Окружная методическая выставка

«Формирование готовности субъектов образования к переходу

на ФГОС второго поколения в образовательном округе

«Бийский»

Название работы

Классификация уравнений и способы их решений

Автор работы

Гусев Станислав Сергеевич, 6 класс

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №18»

Место выполнения работы

г.Бийск

Педагог-консультант

Волчёк Наталия Львовна учитель математики высшей категории

2012 

Введение

Уравнения мы изучаем на протяжении всего времени обучения математике. Многие выдающиеся ученые ими интересовались. Уравнения рассматривали относительно нескольких переменных или относительно одной, но всегда старались найти какой-то общий алгоритм для их решения.

Тема моего исследования «Классификация уравнений и способов их решений». Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого ученика средней школы так как:

S аналитический метод решения задач по определённому алгоритму значительно сокращает время выполнения упражнения;

S Решение уравнений достаточно интересный и непредсказуемый процесс.

Сейчас, для учеников 5-6 классов решение уравнения, иногда, представляет непосильную задачу. Как облегчить процесс решения уравнений? Мы заинтересовались этой темой и поэтому решили подробно изучить эту тему на примере материала предоставленного в учебнике «Математика. 5класс» Н. Я Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда.

Таким образом, выявилось противоречие между необходимостью подробного изучения видов уравнений и способов их решения и малым учебным временем отведенным в школьной программе по математике на изучение этой темы. Преодоление этого противоречия определяет проблему исследования, которая заключается в отыскании и систематизации видов уравнений и способов их решения.

Решение выдвинутой проблемы составляет цель работы: систематизирование видов уравнений и способов их решения.

Объектом исследования решение уравнений.

Предметом исследования является процесс систематизации видов уравнений и способов их решения.

Реализация цели предполагает выполнение совокупности задач:

1.    Собрать информацию в различных научных источниках об уравнениях, решаемых в 5 классе средней школы по программе Н. Я Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда.

2.    Систематизировать и обобщить изученный материал.

3.    Классифицировать уравнения и способы их решений

Новизна исследования заключается в систематизации и классификации способов решения уравнений, решаемых в 5 классе.

Гипотеза исследования: процесс решения уравнений будет более прост, если его подчинить алгоритму, наметив способы решения в зависимости от типа уравнения.

Методы исследования определены целью и задачами исследования: изучение, теоретический анализ психолого-педагогической, специальной научной литературы, метод сравнения; метод анализа и синтеза.

Исследование проводилось на протяжении нескольких этапов:

Ø предварительный этап: изучение и анализ специальной литературы по проблеме исследования, определение ^объекта и предмета исследования; формулирование гипотезы и задач, отбор методов исследования;

Ø теоретико-экспериментальный этап: проведение классификаций уравнений и отыскание способов их решений нахождение общего алгоритма для решения уравнений, апробация его применения на примере нескольких уравнений;

Ø описательно-итоговый этап: анализ опытно-экспериментальной работы, обобщение и систематизация полученных результатов, оформление проведенного исследования в виде исследовательской работы.

Полученные нами выводы могут быть использованы:  учениками среднего звена,

-    мотивируемыми на изучение темы «Уравнения»;

-    студентами педагогических вузов при проведении исследовательской работы;

-    учителями математики школ при осуществлении индивидуального подхода к учащимся на уроках и во внеурочной деятельности.

1. Решение простейших уравнений, используя компоненты действий

Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе. При этом, почти к каждому разделу учебника математики прилагаются упражнения, содержащие уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разного уровня сложности. Однако, в 5 классе почти все уравнения решаются с использованием знаний о зависимостях между компонентами действий сложения, вычитания, умножения или деления. Таким способом мы решали простейшие уравнения в начальной школе. Этот способ достаточно сложен для исполнения т.к.

предполагает безошибочное знание большого количества правил.

А. Решение уравнений, содержащих сложение вида х+а=в и с+х=d. Вспомним компоненты сложения:

Рассмотрим правило решения уравнения вида х+а=в и с+х=d.  Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно от значения суммы отнять известное слагаемое.

Например, для решения уравнения 24+х=79-30 посчитаем, для начала значение суммы, для чего 79-30=49. Получим уравнение 24+х=49. Найдем неизвестное второе слагаемое х=49 – 24. Итак, х = 25.

Сделаем проверку, для чего подставим вместо х найденное число 25. 24+25=79-30, 49 = 49, верно.

Ответ: 25.

Б. Решение уравнений, содержащих вычитание вида х-а=в и с-х=d. Вспомним компоненты вычитания:

Рассмотрим правило решения уравнения вида х-а=в.

 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно значение разности сложить со значением вычитаемого.

Например, для решения уравнения х - 24 = 79. Найдем неизвестное уменьшаемое х = 79 + 24. Итак, х = 105.

Сделаем проверку, для чего подставим вместо х найденное число 105. 105 – 24 = 79, 79 = 79, верно.

Ответ: 105.

Рассмотрим правило решения уравнения вида с-х=d.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно от значения уменьшаемого отнять значение разности.

5

Например, для решения уравнения 123 – х = 79. Найдем неизвестное вычитаемое х =123 -  79. Итак, х = 44.

Сделаем проверку: 123 – 44 = 79, 79 = 79, верно.

Ответ: 44.

В. Решение уравнений, содержащих умножение вида  х∙а=в и с∙х=d. Вспомним компоненты умножения:

Рассмотрим правило решения уравнения вида х∙а=в и с∙х=d.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель.

Обратим внимание на то, что правило для нахождения любого множителя неизменно, также как и для слагаемых (в отличие от правила нахождения компонентов вычитания и деления) в силу симметричности компонентов операций.

Например, для решения уравнения х●24 = 79. Найдем неизвестный первый множитель  х = 79 : 24. Итак,  х= ., х=.

Сделаем проверку, для чего подставим вместо х найденное число .

.● 24 = 79,   = 79, верно.

Ответ:  

Г. Решение уравнений, содержащих деление вида  х:а=в и с:х=d.

Вспомним компоненты деления:

Так как компоненты деления не являются симметричными, то рассмотрим отдельно правила нахождения для делимого и для делителя.

Рассмотрим правило решения уравнения вида х:а=в.

Чтобы найти неизвестное делимое нужно частное умножить на делитель.

Рассмотрим правило решения уравнения вида с:х=d.

Чтобы найти неизвестный делитель нужно делимое разделить на частное.

Используя выше рассмотренные правила можно решать и более сложные уравнения. Например, для решения уравнения 123-(34+х:5)=14 необходимо сначала найти неизвестное уменьшаемое 34+х:5, затем воспользоваться правилом нахождения неизвестного слагаемого х:5 и уже в конце найти неизвестное делимое х. Рассмотрим подробно решение этого уравнения.

123-(34+х:5)=14,

34+х:5=123-14, 34+х:5=109, х:5=109-34, х:5=109-34, х:5=75, х=75∙5, х=375.

Ответ: х=375.

Однако для решения некоторых подобных уравнений можно применять другие правила (правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, правило нахождения неизвестного члена пропорции), которые мы рассмотрим в других рубриках.

2. Классификация уравнений и способы их решений

Заинтересовавшись уравнениями, мы проанализировали задания, которые встречаются в учебнике «Математика. 5класс» Н. Я Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда. Мы обратили внимание на то, что в этом учебном пособии встречаются уравнения нескольких разных видов (см приложение схема 1):

-           простейшие уравнения, заключающие в себе только одно действие (сложение, вычитание, умножение или деление);

-           уравнения с усложненным неизвестным компонентом (этот компонент сам представляет собой сложение, вычитание, умножение или деление неизвестного числа и другого известного числа);

-           уравнения, содержащие подобные слагаемые;

-           уравнения содержащие переменную в обеих частях уравнения.

Рассмотрим способы, с помощью которых можно решить все виды выделенных уравнений.

Первая группа уравнений, названная нами простейшими, представляет собой равенства с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым, множителем, делимым или делителем были рассмотрены в первом пункте очень подробно, поэтому возвращаться к нему не будем.

Вторая группа уравнений с усложненным компонентом может быть проиллюстрирована следующими примерами:

                (у+64)-38=48;                (х-18,2)+3,8=15,6;                   8х-14=27,6

                16,5-(х+3,4)=4,9;           х+16,23-15,8=7,1.

Решить подобные уравнения авторы учебного пособия предлагают используя известные пятиклассникам свойства чисел. 

Третья группа уравнений, встречающихся в рассматриваемом учебном пособии, содержит подобные слагаемые. К таким уравнениям относятся равенства: 4х-х=8,7; 7k-4k-55,2=63,12. Ученики 5-го класса не владеют термином «подобные слагаемые», однако решать уравнения такого типа умеют, используя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания.

К последней, четвёртой группе уравнений мы отнесли равенства, не только содержащие переменную в обеих частях уравнения, но и содержащие в одном уравнении различные арифметические действия. Иллюстрацией этой группы уравнений служат следующие равенства:

                     15•а=15:а;        z+z=z•z;      y•10=y:10 ;                   а•а-а=0.

Решение таких уравнений, используя покомпонентный анализ, не представляется возможным, поэтому пятиклассники их могут решить с помощью подбора корня.

Уравнения интересны процессом своего решения, поэтому приведем схему, отражающую способы решения выделенных выше видов уравнений (см приложение схема 2). В этой схеме мы уточнили способы решения второй и третьей группы уравнений (с усложненным неизвестным и содержащих подобные слагаемые).

Так к группе с усложненным компонентом относятся, например, уравнения (х-18,2)43,8=15,6;     8х-14=27,6, однако уравнение,

содержащее подобные слагаемые 7k-4k-55,2=63,12 после их приведения станет уравнением 3к-55,2=63,12 с усложненным компонентом. Из-за процесса комбинирования различных типов уравнений, мы выделили смешанный способ решения уравнений.

Используя выше рассмотренные способы можно решать и более сложные уравнения. Например, для решения уравнения 123-(34+х:5)=14 необходимо сначала найти неизвестное уменьшаемое 34+х:5,

34+х:5=123-14,

34+х:5=109, затем воспользоваться правилом нахождения неизвестного слагаемого х:5 х:5=109-34, х:5=109-34, и уже в конце найти неизвестное делимое х.

х=75-5,  х=375.

        Ответ: х=375.          

Глубоким заблуждением многих учителей математики является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий помогают ученику принять решение, о том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность а-b или b-а. Приходится вспоминать названия компонентов действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока будешь вспоминать текст,— успеешь забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начтешь вспоминать названия— забудешь правило... А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

Как действует ученик в простом случае и почему он «промахивается» с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-х=3 он, как правило, получает хорошую практику вычислений и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число (8 - ... = 3). Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо переменной. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например,  42: (2х-8) =7. Если числа в таких уравнениях не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2х-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некоторый промежуточный результат.

Таким образом, способ подбора, отмеченный нами в последнем пункте схемы 2 из приложения, является отнюдь не последним в арсенале способов решения уравнений у ученика средней школы.

3. Алгоритм решения уравнения для пятиклассника.

Так как решение уравнений для многих пятиклассников является сложной для понимания задачей, то мы предлагаем алгоритм, благодаря которому можно легко справиться с предложенным уравнением.

Алгоритм решения уравнения 1. Определи к какому виду уравнений относится предложенное тебе уравнение (или уже полученное тобой в процессе решения), используя схему 1.

a.     Если левая часть уравнения содержит несколько действий, то определи порядок действий и начинай решать уравнение, рассматривая его покомпонентно с последнего действия; вернись к первому пункту алгоритма;

b.     Если уравнение содержит сумму (разность) нескольких слагаемых, имеющих одинаковую буквенную часть, то воспользуйся распределительным свойством умножения относительно сложения (вычитания) и вернись к первому пункту алгоритма;

c.     Если равенство имеет только одно действие, то вспомни правила покомпонентного решения и примени их

2.     Если не подходит не один из случаев, то постарайся подбором найти корень уравнения.

3.     Запиши ответ.

Проиллюстрируем применение этого алгоритма следующим примером:

Решите уравнение: (9, 2 - т) • 3,2 = 16;

Рассматривая уравнение и следуя предложенному алгоритму, убеждаемся, что левая часть уравнения (9, 2 - т) • 3,2 = 16 содержит два действия. По правилам определения порядка действий для вычислений видим, что первым нужно выполнять умножение, а затем вычитание. Следовательно, начинаем решать уравнение, рассматривая его покомпонентно с последнего действия: найдем сначала неизвестный множитель (9, 2 - т), а затем искомое вычитаемое т.

9, 2 - т = 16: 3,2  9, 2 - т = 5  т = 9,2-5  т = 4,2 

Ответ: т = 4,2

Выводы исследования. 

Решению уравнений в школьном курсе математики мы уделяем достаточно внимание и конечно, при их решении нередко хотелось бы иметь рекомендации. Исследование было направлено на решение следующих задач:

1.     Собрать информацию        в        различных научных     источниках          об уравнениях, решаемых в 5 классе средней школы по программе Н. Я Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда.

2.     Систематизировать и обобщить изученный материал.

3.     Классифицировать уравнения и способы их решений

В процессе изучения научных источников мы выделили основные виды уравнений предлагаемых ученикам 5 класса:

-           простейшие уравнения, заключающие в себе только одно действие;

-           уравнения с усложненным неизвестным;

-           уравнения, содержащие подобные слагаемые;

-           уравнения содержащие переменную в обеих частях уравнения.

Привели список способов решения выделенных видов уравнений:

•         используя компоненты действий,

•         используя распределительное свойство умножения,

•         рассматривая один из компонентов действий как сложный объект, • смешанный способ,

•         способ подбора.

Предложен алгоритм решения для пятиклассника и проиллюстрирован решением уравнений

Приложение 1

Схема 1 Виды уравнений, встречающихся в учебнике «Математика. 5класс» Н.

Я Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова иС. И. Шварцбурда.

Приложение 2

Схема 2 Классификация способов решения уравнений, встречающихся в учебнике «Математика. 5класс» Н. Я Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда

14