Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебное пособие "Уравнения и неравенства с параметрами"

Учебное пособие "Уравнения и неравенства с параметрами"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

Самарской области








« Уравнения

и

неравенства

с параметрами»


учебное пособие
















Клявлино






Учебное пособие


« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)








Авторы


учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна











Содержание



Введение……………………………………………………………3-4


Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7


Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9


Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11


Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13


Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15


Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17


Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18


Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20


Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28









Введение.

Уравнения и неравенства с параметрами.


Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

  1. Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.

  2. Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.


§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение аx=b, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

  1. Если а¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=hello_html_75c6b055.gif.

  2. Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b. В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b.

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax< b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

(hello_html_75c6b055.gif; +hello_html_m74e6612e.gif), если a> 0, и (-hello_html_m74e6612e.gif;hello_html_75c6b055.gif), если а < 0. Аналогично для неравенства

ах < b множество решений – промежуток (-hello_html_m74e6612e.gif;hello_html_75c6b055.gif), если a> 0, и (hello_html_75c6b055.gif; +hello_html_m74e6612e.gif), если а < 0.


Пример 1. Решить уравнение ах = 5


Решение: Это линейное уравнение .

Если а = 0, то уравнение 0×х = 5 решения не имеет.

Если а ¹ 0, х = hello_html_m29bd690e.gif - решение уравнения.

Ответ: при а ¹ 0, х= hello_html_m29bd690e.gif

при а = 0 решения нет.


Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:

а= -3 и а¹ -3.

Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

Ответ: При а = -3, х hello_html_m289d78ff.gifR; при а¹ -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?


Решение: Решим уравнение 2ах – 4х – а2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

2(а - 2) х = а2 – 4а +4

2(а - 2) х = (а – 2) 2

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а¹ 2 х =hello_html_m54510a26.gif. По условию х > 1, то есть hello_html_m54510a26.gif >1, а > 4.

Ответ: При а hello_html_m289d78ff.gif{2} U (4;∞).


Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.


Решение. ах = 8 – линейное уравнение.

а =hello_html_736b6a71.gif,

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = hello_html_736b6a71.gif- графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

hello_html_256596b6.jpg

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.


Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

|х| = ах – 1.

y =| х | ,

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

hello_html_33559131.jpg

Ответ:При|а|>1- один корень

при | а|≤1 – уравнение корней не имеет.


Пример 6. Решить неравенство ах + 4 > 2х + а2

Решение : ах + 4 > 2х + а2 hello_html_39bcdcee.gif (а – 2) х > а2 – 4. Рассмотрим три случая.

  1. а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.

  2. а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) hello_html_39bcdcee.gifх > а + 2

  3. а < 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) hello_html_39bcdcee.gifх <а + 2

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2;hello_html_m53d4ecad.gifпри а=2 решений нет.


§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + bх + с = 0, где а≠ 0,

а, b, с – параметры.

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1) дискриминанта квадратного уравнения: D = b² - 4ac, (hello_html_3978ef61.gif²-ас)

2) формул корней квадратного уравнения: х1 =hello_html_72b76419.gif, х2 =hello_html_3ab0bc8.gif,

1,2 = hello_html_366789c7.gif)

Квадратными называются неравенства вида

aх2 + bх + с > 0, aх2 + bх + с< 0, (1), (2)

aх2 + bх + с ≥ 0, aх2 + bх + с ≤ 0, (3), (4)

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , aх2 + bх + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если дискриминант квадратного трехчлена aх2 + bх + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х hello_html_m289d78ff.gifR.

Если квадратный трехчлен имеет корни (х1< х2), то при а > 0 он положителен на множестве (-hello_html_m74e6612e.gif;х2)hello_html_m1892df5d.gif( х2; +hello_html_m74e6612e.gif) и отрицателен на интервале

1; х2). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х1; х2) и отрицателен при всех х hello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif;х1)hello_html_m1892df5d.gif( х2; +hello_html_m74e6612e.gif).


Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0.

Это квадратное уравнение

Решение: Особое значение а = 0.

  1. При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.

  2. При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Если а = -1, то D = 0 – один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ - 1, то D>0. По формуле корней получим: х=hello_html_m661eaf14.gif;

х 1=2, х2= -hello_html_1c6bd5b.gif.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и

а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1=2, х2=-hello_html_1c6bd5b.gif.


Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y= х²-2х-8- графиком является парабола;

y- семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

hello_html_m39cb7bd.jpg


Ответ: При а <-9, уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9, уравнение имеет два решения.


Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х ?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

а-3 > 0 и D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_1e9051a0.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m6cf14335.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_672ba1cb.gif, откуда следует, что a > 6.

Ответ. a > 6


§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.


Пример 1. Решить уравнение hello_html_77cb1189.gif= 0

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

х – а = 0, х = а.

Ответ: При а ≠ - 2, х=а

При а = -2 корней нет.

Пример 2. Решить уравнениеhello_html_617c19f2.gif- hello_html_336491a4.gif= hello_html_2ffc478f.gif(1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.

Найдем дискриминант hello_html_m3ec028a9.gif = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х1= а + 1, х2= а - 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х 1+1=0, х 1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.

Если х 1+1=0, то есть (а+1) + 1= 0, то а= -2. Таким образом,

при а= -2 , х1 - посторонний корень уравнения. (1).

Если х 1+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3, х1 - посторонний корень уравнения. (1).

Если х2+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х2 - посторонний корень уравнения (1).

Если х2+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,

х2 - посторонний корень уравнения (1).

В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6;

при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;

при а = 1 х =1 + 1= 2;

при а = 2 х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.



Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х1 = а + 1, х2 = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7e0ed4e7.gif=g(x) равносильно системе hello_html_40d2c10b.gif

Неравенство f(x) ≥ 0 следует из уравнения f(x) = g2(x).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:


hello_html_m7e0ed4e7.gifg(x) hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4e9b31fa.gifhello_html_m7e0ed4e7.gif≥g(x) hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m43e562ac.gif

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m48556122.gif= х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе hello_html_m5735042f.gif.

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

При а≠ 2 х=hello_html_126e3a0c.gif. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1: hello_html_126e3a0c.gif≥ - 1, hello_html_2b378360.gif≥ 0,

откуда а ≤ hello_html_m51ce4be7.gifили а > 2.

Ответ: При а≤hello_html_m51ce4be7.gif, а > 2 х= hello_html_126e3a0c.gif, при hello_html_m51ce4be7.gif< а ≤ 2 уравнение решений не имеет.


Пример 2. Решить уравнение hello_html_45443a93.gif= а (приложение 4)

Решение. y= hello_html_45443a93.gif

y= а – семейство горизонтальных прямых.



Построим графики функций.


hello_html_247d93b7.jpg

Ответ: при а<0 –решений нет;

при а0 – одно решение.


Пример 3. Решим неравенство (а+1)hello_html_69ef8eb4.gif<1.

Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то


(а+1)hello_html_69ef8eb4.gif<1.hello_html_39bcdcee.gifhello_html_69ef8eb4.gif< hello_html_m2a0ae9e4.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m3119d0e5.gif

откуда х hello_html_m289d78ff.gif(2- hello_html_e3603f3.gif 2hello_html_57b48064.gif

Ответ. х hello_html_m289d78ff.gif(- hello_html_m74e6612e.gif;2hello_html_57b48064.gif при а hello_html_m289d78ff.gif ( -hello_html_m74e6612e.gif;-1hello_html_57b48064.gif, х hello_html_m289d78ff.gif(2- hello_html_e3603f3.gif 2hello_html_57b48064.gif

при аhello_html_m289d78ff.gif( -1;+hello_html_m74e6612e.gif).


§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.


Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a hello_html_39bcdcee.gif x= (-1)n arcsin a+πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ, hello_html_2878c899.gif≤1, (1)

Cos x = a hello_html_39bcdcee.gif x = ±arccos a + 2 πn, , n hello_html_m289d78ff.gifZ, hello_html_2878c899.gif≤1. (2)

Если hello_html_2878c899.gif>1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .

tg x = a hello_html_39bcdcee.gifx= arctg a + πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ, ahello_html_m289d78ff.gifR

ctg x = a hello_html_39bcdcee.gifx = arcctg a + πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ, ahello_html_m289d78ff.gifR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a hello_html_39bcdcee.gif arcsin a + 2 πn Z,

при a<-1, xhello_html_m289d78ff.gifR; при a ≥ 1, решений нет.

2. . sin x < a hello_html_39bcdcee.gifπ - arcsin a + 2 πnZ,

при а≤-1, решений нет; при а >1, xhello_html_m289d78ff.gifR

3. cos x > a hello_html_39bcdcee.gif- arccos a+ 2 πn<x< arccos a+ 2 πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ,

при а<-1, xhello_html_m289d78ff.gifR ; при a ≥ 1, решений нет.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

при а≤-1, решений нет ; при a > 1, xhello_html_m289d78ff.gifR

5.tg x > a, arctg a + πnZ

6. tg x < a, -π/2 + πn Z


Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:

Cos2x + 2(a-2)cosx + a2 – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

сos2x + (2a-4)cosx +( a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.

Уравнение cosx = 5-а имеет решения при условии -1≤ 5-а ≤1 hello_html_39bcdcee.gif 4≤ а≤ 6, а уравнение cosx = -а-1 при условии -1≤ -1-а ≤ 1hello_html_39bcdcee.gif -2 ≤ а ≤0.

Ответ. а hello_html_m289d78ff.gifhello_html_m26878f4d.gif-2; 0 hello_html_57b48064.gifhello_html_m1892df5d.gifhello_html_m26878f4d.gif4; 6hello_html_57b48064.gif

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство hello_html_213a36c8.gif+ b > 0 выполняется при всех х ≠ πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ.

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b>0. Покажем теперь, что ни одно b≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π/2, если а <0, и х = -π/2 при а ≥0.

Ответ. b>0



§ 6. Показательные уравнения и неравенства


1. Уравнение h(x)f(x) = h(x)g(x) при h(x) > 0 равносильно совокупности двух систем hello_html_m3570037f.gif и hello_html_65a9d00f.gif

2. В частном случае (h(x)= a) уравнение а f(x)= а g(x) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

hello_html_14c3b4f9.gifи hello_html_m702204fb.gif

3. Уравнение а f(x)= b, где а > 0, a ≠1, b>0, равносильно уравнению

f(x)= logab. Случай а =1 рассматриваем отдельно.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f(ax) > 0 при помощи замены переменной t= ax сводится к решению системы неравенств hello_html_m4d8cd8d8.gif а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f(x), предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.


Пример 1. При каких а уравнение 8х= hello_html_6049f70c.gif имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 hello_html_39bcdcee.gif8х >1hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6049f70c.gif >1hello_html_39bcdcee.gifhello_html_3cfe2e7b.gif >0, откуда a hello_html_m289d78ff.gif(1,5;4).

Ответ. a hello_html_m289d78ff.gif(1,5;4).


Пример 2. Решить неравенство a2 ∙2x > a

Решение. Рассмотрим три случая:

1. а< 0. Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хhello_html_m289d78ff.gifR.

2. a =0. Решений нет.

3. а> 0. a2 ∙2x > a hello_html_39bcdcee.gif 2x >hello_html_m62c8f832.gif hello_html_39bcdcee.gifx > - log2a

Ответ. хhello_html_m289d78ff.gifR при а > 0; решений нет при a =0; хhello_html_m289d78ff.gif (- log2a; +hello_html_m74e6612e.gif) при а> 0.

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства


Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении hello_html_m26878f4d.gifлогарифмических уравнений и неравенств.

1. Уравнение logf (x)g (x) = logf (x) h(x) равносильно системе

hello_html_6509c23a.gif

В частности, если а >0, а ≠1, то

log a g (x)= log a h(x) hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4a9b27cc.gif

2. Уравнение log a g (x)=b hello_html_39bcdcee.gif g (x)= ab (а >0, a ≠1, g(x) >0).

3. Неравенство log f (x) g (x) ≤ log f (x) h(x) равносильно совокупности двух систем: hello_html_ac223da.gif и hello_html_m724c253b.gif

hello_html_m53d4ecad.gifЕсли а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log a f (x) ≤ b hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_207d9a82.gif


log a f (x) > b hello_html_39bcdcee.gif hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m52fdec16.gif

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m7683b3d3.gif

Решение. Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

loghello_html_4bfdc684.gifх – 2 = 4 – logax hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_39bcdcee.gif loghello_html_4bfdc684.gifх + logax – 6 = 0, откуда logax = - 3 hello_html_39bcdcee.gif

х = а -3 и logax = 2 hello_html_39bcdcee.gif х = а2. Условие х = а4 hello_html_39bcdcee.gif а – 3 = а4 или а2 = а4 не выполняется на ОДЗ.

Ответ: х = а -3, х = а2 при а hello_html_m289d78ff.gif ( 0; 1) hello_html_2e058f21.gif (1; hello_html_m74e6612e.gif).


Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

2loghello_html_m7b585b8c.gif - hello_html_20428f6c.gif + a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену hello_html_20428f6c.gif = t и получим квадратное уравнение 2t2t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8a . Рассмотрим D≥0, 1-8а ≥0 hello_html_1b730b13.gifаhello_html_2a18ad0f.gif.

При а = hello_html_2a18ad0f.gif квадратное уравнение имеет корень t= hello_html_18e13027.gif>0.

Ответ. а = hello_html_2a18ad0f.gif


Пример 3. Решить неравенство loghello_html_e356fab.gif(x2 – 2x + a) > - 3

Решение. Решим систему неравенств hello_html_711b7860.gif

Корни квадратных трехчленов х1,2 = 1 ± hello_html_6ef3c59c.gif и х3,4 = 1 ±hello_html_m5bc12ca8.gif.

Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.

Пусть Х1 и Х2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х1 hello_html_m2a7d764e.gifХ2 = Х – решение исходного неравенства.

При 0< a <1 Х1 = (-hello_html_m74e6612e.gif;1 - hello_html_6ef3c59c.gif)hello_html_2e058f21.gif( 1 + hello_html_6ef3c59c.gif; +hello_html_m74e6612e.gif), при а > 1 Х1 = (-hello_html_m74e6612e.gif;+hello_html_m74e6612e.gif).

При 0 < a < 9 Х2 = (1 -hello_html_m5bc12ca8.gif; 1 +hello_html_m5bc12ca8.gif), при а ≥9 Х2 – решений нет.hello_html_m53d4ecad.gif

Рассмотрим три случая:

1. 0< a ≤1 Х = (1 -hello_html_m5bc12ca8.gif;1 - hello_html_6ef3c59c.gif)hello_html_2e058f21.gif(1 + hello_html_6ef3c59c.gif;1 +hello_html_m5bc12ca8.gif).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -hello_html_m5bc12ca8.gif;1 +hello_html_m5bc12ca8.gif).

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

hello_html_m53d4ecad.gif

Задачи ЕГЭ

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение

рctg2x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

р ∙ ( hello_html_512d6c5b.gif- 1) + 2sinx + p = 3, sinx=t, thello_html_m289d78ff.gifhello_html_m4e7c58c7.gif, t hello_html_3750bfcb.gif0.

hello_html_m5e59b6ea.gif- p + 2 t + p = 3, hello_html_m5e59b6ea.gif + 2 t = 3, 3 -2t = hello_html_m5e59b6ea.gif, 3t2 – 2t3 = p.

Пусть f(y) = 3t2 – 2t3. Найдем множество значений функции f(x) на hello_html_4a791499.gifhello_html_2e058f21.gifhello_html_m7039f5cb.gif. у/ = 6t – 6t2, 6t - 6t2 = 0, t1=0, t2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

При t hello_html_m289d78ff.gifhello_html_4a791499.gif, E(f) = hello_html_mc75c5eb.gif,

При t hello_html_m289d78ff.gif hello_html_m7039f5cb.gif, E(f) = hello_html_m7039f5cb.gif, то есть при t hello_html_m289d78ff.gifhello_html_4a791499.gif hello_html_2e058f21.gifhello_html_m7039f5cb.gif, E(f) = hello_html_mc75c5eb.gif.

Чтобы уравнение 3t2 – 2t3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно phello_html_m289d78ff.gif E(f), то есть phello_html_m289d78ff.gifhello_html_mc75c5eb.gif.

Ответ. hello_html_mc75c5eb.gif.


Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение loghello_html_m1c0b318a.gif(4x2 – 4a + a2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

4x2 – 4a + a2 +7 = (х2 + 2)2 .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

Найдем а.

4∙ 02 - 4a + a2 +7 = (02 + 2)2,

a2 - 4a +7 = 4, a2 - 4a +3 = 0, a1 = 1, a2 = 3.

Проверка.

1) a1 = 1. Тогда уравнение имеет вид: loghello_html_m1c0b318a.gif(4x2 +4) =2. Решаем его

4x2 + 4 = (х2 + 2)2, 4x2 + 4 = х4 + 4x2 + 4, х4= 0, х = 0 – единственный корень.

2) a2 = 3. Уравнение имеет вид: loghello_html_m1c0b318a.gif(4x2 +4) =2 hello_html_1b730b13.gif х = 0 – единственный корень.

Ответ. 1; 3


Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х2 – ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х3 – 7рх2 + 2х2 – 14 рх - 3х +21 р ≤ 0.

Решение. Пусть х1, х2 – целые корни уравнения х2 – ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х1 + х2 = р + 3, х1 ∙ х2 = 1. Произведение двух целых чисел х1, х2 может равняться единице только в двух случаях: х1 = х2 = 1 или х1 = х2 = - 1. Если х1 = х2 = 1, то р + 3 = 1+1 = 2hello_html_1b730b13.gif р = - 1; если х1 = х2 = - 1, то р + 3 = - 1 – 1 = - 2 hello_html_1b730b13.gif р = - 5. Проверим являются ли корни уравнения х2 – ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = - 1, х1 = х2 = 1 имеем

13 – 7 ∙ (- 1) ∙ 12 +2∙ 12 – 14 ∙ ( - 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ ( - 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х1 = х2 = - 1 имеем ( - 1)3 – 7 ∙ ( - 5) ∙ ( -1)2 + 2 ∙ (-1)2 – 14 ∙ ( -5) × ( - 1) – 3 ∙ ( - 1) + 21∙ ( -5 ) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.

Ответ. р1 = - 1 и р 2= - 5.


Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = ( аhello_html_m1c7e3383.gif - аhello_html_76535cff.gif)hello_html_m3f996272.gif.

Решение. у = ( аhello_html_m1c7e3383.gif - аhello_html_76535cff.gif)hello_html_m3f996272.gif. Область определения данной функции составляют все значения х, для которых аhello_html_m1c7e3383.gif - аhello_html_76535cff.gif≥ 0.

Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство аhello_html_3bc943bd.gif- аhello_html_m48187536.gif ≥ 0, аhello_html_3bc943bd.gif аhello_html_m48187536.gif (1)

Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).

1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).

2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5аа2 +6,

а2 - 5а + 4 ≤ 0. Решение этого неравенства: 1≤ а ≤ 4. Учитывая условие а >1, получим 1< а ≤ 4.

3) При 0 < а < 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а а2 +6,

а2 - 5а + 4 ≥ 0. Его решение а ≤ 1; а ≥ 4 с учетом условия 0 < а < 1 можно записать так: 0 < а < 1. Объединяя результаты, получаем 0 < а ≤ 4.

Ответ. ( 0; 4 ]


Задания для самостоятельной работы


§1. Линейные уравнения и неравенства


1.Решить уравнения:

а) а х = -4

б) 2 –5 х = а х – 2

в) 2 х + 3 = а х

г )а х – 2 х = 3 (х – 1)

д) а х = х+3

е) 4 + а х = 3 х + 1

2.Решить неравенства:

а) а х > 5

б) а х – 2 х < 3 (х + 1)

в) а² х + 3 ≥ а +3 а х

г) (n – 1) х ≤ 2 (n + х

д) а > hello_html_m62c8f832.gif + hello_html_m177c06b8.gif

3.При каких значениях параметра а уравнения

а) |х| = а х – 2

б) (а2- а -2)х≤ а5 – 4а4 +4а3

не имеют решений?

4.При каких значениях параметра р все решения неравенства (р -3)х>5 являются решениями неравенства рх>2 ?

5.При каких значениях параметра а корень уравнения

hello_html_mcd75502.gif= hello_html_m40de4d1.gif + 3(х +1) не меньше корня уравнения

5 (х – 2) – 4 (3 + х ) = 2 + а х ?

6. Определить количество корней в зависимости от значений

параметра а: а)а х – 6 = 2 а – 3 х

б) 2 а х – 4 х - а² + 4 а – 4 = 0

§2 Квадратные уравнения и неравенства
  1. Решить уравнения:

а) х² -5 х + 6 = а

б) х² - 2 |х| - а = 0

в) х² + 5 а х +4 а² = 0

г) х² - (2 а – 4) х – 8 а = 0

д)х² -(3 а – 2) х + 2 а² - а – 3 = 0

е) ах² - (а + 1) х + 1 = 0

ж) (а + 1) х² -2 х + 1 – а = 0

з) а b x² + ( a² + b²) x + ab = 0

2. Решить неравенства:

а) х² + 2 х > а + 3

б) х² - с х – 2 с² < 0

в) х² - 3 а х + 2 а² ≤ 0

г) х² - (3b – 2 ) – 6 b ≤ 0

д) a x² - 2 (a – 1) x – 4 ≥ 0

е) x² - 2x – 8 – a > 0

ж) x² - 12 x + c < 0

3. При каких а разность корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?

4. При каком а уравнения х2 + 2х + а = 0 и х2 + ах + 2 = 0 имеют общий корень?

5. При каких а существует хотя бы одно общее решение неравенств

х2 + 4ах + 3а2 – 2а – 1 > 0 и х2 + 2ах – 3а2 + 8а – 4 ≤ 0 ?

§3. Дробно – рациональные уравнения и неравенства


  1. Решить уравнения:

а) hello_html_77cb1189.gif = 0

б) hello_html_260a148b.gif = 0

в) hello_html_657dca3f.gif = 0

г) hello_html_m7c90b74e.gif = 0

д) hello_html_m7868eb4.gif + hello_html_7b166640.gif = 2

е) hello_html_617c19f2.gif -hello_html_336491a4.gif = hello_html_2ffc478f.gif

  1. При каких значениях параметра уравнения имеют бесконечно много решений

а) hello_html_aaa2f71.gif = 0

б) hello_html_3cac0bf4.gif = 0

3. Решить неравенства:

а) hello_html_m1f1405c1.gif< 0

б) hello_html_26728dd5.gif ≤ 0

в)hello_html_m63c14aea.gif > 0

г) hello_html_md636b7e.gifhello_html_m30095151.gif

4. При каких а неравенство hello_html_2c4281fd.gif< 0 выполняется для всех хhello_html_m289d78ff.gifhello_html_1a19acc5.gif ?

§4. Иррациональные уравнения и неравенства
  1. Решить уравнения:

а) hello_html_45443a93.gif= а

б)аhello_html_45443a93.gif= 4

в)hello_html_529af6f9.gif= а

г)hello_html_45443a93.gif= а – 2

д)х - hello_html_m68798704.gif = 1

е)hello_html_45443a93.gif + hello_html_3b722719.gif = 0

д) hello_html_529af6f9.gif +а² hello_html_45443a93.gif = 0

е) а² hello_html_529af6f9.gif + hello_html_45443a93.gif = 0

ж) а²hello_html_726ddc62.gif + |х| = 0

  1. Решить неравенства:

а) х < hello_html_m68798704.gif

б) hello_html_726ddc62.gif≥ а

в) hello_html_45443a93.gif > - а

г) аhello_html_45443a93.gif ≤ 0

д) х - hello_html_52c3a13b.gif < 0

е) hello_html_4a0b8879.gif≤ 6+а

3. При каких значениях параметра а неравенство

hello_html_31e3481e.gifhello_html_ma26bda2.gifне имеет решений?

4. При каких а неравенство

hello_html_b61ecc2.gifhello_html_m33ff6e8d.gifвыполняется для всех значений х ?

§5. Тригонометрические уравнения и неравенства

1 .Решить уравнения:

а) sin(2х + 3) = а +4

б) 2cos(х + π/3) = а2-3а

в) tg22х – (2а +1)tg2х + а(а + 1) = 0

2. Решить неравенства:

а) cosх ≤ 2 – а2

б) (а – 2)sinх > 3а + 4

в) (2cosх – а)(3cosх + в) < 0, (0<а<2, 0<в<3)

3. Найдите целые а, при которых имеют решения уравнения:

а) 1 + а cosх = (а +1)2

б) sin2х – 3sinх + а = 0

в) а sinх + 2hello_html_m797860a9.gifcosх = 2а + 1

4. Доказать, что для любых рhello_html_m289d78ff.gifR и thello_html_m289d78ff.gifR справедливо неравенство

4(р – 3)4 + 2 + (2 – 4(р – 3)4)cost ≥ 0. Найти все пары чисел (р;t), для которых это неравенство обращается в равенство.


§6. Показательные уравнения и неравенства

1. При каких а уравнение имеет единственное решение?

А) 5 – 10х + 4х-1(а – 2) = 0

б) 25х – 2 ∙10х + (2а + 3) ·4х = 0

в) 4х – а ·2х+1 – 3а2 + 4а = 0

г) а ·3х + 4 ·3 = 2

д) 2 – а ·2х – 2а = 0

е)3(а + 1)х² - 2(а – 2)х + а = 27

2.Решить неравенства:

а) а ·2х ≤ а2

б)ах² - 15 > а

в)4х+1а2 – 65 ·2ха + 16 > 0

г)hello_html_6477a383.gif > hello_html_m3f1861ae.gif

3. При каких а неравенство 4х + (а – 1)2х + (2а – 5) > 0 выполняется при любом хhello_html_m289d78ff.gifR ?

4. При каких а неравенство 36х + а ·6х + а + 8 ≤ 0 имеет хотя бы одно hello_html_m53d4ecad.gifрешение?

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

1.Решите уравнение

а)log2x(ax+1)=hello_html_m4bf21f14.gif

б)logahello_html_ca15c86.gif+ 3loghello_html_1ac4481e.gif(1 – x)= loghello_html_m50bfa7d1.gif(1- x2)2+2

в)log32a + log3x(a – 2)= log3(a-2)

г)loghello_html_1c6048c9.gifhello_html_4ceb9e43.gif=2

д) 2logxa + logaxa +3loghello_html_m6f5b07c0.gifa = 0

2.При каких а уравнение loghello_html_13831bff.gif(4x+a) =4 имеют решения.

3. При каких а корни уравнения

(а-1)loghello_html_17cbf40.gif(x-2) – 2(a+1)loghello_html_593ecfc6.gif(x-2)+a-3 = 0 меньше 3?

4. При каких а расстояние между корнями уравнения

2loghello_html_m1bd4be41.gifx+3loghello_html_66c637cf.gifa+5=0 меньше hello_html_m3eccabad.gif?

5. Решите неравенства

а) logx(a2+1)<0

б) ( log2x-1)( ( log2x+a)>0

в) logax+1>2logxa

г) logahello_html_m2ad01ad8.giflogxa < 1

6. Решите неравенство loga(x2+x+2)< loga(2x2 – 18),если известно, что оно удовлетворяется при х = - 3,5.

7. При каких значениях а неравенство log2(x2+ax+1)> -1 выполняется для любого х<0?


Задачи ЕГЭ.

Высокий уровень С1, С2;

1) При каких значениях параметра т уравнение тх-2+ 2 = 3т – 2х-2

не имеет корней?

2) Найдите наибольшее целое отрицательное t, при котором уравнение cos2x – 5t = 4 – 2tcos2x не имеет корней.

3) При каких значениях параметра а прямая у = 3а – 2а2 не имеет общих точек с графиком функции у = sin2x+ a cos x?

C4, C5

4) Найдите все значения параметра b, при которых множество решений неравенства b log3x + log3x + b≥ 0 содержит все степени двойки с целым отрицательным показателем.

5) Найдите все значения параметра р, такие, что уравнение

х2 – (р -5)х – 2= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства х3- 0,5рх2- 4х2+2рх- 5х+ 2,5р≥ 0.

6) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х4+(х+1)((3а-1)х2+ (2а2 -2)(х+1)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, каждый из которых принадлежит отрезкуhello_html_m52d7c0eb.gif.

7) Найдите все значения параметра а, при которых оба числаhello_html_2ef4ac3c.gif и 3hello_html_29351485.gif являются решениями неравенства hello_html_33171944.gif≤ 0.

Ответы: 1) hello_html_8f3e6c5.gif; 2)- 2; 3)(-hello_html_m74e6612e.gif;0)hello_html_2e058f21.gif(2; +hello_html_m74e6612e.gif); 4) нет решений;5)6;

6) (3; 3,25]; 7)hello_html_3121ec48.gif.




Для заметок













Краткое описание документа:

Учебное пособие« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов.

Данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала  рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

 Авторы

 учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна

Автор
Дата добавления 28.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1174
Номер материала 415388
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх