Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Учебное пособие по статике

Учебное пособие по статике

  • Другое

Поделитесь материалом с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОБДАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА»

СТАТИКА

Учебное пособие

Иркутск 2014


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОБДАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА»

СТАТИКА

Учебное пособие

Иркутск 2014


Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ТПиМП Б.В. Гаврилюк, ФГБОУ ВПО «ВСГАО».

Автор-составитель: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС».

Динамика: учебное пособие / авт.-сост.: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС». - Иркутск: изд-во Иркутский техникум транспорта и строительства, 2014 – 59с.

Учебное пособие предназначено для студентов ОГОБУ СПО «ИТТриС», обучающихся по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог» и 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного». Данное пособие включает программу учебной дисциплины «Техническая механика», учебный материал по разделу статика, задачи и их решения, перечень литературы.

© ОГОБУ СПО «ИТТриС», 2014г.


Оглавление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОБДАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА» 1

СТАТИКА 1

Учебное пособие 1

Иркутск 2014 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОБДАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА» 2

СТАТИКА 2

Учебное пособие 2

Иркутск 2014 2

Рецензент: 3

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ТПиМП Б.В. Гаврилюк, ФГБОУ ВПО «ВСГАО». 3

Автор-составитель: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС». 3

Динамика: учебное пособие / авт.-сост.: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС». - Иркутск: изд-во Иркутский техникум транспорта и строительства, 2014 – 59с. 3

Учебное пособие предназначено для студентов ОГОБУ СПО «ИТТриС», обучающихся по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог» и 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного». Данное пособие включает программу учебной дисциплины «Техническая механика», учебный материал по разделу статика, задачи и их решения, перечень литературы. 3

3

© ОГОБУ СПО «ИТТриС», 2014г. 3

Оглавление 4

Введение 5

Лекция 1. 6

Статика. Введение. 6

Лекция 2 12

Основные понятия и определения статики 12

Аксиомы статики 15

Теоремы статики 18

Лекция 3 19

Соединение тел между собой 19

Лекция 4 29

Условия равновесия пар сил. 34

Условия равновесия пар сил. 35

Лекция 5 35

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 35

Приведение силы к заданному центру. 35

Приведение системы сил к заданному центру. 36

Условия равновесия системы сил. 37

Условия равновесия пространственной системы 38

параллельных сил. 38

Условия равновесия плоской системы сил. 38

Теорема о трех моментах. 39

Лекция 6 42

Краткое содержание: Центр параллельных сил. Параллельные силы распределенные по отрезку прямой. Центр тяжести твердого тела, поверхности и линии. Способы определения координат центра тяжести. 42

ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ. 42

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ. 42

Лекция 7 50




























Введение

Теоретическая механика – это наука в которой изучаются механические движения вещественных форм материальных объектов.

Теоретическую механику называют еще классической механикой или механикой Ньютона.

Механическое движение – это перемещение материальных объектов в пространстве с течением времени без рассмотрения физических свойств этих объектов и их изменения в процессе движения.

Теоретическая механика изучает только вещественные формы материальных объектов. Элементарные частицы и различные поля не являются предметом изучения в теоретической механике.

Движение материальных объектов происходит в пространстве и во времени. Пространство является трехмерным пространством Эвклида.

Теоретическая механика является базой для других разделов механики (теории упругости, сопротивления материалов, теории механизмов и машин и пр.) и многих технических дисциплин.

Теоретическая механика делится на три части: статику, кинематику и динамику. Главной частью является динамика.

Изучение теоретической механики обычно начинается со статики.













Лекция 1.

Статика. Введение.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием тела в статике понимается состояние его покоя по отношению к другим телам, принимаемым за неподвижные.

Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

1. Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат.

Вектор это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число.

hello_html_219d2f1b.gif сумма двух векторов есть вектор

hello_html_m11fb6ad2.gif произведение вектора на действительное число есть вектор

hello_html_25022b47.gif существует нулевой вектор

hello_html_35e4c8d8.png







Рис. 1-1

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис. 1-1а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис. 1-1б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис. 1-2):

hello_html_m16ccf2da.gif

hello_html_615ba7a6.gif

hello_html_761661dd.gif

hello_html_m25b68332.png


Рис. 1-2

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую. Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 1-3).



Пhello_html_m3fe289b1.png
hello_html_m385fb8af.png
ри повороте оси
Ox правой системы координат на 90о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

Рис. 1-3 Рис. 1-4



Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве (см. рис. 1-4).

При повороте оси Ox правой системы координат вокруг оси Oz на 90о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .



3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz образуют систему единичных (или базисных) векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму hello_html_m6b0dda44.gif числа (ax , ay , az ) - это проекции вектора hello_html_5ad54f4.gif на оси координат (см. рис. 1-5).

Длина (или модуль) вектора hello_html_5ad54f4.gif определяется формулой hello_html_418e6e3f.gif и обозначается hello_html_m852ad05.gif или hello_html_9ff0b3b.gif

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис. 1-6).

hello_html_6b3c9f91.png

Рис. 1-5



hello_html_m29f1cbd6.png




Рис. 1-6



Направляющими косинусами cos(), cos(), cos() вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

hello_html_m8f7bca7.gif

Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

hello_html_m3cb05d82.gif

Координаты (x, y, z) это проекции вектора hello_html_794125fc.gif на оси координат.

4. Скалярное произведение двух векторов

Имеется два вектора hello_html_m887c655.gif и hello_html_646d5297.gif. hello_html_m6c22fdd0.gif, hello_html_m4a7d9c72.gif.

Результатом скалярного произведения двух векторов hello_html_m887c655.gif и hello_html_646d5297.gif является скалярная величина (число).

Записывается как hello_html_m426d43a.gif или hello_html_4b9d4e71.gif. Скалярное произведение двух векторов равно hello_html_m72859165.gif



hello_html_5d5a172b.png









Рис. 1-7



Свойства скалярного произведения:

hello_html_m1f962194.gif

hello_html_5acc8947.gif

hello_html_m48f654c3.gif

hello_html_ma8159d8.gif









5. Векторное произведение двух векторов

Имеется два вектора hello_html_m887c655.gif и hello_html_646d5297.gif. hello_html_m6c22fdd0.gif, hello_html_mc4ab5e7.gif. Результатом векторного произведения двух векторов hello_html_m887c655.gif и hello_html_646d5297.gif является вектор hello_html_1e116ff3.gif. Записывается как hello_html_m99b1055.gif или hello_html_m617090cc.gif.

Векторное произведение двух векторов это вектор hello_html_1e116ff3.gif, перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы с его конца поворот вектора hello_html_m887c655.gif к вектору hello_html_646d5297.gif был виден против часовой стрелки.

hello_html_m552fa163.png









Рис. 1-8

Длина (или модуль) векторного произведения равна hello_html_67db2d33.gif.

Свойства векторного произведения:

hello_html_m6b8b267b.gif

Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом:

hello_html_m684aa5b2.gif

hello_html_m13b5162f.gif

hello_html_m4a27e060.gif

hello_html_40be1aa2.gif

Лекция 2

Краткое содержание: Основные понятия и определения статики: материальная точка и абсолютно твердое тело, механическая система, сила, система сил. Аксиомы и теоремы статики.

Основные понятия и определения статики

Материальным телом называется некоторое количество вещества, которое заполняет какой-нибудь объем в пространстве. Возможны случаи, когда тело в тех или иных направлениях имеет весьма малые размеры по сравнению с размерами в других направлениях.

Материальной точкой называется простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы, и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механическим воздействием одного тела на другое называется такое воздействие, при котором пренебрегают изменениями в химической структуре тела и его физическом состоянии. Если тело испытывает механическое воздействие со стороны других материальных тел, то оно может изменять свое движение в пространстве или оставаться в покое. Механическое воздействие может происходить как при соприкосновении тел, так и на расстоянии (притяжение, отталкивание).

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.

Cила - это основная количественная мера механического воздействия одного тела на другое, которая характеризует его интенсивность и направление.

Природа силы может быть различной. Это могут быть гравитационные, электромагнитные, упругие силы или силы давления. Теоретическая механика не интересуется природой сил.

Сила определяется точкой приложения, числовым значением и направлением действия, т.е. является векторной величиной.

Модуль силы находят путем ее сравнения с силой, принятой за единицу. Для статического измерения силы служат приборы, называемые динамометрами.

Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора (например, hello_html_4de4848.gif или hello_html_m254dfd38.gif). Для выражения числового значения силы или ее модуля используется знак модуля от вектора или те же буквы, но без знака вектора (например, hello_html_458b896b.gif и hello_html_m406441c0.gif или hello_html_meae9230.gif и hello_html_m17d22849.gif).

Системой сил называется группа сил, которые действуют на рассматриваемое тело или (в общем случае) на точки механической системы.

Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской, а если эти линии действия не лежат в одной плоскости, - то система сил называется пространственной.

Системой сил эквивалентной нулю (или уравновешенной системой сил) называется такая система сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

hello_html_m8fd1097.gif

Две системы сил называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях.

hello_html_m6a9192e.gif

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называется сила, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующую силу обозначают обычно hello_html_4e21f4a8.gif

hello_html_m60fa5d7c.gif

Уравновешивающей силой рассматриваемой системы сил называется сила, добавление которой к заданной системе сил дает новую систему, эквивалентную нулю.

Уравновешивающая сила равна по модулю равнодействующей и противоположна ей по направлению.

Сила, приложенная к телу в одной его точке называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема, данной части поверхности тела или данной части кривой, называются распределенными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным. Силы, которые в механике рассматриваются как сосредоточенные, представляют собой равнодействующие некоторых систем распределенных сил.



Аксиомы статики

Аксиома о равновесии двух сил. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

hello_html_m8df15a2.png









Рис. 2-1

Аксиома о добавлении (отбрасывании) уравновешенной системы сил. Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) уравновешенную систему сил. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил эквивалентна первоначальной.



Аксиома параллелограмма сил. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. hello_html_5f8bd129.gifhello_html_465d59c0.gif

hello_html_67f9c14b.png







Рис. 2-2

Эта аксиома допускает и обратное утверждение:

Силу можно разложить бесчисленным множеством способов на две силы, приложенные в любой точке линии действия данной силы.

Аксиома о равенстве действия и противодействия. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

Если к данному телу приложена сила воздействия hello_html_4de4848.gif от другого тела, то от данного тела к другому телу будет приложена сила hello_html_m32744b19.gif, равная и прямо противоположная силе hello_html_4de4848.gif. Силы приложены в одной геометрической точке, но к разным телам.

hello_html_5d9342bd.png











Рис. 2-3

Свободным твердым телом называется тело, имеющее возможность получать любое движение из данного положения, для чего необходимо приложить соответствующую силу.

При решении большинства задач механики приходится иметь дело с телами несвободными, т.е. лишенными возможности перемещаться в направлении действия приложенных к ним активных сил. Тела, ограничивающие движение рассматриваемого тела, называются связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении называется силой реакции (противодействия) этой связи или просто реакцией связи.

Аксиома о связях. Эффект от действия связей такой же, как от действия определенных, дополнительных сил, которые могут быть приложены к свободному телу вместо связей.

Аксиому о связях называют также принципом освобождаемости от связей. Согласно этой аксиоме, не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией связи.

Силы, которые могут сообщать свободному телу движение, называются активными силами. Приложив к телу, кроме активных сил, реакции связей, можно рассматривать тело как свободное. Активные силы и силы реакции называются внешними силами.

Пусть, например, на гладкой неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар. Плоскость, ограничивающая движение шара, является для него связью. Если мысленно освободить шар от связи, то для удержания его в покое к нему в точке касания с плоскостью нужно приложить силу hello_html_m41811a9d.gif, равную по модулю весу шара hello_html_m254dfd38.gif и противоположную ему по направлению. Сила hello_html_m41811a9d.gif и есть реакция плоскости (реакция связи). Шар, освобожденный от связи, будет свободным телом, на которое действует задаваемая (активная) сила hello_html_m48e41b44.gif и реакция плоскости hello_html_m41811a9d.gif.

hello_html_171e8686.png











Рис. 2-4

Аксиома отвердевания. Равновесие механической системы не нарушается от наложения новых связей; в частности, равновесие механической системы не нарушится, если все части системы связать между собой неизменно, жестко.



Теоремы статики

Теорема о переносе силы вдоль линии действия. Действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль своей линии действия.

hello_html_65309624.gifhello_html_6056395b.png

hello_html_m3435322e.gif

hello_html_m4cdcc7fa.gif

hello_html_3fc9f5de.gif



Рис. 2-5



Теорема о трех силах. Если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пресекаются в одной точке.

hello_html_76056941.gif

hello_html_m6459d6d8.gif

сhello_html_28a793bc.pngледовательно силы пересекаются в одной точке.











Рис. 2-6





Лекция 3

Краткое содержание: Соединение тел между собой и направление сил реакции связей. Система сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси.

Соединение тел между собой

Отдельное тело может быть связано с другими телами разными способами.

Опирание на поверхность

Еhello_html_m1d2d5785.pngсли соприкасаются абсолютно гладкие тела, то силы взаимодействия между ними направлены по общей нормали к их поверхностям в точке соприкосновения.









Рис. 3-1



Связь с помощью нитей (нить, цепь, трос)

Связь, осуществляемая в виде гибкой нерастяжимой и невесомой нити, не дает удаляться телу от точки подвеса нити вдоль нити. Поэтому реакция натянутой нити также направлена вдоль нити, к точке ее подвеса.

hello_html_m6d432d43.png


Рис. 3-2

Освободим гирю от связи разрезав (мысленно) нить в любом месте и добавив силу реакции связи, которую направим вдоль нити вверх (обозначим ее hello_html_m5c9fa3cb.gif). Гиря становится свободным твердым телом на которое действуют две силы и при этом оно находится в покое. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы hello_html_m7099c16a.gif и hello_html_m5c9fa3cb.gif равны по величине и противоположны по направлению.

Вырежем (мысленно) кусочек нити в любом месте и добавим в местах разреза силы реакции связи (обозначим их hello_html_m5c9fa3cb.gif и hello_html_a45e86b.gif). Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы hello_html_m5c9fa3cb.gif и hello_html_a45e86b.gifравны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные сhello_html_m36bd5f15.pngтороны. Реакция связи натянутой нити направлена вдоль нити



Соединение тел с помощью шарниров.

Шарниром называется устройство, связывающее тела и позволяющее совершать вращение одного тела относительно другого.

Цилиндрический шарнир допускает вращение тел вокруг одной оси (и скольжение вдоль нее).

Шарнирно-неподвижная опора препятствует любому поступательному движению, но дает возможность свободно вращаться вокруг оси шарнира.

Реакция hello_html_m4b610348.gif шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира О и лежит в плоскости перпендикулярной к оси шарнира, но ее модуль и направление неизвестны.

Условные обозначения:

hello_html_55b52f1f.png




Шарнирно-подвижная опора ( шарнирно-неподвижная опора поставленная на катки) не препятствует перемещению параллельно опорной поверхности. Если не учитывать трения катков, то линия действия реакции такой опоры проходит через центр шарнира перпендикулярно опорной поверхности. Неизвестен только модуль этой реакции.

Условные обозначения:



hello_html_m585bcaad.png






Шаровой шарнир. Шаровым шарниром называется устройство, позволяющее сочлененным телам, имеющим общую точку сочленения, совершать вращение в пространстве относительно друг друга вокруг общей точки. Шаровой шарнир состоит из сферической чаши, находящейся на одном теле, и сферического выступа того же диаметра на другом. Реакция в шаровом шарнире может иметь любое направление в пространстве.





Жесткая заделка.

В случае заделки одного тела в другое реакция связи состоит из силы hello_html_m4b610348.gif и пары сил с моментом hello_html_m6b22b3f2.gif. Величина и направление реакции определяется из общих уравнений равновесия твердого тела.

hello_html_m25adcca.png




Пример 2-1. На невесомую трехшарнирную арку действует горизонтальная сила hello_html_m5cf4040a.gif. Определить линию действия реакции hello_html_28e8f613.gif (реакции связи в точке А).

Решение: Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках В и С приложим силы реакции связей hello_html_m1afb9d74.gif и hello_html_m15733f1.gif. Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы hello_html_m1afb9d74.gif и hello_html_m15733f1.gifравны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом направление силы hello_html_m15733f1.gif нам известно (вдоль линии ВС).



hello_html_4901eb97.png


Рассмотрим левую часть арки отдельно. В точках А и С приложим силы реакции связей hello_html_m1afb9d74.gif и hello_html_m3e8caad2.gif. Сила hello_html_1f662085.gif, действие равно противодействию. На тело действуют три силы, направления двух сил (hello_html_m5cf4040a.gif и hello_html_m3e8caad2.gif.) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила hello_html_6ed95940.gif направлена вдоль линии AD.

Пример 2-2. Однородный стержень закреплен шарнирно в точке А и опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции hello_html_28e8f613.gif (реакции связи в точке А).

Решение: Так как стержень однородный, то равнодействующая сил тяжести (сила hello_html_m7099c16a.gif), действующих на стержень, приложена в его геометрическом центре (точка С). Так как стержень опирается на гладкую поверхность, то реакция связи (сила hello_html_19fffb52.gif) в точке касания (точка D) направлена по нормали к этой поверхности. На тело действуют три силы, направления двух сил (hello_html_19fffb52.gifиhello_html_m7099c16a.gif.) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила hello_html_6ed95940.gif направлена вдоль линии AЕ.

hello_html_6f771d7e.png

























Система сходящихся сил

Системой сходящихся сил (или пучком сил) называется такая система сил, линии действия которой пересекаются в одной точке – центре пучка.

Равнодействующая системы сходящихся сил равна векторной сумме слагаемых сил и определяется замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах как на составляющих. Точка приложения равнодействующей силы совпадает с точкой пересечения линий действия сил.

hello_html_m17ad2937.gif

Проекции равнодействующей силы на оси координат равны алгебраической сумме проекций составляющих сил на эти оси.

hello_html_m1f6f0d77.gif hello_html_m6368b80c.gif hello_html_6a00b9d3.gif



hello_html_546910d6.png


Рис. 3-3

Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной форме

Для равновесия сходящейся системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сила была равна нулю.

hello_html_m6fc2ccf0.gif

Условия равновесия системы сходящихся сил в алгебраической форме

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю.

hello_html_6a4caf04.gif hello_html_m4ad25908.gifhello_html_501e2430.gif



Момент силы относительно точки

Если под действием приложенной силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторой точки, то для того, чтобы охарактеризовать вращательный эффект силы, необходимо ввести новое понятие - момент силы относительно точки.

Рассмотрим силу hello_html_28fb5554.gif, приложенную к телу в точке А. Из некоторой точки О опустим перпендикуляр на линию действия силы hello_html_28fb5554.gif.

Плечом h силы hello_html_28fb5554.gif относительно точки О называется кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы.

Через силу hello_html_28fb5554.gif и точку О можно провести плоскость. Сила hello_html_28fb5554.gif пытается вращать тело вокруг оси, которая проходит через точку О и которая перпендикулярна плоскости в которой лежит сила. Точка О называется моментной точкой.

Моментом силы hello_html_28fb5554.gif относительно точки О называется вектор hello_html_m6f424f37.gif, приложенный в этой точке и равный векторному произведению радиус-вектора hello_html_2b625780.gif, соединяющего эту точку с точкой приложения силы, на вектор силы hello_html_28fb5554.gif.

hello_html_5a0900e9.gif



hello_html_542344fc.gif

















Рис. 3-4



Модуль вектора hello_html_m7833f56d.gif равен произведению модуля силы hello_html_m1bb5e0dd.gif на ее плечо hello_html_m6c6cda87.gif .

hello_html_6f007eda.gif

Момент силы hello_html_28fb5554.gif относительно точки О направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка (радиус-вектор), в том направлении откуда видно стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки.

Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.

Если сила hello_html_28fb5554.gif задана своими проекциями hello_html_24e34d4.gif на оси координат и даны координаты hello_html_m129355e8.gif точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

hello_html_529b656e.gif

Проекции момента на оси координат равны:

hello_html_m4a1f51ca.gif

hello_html_m4ed5db90.gif

hello_html_m119e6b74.gif

Момент силы относительно оси

К твердому телу в точке А приложена сила hello_html_2281ce26.gif. Проведем в пространстве ось (например z). На оси z произвольно выберем точку О . Соединим точку О с точкой А радиус-вектором. Через точку О проведем плоскость П перпендикулярную оси z. Спроектируем вектора hello_html_4f641f51.gif и hello_html_2b9026f1.gif на плоскость П.

Моментом силы hello_html_4f641f51.gif относительно оси называется вектор равный моменту проекции силы hello_html_4f641f51.gif на плоскость П относительно точки О пересечения оси z с плоскостью П.

hello_html_m1240f87d.png







Рис. 3-3



hello_html_m299ecd38.gif

hello_html_5160e991.gif



Свойства момента силы относительно оси:

  1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.

  2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.



Связь момента силы относительно оси с моментом силы

относительно точки.

Проведем через точку О, где задан момент силы относительно точки hello_html_m6f424f37.gif декартовы оси координат x, y, z . Момент силы относительно точки можно представить в виде суммы трех векторов hello_html_m195e5a41.gif. Эти вектора являются моментами силы относительно осей x, y, z соответственно.

hello_html_m2393efd8.gif hello_html_3a4bed3.gifhello_html_m396bf3a5.gif

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки на оси.

hello_html_m19881bcf.gif





Формулы для моментов силы относительно осей координат.

Если сила hello_html_28fb5554.gif задана своими проекциями hello_html_m5a398bf2.gif на оси координат и даны координаты hello_html_m129355e8.gif точки приложения этой силы, относительно осей координат, то моменты силы относительно осей координат вычисляется следующим образом:

hello_html_m19b784af.gif

hello_html_7bcddb00.gif

hello_html_m2fd6762a.gif



Лекция 4

Краткое содержание: Пара сил. Теорема о сумме моментов пары сил. Теорема об эквивалентности пар сил. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость. Теорема о сложении пар сил. Условия равновесия пар сил.

ПАРА СИЛ

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.

Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Моментом пары сил называется вектор hello_html_m6b22b3f2.gif, модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. hello_html_1d8aee9e.gif

hello_html_m43e323a1.png


Рис. 4.1

Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.

hello_html_m1dedd17.gif

Доказательство: Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы (Смотри Рис. 4.2).

hello_html_m55e44975.gif, hello_html_m6a14acad.gif

hello_html_159c504c.gif

Что и требовалось доказать.

Рhello_html_m2a07639e.png
ис. 4.2



Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил hello_html_2bed79a3.gif.

Пhello_html_3ce51d07.pngеренесем силу hello_html_f30893f.gif в точку hello_html_651f9a1a.gif, а силу hello_html_3a9c4ffa.gif в точку hello_html_m7924c8b7.gif. Проведем через точки hello_html_m22aaafa2.gif две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки hello_html_m22aaafa2.gif отрезком прямой и разложим силы hello_html_f30893f.gifв точке hello_html_651f9a1a.gif и hello_html_3a9c4ffa.gif в точке hello_html_m7924c8b7.gif по правилу параллелограмма.

hello_html_27fc7adc.gif

hello_html_m76e58cf6.gif

Так как hello_html_m55e44975.gif, то

hello_html_m56d12263.gifи hello_html_m5ac13152.gif

Поэтому hello_html_2bed79a3.gif эквивалентна системе hello_html_m775760a7.gif, а эта система эквивалентна системе hello_html_47728508.gif, так как hello_html_m6bbcd62c.gif эквивалентна нулю.

Таким образом мы заданную пару сил hello_html_2bed79a3.gif заменили другой парой сил hello_html_47728508.gif. Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.



Момент исходной пары сил hello_html_2bed79a3.gif численно равен площади параллелограмма hello_html_m7b44286b.gif, а момент пары сил hello_html_47728508.gif численно равен площади параллелограмма hello_html_1c305f86.gif. Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника hello_html_m5121a348.gif равна площади треугольника hello_html_m29f3f34c.gif.

Что и требовалось доказать.

Выводы:

  1. Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

  2. У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.



Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость. Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил hello_html_2bed79a3.gif в плоскости hello_html_m2d3e9730.gif. Из точек приложения сил А и В опустим перпендикуляры на плоскость hello_html_m44bde86b.gif и в точках их пересечения с плоскостью hello_html_m44bde86b.gif приложим две системы сил hello_html_245758bb.gif и hello_html_m56313b8f.gif, каждая из которых эквивалентна нулю.

hello_html_30e00c6a.gif hello_html_m660bdcc7.gif hello_html_313799b3.gif hello_html_50829304.gif

Сложим две равные и параллельные силы hello_html_f30893f.gif и hello_html_42645254.gif. Их равнодействующая hello_html_1bf5c8f6.gif параллельна этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка hello_html_4179d93a.gif в точке О.

Сhello_html_43911c9c.pngложим две равные и параллельные силы hello_html_3a9c4ffa.gif и hello_html_682e8a02.gif. Их равнодействующая hello_html_35c363de.gif параллельна этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка hello_html_m1f5490ee.gif в точке О.

Так как hello_html_55f6b876.gif, то система сил hello_html_26a2e5dc.gif эквивалентна нулю и ее можно отбросить.

Таким образом пара сил hello_html_2bed79a3.gif эквивалентна паре сил hello_html_47728508.gif, но лежит в другой, параллельной плоскости. Что и требовалось доказать.



Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.

Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.



Теорема о сложении пар сил. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил. hello_html_m68881962.gif

hello_html_299c0dcf.png


Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил hello_html_mdf05064.gif в плоскости hello_html_m2d3e9730.gif характеризуется моментом hello_html_56d721f5.gif, а пара сил hello_html_535d3a52.gif в плоскости hello_html_m44bde86b.gif характеризуется моментом hello_html_3a0365f8.gif.

Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, hello_html_7c076578.gif hello_html_m5b9c53af.gif. Получаем пару сил hello_html_26a2e5dc.gif.

hello_html_m6cc4b18a.gif

Что и требовалось доказать.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

hello_html_2d97bb16.gif

Условия равновесия пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю. hello_html_m3a929913.gif

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

hello_html_m3399196d.gif hello_html_m7a076798.gifhello_html_m2c90d920.gif





Лекция 5

Краткое содержание: Приведение силы к заданному центру. Приведение системы сил к заданному центру. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Условия равновесия плоской системы сил. Теорема о трех моментах. Статически определимые и статически неопределимые задачи. Равновесие системы тел.



ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

Приведение силы к заданному центру.

Рhello_html_1a6b5f04.pngавнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.













Теорема о параллельном переносе силы. Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть сила hello_html_28fb5554.gif приложена в точке A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы. Полученная система трех сил представляет собой силу hello_html_m222ec140.gif равную hello_html_28fb5554.gif , но приложенную в точке В и пару hello_html_69f7a915.gif с моментом hello_html_m635f921.gif . Процесс замены силы hello_html_28fb5554.gif силой hello_html_m222ec140.gif и парой сил hello_html_69f7a915.gifназывается приведением силы hello_html_28fb5554.gif к заданному центру В .

Приведение системы сил к заданному центру.

Основная теорема статики (Пуансо).

Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

hello_html_425a542a.gif

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

hello_html_m79da5713.gif



Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

hello_html_m3296aa.gif hello_html_255aaba4.gifhello_html_39cfea85.gif

hello_html_m2b787953.gif

hello_html_d247516.gif

hello_html_702afcc7.gif



Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов главного вектора и главного момента

hello_html_136c69c4.gif

hello_html_m47f5b8a7.gif hello_html_34b7467c.gifhello_html_551ad4fe.gif

hello_html_m27c4e1d1.gif

hello_html_22889c01.gif hello_html_936fece.gifhello_html_4afe1893.gif

Условия равновесия системы сил.

Векторная форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.

hello_html_m48ce24c8.gif hello_html_1502c2a5.gif

Алгебраическая форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

hello_html_129824d.gif hello_html_m74cd5130.gifhello_html_m63ca051e.gif

hello_html_m2e6e432d.gif hello_html_5cad4a8a.gifhello_html_m51cbd78a.gif

Условия равновесия пространственной системы

параллельных сил.

На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам.

Уравнения hello_html_m4af21dfd.gifhello_html_cee06dc.gifhello_html_7f0d6b9c.gif

Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.

hello_html_m2e6e432d.gifhello_html_350dcfdb.gif

- проекция силы на ось Oz.

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.

Условия равновесия плоской системы сил.

На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox и Oy в плоскости действия сил.

Уравнения hello_html_m4af21dfd.gifhello_html_a8ff39.gifhello_html_m1bcb73cf.gif

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил также была равна нулю.

hello_html_129824d.gif hello_html_m74cd5130.gifhello_html_29873dcf.gif

Теорема о трех моментах.

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

hello_html_6e27535c.gif hello_html_m40eacd32.gifhello_html_28dc8d72.gif



Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми.

В противном случае задачи статически неопределимы.

Равновесие системы тел.

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом.

Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил.

Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил.

Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил.

hello_html_6d68d963.png







Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела I hello_html_61fcd2b4.gif

hello_html_4bbad9a6.gif.

для тела II hello_html_45b3dc7c.gif

hello_html_m68cfbd0.gif

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем hello_html_m92b9c26.gifhello_html_mea6bc3a.gif.

Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Реакция заделки.

Рhello_html_30442ec6.png
ассмотрим балку один конец которой АВ заделан в стену. Такое крепление конца балки АВ называется заделкой в точке В.



Пусть на балку действует плоская система сил. Определим силы, которые надо приложить к точке В балки, если часть балки АВ отбросить. К сечению балки (В) приложены распределенные силы реакции. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке В, то в точке В получим силу hello_html_m6185818c.gif (главный вектор сил реакции) и пару сил с моментом М (главный вектор сил реакции относительно точки В) . Момент М называют моментом заделки или рективным моментом. Силу реакцииhello_html_m6185818c.gif можно заменить двумя составляющими hello_html_m809281f.gifи hello_html_m680203be.gif.

Заделка в отличие от шарнира создает не только неизвестную по величине и направлению реакцию hello_html_m6185818c.gif , но еще и пару сил с неизвестным моментом М в заделке.



Лекция 6

Краткое содержание: Центр параллельных сил. Параллельные силы распределенные по отрезку прямой. Центр тяжести твердого тела, поверхности и линии. Способы определения координат центра тяжести.



ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.


Центр параллельных сил.

Для системы параллельных сил введем понятие центра параллельных сил.

На тело действует система параллельных сил hello_html_m43364a9e.gif, приложенных в точках hello_html_14e6ad66.gif. Выберем оси координат так, чтобы ось Оz была параллельна силам.

hello_html_13463b8c.gif, hello_html_4d0d7b93.gif, hello_html_m5cb99e70.gif

hello_html_7725e5e8.png











- проекция силы на ось Oz.

hello_html_251d201d.gif

hello_html_154e7d29.gif

hello_html_f3db29d.gif



Точка С с координатами hello_html_3a181db2.gif называется центром параллельных сил .

- проекция силы на ось Oz.

Свойства центра параллельных сил:

  1. Сумма моментов всех сил hello_html_m43364a9e.gif относительно точки С равна нулю hello_html_28dc8d72.gif

  2. Если все силы повернуть на угол , не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой С.







Параллельные силы распределенные по отрезку прямой.



а) общий случай

hello_html_mad3c308.gif- интенсивность распределенной силы [Н/м],

hello_html_m4a90d2ba.gif- элементарная сила.

lдлина отрезка

hello_html_3149ed61.png











Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности q(x) эквивалентна сосредоточенной силе hello_html_175871b8.gif. Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой

hello_html_3b1a38d1.gif

б) постоянная интенсивность

hello_html_4743ad92.gifhello_html_m60de80c0.png

hello_html_19afbb63.gif

hello_html_6bad22c5.gif



в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону



hello_html_m1d38ed75.gifhello_html_m10079cc8.png

hello_html_m6bc29d1d.gif

hello_html_m7573a76b.gif



Центр тяжести.

Центром тяжести тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

hello_html_740fc840.gif hello_html_m4f0cd515.gif

hello_html_26f0eee1.gif где

hello_html_m1c3b5af7.gif- вес единицы объема тела (удельный вес)

hello_html_1fd52806.gif- Вес всего тела.



hello_html_m58c6c550.png

Для однородного твердого тела hello_html_568f5f66.gif и формулы получают вид:

hello_html_m3d8a7722.gif hello_html_m59dd60d5.gifhello_html_1fd0b17b.gif

hello_html_m15dbe87c.gif- Объем всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

hello_html_m57add48.gifhello_html_m58ba597c.gif

hello_html_m1902b56.gif

где hello_html_me4a2582.gif - вес единицы площади тела,

hello_html_m12908784.gif- Вес всего тела.

hello_html_m27ce3685.png









Для однородной поверхности hello_html_2e2d59c0.gif и формулы получают вид:

hello_html_4b0b977f.gif hello_html_1ded3f2c.gifhello_html_7e6db2fe.gif

hello_html_72565a1b.gif- Площадь поверхности.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

hello_html_31e644d0.png



hello_html_30c03e7d.gif

hello_html_78e2028e.gif

hello_html_40b6a5f4.gif

где hello_html_m6256b2dd.gif - вес единицы длины тела ,

hello_html_5e07ccd7.gif- Вес всего тела.

Для однородной линии hello_html_m70490ab8.gif и формулы получают вид:

hello_html_m34ced143.gif hello_html_3111a9d2.gifhello_html_mec0e58f.gif

hello_html_6b0dfaec.gif- Длина линии.

Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

  1. Сhello_html_78ab446e.png
    имметрия.
    Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.



2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

hello_html_7201cef7.png









hello_html_8da3633.gif

hello_html_4fe3f54d.gif

hello_html_m6625ef35.gif

hello_html_m31c272ca.gif

hello_html_m24254045.gif



3. Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

hello_html_ma2cb66.png









hello_html_8da3633.gif hello_html_4fe3f54d.gif

hello_html_m3a1739c7.gif

hello_html_1c3fae59.gif

hello_html_1da354e8.gif

Центр тяжести дуги окружности



hello_html_7a4b5902.gif hello_html_m5d353b70.gif

hello_html_42465304.gif

hello_html_115a29f2.gif

hello_html_274ba641.gif

hello_html_m5feb799c.gif

hello_html_m282e15a9.gif

Дhello_html_m2a6c42a3.pngля дуги равной половине окружности hello_html_74b84096.gif, hello_html_1f59db91.gif, hello_html_5f3dd1e.gif, hello_html_m2d602078.gif











Центр тяжести площади сектора круга



hello_html_5bb597f2.gif hello_html_4c5b1a05.gif

hello_html_mf6203eb.gif

hello_html_m3e9090bb.gif

hello_html_5344d50a.gifhello_html_fd836d0.gif

hello_html_1e244a1b.gif

hello_html_6215ebe7.gif

hello_html_24a12a47.png







Для площади равной половине круга hello_html_74b84096.gif, hello_html_1f59db91.gif, hello_html_5f3dd1e.gif, hello_html_6f69623b.gif

Лекция 7

Краткое содержание: Трение скольжения. Законы Кулона. Угол и конус трения. Условия равновесия. Трение качения.

ТРЕНИЕ

Трение скольжения

Опыт показывает, что при стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному скольжению. Эту силу, называют силой трения скольжения.

Если твёрдое тело находится на абсолютно гладкой поверхности другого тела в равновесии, то реакция связи направлена по нормали к поверхности.

В действительности абсолютно гладких поверхностей не бывает. Все поверхности тел в той или иной степени шероховаты. Поэтому сила реакции hello_html_m26c8e534.gif шероховатой поверхности при равновесии тела зависит от активных сил не только по числовой величине, но и по направлению.



hello_html_m520a313e.png


Разложим силу реакции hello_html_m26c8e534.gif шероховатой поверхности на составляющие: одну из которых hello_html_29680b07.gif направим по общей нормали к поверхности соприкосновения, а другую hello_html_m4df22ec9.gif направим в касательной плоскости к этим поверхностям.

Силой трения скольжения (или просто силой трения) называется составляющая силы реакции связи, которая лежит в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел.

Силой нормальной реакцией связи называется составляющая силы реакции связи, которая направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел.

hello_html_8bb5a22.gif

Природа силы трения очень сложная и Мы ее не касаемся. В теоретической механике предполагается, что между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества.

Сухим трением называется трение, когда между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества.

Будем рассматривать два случая: трения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле:

hello_html_6a417676.gif

Аналогично при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы:

hello_html_m17dad05e.gif

При движении одного тела по поверхности другого сила трения является постоянной величиной.

В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем закономерностей, которые с достаточной для практики точностью отражают основные особенности явления сухого трения. Эти закономерности называются законами трения скольжения или законами Кулона.



Законы Кулона

  1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения тела под действием активных сил. Сила трения зависит от активных сил, и её модуль заключён между нулём и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, то есть:

hello_html_198856fb.gif

hello_html_m4a6f2db3.gif- называется предельной силой трения.

  1. Предельная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того чтобы сдвинуть, например кирпич, надо приложить одну и туже, силу, независимо, от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой.

  2. Предельная сила трения скольжения пропорциональна нормальной реакции (нормальному давлению), то есть

hello_html_7e28d809.gif,

где безразмерный коэффициент hello_html_1f3a3651.gif называют коэффициентом трения скольжения; он не зависит от нормальной реакции.

  1. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, то есть от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Коэффициент трения устанавливается экспериментально.

Считается, что коэффициент трения не зависит от скорости движения.

Угол трения. Условия равновесия.

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности, т.е. при наличии трения, удобно решать геометрически. Для этого введем понятие угла и конуса трения.

Реакция реальной (шероховатой) связи hello_html_fe7c9c4.gif слагается из двух составляющих: нормальной реакции hello_html_24534335.gif и перпендикулярной ей силы трения hello_html_m1a92890a.gif. Следовательно, реакция связи hello_html_fe7c9c4.gif отклоняется от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до максимальной, сила реакции hello_html_fe7c9c4.gif меняется от нуля до hello_html_m6042eddd.gif, а ее угол с нормалью растет от нуля до некоторого предельного значения .

Уhello_html_m72fac0f8.pngглом трения называется наибольший угол hello_html_m2c714700.gif между предельной силой реакции шероховатой связи hello_html_m6042eddd.gif и нормальной реакцией hello_html_24534335.gif.








hello_html_m6fbce5f3.gif; hello_html_m7f2b83b5.gif;.

Угол трения hello_html_6f95504e.gif зависит от коэффициента трения.

Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи hello_html_m31eda89.gif вокруг направления нормальной реакции.

Пример.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р, образующую угол hello_html_284e617c.gif с нормалью, то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие hello_html_m2214cf25.gif  будет больше предельной силы трения hello_html_1b9e2b55.gif  (если пренебречь весом тела, то hello_html_m6c01108e.gif но неравенство

hello_html_68a0926f.gif



hello_html_m3c55d26b.png



Выполняется только при hello_html_m1fc74742.gif, т.е. при hello_html_m58d08a3a.gif,

Следовательно, ни какой силой, образующей с нормалью угол hello_html_284e617c.gif, меньший угла трения hello_html_6f95504e.gif тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя.

Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения.


Пример.

Рассмотрим тело имеющее вертикальную плоскость симметрии. Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a.

Кhello_html_28ecaf29.png
телу в точке С, лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила hello_html_1f2646b4.gif и в точке А, лежащей на расстоянии h от основания, горизонтальная сила hello_html_4c00acec.gif. Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции hello_html_24534335.gif и силе трения hello_html_m1a92890a.gif. Линия действия силы hello_html_24534335.gif неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы hello_html_24534335.gif обозначим x. (hello_html_m7e398aaa.gif). Составим три уравнения равновесия:


hello_html_71556971.gif

hello_html_m61631214.gif

hello_html_m292fb1d8.gif

Согласно закону Кулона hello_html_342f09fb.gif, т.е. hello_html_69ecb4eb.gif. (1)

Так как hello_html_m72f5d672.gif, то hello_html_m68338725.gif (2)

Проанализируем полученные результаты:

Будем увеличивать силу hello_html_4da4ecac.gif.

  1. Если hello_html_6d749720.gif, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности.

  2. Если hello_html_m74ffc385.gif, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины hello_html_e72ce90.gif , условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h. Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет).

Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим цилиндрический каток радиуса r на горизонтальной плоскости. Под катка и плоскости в месте их соприкосновения могут возникнуть реакции, препятствующие действием активных сил каток может катиться по плоскости. Из-за деформации поверхностей не только скольжению, но и качению.

Активные силы, действующие на катки в виде колес, обычно состоят из силы тяжести hello_html_m254dfd38.gif, горизонтальной силы hello_html_m6932138d.gif, приложенной к центру катка, и пары сил с моментом hello_html_53b7623d.gif, стремящейся катить колесо. Колесо в этом случае называется ведомо-ведущим. Если hello_html_4c2e9ad2.gif, а hello_html_m7454184a.gif, то колесо называется ведомым. Если hello_html_63df2044.gif, а hello_html_46fccb97.gif, то колесо называется ведущим.

Соприкосновение катка с неподвижной плоскостью из-за деформации катка и плоскости происходит не в точке, а по некоторой линии BD. По этой линии на каток действуют распределенные силы реакции. Если привести силы реакции к точке А, то в этой точке получим главный вектор hello_html_4e21f4a8.gif этих распределенных сил с составляющими hello_html_m41811a9d.gif (нормальная реакция) и hello_html_4de4848.gif (сила трения скольжения), а также пару сил с моментом hello_html_m6b22b3f2.gif.

Рhello_html_48a9cb87.png
ассмотрим равновесие катка. Система сил – плоская. Запишем уравнения равновесия системы сил.

(x) hello_html_241bde04.gif

(y) hello_html_m28bb9698.gif

(MA) hello_html_m7afa79ed.gif

Момент hello_html_m6b22b3f2.gif называется моментом трения качения. Наибольшее значение М достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующих качению.

1. Наибольший момент пары сил, препятствующих качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента hello_html_5797708c.gif пропорционально нормальной реакции hello_html_60b5ce73.gif.

hello_html_m54c0c15a.gif.

Коэффициент пропорциональности k называют коэффициентом трения качения при покое. Размерность k - это размерность длины.

3. Коэффициент трения качения k зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости.

Для вагонного колеса по рельсу hello_html_325ac335.gif мм.

Рассмотрим движение ведомого колеса. hello_html_4c2e9ad2.gif, а hello_html_m7454184a.gif.

Качение колеса начнется, когда выполнится условие hello_html_4874e19d.gif или hello_html_6cbb0e6b.gif

Скольжение колеса начнется, когда выполнится условие hello_html_14230f7.gif.

Обычно отношение hello_html_m6ed3b412.gif и качение начинается раньше скольжения.

Если hello_html_20c0a75b.gif, то колесо будет скользить по поверхности, без качения.





Список используемой литературы

  1. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов – М.: Высшая школа, 1989.

  2. Бабенков И.С. Основы статики и сопротивления материалов. М., 2008

  3. Краткий курс теоретической механики С.М. Тарг.

  4. Методические указания к решению задач по теоретической механике. В.Н. Адамов.

  5. Мовнини Н.С., Израелит А.Б., Рубашкин А.Г.. Основы технической механики. – Л.: Машиностроение, 1990.

  6. Никитин Г.М. Теоретическая механика для техникумов. – М.: Наука, 1988.

  7. Руководство к решению задач по теоретической механике. Т.Б. Айзенберг, И.М. Воронков, В.М. Осецкий.

  8. Смокотин Г.Я. Курс лекций по статике. Томск, 1984 Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М., 2006

  9. Теоретическая механика в примерах и задачах (том 1). М.И.Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.

  10. Теоретическая механика. В.М. Старжинский.



59


Краткое описание документа:

Учебное  пособие предназначено для студентов ОГОБУ СПО «ИТТриС», обучающихся по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог» и 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного». Данное пособие включает программу учебной дисциплины «Техническая механика», учебный материал по разделу статика, задачи и их решения, перечень литературы.

Теоретическая механика – это наука в которой изучаются механические движения вещественных форм материальных объектов.

Теоретическую механику называют еще классической механикой или механикой Ньютона. 

Автор
Дата добавления 25.03.2015
Раздел Другое
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров384
Номер материала 457379
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх