Окружная методическая выставка

«Формирование готовности субъектов образования к переходу

на ФГОС второго поколения в образовательном округе

«Бийский»

Название работы

Критерии эффективности доказательств

неравенства

Автор работы

Исупова Анастасия Сергеевна, 11 класс

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №18»

Место выполнения работы

г.Бийск

Педагог-консультант

Волчёк Наталия Львовна учитель математики высшей категории

2011  

Содержание

Пояснительная записка............................................................................................ 3

§1. Критерий эффективности доказательства неравенств,  основанный на подсчете количества мыслительных операций....................................................................... 5

§2. Критерий эффективности доказательства неравенств,  основанный на понятии трудности учебной задачи..................................................................................... 10

Выводы исследования............................................................................................ 14

Список литературы................................................................................................ 15

Пояснительная записка

Неравенства мы изучаем систематически на протяжении 10 лет обучения математике. Рассматривая, и понимая как решать любое из неравенств, мы всегда стараемся найти какой-то общий алгоритм для их решения. Однако, после нахождения этого алгоритма решение неравенств приобретает некий механический смысл, а как следствие, мало интересен. В этом смысле более непредсказуемыми в процессе решения и более интересными        являются доказательства     неравенств.          Доказательство неравенств очень актуально на сегодняшний момент для любого выпускника школы или даже студента так как навык доказательства неравенств способствует развитию    абстрактно-логического         типа           мышления помогающего с легкостью овладеть знаниями точных наук. Ранее мы рассматривали  проблему отыскания и систематизации приемов, методов доказательства неравенств. В результате решения выдвинутой проблемы мы пришли      к        пониманию необходимости    показать     эффективность представленных приемов и методов доказательства некоторых неравенств. Для того, что бы это сделать, необходимо определиться с критериями эффективности доказательства неравенств. Знать и применять на практике эти критерии необходимо как ученику (студенту), так и учителю для  минимизации затрат умственных ресурсов. Таким образом, выявилось противоречие        между         необходимостью контролировать эффективность процесса доказательств неравенств и отсутствием разработанных критериев отслеживания эффективности именно доказательства (а не решения) неравенств.          Преодоление        этого противоречия      определяет проблему исследования, которая заключается в отыскании и адаптации, дополнении критериев отслеживания эффективности доказательства неравенств. 

Решение выдвинутой проблемы составляет цель работы: определение критериев эффективности доказательства неравенств.

Объектом исследования доказательство неравенств.

Предметом исследования является  процесс оценивания эффективности  доказательства неравенств.

Реализация цели предполагает выполнение совокупности задач:

1.       Собрать информацию в различных научных источниках о применении различных приемов, методов доказательства неравенств  и критериев эффективности решения неравенств.

2.       Адаптировать и дополнить выделенные критерии эффективности решения неравенств для анализа степени эффективности доказательства неравенств.

3.       Показать степень эффективности разных способов доказательства одного из неравенств с применением выделенных ранее критериев.

Новизна исследования заключается адаптации, дополнении критериев эффективности доказательства неравенств и наглядной иллюстрации определения степени эффективности доказательства одного из неравенств с применением выделенных ранее критериев.

Гипотеза исследования основана на предположении о том, что процесс доказательства неравенств будет более контролируем, если его технологизировать, наметив приемы и методы доказательств и определить критерии эффективности доказательства.

Методы исследования определены целью и  задачами исследования:

изучение, теоретический анализ психолого-педагогической, специальной научной литературы, анализ и синтез.

Исследование проводилось на протяжении нескольких этапов:

Ø предварительный этап: изучение и анализ психологопедагогической, специальной литературы по проблеме исследования, определение объекта и предмета исследования; формулирование гипотезы и задач, разработка программы опытноэкспериментальной части, отбор методов исследования

Ø теоретико-экспериментальный этап: разработка критериев эффективности доказательства неравенств, апробация их применения на примере нескольких неравенств

Ø описательно-итоговый этап: анализ опытно-экспериментальной работы, обобщение и систематизация полученных результатов,

оформление проведенного исследования  в виде  исследовательской работы.

Научное и практическое значение состоит в теоретическом обосновании выбора критериев эффективности доказательства неравенств;

Полученные нами выводы могут быть использованы

-         учениками мотивируемыми на изучение математики при рассмотрении темы «Доказательство неравенств»;

-         студентами педагогических вузов при проведении исследовательской работы;

-         учителями математики школ при осуществлении индивидуального подхода к учащимся на уроках и во внеурочной деятельности;

-         в исследовательской работе молодыми учеными, занимающимися проблемами дидактики и методики преподавания математики.

§1. Критерий эффективности доказательства неравенств, основанный на подсчете количества мыслительных операций.

В своем исследовании под терминами «эффективность доказательства» и «рациональность доказательства» будем понимать следующее. Рациональность вычислений Гельфан Е.М рассматривает как выбор тех вычислительных операций из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия».^[1]  Рациональность напрямую связана с вариативностью. Но рациональный прием решения задачи для одного человека не всегда рационален для другого. Так некоторые учащиеся более склонны к  изучению геометрии, другие же – к изучению алгебры. Следовательно, им более понятны  и, соответственно результативны, алгебраические или геометрические методы и приемы доказательства неравенств.

Поэтому, необходимо, рациональность решения задачи заменить его эффективностью.

В популярном экономическом словаре «эффективность — в общепринятом смысле представляет собой соотношение затрат и результатов»^[2]. 

Поэтому способ решения задачи (доказательства неравенства) можно считать эффективным, если в рамках данного способа получение правильного (ожидаемого) результата достигается минимизацией затрат умственных ресурсов. Т.е. ученик, используя различные знания, может выбрать не обязательно более рациональный способ решения с точки зрения методики преподавания математики, а более удобный (легкий) для него в конкретной ситуации, быстрее других приводящий к результату.

Ольга Борисовна Епишева и Вячеслав Иосифович Крупич предлагают поиск решения различных математических задач (в широком смысле) проводить, выделяя систему действий и операций, входящих в состав поиска их решения^[3]. Поэтому количество операций реализации доказательства неравенства можно считать критерием эффективности этого доказательства.

Под операцией или действием будем понимать относительно завершенный элемент деятельности человека, направленный на достижение определенной осознаваемой цели^[4].

Для исследования неравенств и уравнений авторы этого пособия предлагают следующие классы операций, относимые ими к специальным приемам учебной математической деятельности^[5]:

ü вычисления,

ü тождественные преобразования, 

ü равносильные преобразования, 

ü построение и чтение графика функции или геометрического чертежа^[6].

Класс  операций вычислительной культуры включает в себя:

•     приемы значений выражений, 

•     приемы приближенных вычислений,

•     приемы использования неравенств к оценке точности      приближенных вычислений по методу границ,  и многое другое.

Класс операций тождественных преобразований включает в себя:

•     действия со степенями,

•     раскрытие скобок и заключение в скобки

•     приведение подобных слагаемых

•     арифметические действия над многочленами и алгебраическими дробями,    разложение выражения на множители различными способами.

Аналитическо-синтетический поиск доказательства неравенств содержит в том числе, тождественные и равносильные преобразования. Тождественные  преобразования – это преобразование выражений, а равносильные – преобразование формул.

Например, при доказательстве  неравенства  замена дробного неравенства целым рациональным неравенством (умножением обеих его частей на общий знаменатель 8 с определенным знаком) есть равносильное преобразование, приводящее к неравенству.(a+b)²≥ 4 (a+b-1). А в неравенстве приведение рациональных дробей к общему знаменателю, входящих в дробное  рациональное  неравенство, есть тождественное преобразование. 

Однако мы думаем, что для доказательства неравенств  недостаточно перечисленных Епишевой О. Б., Крупич В. И.  классов операций, так как авторы классификации предлагают использование выделенных операций для решения уравнений и неравенств, а не для доказательства неравенств. Учитывая специфику доказательства неравенств, мы считаем необходимым добавить к выше перечисленному списку операции  дифференцирования функции и преобразования приводящие к неравенству-следствию. 

Эффективность применения того или иного приема или метода доказательства нами определялась по меньшему по сравнению с другими количеству мыслительных операций необходимых при доказательстве данного неравенства.

Проиллюстрируем алгоритм оценки эффективности по критерию, связанному с количеством операций на примере. 

Пример: При неотрицательных значениях переменных, докажите

неравенство.  

Рассмотрим особенности применения четырех способов доказательства.

1   способ, основанный на приеме выделения полного квадрата.

Применяя метод доказательства неравенств на основании определения, часто выделяют квадрат, куб, сумму или разности неполный квадрат. Это помогает определить знак разности левой и правой частей доказываемого неравенства. 

Предположим, что данное неравенство верно. С помощью равносильных преобразований сведем его к некоторому очевидному. Для этого умножим обе части неравенства на 2,перегруппируем слагаемые в таком порядке, как они находятся под корнем, перенесем все слагаемые в одну часть неравенства и сведем к полному квадрату, который в свою очередь не отрицателен. Анализируя этот способ, мы видим использование 8 операций.

2   способ, основанный на методе доказательства при помощи неравенства Коши.

Его лучше применять, если исходное неравенство содержит алгебраическую сумму или корень.Включая замену переменных способ предполагает 4 операции.

3   способ, основанный на геометрической интерпретации неравенства.

Этот способ возможен  только при наличии положительных чисел, который включает 7 операций. Рассмотрим полуокружность с радиусом ,  среднее геометрическое  будет выражать длину  перпендикуляра, соединяющего точку полуокружности и  точку А. По неравенству треугольника гипотенуза не меньше катета. 

Метод математической индукции не возможен, так как переменные a,b,c,d принимают не натуральные значения.

Анализируя применение различных  способов  доказательства этого неравенства по критерию, связанному с количеством операций можно убедиться, что  способ, основанный на методе доказательства при помощи неравенства Коши более эффективен(4 операции).

§2. Критерий эффективности доказательства неравенств, основанный на понятии трудности учебной задачи.

Дифференцируя эффективность и рациональность доказательства неравенств, мы говорили о том, что понятие трудности учебной задачи разные люди воспринимают по-разному. Поэтому степень трудности реализации доказательства неравенства можно считать критерием эффективности этого доказательства Трудность задачи, по мнению Епишевой  О. Б. и Крупич В. И., является психолого-дидактической категорией и представляет  собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, таких, как степень её новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения  интеллектуальными и практическими умениями^[7]. Однако основными компонентами трудности задачи являются степень её проблемности и сложность задачи. Сложность задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта, она определяется числом  элементов, связей и видов связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи. Элементы – это такие минимальные  компоненты задачи, на которых реализовано основное отношение. Однако, педагоги и психологи считают, что трудность задачи зависит от её сложности, которую можно измерить. 

Зная структуру неравенства, можно определить его сложность как объекта. Уровень сложности задачи Епишева О. Б., Крупич В. И. предлагают определить по формуле 

S = m + n + l

где m – число элементов, n – число явных связей и  l – число видов связей в структуре задачи^[8]. Число l принимает только 3 значения: l = 0;1;2, а именно  l = 0,когда структура задачи состоит лишь из одного элемента (т.е. явные и неявные  связи не имеют места); l = 1, когда в структуре задачи имеют место либо одни явные, либо одни неявные связи, l = 2, когда в структуре задачи есть явные и неявные связи, то есть два вида связей.

Однако, этой формулой ученик или учитель на вряд ли будут пользоваться на практике. Ученик будет оценивать уровень сложности задачи по своим ощущениям затрат умственных ресурсов, ^[9][10]а «опыт учителя позволяет на интуитивном уровне решать в конкретных условиях проблему ранжирования задач по сложности».

Говоря об особенностях личности доказывающей неравенство будим иметь в виду различия между восприятием математической задачи «алгебраистом» и «геометром». Кто же такие геометры и алгебраисты?

«Алгебраисты» очень быстро, на лету схватывают новый материал, легко устанавливают связи между фактами, но небрежны и потому так же легко могут допустить элементарную ошибку в вычислении. Ученики-

«алгебраисты» с огромным трудом заставляют себя прослеживать, записывать, объяснять все шаги решения или обосновывать свои действия.

«Геометры» относятся к абстрактно-логическому типу мышления.

Различия: «Алгебраисты» лучше оперируют буквенно-знаковой символикой, «геометры» — пространственно-графическими формами^[11]. 

Об аналитическом и геометрическом типах упоминается работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовского. Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решение задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н. А. Менчинская^[12].  Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным; б)абстрактного над образным и в)гармоническим развитием обоих видов мышления.

Аналитический тип проявляется не только в алгебре, а геометрический – в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический – в алгебре. В.А.Крутецкий ^[13] дал развернутую характеристику каждого типа. 

Аналитический тип.

Мышление представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлечёнными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использование предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью нагляднообразного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретнонаглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Геометрический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлечёнными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.

Гармонический тип.

Для этого типа характерно относительное равновесие хорошо развитых словесно-логического и наглядно-образного компонентов при ведущей роли первого. Пространственные представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся чётко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Успешно осуществляют они и образно-геометрический подход к решению многих задач.

Так, ученик, склонный к изучению геометрии, из способов доказательства выше приведенного неравенства выберет третий, основанный на геометрической интерпретации неравенства. А ученики, склонные к изучению алгебры, остановятся на рассмотрении первого или второго способов, в зависимости от своей осведомленности по предмету.

Степень новизны доказываемого неравенства оказывает свое влияние на эффективность доказательства. Если ученик не сталкивался ранее с таким типом неравенств, то он начнет перебирать все известные ему методы и приемы доказательства, что существенно увеличит затраты умственных ресурсов. На это оказывает так же влияние интеллектуальные возможности и практические умения учащегося. Однако опыт решения задач позволит с минимальными затратами умственных ресурсов достичь ожидаемого результата. 

            Вернемся           к          способам          доказательства          неравенства

Ученик не знакомый с неравенством Коши, предпочтет первый способ, основанный на приеме выделения полного квадрата или геометрическую интерпретацию (в зависимости от психологических особенностей личности).

В противном случае, минимизация затрат умственных ресурсов опять определяется особенностями личности. 

Выводы исследования.

Доказательству неравенств в школьном курсе алгебры мы уделяем недостаточно внимание и конечно при их решении нередко хотелось бы иметь рекомендации по доказательству. Исследование было направлено на решение следующих задач:  

1.       Собрать информацию в различных научных источниках о применении различных приемов, методов доказательства неравенств  и критериев эффективности решения неравенств.

2.       Адаптировать          и        дополнить выделенные         критерии     эффективности решения неравенств для анализа степени эффективности доказательства неравенств.

3.       Показать степень эффективности разных способов доказательства одного из неравенств с применением выделенных ранее критериев.

В процессе изучения научных источников мы выделили основные приемы:

-   выделение полного квадрата,

-   сложение или умножение заведомо верных неравенств,

-   показать,        что      данное            неравенство   является         следствием     некоторого очевидного неравенства

-   применение свойств функции

-   геометрическая интерпретация неравенства; методы доказательства: 

-   доказательство неравенств на основании определения,

-   при помощи неравенства Коши,

-   метод математической индукции,  графический метод,  метод оценки. критерии эффективности доказательства неравенств основанные на:  подсчете количества мыслительных операций,  понятии трудности учебной задачи.

При доказательстве неравенства  была проанализирована         степень       эффективности    разных        способов доказательства по различным критериям и в зависимости от особенностей личности доказывающего.

Список литературы.

1.     Гельфан      Е.М. Арифметические игры и        упражнения.        —      М.:

Просвещение, 1968. — 112с.

2.     Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учится математике: Формирование приемов учебной деятельности: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1990.- 128 с.

3.     Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников./Под ред. Н. И. Луприковой. - М.: Изд-во "Институт практической психологии, 1998.- 416с.

4.     Менчинская Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьника Избранные психологические труды./Под редакцией И. С. Якиманской.-М.:Педагогика,1988.-219с.

5.     Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990. – 416. 

6.     Coминский И. С.  Метод математической индукции, изд. 7, Главная редакция физико-математической литературы. / Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 3, 1965, с. 36.

7.     Универсальный справочник школьника. 5 – 11 класс. Учебное пособие нового типа: Книга 2. // Под редакцией д-ра пед. Наук, проф. Алексашиной И.Ю., д-ра пед.наук,проф. Алексеева С.В. – Спб.: ИД «Весь», 2004. – 704 с.

8.     Экономика для всех: популярный словарь / Под ред. О.В. Амуржуева. — М.: ОАО «Изд-во «Экономика», 1997. — 389 с. 

9.     http://mmmf.math.msu.su/archive/20052006/z9/12.html

10. http://ru.wikibooks.org/wiki/Знакомство     с        методом      математической индукции

11. http://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция

12. http://www.internet-school.ru/Enc.ashx?item=744

13. http://www.ug.ru/archive/13756