Инфоурок / Классному руководителю / Другие методич. материалы / Учебное пособие по математике на тему Векторы
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 224 курсов со скидкой 40%

Учебное пособие по математике на тему Векторы

библиотека
материалов

ГБОУ СПО ПТ 13 имени П.А.Овчинникова, преподаватель математики Макеева Елена Сергеевна














hello_html_6ba3c808.gif


























Москва 2013 г







hello_html_447f85d8.jpg










































Введение

Математика – самая древняя наука, живущая и развивающаяся вместе с человечеством. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI в. До н. э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н. э. математика выделилась из философии, что отражено в « Началах » - эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившей фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали по этой книге

XVII в. стал эпохой бурного развития математики. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап ее эволюции появление математики переменных величин. Начинается период дифференциации единой науки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, математический анализ, аналитическую геометрию.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика, как наука об объективных причинах функционирования и развития общества, еще со времен Луки Пачоли (основателя бухгалтерского дела в XV в.) и Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует практически весь аппарат прикладной математики.

Современная концепция среднего и высшего образования достаточно полно реализует специфику изучения математических дисциплин. Цикл математических дисциплин для различных специальностей согласно Государственному стандарту высшего и среднего профессионального образования состоит из ряда взаимосвязанных разделов с иллюстрацией их применения в экономике. К ним относятся математический анализ, линейная алгебра, теории комплексных чисел и ее приложения в задачах оптимизации, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика. Именно эти разделы и их приложения вошли в настоящее учебное пособие.

В изложении материала доказательная база практически отсутствует: основное внимание уделено приобретению навыков использования математического аппарата. Все разделы пособия содержат подборку упражнений для самостоятельного выполнения. Кроме того, в книге имеется практикум с разделами по каждой теме.

В пособие вошли материалы, прошедшие проверку при преподавании дисциплины математика в техникуме для различных форм обучения.

При изложении материала используется как сложившаяся терминология, так и традиционные обозначения в формулировках задач и математических моделей и решения.

Предлагаемое учебное пособие рассчитано на самую широкую аудиторию – студентов различных специальностей в колледже. Он может быть использован в различных формах обучения по программам среднего специального образования: очной, заочной, а также для студентов, имеющих «свободное» посещение, при написании курсовых и дипломных работ.

























Глава 1. Понятие вектора

Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами.

Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов

которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).

Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек)

называется вектором.

hello_html_m62246200.png

Вектор обычно обозначается символом hello_html_m61fda290.png

, где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой hello_html_m27d752ac.png

(в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка

опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало

вектора называют точкой его приложения.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения

длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так hello_html_m3cc7a6d1.png

и hello_html_m58199b9c.pngобозначают длины

соответствующих векторов.

Вектор единичной длины называют ортом.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у

которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет

определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать

нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых

называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным

любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные

(сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной

плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

hello_html_70f09eb5.png

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1)

коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие: Для любого вектора hello_html_m27d752ac.png

и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что hello_html_m14ff9e16.png

.

Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения.

Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и

связанных векторов, встречающихся в других науках).

Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:

1. hello_html_74139db3.png (рефлексивность).

2. Из того, что hello_html_m23ee8bd6.png, следует hello_html_56c4a0d4.png(симметричность).

3. Из того, что hello_html_m23ee8bd6.pngи hello_html_md0beb12.png, следует hello_html_m67bb11c9.png(транзитивность).

Глава 2. Операции над векторами

Определение: Суммой hello_html_m17ddd38b.png

двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора hello_html_m27d752ac.png

, а конец – в конце вектора hello_html_1504545d.png,

при условии, что вектор hello_html_1504545d.png

приложен к концу вектора hello_html_m27d752ac.png.

В соответствии с определением слагаемые hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.pngи их сумма hello_html_m17ddd38b.png

образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов

называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. hello_html_110a7632.png(коммутативность);

2. hello_html_2a2c359.png, (ассоциативность);

3. hello_html_m468005e2.pngдля любого вектора hello_html_m27d752ac.png(особая роль нулевого вектора);

4. для каждого вектора hello_html_m27d752ac.png

существует противоположный ему вектор hello_html_m305fec88.png

такой, что hello_html_2423e80f.png(для получения hello_html_m305fec88.png

достаточно поменять местами начало и конец вектора hello_html_m27d752ac.png

).

Вектор противоположный вектору hello_html_m27d752ac.pngобозначают hello_html_m2e36b486.png.

Определение: Разностью hello_html_2ac34d4b.png

векторов hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

называется сумма вектора hello_html_m27d752ac.pngи

вектора противоположного вектору hello_html_1504545d.png

, т.е. hello_html_72c18948.pnghello_html_m418db7b9.png

.

Разность hello_html_2ac34d4b.pngполучается из вектора hello_html_m27d752ac.png

сдвигом его начала в конец вектора hello_html_1504545d.png

, при условии, что векторы hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что hello_html_m1988005a.png

для любого вектора hello_html_m27d752ac.png.

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое

«правилом параллелограмма»: векторы hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.pngприкладываются к общему

началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой hello_html_m17ddd38b.png

будет вектор hello_html_m3c2ef827.png, расположенный на

диагонали параллелограмма. Разностью hello_html_2ac34d4b.png

здесь будет вектор hello_html_m7b404bde.png,

расположенный на второй диагонали.

hello_html_566a165d.pngВекторная

алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно

называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением hello_html_m70f39080.png

вектора hello_html_m27d752ac.pngна вещественное число

λ (скаляр) называется вектор hello_html_1504545d.png

, такой, что 1) hello_html_17794604.png; 2) вектор hello_html_1504545d.png

коллинеарен вектору hello_html_m27d752ac.png; 3)

векторы hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ <

0).

Замечание: В случае, когда λ = 0 или hello_html_m2359c04.png

произведение hello_html_m70f39080.png является нулевым

вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. hello_html_64eddae8.png(ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну

и ту же длину hello_html_m45e4faab.png. Кроме того,

они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с

направлением hello_html_m27d752ac.png, если λ и

μ одного знака, и противоположно направлению hello_html_m27d752ac.png

, если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю,

то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2. hello_html_m38f88258.png(свойства дистрибутивности).

hello_html_m16c4d240.png

Построим треугольник OAB где hello_html_m723388f2.png

и hello_html_m54515987.png. Построим далее треугольник

SPQ, где hello_html_3f432638.pngи hello_html_m461e563d.png

. Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и

пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то

эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне

OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что hello_html_m24d05000.png

и hello_html_102c056b.pngодинаково направлены, если

λ > 0. Отсюда следует, что hello_html_m5dbc5ccc.png

. Но hello_html_6d88169.pngи hello_html_38109c9f.png

, а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности

коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда

векторы hello_html_m70f39080.pngи hello_html_m81967f9.png

направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е. hello_html_ec4a270.png

. Но hello_html_37e1f1d6.pngи следовательно, в этом

случае векторы hello_html_m7ea8f3f3.pngи hello_html_219781a6.png

равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора hello_html_m27d752ac.png

, если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если

отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для

определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы

равна разности длин, точнее hello_html_5cd87c67.png.

Но hello_html_m2ef04506.png. Следовательно, и в этом

случае длина вектора hello_html_219781a6.pngравна

длине вектора hello_html_m7ea8f3f3.png. Очевидно, что

оба эти вектора направлены так же, как hello_html_m70f39080.png

. Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе

части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю

вектор hello_html_m27d752ac.pngили оба скаляра

одновременно.

Теорема: Если вектор hello_html_1504545d.png

коллинеарен ненулевому вектору hello_html_m27d752ac.png

, то существует вещественное число λ такое, что hello_html_1504545d.png

= λhello_html_m27d752ac.png.


Глава 3. Линейная зависимость векторов

Любое множество, элементами которого являются векторы, называется

системой векторов. Выражение вида hello_html_m3219286c.png

, где λ i – вещественное число, называется

линейной комбинацией векторов системы hello_html_6e576202.png

. Числа λ i называются коэффициентами

линейной комбинации. Различают два типа линейных комбинаций: тривиальные

, когда hello_html_m560d11e5.pngи нетривиальные hello_html_m7e0fcd7a.png

.

Если hello_html_m41690440.png, то говорят, что вектор hello_html_1504545d.png

представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы hello_html_6e576202.png

. Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной

комбинации любой системы векторов. Тривиальная линейная комбинация любой

системы векторов равна нулю.

Определение: Система векторов hello_html_6e576202.png

называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная

линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место

равенство hello_html_69cf6547.png, при hello_html_5cf9f039.png

.

Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.

Определение: Система векторов hello_html_6e576202.png

называется линейно независимой, если равенство нулю линейной

комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из

того, что hello_html_69cf6547.pngследует hello_html_4d5e2106.png

.

Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта

система является линейно зависимой.

Действительно, из векторов системы hello_html_3d59d580.png

можно составить линейную комбинацию hello_html_1b3295ee.png

, которая не является тривиальной.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система

векторов линейно зависима.

hello_html_3e6d6ab2.pnghello_html_322e1e01.pnghello_html_12b17d1.png

Действительно, если система векторов hello_html_m43c9c6b6.png

линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация hello_html_m2b2af12c.png

. Для любой системы векторов hello_html_29667b18.png

линейная комбинация hello_html_m1fddb7ff.pngтакже

является нетривиальной.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух

векторов является их коллинеарность.

Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю

любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не

нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на

числовой множитель. Запишем это: hello_html_5ea9c332.png

. Но эта же запись означает, что hello_html_17cef03d.png

, и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю.

Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.pngлинейно зависимы. Тогда

существуют коэффициенты λ и μ такие, что hello_html_1f63b2be.png

, причем, например, λ ≠ 0. Это означает, что hello_html_m48e0c41c.png

, и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор hello_html_59fa51a4.png

лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.png, может быть представлен в

виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа

λ и μ, что hello_html_692099cf.png). Такое

представление единственно.

Заметим, прежде всего, что оба вектора hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.pngотличны от нуля, так как если

бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор hello_html_59fa51a4.png

коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из

второго раздела.

В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через

конец C вектора hello_html_405a7d86.png

проведем прямые и CQ, параллельные векторам hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.png. Тогда hello_html_m732c1bfb.png

, причем векторы hello_html_me7981d6.pngи hello_html_df71a1f.png

коллинеарны соответственно hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

. В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие

числа λ и μ, что hello_html_mdf3d2d9.png, hello_html_m32a1afe6.png

. Таким образом, hello_html_79fb0950.png, что и

требовалось.

Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация hello_html_297c8c4d.png

, равная hello_html_59fa51a4.png, причем, например

λ ≠ σ. Тогда hello_html_6d9587fa.png,

так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C

параллельно вектору hello_html_1504545d.png. Из

последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим

предположением.

Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех

векторов является их компланарность.

В самом деле, пусть векторы hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

, hello_html_59fa51a4.pngлинейно зависимы, тогда один

из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например hello_html_692099cf.png

. Приложим векторы hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

, hello_html_59fa51a4.pngк одной и той же точке О

(рис. 7), так что hello_html_10caf35b.png, hello_html_me57762c.png

, hello_html_m458f54c9.png.

Предположим сначала, что векторы hello_html_10caf35b.png

, hello_html_me57762c.pngне коллинеарны; тогда несущие

их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы hello_html_m70f39080.png

и hello_html_m59c31f7.png, а значит, и весь

параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ hello_html_59fa51a4.png

. Значит все три вектора hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

, hello_html_59fa51a4.pngкомпланарны.

Если векторы hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

коллинеарны, то коллинеарны как векторы hello_html_m70f39080.png

, hello_html_m59c31f7.png, так и их сумма hello_html_59fa51a4.png

- три вектора hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

, hello_html_59fa51a4.pngоказываются даже

коллинеарными.

Если же векторы hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

, hello_html_59fa51a4.pngкомпланарны, то либо один из

них, например hello_html_59fa51a4.png, лежит в одной

плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно hello_html_692099cf.png

; или hello_html_m32b17221.png), либо все три вектора

коллинеарны (следовательно hello_html_111ea38f.png).

Тем самым следствие полностью доказано.

Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор hello_html_7eb6e1f5.png

может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов hello_html_m27d752ac.png

, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png

(т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что hello_html_m3246444.png

). Такое представление единственно.

Никакие два из векторов hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

и hello_html_59fa51a4.pngне коллинеарны, иначе все три

были бы компланарны. Поэтому, если hello_html_7eb6e1f5.png

компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение

вытекает из предыдущего следствия.

В общем случае перенесем все векторы в одну точку О (рис. 8) и проведем

через конец D вектора hello_html_37bd9205.png

прямую, параллельную вектору hello_html_59fa51a4.png.

Она пересечет плоскость ОЕ1Е2 в точке Р.

Очевидно, что hello_html_7b23d6d8.png. Согласно

теореме из второго раздела и предыдущему следствию существуют такие числа

λ, μ и ν, что hello_html_1828621b.pngи hello_html_1974855b.png

. Таким образом, hello_html_mb4dd2db.png.

Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и

предыдущем следствии.

Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы

Определение: Базисом в пространстве называется любая

упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная

пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору

упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде

линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке

чисел hello_html_2e91a033.pngпри помощи базиса hello_html_m13191d60.png

мы сопоставим вектор hello_html_m27d752ac.png, если

составим линейную комбинацию hello_html_3288e7d.png

.

hello_html_6c082d1d.png

Числа hello_html_m625ff828.png– называются

компонентами (или координатами) вектора hello_html_m27d752ac.png

в данном базисе hello_html_m13191d60.png(записывается hello_html_m6446c8fa.png

).

Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При

умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Действительно, если hello_html_m6446c8fa.pngи hello_html_606d9238.png, то

hello_html_6012afa8.png.

Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко

можете сформулировать их самостоятельно.


Глава 4. Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными

данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то

углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π.

Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между

векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией hello_html_5735dc24.png

вектора hello_html_m27d752ac.pngна

направление вектора hello_html_1504545d.png

называется скалярная величина hello_html_5fa405b4.png

, φ – угол между векторами (рис.9).

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол

φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция

равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA

0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. hello_html_m5fb116d9.png(проекция суммы равна сумме проекций);

2. hello_html_691e811d.png(проекция

произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

hello_html_m25e64bf1.png

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его

векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве

часто используют обозначения hello_html_m6a0aed20.png.

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть

соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления

координатных векторов.

Пример: Пусть вектор hello_html_1979ff98.png

единичной длины hello_html_m5f25cc67.pngобразует с

вектором hello_html_7af91109.pngортонормированного

базиса hello_html_2b475143.pngна плоскости угол

φ, тогда hello_html_m48eb42f1.pnghello_html_c749870.png

.

Пример: Пусть вектор hello_html_1979ff98.png

единичной длины hello_html_m5f25cc67.pngобразует с

векторами hello_html_7af91109.png, hello_html_m531f3a19.png

и hello_html_m17f7ada1.pngортонормированного базиса в

пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда hello_html_7098d428.png

. Причем hello_html_6ee3181f.png. Величины cosα,

cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора hello_html_1979ff98.png

Глава 5. Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из

векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.pngобозначается через hello_html_m348f949f.png

[или hello_html_m46ec2458.png; или hello_html_71f845be.png

]. Если φ - угол между векторами hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.png, то hello_html_m3fa89b55.png

.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. hello_html_m6c5c9b19.png(коммутативность).

2. hello_html_2e2b7d9c.png(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда

сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. hello_html_25a5c52a.png.

5. hello_html_4aa3fac.png.

6. hello_html_m47c0a490.png.

Теорема: В ортогональном базисе hello_html_m13191d60.pngкомпоненты любого вектора hello_html_m27d752ac.pngнаходятся по формулам:

hello_html_45f48bf0.png; hello_html_1bf38cb0.png; hello_html_m33110979.png.

Действительно, пусть hello_html_5c059c39.png, причем

каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы

второго раздела следует, что hello_html_m151128f8.png,

где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или

противоположно направлены векторы hello_html_m305fec88.png

, и hello_html_7af91109.png. Но, hello_html_m5a8d1fea.png

, где φ - угол между векторами hello_html_m305fec88.png

, и hello_html_7af91109.png. Итак, hello_html_m67aa8f64.png

. Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1. hello_html_m70962e33.png; 2. hello_html_m7e83e6ad.png; 3. hello_html_m4149a6aa.png.

Пусть в некотором базисе hello_html_m13191d60.pngзаданы

векторы hello_html_m6446c8fa.pngи hello_html_606d9238.png

тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

hello_html_2123b6e2.png

Величины hello_html_m53bebd56.pngназываются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно hello_html_m6d3db9f7.png.

Теорема: В ортонормированном базисе

hello_html_m716b592e.png;

hello_html_m2a74c5e1.png;

hello_html_7ab2919d.png;

hello_html_1a3cb75b.png.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая

расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости

получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это

самостоятельно.

Глава 6. Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется

правоориентированной (правой), если после приложения к

общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора

ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная

тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (

левой).

Определение: Векторным произведением вектора hello_html_m27d752ac.png

на вектор hello_html_1504545d.pngназывается вектор hello_html_59fa51a4.png

, удовлетворяющий условиям:

1. hello_html_m7f76bd20.pngгде φ – угол между векторами hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png;

2. вектор hello_html_59fa51a4.pngортогонален вектору hello_html_m27d752ac.png, вектор hello_html_59fa51a4.pngортогонален вектору hello_html_1504545d.png;

3. упорядоченная тройка векторов hello_html_m5a5c4d93.pngявляется правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора hello_html_m27d752ac.pngна вектор hello_html_1504545d.pngобозначается hello_html_67acd9a3.png{либо hello_html_m588ec227.png}.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов

является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется

площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если hello_html_m13191d60.png– правый ортонормированный базис, то hello_html_m21d53c43.png, hello_html_m7ad1ac3a.png, hello_html_m22d16a6b.png.

Пример: Если hello_html_m392f505b.png– левый ортонормированный базис, то hello_html_6d1c93c9.png, hello_html_m195d3517.png, hello_html_m748a26cc.png.

hello_html_m4fb0c50b.png

Пример: Пусть, hello_html_423e53b6.pngа hello_html_m27d752ac.png

ортогонален к hello_html_1504545d.png. Тогда hello_html_67acd9a3.png

получается из вектора hello_html_m27d752ac.pngповоротом вокруг вектора hello_html_1504545d.pngна hello_html_c4c9b37.pngпо часовой стрелке (если смотреть из конца вектора hello_html_1504545d.png).

Пример: Если дан вектор hello_html_59fa51a4.png, то каждый вектор можно представить в виде суммы hello_html_7d64ed1c.png

, где hello_html_m305fec88.png– ортогонален hello_html_59fa51a4.png

, а hello_html_m1b73b91f.png– коллинеарен hello_html_59fa51a4.png

. Легко видеть, что hello_html_406448be.png.

Действительно, можно заметить, что hello_html_e785646.png

. Вектор hello_html_m305fec88.pngкомпланарен векторам hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_59fa51a4.png, а потому hello_html_m61fdf5c9.pngи hello_html_m2a9fae09.pngколлинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. hello_html_m5747d9cf.png(антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не

зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор hello_html_67acd9a3.pngколлинеарен вектору hello_html_1dafad16.png. Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png, hello_html_67acd9a3.png- правая тройка, то hello_html_1504545d.png, hello_html_1504545d.png, hello_html_67acd9a3.png- левая, а hello_html_1504545d.png, hello_html_m27d752ac.png, hello_html_mdb6880d.png- снова правая тройка.

2. hello_html_2ec25d8b.png;

Если φ - угол между векторами hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png, то hello_html_7f6069f8.png

. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой,

перпендикулярной hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

. При λ > 0 и вектор hello_html_m11fab4d3.pngи hello_html_1907e66d.pngвектор направлены так же, как hello_html_67acd9a3.png.

Если λ < 0, то кратчайший поворот от hello_html_m70f39080.pngк hello_html_1504545d.pngпроизводится навстречу кратчайшему повороту от hello_html_m27d752ac.pngк hello_html_1504545d.png

. Поэтому hello_html_1907e66d.pngи hello_html_67acd9a3.pngпротивоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы hello_html_m11fab4d3.pngи hello_html_67acd9a3.png. Таким образом, при λ ≠ 0 векторы hello_html_m11fab4d3.png

и hello_html_1907e66d.pngнаправлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.

3. hello_html_55b04dd7.png; Если hello_html_m590766d4.png, то доказываемое очевидно. Если hello_html_34e336e6.png, то разложим hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.pngв суммы hello_html_64880c46.png

и hello_html_m707f6d91.png, где hello_html_m305fec88.pngи hello_html_141b5233.pngортогональны hello_html_59fa51a4.png, а hello_html_m1b73b91f.pngи hello_html_7418a68a.pngколлинеарны hello_html_59fa51a4.png. Поскольку , и вектор hello_html_m1ef15c25.pngортогонален hello_html_59fa51a4.png

, а hello_html_3a35208b.pngколлинеарен hello_html_59fa51a4.png, нам достаточно доказать равенство hello_html_m48fa94ad.png

и (в силу свойства 2) даже равенство hello_html_47133ce1.png, где hello_html_m43a66727.png. Длина вектора hello_html_m3474c01d.png

равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на hello_html_m3474c01d.pngсводится к повороту (ортогонального к hello_html_m3474c01d.png) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный на hello_html_m305fec88.pngи hello_html_141b5233.png, поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.

4. hello_html_d50fb27.png.

Пусть в некотором базисе hello_html_m13191d60.pngзаданы векторы hello_html_m6446c8fa.pngи hello_html_606d9238.pngтогда hello_html_7d9f0eac.png

или

hello_html_77e00d89.png

Теорема: В ортонормированном базисе

hello_html_m3ef12c38.png

или

hello_html_23c95601.png

{если базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует

поставить знак минус}.

Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в

начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы

будем считать, что базис выбирается всегда правый.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены

два заданных вектора.

2. hello_html_m6b607b82.png

Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах hello_html_m27d752ac.png

и hello_html_1504545d.png, как на сторонах. В

ортонормированном базисе

hello_html_14dbf524.png.

В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает

считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный

вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное

произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь

параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

hello_html_6521c6f.png.

Глава 7. Смешанное произведение

Определение: число hello_html_m2a0b4b62.pngназывается смешанным произведением векторов hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png.

Смешанное произведение векторов hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.pngобозначается hello_html_m73511c8.pngили hello_html_m27b4caf0.png.

Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс

если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.

Действительно, hello_html_4f414f23.png, где φ - угол между векторами hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png

, а θ - угол между векторами hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_mb75a665.png. Объем параллелепипеда,

построенного на векторах hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png, равен (рис. 13)

произведению площади основания hello_html_de7ffc7.pngна высоту hello_html_m7c4db91b.png. Таким образом,

первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком

cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда hello_html_m27d752ac.pngнаправлен в ту же сторону от плоскости векторов hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png, что и вектор hello_html_mb75a665.png, т. е. когда тройка hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.png

, hello_html_59fa51a4.pngправая. Аналогично доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.

Пример: Если hello_html_m13191d60.png-

ортонормированный базис, то hello_html_340cdf5c.png

или hello_html_m40ea8449.png, смотря по тому, правый это базис или левый.

Теорема: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Равенство hello_html_m52014899.pngвозможно в следующих случаях:

a.хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;

b.sinφ = 0 тогда hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.pngколлинеарны, и следовательно hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.pngкомпланарны;

c.cosθ = 0 тогда вектор hello_html_m27d752ac.pngортогонален hello_html_mb75a665.png, т. е. компланарен hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png.

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. hello_html_4291ae1.png;

2. hello_html_m6d511986.png;

3. hello_html_11f3fe6b.png.

Пусть в некотором базисе hello_html_m13191d60.pngвекторы hello_html_m6446c8fa.png, hello_html_606d9238.png, hello_html_m7e5baead.png, тогда

hello_html_357ba4ef.png

или

hello_html_m21b707bc.png

В частности, в ортонормированном базисе

hello_html_20d2e4ba.png

{если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак

минус}.

Следствие: Условие

hello_html_m650ce8d1.png

является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов,

заданных своими координатами в некотором базисе.



Глава 8. Двойное векторное произведение

Определение: Вектор hello_html_m5031230b.pngназывается двойным векторным произведением векторов hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.png.

Теорема: Для любых векторов hello_html_m27d752ac.png, hello_html_1504545d.pngи hello_html_59fa51a4.pngсправедлива формула

hello_html_7efe0ec9.png.


Действительно, этим числом является или hello_html_m3424f6ac.png

, или hello_html_m6ba9d414.pngв зависимости от того, направлены ли векторы hello_html_m27d752ac.pngи hello_html_1504545d.png

одинаково или противоположно. Если hello_html_3bf9137e.png, то λ = 0. Единственность множителя λ очевидна: при умножении на разные числа мы получим различные векторы.


Глава 9. Примеры практических заданий.


Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости hello_html_m1e35865e.png и hello_html_m7dab0805.png, то вектор hello_html_387b7c7e.png имеет следующие координаты:
hello_html_3cd56ca3.png

Если даны две точки пространства hello_html_7acd206.png и hello_html_m4b50047f.png, то вектор hello_html_387b7c7e.png имеет следующие координаты:
hello_html_m24411e3b.png

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора hello_html_m439c19c4.png.

Пример 1

Даны две точки плоскости hello_html_m4896fff.png и hello_html_m3b15eaa0.png. Найти координаты вектора hello_html_387b7c7e.png

Решение: по соответствующей формуле:
hello_html_72634335.png

Как вариант, можно было использовать следующую запись:
hello_html_2cf15ec3.png

hello_html_m3b8b7e57.png

Ответ: hello_html_m6474602b.png

Решение на чертеже:

hello_html_233a9caf.jpg

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису hello_html_7e369b30.png, в данном случае hello_html_m16b6897.png. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости hello_html_7e369b30.png.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: hello_html_13f81e4c.png, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.



Пример 2

а) Даны точки hello_html_m15ce0531.png и hello_html_2ba6e9c5.png. Найти векторы hello_html_387b7c7e.png и hello_html_m439c19c4.png.
б) Даны точки hello_html_m4b798360.png и hello_html_m4d2696f4.png. Найти векторы hello_html_25a658b5.png и hello_html_480fccd2.png.
в) Даны точки hello_html_4abbfa62.png и hello_html_m482b7b60.png. Найти векторы hello_html_m2da8538b.png и hello_html_m7cd38bf9.png.
г) Даны точки hello_html_5d067a69.png. Найти векторы hello_html_2a20226c.png.



Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости hello_html_m1e35865e.png и hello_html_m7dab0805.png, то длину отрезка hello_html_m6abb9055.png можно вычислить по формуле hello_html_m795245b5.png

Если даны две точки пространства hello_html_7acd206.png и hello_html_m4b50047f.png, то длину отрезка hello_html_m6abb9055.png можно вычислить по формуле hello_html_m5b08f297.png

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: hello_html_6804b30c.png и hello_html_m67f06f94.png, но более стандартен первый вариант

Пример 3

Даны точки hello_html_m781af.png и hello_html_2ba6e9c5.png. Найти длину отрезка hello_html_m6abb9055.png.

Решение: по соответствующей формуле:
hello_html_72c7f516.png

Ответ: hello_html_4035240d.png

Для наглядности выполним чертёж


hello_html_56c97e40.jpg

Отрезок hello_html_m6abb9055.png – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ hello_html_m243754b7.png можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат hello_html_3a32e3eb.png и хороший математический стиль предполагает  вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: hello_html_m20fb7af1.png. Конечно, оставить ответ в виде hello_html_3a32e3eb.png не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:
hello_html_21b3e79d.png

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например hello_html_m2c0c3293.png. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: hello_html_m6c6b2dc2.png. Да, разделилось нацело, таким образом: hello_html_1391db95.png. А может быть, число hello_html_36d5dd4d.png ещё раз удастся разделить на 4? hello_html_m236302d3.png. Таким образом: hello_html_40a2a273.png. У числа hello_html_50e85ae3.png последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: hello_html_m9d6c46c.png. В результате:
hello_html_298ba056.png Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня  во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
hello_html_5c8d6f8b.png

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки hello_html_m3a267ccb.png и hello_html_m2cd18872.png. Найти длину отрезка hello_html_m6abb9055.png.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости hello_html_m232b0faa.png, то его длина вычисляется по формуле hello_html_m661bcf6a.png.

Если дан вектор пространства hello_html_21ebbb4d.png, то его длина вычисляется по формуле hello_html_73905007.png.

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Пример 5

Даны точки hello_html_m781af.png и hello_html_2ba6e9c5.png. Найти длину вектора hello_html_387b7c7e.png.

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор hello_html_387b7c7e.png:
hello_html_2786070d.png

По формуле hello_html_m661bcf6a.png вычислим длину вектора:
hello_html_af74d1d.png

Ответ: hello_html_73c69559.png

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:


hello_html_m549537b2.jpg

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка hello_html_m6abb9055.png равна длине вектора hello_html_387b7c7e.png. Так же очевидно, что длина вектора hello_html_m439c19c4.png будет такой же. По итогу: hello_html_602154d.png

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки hello_html_m781af.png и hello_html_2ba6e9c5.png. Найти длину отрезка hello_html_m6abb9055.png.

Вместо применения формулы hello_html_m795245b5.png, поступаем так:
1) Находим вектор hello_html_2786070d.png.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка hello_html_m6abb9055.png равна длине вектора hello_html_387b7c7e.png:
hello_html_me8d69df.png

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

Для тренировки:

Пример 6

а) Даны точки hello_html_65842eb2.png и hello_html_m42c837eb.png. Найти длину вектора hello_html_m439c19c4.png.
б) Даны векторы hello_html_74cac4ee.png, hello_html_44f4160c.png, hello_html_m58452c8a.png и hello_html_1a55bbbb.png. Найти их длины.



1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости hello_html_76075c9a.png и hello_html_m7f0524fa.png. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: hello_html_m5f382f98.png. Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: hello_html_3e5c4090.png. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор hello_html_m7252bc52.png и найдём сумму трёх векторов: hello_html_559c5bbb.png

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы hello_html_6b9e4285.png, то их суммой является вектор hello_html_25497841.png.

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор hello_html_76075c9a.png умножить на число hello_html_m4b64c8c8.png, необходимо каждую координату данного вектора умножить на число hello_html_m4b64c8c8.png:
hello_html_21c104d9.png.

Для пространственного вектора hello_html_4ad4c122.png правило такое же:
hello_html_1be17097.png

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов hello_html_7e369b30.png, hello_html_7ea267fa.png но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Пример 7

Даны векторы hello_html_32b819a8.png и hello_html_3a717ab9.png. Найти hello_html_m2cb6c5d7.png и hello_html_m46eab9ad.png

Решение чисто аналитическое:
hello_html_34404239.png

Ответ: hello_html_377af8.png

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе hello_html_7e369b30.png, то графическое решение задачи будет таким:
hello_html_2551dd9c.jpg
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Пример 8

Даны векторы hello_html_7da88c0d.png и hello_html_m61f9983e.png. Найти hello_html_m5ed2c8db.png и hello_html_496cd754.png

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
hello_html_64ffe040.png

Ответ: hello_html_3b4b6f7a.png

Пример с векторами на плоскости:

Пример 9

Даны векторы hello_html_m32a3f1de.png. Найти hello_html_m2b011a70.png и hello_html_m5349204.png

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

!!! Скалярное произведение векторов
Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
Векторное и смешанное произведение векторов



Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:



Задание: hello_html_1d3ccec6.png, hello_html_410fa3f6.png

Пример 2: Решение:
а)
hello_html_m7f1658ab.png
б)
hello_html_m6bbd8dcc.png
в)
hello_html_f448467.png
г)
hello_html_72b422a1.png

Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле:hello_html_m3a267ccb.png и hello_html_m2cd18872.png
hello_html_m5867acae.png
Ответ:hello_html_m5f832629.png

Пример 6: hello_html_65842eb2.png и hello_html_m42c837eb.png
а)  Решение: найдём вектор hello_html_m439c19c4.png:
hello_html_m6257a72d.png
Вычислим длину вектора:
hello_html_1a55e0fe.png
Ответ: hello_html_m45d3dc32.png

б) Решение:
Вычислим длины векторов:
hello_html_m6ee447f6.png

Пример 9: Решение:
hello_html_29891f6e.png








Контрольные вопросы по теме «Векторы»

  1. Какие величины называются векторными? Приведите примеры векторных величин, известных Вам из курса физики. 

  2. Какие точки называют граничными точками отрезка? началом и концом отрезка? 

  3. Дайте определение вектора. 

  4. Как на рисунках изображается вектор? 

  5. Как обозначаются векторы? 

  6. Объясните, какой вектор называется нулевым. 

  7. Как изображается нулевой вектор? 

  8. Как обозначаются нулевые векторы? 

  9. Что называется длиной (модулем) ненулевого вектора? 

  10. Как обозначается длина вектора? 

  11. Чему равна длина нулевого вектора? 

  12. Какие векторы называются коллинеарными? 

  13. Какие векторы называют сонаправленными? противоположно направленными? 

  14. Как обозначаются коллинеарные векторы? 

  15. Какое направление имеет нулевой вектор? 

  16. Изобразите на рисунке сонаправленные векторы a и b и противоположно направленные векторы c и d.

  17. Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы? 

  18. Дайте определение равных векторов. 

  19. Объясните смысл выражения: «Вектор a отложен от точки A». 

  20. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. 

  21. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов? 

  22. Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство a0 = a

  23. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов .

  24. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов? 

  25. В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов? 

  26. Зависит ли сумма векторов от того, в каком порядке они складываются? 

  27. Постройте сумму векторов a , b и c по правилу многоугольника. 

  28. Чему равна сумма нескольких векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора? 

  29. Какой вектор называется разностью двух векторов? 

  30. Как построить разность двух данных векторов. 

  31. Какой вектор называется противоположным данному, как он обозначается? 

  32. Какой вектор будет противоположным нулевому вектору? 

  33. Чему равна сумма противоположных векторов? 

  34. Сформулируйте теорему о разности векторов. 

  35. Как построить разность двух данных векторов, используя теорему о разности двух векторов. 

  36. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число? 

  37. Как обозначается произведение вектора a на число k ? 

  38. Чему равно произведение k a, если: 1) a=0; 2) k = 0? 

  39. Начертите вектор a и постройте векторы: а)2 a; б) -1,5 a

  40. Могут ли векторы a и k a быть неколлинеарными? 

  41. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число. 

  42. Начертите два неколлинеарных вектора a и b и постройте векторы: а) 2 a +1,5 b, б) 3 a -0,5 b

  43. Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач. 



































ЛИТЕРАТУРА

  1. Афанасьев и др. Сборник задач по математике для техникумов. Москва: Наука, 2002.

  2. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введение в теорию вероятностей. Москва: Наука, 2001.

  3. Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва: Высшая школа, 2007.

  4. Карасев, Савельева, Аксютин. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. Москва: Наука,2003.

  5. Кудрявцев В., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. Москва: Наука, 1983.

  6. Кузнецов А.В., Кузнецова Д.С., Шишкина Сборник задач и уравнений по высшей математике. Минск: Высшая школа, 2005г.

  7. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. «Высшая математика. Математическое программирование», Москва: Высшая школа, 2004г.

  8. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика». Москва: Высшая школа, 2005 г.

  9. Микорский. «Сборник задач по высшей математике». Москва: Наука, 2009г

  10. Слободская В.А. «Краткий курс высшей математики». Москва: Высшая школа, 2009 г.

  11. Щипачев В.С. «Сборник задач по высшей математике». Москва: Высшая школа.2001г.

  12. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:2006.

  13. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – Минск, 2008.

  14. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., 2007.





35




Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 27 сентября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Краткое описание документа:

Математика -самая древняя наука, живущая и развивающаяся вместе с человечеством. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего мира. Современная концепция среднего и высшего образования достаточно полно реализует специфику изучения математических дисциплин. Цикл математических дисциплин для различных специальностей согласно Государственному стандарту высшего и среднего профессионального образования состоит из ряда взаимосвязанных разделов с иллюстрацией их применения в экономике. К ним относятся математический анализ, линейная алгебра, теории комплексных чисел и ее приложения в задачах оптимизации, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика. Именно эти разделы и их приложения вошли в настоящее учебное пособие.

 

Общая информация

Номер материала: 455109

Похожие материалы

2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации. Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии.

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

Конкурс "Законы экологии"