МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБДАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА»

 

 

 

 

 

 

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБДАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА»

 

 

 

 

 

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2013

 

УДК 681.142.37

ББК 73

Ш 29

 

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент  кафедры ТПиМП Б.В. Гаврилюк, ФГБОУ ВПО «ВСГАО».

 

            Автор-составитель: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС».

 

            Техническая механика: учебное пособие /  авт.-сост.: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС». - Иркутск: изд-во  Иркутский техникум транспорта и строительства, 2013 – 206с.

 

 

Учебное  пособие предназначено для студентов ОГОБУ СПО «ИТТриС» заочного отделения, обучающихся по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог». Данное пособие включает программу учебной дисциплины «Техническая механика», учебный материал по важнейшим темам курса, перечень литературы.

 

 

 

 

 

^{© ОГОБУ СПО «ИТТриС», 2013г.}

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.....................................................................................................................5

1.     Глава 1. Статика..........................................................................................................6

1.1  Основные понятия и аксиомы статики…………………………………………10

1.2  Плоская система сходящихся сил………………………………………………18

1.3  Пара сил…………………………………………………………………………..21

1.4  Центр тяжести…………………………………………………………………….25

2.      Глава 2. Кинематика……………………………………………………………..35

2.1 Кинематика точки…………………………………………………………………35

2.2  Кинематика тела………………………………………………………………….41

3.  Глава 3.  Динамика………………………………………………………………..45

3.1 Работа и мощность………………………………………………………………..49

3.2 Кинематическая энергия точки………………………………………………….52

4. Глава 4. Сопротивление материалов…………………………………………….54

4.1 Растяжение и сжатие……………………………………………………………...67

4.2 Механические состояния деформируемых тел………………………………..79

4.3 Прямой чистый изгиб стержня…………………………………………………...85

4.4 Прямой поперечный изгиб стержня……………………………………………..91

4.5 Составные балки и перемещения при изгибе…………………………………..97

4.6 Практические примеры расчета на сдвиг………………………………………99

4.7 Прочность при динамических нагрузках

4.8 Косой изгиб призматического стержня………………………………………...109

4.9 Расчет балки на упругом основании……………………………………………114

5.  Глава 5. Детали машин……………………………….…………………………135

5.1 Конические зубчатые передачи………………………………………………..152

5.2 Передачи вращательного движения……………………………………………160

5.3 Валы и оси………………………………………………………………………..163

5.4 Муфты……………………………………………………………………………171

5.5 Соединение деталей…………………………………………………………….177

5.6 Механизмы прерывистого одностороннего движения………………………191

Список литературы………………………………………………………………….198

Приложения…………………………………………………………………………199

 

 

 

 

 

 

 

Предисловие

В  подготовке  специалистов  технических  специальностей «Техническая механика»  характеризуется как общеобразовательная дисциплина, на которой основано несколько предметов специального профиля. В свою очередь «Техническая механика» базируется на высшей и прикладной математике, физике, теоретической механике, инженерной графике.

Теоретическая механика – это наука в которой изучаются механические движения вещественных форм материальных объектов.

Теоретическая механика изучает только вещественные формы материальных объектов. Элементарные частицы и различные поля не являются предметом изучения в теоретической механике.

Теоретическая механика является базой для других разделов механики (теории упругости, сопротивления материалов, теории механизмов и машин и пр.) и многих технических дисциплин.

Теоретическая механика делится на три части:  статику, кинематику и динамику.  Главной частью  является  динамика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Статика

Статика - это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах  и  изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием тела в статике понимается состояние его покоя по отношению к другим телам, принимаемым за неподвижные.

Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

1. Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. 

Вектор это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами.  Вектора можно складывать и умножать на число.

      сумма двух векторов есть вектор

       произведение вектора на действительное число есть вектор

      существует нулевой вектор

Рис.  1-1

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис. 1-1а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора.  Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.  1-1б)  получаем, что суммой  нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам  (см. рис.  1-2):

 

Рис.  1-2

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.

Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис.  1-3).

При повороте оси  Ox  правой системы координат на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

Рис. 1-3                                           Рис. 1-4

Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве  (см. рис.  1-4).

При повороте оси  Ox  правой системы координат вокруг оси Oz на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей  Ox,  Oy  и  Oz  образуют систему единичных  (или базисных)  векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке  O, можно представить как сумму    числа  (a_x , a_y , a_z )  -  это проекции вектора    на оси координат  (см. рис.  1-5).

 

 

Рис. 1-5

Длина (или модуль) вектора   определяется формулой  и обозначается    или 

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону  (см. рис.  1-6)

Рис. 1-6

Направляющими косинусами  cos(), cos(), cos()  вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей  Ox,  Oy  и  Oz  соответственно.

Любая точка пространства с координатами  (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

Координаты  (x, y, z)  это проекции вектора    на оси  координат.

4. Скалярное произведение двух векторов

Имеется два вектора   и .   ,       .

Результатом скалярного произведения двух векторов    и  является  скалярная величина (число).

Записывается как    или  . 

Рис. 1-7

Скалярное произведение двух векторов равно 

Свойства скалярного произведения:

5. Векторное произведение двух векторов

Имеется два вектора   и .  ,   .

Результатом векторного произведения двух векторов  и   является  вектор .  Записывается как    или  .

        

 

Рис. 1-8

Векторное произведение двух векторов это вектор  ,  перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы  с его конца  поворот вектора    к вектору    был виден против часовой стрелки.

Длина  (или модуль)  векторного произведения равна  .

Свойства векторного произведения:

Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом:

1.1 Основные понятия и аксиомы статики.

Материальным телом   называется некоторое количество вещества, которое заполняет какой-нибудь объем в пространстве. Возможны случаи, когда тело в тех или иных направлениях имеет весьма малые размеры по сравнению с размерами в других направлениях.

Материальной точкой называется простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы, и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механическим воздействием одного тела на другое называется такое воздействие, при котором пренебрегают изменениями в химической структуре тела и его физическом состоянии. Если тело испытывает механическое воздействие со стороны других материальных тел, то оно может изменять свое движение в пространстве или оставаться в покое. Механическое воздействие может происходить как при соприкосновении тел, так и на расстоянии (притяжение, отталкивание).

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.

Cила - это основная количественная мера механического воздействия одного тела на другое, которая характеризует его интенсивность и направление. Природа силы может быть различной. Это могут быть гравитационные, электромагнитные, упругие силы или силы давления. Теоретическая механика не интересуется природой сил.

Сила определяется точкой приложения, числовым значением и направлением действия, т.е. является векторной величиной.

Модуль силы находят путем ее сравнения с силой, принятой за единицу. Для статического измерения силы служат приборы, называемые  динамометрами.

Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора (например,    или  ).  Для выражения числового значения силы или ее модуля используется знак модуля от вектора или те же буквы, но без знака вектора (например,   и    или    и  ).

Системой сил называется группа сил, которые действуют на рассматриваемое тело или (в общем случае) на точки механической системы. Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской, а если эти линии действия не лежат в одной плоскости, - то система сил называется пространственной.

Системой сил эквивалентной нулю (или уравновешенной системой сил)  называется такая система сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

Две системы сил называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях.

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называется сила, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующую силу обозначают обычно

Уравновешивающей силой рассматриваемой системы сил называется сила, добавление которой к заданной системе сил дает новую систему, эквивалентную нулю. Уравновешивающая сила равна по модулю равнодействующей и противоположна ей по направлению.

Сила, приложенная к телу в одной его точке называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема, данной части поверхности тела или данной части кривой, называются распределенными. Понятие о сосредоточенной силе является условным. Силы, которые в механике рассматриваются как сосредоточенные, представляют собой равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

Аксиомы статики

Аксиома о равновесии двух сил. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы  равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.   Рис.  2-1

Аксиома о добавлении (отбрасывании) уравновешенной системы сил. Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) уравновешенную систему сил. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил эквивалентна первоначальной.

Аксиома параллелограмма сил. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.  

 

 

 

Рис.  2-2

Эта аксиома допускает и обратное утверждение:  Силу можно разложить бесчисленным множеством способов на две силы, приложенные в любой точке линии действия данной силы.

Аксиома о равенстве действия и противодействия.  При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

 

Рис. 1-5

Если к данному телу приложена сила воздействия   от другого тела, то от данного тела к другому телу будет приложена сила  , равная и прямо противоположная силе  . Силы приложены в одной геометрической точке, но к разным телам.

Свободным твердым телом называется тело, имеющее возможность получать любое движение из данного положения, для чего необходимо приложить соответствующую силу.

При решении большинства задач механики приходится иметь дело с телами несвободными, т.е. лишенными возможности перемещаться  в направлении действия приложенных к ним активных сил.  Тела, ограничивающие движение рассматриваемого тела, называются  связями.  Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении называется силой реакции  (противодействия)  этой связи  или просто реакцией связи.

Аксиома о связях.  Эффект от действия связей такой же, как от действия определенных, дополнительных сил, которые могут быть приложены к свободному телу вместо связей.

         Аксиому о связях называют также принципом освобождаемости от связей.  Согласно этой аксиоме, не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией связи.

Силы, которые могут сообщать свободному телу движение, называются активными силами. Приложив к телу, кроме активных сил, реакции связей, можно рассматривать тело как свободное.  Активные силы  и  силы реакции называются внешними силами.

         Пусть, например, на гладкой неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар. Плоскость, ограничивающая движение шара, является для него связью. Если мысленно освободить шар от связи, то для удержания его в покое к нему в точке касания с плоскостью нужно приложить силу  , равную по модулю весу шара   и противоположную ему по направлению. Сила   и есть реакция плоскости (реакция связи). Шар, освобожденный от связи, будет свободным телом, на которое действует задаваемая (активная) сила  и реакция плоскости  .

 

 

     

Рис.  2-4

Аксиома отвердевания.  Равновесие механической системы не нарушается от наложения новых связей; в частности, равновесие механической системы не нарушится, если все части системы связать между собой неизменно, жестко.

Теорема о переносе силы вдоль линии действия. Действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль своей линии действия.

 

      Рис.  2-5

Теорема о трех силах. Если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пресекаются в одной точке.

следовательно силы пересекаются в одной точке.

Рис.  2-6

Соединение тел между собой

Отдельное тело может быть связано с другими телами разными способами.

Опирание на поверхность. Если соприкасаются абсолютно гладкие тела, то силы взаимодействия между ними направлены по общей нормали к их поверхностям в точке соприкосновения.

Рис.  3-1

Связь с помощью нитей (нить, цепь, трос)

Связь, осуществляемая в виде гибкой нерастяжимой и невесомой нити, не дает удаляться телу от точки подвеса нити вдоль нити.  Поэтому реакция натянутой нити также направлена вдоль нити,  к точке ее подвеса.

Рис.  3-2

Освободим гирю от связи разрезав (мысленно) нить в любом месте и добавив силу реакции связи, которую направим вдоль нити вверх (обозначим ее  ). Гиря становится свободным твердым телом на которое действуют две силы и при этом оно находится в покое.  Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы   и   равны по величине и противоположны по направлению.

Вырежем (мысленно) кусочек нити в любом месте и добавим в местах разреза  силы реакции связи (обозначим их  и ).  Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы   и равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Реакция связи натянутой нити  направлена вдоль нити

Соединение тел с помощью шарниров.

Шарниром называется устройство, связывающее тела и позволяющее  совершать вращение одного тела относительно другого.

Цилиндрический шарнир допускает вращение тел вокруг одной оси (и скольжение вдоль нее).

Шарнирно-неподвижная опора препятствует любому поступательному движению, но дает возможность свободно вращаться вокруг оси шарнира.

Реакция    шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира  О  и лежит в плоскости перпендикулярной к оси шарнира, но ее модуль и направление неизвестны.

Шарнирно-подвижная опора (шарнирно-неподвижная опора поставленная на катки) не препятствует перемещению параллельно опорной поверхности. Если не учитывать трения катков, то линия действия реакции такой опоры проходит через центр шарнира перпендикулярно опорной поверхности. Неизвестен только модуль этой реакции.

Шаровой шарнир.  Шаровым шарниром называется устройство, позволяющее сочлененным телам, имеющим общую точку сочленения, совершать вращение в пространстве относительно друг друга вокруг  общей точки. Шаровой шарнир состоит из сферической чаши, находящейся на одном теле, и сферического выступа того же диаметра на другом. Реакция в шаровом шарнире может иметь любое направление в пространстве.

Жесткая заделка.

В случае заделки одного тела в другое реакция связи состоит из силы    и пары сил с моментом  .  Величина и направление реакции определяется из общих уравнений равновесия твердого тела.

 

Пример 1.  На невесомую трехшарнирную арку действует горизонтальная сила  .  Определить линию действия реакции    (реакции связи в точке А).

Решение:  Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках  В и С приложим силы реакции связей  и .  Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы   и равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.  Таким образом направление силы   нам известно  (вдоль линии  ВС).

Рассмотрим левую часть арки отдельно.  В точках  А и С приложим силы реакции связей  и .  Сила ,  действие равно противодействию.  На тело действуют три силы, направления двух сил  ( и .) известно. Согласно теореме о трех силах  линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке.  Следовательно, сила   направлена вдоль линии  AD.

1.2 Плоская система сходящихся сил

Системой сходящихся сил (или пучком сил)  называется такая система сил,  линии действия которой пересекаются в одной точке – центре пучка.

Равнодействующая системы сходящихся сил равна векторной сумме слагаемых сил и определяется замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах как на составляющих. Точка приложения равнодействующей силы совпадает с точкой пересечения линий действия сил.

Проекции равнодействующей силы на оси координат равны алгебраической сумме проекций составляющих сил на эти оси.

                       

 

Рис. 3-3

 

Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной форме

Для равновесия сходящейся системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сила была равна нулю.

Условия равновесия системы сходящихся сил в алгебраической форме

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил,  приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю.

                           

Момент силы относительно точки

Если под действием приложенной силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторой точки,  то  для того, чтобы охарактеризовать вращательный эффект силы, необходимо ввести новое понятие - момент силы относительно точки.

Рассмотрим силу  ,  приложенную к телу в точке А.  Из некоторой точки  О  опустим перпендикуляр на линию действия силы  .

Плечом  h  силы    относительно точки  О называется кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы.

Через  силу   и точку О можно провести плоскость.  Сила   пытается вращать тело вокруг оси, которая проходит через точку О  и  которая перпендикулярна плоскости в которой лежит сила.  Точка О называется моментной точкой.

Моментом  силы   относительно точки О называется вектор  , приложенный в этой точке и равный векторному произведению радиус-вектора , соединяющего эту точку с точкой приложения силы, на вектор силы  .     Рис. 3-4

Модуль вектора   равен произведению модуля силы  на ее плечо  .  Момент  силы   относительно точки О направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка (радиус-вектор), в том направлении откуда видно стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки. Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Если сила   задана своими проекциями     на оси координат  и даны координаты    точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента на оси координат равны:

Момент силы относительно оси

К твердому телу в точке  А  приложена сила  . Проведем в пространстве ось (например  z).  На оси z произвольно выберем точку  О .  Соединим точку О  с точкой  А радиус-вектором. Через точку О  проведем плоскость П  перпендикулярную оси z. Спроектируем вектора    и   на плоскость П.  Рис. 3-3

Моментом силы    относительно  оси называется вектор равный моменту проекции силы    на плоскость  П относительно точки  О  пересечения оси z с плоскостью  П.    

Свойства момента силы относительно оси:

1.                Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.

2.     Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы  пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Связь момента силы относительно оси с моментом силы

относительно точки.

Проведем через точку О, где задан момент силы относительно точки  декартовы оси  координат x,  y,  z . Момент силы относительно точки можно представить в виде суммы трех векторов  .  Эти вектора являются моментами силы относительно осей  x,  y,  z  соответственно.         

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки на оси.

Формулы для моментов силы относительно осей координат.

Если сила   задана своими проекциями     на оси координат  и даны координаты    точки приложения этой силы, относительно осей координат, то моменты силы относительно осей координат вычисляется следующим образом:   

1.3 Пара сил.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.

Плечом пары сил  d  называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Моментом пары сил называется вектор  , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. 

Рис. 4.1

Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.

Доказательство:   Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы  (Смотри Рис. 4.2). ,

Что и требовалось доказать.

Рис. 4.2

Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Теорема об эквивалентности пар сил.  Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

Доказательство:   Пусть на твердое тело действует пара сил . Перенесем силу  в точку , а силу  в точку .   Проведем через точки    две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары.  Соединим точки   отрезком прямой и разложим силы  в точке  и  в точке  по правилу параллелограмма.

     Так как  ,  то    и  

Поэтому    эквивалентна системе ,  а эта система эквивалентна системе ,  так как   эквивалентна нулю. Таким образом мы заданную пару сил  заменили другой парой сил . Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.

Момент исходной пары сил  численно равен площади параллелограмма , а  момент  пары сил  численно равен площади параллелограмма .  Но  площади этих параллелограммов равны, так как площадь  треугольника    равна  площади  треугольника  .

Что и требовалось доказать.

Выводы:

1.                Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

2.                У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.

Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость.   Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.

Доказательство:   Пусть на твердое тело действует пара сил  в плоскости . Из точек приложения сил А  и  В  опустим перпендикуляры на плоскость  и в точках их пересечения с плоскостью   приложим две системы сил   и ,  каждая из которых эквивалентна нулю.

                           

Сложим две равные и параллельные силы   и .  Их равнодействующая   параллель-на этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка   в точке О.

Сложим две равные и параллельные силы   и .  Их равнодействующая   параллельна этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка   в точке О. Так как ,  то система сил   эквивалентна нулю и ее можно отбросить. Таким образом пара сил  эквивалентна паре сил , но лежит в другой, параллельной плоскости. Что и требовалось доказать. Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело,  есть свободный вектор. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны,  если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.

Теорема о сложении пар сил.   Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.              

Доказательство:  Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях.  Пара сил  в плоскости    характеризуется моментом  , а пара сил  в плоскости    характеризуется моментом  .

Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей.  Складываем силы, приложенные в точке А  и в точке В,      .  Получаем пару сил   .

Что и требовалось доказать.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум  моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.  

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы  момент  эквивалентной пары сил равнялся нулю.

Теорема.  Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.      

1.4 Центр тяжести

Приведение силы к заданному центру.

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить  и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.

 

Теорема о параллельном переносе силы. Силу, приложенную к абсолютно  твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится. Пусть сила    приложена в точке  A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы.   Полученная система трех сил представляет собой силу   равную   , но приложенную в точке В и пару   с моментом   . Процесс замены силы  силой  и парой сил  называется приведением силы   к заданному центру  В.

Приведение системы сил к заданному центру.

Основная теорема статики (Пуансо). Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру. Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.  Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

, , , ,

,

Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов

главного вектора и главного момента

                   

Условия равновесия системы сил.

Векторная форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.   ,       

Алгебраическая форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

             

Условия равновесия пространственной системы

параллельных сил.

На тело действует  система параллельных сил. Расположим ось Oz  параллельно силам. Уравнения           Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.              -  проекция силы на ось Oz.

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.

Условия равновесия плоской системы сил.

На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox  и  Oy  в плоскости действия сил. Уравнения           

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся  в плоскости действия сил также была равна нулю.      

Теорема о трех моментах.

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных  в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой,  были равны нулю.

         

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных. В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных. Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия  для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми. В противном случае задачи статически неопределимы.

Равновесие системы тел.

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом. Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил. Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы. При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил.   Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил.

Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела  I     .

для тела  II            

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем          . Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Центр параллельных сил.

Для системы параллельных сил введем понятие центра параллельных сил. На тело действует система параллельных сил  , приложенных в точках  .  Выберем оси координат так, чтобы ось  Оz  была параллельна силам.

 

,    ,       

  -  проекция силы на ось Oz.

;  ;

 

Точка  С  с координатами    называется центром параллельных сил.   -  проекция силы на ось Oz.

Свойства центра параллельных сил:

1.     Сумма моментов всех сил    относительно точки  С  равна нулю 

2.     Если все силы повернуть на угол   , не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой С.

Параллельные силы распределенные по отрезку прямой.

а) общий случай

 - интенсивность распределенной силы  [Н/м],

 - элементарная сила.

l – длина отрезка

Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности  q(x)  эквивалентна сосредоточенной силе  .  Сосредоточенная сила прикладывается в точке  С  (центре параллельных сил)  с координатой 

б) постоянная интенсивность

; ;

 

 

в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону

; ;

 

Центр тяжести.

Центром тяжести тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным  элементарным частицам тела. Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

              

    где

 - вес единицы объема тела (удельный вес)    -  Вес всего тела.

Для однородного твердого тела    и формулы получают вид:

                      

   -  Объем всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

        

где    - вес единицы  площади тела,             -  Вес всего тела.

Для однородной поверхности    и формулы получают вид:

; ;          -  Площадь поверхности.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

       

где     - вес единицы  длины тела,    -  Вес всего тела.

Для однородной линии    и формулы получают вид:

;  ;  ;         -  Длина линии.

Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул,  можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия.   Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение.   Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

;  ;  ;  

 

3. Дополнение.   Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

        

       

 

Центр тяжести дуги окружности

 

           

    

Для дуги равной половине окружности  ,  ,    ,  

Центр тяжести площади сектора круга

           

      

Для площади равной половине круга  ,  ,    ,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Кинематика.

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором механическое движение изучается только с его геометрической стороны, без учета взаимодействий, определяющих это движение.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве в функции времени. Положение тела обычно определяется по отношению к некоторой системе отсчета, неизменно связанной с др. телом, например, землей.

Время, как и пространство, существует объективно, независимо от нашего сознания. Время непрерывно и бесконечно; в классической механике оно принимается универсальным, т.е. одинаковым для всех систем отсчета.

Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t₀ = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени выражает собой число секунд, прошедших от начального момента времени до данного. Число секунд между двумя последовательными моментами времени называется промежутками времени.

В кинематике рассматриваются две основные задачи:

1)                установление математических способов задания движения точки (тела) относительно выбранной системы отсчета, или установление закона движения точки (или тела);

2)                определение по заданному закону движения тела всех кинематических характеристик этого движения (траекторий, скорости и ускорения точки или линейных скоростей и ускорений точек тела, угловых скоростей и угловых ускорений тела).

Кинематика делится на две части: кинематика точки и кинематика твердого тела.

2.1 Кинематика точки

 

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией точки. Если траектория – прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория кривая линия – то криволинейным.

Способы задания движения точки

Движение считается заданным, если указан способ, позволяющий определить ее положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

1. Естественный способ. При этом способе необходимо иметь заданными траекторию движущейся точки и уравнение движения по траектории в виде S=f(t). Помимо этого должны быть заданными начало отсчета (точка 0) криволинейной координаты «S», положительное и отрицательное направления отсчета этой координаты. Совокупность этих данных полностью определяет положение точки в пространстве в любой момент времени.

2. Координатный способ. В этом случае задаются уравнения движения точки в координатной форме: X = f₁(t), Y = f₂(t), Z = f₃(t). Приведенные уравнения представляют собой параметрические уравнения траектории точки, в которых роль параметра играет время «t». Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо из них исключить параметр «t»

 3. Векторный способ. При этом способе положение движущейся точки определяется в каждый момент времени концом переменного радиуса-вектора, заданного векторным уравнением движения точки, т.е. = (t). Очевидно, что траектория точки представляет собой геометрическое место точек концов радиуса-вектора .

Скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения

Скорость точки – это величина, характеризующая как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Поскольку она определяет направление перемещения точки, скорость является величиной векторной. Пусть за время Δt радиус-вектор точки М изменился на величину Δ. Тогда средней скоростью называется векторная величина                                                                                                                                                                                  (2.1)

Этот вектор направлен так же, как и . Предельное значение , при стремящемся к нулю , определит мгновенное значение скорости в данный момент времени      (2.2)

При стремлении  к нулю хорда ММ₁, а значит и вектор  поворачивается вокруг точки М, приближаясь к касательной к траектории в точке М и в пределе, совпадая с ней. Поэтому вектор  направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.  В общем случае криволинейного движения вектор скорости изменяется по величине и направлению в функции времени. Следовательно, за время  вектор  можно представить в виде . Ускорение точки в криволинейном движении характеризует быстроту изменения вектора  по величине и направлению. Тогда средняя величина ускорения определится , а мгновенное значение , или

   (2.3)

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

Пусть заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат , , . Положение точки можно определить и через радиус-вектор . Он может быть представлен с помощью единичных векторов и координат в виде

                                               (2.4)

Производная по времени от (2.4) будет

                                             (2.5)

Следовательно,

                                                              (2.6)

Модуль скорости определяется формулой

                                                      (2.7)

Направление вектора скорости устанавливается согласно направляющих косинусов

                                  (2.8)

 Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки. По  аналогии, ускорение

                                          (2.9)

Установлено, что ускорение точки есть производная от скорости по времени или вторая производная от радиуса-вектора  по времени. Поэтому

                                                (2.10)

         Модуль ускорения вычисляется по формуле

                                               (2.11)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами                                         (2.12)

Скорость точки при естественном способе задания движения

При заданной траектории точки и законе движения ее по этой траектории в виде , численная величина средней скорости будет равна            (2.13)

Переходя к пределу, найдем значение скорости точки в данный момент времени «t»      (2.14)

Таким образом, величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния «S» (криволинейной координаты) по времени «t». Формула (2.14) определяет значение «» с определенным законом: если >0, то вектор скорости направлен в положительном направлении отсчета расстояния «S», а если <0, то в отрицательную сторону. Следовательно, величина скорости определяет одновременно модуль вектора скорости и сторону, в которую он направлен. Направлен вектор скорости по касательной к траектории.

 

 

 

 

 

Естественные координатные оси

Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость – плоскость, проходящую через касательную к кривой в данной ее точке М и другую, бесконечно близкую к ней точку кривой.

 

 

 

 

 

 

В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех ее точек является плоскость, в которой лежит сама кривая. Из рис. 2.3 следует:

-  плоскость, перпендикулярная к касательной, называется нормальной плоскостью;

-      

Рис 2.3

пиния пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется главной нормалью кривой;

-  отрезок, перпендикулярный к главной нормали, называется бинормалью кривой.

Приведенные понятия и рис. 2.3 позволяют дать определение естественным координатным осям.

Естественными координатными осями называются три взаимноперпендикулярных оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты (т.е. положительного отсчета «S»); главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали так же, как и ось OZ направлена по отношению к осям OX и OY.  Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении точки М по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимноперпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.

Разложение вектора ускорения по естественным координатным осям. Частные случаи при различных видах движения точки

Вектор полного ускорения точки М разложим на составляющие по естественным осям координат . Для соприкасающейся плоскости = 0, так как = 0. Поэтому                                              (2.15)

Так как вектор скорости точки М всегда направлен по касательной к траектории, то      (2.16).  Здесь  -  величина переменная (модуль постоянный, равен 1, а направление переменное, т.к.  всегда касательный к кривой). Возьмем производную по времени для выражения (2.16)

   (2.17)  или (приводится зависимость без доказательства)

 (2.18).  Здесь  - радиус кривизны кривой траектории в момент времени «t». Первое слагаемое есть не что иное как составляющая полного ускорения точки по координатной оси «касательная» и называется вектором касательного (тангенциального) ускорения                                 (2.19).   По модулю вектор касательного ускорения равен абсолютному значению производной от скорости по времени, т.е.        (2.20)

Вектор касательного ускорения всегда направлен по касательной к траектории движения точки в сторону вектора скорости (ускоренное движение точки), или в противоположную сторону (замедленное движение точки).  Второе слагаемое  представляет собой составляющую полного ускорения точки, направленного по оси «главная нормаль» к центру кривизны и называется нормальным ускорением. По величине это ускорение равно                                                        (2.21).  Следовательно, полное ускорение точки в криволинейном движении есть геометрическая сумма касательного и нормального ускорений. Значит             или                                (2.22).  Вектор  всегда лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Частные случаи

1. Прямолинейное движение точки. В этом случае  ,так как . Тогда полное ускорение по величине и направлению равно  .

2. Равномерное криволинейное движение точки. При таком движении , следовательно . Поэтому  и всегда направленно по оси “главная нормаль ” к центру кривизны кривой.

Установим закон этого движения. Известно , или , откуда ,                (2.23)

3.     Равномерное прямолинейное движение точки. В этом случае .

Из рассмотренного выше материала можно сделать вывод:

- касательное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости только по величине;

- нормальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости только по направлению.

2.2  Кинематика твердого тела

Используя полученные сведения из кинематики точки, перейдём к изучению твердого тела. Абсолютно твердым телом  называют такое материальное тело, расстояние между двумя любыми точками которого остаётся неизменным. Вначале рассмотрим простейшие случаи движения тела: поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси. Эти движения твёрдого тела, помимо непосредственного практического значения, будут рассматриваться как составляющие в случае сложного движения.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами этого движения могут быть: движение кузова автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги, движение корпуса угольного комбайна вдоль лавы с учетом гипсометрии пласта, движение ползуна кривошипно-шатунного механизма и т. д. Поступательное движение твердого тела может быть прямолинейным и криволинейным.  В основу теории поступательного движения положена следующая теорема: точки тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории (при наложении совпадающие) и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.    

= const, по модулю и направлению (твердое тело, поступательное движение).

= +            (3.1)                                       = +          (3.2)

, поэтому при наложении траектория АА совпадает с ВВ.

 

 

 

 

 

Возьмём производные =. Здесь ,  , . Следовательно,    ==      (3.3).   Взяв производную от (3.3), получим                                                        (3.4)

Вращательное движение твердого тела

Вращательным  движением твердого тела называется такое движение, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Расстояние от любой точки тела до оси называется радиусом точки.

Уравнение вращательного движения, угловая скорость и угловое ускорение

    Положение тела в любое время определяется углом “”, изменяющимся с течением времени. Следовательно, закон вращательного движения тела    = f (t)     (3.5).   Угол поворота измеряется в радианах. Он будет положительным, если поворот тела против хода часовой стрелки наблюдается с положительного конца оси АZ, если наоборот - угол отрицательный. 

 

Средней угловой скоростью для промежутка времени Dt будет отношение приращения угла поворота  к этому промежутку времени, т. е. . Тогда мгновенное значение угловой скорости определяется . Значит     (3.6).  Если угловая скорость задается через частоту вращения тела «n» (об/мин), тогда она определяется     (3.7). Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени. Поэтому . Следовательно, угловое ускорение тела в данный момент времени «t» определяется  . Значит,                                                   (3.8). Угловая скорость и угловое ускорение являются основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела. Эти величины можно изобразить в виде векторов, направленных вдоль оси вращения тела (см. рис.3.3)

При ускоренном вращательном движении тела направления стрелок (вдоль оси вращения) векторов  и совпадают (а). В случае разного (б) направления стрелок векторов  и , вращательное движение тела замедленное.

 

 

Равномерное и равнопеременное вращение твердого тела

1.                     Если твердое тело вращается с , т. е. (), то такое движение называется равномерным. Так как , то интегрируя, получим       (3.9). Выражение (3.9) есть закон равномерного вращательного движения.

2.                     Если твердое тело вращается с , то такое движение называется равнопеременным. Известно . Интегрируя, получим      (3.10). Приведенная зависимость позволяет определить угловую скорость в любое время «t». Так как , то . После интегрирования получим закон равнопеременного движения     (3.11). В формулах (3.10) и (3.11) знак плюс принимается в случае ускоренного вращение, при замедленном – знак минус.

Глава 3. Динамика

В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил.  Простейшим материальным объектом является материальная точка.

Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов. Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

Аксиомы классической механики

Первая аксиома или закон инерции.   Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.

Материальная точка, на которую действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.

Равномерное и прямолинейное движение точки называется движением по инерции.

Вторая  аксиома или основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе.

Положительный коэффициент пропорциональности  m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется массой точки.

     Рис. 1-1

Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса считается постоянной величиной и зависит только от самой материальной точки. Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.

Третья аксиома или закон о равенстве сил действия и противодействия.  Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению.              

Рис. 1-2

Четвертая аксиома или закон независимого действия сил. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

              

Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов. 1 кГ = 9.8 Н,                36 км/час = 10 м/сек,              1 Т.е.м. = 9.8 кг

Дифференциальные уравнения движения точки.

Основное уравнение динамики     можно записать так      или  так   . Проецируя уравнение    на оси координат получаем

          так как           ,         ,         ,         то            

Частные случаи:

А) Точка движется в плоскости.  Выбираем в плоскости координаты xOy получаем                   

Б) Точка движется по прямой. Выбираем на прямой координату Ox получаем                       

Основное уравнение динамики       можно спроецировать на естественные подвижные оси.

                           

Эта форма уравнений удобна для исследования некоторых случаев полета снарядов и ракет.

Основные задачи динамики

Первая или прямая задача:

Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу.

m                                    

Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси координат

                   

Зная проекции силы на оси координат, определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:   

Пример 1:  Движение точки в плоскости xOy определяется уравнениями:

;    ;    ;         время.

                                     Решение:    ;

;

;      .

   -  Уравнение траектории в координатной форме  (эллипс).

; ;

Вторая или обратная задача:

Известна масса точки и действующая на точку сила, необходимо определить закон движение этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в декартовой системе координат. Сила зависит от времени, координат точки, ее скорости и других причин.

,        ,       

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных: 

Каждая из координат  движущейся точки после интегрирования системы уравнений зависит от времени    и всех шести произвольных постоянных, т.е.

; ;

К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия:

,        ;  ,       

Используя эти начальные условия можно получить шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных  .

Основные виды прямолинейного движения точки

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Оx имеет вид: ,     Начальные  условия     ,      .

Наиболее важные случаи.

1. Сила постоянна.                        . Имеем равнопеременное движение (движение с постоянным ускорением)

2. Сила зависит от времени.               

           

3. Сила зависит от координаты или скорости. Силу, зависящую от координаты  х  , создают упругие тела при их деформации (например, сжатая или растянутая пружина). . Сила, зависящая от скорости движения , это сила сопротивления (воздуха, воды и т.д.). В этих случаях решение задачи упрощается.

3.1 Работа и мощность.

Для решения многих задач динамики  вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.

Количеством движения материальной точки  называется вектор, равный произведению массы точки    на ее скорость .              

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки. Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны: ,  ,  Единицей измерения количества движения в СИ является –  

Элементарный и полный импульс силы.

Действие силы  на материальную точку в течении времени    можно охарактеризовать элементарным импульсом силы    .  Полный импульс силы     за время  , или  импульс силы   , определяется по формуле  .  (Полный интеграл за время  от элементарного импульса). В частном случае, если сила    постоянна и по величине , и по направлению (),   . Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:                    Единицей измерения импульса в СИ является –  

Теорема об изменении количества движения точки.

Теорема.  Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. Запишем основной закон динамики в виде  .  Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.  Тогда  , (*) что и требовалось доказать. В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:                              

Теорема импульсов (в дифференциальной форме).  Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку. Умножим левую и правую части уравнения (*) на  и получим                   (**)

В проекциях на координатные оси получаем:

, , .

Теорема импульсов (в интегральной форме).  Изменение  количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени. Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до    получаем:

В проекциях на координатные оси получаем:

, ,

Работа силы.  Мощность.

Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

. ,

Единицей измерения работы в СИ является – . При                 при   . Частные случаи:    

Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы.  Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.  

Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.  . Если сила   задана своими проекциями () на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями () на оси координат, то элементарная работа силы равна:  (аналитическое выражение элементарной работы). Работа силы на любом конечном перемещении    равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.  ,         

Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.  Единицей измерения мощности в СИ является – . В технике за единицу силы принимается  .

Пример 1.   Работа силы тяжести.

      Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения     в положение  . Выберем оси координат так, чтобы ось   была направлена вертикально вверх. 

Тогда, ,   ,       и

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус  произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

 

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема.  Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Доказательство: Основной закон динамики   . Умножим левую  и правую части уравнения скалярно на   справа, получаем   .   - элементарная работа.  - дифференциал от кинетической энергии.    ,              что и требовалось доказать.

Теорема.  Производная по времени от кинетической энергии точки равна  мощности, подводимой к этой точке.

Теорема.  Изменение  кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Принцип Даламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид: ,  - равнодействующая активных сил,  - равнодействующая сил реакции связей.

Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. . Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид:      

Принцип Даламбера.  При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил. Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

Глава 4. Сопротивление материалов.

Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые, как говорят, надежные размеры деталей машин, различных конструкций и сооружений.  Основные понятия сопротивления материалов опираются на законы и теоремы общей механики и в первую очередь на законы статики, без знания которых изучение данного предмета становится практически невозможным. 

В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, где наиболее существенными являются свойства деформируемых тел, а законы движения тела, как жесткого целого, не только отступают на второй план, но в ряде случаев являются попросту несущественными. Сопротивление материалов имеет целью создать практически приемлемые простые приемы расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость довести решение каждой практической задачи до некоторого числового результата заставляет в ряде случаев прибегать к упрощающим гипотезам – предположениям, которые оправдываются в дальнейшем путем сопоставления расчетных данных с экспериментом. 

Прочность – это способность конструкции выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость – способность конструкции к деформированию в соответствие с заданным нормативным регламентом.

Деформирование – свойство конструкции изменять свои геометрические размеры и форму под действием внешних сил

Устойчивость – свойство конструкции сохранять при действии внешних сил заданную форму равновесия.

Надежность – свойство конструкции выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных нормативных пределах в течение требуемого промежутка времени.

Ресурс – допустимый срок службы изделия. Указывается в виде общего времени наработки или числа циклов нагружения конструкции.

Отказ – нарушение работоспособности конструкции.

Опираясь на вышесказанное, можно дать определение прочностной надежности. Прочностной надежностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции.

На рис.1 приведена структура модели прочностной надежности. Она включает известные модели или ограничения, которые априорно накладываются на свойства материалов, геометрию, формы изделия, способы нагружения, а также модель разрушения. Инженерные модели сплошной среды рассматривают материал как сплошное и однородное тело, наделенное свойством однородности структуры. Модель материала наделяется свойствами упругости, пластичности и ползучести.

Рис.1. Структура модели прочностной надежности элементов конструкций

Упругостью называется свойство тела восстанавливать свою форму после снятия внешних нагрузок.

Пластичностью называется свойство тела сохранять после прекращения действия нагрузки, или частично полученную при нагружении, деформацию.

Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформацию при постоянных внешних нагрузках.

Основными моделями формы в моделях прочностной надежности, как известно, являются: стержни, пластины, оболочки и пространственные тела (массивы), рис.2.

Рис.2. Основные модели формы в моделях прочностной надежности: а) стержень, б) пластина, в) оболочка

Модели нагружения содержат схематизацию внешних нагрузок по величине, характеру распределения (сосредоточенная или распределенная сила или момент), а также воздействию внешних полей и сред. Внешние силы, действующие на элемент конструкции, подразделяются на 3 группы: 1) сосредоточенные силы, 2) распределенные силы, 3) объемные или массовые силы. Сосредоточенные силы — силы, действующие на небольших участках поверхности детали (например давление шарика шарикоподшипника на вал, давление колеса на рельсы и т.п.). Распределенные силы приложены значительным участкам поверхности (например давление пара в паропроводе, трубопроводе, котле, давление воздуха на крыло самолета и т.д. Объемные или массовые силы приложены каждой частице материала (например силы тяжести, силы инерции).

 После обоснованного выбора моделей формы, материала, нагружения переходят к непосредственной оценке надежности с помощью моделей разрушения. Модели разрушения представляют собой уравнения, связывающие параметры работоспособности элемента конструкции в момент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность. Эти уравнения (условия) называют условиями прочности. Обычно рассматриваются в зависимости от условий нагружения четыре модели разрушения:

• статического разрушения,
• длительно статического разрушения,
• малоциклового статического разрушения,
• усталостного разрушения.

При малом числе циклов (N<10²) развиваются значительные пластические деформации (статическое разрушение), при большом числе циклов (N>10⁵) пластические деформации отсутствуют (усталостное разрушение). В промежуточной области (10²<N<10⁵) разрушение носит смешанный характер (малоцикловое разрушение). Если на элемент конструкции действует высокая температура (для алюминиевых сплавов свыше 200 C^o, для стальных и титановых сплавов свыше 400 C^o, для жаропрочных сплавов свыше 600 C^o), но в этом случае рассматривается так называемая длительная прочность материала.  Таким образом, сопротивление материалов зависит не только от величин действующего усилия, но и от длительности самого воздействия. 

Метод сечений для определения внутренних усилий

Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза). Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле. На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:   (1)

Рис.1. Метод сечений. Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть.  При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:

	(2)

где х₀, у₀, z₀ — базовая система координат осей.

Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’} и {S"}- внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий. При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:

Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:

{S^’} = – {S^”} (3)

Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия. Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А^', точку С^', систему внутренних усилий для левой части {S^’} сводим к главному вектору  и главному моменту  внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С" (рис.1 б,в).

{S’} ~ {R’,L’0}; {S"} ~ { R”,L”0},

(4)

Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:

R’ = – R”	(5)
L’0 = – L”0

Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части. График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций. Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. В центрах масс исследуемых сечений С' или С" зададимся соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0  х’₁  а, а  x’₂  b и т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых участков бруса. Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора  или  и главного момента  или  на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):

{N’, Q’y, Q’z} {M’x, M’y, M’z}	(6)
{N”, Q”y, Q”z} {M”x, M”y, M”z}

При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:

N_x — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;

М_x — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;

Q_z, Q_у — поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,

М_у, М_z — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.

Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:

{P1, P2, P3, …, N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, M’x, M”x,
M’y, M”y, M’z, M”z, …, Pn-1, Pn} ~ 0	(7)

С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:

{N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, М’x, M”x, M’y, M”y, М’z, M”z}~0

(8)

Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:

1. {N’, N”} ~ 0 > N’ = – N”	(9)
2. {Q’y, Q”y} ~ 0 > Q’y = – Q”y
3. {Q’z, Q”z} ~ 0 > Q’z = – Q”z
4. {М’x, M”x} ~ 0 > М’x = – M”x
5. {M’y, M”y} ~ 0 > M’y = – M”y
6. {М’z, M”z} ~ 0 > М’z = – M”z

Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой. Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей в следящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной части соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;

1. ix = N + P1x + P2x + … + Pkx = 0 > N	(10)
2. iy = Qy + P1y + P2y + … + Pky = 0 > Qy
3. iz = Q + P1z + P2z + … + Pkz = 0 > Qz
4. x (Pi) = Mx + Mx(Pi) + … + Mx(Pk) = 0 > Mx
5. y (Pi) = My + My(Pi) + … + My(Pk) = 0 > My
6. z (Pi) = Mz + Mz(Pi) + … + Mz(Pk) = 0 > Mz

Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у" т" заменены единой оxуz.   Эпюры внутренних усилий позволяет визуально найти положение опасного сечения, где действуют наибольшие по модулю внутренние усилия. В этом сечении при прочих равных условиях наиболее вероятно разрушение конструкции при предельных нагрузках.

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

Растяжением или сжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает только нормальная сила. Рассмотрим расчетную схему бруса постоянного поперечного сечения с заданной внешней сосредоточенной нагрузкой Р и распределенной q, (рис.1).

Рис.1. Построение эпюры нормальных сил:

а) расчетная схема, б) первый участок, левая отсеченная часть, в) второй участок, левая отсеченная часть, г) второй участок, правая отсеченная часть, д) эпюра нормальных сил

Пусть . Прежде всего определим опорную реакцию R, задавшись ее направлением вдоль оси х.

Брус имеет 2 участка 1 и 2. В пределах первого участка мысленно рассечем брус на 2 части нормальным сечением и рассмотрим равновесие, допустим левой части, введя следующую координату х₁, рис.1 б:

Следовательно, в пределах первого участка брус претерпевает сжатие постоянной нормальной силой. Аналогично поступим со вторым участком. Мысленно рассечем его сечением 2—2, и рассмотрим равновесие левой части (рис.1 в).Установим предварительно границы изменения х₂:

Подставляя граничные значения параметра х₂, получим:

Таким образом, в пределах второго участка брус растянут и нормальная сила изменяется по линейному закону. Аналогичный результат получается и при рассмотрении правой отсеченной части (рис.1 г):

На основе полученных данных строится эпюра нормальных сил в виде графика распределения нормальной силы по длине бруса (рис.1 д). Характерно, что скачки на эпюре обусловлены наличием в соответствующих сечениях сосредоточенных сил R и Р, что в свою очередь может служить правилом правильности выполненных построений.

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутренний крутящий момент. Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис.2. Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

Рис. 2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:

а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов

         В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М₁, М₂, М₃. Пусть М=ml. Для первого участка (рис.2 б):  

Для второго участка (рис.2 в):

Для третьего участка (рис.2 г):

Границы измерения параметра х₃ в следующей системе координат:

Тогда:

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.2 д).

Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе.

         Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки. Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и внутренний изгибающий момент. Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р, рис. 1 а.,

Рис.1. Построение эпюр поперечных сил и внутренних изгибающих моментов при прямом изгибе:

а) расчетная схема, б) левая часть, в) правая часть, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

         Прежде всего вычислим реакции в связи на базе уравнений равновесия:

После мысленного рассечения балки нормальным сечением 1—1 рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис.1 б), получим:

Таким образом, на первом участке поперечная сила отрицательная и постоянная, а внутренний изгибающий момент изменяется по линейному закону. Для правой отсеченной части при рассмотрении ее равновесия результат аналогичен рис.1 в. А именно:

На основании полученных значений строятся эпюры поперечных сил (рис.1 г) и внутренних изгибающих моментов (рис.1 д). Как следует из построенных эпюр , а  в сечении жесткой связи. Именно это сечение и является наиболее опасным в данной расчетной схеме. Продифференцируем выражение внутреннего изгибающего момента по координате х:

Как видим, после дифференцирования получено выражение для поперечной силы.

4.1 Растяжение и сжатие.

Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n. В окрестности этой точки выделим малую площадку F. Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через P (рис. 1 а). При уменьшении размеров площадки соответственно

Рис.1. Композиция вектора напряжения. а) вектор полного напряжения б) вектор нормального и касательного напряжений уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при  получим

Аналогичный предел для главного момента равен нулю. Введенный таким образом вектор р_n называется вектором напряжений в точке.Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F, характеризуемой вектором п. Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке. В общем случае направление вектора напряжений р_n не совпадает с направлением вектора нормали п. Проекция вектора р_n на направление вектора п называется нормальным напряжением , а проекция на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную вектору n, — касательным напряжением  (рис. 1 б). Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м².

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела. Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторой точки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r(х, у, z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М^/ , характеризуемое радиус-вектором r' (х, у, z). Вектор u=r'—r называется вектором, перемещений точки М. Проекции вектора u на координатные оси определяют компоненты вектора перемещений и(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z), равные разности декартовых координат точки тела после и до деформации.

Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.

Рис.2. Композиция вектора перемещения

Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку N, расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направления вектора s обозначим через  (рис. 2). В деформированном состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М' и N’), расстояние между которыми обозначим через s'. Предел отношения

называется относительной линейной деформацией в точке М в направлении вектора s, рис.3. Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдоль координатных осей Ох, Оу и Oz, получим три компоненты относительных линейных деформаций характеризующих изменение объема тела в процессе деформации.

Для описания деформаций, связанных с изменением формы тела, рассмотрим точку М и две близкие к ней точки N и Р, расположенные в недеформированном состоянии в направлении двух взаимно ортогональных векторов s₁ и s₂. Расстояния между точками обозначим через  и  (рис. 4). В деформированном состоянии положение точек обозначим через М', N' и Р'. Угол между отрезками M'N' и М'Р' в общем случае будет отличным от прямого. При ,  изменение угла  между двумя ортогональными до деформации направлениями называется угловой деформацией. Как видно из рис. 4, угловая деформация складывается из двух углов  и , связанных с поворотами отрезков M’N' и М'Р' 'в.плоскости, образованной векторами s₁ и s₂, относительно этих векторов. Если заданы три взаимно ортогональных вектора, направленных вдоль координатных осей, то имеются три угловые деформации ,  и , которые вместе с тремя линейными деформациями ,  и  полностью определяют деформированное состояние в точке.

Рис.3. Композиция линейной деформации

 

Рис. 4. Композиция угловой деформации

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Вектор напряжений p_n является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи некоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторов п, р_n в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектора n, достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем лектор умышленно меняет ориентацию координат. Так, что ось Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки его поперечного сечения.

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dF_х=dydz, dF_н==dxdz, dF_я=dxdy. Векторы напряжений p_x, p_y,p_z, действующие на элементарных площадках, показаны на рис. 5.

Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадке действует однонормальное напряжение , , , где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке.

Рис. 5. Равновесное состояние бесконечно-малого параллелепипеда

Рис.6. Компоненты тензора напряженного состояния

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 6.

Упругость и пластичность. Закон Гука

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной.

Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими. Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала. Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения   (1)

Рис.1. Одноосное напряженное состояние

Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения  происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через  и , причем эти деформации отрицательны при положительных  и пропорциональны :

(2)

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений. Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением , , соответственно имеют вид

	(3)
	(4)

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

(5)

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука. Угловая деформация  обусловлена касательным напряжением , а деформации  и  — соответственно напряжениями  и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

(6)

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

 Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

(7)

 

Рис.2. Плоская деформация сдвига

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости. В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и ,рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений  (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом  к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией  в направлении действия напряжения  и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

откуда

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

(8)

Сложим три соотношения упругости (5)

(9)

В итоге получим

Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату

Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

Предельное значение  приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

С использованием равенства (9) будем иметь

откуда  

Аналогичные соотношения можно вывести для  и . В результате получим

(10)

Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение  

 

 

4.2 Механические состояния деформируемых тел.

В упругом состоянии деформации обратимы, и вся энергия, затраченная на деформирование, при разгрузке возвращается (диссипация энергии отсутствует). Для любого твердого тела процесс деформирования начинается с упругой деформации. Изотропное тело имеет две константы упругости— модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Для анизотропных тел число упругих констант в общем случае равно 21. Из основных констант упругости можно получить их производные—модуль сдвига G, модуль объемной реформации К и постоянную Ламе .

Вязкое сопротивление — в некотором смысле противоположно упругому — работа внешних сил, уравновешенных силами вязкого сопротивления, полностью рассеивается в виде тепла. Вязкое сопротивление определяется величиной касательной силы, необходимой для поддержания ламинарного скольжения слоев, или течения с определенной скоростью. Таким образом вязкость можно определить как сопротивление течению. Представление о вязкоупругой деформации дает поведение моделей, сочетающих свойства вязкости и упругости в такой последовательности: при нагружении тела в нем возникает мгновенная упругая деформация, подчиняющаяся закону Гука; далее при том же максимальном напряжении наблюдается вязкая деформация, подчиняющаяся закону Ньютона. Наиболее распространенными в теории линейной вязко-упругости являются реологические модели Максвелла и Фойгта, дающие связь между напряжениями и деформациями и скоростями их изменения:

 — модель Максвелла,

 — модель Фойгта,

тде  — коэффициент вязкости.

Пластическое состояние—характеризуется наличием остаточных деформаций, фиксируемых после снятия внешних нагрузок. Объем тела при пластической деформации не изменяется; условие постоянства объема записывается в виде , (эксперименты показывают, что изменение объема не превышает 0,5%). В случае, когда все напряжения изменяются пропорционально одной из составляющих, в процессе пластической деформации направления главных деформаций совпадают с направлениями главных нормальных напряжений, направления максимальных сдвигов — с направлениями максимальных касательных напряжений, а главные направления девиатора напряжений — с главными направлениями девиатора деформаций. Одной из распространенных моделей поведения материала при упруго-пластических деформациях является модель пластичности, основанная на деформационной теории Генки—Ильюшина, описываемая уравнениями:

Здесь  — средняя деформация,

 — среднее напряжение,

            — безразмерный коэффициент, называемый параметром пластичности (с точностью до множителя он совпадает с интенсивностью касательных напряжений). При  эта модель описывает поведение упругого материала.

Высокоэластическое состояние — наиболее характерно для полимеров; особенностями этого состояния являются большая изменяемость формы и деформирование без изменения объема. Для материалов, находящихся в высокоэластическом состоянии, наблюдается существенная зависимость их свойств от длительности и скорости нагружения, температуры и т. д.

 Состояние разрушения — состояние, при котором за счет интенсивного развития трещин в материале тела начинается нарушение его сплошности и непрерывности. Физический процесс разрушения материала представляется в виде двух основных стадий — стадии рассеянных разрушений (зарождение и развитие микроскопических трещин) и стадии развития магистральной трещины. Очаги зарождения микротрещин распределены по всему объему материала, находящегося в однородном напряженном состоянии, достаточно равномерно. Относительная длительность первой и второй стадии разрушения зависит от свойств материала, характера напряженного состояния и условий нагружения. 

РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА

Условие прочности (1) записано через напряжения, которые вычисляются через внешние нагрузки, приложенные к конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а напряжение  связано с этим параметром зависимостью  

Тогда условие прочности (1) можно записать через внешние нагрузки

S < R

(3)

Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки, т.е. такое ее значение, которое приводит к предельному состоянию  

Величина R, зависящая от свойств материала и условий нагружения, называется несущей способностью или сопротивлением. При заданном значении S отношение       называется коэффициентом запаса. Он обозначает, что сколько раз нужно увеличить нагрузку, чтобы достичь предельного состояния. Вместо условия прочности (2) можно записать эквивалентное условие

n > 1

(4)

Если нагрузка и свойства материала являются случайными, то условия прочности (3) и (4) теряют смысл, их нужно заменить вероятностными условиями типа (2):  P(S<R)=P_*,  или   P(n > 1)=P_*.

При этом коэффициент запаса п также будет случайным.  Практически расчет на прочность с учетом случайного характера внешних нагрузок и случайных свойств материала проводится следующим образом. Вводится некоторое характерное значение нагрузки [S]. Это значение, называемое допускаемым или нормативным значением, можно найти из условия

P(S<[S])=[PS],

(5)

где [P_S] —; некоторое значение вероятности, называемое обеспеченностью. Аналогично вводится нормативное значение [R] несущей способности

P(R>{R]=[PR].

(6)

Отношение

[n]=[R]/[S]

(7)

называется нормативным коэффициентом запаса. Этот коэффициент зависит от условий нагружения, от свойств материалов, условий работы конструкции, степени ее ответственности и ряда других факторов. Такой коэффициент назначается, исходя из многолетнего опыта эксплуатации конструкций, и для каждого типа конструкций задается нормативно-технической документацией.

В качестве нормативных значений [S] и [R] можно выбрать средние значения соответствующих случайных величин

 где S_j и R_j экспериментально полученные значения случайных величин в серии из N опытов. Однако в действующих нормах, в частности, строительных, нормативные значения не совпадают со средними значениями, а сдвинуты в сторону более опасных значений, что связано со значительным разбросом опытных данных около средних значений. Для нагрузки принимается несколько большее значение, а для несущей способности — меньшее  где коэффициенты  и  находятся из уравнений (5) и (6). Таким образом, нормативный коэффициент запаса (7) вычисляется через средние значения следующим образом:

С учетом случайного характера внешних нагрузок и сопротивлений условие прочности (3) заменяется следующим условием  S_P < R_P.  Здесь S_Р —; достаточно редко встречающееся в реальных условиях эксплуатации высокое значение нагрузки, R_Р —; также достаточно редко встречающееся низкое значение несущей способности. Эти значения называются расчетными. Они находятся из уравнений

	(8)
	(9)

В правой части уравнений содержатся нормативные значения вероятности безотказной работы, которые близки к единице (0,95; 0,99; 0,999;...). Расчетные значения нагрузок и несущей способности можно выразить через средние значения этих величин следующим образом:   где коэффициенты k_S >1 и k_P < 1 находятся из решения уравнений (8) и (9). Расчетные значения связаны с соответствующими нормативными значениями соотношениями  S_P = k_п[S], R_P = k_o[R].  Коэффициент   называется коэффициентом однородности (меньше единицы). Другой коэффициент, учитывающий случайный характер несущей способности,   называется коэффициентом однородности (меньше единицы). Это условие можно заменить равенством  S_P=R_P/m, где коэффициент m >1 учитывает условия работы конструкции, степень ее ответственности. С учетом обозначения (7) для нормативного коэффициента запаса получим формулу, учитывающую случайные свойства нагрузки и несущей способности, а также степень ответственности конструкции  [n] = mk_п / k_о.

4.3  Прямой чистый изгиб стержня

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М_х (рис. 1). Так как Q_y=dM_x/dz=0, то M_x=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M_х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Охс нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики  

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями  (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя  (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M_х=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (п—п)описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса. а) расчетная схема, б) деформации и напряжения

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости  считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным. Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

Из подобия треугольников С00₁ и 0₁ВВ₁ следует, что

Продольная деформация  оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

(1)

Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

(2)

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя  и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

(3)

Подставляя в это уравнение выражение (2)     и учитывая, что , получаем, что  

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения. Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:    и учитывая, что  где J_x—главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

(4)

Кривизна нейтрального слоя  является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе.  тем меньше, чем больше величина EJ_х, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF). Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде

(5)

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М_х и нормальных напряжений  в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M_х>0 нормальные напряжения  при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Здесь введена геометрическая характеристика , имеющая размерность м³ и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном M_х напряжения max ? тем меньше, чем больше W_x, момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а) имеем J_х=bh³/12,y_max = h/2 и W_x = J_x/y_max = bh²/6. Аналогично для круга (рис. 5,a J_x=d⁴/64, y_max=d/2) получаем W_x=d³/32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которого

 получаем

Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом M_х определяются по формуле

(6)

Рис.5. Конфигурации поперечных сечений бруса

Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид   где max M_х—максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре),  — допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором ).

Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max  и наибольшие сжимающие напряжения (рис. 6.), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение  и сжатие . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:   .

4.4  Прямой поперечный изгиб стержня

При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y рис. 1), которые связаны с нормальными  и касательными  напряжениями 

Рис.1. Связь усилий и напряжений

Рис.2. Модели прямого поперечного изгиба: а) сосредоточенная сила, б) распределенная

Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями , происходит депланация поперечных сечении (отклонение от закона плоских сечений). Однако для балок с высотой сечения h<l/4 (рис. 2) погрешность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы: а) в местах приложения сосредоточенных сил. Под сосредоточенной силой напряжения поперечного взаимодействия могут быть достаточно велики и во много раз превышать продольные напряжения , убывая при этом, в соответствии с принципом Сен-Венана, по мере удаления от точки приложения силы; б) в местах приложения распределенных нагрузок. Так, в случае, приведенном на рис. 2, б, напряжения от давления на верхние волокна балки . Сравнивая их с продольными напряжениями , имеющими порядок  приходим к выводу, что напряжения  при условии, что h² <<l², так как .

Получим формулу для касательных напряжений . Примем, методика расчета нормальных напряжений известна, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения (рис. 3). Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение стержня. Точное решение задачи для прямоугольного поперечного сечения показывает, что отклонение от равномерного распределения , зависит от отношения сторон b/h. При (b/h) =1,0 оно составляет 12,6%, при (b/h) =0,5 — только 3,3%.

Рис.3. Расчетная модель поперечного прямого изгиба

Непосредственное определение напряжений  затруднительно, поэтому находим равные им (вследствие закона парности) касательные напряжения , возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz, вырезанного из балки, (рис. 3). Сам элемент показан на рис. 4. От этого элемента продольным сечением, отстоящим от нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть, заменяя действие отброшенной нижней части касательными напряжениями  (индекс гу в дальнейшем опускаем), равнодействующая которых  показана на рис. 5. Здесь, согласно второй предпосылке

Рис.4. Расчетный элемент бруса

 

Рис.5. Фрагмент расчетного элемента бруса

 по ширине элемента b. Нормальные напряжения  и , действующие на торцевых площадках элемента, также заменим их равнодействующими

,

.

Согласно первой предпосылке нормальные напряжения определяются уже известным способом, , где —статический момент отсеченной части площади поперечного сечения  относительно оси Ох. Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 5) составив для него уравнение статики :

 откуда после несложных преобразований, учитывая, что

 получаем формулу для касательных напряжений при нормальном поперечном изгибе призматического стержня которая называетсяформулой Журавского.

 

Рис.6. Распределение касательных напряжений по контуру прямоугольного сечения

В этой формуле b_y — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, а статический момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен как для верхней, так и для нижней части (статические моменты этих частей сечения относительно его центральной оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент всего сечения равен нулю). В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.). Учитывая, что для этого сечения  получаем  где F=bh—площадь прямоугольника.

Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратической параболы, достигая максимума на нейтральной оси 

Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y (рис. 7), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные  и касательные  напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности. Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис. 7), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям

Рис.7 Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения

Рис.8. К сравнительной оценке модулей напряжения

Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max  и max  на примере консольной балки, показанной на рис. 8:   так как

 Тогда   откуда max <<max, а поскольку  то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид: 

4.5  Составные балки и перемещения при изгибе

Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы  

Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным 

Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность—в три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.

Рис.1. Расчетные схемы составных балок: а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция

РАСЧЕТ ВАЛОВ

Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т,передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала. Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость  (с^-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна

 Отсюда кНм, где учтено, что . Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max M_z. Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения  принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала. Требуемое значение W_p=d^з/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства , откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

(8)

Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

(9)

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

(10)

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

4.6  Практические примеры расчета на сдвиг. Заклепочные соединения.

Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.

Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения. На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига.

В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены сваркой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень' заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).

Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (Рис.1). Шесть заклепок, расположенных в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил ).

Рис.1. Расчетная схема заклепочного соединения

Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов. На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при  заклепках в соединении, изображенном на фиг. 1, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы  (Рис.2); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы  стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов.

 

Рис.2. Силы, действующие на заклепочное соединение.

Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (Рис.2). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение: 

Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде:  Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде:   т. е. действительное касательное напряжение  в материале заклепки должно быть равно допускаемому  или меньше его. Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок :  Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может взять на себя каждая заклепка. Пусть   ; тогда

Рис.3. Расчетная модель действия нормальных напряжений

При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (Рис.3) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk.

Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительныенормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются.

Расчет заклепок на смятие и листов на разрыв.

Помимо среза заклепкам и соединяемым листам в конструкции угрожают и иные опасности. Так как передача сил на заклепочный стержень происходит путем нажатия стенок заклепочного отверстия на заклепку, то необходимо установить, не произойдет ли наружное обмятие этого стержня или стенок отверстия, — произвести проверку на смятие. На рис.1 указана примерная схема передачи давлений на стержень заклепки. Закон распределения этих давлений по цилиндрической поверхности нам неизвестен; он во многом зависит от неправильностей формы заклепочного отверстиями стержня, вызванных условиями изготовления конструкции. Поэтому расчет производится условно. Принято считать, что неравномерное давление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется равномерно по диаметральной плоскости сечения заклепки. При этом напряжение по этой диаметральной плоскости оказывается примерно равным наибольшему сминающему напряжению  в точке А поверхности заклепки.

Рис.1. Передача давлений на стержень заклепки.

Чтобы вычислить это условное напряжение смятия, необходимо разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения ВСС'В'. Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которого служит диаметр заклепки, другая же равна толщине листа, передающего давление на стержень заклепки.

Так как давление на одну заклепку равно , то

условие прочности на смятие будет иметь вид:  где  — допускаемое напряжение на смятие. Отсюда необходимое число заклепок

Допускаемое напряжение на смятие принимают обычно в 2 — 2,5 раза больше основного допускаемого напряжения на растяжение и сжатие , так как расчет на смятие по существу является упрощенной проверкой прочности по контактным напряжениям. Таким образом определяется число заклепок, необходимое для прочного соединения листов. Из двух полученных значений , конечно, надо взять большее. Если мы вернемся к рассмотренному ранее примеру и примем  ,  ,то получим:

Таким образом, условие прочности заклепок на перерезывание требует постановки двадцати четырех заклепок; условие же прочности на смятие — пятнадцати заклепок. Очевидно, необходимо поставить двадцать четыре заклепки. В этом примере работа заклепок на срез оказывается опаснее работы их на смятие. Это обычно бывает в соединениях с так называемыми односрезными заклепками, в которых каждая заклепка перерезывается в одной плоскости.

Рис.2. Соединение с накладками: а) расчетная схема, б) действующие усилия

В несколько других условиях будут работать заклепки соединения, показанного на Рис.2а. Здесь стык двух листов осуществлен при помощи двух накладок. Сила Р при помощи первой группы заклепок передается от левого листа обеим накладкам, а от последних при помощи второй группы заклепок передается правому листу.

Называя через  число заклепок, необходимое для передачи усилия Р от листа на накладки и от накладок на другой лист, получаем, что на каждую заклепку передается усилие от основного листа . Оно уравновешивается усилиями , передающимися на заклепку от накладок (Рис.2б).

Стержень заклепки теперь подвергается перерезыванию уже в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается влево. Допускают, что срезывающая сила  равномерно распределяется по двум сечениям,  и gf. Напряжение  и условие прочности для двухсрезной заклепки принимает вид:  и 

Таким образом, при двойном перерезывании число заклепок по срезыванию оказывается в два раза меньше, чем при одиночном перерезывании. Переходим к проверке на смятие. Толщина склепываемых листов ; толщина накладок  не должна быть меньше 0,5t, так как две накладки должны взять от основного листа всю силу Р. Поэтому: . Сила  сминает и среднюю часть заклепки и верхнюю с нижней. Опаснее будет смятие той части, где площадь смятия меньше. Так как толщина среднего листа не больше суммы толщин обеих накладок, то в худших условиях по смятию будет средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие останется таким же, как и при односрезных заклепках:

  Таким образом, для рассматриваемой конструкции число заклепок в первой и во второй группах определится из полученных условий. Пусть      

Тогда:   

В этом случае при двухсрезных заклепках условия их работы на смятие тяжелее, чем на срезывание; следует принять .

На двух рассмотренных примерах мы установили общие методы проверки прочности заклепочных соединений. В металлических конструкциях иногда приходится склепывать целые пакеты соединяемых элементов. В таких пакетах заклепки могут работать и на большее число срезов. Однако методы расчета многосрезных заклепок не отличаются от изложенных. Для вычисления касательных напряжений следует разделить силу, относящуюся к одной заклепке, на суммарную площадь среза, воспринимающую эту силу. Для вычисления же напряжений смятия следует найти ту часть заклепки, которая находится в наиболее опасных условиях, т. е. воспринимает наибольшую силу на наименьшем протяжении. Напряжения смятия получаются делением этой силы на площадь диаметрального сечения наиболее напряженной части заклепки. Затем останется написать два условия прочности и получить .

Наличие заклепок вносит некоторые изменения и в проверку прочности на растяжение или сжатие самих склепанных листов. Опасным сечением каждого листа (Рис.3) будет теперь сечение, проходящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая ширина листа будет наименьшей; принято говорить, что это сечение ослаблено заклепочным отверстием. Называя полную ширину листа b, получаем для него такое условие прочности:

Рис.3. Расчетная модель листа на разрыв.

где  — число отверстий, попадающих в сечение (в нашем случае — два).

Отсюда можно найти величину , задавшись толщиной листа t. Площадь  ослабленного сечения называется площадью нетто, площадь же полного сечения листа  называется площадью брутто.

Этот учет влияния заклепочных отверстий на прочность склепываемых листов общепринят, но является весьма условным. На самом деле, влияние отверстия в листе вызывает у его краев, на концах диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения, значительные местные напряжения, которые могут достичь предела текучести материала и вызвать остаточные деформации, захватывающие, однако, весьма небольшой объем материала листа. Некоторую опасность в отношении образования трещин эти местные напряжения могут представить лишь при действии переменных нагрузок в материале, имеющем низкий предел усталости. Однако в обычных условиях работы заклепочных соединений эта опасность может считаться исключенной. Во избежание возможности разрушения листов заклепками заклепки размещаются на определенных расстояниях друг от друга и от края листа.

Расположение заклепок в плане производится как по условиям обеспечения прочности и плотности соединения, так и по чисто производственным соображениям. Расстояния между центрами заклепок принимаются не менее 3d и не более 7d. Расстояния до края листов должны быть не менее  (Рис.4). Чтобы длина стыка была возможно меньше, берут , а в целях меньшего ослабления сечения расстояние е берут возможно большим (до 7d), что позволяет уменьшить число рядов, а следовательно, и ослабление.

Рис.4. Практические рекомендации по расположению заклепок в соединении.

При проектировании заклепочных соединений для котлов и резервуаров, где добиваются плотных швов, помимо расчета на срез производят проверку сопротивления скольжению за счет трения. Однако допускаемое напряжение по скольжению дается в МП а поперечного сечения заклепки; таким образом, проверка на трение при односрезных заклепках сводится к проверке на срез лишь с другим допускаемым напряжением. При двухсрезных заклепках в расчет на трение вводится, конечно, одна площадь сечения заклепки, но зато повышается почти вдвое допускаемое напряжение на трение за счет двух накладок.

Поэтому так называемый расчет заклепок на трение является, по существу, проверкой прочности на срез с другими лишь допускаемыми напряжениями на квадратный сантиметр площади поперечного сечения заклепки. Правильнее было бы сохранить лишь один метод проверки заклепочных соединений на смятие и срез, учитывая влияние сил трения при назначении допускаемых напряжений в зависимости от способа клепки, качества отверстий и требований, предъявляемых ко шву в отношении плотности. В заклепочных соединениях для котлов принимают обычно допускаемое напряжение на скольжение (на 1 см² площади заклепки):

• от 50 до 70 МПа при швах внахлестку,
• 90 120 с двумя накладками.

При проверке по этим данным, очевидно, надо вести расчет, как при заклепках одиночного перерезывания, с допускаемым напряжением от 50 до 70 или от 90 до 120МПа.

4.7  Косой изгиб призматического стержня

Вид деформации является сложным, когда в поперечном сечении стержня возникают два и более силовых факторов. Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), если применим принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).

Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны линейной зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится неприменимым, если:

• напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил превышают предел пропорциональности ;
• деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается линейная зависимость между ними и нагрузкой.

Например, дифференциальное уравнение изгиба стержня является нелинейным и вытекающая из него зависимость прогиба f от нагрузкиР для консольной балки, изображенной на рис. 1, а, также является нелинейной (рис. 1, б). Однако, если прогибы балки невелики (f<<l) настолько, что (dv/dz)²<<1 (так как dv/dz ~ f/l), то дифференциальное уравнение изгиба становится линейным (как видно из рис. 1, б, начальный участок зависимости Р от f, описываемый этим уравнением, также является линейным).

Рис.1. Модели изгиба балки: а) расчетная схема б) линейное и нелинейное сопротивления

Известно, что косой изгиб имеет место, когда силы, его вызывающие, не лежат в одной из главных плоскостей инерции. Однако, если разложить внешние силы по главным осям инерции Ох и Оу, то получим две системы сил P_1x, P_2x, …, P_nx и P_1y, P_2y,..., P_ny, каждая из.которых вызывает прямой изгиб с изгибающими моментами соответственно M_y и М_x (рис. 2). Применяя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения  (рис. 3) определим как алгебраическую сумму напряжений от M_x и М_y:

Чтобы не связывать себя формальными правилами знаков, слагаемые будем определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Прогибы балки определим как геометрическую сумму прогибов от прямых изгибов (рис. 2) 

Таким образом, расчет на косой изгиб с применением принципа независимости действия сил сводится к расчету на два прямых изгиба с последующим алгебраическим суммированием напряжений и геометрическим суммированием прогибов.

Рис.2. Расчетная модель косого изгиба бруса

Рис.3. Связь нормального напряжения с внутренними изгибающими моментами

В случае поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие угловые точки (рис. 4) с равными по модулю и максимальными одноименными координатами  и  напряжения в этих точках будут равны

 Слагаемые в этом выражении рекомендуется определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Например, на рис. 5 верхний ряд знаков «+» и «—» соответствует напряжениям от М_x, а нижний ряд — от M_y, и напряжения в этих точках будут равны

Рис.4. Симметричные варианты сечений

Рис.5. Расстановка знаков от действия моментов

Условие прочности для балок из пластичного материала с указанным типом сечений запишется в виде

В остальных случаях для определения max а (или max dp и max  для хрупкого материала) необходимо по общей формуле проверить напряжения во всех подозрительных точках. Есть и другой путь: положив , получим уравнение нейтральной линии. Так как напряжения в точках поперечного сечения будут пропорциональными расстояниям от нейтральной линии, то max  будут возникать в наиболее удаленных от нее точках.

Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия.

Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.

На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами. Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.

Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия.

Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки. Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q. Сжимающие напряжения  от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений:

 нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой 

Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно

На Рис.2 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра. Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или растяжение в зависимости от числовых величин напряжений  и . Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.

Рис.2. Сложение напряжений сжатия и изгиба

Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них 

Таким образом, напряжения в крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения балки выражаются формулой  и расчетное напряжение будет равно

Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки. Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности:

(27.1)

Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.

4.8 Расчет балки на упругом основании.

Общие понятия.

К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k. Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.

Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх. На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт. Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы. Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному. Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами ... (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:    (1)  где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х. Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов: .  Тогда

	(2)
	(3)

Если обозначить , то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид:  (25.4) Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина  имеет измерение обратное длине.

Энергетические методы расчета деформаций.

Постановка задачи.

Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии. При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится.

Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой. Мы условились называть «статической» такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения, этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере.

Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки. Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию. Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок . Тогда величина  измеряется положительной работой этих нагрузок , с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении. Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

 заменяя в этой формуле величины  и U численно равными им значениями работ  и —А, получаем иную формулировку этого закона:

 или 

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так зазываемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии. Таким образом, потенциальная энергия деформации  численно равна работе внешних сил , проделанной ими этой деформации: 

Вычисление потенциальной энергии.

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними. Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами Р величина работы , а следовательно, и величина энергии U равняется:

 В случае сдвига  При кручении

Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом изгибе. Концевые сечения балки под действием изгибающих моментов (Рис.1) повернутся на угол , где  — центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом р оси балки.

Рис.1. Модель расчета потенциальной энергии при чистом изгибе.

Тогда

 так как из общей теории изгиба  а 

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином «обобщенная сила» всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузке перемещение, т. е. и сосредоточенную силу, и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть «обобщенной координатой».  «Соответствие» заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы — прогиб, удлинение; для пары сил — это угол поворота сечения по направлению действия пары.

Иначе: потенциальная энергия деформации численно равна половине произведения обобщенной силы на соответствующую ей координату.

, где Р—обобщенная сила,  — обобщенная координата.

Полученные соотношения также показывают, что потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних сил, так как в эти формулы не входят реакции, зависящие от приложенных к элементу сил и связанные с ними уравнениями равновесия. Из тех же формул видно, что величина потенциальной энергии деформации является функцией второй степени от «обобщенных координат» системы и вполне ими определяется. Таким образом, порядок приложения нагрузок в этом отношении безразличен, важна лишь окончательная форма деформированного элемента. Поэтому, хотя результаты этого параграфа получены в предположении, что нагрузка возрастает статически, при сохранении равновесия в течение всего процесса нагружения, однако выведенные формулы сохраняют силу и при любом способе приложения нагрузок, лишь бы значения сил и деформаций были связаны линейной зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие конструкции.

Известно также, что в общем случае изгиба изгибающий момент М(х) является величиной переменной. В любом сечении ему будет сопутствовать поперечная сила Q(х). Поэтому рассматривать следует уже,не всю балку в целом, а лишь бесконечно малый элемент балки длиной dx.

Рис.2. Энергетическая модель поперечного изгиба

Под действием изгибающих усилий сечения элемента (рис.2, а) поворачиваются и образуют между собой угол  (Рис.2, б). Касательные же усилия стремятся вызвать (Рис.2, в) перекос элемента; таким образом перемещения от нормальных напряжений идут перпендикулярно к направлению касательных напряжений, и наоборот. Это позволяет независимо вычислять работу изгибающих и касательных усилий. Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой нормальных, поэтому мы пока ею будем пренебрегать. Элементарная работа нормальных усилий (как и в случае чистого изгиба) равна:

   или   

Рис.3. Расчетная схема примера расчета потенциальной энергии при поперечном изгибе.

Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки

Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно охватить всю балку; в тех случаях, когда для М(х) мы имеем несколько участков, то интеграл приходится разбивать на сумму интегралов. Вычислим потенциальную энергию балки на двух опорах, нагруженной силой Р (Рис.3). Эпюра моментов имеет два участка; поэтому

      

Расчет быстровращающегося диска

Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска. Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения  и  не меняются; осевое напряжение  будем считать равным нулю. Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции 

 

Рис.1. Расчетная схема вращающегося диска.

направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия получим:

(1)

Уравнение условий совместности деформаций также остаются в силе и для данной задачи, т. е.

(1)

Подставляя в это уравнение значение разности  из (35.4), находим:

(2)

Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо  его значение из формулы (2), получаем линейное дифференциальное уравнение

   или   

Интегрируя это уравнение, находим:

(4)

Из (1) и (4) следует, что

(5)

В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определении постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий. Для диска с центральным отверстием напряжение  должно быть равно нулю как при, так и при  (рис.1). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (4) приводят к уравнениям:

  и      откуда    и 

Подставляя значения А и В в формулы (35.7) и (35.8), получаем:

  

Полагая для краткости можем написать:   и   можем написать:     

Замечаем, что напряжение  обращается в нуль при  и , т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях между 1 и  напряжение  положительно и, как нетрудно убедиться, достигает наибольшей величины при При этом

(6)

Напряжение  при всех значениях  также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где :

(7)

Сравнивая выражения (6) и (7), убеждаемся, что  всегда больше  Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде: 

Прочность при циклически изменяющихся напряжениях.

Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Так, например ось вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 1), находятся под действием периодически меняющихся сил и испытывает циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы сохраняют свою величину.

Рис.1. Расчетная схема оси вагона.

Для оси вагона на рис. 1 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного сечения (рис. 2, а) имеем:  

Расстояние y от точки А до нейтральной оси меняется во времени

   где  — угловая скорость вращения колеса.  Следовательно,  

Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой  (рис. 2, б).

Рис.2. Изменение напряжения в точке А.

Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении  разрушения не происходит.

Рис.3. Иллюстрация усталостной прочности.

Число циклов до момента разрушения зависит от величины  и меняется в весьма широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5—10 циклов. Это хорошо видно хотя бы на примере многократного изгиба куска проволоки (рис. 3). При меньших напряжениях деталь выдерживает миллионы и миллиарды циклов, а при еще меньших — способна работать неограниченно долго. После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны ( рис. 4 и 5). В одной зоне кристаллы различаются невооруженным глазом с большим трудом. Поверхность излома имеет сглаженные очертания. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения. Кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность. В целом создается первое впечатление, что подобного рода разрушение связано с изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объяснялось в свое время разрушение при циклических напряжениях. Описанное явление получило тогда название усталости, а направление исследований, связанных с прочностью, стало называться усталостной прочностью. В дальнейшем точка зрения на причины усталостного разрушения изменилась, но сам термин сохранился. В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется. Начало разрушения носит чисто местный характер. В зоне повышенных напряжений, обусловленных конструктивными, технологическими или структурными факторами, может образоваться микротрещина. При многократном изменении напряжений кристаллы, расположенные в зоне трещины, начинают разрушаться и трещина проникает в глубь тела.

Соприкасающиеся поверхности в зоне образовавшейся трещины испытывают контактное взаимодействие, в результате чего кристаллы истираются, а поверхности приобретают внешний вид мелкозернистой структуры. Так образуется одна из зон поверхности будущего излома. В результате развития трещины сечение ослабляется. На последнем этапе происходит внезапное разрушение. Излом имеет характерную поверхность с неповрежденными чистыми кристаллами. Из фотографии (рис. 4) видно, что разрушение бруса произошло в результате развития трещины, образовавшейся у края сечения. Разрушение рельса (рис. 5) обусловлено развитием трещины, образовавшейся внутри сечения в зоне местного порока. Теоретический анализ усталостной прочности связан с большими трудностями. Природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молекулярного и кристаллического строения вещества. Поэтому схема сплошной среды, которая с успехом применялась в рассматривавшихся до сих пор задачах, в данном случае не может быть принята в качестве основы для исследования.

Рис.4. Характерные признаки уталостного разрушения

Рис.5. Характерные признаки усталостного разрушения рельсы

Для создания достаточно стройной теории усталостной прочности необходимо проникнуть в особенности строения кристаллов и межкристаллических связей с последующим привлечением аппарата статистики.

В настоящее время, однако, физические основы теории твердого тела не находятся еще на такой стадии развития, чтобы на их базе можно было бы создать методы расчета на усталостную прочность, удовлетворяющие запросам практики. Поэтому приходится идти по пути накопления экспериментальных фактов, из совокупности которых можно было бы выбрать подходящие правила как руководство для расчета. Объединение и систематика экспериментальных данных и представляет собой в настоящее время содержание теории усталостной прочности. Отсутствие единых основополагающих законов в этой теории лишает ее стройности. В результате полученные экспериментальные зависимости не являются универсальными, а сами расчеты; дают сравнительно невысокую точность.

 

 

 

Расчет коэффициентов запаса усталостной прочности.

Одним из основных факторов, которые необходимо учитывать при практических расчетах на усталостную прочность, является фактор местных напряжений.

Рис.1. Очаги концентрации местных напряжений: а) растяжение, б) изгиб, в) контактные напряжения

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в области резких изменений в форме упругого тела (входящие углы, отверстия, выточки), а также в зоне контакта деталей возникают повышенные напряжения с ограниченной зоной распространения, так называемые местные напряжения.

Например, при растяжении полосы с небольшим отверстием рис. 1, а) закон равномерного распределения напряжений вблизи отверстия нарушается. Напряженное состояние становится двухосным, а у края отверстия появляется пик напряжения. Аналогично при изгибе ступенчатого стержня (рис. 1, б) в зоне входящего угла возникает повышенное напряжение, величина которого зависит в первую очередь от радиуса закругления r. При прессовой посадке втулки на вал (рис. 1, в) у концов втулки и вала также возникают местные напряжения. Подобных примеров можно привести очень много. Величина местных напряжений в зависимости от геометрической формы детали определяется обычно теоретически при помощи методов математической теории упругости. Основным показателем местных напряжений является теоретический коэффициент концентрации напряжений:

Рис.2. Зона расчета номинального напряжения

где  — наибольшее местное напряжение, а —так называемое номинальное напряжение. Это — то напряжение, которое определяется по формулам сопротивления материалов без учета эффекта концентрации. Обычно подсчет  ведется по наиболее ослабленному сечению детали, как, например, по сечению АА (рис. 2). Например, для полосы с отверстием (рис. 1, а)

  для случая изгиба ступенчатого стержня (рис. 1, б)

Однако, если при подобных подсчетах возникают трудности, за номинальное принимается напряжение в неослабленном сечении. Например, при кручении вала, имеющего поперечное отверстие (рис. 2), имеем:  где — полярный момент сопротивления неослабленного сечения. Так или иначе, номинальное напряжение выбирается в первую очередь из соображений, связанных с простотой расчета. Величина теоретического коэффициента концентрации определена для большинства встречающихся на практике типовых конструктивных элементов.

Рис.3. Определение коэффициента концентрации для полосы с отверстием

 

 — а), с использованием графика — б)

Данные по величине  приводятся в виде таблиц; в справочной литературе по машиностроению. Так, например, на рис. 3 показана зависимость теоретического коэффициента концентрации от соотношения геометрических размеров полосы с отверстием.

Наличие местных напряжений оказывает на прочность детали различное влияние в зависимости от свойств материала и от характера нагружения. В связи с этим в отличие от теоретического вводится понятие эффективного коэффициента концентрации , причем делается различие между постоянными и циклически изменяющимися напряжениями. При постоянных напряжениях (при r=1) под эффективным коэффициентом концентрации понимается отношение  где —предел прочности для образца, не имеющего очагов концентрации, а  —условный предел прочности для образца, обладающего очагами концентрации напряжений. При испытании, например, призматического стержня с отверстием (рис. 4, а) эффективный коэффициент концентрации напряжений вблизи отверстия определяется отношением разрушающей нагрузки Р к разрушающей нагрузке Р'. То же самое имеет место и для образца с выточкой (рис. 4, б). Для пластичных материалов местные напряжения в условиях постоянной нагрузки не оказывают на прочность детали существенного влияния. Обычно в зоне повышенных напряжений образуются местные пластические деформации без образования трещины, Весь остальной объем тела за пределами этой зоны работает упруго, и несущая способность сохраняется практически до тех же значений сил, что и при отсутствии очагов концентрации. Это дает право при статическом нагружении не учитывать местных напряжений.

Рис.4. эффект концентрации местных напряжений для детали с отверстием — а) и с выточкой — б)

Таким образом, можно считать, что для пластичных материалов: 

Для хрупких материалов значение  приближается к значению теоретического коэффициента концентрации . Здесь, правда, возможны исключения. Для чугуна, например, независимо от формы детали, . Объясняется это структурными особенностями чугуна, имеющего в своей массе включения графита. Каждое включение является очагом концентрации, приводящим к существенно большим местным напряжениям, чем те, которые обусловливаются конструктивными факторами (выточками, отверстиями и пр.). В условиях циклически изменяющихся напряжений (при ) эффективный коэффициент концентрации определяется отношением:  где — предел усталости гладкого образца, а —предел усталости образца, имеющего очаги концентрации напряжений. Величина , также как и  зависит не только от геометрической формы детали, но и от механических свойств материала. Концентрация напряжений существенно сказывается на усталостной прочности и хрупких и пластичных материалов, поскольку и в том и в другом случае при многократном изменении напряжений разрушение начинается с образования местной трещины. Числовое значение эффективного коэффициента концентрации может быть определено только на основе усталостного испытания большого числа образцов из различных материалов. В настоящее время в этом направлении накоплен достаточно большой экспериментальный материал. Сопоставление полученных результатов позволяет в некоторой ограниченной мере установить соотношение между эффективным и теоретическим коэффициентами концентрации в виде

(13.6)

где q — так называемый коэффициент чувствительности материала к местным напряжениям.

Величина q зависит в основном от свойств материала. Так, например, можно считать, что для высокопрочных легированных сталей величина q близка к единице. Для конструкционных сталей в среднем , причем более прочным стал ям соответствуют большие значения q. Для чугуна q = 0 и . Коэффициент чувствительности зависит также в некоторой степени и от геометрических особенностей очага концентрации. Наблюдается некоторое снижение q в случае больших коэффициентов . При расчетах на усталостную прочность наличие местных напряжений учитывается путем введения поправок в числовые значения координат рабочей точки ( р. т.) на диаграмме усталостной прочности. Так, если расчет детали по номинальным напряжениям дает характеристики цикла  и , то с учетом местных напряжений следует соответственно принять значения координат рабочей точки в виде  и , где  принимается обычно равным единице.

Из всего изложенного следует, что наличие концентрации напряжений снижает усталостную прочность детали. Поэтому при проектировании машин следует стремиться к тому, чтобы влияние местных напряжений было сведено к минимуму. Достигается это, прежде всего, конструктивными мерами. Для ответственных деталей, работающих в условиях циклических напряжений, внешние обводы стремятся сделать возможно более плавными, радиусы закругления во внутренних углах увеличивают, необходимые отверстия располагают в зоне пониженных напряжений и т. д.

Рис.5. Конструкция галтели и проставочных колец

На рис. 5, а показана конструкция галтели с глубоким поднутрением, уменьшающим местные напряжения. Для увеличения радиуса галтели могут применяться также проставочные кольца, как это показано на рис. 5, б. Для снижения местных напряжений иногда практикуется введение разгрузочных канавок (рис. 6, а), наличие которых благотворно сказывается на усталостной прочности вала. Такого же рода разгрузочные канавки могут применяться и в местах посадки (рис. 6, б).

Рис.6. Конструкции разрушенных канавок — а), в том числе в местах посадок — б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5. Детали машин

Любой предмет производства подлежащих изготовлению, называют - изделием.

Деталь – это изделие, изготовленного из однородного материала, без применения сборочных операций.

Изделие, составные части которого подлежат соединению между собой сборочными операциями называются – сборочной единицей.

Сборочная единица – которую можно собирать отдельно от других составных частей изделия или изделия в целом, выполняющая определенную функцию в изделиях однородного назначения только совместно с другими составными частями, называется узлом.

Машиной называется механическое устройство, выполняющее движение для преобразования энергии, материалов или информации с целью замены или облегчения физического и умственного труда человека.

Машинным агрегатом называется сочетание машины – двигателя, придаточных механизмов и исполнительного органа.  

 

1.        Электродвигатель.

2.        Электродвигатель.

3.     Муфта с колодочным электромагнитным тормозом.

4.     Червячный редуктор.

5.     Канатоведущий шкив с кольцевыми канавками.

Механизмом  называется совокупность звеньев, соединенных кинематическими парами, предназначенными для преобразования одного вида в другой.

Звеном механизма называется одна или несколько жестко соединенных деталей, входящих в состав механизма: а) простого, б) составного звеньев.

Звено, принимаемое за неподвижное называется стойкой.

 

 

Основные критерии работоспособности.

Работоспособность деталей оценивается по критериям работоспособности. К ним относятся: прочность, жесткость, износостойкость, виброустойчивость.

Работоспособностью называют такое состояние деталей, при котором они способны нормально выполнять заданные функции с параметрами, установленными нормативно - технической документацией (стандартами, техническими условиями).

Прочность - главный критерий работоспособности большинства деталей, характеризующей длительную и надежную работу машины.

Изнашивание – это процесс разрушения поверхностных слоев деталей, приводящих к постепенному изменению размеров, формы.

Жесткость – способность деталей сопротивляться изменению формы и размеров под действием сил.    

Основные понятия о передачах

Механическая энергия, используемая для приведения в движение рабочей  машины, представляет собой энергию вращательного движения вала двигателя. Вращательное движение получило наибольшее распространение в механизмах       и машинах, так как обладает следующими достоинствами:

1.     Обеспечивает непрерывное и равномерное движение при небольших потерях на трение;

2.     Позволяет иметь простую и компактную конструкцию передаточного механизма.

 

Назначение передач. Все современные двигатели для уменьшения габаритов и стоимости выполняют быстроходными с весьма узким диапазоном изменения угловых скоростей. Непосредственно быстроходный вал двигателя соединяют с валом машины редко (вентиляторы и т.п.). В абсолютном большинстве случаев режим работы рабочей машины не совпадает  с режимом работы двигателя, поэтому передача механической от двигателя к рабочему органу машины осуществляется с помощью различных передач.

Механическими передачами, или просто передачами, называют механизмы, передающие работу двигателя исполнительному органу машины. Передавая механическую энергию, передачи одновременно могут выполнять следующие функции:

а) понижать и повышать угловые скорости, соответственно повышая или понижая вращающие моменты;

б) преобразовывать один вид движения в другой (вращательное в возвратно-поступательное, равномерное и прерывистое и т.д.)

в) регулировать угловые скорости рабочего органа машины;

г) реверсировать движение (прямой и обратный ход);

д) распределять работу двигателя между несколькими исполнительными органами машины.

В настоящем курсе рассматриваются только наиболее распространённые из механических передач.

Классификация передач. В зависимости от принципа действия все механические передачи делятся на две группы:

1)                передачи трением, основанные на использовании сил трения между элементами передачи фрикционные и ременные: а) фрикционная с условно постоянным передаточным отношением; б) фрикционная с переменным передаточным отношением и реверсированием; в) волновая;      

 

                                     

2) передачи зацеплением, работающие в результате возникновения давления между зубьями или кулачками на взаимодействующих деталях - это зубчатые, червячные, цепные.

Зубчатые волновые

         Фрикционные передачи, а также передачи зацеплением могут быть как с непосредственным контактом ведущего ведомового звеньев передачи, так и посредством гибкой связи- ремня, цепи.

         По характеру изменения скорости передачи делят на понижающие и повышающие.

         По характеру движения валов различают простые передачи, в которых валы вращаются лишь вокруг своей оси, а оси валов и сопряжённые с ними детали остаются в пространстве неподвижными, и планетарные, в которых оси и сопряжённые с ними детали перемещаются в пространстве. По конструктивному оформлению передачи могут быть открытые (не имеющие общего закрывающего его корпуса) и закрытые (заключённые в общий корпус, обеспечивающий герметизацию и постоянную смазку передачи).

         По числу ступеней, т.е. отдельных передач, взаимно связанных и одновременно участвующих в передаче и преобразовании движения, различают одноступенчатые и многоступенчатые  передачи.

         Передача, в которой энергия с входного на выходное звено передаётся через несколько параллельно расположенных механизмов, называется многопоточной передачей. Многопоточными являются волновые  и планетарные передачи, так называемые передачи с многопарным зацеплением.

         Многопарное зацепление – это такое зацепление, в котором одновременно находятся два и более число зубьев.

Фрикционные передачи

Фрикционная передача - механическая передача, служащая для передачи вращательного движения  (или для преобразования вращательного движения в поступательное) между валами с помощью сил трения, возникающих между дисками, цилиндрами или конусами, насаженными на валы и прижимаемыми один к другому. Фрикционные передачи состоят из двух катков (рисунок 1):

1) ведущего -1;

2) ведомого -2;

которые прижимаются один к другому силой  F_r , так что сила трения R_f  в месте контакта катков достаточна для передаваемой окружной силы F_t .

   .

Рисунок 1

Условия работоспособности передачи:

R_f  ≥  F_t

Нарушение этого условия приводит к буксованию. Один каток к другому может быть прижат:

Предварительно затянутыми пружинами; Гидроцилиндрами; Собственной массой машины или узла; Через систему рычагов с помощью перечисленных выше средств; Центробежной силой. Фрикционные передачи классифицируют по следующим признакам:

По назначению: с нерегулируемым передаточным числом (рис 1-3), с бесступенчатым регулированием передаточного числа (вариаторы) – без промежуточного звена и с промежуточным звеном.

По взаимному расположению осей валов: цилиндрические или конусные с параллельными осями (рис 1,2), конические и лобовые с пересекающимися осями (рис 3), туровые сносные.

 

Рисунок 2

3. В зависимости от условий труда: открытые (работают всухую), закрытые (в масляной ванне).

4. По принципу действия: нереверсивные, реверсивные.

 

Рисунок 3

Достоинства фрикционных передач: Простота конструкции и обслуживания; Плавность передачи движения и бесшумность работы; Большие кинематические возможности; За счет возможностей пробуксовки передача обладает предохранительными свойствами.

Недостатки: Непостоянность передаточного числа из-за проскальзывания; Незначительная передаваемая мощность; Для открытых передач сравнительно низкий КПД; Большое и неравномерное изнашивание катков при буксовании; Необходимость применения опор валов специальной конструкции с прижимными устройствами (это делает передачу громоздкой); Для силовых открытых передач незначительная окружная скорость.

Цилиндрическая фрикционная передача:

Это фрикционная передача с параллельными осями валов и рабочими поверхностями цилиндрической формы. Цилиндрические фрикционные передачи с гладкими катками и постоянным передаточным числом (рис 1) применяются для передачи небольшой мощности; широкое применение в приборостроении.

Геометрические параметры передачи:

Межосевое расстояние: а=1/2(D₁+D₂)=1/2D₁(1+U)

Рабочая ширина обода катка b=aψ_a, где ψ_a=0,2÷0,4 – коэффициент ширины обода катка по межосевому расстоянию.

Диаметр ведущего катка:  D₁=2a/(1+U)

Диаметр ведомого катка: D₂=D₁U=2au/(1=U)

Вариаторы

В большинстве современных рабочих машин необходимо регулировать скорость рабочих органов в зависимости от изменяющихся свойств обрабатываемого объекта, условии технологического процесса и т.п. Для этого машины снабжаются коробками передачи или механически регулируемые передачи – вариаторами, которые обеспечивают плавное изменение угловой скорости ведомого вала при постоянной угловой скорости ведомого вала. Вариаторы позволяют установить оптимальный скоростной режим и регулировать скорость на ходу. Их применение способствует повышению производительности машины, качеству продукции, уменьшению шума и вибрации. Основной кинематической характеристикой любого вариатора является диапазон регулирования:

Д= ω_2max/ω_2min= u_max/u_min, где ω_2max и ω_2min – максимальная и минимальная угловые скорости ведомого вала; U _max и U _min  - максимальное и минимальное значения передаточного числа передачи.

 

 

Лобовые вариаторы

Состоят из катков 1 и 2 установленных на взаимно перпендикулярных валах и прижатых один к другому пружиной сжатия. Вращение от ведущего вала к ведомому передается силой трения. Каток 1 соединяется с ведущим валом длиной направляющей шпонкой. При перемещении его вдоль шпонки изменяется расстояние x от оси вращения ведомого вала, вследствие чего изменяется число u ,а  следовательно и угловая скорость ω₂. Действительно из условия равенства окружных скоростей катков имеет передаточное значения и диапазон регулирования:  U_max=ω₁/ω_2min≈f_2max/f₁; u_min=ω₁/ω_2max≈f_2min/f₁

Д= ω_2max/ω_2min= u_max/u_min= f_2max/f_2min

Если каток 1 передвинуть в положение А, то произойдет изменение вращения ведомого вала. Вариаторы лобовые применяются в винтовых процессах и различных приборах.

Торовые вариаторы

Торовые чошки 1 и 2  закреплены на концах валов вращения от ведущего вала к ведомому передается двумя роликами 3 свободно установленными на осях 4. Изменение угловой скорости ω₂ ведомого вала достигается поворотами ролика вокруг шаров 5.Ведущий вал вращается с постоянной угловой скоростью ω_1, а угловая скорость ω₂ может быть равна больше или меньше ω₁ . Если  ролики перпендикулярны осям валов, то ω₁=ω₂. При отклонении осей  влево ω₂>ω₁, вправо ω₂<ω₁ торовые вариаторы нормализованы для мощности 1,5….15кВт; диапазон регулирования  в сухую от 4-6 , в масле от 6-10. Из всех вариаторов, имеют минимальное скольжение, но требуют высокой точности изготовления и монтажа.

 

Клиноременный вариатор

На параллельных валах параллельно установлены раздвижные конические диски в которые вставлены два регулируемых шкива. При принудительном сдвиге конических дисков ведомого вала ремень перемещается к наружному диаметру шкива, рабочий радиус r₂ увеличивается. При этом происходит раздвигание дисков шкива, что позволяет ремню переместить к оси шкива рабочий радиус R, уменьшается. Для уменьшения ω₂ надо раздвигать диски шкива. Предельные значения передаточного числа: U_max=ω₁/ω_2min≈f_2max/f₁; u_min=ω₁/ω_2max≈f_2min/f₁

Диапазон регулирования зависит от ширины ремня. Клиноременные вариаторы просты и наиболее удобны, надежны. Применяются в машиностроении.

 

Материалы и конструкции зубчатых колес.

В зависимости от материала и размеров колёс заготовки для них могут быть получены литьём, ковкой или штамповкой. Зубья колёс изготавливают накатыванием, нарезанием, реже литьём. Накатывание зубьев: Накатывание – это образование зубьев на специальном прокатном стане в результате пластических деформаций нагретой до температуры 1000 – 1100 º заготовки.

Деформирование заготовки производится валками, изготовленными в виде зубчатых колёс эвольвентного профиля. Нарезание зубьев: Существует два метода нарезания зубьев – копирование и обкатка. Метод копирования основан на прорезании впадин между зубьями дисковой, модульной (рис. 1.1а) или пальцевой (рис. 1.1б)  фрезами, форма режущих кромок, которых соответствует форме впадин зуба колеса.

                            а)                        б)

 

 

 

 

                                 Рис.1.1                     Рис1.2

Метод обкатки основан на воспроизведении зацепления зубчатой пары, одной из зубчатых деталей является обрабатываемая заготовка, а второй режущий инструмент, например инструментальная рейка     (Рис.1.2) . Отделка зубьев. Зубья зубчатых колёс 5…7-й степени точности после нарезания подвергают отделки. Способы отделочной обработки: обкатка, шевингование, приработка, шлифование, хонингование, полирование, электрополирование и тд. Точность изготовления. При

 

а)                                                               б)

 

 

 

 

 

Рис. 122

изготовлении зубчатых колёс неизбежны погрешности, например отклонение шага и формы профиля зубьев, биение колёс и др., которые вызывают дополнительные  динамические нагрузки и шум при работе. Точность зубчатых передач регламентируется стандартами (ГОСТ 1643-72 для цилиндрических и СТСЭВ 186-75 для конических передач), которые устанавливают 12 степеней точности, обозначаемых в порядке убывания точности цифрами 1,2,3,…,12. Подрезание зубьев. Подрезание зубьев возникает при нарезании методом обкатки колёс с малым числом зубьев, подрезание заключается в том, что вершины зубьев режущего инструмента внедряются в ножки зубьев нарезаемого колеса (рис.1.3). При необходимости нарезание колёс с малым числом зубьев, для устранения подрезания применяют  зубчатые колёса, со смещением.

 

 

 

Рис. 1.3

Материалы и конструкции зубчатых колёс

Материалы. Материал зубчатых колёс выбирают в зависимости от назначения и условия работы передачи.          

1. Стали. Термически обрабатываемые стали, являются основным материалом для зубчатых колёс. В зависимости от  твёрдости рабочих поверхностей зубчатые колёса делятся на  две группы. Первая группа-термообработка производится до нарезания зубьев. Вторая группа - высокая твёрдость, сначала нарезают зубья, затем термообработка.

2. Чугуны. Применяются для изготовления крупногабаритных колёс, тихоходных открытых передач.

3. Пластмассы. Текстолит, капрон, лингофоль и др. Они обеспечивают бесшумную, плавную работу. Применяются в низкозагруженных и кинематических передачах. Конструкции зубчатых колёс. Конструкция колёс зависит от способа получения и последующей обработки заготовок размеров колёс и объёма их производства. Зубчатые колёса диаметром d_а≥150мм изготавливают из круглого проката или из поковок плоскими (Рис.1.4).

 

 

 

Рис.1.4

 

При d_а≈150…600мм заготовку получают штамповкой (Рис.1.5) или ковкой реже литьём и сваркой. Конические колёса d_ае›180мм в целях экономии легированных сталей часто изготавливают составными (Рис.1.6). Шестерни цилиндрические (Рис.1.7) и конические, как правило изготавливают за одно целое с валом. Надёжность вала шестерни выше, а стоимость ниже, чем вала с насадной шестернёй. 

                                                                                                

 

 

 

 

 

                                     Рис.1.6                       Рис.1.7

 

Цилиндрические зубчатые передачи

Прямозубая передача: В прямозубой передаче зубья входят в зацепление сразу по всей длине; следовательно, нагрузка передаётся мгновенно. Это явление сопровождается ударами и шумом, сила которой возрастает с увеличением окружной скорости колёс. Применяются как в открытом, так и в закрытом исполнении.  

Основные геометрические размеры: определяют в зависимости от модуля m и числа зубьев z. Диаметры делительный и начальный   d = d_ω = mz.

В соответствии с параметрами исходного контура зубчатой рейки получим диаметры вершин и впадин зубьев:    d_a = d+2h_a = d+2m ; d_f = d – 2h_f = d – 2,5m.

Силы в зацеплении определяют в полюсе зацепления П. На шестерню действует вращающий момент М₁, который создаёт распределённую по контактным линиям нагрузку. Обычно эту нагрузку заменяют равнодействующей силой  F_n , направленной по линии зацепления nn и приложенной в полюсе П. Силу раскладывают на окружную F_t и радиальную F_r силы: F_t = F_n cosd_ω  = 2M₁/d₁ ; F = F_t tgd_ω .

На зубья шестерни и колеса действуют одинаковые, но противоположно направленные силы. На ведомом колесе направленные силы F_t совпадает с направлением вращения, а на ведущем-противоположно ему, т.е. силы F_t на ведущем и ведомом колёсах всегда направлены против действия соответствующих моментов. Радиальные силы F_r направлены к осям вращения колёс и создают «распор» в передаче (Рис.1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1

Шевронная передача: Для того, чтобы исключить недостаток косозубых передач и сохранить их преимущество, применяют шевронные передачи.   

В этих передачах каждая половина колеса нарезана со встречным углом наклона β линии зубьев (Рис.2). Поэтому осевые силы F_a взаимно уравновешиваются на колесе и на подшипнике не передаются. Это позволяет применять у шевронных

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2

колёс угол β ≈ 28…40° , что повышает нагрузочную способность передачи и плавность зацепления.

Применяют в быстроходных высоконагруженных передачах. Шевронные колёса изготавливают с дорожкой в середине колеса для выхода режущего инструмента (червячной фрезы) или без дорожки (нарезаются долбяком или гребёнкой со специальной заточкой).

Колёса без дорожки нарезают на специальных малопроизводительных и дорогих станках, поэтому их применяют реже, чем колёса с дорожкой. Ширина дорожки зависит от модуля зубьев.

Косозубая передача: Расчётом мысленно представим, что рассекли прямозубое колесо на две части средней плоскостью ПП, перпендикулярной оси колеса, и сдвинем каждую половину относительно другой на один и тот же угол. Получим двухступенчатое колесо. Работа передачи с такими колёсами будет более плавной. Рисунок 3 – косозубая передача.

     

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3

Основные геометрические размеры зависят от модуля

И числа зубьев. При расчёте косозубых колёс учитывают два шага: нормальный шаг зубьев p_n  - в нормальном сечении nn и окружной шаг p_t – в торцовом сечении tt; при этом p_t = p_n/cosβ. Соответственно шагам имеем два модуля зубьев: m_t = p_t/ π и m_n = p_n/π при этом: m_t = m_n/cosβ, где m_t и m_n – окружной и нормальный модули зубьев. За расчёт принимают модуль m_n, значение которого должно соответствовать стандартному.   Силы в зацеплении определяют в полюсе зацепления П. Сила нормального давления F_n зуба шестерни на зуб колеса направлена по линии зацепления. Её раскладывают на три составляющие: окружную F_t, радиальную F_r, осевую F_a силы при этом:

                F_t = 2M₁/d₁ ; F_r = F_t/tgdω/cosβ; F_a = F_t tgβ.

На зубья шестерни и колеса действуют одинаковые, но противоположно направленные силы. При определении их направления учитываются направления вращения колёс и направление наклонов зубьев.  

                    Косозубые цилиндрические передачи, их расчет

Рассечем мысленно прямозубое колесо на две части средней плоскостью nn, перпендикулярной оси колеса и сдвинем каждую половину относительно другой на один и тот же угол получим двухступенчатое колесо. Работа передачи с такими колесами будет плавной. Если увеличить число ступеней до бесконечности, то получим колесо с винтовыми или косыми зубьями с некоторым углом наклона линии зуба   (на рисунке 1).

                                                       

Рисунок 1

При работе такой передачи зубья входят в зацепление не сразу по всей длине как в прямозубой, а постепенно; предварительная нагрузка распределяется на несколько зубьев. В результате по сравнению с прямозубой повышается нагрузочная способность, увеличивается плавность работы передачи и уменьшается шум. Поэтому косозубые передачи имеют преимущественное распространение. С увеличением угла наклона  линии зуба плавность зацепления и нагрузочная способность передачи увеличивается, на при этом увеличивается осевая сила  что не желательно. Поэтому в косозубых передачах применяют угол .

Основные геометрические размеры зависят от модуля и числа зубьев. При расчете косозубых колес учитывают два шага: нормальный шаг зубьев - в нормальном сечении nn и окружный шаг - в торцевом сечении tt; при этом  (на рисунке 2).
                                           

Рисунок 2

Соответственно шагом имеем два модуля зубьев: и , при этом , где  и - окружной и нормальный модуль зубьев. За расчетный применяют модуль , значение которого должно соответствовать стандартному. Это объясняется следующим. Для нарезания косых зубьев используют инструмент того же профиля, что и для нарезания прямых. Наклон зуба образуют соответствующим поворотом инструмента относительно заготовки на угол  . Поэтому профиль косого зуба в нормальном сечении совпадает с профилем прямого зуба; следовательно, . Диаметры делительный и наклонный .

 Диаметры вершин и впадин зубьев:   ; .

Межосевое расстояние:  .

Эквивалентное колесо размеры и формы зуба в нормальном сечении принято определять через параметры эквивалентного прямозубого колеса (на рисунке 3).

 

Рисунок 3

Нормальный к линии зуба сечение mn делительного цилиндра имеет форму

эллипса. Радиус кривизны эллипса при зацеплении зубьев в полюсе . Профиль зуба в этом сечении достаточно близко совпадает с профилем приведенного прямозубого колеса, называемого эквивалентным, делительный диаметр которого , а эквивалентное число зубьев  или , где  действительное число зубьев косозубого колеса. Увеличение с увеличением - одна из причин повышения прочности косозубых передач.

Силы в зацеплении определяют полное зацепление П (на рисунке 4). Сила нормального давления зуба шестерни на зуб колеса направлена по линии зацепления эквивалентного прямозубого колеса и составляет угол  с касательной к эллипсу. Её раскладывают на три составляющие: окружную , радиальную  и осевую силы при этом ; ; .

На зубья шестерни и колеса действуют одинаковые, но противоположно направленные силы. При определении их направления уменьшают направление вращения колес и направления наклона зубьев. Наличие в зацеплении осевых сил, которые дополнительно нагружают валы и подшипники, являются недостатком косозубых передач.

5.1 Конические зубчатые передачи

Конические зубчатые колёса применяют в передачах, оси валов которых пересекаются под некоторым осевым углом S. Обычно S=90⁰. Конические колёса бывают с прямыми и круговыми зубьями. В сравнении с цилиндрическими конические передачи имеют большую массу и габариты, сложнее в изготовлении и монтаже. Применяют во всех отраслях машиностроения, где по условиям компоновки машины необходимо передавать движение между пересекающимися осями валов.

В конической передаче различают внешний, средний и внутренний дополнительные делительные конусы. Прочность колёс оценивается по сечению зубьев поверхностью среднего дополнительного конуса. Передаточное число u=w1/w2=dе2/dе1=z2/z1=ctg d1=tg d2 .

 

 

 

 

Рисунок 1

Коническая прямозубая передача.

Основные геометрические размеры (рис.2) определяют в зависимости от модуля mе и числа зубьев z. Высота и толщина зубьев конических колёс постепенно уменьшается по мере приближения к вершине конуса. Соответственно изменяются шаг, модуль и делительные диаметры, которых может быть бесчисленное множество. Для расчёта принимают только внешний dе и средний d делительные диаметры:  dе = mе*z .

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2

Конические передачи с круговыми зубьями (рис.3).

Ось кругового зуба – это дуга окружности соответствующего диаметра резцовой головки. Нарезание зубьев резцовой головкой обеспечивает высокую прочность, производительность и низкую стоимость колёс. По сравнению с коническими прямозубыми эти передачи обладают большой долговечностью, работают более плавно и с меньшим шумом. Нагрузочная способность их значительно выше, чем конических колёс тех же размеров.

Для расчёта конических колёс с круговыми зубьями их заменяют биэквивалентными цилиндрическими прямозубыми колесами. За расчётный принимают угол на окружности среднего диаметра колеса, обычно bп = 35⁰.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3

 

Планетарные, волновые и с зацеплением зубчатые передачи 

Любая планетарная передача состоит из трёх групп элементов: центральных колёс, колёс сателлитов и водил. Движение сателлитов, напоминающее движение планет вокруг Солнца, и определило название таких передач.

В общем случае центральное колесо и водило, могут получать вращение от двух независимых источников. Такая планетарная передача имеет две степени свободы и называется дифференциальной.

Если закрепить центральное колесо, то получим передачу с одной степенью свободы – движение можно передавать либо от водила к сателлиту, либо от сателлита к водилу; такая передача называется простой планетарной.

Основные параметры планетарных передач регламентированы ГОСТ22919-78, который распространяется  на одноступенчатые редукторы общего назначения с допускаемыми вращающими моментами на ведомом валу М2 = 125…1000Н*м и передаточными числами и: 6,3; 8; 10; 12,5. При больших передаточных числах в силовых передачах целесообразно применять двухступенчатые (ГОСТ22916-78) или даже трехступенчатые планетарные передачи.

 

                                                                       1- Центральное колесо;

                                                                        2- Сателлит;    h- водило.

 

Рисунок-1. Простейшая планетарная передача

Достоинства: большое передаточное число, малые габариты и масса.

Недостатки: повышенные требования к точности изготовления и монтажа; резкое снижение к.п.д. передачи с увеличением передаточного числа.

Волновыми называются передачи, у которых передача вращательного движения осуществляется посредством бегущей волновой деформации одного из зубчатых колёс. 

При вращении водила деформация венца гибкого колеса перемещается  по его окружности  в виде бегущей волны. Поэтому передачу называют волновой, а водило - генератором волн. Вращение генератора волн (ведущего звена) вызывает вращение гибкого колеса, которое обкатывается по неподвижному колесу, вращает ведомый вал.

Основные параметры волновых зубчатых передач для одноступенчатых редукторов регламентированы ГОСТ23108-78, который распространяется на волновые редукторы общего назначения с вращающими моментами на ведомом валу М2 =22,4…6300Н*м и передаточными числами и = 80…315.

 

                                          1-Неподвижное колесо с внутренними зубьями;

                                          2-гибкоподвижное колесо с наружными зубьями;  

                                          3-ведомый вал;

                                          4-гибкий радиальный шариковый подшипник кания;

                                          5-ведущий вал;             

                                          h-водило                         

Рисунок-2. Волновая передача

Достоинства: определяются многопарностью зацепления зубьев.

Недостатки: ограниченные частоты вращения генератора волн при больших диаметрах колёс; сложность изготовления в единичном производстве.

Повышение контактной прочности достигается применением круговинтового зацепления М.Л.Новикова, в котором профили зубьев колёс  в торцовом сечении ограничены дугами окружностей близких радиусов. Зуб шестерни делается выпуклым, а зуб колеса вогнутым. Линия зацепления расположена параллельно осям колёс, и поэтому площадка контакта зубьев здесь перемещается не по профилю зубьев, как в эвольвентой передаче, а вдоль зубьев. Непрерывность передачи движения обеспечивается винтовой формой зубьев. Поэтому зацепление Новикова может быть только косозубым.

 

                                                                     

 

 

                                                                      1-зубчатое колесо

                                                                      2-зубчатая шестерня

                                    

      Рисунок-3 .Передача с зацеплением Новикова.

Нагрузочная  способность передач с  зацеплением Новикова  по условиям контактной  прочности  примерно в два раза больше, чем цилиндрических эволь- вентных  тех  же  размеров. Дальнейшее  увеличение нагрузочной  способности достигается применением шевронных  передач. К недостаткам передачи  Новикова относятся  повышенная чувствительность к изменению  межосевого расстояния  и сравнительно сложный исходный контур инструмента.

 

Цепные передачи

Цепная передача относится к числу передач с промежуточным звеном (гибкой связью). Цепная передача осуществляется  при помощи бесконечной цепи охватывающей две (или более) звёздочки – колёса с зубьями специального профиля. Она служит для передачи движения только между параллельными валами. В отличие от ремённой передачи цепная передача работает подобно зубчатой без проскальзывания.

Основные достоинства цепной передачи: 1. компактность; 2. меньшая, чем в ремённых передачах, нагрузка на валы; 3. возможность передачи движения на значительное расстояние (до 5-8 м.); 4. возможность передачи движения одной цепью нескольким валам; 5. сравнительно высокий К.П.Д. передачи (до 0,98).

Недостатки цепной передачи: 1.увеличение шага цепи (цепь вытягивается) вследствие износа шарниров, что требует применения натяжных устройств; 2.более сложный уход по сравнению с ремёнными передачами (смазка, регулировка, устранение перекоса валов); 3. повышенный шум.

Цепные передачи широко применяют  в станках для обработки металла и дерева, в транспортных устройствах и др. Современные цепные передачи используются при передаточных числах j<10, при скоростях цепи до V=25 м/с и для передачи мощности до 150кВт. Они, как и зубчатые, бывают открытые и закрытые.

По характеру выполняемой работы цепи, применяемые в машиностроении, делятся на три основные группы: приводные, грузовые и тяговые. Каждая группа, в свою очередь, по конструктивным признакам делится на различные типы. В дальнейшем рассматриваются только приводные цепи: из них наиболее распространены роликовые втулочные и зубчатые (так называемые бесшумные) цепи.

Роликовые цепи состоят из двух рядов внутренних и внешних пластин. В наружные пластины заделаны оси, которые пропущены через втулку, запрессованные во внутренние пластины. На втулку насажены рабочие ролики, крутящиеся в процессе зацепления по зубьям звездочки. Втулочные и роликовые цепи бывают однорядными и многорядными. Их предельная скорость V<15 м/с.

Зубчатые цепи имеют пластины особого профиля, соответствующего профилю зубьев звёздочек. Эти цепи выпускаются с внутренними и боковыми направляющими пластинами. Все приводные цепи стандартизованы: роликовые и втулочные по ГОСТ 10947-64, а зубчатые цепи по ГОСТ 13522-68.

 

                    

Рис. 1 Цепная передача.            Рис.2 Роликовая цепь.

 

                                       Рис.3 Зубчатая цепь.

 

Ременные передачи

Ремённая передача относится к передачам трением с гибкой связью.

Передача состоит из двух шкивов: ведущего 1 и ведомого 2, закреплённых на волох, и ремня, надетого на шкивы с предварительным натяжением (рис.1).

 

 

 

 

Рисунок 1

 

Нагрузка передается силами трения, возникающими между шкивами и ремнем. В качестве гибкой связи (рис.2) в передачах применяют плоские (а, б), клиповые (в, г), поликлиновые (д ) и круглые ремни.

Достоинство: плавность и бесшумность работы; простота конструкции и эксплуатации; возможность передачи мощности на большие расстояния (до 15 м.); смягчение толчков и ударов вследствие упругости ремня; предохранение механизмов  от перегрузки  вследствие возможного проскальзывания ремня; возможность бесступенчатого регулирования скорости.

 

 

 

 

 

                                               Рисунок 2

Недостатки: большие габариты; некоторое непостоянство передаточного числа из-за неизбежного упругого скольжения ремня; повышены нагрузки на валы и подшипники от натяжения ремня; повышения нагрузки на валы; низкая долговечность ремней (1000-5000 ч.).

Применяют во всех отраслях машиностроение и в основном при параллельном расположение осей и вращения шкивов в одном направлении (так называемые открытие передачи).

Детали ременных передач

Приводные ремни должны обладать достаточными прочностью, гибкостью, износостойкостью и высокими коэффициентом трения со шкивами. Основные типы приводных ремней: плоские, клиповые и поликриповые.

Плоские ремни

Небольшое распространение имеют резинотканевые ремни (ОСТ 36 056-76) и ремни из синтетических материалов (ТУ 17-1245-74). Резинотканевые ремни (рис.2 (а)) в основном применяют при скорости ремня v30 м/с. Состоят из тканевого каркаса, т.е. из нескольких слоёв технической ткани 1-прокладок 2, связанных резиновыми прослойками. Ремни из синтетических материалов (рис.2 (б)) применяют при скорости v=50-100 м.с. и передаваемой мощности P до 15 кВт. Ремни тканые из мешковых капроновых тканей просвечивающего перетяжения со специальным плёночным функционым покрытием 2. В главном ремне уточные нити 1 являются тяговым элементом ремня.

 

Клиновые ремни.

(рис.3 (в, г) - это бесконечные ремни трапецеидального сечения с рабочими боковыми гранями Ф₀=40. Клиновые ремни нормальных сечений применяют при скорости ремня V30 м/с. Состоят из корда, обёрточного тканевого слоя и слоев резины, с вулконизированых в одно изделие. Корд является тяговым элементом ремня. Клиповые узкие ремни являются развитием ремней нормальных сечений. Меньшая ширина ремня способствует более равномерному распределению нагрузки по нитям высокопрочного корда.

 

 

 

 

                                               Рисунок 3

Поликлиновые ремни

(см. 3.64 (д)) применяются при V=40 их выпускают трех сечений длиной

400-4000 мм. и с числом ребер Z=2-36 для сечений к сечению ремня выбирают в зависимости от передаваемых Р.

 

 

Шкивы

Формы рабочей поверхности обода шкива определяются видам ремня. Для плоских ремней шкивы имеют гладкую поверхность провода. Для центрирования ремня поверхность ведомого шкива делается выпуклой  (рис.3 (а)). Для клиновых ремней (рис.3 (б)). Конструкция шкива для Поликлиновых ремней показано на (рис.3 (в)), а для круглых ремней на(рис.3 (г)).

Натяжные устройства.

Натяжные устройства в ременных передачах позволяют свободно надевать новые ремни на шкивы, создавать предварительные натяжения и периодической эксплуатации. Наиболее простым и распространенным способом натяжения ремней является перемещение одного из шкивов.                    

 

5.2  Передачи вращательного движения

         Червячная передача – предназначена для сообщения вращательного движения валом, оси которых скрещиваются под углом 90⁰. Достоинства: возможность получения больших перебалочных чисел при малых габаритах; плавность оцепления и бесшумность работы; возможность получения самоторможения. Недостатки: сравнительно низкий К.П.Д.; повышенный износ и нагрев; склонность к заеданию; необходимость наименования для колес дорогих антифрикционных материалов. Применение: червячные передачи применяют при небольших и средних мощностях, обычно не превышающих 50 кВт – в станках, подъемно-транспортных машинах, в качестве быстроходных ступеней. Во избежание их перегрева предпочтительно использовать в приводах периодического действия.

Виды червячных передач:

- архимедов червяк

- конволютный червяк

- эвольветный червяк

Общий КПД червячной передачи

η = η_п η_зп η_вп η_г, где η_п - потери в паре подшипников червяка, η_зп – потери в зубчатом зацеплении и червячного колеса, η_вп – потери в винтовой паре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Материал червячной пары. Выполнение червячной пары из однородных материалов не дает желаемых результатов, поэтому червяк и червячное колесо изготавливают из разных материалов. Все материалы можно разбить на три группы.

1) К этой группе относятся бронзы с пределом прочности на растяжении не более 300 МПа.

2) Безоловянные бронзы и латуни с пределом прочности на растяжение больше 350 МПа.

3) Относительно мягкие серые чугуны марок С410 С415 С418.

Наилучшее качество работы червячной передачи обеспечивают червяки, изготовленные как из цементитовой стали (20х, 12хнза, 18Хгт) с твердостью после термической обработки HRC 58…63, так и из среднеуглеродистой (45, 40х, 40х4) с поверхностной или объемной закалкой до твердости HR 50…55.

Виды разрушения червячной передачи. К основным видам разрушений червячной пары относятся такие разрушения как: заедание, поломки зубьев, трение и тепловой эффект.

Наименование параметра	Формула
Угол профиля витка в осевом сечении	2α=400
Расчетный шаг червяка	Р=πm
Осевой модуль червяка	m=Р/π
Ход витка	Рz =Рz1
Число витков червяка	Z1
Делительный диаметр червяка	d1=qm
Диаметр вершин витков	da1=d1+2ha1=m(q+2)
Диаметр впадин червяка	dƒ1=d1-2hƒ1=m(q-2,4)
Высота ножки витка червяка	hƒ1=hƒ2=1,2m

 

Грузовой винтовой механизм

Примером конструкции грузового винтового механизма  может служить домкрат (рис 1, а). Гайка запрессована в чугунный корпус. Винт вращается и перемещается  поступательно. Вращение винта обеспечивается усилиями одного или двух рабочих. Рукоятка , к которой прикладывается усилие, проходит через отверстие в головке винта. На головке укреплена чашка, упирающаяся в груз. Для уменьшения трения между головкой винта и чашкой по кольцевой опорной поверхности уменьшают радиус  опорной поверхности чашки или заменяют трение скольжения трением качения, вводя упорный шарикоподшипник (рис.1 б).  На конце винта укреплена шайба, препятствующая полному вывинчиванию винта из гайки.

Винтовые механизмы в процессе проектирования рассчитывают на прочность винта и гайки, на износ рабочих поверхностей резьбы и на продольную устойчивость  винта (при сжатии).

Внутренний диаметр винта домкрата определяется из условия прочности:                                     

(1)

По значению d₁ выбирают ближайший больший стандартный размер резьбы. Винтовые передачи Чаще всего выходят из строя вследствие износа скользящих друг по другу поверхностей витков резьбы.

Износостойкость винтовой передачи зависит от среднего давления на поверхностях витков, поэтому оно не должно превышать допустимого:

 

 

 

где (П/4) (d² – d²₁) – кольцевая рабочая поверхность одного витка; z – число витков гайки; F – осевая сила.

Допускаемое давление [p] в резьбе для пары сталь-чугун 6 – 10 МПа, для пары сталь – бронза 8 – 15 МПа. Высоту гайки определяют из расчета на износостойкость согласно условию (1) . Определив число витков гайки :        

 

 

находят высоту гайки h = pz , где р – шаг резьбы.

Иногда этот расчет называют также расчетом на невыдавливание смазки. По исследованиям Н.Е. Жуковского число витков гайки не должно превышать 10. Кроме того, гайку рассчитывают на растяжение по кольцевому сечению (рис 2):

 

 

Помимо растяжения происходит кручение тела гайки, его учитывают, вводя коэффициент β.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4 Валы и оси

Вал - вращающаяся деталь машины, предназначенная для установленных на нем зубчатых колес, звездочек, шкивов и т.п. и для передачи вращающего момента. При работе вал испытывает изгиб и кручение, а в отдельных случаях дополнительно растяжение и сжатие.

Ось - деталь машины, предназначенная только для поддержания установленных на ней деталей. В отличии от вала, ось не передает вращающего момента и, следовательно, не испытывает кручения. В машинах оси могут быть неподвижными, несущими на себе свободно вращающиеся детали, и подвижными, вращающимися вместе с установленными на них деталями.

Рис.1

Поддерживая детали передач, оси и валы, в свою очередь, сами опираются на неподвижные опорные части - подшипники и подпятники. Участки осей валов, лежащие в опорах, носят название цапф. Концевые цапфы именуются шипами, а промежуточные - шейками. (рис.1) Торцовые части вала и оси, упирающиеся в неподвижную опору и препятствующие осевому смещению, называются пятами. Пяты, могут иметь плоскую, шаровую или коническую форму.

 

 

Рисунок 1

По конструкции оси можно разделить на две основные группы: оси, вращающиеся в опорах вместе с насаженными на них деталями (рис.2,а); неподвижные оси, являющиеся опорой вращающихся на них деталей (рис.2,б)                                                                  

 

 

 

Рисунок 2

По конструкции валы делятся на сплошные и полые с прямой осью (рис.1) и коленчатые (рис3,а и б) с изменяемой формой геометрической оси (гибкие - рис3,в).

 

Рисунок 3

Для повышения - объемной для вала в целом и поверхностной для цапф, работающих на истирание,  - валы подвергаются объемной или поверхностной термической обработке. Длинные валы выполняются составными. Для облегчения вала или оси их иногда делают полыми. Оси и валы изготавливают из углеродистой стали марок Ст5, 35, 40, 45 и легированной стали марок 40Х, 30ХГТ и др. Проектировочный расчет вала выполняют как условный расчет только на кручение в целях ориентировочного определения посадочных диаметров. При этом обычно определяется диаметр выходного конца вала, который испытывает одно кручение: 

где Мк - крутящий момент в расчетном сечении вала, Нм; [] = 12…25МПа - условное допускаемое напряжение при кручении. Расчет на усталость сводится к проверке условия:                      

где  S - расчетный коэффициент запаса прочности в опасном сечении вала;  [S]1,5…2,5 - допускаемый коэффициент запаса прочности;  и    - коэффициент запаса прочности соответственно по нормальным касательным напряжениям;  и -коэффициенты снижения пределов выносливости.

Подшипники скольжения

Подшипники скольжения используют в современном машиностроении значительно  реже  подшипников качения. Однако имеется ряд областей их применения они являются предпочтительно, например для подшипников особо тяжёлых  валов. Подшипники скольжения состоят из двух элементов; корпуса и вкладыша.

Вкладыши, являются рабочим элементом опоры, может быть неподвижным относительно корпуса, подвижным и  самоустанавливающимся.

Более удобны глухие, неразъёмные подшипники  выполненные  отдельно и соединяемые со станиной  болтовыми (например,рис.1).

 

 

 

 

 

Рисунок 1

Подшипники подобного типа изготавливают с вкладышем и  без вкладыша. Вкладыш представляет собой втулку, запрессованную в отверстие. Неразъемные опоры скольжения можно применять для сравнительно  жёстких осей и валов.

На рисунке 2  показано разъемный подшипник.                                 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2

Подшипник этой группы из корпуса 5, разрезного вкладыша 4, крышки 3, и болтов 1. Вкладыш неподвижен относительно корпус и крышки. Смазка поступает на трущиеся  поверхности через отверстие в крышке из смазочного резервуара маслёнки  2. Износ вкладыша компенсируется поджатием крышки с верхней половиной вкладыша. При значительном износе вкладыш заменяется новым. Вкладыши подшипниках изготавливаются из чугуна, бронзы, стального литья с заливкой балитом, древесины, прессованной древесины, цельно  прессованной древесины, пластика, различных пластмасс. Корпуса крышки подшипников   скольжения обычно отливают из чугуна(при больших нагрузках –из стали) или делают сварными. Для нормальной работы подшипников трущиеся поверхности цапфы и вкладыши должны смазываться. Смазка вводится в зазор между цапфой и вкладышем. Она предназначена для уменьшения потерь работы на трение, уменьшение износа, отвода теплоты. В качестве смазочных материалов применяют жидкие масла и густые (консистентные) мази.

Смазка подшипников производится периодически ли непрерывно; она подаётся либо под давлением, либо без давления.

На рис.3 показана игольчатая маслёнка для подачи жидкой смазки . Масло находится в резервуаре 1. закрытом конической пробкой 2; другой конец пробки,  так же конический, вставлен в отверстие крышки подшипника. Сквозь пробку проходит игла 3, опирающаяся на поверхность цапфы. При вращении вала игла вследствие неровностей на поверхности цапфы колеблются, и масла в резервуаре проходит через зазор между иглой и отверстием пробки. При неподвижном вале подача масла не происходит.

 

 

 

 

Рисунок 3

Фитильные маслёнки (рисунок 4) обеспечивают равномерную подачу

масла к трущимся поверхностям. Недостаток фитильных маслёнок заключается в том, что масло из них  подаётся в подшипник тогда, когда вал не вращается. Широкое распространение получила кольцевая смазка подшипников (рис.5). На цапфе помещается кольцо диаметр которого больше диаметра цапфы. При вращении вала цапфы увлекает за собой кольцо, которое при движении проходит через масляную ванну. Масла с кольца стекает на цапфу и смазывает её. Для смазывания подшипника густыми смазками (мазями) применяют колпачковые маслёнки. Распределение масла в подшипнике осуществляется с помощью канавок. Смазочные канавки располагаются образующие вкладыша на ненагруженной стороне подшипника. Края канавки должны иметь плавные закругления

.   

 

 

 

 

 

 

          Рисунок 4                                               Рисунок 5

                                                                                                                  

Подшипники качения

Подшипники качения - (рис. 1) это сборочная единица, которая состоит из наружного1 и внутреннего 3 колец с дорожками качения А, тел качения 2 (шариков или роликов) и сепаратора 4, разделяющего и направляющего тела качения. Внутреннее кольцо устанавливают на валу (оси), а наружное – в корпусе. Таким образом, опора вала и  корпус разобщены телами качения. Это позволило заменить трение скольжения трением качения и существенно снизить коэффициент трения. Основные стандартные размеры подшипника: d и D- внутренний и наружный диаметры; В- ширина колец.

Достоинства: малые потери на трение, высокий КПД (до 0,995) и незначительный  нагрев; высокие надежность и нагрузочная способность; малые габаритные размеры  в осевом направлении; не высокая стоимость, простота в эксплуатации.

Недостатки: пониженная долговечность при ударных нагрузках; большое рассеивание долговечности из-за неодинаковых зазоров в собранном подшипнике, неоднородности материала, шум при работе.

Применяют - во всех отраслях машиностроения и приборостроения.

 

 

 

Рисунок 1

Классификация. По направлению действия воспринимаемой нагрузке подшипники качения делятся на радиальные, упорные, радиально- упорные, и упорно - радиальные.

По форме тел качения (рис. 2) на шариковые (а), и роликовые, причем последние могут быть с роликами: цилиндрическими короткими (б), или длинными (в), коническими (г), бочкообразными (д), смольчатыми (е) и витыми (ж).

 

 

 

Рисунок 2

По числу рядов тел качения: на одно-, двух-, четырех и многорядные.

По основным конструктивным признакам- на самоустанавливающиеся и несамоустанавливающиеся.

Материалы. Тела качения и кольца изготавливают из высокоуглеродистых хромистых подшипниковых сталей ШХ 15, ШХ 15 СГ и др.

 

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ.

- Шариковые радиальные подшипники (см. рис. 3) – наиболее простые и дешевые подшипники, предназначенные для восприятия радиальной нагрузки.

- Шариковые радиальные сферические подшипники (см. рис. 3) – предназначены для восприятия радиальной нагрузки. 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3

 - Роликовые радиальные подшипники с короткими цилиндрическими роликами (см. рис. 4) – способны воспринимать значительные радиальные нагрузки.

 

 

      

 

Рисунок 4

Роликовые радиальные подшипники с игольчатыми роликами (см. рис. 5) – обладают высокой радиальной грузоподъемностью при небольших радиальных габаритах

 

 

   

Рисунок 5

- Радиально-упорные шариковые подшипники (см. рис. 6) – способны воспринимать комбинированные радиально-осевые нагрузки.

- Роликовые конические подшипники (см. рис. 6а) – предназначены для восприятия одновременно действующих радиальных и осевых нагрузок.

- Упорные шариковые подшипники (см. рис. 6б) – воспринимают только осевые нагрузки;  однорядные (см.  рис. 6в) в одном направлении, двух рядные (см. рис. 6г) в двух направлениях.

 

      

          

          

 

Рисунок 6

 

5.4 Муфты

Если сносность соединяемых деталей (валов) в процессе монтажа и эксплуатации строго выдерживать: то допустимо устанавливать жесткие муфты: фланцевые (рис. 1) и втулочные (рис. 2)

 

Рис. 1: Муфты фланцевые. ГОСТ 20761-80.

 

 

Рис. 2:Муфты втулочные. ГОСТ 24246-80.

Хотя нет необходимости проверять стандартные муфты на прочность, однако для учебных проектов рекомендуется выполнение проверочных расчетов. Для втулочных муфт со штифтовыми соединениями – проверка штифтов на срез; со шпоночными и шлицевыми соединениями. При расчете болтовых соединений фланцевых муфт следует учитывать, что половина общего числа болтов устанавливается в отверстия без зазора, поэтому достаточно проверить только их на срез по условию прочности.

Существуют также кулачково - дисковая муфта, муфта с торообразной оболочкой (см. рисунок 3,4)  муфты цепные однорядные (рисунок 5)

Существуют муфты со звёздочкой ГОСТ 14084 – 76 (рисунок 6)

Рисунок 3 – Кулачково – дисковая муфта.

 

 

Рисунок 4 – Муфта с торообразной оболочкой.

 

Рисунок 5 – Муфты цепные однорядные.

Рисунок 6 – Муфты со звездой.

Предохранительные муфты

Для предохранения устройств от повреждений при возникновении случайных перегрузок, для аварийного одноразового выключения при непредусмотренном резком повышении нагрузки, применяют муфты с разрушающимися элементами. Включение привода возможно только при замене старого муфта на новый. Простейшая муфта данного типа – со срезным штифтом, материал штифта сталь (см. рисунок 7)

Рисунок 7- Муфта со срезным штифтом.

Диаметр штифта определяют из условия среза его силой F_max, возникающей при аварийной нагрузке F_max=T_max/R более удобно в эксплуатации муфты фрукционные дисковые.  Момент срабатывания таких муфт под действием критической нагрузки – регулируют пружинами, создающими осевую силу F_a ; предельное значение её определяют из условия, чтобы давление на диске не превышало допускаемой величины [р] (см. рисунок 8)

 

Рисунок 8 – Муфты предохранительные фрикционные (ГОСТ 15622-77)

Управляемые муфты

Управляемые муфты снабжены механизмом принудительного управления, который позволяет в процессе  работы многократно соединять и разъединять валы механизма или машины. Муфты делятся на 2 группы: муфты, основанные на зацеплении и муфты, основанные на трении.                                                          

Кулачковые муфты (рис.1) состоят из полумуфт 1и 3 с кулачками 2 на торцовых поверхностях. Полумуфта 1 соединена с валом неподвижно, а полумуфта 3 может перемещаться вдоль вала на направляющих шпонках или шлицах с помощью отводки 4.

Профиль кулачков (Рис 2.). Муфта с симметричным трапециидальным профилем (Рис 2а.) и углом скоса боковой грани 3…8⁰. Неравнобочный трапециидальный профиль кулачков (Рис. 2б), обеспечивает лёгкое включение муфты. При прямоугольном профиле (Рис 2в) требуется точное взаимное расположение муфт в момент времени.

На рис 3 показана схема простейшей дисковой муфты с одной парой поверхностей трения.

На рис 4 изображена многодисковая муфта, она получила преимущественное распространение в машиностроении.

Самодействующие муфты

 

                                                Рис.5

Самодействующие муфты обеспечивают автоматическое соединение и разъединение валов при изменении заданного режима работы машины.

Предохранительные муфты. Ограничивают значение передаваемого момента и этим предохраняют машины от поломок при перегрузках.

Муфта со  срезным штифтом. (рис.5) состоит из полумуфт 1 и 4, соединённых стальным штифтом 2, который вставлен в стальные закалённые втулки 3, предохраняющие полумуфты от смятия.

 

 

                                                 Рис.8

Кулачковая предохранительная  муфта отличается от кулачковой управляемой муфты отсутствием привода управления.

Фрикционная предохранительная муфта (рис 7) по конструкции аналогична управляемой многодисковой муфте. Отличие заключается в отсутствии привода управления и постоянном сжатии фрикционных дисков пружинами.

 

 

 

 

 

Рис.7

 

 

5.5 Соединение деталей

Шлицевые соединения

Зубчатые соединения осуществляются выступами – зубьями на валу, входящими во впадины соответствующей формы в ступице. По сравнению со шпоночными они обеспечивают лучшее центрирование и направление деталей на валах; большую нагрузочную способность и надёжность, особенно при динамических и переменных нагрузках.

Основное распространение получили шлицевые соединения с прямобочным и эвольвентным профилями зубьев, которые стандартизованы и могут быть неподвижными и подвижными.

Соединения с прямобочными зубьями. (рис. 1)

Эти соединения имеют постоянную толщину зуба. Выполняют с тремя видами центрирования ступицы на валу (рис. 2): По наружному диаметру (а); по боковым поверхностям (б); по внутреннему диаметру (в). Центрирование по боковым поверхностям обеспечивает более равномерное распределение нагрузки по зубьям, но снижает точность центрирования ступицы на валу. Поэтому оно  применяется при невысоких требованиях к соосности и передаче больших моментов. При требовании точного центрирования ступицы на валу используют центрирование по наружному или внутреннему диаметру. На прямобочных соединениях предусматривают три серии шлицев: лёгкую, среднюю, тяжёлую, которые отличаются высотой и числом зубьев Z. Лёгкая серия рекомендуется для неподвижных соединений, средняя – для подвижных, тяжёлая – для неподвижных и подвижных при передаче больших моментов.

Соединения с эвольвентными зубьями. (рис. 3)

Эти соединения имеют повышенную прочность и точность центрирования. Технология нарезания зубьев эвольвентного профиля более совершенна и точна, чем для зубьев прямобочного профиля. Соединения с эвольвентными зубьями наиболее перспективны.

Расчёт шлицевых прямобочных соединений.

Расчёт производят на смятие и износ (ГОСТ 21425-75)

Расчёт на смятие. Условие прочности.

, где  d_ср.= (D+d)/2 – средний диаметр соединения; h=L (D – d)/2-2f – рабочая высота зубьев; Z – число зубьев (шлицев); L – рабочая длина соединения. Расчёт на износ. Условие работы соединения без износа.

, где  [σ_изн.] – допускаемое напряжение на износ, зависит от твёрдости рабочих поверхностей зубьев (мПа); [σ_изн.] = 0,03НВ для нормализованных и улучшенных зубьев; [σ_изн.] = 0,3HRC для закаленных зубьев.

Шпоночные соединения

Шпоночные соединения служат для передачи вращающего момента от вала к установленным на нём деталям (зубчатым колесам, шкивам, муфтам и т. д.) или наоборот.

Шпоночные соединения осуществляются с помощью призматических деталей – шпонок, которые устанавливаются в пазах вала и ступицы детали. Шпоночные пазы на валах получают фрезерованием, а в ступицах – протягиванием.

Достоинства: простота разработки и сборки; надёжность в эксплуатации; компактность и простата конструкции.

Недостатки: ослабление вала и ступицы шпоночными пазами; наличие концентрации напряжений в зоне больших моментов; высокие требования к точности выполнения шпоночных пазов; необходимость в дополнительных в деталях для осевой фиксации зубчатых колёс, шкивов и т. п.

Шпоночные соединения применяют при малых нагрузках, возможности размещения длинных спиц, необходимости лёгкой сборки и разборки. По мере роста нагрузок применение шпонок сокращается.

Основные типы шпоночных соединений. Шпоночные соединения делятся на две группы: Ненапряжённые и напряженные. Ненапряжённые соединения  осуществляются призматическими и сегментными шпонками, которые не вызывают деформацию ступицы и вала при сборке. Напряжённые соединения осуществляются клиновыми шпонками, которые вызывают деформацию при сборке.

 

 

 

 

Соединения призматическими шпонками имеют наибольшее распространение. Стандартизованы  обыкновенные и высокие шпонки. Последние обладают повышенной несущей способностью, их применяют, когда закрепляемые детали имеют малую длину. Момент передается узкими боковыми гранями шпонок. По форме торцов различают шпонки трёх исполнений: А, В и С. Шпонки с закруглёнными торцами обычно размещают в валу в пазах, обработанных пальцевой фрезой; плоские торцы шпонок помещают в близи деталей препятствующих осевому шпонок. Пазы обрабатывают дисковой фрезой, и дают меньшую концентрацию напряжений у вала.

 

 

 

 

 

Расчёт призматических шпонок. В размере сечений  шпонке и глубину паза вала t , выбирают в зависимости от диаметра d вала по СТ СЭВ 189 – 75. Длину шпонки конструктивно принимают на 5…10мм меньше длины ступицы, согласовывают со стандартом и проверяют на смятие:

 

Ơ_см = F_t  /  A_см ≤ [ Ơ ], где F = 2 М/d – окружная сила, передаваемая шпонкой;  А_см = (_см h-t₁ )l_p – площадь смятия.  Значит  Ơ = 2 М / [ d ( h – t₁ )L_p  ] ≤ [Ơ_см ], где М – момент вращения, L_p – рабочая длина шпонки.

 

Соединения сегментными шпонками являются разновидностью соединения призматической шпонкой работают боковыми гранями. Расчет сегментных шпонок. Размеры сечений шпонки, её длину L и глубину паза вала t , выбирают в зависимости от диаметра по ГОСТ 24071 – 80. Сегментные шпонки проверяют на смятие формулой:  Ơ = 2 М / [ dt(h – t₁)L_p] ≤ [Ơ_см ].

Соединения клиновыми шпонками имеют ограниченное применение. Клиновые шпонки представляют собой однокосные самотормозящие клинья с уклоном 1:100. При запрессовки клиновой шпонки происходит перекос ступицы по отношению к валу. Из-за этих недостатков применение клиновых шпонок ограничено.

Сварные соединения

Сварные соединения наиболее совершенны из неразъемных соединений. Они образуются под действием сил молекулярного сцепления, возникающих в результате местного нагрева соединяемых деталей или совместного пластического деформирования их. Способы сварки разнообразны. Наиболее широко распространена электродуговая сварка металлическим электродом. Процесс сварки ведется вручную или автоматически. Для защиты расплавленного металла от вредного воздействия воздуха применяют флюсы. Флюс обеспечивает высокое качество металла шва и устраняет его разбрызгивание.

Достоинства:

1) Равнопрочность шва и соединяемых деталей;

2) Герметичность соединений;

3) Технологичность и невысокая стоимость изготовления.

 

Недостатки:

1) Недостаточная прочность при переменных, ударных и вибрационных нагрузках;

2) Коробление деталей из–за неравномерности нагрева в процессе сварки и охлаждения;

3) Изменение структуры металла вблизи сварочных швов, что понижает прочность;

4) Опасность появления трещин.

Виды сварных соединений:

1) Стыковые – наиболее простые, надежные и экономичные конструкции. Имеют наименьшую массу и концентрацию напряжений в зоне шва. Эти соединения выполняют стыковыми швами, форма которых зависит от толщины соединяемых деталей и вида сварки. Геометрической характеристикой стыкового шва является толщина свариваемых деталей.

2) Нахлесточные – выполняют угловыми швами, которые по форме наружной поверхности могут быть нормальными, выпуклыми и вогнутыми. На практике наиболее распространены нормальные швы, имеющие в поперечном сечении форму равнобедренного треугольника. Выпуклые швы образуют резкое изменение сечения деталей в месте соединения, что вызывает повышенную концентрацию напряжений. Вогнутые швы обеспечивают плавное сопряжение металла шва с основным  металлом, что снижает концентрацию напряжений и увеличивает прочность соединения. Вогнутость шва достигается механической обработкой. Такие швы применяют при действии переменных нагрузок.

3) Тавровые – выполняют угловыми швами без скоса кромок или стыковыми со скосом кромок.

4) Угловые – выполняют стыковыми или угловыми швами. Они мало пригодны как силовые, поэтому их применяют как связующие или как слабо  нагруженные рабочие швы.

Расчет сварных соединений

В соответствии с конструкцией  сварного соединения назначают размеры шва, а затем выполняют проверочный расчет на прочность в предположении равномерного распределения напряжений по длине и сечению шва.

1) Стыковые – стыковые швы рассчитывают на растяжение или сжатие. Длина сварного шва ℓ _ш  равна ширине соединяемых полос b. Условие прочности шва на растяжение δ_р  = F/( Sℓ _ш )  ≤ [  δ_р  ], где F – осевая растягивающая сила; S – толщина шва;  δ_р и  [  δ_р  ] – расчетное и допускаемое напряжения на растяжение шва.

2) Нахлесточные – угловые швы рассчитывают на срез по опасному сечению, совпадающему с биссектрисой прямого угла. Расчетная высота шва К sin 45⁰  =  0,7 К. Условие прочности шва на срез   τ_ср = F/( Кℓ _ш ) ≤ [τ_ср ], где ℓ _ш  - длина шва; τ_ср и [τ_ср ] – расчетное и допускаемое напряжения на срез шва. Длину углового лобового шва ℓ _л  обычно принимают равной ширине привариваемой детали. Длина углового флангового шва  ℓ _ф = F/( 2 *0,7  К [τ_ср ] ).

 

Допускаемые напряжения

Прочность сварных соединений зависит от следующих фактов:

1) Качества основного материала;

2) Характера действующих нагрузок;

3) Технологических дефектов сварки;

4) Деформаций, вызываемых сваркой;

5) Различной структуры и свойств наплавленного и основного металла.

Поэтому допускаемые напряжения при расчете сварных соединений принимают пониженными в долях от допускаемых напряжений для основного металла.

Клеевые соединения

Склеивание – один из эффективных способов соединения  конструкционных материалов. Нагрузочная способность клеевых соединений в основном зависит от конструкции склеиваемых деталей, качества подготовки поверхностей склеиваемых деталей, качество подготовки поверхностей к склеиванию и правильности выбора типа клея.

Сопрягаемые поверхности склеиваемых деталей не должны иметь заусенцев и забоин. Перед склеиванием эти поверхности тщательно обезжиривают органическими растворителями. В зависимости от склеиваемых материалов и условий работы для склеивания применяют различный клей.

Достоинства:

1) Герметичность;

2) Возможность соединения разнородных материалов, неподдающихся сварке;

3) Высокая коррозийная стойкость;

4) Малая концентрация напряжений.

Недостатки:

1) Зависимость прочности и долговечности клеевых соединений от условий эксплуатации;

2) Сложность технологических режимов склеивания.

Виды клеевых соединений.

Их выполняют:

1) По косому срезу

2) С накладками

3) Нахлесточными

Эти соединения рассчитывают на сдвиг, методами сопротивления материалов, принимая допускаемое напряжение на сдвиг [τ_ср ] = 15…20 МПа.

Заклепочные соединения

До недавнего времени заклепочные соединения широко применяли в различных инженерных сооружениях: судах, котлах, кранах, мостах и др. В последние десятилетия область применения таких соединений в общем машиностроении резко сузилась в связи с развитием методов сварки. Заклепочные соединения остаются еще распространенным видом неразъемного соединения при изготовлении металлических конструкций из легких сплавов (дюралюминия).

Заклепка (рис. 1, а) - цилиндрический стержень 1 круглого поперечного сечения, на конце которого имеется закладная головка 2. В процессе клепки выступающая часть цилиндрического стержня превращается обжимкой 3 в другую, так называемую замыкающую головку 4 (рис. 1, б).

Основные типы заклепок показаны на рис. 2. Они различаются по форме головки. Наиболее распространены заклепки с полукруглой головкой (рис. 2, а). В тех случаях, когда выступающие из деталей головки недопустимы, применяют заклепки с потайными головками (рис. 2, б). Кроме этих заклепок в самолетостроении и некоторых отраслях промышленности применяют специальные типы заклепок, например пистоны (рис. 2, в).

Рисунок 1 Заклепка цилиндрическая                              Рисунок 2 Основные типы заклепок

В качестве материала для заклепок используют малоуглеродистую сталь (Ст.2, Ст. 3). Место соединения листов  с помощью заклепок называется заклепочным швом. Для достижения полной герметичности производят подчеканку шва: ударами по специальному инструменту - чекану - осаживают часть кромки склепываемого листа для плотного прижима одного шва к другому.

По назначению различают заклепочные швы: прочные, от которых требуется только прочность; плотные, которые помимо прочности должны обеспечивать герметичность конструкции.

 

 

Резьбовые соединения

Резьбовые соединения – самый распространенный вид разъёмных соединений. Они осуществляются с помощью крепёжных деталей – болтов, винтов, шпилек, гаек и др. деталей, основным параметром которых является резьба. Резьбу нарезают вручную метчиками или плашками, а также на специальных станка резцами, резьбовыми головками или плашками, фрезами; в массовом производстве резьбу получают накатыванием на резьбонакатных автоматах.

Классификация резьб:

По форме поверхности, на которой образованна резьба, различают цилиндрические и конические резьбы.

По форме профиля резьбы делятся на треугольные (а), трапецеидальные (б), упорные (в), прямоугольные (г), круглые (д).

а)                              б)                                    в)                          г)

 

 

                                 д)

                        

Расчёты:

Расчёты не затянутых болтов: Gp = 4Q/ πd²₁ ≤ [Gp]; d₁≥√ 4Q/π[Gp]

где Q – осевая нагрузка; d₁ – внутренний диаметр резьбы; [Gp] – допускаемое напряжение на растяжение.

Расчёты болтового соединения, затянутого, не нагруженного внешней осевой силой: Gp = 4Q₀/ πd²₁ ≤ [Gp];       Q₀ =1,3Q;      d₁ ≥ √ 5,2Q/ π[Gp], где Q₀ – расчётная эквивалентная нагрузка.

Расчёт напряжённого болтового соединения, к которому после затяжке приложена внешняя осевая нагрузка: Q₁=(1,1÷1,4) Q; Q₀=(1,4÷1,8)Q;                              Q₀=1,8Q ;  d₁ ≥ √ 7,2Q/ π[Gp]                  

 

 

Стандартные крепёжные детали:

Винты резьбовых соединений общего назначения бывают крепёжные и установочные. В зависимости от размеров и назначения головки болтов и крепёжных винтов разнообразны: шестигранные (а), полукруглые (б), цилиндрические (в), потайные (г):

  а)                                   б)                    в)                           д)                              

 

 

Шпильки наиболее распространённых типов показаны: как тип А – шпильки удобны при изготовлении резьбы резаньем; типа В – при накате резьбы. Диаметр резьбы одинаков.

                        Тип А                                                    Тип В

 

 

 

Гайки в зависимости от формы бывают шестигранные с одной и двумя фасками (а), шестигранные прорезные (б), шестигранные корончатые (в):

 

а)                             б)                                   в)

 

 

 

Материалы: стандартные крепёжные детали общего назначения изготовляют из углеродистых сталей Ст 3, 10, 20, 35, 45 и др.Эти стали в условных массового производства позволяют изготовлять резьбовые детали методом холодной высадки с последующей накатки резьбы. Легированные Ст 35х, 38хА и др. применяют для высоконагруженных деталей при переменных и ударных деталей. Сталь, болты, винты и шпильки изготавливают 12 классов прочности: 3,6  4,6  4,8  5,6  5,8  6,6  6,8  6,9  8,8  10,9  12,9  14,9  (ГОСТ 1759 – 70).

 

Соединение с натягом

Соединение с натягом получают с помощью прессовых насадок. Из соединения деталей с натягом наиболее распространение получили цилиндрические, т.е. такие, в которых одна деталь охватывает другую по цилиндрической поверхности. (рисунок 1.1)

 

Рис.1.1            

 

После сборки на посадочной поверхности возникает контактное давление р и соответствующие ему силу трения, которое обеспечивают неподвижность соединения.

Прессование – наиболее простой и распространенный способ сборки, однако при запрессовки происходит смятие и частичное срезание неровностей посадочных поверхностей, что снижает прочность соединения. Соединение детали нагревом или охлаждением не имеет этого недостатка, поэтому прочность таких соединений в 1.5…2 раза выше, чем соединение, собираемое запрессовкой. Нагревание ступицы производят в горячем масле, токами высокой частоты или в газовой печи (до температуры 200…400 ⁰С), а охлаждение вала – сузим льдом или жидким воздухом. Охлаждение валов применяют ограниченно из-за возможности коррозии, т.к. холод вала образует иней. Разность температур нагрева ступицы или охлаждения вала должна обеспечить минимально необходимый зазор.

Соединение с натягом применяют для изготовления составных зубчатых, червячных  (рисунок 1.2) и локомотивных (рисунок 1.3) колес, соединения их с валами для посадки подшипников качения, роторов электродвигателей и т.д. Они постепенно вытесняют шпоночные и                                 

Рис. 1.2                         другие соединения, особенно при               Рис.1.3

отсутствии необходимости в частой сборке-  разборке.

Расчет соединения с натягом (рисунок 1.4)                                                             

Прочность соединения зависит от значения натяга, который принимает в соответствии с выбранной посадкой. При расчете посадки с натягом в первую очередь определяют значение необходимого давления р на посадочной поверхности в предложении равномерного распределения его     по всей поверхности. Это давление должно быть таким, чтобы силы трения, возникающие на посадочной поверхности соединения, обеспечивали надёжную передачу за данной осевой силы F вращающего                                                      Рис. 1.4                                    момента М или их комбинации. Значение р определяют по следующим формулам:                                                                                                        

при передачи осевой силы F

при передаче вращающего момента М:

                                                                        

при одновременной передачи осевой силы F вращающего момента М:

 

где К =1.5…2- коэффициент запаса прочности соединения; d и l – номинальный диаметр и длина соединения; f – Коэффициент трения (сцепления).

При запрессовке: f = 0.085-сталь по стали и чугун, f = 0.05- бронза по стали и чугуну.

Расчет натяга  связан с давлением р зависимость Ляме:

, где С₁  и  С₂- коэффициенты жесткости:

  , где d₁- диаметр отверстия вала;  d₂- наружный диаметр охватывающего детали; Е₁  и  Е₂, v₁ и  v₂- модуль упругости и коэффициенты Пуассона материала вала и ступицы: для стали Е=2,1^.10⁵ МПа и v=0.3; для бронзы Е=0,98^.10⁵ МПа и v=00ю35.

При сборке соединения неровности посадочных поверхностей срезается и сглаживается; для компенсации этого требуемый натяг  должна быть больше расчетного   :

где Ra₁  и  Ra₂ – средняя арифметическое отклонение профилей спрягаемых поверхностей. По стандарту СТ СЭВ 144-75 выбирают посадку.

На практике возможны случаи, когда выбранная посадка создаёт натяг значительно больше требуемого , который вызывает разрушение деталей. Поэтому их нужно проверять на прочность. Рассчитывают наибольший расчётный натяг:

Максимальное давление:

                             

Рассчитывают касательный натяг:    

,  где - наибольшее эквивалентное напряжение в точках внутренней поверхности ступицы; - предел  текучести материала ступицы.

Проверка на прочность ступицы рассчитывать не обязательно, т.к. напряжение превышает 0,8

Формулы применимы для детали из бронзы.

 

 

5.6 Механизмы прерывистого одностороннего движении

Храповые механизмы

         Храповые механизмы применяют для осуществления  движений подачи инструмента и обрабатываемого материала в различных  станках. Кроме того, их используют в качестве  тормозных устройств, препятствующих обратному ходу. Так, храповой механизм в грузоподъемных лебедках предотвращает падение поднятого груза.

Основой храпового механизма служит храповая пара (рис. 1),  состоящая из  останавливаемого звена 1, называемого храповиком, и останавливающего звена 2, называемого собачкой или щеколдой. Замыкая оба звена стойкой 3, получаем храповой механизм.

Храповые механизмы делятся на  2 основных класса:

         1. Механизмы, в которых храповик задерживается собачкой  только в одном направлении, а в другом направлении  может  двигаться и приподнимать собачку. К этому классу относятся механизмы, имеющие храповик с острыми зубьями (рис.1).

         2. Механизмы, в которых  храповик затормаживается в двух направлениях. К этому классу относятся механизмы имеющие храповики с симметричными зубьями. Действие такого храповика соответствует работе двух противоположно действующих храповых механизмов. Широкое применение получили фрикционные храповые механизмы. Их можно рассматривать как  зубчатые с малым шагом.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. Кулачковый фрикционный  храповой механизм.

Рисунок 1. Храповой механизм.

 

Мальтийские механизмы

         Мальтийские  механизмы (рис. 3) применяют для преобразования непрерывного вращения ведущего звена 1 в прерывистое движение ведомого звена 3. Палец 2 закрепленный на ведущем звене 1, последователь входит в прорези ведомого  звена (креста 3).

         На рисунке показан момент начала движения креста 3. Палец 2 находится в начале  прорези. При вращении звена 1 по часовой стрелке  палец входит внутрь прорези, приближаясь к оси вращения креста, а затем начинает удаляться от оси и выходит из прорези. Пока  палец перемещается по прорези.  крест поворачивается, а после выхода пальца из прорези крест останавливается. Палец. продолжая вращаться, через некоторое время входит в следующую  прорезь креста и  движение креста снова повторяется. Если  крест имеет 4 прорези, то при одном полном повороте пальца крест поворачивается на четверть поворота. Чтобы крест во время  остановки не поворачивался самопроизвольно, поверхность между его прорезями делается вогнутой, а поверхность ведущего диска – выпуклой.

 

 

 

 

 

 

 

      

 

                                 1

 

         Мальтийские механизмы изготавливают с тремя, четырьмя,  пятью, шестью и восемью прорезями креста, что соответствует 1/3, 1/4, 1/6 и 1/8  оборотам ведомого  звена за один полный оборот ведущего звена.

Кулачковые и рычажные механизмы

В современных приборах и машинах широкое распростронение получили так называемые рычажные механизмы и в первую очередь кривошипно-шатунные механизмы (Рис.1),состоящий из стойки 1,кривошипа 2,шатуна 3 и ползуна 4, движущегося в направляющих 5.

Кривошипно-шатунные механизмы служат для преобразования вращательного движения кривошипа в возвратно-поступательное прямолинейного движения ползуна. Наоборот, когда ведущим звеном является ползун, возвратно-поступательное движение прямолинейное движение ползуна преобразовывается во вращательное движение кривошипа и связанного с ним вала.

Кривошипно-шатунные механизмы широко применяют в поршневых двигателях, компрессорах, прессах, насосах и т. д.

Если прямая хх, по которой движется центр шарнира. В, проходит через ось вращения кривошипа. О, то механизм носит название центрального. Если эта  прямая не проходит через точку. О, то полученный кривошипно-шатунный механизм называется дезаксиальным или нецентральным.

Кулачковые механизмы применяют в тех случаях, когда перемещение. Скорость и ускорение ведомого звена должны изменяться по заранее заданному закону, в частности, когда ведомое звено должно периодически останавливаться при непрерывном движении ведущего звена.

Чаще всего кулачковый механизм состоит из трех звеньев (Рис. 2,а): кулачка 1, толкателя 2 и стойки 3. На рис. 2, б представлен четырехзвездный кулачковый механизм (четвертое звено – ролик 4).

Кулачковые механизмы подразделяются на плоские и пространственные. Плоскими называют такие кулачковые механизмы, у которых кулачок и толкатель перемещаются в одной или параллельных плоскостях;  пространственными – такие, у которых кулачок и толкатель перемещаются в параллельных плоскостях. На рисунке 3 представлена схема пространственного цилиндрического кулачкового механизма с профильным пазом на боковой поверхности.

Для увеличения стойкости кулачки изготовляют из высококачественной стали с рабочей поверхностью высокой твердости. С целью уменьшения трения и из носа на толкателе устанавливают ролик, который вращается на оси и катится без скольжения по рабочей поверхности кулачка  рис. 2, б.

Кроме износа звеньев. Недостатком кулачковых механизмов является необходимость обеспечивать постоянное соприкосновение (замыкание) между звеньями. В процессе  работы кулачкового механизма могут возникать большие усилия, главным образом инерционные, направленные  на отрыв рабочей поверхности толкателя от кулачка. Для восприятия этих усилий применяются либо геометрическое (кинематическое), либо силовое замыкание кинематической цепи.

К числу недостатков кулачковых механизмов следует отнести сложность изготовления профиля  кулачка. От которого требуется, особенно для скоростных передаточных механизмов, большая скорость.

В тех случаях, когда толкатель должен перемещаться с периодическими остановками, участки профиля кулачка, соответствующие этим периодам, должны быть очерчены дугами окружности, проведенными из центра вращения кулачка.

                                                                                                                                                                          

 

Общие сведения о редукторах

Редукторами называют механизмы, состоящие из передач зацеплением с постоянным передаточным отношением, заключенные в отдельный корпус и предназначенные для понижения угловой скорости выходного вала по сравнению с входным.

По типу передачи редукторы могут быть зубчатые с простыми передачами (цилиндрическими, коническими, червячными).

Зубчатые планетарные и волновые редукторы относятся к числу многопоточных и многопарных передач.

Комбинированные редукторы – редукторы, сочетающие различные передачи: коническо-цилиндрические, зубчато червячные, планетарно- волновые и т.п.

В зависимости от числа пар звеньев в зацеплении (числа ступеней) редукторы общего назначения бывают одно-, двух-, трехступенчатыми.

По расположению осей валов в пространстве различают редукторы с параллельными, соосными, пересекающимися и перекрещивающимися осями входного и выходного валов.   

Схема описанного редуктора.          Простая развернутая с однопоточной

                                                                 передачей энергии редуктор.

 

                      

Схема с раздвоенной быстроходной           Сносный редуктор.   

                  ступенью.

Схема конструкции коробки               Схема конического редуктора.                                                   

             скоростей.  

 

Червячные редукторы.

В зависимости от расположения червяка относительно колеса червячные редукторы могут иметь следующие компоновочные схемы (с червяком под колесом, над колесом, сбоку от колеса, с вертикальным расположением червяка).

Редуктор имеет неразъемный корпус с ребрами жесткости и крышку. В корпусе устанавливают узел червячного вала и червячного колеса. Червячный вал вращается на конических роликоподшипниках. Регулировка подшипников осуществляется набором тонких металлических прокладок и крышкой. Со стороны выступающего конца вала в крышке имеется манжетное уплотнение, фиксируемое пружинным кольцом. Зубчатый венец червячного колеса выполнен из бронзы, остальная часть - из чугуна.

Планетарные редукторы.

По конструкции планетарные редукторы сложнее редукторов, описанных выше. Основные затруднения при разработке конструкции возникают в связи с необходимостью компоновки в небольших габаритах соосно расположенных вращающихся колес и водила.

Волновые зубчатые редукторы.

В кинематическом отношении этот тип редукторов является разновидностью планетарных и отличается от них тем, что имеет так называемое гибкое колесо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1.     Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов – М.: Высшая школа, 1989.

2.     Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1988.

3.     Краткий курс теоретической механики С.М. Тарг.

4.     Куклин Н.Г., Куклина Г.С. Детали машин. – М.: Машиностроение, 1987.

5.     Курс теоретической механики (том1 ) Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц,Д.Р. Меркин.

6.     Курс теоретической механики. А.А. Яблонский, В.М. Никифорова.

7.     Курс теоретической механики. В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин.

8.     Мархель И.И. детали машин. – М.: Машиностроение, 1986.

9.     Методические указания к решению задач по теоретической механике. В.Н. Адамов.

10. Мовнини Н.С., Израелит А.Б., Рубашкин А.Г.. Основы технической механики. – Л.: Машиностроение, 1990.

11. Никитин Г.М. Теоретическая механика для техникумов. – М.: Наука, 1988.

12. Романов Н.Я., Константинов В.А., Покровский Н.А. Сборник задач по деталям машин. - М.: Машиностроение, 1984.

13. Руководство к решению задач по теоретической механике. А.И. Аркуша.

14. Руководство к решению задач по теоретической механике. Т.Б. Айзенберг, И.М. Воронков, В.М. Осецкий.

15. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под общей редакцией А.А. Яблонского.

16. Сборник задач по теоретической механике. И.В. Мещерский.

17. Сборник задач по теоретической механике. Учебное пособие для вузов. Под редакцией Н.А. Бражниченко.

18. Теоретическая механика в примерах и задачах (том 1). М.И.Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.

19. Теоретическая механика. В.М. Старжинский.

20. Теоретическая механика. М.В.Попов.

 

 

Приложение

 

Вопросы для докладов

1.     Материальная точка. Сила. Система сил. Равнодействующая сила. Аксиома статики.

 

2.     Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический способы определения равно действующей силы.

 

3.     Условие и уравнение равновесия. Метод проекций. Связи и реакции.

 

4.     Пара сил, момент пары сил. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси.

 

5.     Приведение к точке системы сил. Балочные системы. Классификация нагрузок и опор. Понятие о силе трения.

 

6.     Центр тяжести простых геометрических фигур. 

 

7.     Центр тяжести стандартных прокатных профилей. Определение центра тяжести плоских фигур.

 

8.     Основные понятия кинематики. Способы задания движения. Виды движения точки. Средняя скорость, ускорение.

 

9.     Различные виды движений твердого тела. Мгновенный центр скоростей. Абсолютная скорость.

 

10. Динамика. Основные понятия и аксиомы динамики.

 

11. Понятие о силе инерции. Принцип Даламбера. Метод кинетостатики.

 

12. Работа постоянной и переменной сил. Работа и мощность при вращательном движении, КПД.

 

13. Общие теоремы динамики.

 

14. Основные задачи сопротивления материалов.

 

15. Методы расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.

 

16. Деформации упругие и пластические. Основные гипотезы и допущения. Классификация нагрузок и элементов конструкции.

 

17. Силы внешние и внутренние. Метод сечений: напряжение полное, нормальное, касательное.

 

18. Характеристика деформации. Эпюры продольных сил.

 

19. Нормальное напряжение. Эпюры нормальных напряжений. Испытания материалов на растяжение и сжатие при статическом нагружении.

 

20. Напряжения предельные, допускаемые и расчетные. Условие прочности.

 

21. Срез, основные расчетные предпосылки, расчетные формулы, условие прочности.

 

22. Смятие, условности расчета формулы, условие прочности. Допускаемые напряжения. Условие прочности, расчетные формулы.

 

23. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге.

 

24. Модуль сдвига. Внутренние силовые факторы при кручении. Эпюры крутящих моментов.

 

25. Кручение бруса круглого поперечного сечения. Основные гипотезы. Напряжения в поперечном сечении.

 

26. Угол закручивания. Условие  прочности. Определение диаметра вала из условия прочности при кручении.

 

27. Изгиб, основные понятия и определения. Классификация видов изгиба. Внутренние силовые факторы, правила построения эпюр.

 

28. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Нормальные напряжения при изгибе. Условие прочности.

 

29. Рациональная форма поперечных сечений балок. Понятие изгиба в деталях и узлах подвижного состава железнодорожного транспорта.

 

30. Линейные и угловые перемещения при изгибе. Расчет на жесткость.

 

31. Циклы напряжений. Усталостное разрушение, его причины и характер. Кривая усталости, предел выносливости.

 

32. Факторы, влияющие на величину предела выносливости. Коэффициент запаса.

 

33. Понятие о динамических нагрузках в деталях и узлах подвижного состава железнодорожного транспорта.

 

34. Силы инерции при расчете на прочность. Динамическое напряжение, динамический коэффициент.

 

35. Критическая сила, критическое напряжение, гибкость. Формула Эйлера. Формула Ясинского. Категории стержней в зависимости от гибкости.

 

36. Машина и механизм. Современные направления в развитии машиностроения. 

 

37. Основные задачи научно-технического прогресса в машиностроении.  Требования,  предъявляемые к машинам и их деталям.

 

38. Неразъемные и разъемные соединения,  их достоинства и недостатки.  Сварные,  заклепочные и клеевые соединения.

 

39. Соединения с натягом. Резьбовые соединения. Классификация резьбы, основные геометрические параметры резьбы. Основные типы резьбы, их сравнительная характеристика и область применения. 

 

40. Шпоночные и шлицевые соединения. Назначение, достоинства и недостатки, область применения. Классификация, сравнительная оценка.

 

41. Соединения в деталях и узлах подвижного состава железнодорожного транспорта.

 

42. Классификация передач. Фрикционные передачи.

 

43. Ременные и цепные передачи. Достоинства и недостатки, область применения. Расчет. Зубчатые передачи.

 

44. Прямозубые и косозубые цилиндрические передачи. Червячные передачи. Редукторы. Вращающие моменты и мощности на валах.

 

45. Передачи и приводы подвижного состава железнодорожного транспорта.

 

46. Определение максимального вращающего момента по мощности на валу. Валы и оси, их виды, назначение, конструкция, материал.

 

47. Опоры, классификация, конструкции, область применения в деталях и узлах подвижного состава железнодорожного транспорта,  условные обозначения, достоинства и недостатки.

 

48. Муфты, их назначение и классификация.  Устройство и принцип действия основных типов муфт.

 

49. Методика подбора муфт и их расчет. Муфты,  применяемые на подвижном составе железнодорожного транспорта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экзаменационные вопросы по дисциплине «Техническая механика»

 

1.     Задачи теоретической механики

2.     Понятие сила и система сил

3.     Аксиомы статики: первая и вторая

4.     Аксиомы статики: третья и четвёртая

5.     Свободное и несвободное тело. Реакция

6.     Активная и реактивная сила

7.     Виды связей и реакции: свободное опирание тела о связь, шарнирно-подвижная опора, гибкая связь

8.     Виды связей и реакции: стержневая связь, шарнирно-неподвижная опора

9.     Принцип освобождаемости от связей

10.  Что называется плоской системой сходящихся сил, геометрическое условие равновесия системы

11.  Порядок построения многоугольника сил

12.  Что называется плоской системой сходящихся сил, аналитическое условие равновесия системы

13.  Проекция вектора на ось, знаки проекций

14.  Пара сил, момент пары сил, свойства пар сил

15.   Момент силы относительно точки

16.  Теорема Пуансо о параллельном переносе сил

17.  Определение координат центра тяжести плоских простейших фигур

18.  Методы определения центра тяжести

19.  Основные кинематические параметры

20.  Равномерное движение

21.  Равнопеременное движение

22.  Неравномерное движение

23.  Поступательное движение

24.  Вращательное движение

25.  Сила инерции, принцип кинетостатики

26.  Работа постоянной силы и силы тяжести

27.  Мощность, коэффициент полезного действия

28.  Механические свойства материалов

29.  Виды расчётов в «Сопротивлении материалов»

30.  Основные гипотезы и допущения в «Сопротивлении материалов»

31.  Классификация нагрузок

32.  Формы элементов конструкций

33.  Метод сечений

34.  Напряжения  в поперечных сечениях бруса

35.  Растяжение и сжатие. Правило знаков

36.  Правило построения эпюр

37.  Диаграмма растяжения для пластичных материалов

38.  Предельные и допускаемые напряжения

39.  Виды расчётов на прочность

40.  Геометрические характеристики плоских сечений

41.  Кручение. Гипотезы при кручении

42.  Изгиб, внутренние силовые факторы и правило знаков при изгибе

43.  Линейные и угловые перемещения при изгибе

44.  Устойчивость сжатых стержней

45.  Виды машин, требования к машинам и деталям

46.  Критерии работоспособности и расчёта деталей машин

47.  Классификация передач

48.  Общие сведения о фрикционных передачах

49.  Общие сведения о зубчатых передачах

50.  Виды разрушения зубьев зубчатых передач

51.  Общие сведения о ременных передачах

52.  Общие сведения о цепных передачах. Детали цепных передач

53.  Общие сведения о червячных передачах

54.  Общие сведения о редукторах

55.  Подшипники скольжения: общие сведения

56.  Подшипники качения: общие сведения

57.  Общие сведения о муфтах

58.  Общие сведения о соединениях с натягом

59.  Общие сведения о резьбовых соединениях. Классификация и основные типы резьб

60.  Стандартные крепёжные детали

61.  Способы стопорения резьбовых соединений

62.  Общие сведения о сварных соединениях

63.  Общие сведения о шпоночных соединениях

64.  Общие сведения и шлицевых соединениях