Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

 муниципального района Клявлинский

Самарской области

 

 

 

 

 

 

 

« Уравнения

и

неравенства

с параметрами»

 

учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Клявлино

 

 

 

 

 

Учебное пособие

 

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала  рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

 

 

 

 

 

 

 

Авторы

 

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева  Ирина Алексеевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

Введение……………………………………………………………3-4

 

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

 

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

 

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

 

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

 

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

 

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

 

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18

 

Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20

 

Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Уравнения и неравенства с параметрами.

 

 Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они  называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

 Для того,  чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами  необходимо:

1.     Выделить особое значение -   это то значение параметра,  в котором или при переходе через  которое меняется решение уравнения или неравенства.

2.     Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

            Решить уравнение или неравенство с параметрами  означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим. 

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

           Решение уравнения и неравенства с параметрами   каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает   необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

          Графический метод предполагает построение  графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение  уравнения изменение параметра.  График подчас позволяет  аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

 

§ 1.  Линейные  уравнения и неравенства.

      

  Линейное уравнение аx=b, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

  При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

          Особым значением параметра a является значение  а = 0.

1.     Если а¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение       х=.

2.     Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b. В этом случае значение

     b = 0  является особым значением параметра b.

               При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

               При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

         

            Неравенства вида ах > b и  ax< b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

(; +), если a> 0, и (-;), если а < 0. Аналогично для неравенства

ах < b множество решений – промежуток (-;), если a> 0, и (; +), если а < 0.

 

  Пример 1. Решить уравнение ах = 5 

 

  Решение: Это линейное уравнение .

              

  Если а = 0, то уравнение 0×х = 5 решения не имеет.

                 Если а ¹ 0,  х =        - решение уравнения.

  Ответ: при а ¹ 0, х=               

     при а = 0 решения нет.

 

  Пример 2.  Решить уравнение  ах – 6 = 2а – 3х.         

 

 Решение: Это линейное уравнение,  ах – 6 = 2а – 3х (1)

                                                              ах + 3х = 2а +6

               Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:

а= -3 и а¹ -3.

                                          Если а= -3, то любое действительное число х  является корнем уравнения (1). Если же  а¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

 Ответ: При а = -3, х R; при  а¹ -3, х = 2.

           

 Пример 3.  При каких значениях параметра  а  среди корней уравнения

 2ах – 4х – а² + 4а – 4 = 0  есть  корни  больше  1 ?

 

Решение: Решим уравнение 2ах – 4х –  а² + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

                                                2(а - 2) х = а² – 4а +4

                                                 2(а - 2) х = (а – 2) ²

          При а = 2  решением  уравнения  0х = 0  будет  любое число, в том числе и большее 1.

          При а¹ 2  х =.  По условию х > 1, то есть  >1, а > 4.

Ответ: При а {2} U (4;∞).

 

Пример 4.  Для каждого значения параметра а найти  количество корней уравнения  ах=8.

 

Решение.  ах = 8 – линейное уравнение.  

                   а =,

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = - графиком является гипербола.  Построим графики этих функций.

 

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если  а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.

 

Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

|х| = ах – 1.    

y =| х | ,

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1- один корень  

             при | а|≤1 – уравнение корней не имеет.

 

Пример 6. Решить неравенство ах + 4 > 2х + а²

   Решение : ах + 4 > 2х + а²   (а – 2) х > а² – 4. Рассмотрим три случая.

1.     а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.

2.     а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х > а + 2

3.     а < 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х <а + 2

    Ответ.  х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при  а < 2;при а=2 решений нет.

 

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

          Квадратное уравнение – это уравнение вида  ах ² + bх + с = 0,  где  а≠ 0,

  а, b, с – параметры.

             Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1) дискриминанта квадратного уравнения: D = b² - 4ac, (²-ас)

2) формул корней квадратного уравнения:  х₁ =,   х₂ =,

 (х_{1,2 =} )  

Квадратными называются неравенства вида

                        aх² + bх  + с > 0,      aх² + bх  + с<  0,   (1), (2)

                        aх² + bх  + с ≥ 0,       aх² + bх  + с ≤ 0,   (3), (4)

    Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения ,      aх² + bх  + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

        Если дискриминант квадратного трехчлена   aх² + bх  + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R.

         Если квадратный трехчлен имеет корни (х₁< х₂), то при а > 0 он положителен на множестве (-;х₂)( х_2; +) и отрицателен на интервале

(х₁; х₂). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х₁; х₂) и отрицателен при всех х (-;х₁)( х_2; +).

 

  Пример 1.  Решить уравнение  ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0.

 Это квадратное уравнение

 Решение: Особое значение а = 0.

1.     При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.

2.     При а ≠ 0.  Найдем дискриминант.

        D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Если а = -1, то D = 0 – один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х – 4= 0, то есть  х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ - 1, то D>0.   По формуле корней получим: х=;

 х ₁=2, х₂= -.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при  а ≠ 0 и

 а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х ₁=2, х₂=-.

 

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

                  y= х²-2х-8- графиком является парабола;

                  y=а- семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

 

Ответ: При а <-9, уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9,  уравнение имеет два решения.

 

Пример 3. При каких а неравенство  (а – 3) х² – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х ?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

а-3 > 0 и D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, откуда следует, что a > 6.

Ответ. a > 6

 

§ 3.  Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся  к линейным

                  Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

                   В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы  «исключить»  посторонние корни,  требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие  уравнения относительно параметра.

 

 Пример 1.  Решить уравнение  = 0

Это дробно- рациональное уравнение 

Решение: Д.З:  х +2 ≠ 0 ,  х ≠ -2

                          х – а = 0,  х = а.

          Ответ: При а ≠ - 2, х=а

                При а = -2 корней нет.

                               

Пример 2.  Решить уравнение- = (1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если  а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.

Найдем дискриминант  = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х₁= а + 1,  х₂= а  - 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых 

х ₁+1=0, х ₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

       Если х ₁+1=0, то есть (а+1) + 1= 0, то а= -2. Таким образом,

при а= -2 ,     х₁ -  посторонний корень уравнения. (1).

       Если   х ₁+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3,  х₁ -  посторонний корень уравнения. (1).

       Если х₂+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х₂  -  посторонний корень уравнения (1).

       Если х₂+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,

 х₂  -  посторонний корень уравнения (1).

       В соответствии с этим при  а = - 3    получаем х = - 3 – 3 = -6;

                                              при  а = - 2    х = -2 – 3= - 5;

                                              при  а = 1       х =1 + 1= 2;

                                              при  а = 2       х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.

 

 

Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠  -3, а ≠  -2, а ≠  0, а≠  1, а ≠  2, то х₁ = а + 1, х₂ = а-3.

 

§4.  Иррациональные уравнения и неравенства

                   Уравнения  и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

                   Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида =g(x) равносильно системе 

Неравенство f(x) ≥ 0 следует из  уравнения f(x) = g²(x).

       При решении иррациональных неравенств будем использовать  следующие равносильные преобразования:

 

≤ g(x)            ≥g(x)

Пример 1. Решите уравнение = х + 1  (3)   

Это иррациональное уравнение 

  Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе   .

                 При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

                

 При а≠ 2  х=. Выясним, при каких значениях а найденное значение   х    удовлетворяет неравенству    х ≥ -1: ≥ - 1, ≥ 0,

     откуда       а ≤  или а > 2.

Ответ:  При а≤, а > 2  х= , при  < а ≤ 2  уравнение решений не имеет.

 

Пример 2. Решить уравнение = а  (приложение 4)

Решение. y=

                 y= а – семейство горизонтальных прямых.

 

 

Построим графики функций.

 

Ответ: при а<0 –решений нет;

при а≥0 – одно решение.

 

Пример 3. Решим  неравенство (а+1)<1.

Решение.  О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то

 

(а+1)<1. <

откуда  х (2-  2 

 Ответ. х (- ;2 при а  ( -;-1, х (2-  2 

 при а( -1;+).

 

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

 

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a  x= (-1)ⁿ arcsin a+πn, n Z, ≤1,         (1)

Cos x = a  x = ±arccos a + 2 πn, , n Z, ≤1.     (2)

Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .

tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR

ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a   arcsin a + 2 πn <x<π - arcsin a + 2 πn, n Z,

             при a<-1, xR;            при a ≥ 1, решений нет.

2. . sin x < a  π - arcsin a + 2 πn<x<2π+ arcsin a + 2 πn, n Z,

                при а≤-1, решений нет;       при а >1, xR

3. cos x > a - arccos a+ 2 πn<x< arccos a+ 2 πn, n Z,

                 при а<-1, xR ;     при a ≥ 1, решений нет.

4. cos x <a  arccos a+ 2 πn<x<2 π -  arccos a+ 2 πn, n Z,

                 при а≤-1, решений нет ;     при a > 1, xR

5.tg x > a,  arctg a + πn<x< π/2 + πn, n Z

6. tg x < a, -π/2 + πn <x< arctg a + πn, n Z

 

Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:

 Cos²x + 2(a-2)cosx + a² – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

                 сos²x + (2a-4)cosx +( a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем  cosx = 5-а и cosx = -а-1.

Уравнение cosx = 5-а имеет решения при условии -1≤ 5-а ≤1  4≤ а≤ 6, а уравнение cosx = -а-1 при условии -1≤ -1-а ≤ 1 -2 ≤ а ≤0.

Ответ.  а -2; 0  4; 6

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство + b > 0 выполняется при всех х ≠ πn, n Z.

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b>0. Покажем теперь, что ни одно b≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π/2, если а <0, и х = -π/2 при а ≥0.

Ответ. b>0

 

 

§ 6. Показательные уравнения и неравенства

 

1. Уравнение  h(x)^f(x) = h(x)^g(x) при h(x) > 0 равносильно совокупности двух систем   и

2. В частном случае  (h(x)= a)  уравнение а ^f(x)= а ^g(x) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

                и

   3. Уравнение  а ^f(x)= b, где а > 0, a ≠1,   b>0, равносильно  уравнению

 f(x)= log_ab.  Случай а  =1 рассматриваем отдельно.

     Решение простейших показательных  неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f(a^x) > 0  при помощи замены переменной t= a^x сводится к решению системы неравенств    а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

 При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а ^f(x), предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

 

 Пример 1.  При каких а  уравнение 8^х=  имеет только положительные корни?

Решение.  По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8^х >1 >1 >0, откуда a (1,5;4).

Ответ.  a (1,5;4).

 

Пример 2. Решить неравенство a² ∙2^x > a

  Решение. Рассмотрим три случая:

              1. а< 0. Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR.

               2.  a =0. Решений нет.

                3. а> 0.   a² ∙2^x > a   2^x > x > - log₂a

   Ответ. хR при а > 0; решений нет при   a =0;  х (- log₂a; +) при а> 0.  

  

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

 

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.

     1. Уравнение log  _{f (x)} g (x) = log  _{f (x)} h(x) равносильно системе

               

     В частности, если а >0, а ≠1, то

                  log _a g (x)= log _a h(x)

     2. Уравнение   log _a g (x)=b  g (x)= a^b  (а >0, a ≠1, g(x) >0).

     3. Неравенство log  _{f (x)} g (x) ≤ log  _{f (x)} h(x) равносильно совокупности двух систем:           и 

     Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то

  log _a  f (x) ≤ b 

 

  log _a  f (x) > b   

_{Пример 1. Решите уравнение}

Решение.   Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а⁴ , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

    logх – 2 = 4 – log_ax        logх  + log_ax – 6 = 0, откуда   log_ax = - 3   

х = а ^-3 и  log_ax = 2   х = а². Условие х = а⁴  а ^{– 3} = а⁴ или а² = а⁴ не выполняется на ОДЗ.

Ответ:  х = а ^-3, х = а² при а  ( 0; 1)  (1; ).

 

Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

    2log -  + a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену  = t   и получим квадратное уравнение         2t² – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8a . Рассмотрим D≥0,  1-8а ≥0 а ≤.

При а =  квадратное уравнение имеет корень t= >0.

Ответ. а =

 

Пример 3. Решить неравенство  log(x² – 2x + a) > - 3

Решение. Решим систему неравенств

           Корни квадратных трехчленов х_1,2 = 1 ±  и х_3,4 = 1 ±.

           Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.

Пусть Х₁ и Х₂ – множества решений первого и второго неравенств, тогда

 Х₁  Х₂ = Х – решение исходного неравенства.

При 0< a <1  Х₁ = (-;1 - )( 1 + ; +), при а > 1 Х₁ = (-;+).

При 0 < a < 9  Х₂ = (1 -; 1 +), при а ≥9  Х₂ – решений нет.

Рассмотрим три случая:

1. 0< a ≤1  Х = (1 -;1 - )(1 + ;1 +).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -;1 +).

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

Задачи ЕГЭ

Высокий уровень С1, С2

Пример 1.  Найдите все значения р, при которых уравнение

        р ∙ ctg²x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

            р ∙ ( - 1) + 2sinx + p = 3,  sinx=t,  t, t 0.

- p + 2 t + p = 3,  + 2 t  = 3, 3 -2t = , 3t² – 2t³ = p.

Пусть f(y) = 3t² – 2t³. Найдем множество значений функции f(x) на . у^/ = 6t – 6t², 6t - 6t² = 0, t₁=0, t₂ = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

При t , E(f) = ,

При t  , E(f) = , то есть при t  , E(f) = .

Чтобы уравнение 3t² – 2t³ = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E(f), то есть p.

Ответ. .

 

Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение log(4x² – 4a + a² +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение.  Преобразуем уравнение в равносильное данному:

                    4x² – 4a + a² +7 = (х² + 2)² .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

Найдем а.

4∙ 0² - 4a + a² +7 = (0² + 2)²,

 a² - 4a +7 = 4, a² - 4a +3 = 0, a₁ = 1, a₂ = 3.

Проверка.

1) a₁ = 1. Тогда уравнение имеет вид: log(4x² +4) =2. Решаем его

4x² + 4 = (х² + 2)², 4x² + 4 = х⁴ + 4x² + 4, х⁴= 0, х = 0 – единственный корень.

2) a₂ = 3. Уравнение имеет вид: log(4x² +4) =2  х = 0 – единственный корень.

Ответ. 1; 3

 

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х² – ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х³ – 7рх² + 2х² – 14 рх - 3х +21 р ≤ 0.

Решение.  Пусть х_1,  х₂ – целые корни уравнения х² – ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х₁ + х₂ = р + 3, х₁ ∙ х₂ = 1. Произведение двух целых чисел х₁,  х₂  может равняться единице только в двух случаях: х₁ = х₂ = 1 или х₁ = х₂ =  - 1. Если х₁ = х₂ = 1, то р + 3 = 1+1 = 2 р = - 1; если х₁ = х₂ =  - 1, то р + 3 = - 1 – 1 = - 2  р = - 5. Проверим являются ли корни уравнения х² – ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая  р = - 1, х₁ = х₂ = 1 имеем 

1³ – 7 ∙ (- 1) ∙ 1² +2∙ 1² – 14 ∙ ( - 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ ( - 1)  = 0 ≤ 0 – верно; для случая  р = - 5, х₁ = х₂ =  - 1 имеем ( - 1)³ – 7 ∙ ( - 5) ∙ ( -1)² + 2 ∙ (-1)² – 14 ∙ ( -5) × ( - 1) – 3 ∙ ( - 1) + 21∙ ( -5 ) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только  р = - 1 и  р = - 5.

Ответ. р₁ = - 1 и  р ₂= - 5.

 

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = ( а - а).

Решение.  у = ( а - а). Область определения данной функции составляют все значения х, для которых   а - а≥ 0.

Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство   а- а ≥ 0, а≥ а       (1)

Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).

1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).

2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а ≥ а² +6,

 а² - 5а + 4 ≤ 0. Решение этого неравенства: 1≤ а ≤ 4. Учитывая условие а >1, получим 1< а ≤ 4.

3) При 0 < а < 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а ≤ а² +6,

    а² - 5а + 4 ≥ 0. Его решение а ≤ 1; а ≥ 4 с учетом условия 0 < а < 1 можно записать так: 0 < а < 1. Объединяя результаты, получаем 0 < а ≤ 4.

Ответ. ( 0; 4 ]

 

Задания для самостоятельной работы

 

§1. Линейные уравнения и неравенства

 

1.Решить уравнения:

а) а х = -4

б) 2 –5 х = а х – 2

в) 2 х + 3 = а х

г )а х – 2 х = 3 (х – 1)

д) а х = х+3

е) 4 + а х = 3 х + 1

2.Решить неравенства:

а) а х > 5

б) а х – 2 х < 3 (х + 1)

в) а² х + 3 ≥ а +3 а х

г) (n – 1) х ≤ 2 (n + х

д) а >  +

     3.При каких значениях параметра а уравнения

а) |х| = а х – 2

б) (а²- а -2)х≤ а⁵ – 4а⁴ +4а³

 не имеют решений?

4.При каких значениях параметра р все решения неравенства (р -3)х>5 являются решениями неравенства рх>2 ?

5.При каких значениях параметра  а корень уравнения

 =  + 3(х +1) не меньше корня уравнения

 5 (х – 2) – 4 (3 + х ) = 2 + а х ?

6. Определить количество корней в зависимости от значений

 параметра а:  а)а х – 6 = 2 а – 3 х

                          б) 2 а х – 4 х - а² + 4 а – 4 = 0

§2 Квадратные  уравнения и неравенства

1.     Решить уравнения:

а) х² -5 х + 6 = а 

б) х² - 2 |х| - а = 0

в) х² + 5 а х +4 а² = 0

г) х² - (2 а – 4) х – 8 а = 0

д)х² -(3 а – 2) х + 2 а² - а – 3 = 0

е) ах² - (а + 1) х + 1 = 0

ж)  (а + 1) х² -2 х + 1 – а = 0

з) а b x² + ( a² + b²) x + ab = 0

     2.  Решить неравенства:

а) х² + 2 х > а + 3

     б) х² - с х – 2 с² < 0

в) х² - 3 а х + 2 а² ≤ 0

г) х² - (3b – 2 ) – 6 b ≤ 0

     д) a x² - 2 (a – 1) x – 4 ≥ 0

е) x² - 2x – 8 – a > 0

ж) x² - 12 x + c < 0

     3. При каких а разность корней уравнения 2х² – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?

     4. При каком а уравнения х² + 2х + а = 0  и  х² + ах + 2 = 0  имеют общий корень?

     5. При каких а существует хотя бы одно общее решение неравенств

х² + 4ах + 3а² – 2а – 1 > 0  и  х² + 2ах – 3а² + 8а – 4 ≤ 0 ?

 

§3. Дробно – рациональные уравнения и неравенства

 

1.     Решить уравнения:

а)  = 0

б)  = 0

в)  = 0

г)  = 0

д)  +  = 2

е)  - =

2.     При каких  значениях параметра уравнения имеют бесконечно много решений

а)  = 0

б)  = 0

3. Решить неравенства:

а) < 0

б)  ≤ 0

в) > 0

г)  ≥

         4. При каких а неравенство < 0 выполняется для всех х ?

  §4. Иррациональные уравнения и неравенства

1.     Решить уравнения:

а) = а

    б)а= 4

    в)= а

    г)= а – 2

   д)х -  = 1

   е) +  = 0

   д)  +а²  = 0

   е) а²  +  = 0

    ж)  а² + |х| = 0

2.     Решить неравенства:

а) х <

б) ≥ а

в)  > - а

г)  а ≤ 0

д)  х -  < 0

е) ≤ 6+а

3. При каких значениях параметра а неравенство

≤  не имеет решений?

4.  При каких а  неравенство

≥  выполняется для всех значений х ?

  

§5. Тригонометрические уравнения и неравенства

   1 .Решить уравнения:

        а)  sin(2х + 3) = а +4

        б) 2cos(х + π/3) = а²-3а

        в) tg²2х – (2а +1)tg2х + а(а + 1) = 0

       2. Решить неравенства:

       а) cosх ≤ 2 – а²

       б) (а – 2)sinх > 3а + 4

       в) (2cosх – а)(3cosх + в) < 0, (0<а<2, 0<в<3)

       3. Найдите целые а, при которых имеют решения уравнения:

       а) 1 + а cosх = (а +1)²

       б) sin²х – 3sinх + а = 0

       в) а sinх + 2cosх = 2а + 1

       4. Доказать, что для любых рR  и  tR  справедливо неравенство

            4(р – 3)⁴ + 2 + (2 – 4(р – 3)⁴)cost ≥ 0.  Найти все пары чисел (р;t), для которых это неравенство обращается в равенство.

 

§6. Показательные уравнения и неравенства

1. При каких а уравнение имеет единственное решение?

А) 5^2х – 10^х + 4^х-1(а – 2) = 0

б) 25^х – 2 ∙10^х + (2а + 3) ·4^х = 0

в) 4^х – а ·2^х+1 – 3а² + 4а = 0

г) а ·3^х + 4 ·3^-х = 2

д) 2^2х – а ·2^х – 2а = 0

е)3^{(а + 1)х² - 2(а – 2)х + а} = 27

2.Решить неравенства:

а) а ·2^х ≤ а²

б)а^{х² - 15} > а^2х

в)4^х+1а² – 65 ·2^ха + 16 > 0

г) >

3. При каких а неравенство 4^х + (а – 1)2^х + (2а – 5) > 0  выполняется при любом  хR ?

4. При каких а неравенство  36^х + а ·6^х + а + 8 ≤ 0  имеет хотя бы одно решение?

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

1.Решите уравнение

а)log_2x(ax+1)=

б)log_a+ 3log(1 – x)= log(1- x²)²+2

в)log₃2a + log₃x(a – 2)= log₃(a-2)

г)log=2

д) 2log_xa + log_axa +3loga = 0

2.При каких а уравнение log(4x+a) =4 имеют решения.

3. При каких а корни уравнения

 (а-1)log(x-2) – 2(a+1)log(x-2)+a-3 = 0 меньше 3?

4. При каких а расстояние между корнями уравнения

2logx+3loga+5=0 меньше ?

5. Решите неравенства

а)  log_x(a²+1)<0

б)  ( log₂x-1)( ( log₂x+a)>0

в) log_ax+1>2log_xa

г) log_a∙log_xa < 1

6. Решите неравенство log_a(x²+x+2)< log_a(2x² – 18),если известно, что оно удовлетворяется при х = - 3,5.

7. При каких значениях а неравенство log₂(x²+ax+1)> -1 выполняется для любого х<0?

 

Задачи  ЕГЭ.

Высокий уровень С1, С2;    

1) При каких значениях параметра т уравнение тх^-2+ 2 = 3т – 2х^-2

   не имеет корней?

2) Найдите наибольшее целое отрицательное t, при котором уравнение cos²x – 5t = 4 – 2t∙cos²x не имеет корней.

3) При каких значениях параметра а прямая у = 3а – 2а² не имеет общих точек с графиком функции у =  sin²x+ a cos x?

 

C4, C5

4) Найдите все значения параметра b, при которых множество решений неравенства b log₃x + log_3x + b≥ 0  содержит все степени двойки с целым отрицательным показателем.

5) Найдите все значения параметра р, такие, что уравнение

 х² – (р -5)х – 2= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства х³- 0,5рх²- 4х²+2рх- 5х+ 2,5р≥ 0.

6) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х⁴+(х+1)((3а-1)х²+ (2а² -2)(х+1)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, каждый из которых принадлежит отрезку.

7) Найдите все значения параметра а, при которых оба числа и 3 являются решениями неравенства ≤ 0.

Ответы: 1) ; 2)- 2; 3)(-;0)(2; +); 4) нет решений;5)6;

                6) (3; 3,25];  7).

 

 

 

Для заметок