. Решите неравенство: hello_html_m37a299d8.gif

1) hello_html_1f3c07f9.gif 2) hello_html_6eebef9a.gif

3) hello_html_1974f46a.gif

А3. Найдите корни неравенства: hello_html_7a263277.gif

1) hello_html_m58ee84dd.gif 2) hello_html_4fe52b15.gif;

3) hello_html_158dc2.gif

А4. Решите неравенство hello_html_34761419.gif

1) hello_html_m2ac389e5.gif 2) hello_html_m5dec028d.gif

3) hello_html_24cbc76d.gif

В1. Найдите все значения x неравенства hello_html_m287a0bec.gif

В2. Решите неравенство hello_html_m341ba54b.gif

С1. Найдите какой-либо корень уравнения hello_html_mf7a16bb.gif, удовлетворяющий неравенству hello_html_787e6f8e.gif




Тест 11. Итоговый тест по теме:

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Вариант 1


А1. Решите уравнение: hello_html_m65d3f403.gif

1) hello_html_1522e31d.gifhello_html_353b6d1a.gif; 2) hello_html_3eeff494.gifhello_html_6952ed5f.gif; 3) hello_html_5ee039b3.gifhello_html_m324e7a80.gif

А2. Решите уравнение, сделав подстановку: hello_html_mf1b8186.gif

1) hello_html_3f35400e.gif 2) hello_html_423c6e82.gif

3) hello_html_6ed403dd.gif

А3. Найдите корни уравнения: hello_html_7838b67c.gif

1) -hello_html_m64da3417.gif; 2) hello_html_m2900c7da.gif;

3) hello_html_m7aecdfde.gif

А4. Решите неравенство: hello_html_m6868a470.gif

1)hello_html_m5bd8bc8f.gif2)hello_html_72400feb.gif

3)hello_html_73db28c7.gif

В1. Решите уравнение: hello_html_m3debc615.gif

В2. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее неравенствам:

hello_html_57b97767.gif

С1. При каких значениях а, уравнение hello_html_260912e8.gif

не имеет решений?


Тест 11. Итоговый тест по теме:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Вариант 2


А1. Решите уравнение: hello_html_m6921542.gif

1) hello_html_38881130.gifhello_html_6bd1384a.gif; 2) hello_html_m713c94f5.gifhello_html_m1bcb4193.gif; 3) hello_html_m7b0693b0.gifhello_html_3fc26008.gif

А2. Решите уравнение, сделав подстановку: hello_html_10575f1a.gif

1) hello_html_46a105f1.gif 2) hello_html_7a386433.gif 3) hello_html_m4654171.gif

А3. Найдите корни уравнения: hello_html_7838b67c.gif

1) -hello_html_m153266d6.gif; 2) hello_html_2c3cb903.gif;

3) hello_html_74194409.gif

А4. Решите неравенство: hello_html_md8ac233.gif

1) hello_html_m18d42c54.gif 2) hello_html_7d63c8c1.gif

3) hello_html_5a904.gif

В1. Решите уравнение: hello_html_74684352.gif

В2. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее неравенствам:

hello_html_574706b0.gif

С1. При каких значениях а, уравнение hello_html_63739b9c.gif

не имеет решений?




Используемая литература


1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. - 15 изд. - М.: Просвещение, 2007г. – 384 стр.

2. Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень)-2-е изд. – М. : Издательский центр «Академия», 2009. – 320 стр.

3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Под редакцией Колмогорова А.Н. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008.- 384 стр.

4. Мордкович А.Г. и Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа в 2-х ч. Базовый, 10-11 кл. М.: Мнемозина, 2009г.(учебник и задачник)


















Содержание


Пояснительная записка……………………………………………………………..

Тема 1. Радианная и градусная мера угла…………………………………………

Тест 1. Радианная и градусная мера угла………………………………………….

Тема 2. Тригонометрические функции числового аргумента……………………

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента…………………….

Тема 3. Формулы приведения………………………………………………………

Тест 3. Формулы приведения……………………………………………………...

Тема 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………...

Тест 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………...

Тест 5. Итоговый тест по теме: Основы тригонометрии……………………….

Тема 6. Свойства тригонометрических функций………………………………...

Тест 6. Свойства тригонометрических функций…………………………………

Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс………………………

Тест 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс……………………….

Тема 8. Решение простейших тригонометрических уравнений………………...

Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений…………………

Тема 9. Тригонометрические уравнения………………………………………….

Тест 9. Тригонометрические уравнения…………………………………………..

Тема 10. Простейшие тригонометрические неравенства……………………….

Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств……………….

Тест 11. Итоговый тест по теме: Решение тригонометрических

уравнений и неравенств…....................................................................

Используемая литература………………………………………………………….







Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1410
Номер материала ДВ-035671
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

20 дней назад

Очень хорошее пособие. Спасибо огромное.

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх