Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ ВТОРАЯ ЧАСТЬ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ ВТОРАЯ ЧАСТЬ

библиотека
материалов



Автономная некоммерческая образовательная организация

высшего профессионального образования
«ВОРОНЕЖСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»
(АНОО ВПО «ВЭПИ»)



Экономический факультет
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ



Ж.И. Бахтина, Я.А. Израилевич, Г.А. Курина, Ж.И. Сухачева



ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ
ВТОРАЯ ЧАСТЬ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ













Воронеж – 2014


Рецензент: Задорожний В.Г., доктор физ.-мат. наук, профессор, кафедра нелинейных колебаний Воронежского государственного университета.




Бахтина Ж.И. Задачи по математическому анализу для студентов первого курса ВЭПИ. Вторая часть: учебное пособие/ Ж. И. Бахтина, Я. А. Израилевич, Г. А. Курина, Ж. И. Сухачева – Воронеж: ВЦНТИ, 2014. - 50 с.



В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению «ВПО экономика (бакалавриат)»

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского экономико-правового института





Ж. И. Бахтина,

Я. А. Израилевич,

Г. А. Курина,
Ж. И. Сухачева

АНОО ВПО Воронежский
экономико-правовой
институт, 2014





СОДЕРЖАНИЕ


















В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Рекомендуется студентам первого курса для успешного изучения курса математического анализа. При подготовке учебного пособия использовались «Методические указания и контрольные задания по высшей математике для студентов-заочников  II курса (специальности 1609, 0519, 0500, 0902, 0901)», подготовленные Кочкиной Г. А., Кравец Т. М., Львиным С. Я., Требуковой Н. И., Ушаковой В. Н. и изданные в ЛТИ в 1985 г.

При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:

1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;

2) работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;

4) исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.

Нужно решить задачи, последняя цифра номеров которых совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается знаком * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.



НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

0. Найти указанные неопределенные интегралы

а) hello_html_79b125a2.gif, б) hello_html_544a72d2.gif, в) hello_html_m42cda443.gif,

г) hello_html_m72dfe137.gif, д) hello_html_5479df9b.gif, е) hello_html_1532898d.gif,

ж) hello_html_m5d209f27.gif, з) hello_html_48ea0033.gif, и) hello_html_6e8bb98d.gif,

к) hello_html_m59ddb05f.gif, л) hello_html_m1671a5c1.gif, м) hello_html_4431e5c4.gif.


1. а) hello_html_77a394b2.gif, б) hello_html_28a6f01e.gif, в) hello_html_16546e0d.gif,

г) hello_html_m5be76cd.gif, д) hello_html_m342973b.gif, е) hello_html_m5a5e057d.gif,

ж) hello_html_m5f4b4819.gif, з) hello_html_m6407c697.gif, и) hello_html_7d7998.gif,

к) hello_html_m1aeccff8.gif, л) hello_html_45bf4d44.gif, м) hello_html_mc259cc.gif.


2. а) hello_html_33816f77.gif, б) hello_html_4830d166.gif, в) hello_html_m3a7a98b.gif,

г) hello_html_m7bbbeb6f.gif, д) hello_html_30fdbc03.gif, е) hello_html_1ba00719.gif,

ж) hello_html_m6c3c8f7c.gif, з) hello_html_m3102388b.gif, и) hello_html_58754a64.gif, к) hello_html_md3d4991.gif, л) hello_html_m74d4be48.gif, м) hello_html_a49a39a.gif.


3. а) hello_html_md972779.gif, б) hello_html_129efffe.gif, в) hello_html_4aa6b489.gif,

г) hello_html_m41b72c50.gif, д) hello_html_m256c913.gif, е) hello_html_48001891.gif,

ж) hello_html_m6ffce333.gif, з) hello_html_mf883606.gif, и) hello_html_c2bfe63.gif,

к) hello_html_797d6377.gif, л) hello_html_7a1282c3.gif, м) hello_html_4d7ca58f.gif.


4. а) hello_html_3efcab9c.gif, б) hello_html_4102895f.gif, в) hello_html_m4925ea3f.gif,

г) hello_html_7acdf945.gif, д) hello_html_m3bdf4e02.gif, е) hello_html_7435be68.gif,

ж) hello_html_m42f90966.gif, з) hello_html_m7d155af3.gif, и) hello_html_m6214fe1.gif,


к) hello_html_12447192.gif, л) hello_html_4f291829.gif, м) hello_html_m328e66a8.gif.


5. а) hello_html_30353979.gif, б) hello_html_m458e7c2f.gif, в) hello_html_2a62b6a3.gif,

г) hello_html_m78e41566.gif, д) hello_html_m569a1138.gif, е) hello_html_6ba3fca7.gif,

ж) hello_html_607c0144.gif, з) hello_html_3a7a804f.gif, и) hello_html_m67f2c17c.gif,

к) hello_html_18aa9930.gif, л) hello_html_4072b65f.gif, м) hello_html_m5e05c2c8.gif.


6. а) hello_html_md04f074.gif, б) hello_html_m10044930.gif, в) hello_html_4aa6b489.gif,

г) hello_html_5da727ac.gif, д) hello_html_m764256a8.gif, е) hello_html_m516711c3.gif,

ж) hello_html_38955345.gif, з) hello_html_m48458740.gif, и) hello_html_216b1a4.gif,

к) hello_html_m58755eed.gif, л) hello_html_m204d1aa6.gif, м) hello_html_m4756cae1.gif.


7. а) hello_html_655a1764.gif, б) hello_html_m36cc7b1b.gif, в) hello_html_m5e4333de.gif,

г) hello_html_1cdfdcd5.gif, д) hello_html_m6238af93.gif, е), hello_html_457b426a.gif,

ж) hello_html_m7d2b2ef7.gif, з) hello_html_m2debd29d.gif, и)hello_html_2cbc8d29.gif

к) hello_html_m50a59712.gif, л) hello_html_3582e88f.gif, м) hello_html_m15b7a2f3.gif.


8. а) hello_html_m56795168.gif, б) hello_html_m10044930.gif, в) hello_html_m6dc727b6.gif,

г) hello_html_m5ca90be0.gif, д) hello_html_235b00ea.gif, е) hello_html_7ecc4a79.gif,

ж) hello_html_m4e318f0c.gif, з) hello_html_717a4563.gif, и) hello_html_42ae8405.gif,

к) hello_html_m5472522c.gif, л) hello_html_2a4a9fde.gif, м) hello_html_m68215bf8.gif.


9. а) hello_html_1765447b.gif, б) hello_html_m3a885b9a.gif, в) hello_html_5ff926e4.gif,

г) hello_html_m4a50081a.gif, д) hello_html_5d7f327f.gif, е) hello_html_1b5a79d7.gif,

ж) hello_html_507771ba.gif, з) hello_html_mf4ad4a9.gif, и) hello_html_m3072a913.gif,

к) hello_html_m61de6a8c.gif, л) hello_html_m496ea2e4.gif, м) hello_html_m46aa438d.gif.

*. а) hello_html_m4294271a.gif, б) hello_html_1083327c.gif, в) hello_html_m19a48e68.gif,

г) hello_html_7ed6a028.gif, д) hello_html_32f55d18.gif, е) hello_html_m256c913.gif,

ж) hello_html_7aad101f.gif, з) hello_html_c7e05a1.gif, и) hello_html_2e0741f7.gif, к) hello_html_5aaef930.gif, л) hello_html_m779d4f44.gif, м) hello_html_3d614486.gif.



Решение задачи *

Во всех задачах мы пользуемся таблицей неопределенных интегралов. Например, в задачах а), б), в) используется формула

hello_html_5c008756.gifhello_html_m102fd9ba.gif.

а) hello_html_3f10114e.gif

hello_html_m3343dbb2.gif

б) hello_html_129beeda.gif

в) hello_html_71957aa7.gif

В задачах г), д), е) воспользуемся формулой

hello_html_7633024d.gif(*)

где hello_html_6656c662.gif- первообразная для hello_html_m7021f418.gif.

г) hello_html_6b5c4c01.gif

д) hello_html_65fced0e.gif

е) hello_html_1c5d47e5.gif

ж) Воспользуемся методом замены переменной

hello_html_35133604.gif

hello_html_7c16b96.gif

з) Воспользуемся формулой

hello_html_m3c464301.gif(**)

Для этого выделим в числителе производную знаменателя, равную hello_html_m2f8a5ecf.gif. Получим

hello_html_151f02e.gif

и) Это интеграл с квадратным трехчленом в знаменателе. Выделим в числителе производную знаменателя, равную hello_html_m1be7bdae.gif. Затем в знаменателе выделим полный квадрат, т.е. запишем в виде hello_html_7187725f.gifhello_html_m62a00377.gifДалее воспользуемся формулами (*) и (**).

hello_html_m59e2ddbc.gif

hello_html_m1f66190e.gif

hello_html_m7c001d16.gif

к) Воспользуемся формулой интегрирования по частям

hello_html_21f318b6.gif

hello_html_1526f43.gif

hello_html_3efeda21.gif

hello_html_2c600bb2.gif

При нахождении hello_html_7603a64f.gif мы выбрали произвольную постоянную hello_html_m57252ea6.gif.

л) Воспользуемся формулами тригонометрии

hello_html_bd60f6c.gifhello_html_358a8280.gif

hello_html_m19edd50f.gif

Имеем

hello_html_15ee5bb7.gif

hello_html_1adee9e8.gif

hello_html_4b5cd4a3.gif

hello_html_729bdec7.gif.

В последнем интеграле сделаем замену переменной hello_html_1638f390.gif, тогда hello_html_80f4b56.gif. Получим

hello_html_348eb5f4.gif

hello_html_ea7e648.gif

hello_html_7808a91e.gif

hello_html_m4993ac75.gifhello_html_7198ffcf.gif

hello_html_m70d97645.gif

м) Это интеграл от рациональной функции. Представим подынтегральную функцию hello_html_2bb01152.gif в виде суммы простейших дробей hello_html_m12c058c9.gif Чтобы найти числа hello_html_72ac0beb.gifприведем сумму дробей к общему знаменателю.

hello_html_3ceb68c.gif

hello_html_m57117de8.gif

Получим

hello_html_29ee4b3f.gif

Знаменатели в левой и правой частях получились одинаковыми. Следовательно, числители также должны быть одинаковыми. Поэтому приравняем коэффициенты при hello_html_5feda383.gif в числителях, стоящих в левой и правой частях равенства. Получим

hello_html_284d4fe.gifhello_html_m62a00377.gif

Решая эту систему, находим hello_html_3929b730.gif. Окончательно получаем

hello_html_m6d660217.gif

Теперь вычислим интеграл, в третьем слагаемом используя формулу (**).

hello_html_163a8f84.gif

hello_html_2e38bdfc.gif

hello_html_7675b18c.gif

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

10-20. Вычислить определенные интегралы

10. а) hello_html_m5a9c510f.gif, б) hello_html_m5fe8833c.gif, в) hello_html_18a3c578.gif.

11. а) hello_html_d7b5be1.gif, б) hello_html_m5f185d11.gif, в) hello_html_1ca95482.gif.

12. а) hello_html_m6e914861.gif, б) hello_html_m6b09c381.gif, в) hello_html_56ff42f6.gif.

13. а)hello_html_m305afa44.gif, б) hello_html_1845abad.gif, в) hello_html_m32ebe1da.gif.

14. а) hello_html_7caaeebe.gif, б) hello_html_m42e7a260.gif, в) hello_html_m646a7920.gif.

15. а)hello_html_m5cce3260.gif, б) hello_html_m5e0da6c0.gif, в)hello_html_m51f8a8cd.gif

16. а) hello_html_6fd8ed3e.gif, б) hello_html_m30f3a8c8.gif, в) hello_html_me8f4b6a.gif.

17. а) hello_html_4eb193ba.gif, б) hello_html_55e0478d.gif, в) hello_html_8ee9f51.gif.

18. а) hello_html_acb6fda.gif, б) hello_html_m540215e5.gif, в) hello_html_67cb59d.gif.

19. а) hello_html_2d00dd54.gif, б) hello_html_32a8bc49.gif, в) hello_html_19a454cb.gif.

1*. а) hello_html_m491c62e5.gif, б) hello_html_m5879596e.gif, в) hello_html_m5fa5e1a7.gif.


Решение задачи 1*

Во всех задачах воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла

hello_html_5fbef45e.gif

где hello_html_6656c662.gif - первообразная для hello_html_7d7b285.gif

а) hello_html_m16b1f203.gif

hello_html_56146fe4.gif.

б) Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

hello_html_39592877.gif

hello_html_m43a7257f.gifhello_html_m4816770.gif

в) Сделаем замену переменной.

hello_html_43cafd0c.gif

В результате замены переменной пределы интегрирования также изменились: если hello_html_283da1f.gif, то hello_html_1e7013b7.gif; если hello_html_m782bee8.gif, то hello_html_m5b68a0f2.gif


20 - 29. Выполнить задания:

а) вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями, уравнения которых заданы в

декартовой прямоугольной системе координат;

б) вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, уравнение которой задано в полярной системе координат.

К обеим задачам сделать чертежи.

20. а) hello_html_b4d03b0.gif hello_html_m140e82e8.gif б) hello_html_3331fe4e.gif.

21. а) hello_html_7992a5b1.gif hello_html_m2196be45.gif б) hello_html_2d46e44f.gif.

22. а) hello_html_b4d03b0.gif hello_html_m44a7b21f.gif б) hello_html_1eaa947b.gif.

23. а)hello_html_55915ba6.gif hello_html_m49bfbd3d.gif hello_html_m7eb74961.gif б) hello_html_5ab844b7.gif.

24. а) hello_html_b4d03b0.gif hello_html_5947b4d1.gif; б) hello_html_m1d05ef49.gif.

25. а) hello_html_4b62ec33.gif hello_html_681fafb8.gif; б) hello_html_60cd7ae6.gif.

26. а) hello_html_4284e698.gif hello_html_m366a719d.gif б) hello_html_m3cbe0a5c.gif.

27. а) hello_html_m1591eaa6.gif hello_html_m78c7e37d.gif б) hello_html_7a54474d.gif.

28. а) hello_html_4b62ec33.gif hello_html_64b31c.gif hello_html_m7eb74961.gif б) hello_html_m766591de.gif.

29. а) hello_html_m40934f79.gif hello_html_m68ae76d3.gif б) hello_html_m7288f376.gif.

2*. а) hello_html_6960042e.gif hello_html_m10a1c591.gif б) hello_html_140cf4cf.gif.



Решение задачи 2*

а) сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 1)

hello_html_m1a1f3281.pngРис.1

Найдем абсциссы точек пересечения линий с уравнениями hello_html_m62961b42.gif и hello_html_m3d3e0df4.gif. Для этого приравниваем правые части уравнений: hello_html_13f09dbb.gif. Получим квадратное уравнение hello_html_m5d5c51b3.gif. Решая его, найдем hello_html_1d3eda97.gif hello_html_6b75df9e.gif.

Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m3aa7276f.gif hello_html_51d250ee.gif hello_html_2bfd558.gif hello_html_5f43607.gif

hello_html_m6497c579.gif

В нашей задаче площадь фигуры можно получить как разность площадей hello_html_2b643b0.gif и hello_html_m66f06031.gif двух криволинейных трапеций (см. Рис.1), а именно, ограниченных линиями hello_html_m130dfc52.gif hello_html_5f43607.gif hello_html_m100ab0f4.gif а сверху – линиями hello_html_m62961b42.gif и hello_html_74f66073.gif Имеем

hello_html_648cf39a.gif

hello_html_m6ee31.gif

hello_html_m3943111.gif(кв.ед.).

б) Сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 2). Для этого нужно составить таблицу значений функции hello_html_m38af64bb.gif в зависимости от значений аргумента hello_html_m50c4ea1a.gif.

hello_html_3b06719b.png

Рис. 2

Воспользуемся формулой площади криволинейного сектора, ограниченного линиями hello_html_20a989d2.gif hello_html_m7ad172e9.gif hello_html_m4298e2c1.gif (в полярной системе координат),

hello_html_m2f470b8.gif.

Данная фигура ограничена линией hello_html_140cf4cf.gif, при этом угол hello_html_23c3ea30.gif делает полный оборот, т.е. hello_html_m41b34bd6.gif. Тогда площадь фигуры hello_html_6022ebb8.gif есть

hello_html_7dfb91da.gif

hello_html_3f59a8c4.gif

hello_html_41647d8b.gif(кв.ед.).



30 - 39. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси hello_html_m1935533e.gif фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

30. hello_html_52b63bd0.gif hello_html_6032a2a9.gif

31. hello_html_4ffe4250.gif hello_html_5f43607.gif hello_html_49a71d60.gif

32. hello_html_m7cbfb265.gif hello_html_m13fa3259.gif

33. hello_html_d0d0f82.gif hello_html_6032a2a9.gif

34. hello_html_m27e99d27.gif hello_html_m7007cd8f.gif hello_html_33711888.gif hello_html_6032a2a9.gif

35. hello_html_4ba5ad8c.gif hello_html_5167bf6f.gif

36. hello_html_m462fb256.gif hello_html_m7007cd8f.gif hello_html_m130dfc52.gif hello_html_6032a2a9.gif

37. hello_html_69b81766.gif hello_html_5f43607.gif hello_html_m7007cd8f.gif hello_html_5167bf6f.gif

38. hello_html_m431c2664.gif hello_html_783de45d.gif.

39. hello_html_m4b5380f5.gif hello_html_m7007cd8f.gif hello_html_6032a2a9.gif

3*. hello_html_4aa292cb.gif hello_html_m100ab0f4.gif hello_html_6c3ac57.gif hello_html_6032a2a9.gif



Решение задачи 3*

Сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 3)

hello_html_m17f383fc.png

Рис. 3

Воспользуемся формулой объема тела, полученного вращением вокруг оси hello_html_6becc281.gif криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m3aa7276f.gif hello_html_51d250ee.gif hello_html_2bfd558.gif hello_html_5f43607.gif

hello_html_m10525b06.gif

В нашей задаче объем тела есть hello_html_3672c13c.gifhello_html_2d7e5625.gifhello_html_m39a03dac.gif (куб. ед.).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

40 - 49. Найти решение дифференциального уравнения hello_html_30f25841.gif, удовлетворяющее условию hello_html_m557cf241.gif

40. hello_html_4a846a63.gifhello_html_m41f32c92.gif

41. hello_html_m2e93c30b.gif hello_html_fe6fb8b.gif

42. hello_html_m633c5cde.gif hello_html_m598852e2.gif

43. hello_html_m37c8e69a.gif hello_html_20acb5bf.gif

44. hello_html_m4b285752.gif hello_html_747806a0.gif

45. hello_html_a64d067.gif hello_html_6c0378d0.gif

46. hello_html_m595143dc.gif hello_html_1f79e8ed.gif

47. hello_html_m506f0f44.gif hello_html_713ffb0d.gif

48. hello_html_m41c6b33a.gif hello_html_m41f32c92.gif

49. hello_html_93ed2e5.gif hello_html_1fb7ba5f.gif

4*. hello_html_7a5ed97c.gif hello_html_625cbb0e.gif


Решение задачи 4*

Данное уравнение должны рассматривать на множестве значений hello_html_m507f2f23.gif, не содержащем 0. Правая часть дифференциального уравнения первого порядка hello_html_m2f79946e.gif представляет собой произведение функций, зависящих только от hello_html_m67befec9.gif и только от hello_html_m749674a0.gif (произведение hello_html_m67befec9.gif и hello_html_mfbc5877.gif) . Такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

При hello_html_4f6a597.gif запишем данное уравнение в виде hello_html_3ab52fb3.gif Проинтегрируем это уравнение. Учитывая, что неопределенные интегралы находятся с точностью до произвольной постоянной hello_html_m1e625004.gif, имеем hello_html_m4095d223.gif.

Вычисляя интегралы, получаем hello_html_631a20f6.gif Обозначим hello_html_7d7d0e30.gif, где hello_html_m330c6650.gif тогда

hello_html_3857440a.gif,

отсюда

hello_html_3428691f.gif.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения есть hello_html_6897ac0e.gif(при hello_html_m32f3b475.gif получаем решение hello_html_20eee8fb.gif). Найдем постоянную hello_html_687fe1a1.gif из заданного начального условия hello_html_m25971f1f.gif. Подставляя hello_html_m234e2a55.gif и hello_html_m72b99ac1.gif в общее решение, получим hello_html_7ed59fc1.gif, отсюда hello_html_477bb982.gif. Найденное значение hello_html_3ed006e5.gif подставим в формулу для общего решения. Получим частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: hello_html_43a76989.gif.


50 - 59. Найти все решения данных дифференциальных уравнений

50. а) hello_html_mefe6b02.gif б) hello_html_m210c0a98.gif.

51. а) hello_html_m64540342.gif б) hello_html_m431daa8b.gif.

52. а) hello_html_m1baeb52f.gif б) hello_html_1ffdc9a0.gif.

53. а) hello_html_36837d26.gif б) hello_html_m179038e2.gif.

54. а) hello_html_1693271c.gif б) hello_html_573ea630.gif.

55. а) hello_html_ma6e2760.gif б) hello_html_m7d5c67d5.gif.

56. а) hello_html_m51c4ccb5.gif б) hello_html_m2caf8466.gif.

57. а) hello_html_m7a184c7f.gif б) hello_html_3b872e5d.gif.

58. а) hello_html_m5840e5f0.gif б) hello_html_79aca50a.gif.

59. а) hello_html_38e7134b.gif б) hello_html_18dbb41f.gif.

5*. а) hello_html_2b8d2d53.gif б) hello_html_57a781fd.gif



Решение задачи 5*

а) Данное уравнение должны рассматривать на множестве значений hello_html_m749674a0.gif, не содержащем 0. Запишем уравнение в виде hello_html_m14986355.gif Значит, правая часть зависит только от hello_html_659da593.gif Такое дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным. Для его решения сделаем замену hello_html_1c48fe67.gif, отсюда имеем hello_html_1dcfcd04.gif Дифференцируя последнее равенство, получаем hello_html_279fbd9d.gif Подставляя выражения для hello_html_m2aabfff5.gif и hello_html_m4f5139e2.gif в данное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции hello_html_65c6d22d.gif, отсюда hello_html_4c2b259c.gif Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Очевидно, что его решением является hello_html_2d742060.gif. Значит, hello_html_3b4d48ec.gif решение данного уравнения. Найдем ненулевые решения. Разделяя переменные в уравнении для hello_html_18a625fa.gif, имеем

hello_html_2e039609.gifhello_html_70307b75.gif; hello_html_1156839b.gif, hello_html_2af8595d.gif

Полученное решение hello_html_m5b568524.gif подставим в формулу hello_html_4180fab4.gif и получим, что решениями данного дифференциального уравнения являются функции hello_html_47b3516a.gif, где hello_html_m1e625004.gif произвольная постоянная. Добавляя к этому семейству решений функцию hello_html_3b4d48ec.gif, получаем все решения.

б) Данное уравнение должны рассматривать на множестве, не содержащем hello_html_4d02ce7d.gif. В дифференциальное уравнение первого порядка hello_html_m41e72bbf.gif неизвестная функция hello_html_a8764d4.gif и ее производная hello_html_64462339.gif входят линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение будем искать в виде hello_html_1251776c.gif, отсюда hello_html_m7dac7f41.gif. Подставляя в данное уравнение выражения для hello_html_a8764d4.gif и hello_html_m3df5ca44.gif, получаем:

hello_html_mfd0a123.gif

или

hello_html_111673ff.gif. (1)

Найдем функцию hello_html_79bb05ff.gif из условия, что коэффициент, стоящий при hello_html_m5b568524.gifв (1), равен нулю, то есть,

hello_html_m12729f3b.gif. (2)

Тогда из (1) получаем, что функция hello_html_m5b568524.gif будет удовлетворять уравнению

hello_html_m369b269a.gif. (3)

Уравнение (2) есть дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его решение.

hello_html_6db9ae93.gif, hello_html_371a86ed.gif, hello_html_a61f57d.gif, hello_html_69e6be91.gif, hello_html_5264d228.gif.

(Мы ищем частное решение уравнения (2), поэтому в формулу для решения hello_html_79bb05ff.gif мы не включили произвольную постоянную.)

Подставляя полученное выражение для hello_html_79bb05ff.gif в уравнение (3), имеем hello_html_43d3b5d3.gif, отсюда hello_html_m7d7499b3.gif. Тогда hello_html_m70d5e827.gif

Подставляя найденные выражения для hello_html_m5b568524.gif и hello_html_79bb05ff.gif в равенство hello_html_m61814213.gif, находим общее решение данного дифференциального уравнения

hello_html_6de1f66a.gif


60 - 69. Найти решение дифференциального уравнения hello_html_m638f56df.gif, удовлетворяющее

начальным условиям hello_html_m5341c718.gif hello_html_m18b6b0f.gif.

60. hello_html_mc842b6b.gifhello_html_7af32d6f.gifhello_html_66b75ecc.gif.

61. hello_html_72ad995d.gif hello_html_m5c5f84e5.gif hello_html_me99549f.gif.

62. hello_html_2f3daaf9.gif hello_html_m32c07d91.gif hello_html_763bf9c9.gif

63. hello_html_221e6edf.gif hello_html_2ef34164.gif hello_html_69b4c59e.gif

64. hello_html_77b0a350.gif hello_html_51d6112.gif hello_html_3e640bc0.gif

65. hello_html_m11e968c7.gif hello_html_51d6112.gif hello_html_2d4d81af.gif

66. hello_html_572ed89e.gif hello_html_1866a001.gif hello_html_m7ac69ca2.gif

67. hello_html_378d0526.gif hello_html_m5c5f84e5.gif hello_html_3cfeae61.gif

68. hello_html_7e83ce1f.gif hello_html_677279cd.gif hello_html_m34554196.gif

69. hello_html_m4807d6b2.gif hello_html_77f0db22.gif hello_html_m132d48a6.gif

6*. hello_html_m70ffb4db.gif hello_html_m5d4848a1.gif hello_html_m7847056f.gif.


Решение задачи 6*

Интегрируя выражение для hello_html_273080f2.gif, находим последовательно hello_html_m3df5ca44.gif и hello_html_m67befec9.gif:

hello_html_3454dacb.gif;

hello_html_m42bfdd20.gif

hello_html_m3efef180.gif

Итак, получили выражения для hello_html_m3df5ca44.gif и hello_html_m67befec9.gif.

Выберем теперь постоянные hello_html_465e4a10.gif и hello_html_673492d9.gif так, чтобы выполнялись начальные условия. Для этого подставим hello_html_m6f7e9627.gif hello_html_7aafe087.gif hello_html_m388288bb.gif в найденные выражения для hello_html_m67befec9.gif и hello_html_63b6057a.gif Получим систему

hello_html_331df66a.gif

Решая ее, находим hello_html_3e8cf03.gif hello_html_m64d5a30e.gif.

Подставляя эти значения hello_html_m57f3b9bb.gif и hello_html_m7906e491.gif в найденное выражение для решения hello_html_m67befec9.gif, получаем

hello_html_m6dd97ae.gif.



70 - 79. Найти общее решение дифференциального уравнения вида

hello_html_m3f020d5b.gif.

70. hello_html_6b1f05f9.gif

71. hello_html_m27b45fd7.gif

72. hello_html_66b68356.gif

73. hello_html_mbb45565.gif

74. hello_html_m2634f272.gif

75. hello_html_6defd55e.gif

76. hello_html_m4f1be361.gif

77. hello_html_m5e88ac64.gif

78. hello_html_m2e827a67.gif

79. hello_html_6026ffbe.gif

7*. hello_html_792338e8.gif


Решение задачи 7*

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид hello_html_b091524.gif, где hello_html_m184d4e58.gif общее решение уравнения без правой части, а hello_html_69328d7d.gif частное решение уравнения с правой частью.

Решим дифференциальное уравнение без правой части hello_html_m9fc576.gif. Характеристическим уравнением для него будет квадратное уравнение hello_html_m7caa673d.gif, которое имеет не равные действительные корни hello_html_697ed90a.gif и hello_html_mb10412.gif. Поэтому общее решение дифференциального уравнения без правой части имеет вид

hello_html_m386cf812.gif.

Правая часть дифференциального уравнения равна hello_html_2ccd1285.gif. Коэффициент -2, стоящий при hello_html_m6efbf846.gif в показателе степени, совпадает с одним корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение дифференциального уравнения с правой частью будем искать в виде

hello_html_m639da7ec.gif.

Тогда

hello_html_m4d16c8ad.gif,

hello_html_3985fc8a.gif.

Подставляя hello_html_69328d7d.gif, hello_html_399ad2f.gif, hello_html_m6aabeb54.gif в данное дифференциальное уравнение, получаем равенство

hello_html_4d86b694.gif.

Сокращая на hello_html_m176c6ab4.gifи приводя подобные члены, получаем hello_html_m420c6dfb.gif. Отсюда находим hello_html_m7b32e576.gif.

Итак, hello_html_ae2aa15.gif.

Запишем теперь общее решение hello_html_b091524.gif данного дифференциального уравнения

hello_html_m3cc7c580.gif.

РЯДЫ

80 - 89. Пользуясь одним из признаков сходимости рядов с положительными членами, установить, сходятся или расходятся данные ряды.

80. а) hello_html_m352c4e62.gif,

б) hello_html_macd5da4.gif.

81. а) hello_html_60194ae5.gif,

б) hello_html_71852f83.gif.

82. а) hello_html_2a793171.gif,

б) hello_html_7b1e94ba.gif.

83. а) hello_html_2a5d1796.gif,

б) hello_html_593338e4.gif.

84. а) hello_html_2198e32f.gif,

б) hello_html_m55c37858.gif.

85. а) hello_html_m5bae9ba4.gif,

б) hello_html_m4fb6d565.gif.

86. a) hello_html_m2024d7a7.gif,

б) hello_html_m2c3703b8.gif.

87. а) hello_html_225f7e7d.gif,

б) hello_html_7fa1706.gif.

88. а) hello_html_419ed7a3.gif,

б) hello_html_bc7e4dc.gif.

89. а) hello_html_m3f447521.gif,

б) hello_html_mfdc864d.gif.

8*. а) hello_html_2451244e.gif,

б) hello_html_2847cc6.gif.


Решение задачи 8*

а) Для данного ряда с положительными членами воспользуемся признаком Даламбера:

- если hello_html_653f6211.gif, то ряд сходится;

- если hello_html_36974db2.gif, то ряд расходится.

Выпишем hello_html_m1d4342ac.gif- ый и hello_html_m46b71e3e.gif- ый члены ряда

hello_html_m1b83d958.gifhello_html_4d8fcb8d.gif,

тогда

hello_html_2c891d1b.gif.

Посколькуhello_html_676fa833.gif, то данный ряд сходится.

б) Для данного ряда с положительными членами

hello_html_2baa197d.gif(1)

воспользуемся признаком сравнения: если существует конечный предел hello_html_28d579d9.gif и этот предел отличен от нуля, то ряды hello_html_m464932d3.gif и hello_html_c5cd6e4.gif ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В качестве второго ряда возьмем ряд

hello_html_759aff0f.gif. (2)

Ряд (2) есть обобщенный гармонический ряд hello_html_m5e8ceb29.gifс hello_html_4a3675a2.gif. Обобщенный гармонический ряд сходится, если hello_html_27f24d94.gif, и расходится, если hello_html_m2c9c83a3.gif. Следовательно, ряд (2) сходится.

hello_html_m1d4342ac.gif- ый член ряда (1) есть hello_html_m65b33b27.gif, hello_html_m1d4342ac.gif- ый член ряда (2) есть hello_html_568b185b.gif.

hello_html_m7b714325.gif.

Предел отличен от нуля, поэтому ряды (1) и (2) ведут себя одинаково. Ряд (2) сходится, следовательно, и данный ряд (1) сходится.


90 - 99. Установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд. Если ряд сходится, выяснить, является ли его сходимость абсолютной или условной.

90. hello_html_561cb637.gif.

91. hello_html_2cbe14d5.gif .

92. hello_html_7dc06d6a.gif.

93. hello_html_139d991e.gif.

94. hello_html_2a75368a.gif.

95. hello_html_m7ed16cb5.gif.

96. hello_html_m301790c6.gif.

97. hello_html_m47344022.gif.

98. hello_html_2c2c177.gif.

99. hello_html_7dbbec5e.gif.

9*. hello_html_m3a3d5715.gif.


Решение задачи 9*

Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

hello_html_318da4b7.gif, hello_html_26b69f57.gif (3)

Если hello_html_m19b0a324.gif и hello_html_m35268f8d.gif, то ряд (3) сходится. При этом, если ряд с положительными членами

hello_html_m2da86993.gif(4)

сходится, то ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если ряд (4) расходится, а ряд (3) сходится, то ряд (3) называется условно сходящимся.


В нашей задаче требуется исследовать знакочередующийся ряд

hello_html_m5f7ba0a9.gif.

Условия признака Лейбница выполнены, так как

hello_html_318605f5.gif;

hello_html_m3601b410.gif.

Следовательно, данный ряд сходится.

Составим из данного ряда ряд с положительными членами:

hello_html_4821bfe1.gif.

Этот ряд является обобщенным гармоническим рядом hello_html_777645e1.gif при hello_html_ma99fa1.gif. Так как hello_html_m244ec9f2.gif, то ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.


100 - 109. Найти область сходимости степенного ряда.

100. hello_html_m6e92a2a9.gif.

101. hello_html_9fb6833.gif.

102. hello_html_141b6a24.gif.

103. hello_html_e539171.gif.

104. hello_html_m7ba9f2cf.gif.

105. hello_html_m292e0f0.gif.

106. hello_html_31e948ef.gif.

107. hello_html_m6b517db.gif.

108. hello_html_m18088be0.gif.

109. hello_html_m78a35268.gif.

10*. hello_html_m72663502.gif.


Решение задачи 10*

Степенной ряд hello_html_aa4b424.gif абсолютно сходится при hello_html_640f3cf.gif, где hello_html_m1cb70ddd.gif, и расходится при hello_html_m54d8e124.gif.

Запишем коэффициент hello_html_m75dfd739.gif при hello_html_m124562b6.gif в нашей задаче hello_html_m5ca6a7d7.gif.

Тогда hello_html_5fbf94e4.gif.

Вычислим hello_html_5f40ace7.gif.

hello_html_m5843875f.gif.

Итак, данный степенной ряд абсолютно сходится при hello_html_mbef58e9.gif и расходится при hello_html_543546a9.gif.

Исследуем его сходимость при hello_html_m79e6d6bb.gif, то есть при hello_html_m28b8ce6a.gif и hello_html_63b75153.gif.

При hello_html_m28b8ce6a.gif степенной ряд превращается в ряд с положительными членами

hello_html_m2a3bc49a.gif.

Запишем общий член этого ряда hello_html_m13b875ce.gif.

Воспользуемся признаком сравнения. Для этого возьмем расходящийся гармонический ряд

hello_html_4b9b4e5f.gif

с общим членом hello_html_27eaebf9.gif .

Найдем предел отношения hello_html_m8ce5917.gif-х членов последних двух рядов

hello_html_13d39bc7.gif.

Предел отличен от нуля, следовательно, последние два ряда одновременно расходятся в силу признака сравнения. Значит, степенной ряд при hello_html_m28b8ce6a.gif расходится.

При hello_html_63b75153.gif степенной ряд превращается в знакочередующийся ряд

hello_html_m47c4dbf0.gif.

Для этого ряда выполнены условии признака Лейбница:

hello_html_55018f05.gif

и

hello_html_m2b659233.gif

Следовательно, последний ряд сходится. Соответствующий ему ряд с положительными членами есть степенной ряд при hello_html_63b75153.gif. Так как он расходится, то степенной ряд при hello_html_63b75153.gif сходится условно.

Итак, данный степенной ряд сходится для всех hello_html_m6efbf846.gif, удовлетворяющих неравенству hello_html_1827aec2.gif. Причем внутри этого промежутка ряд сходится абсолютно.


110 - 119. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции hello_html_b4baa2b.gif.

110. hello_html_378bdc3.gif

111. hello_html_1eaeb089.gif

112. hello_html_m5bbaced2.gif

113. hello_html_m32d6c784.gif

114. hello_html_m18ddc7a0.gif

115. hello_html_156ff74d.gif

116. hello_html_m7631cd02.gif

117. hello_html_47f586c2.gif

118. hello_html_m76078df5.gif

119. hello_html_m34c58abf.gif

11*. hello_html_7814dd6f.gif


Решение задачи 11*

Ряд Маклорена для функции hello_html_m74c6855b.gifимеет вид

hello_html_m28b3ba84.gif

Следовательно,

hello_html_5dd70178.gif.

Подставляя в полученную формулу hello_html_1ed893d0.gifвместо hello_html_m6efbf846.gif, получаем

hello_html_m4fb63aeb.gif.


ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

120 - 129. Вычислить определенный интеграл, пользуясь разложением в ряд подынтегральной функции. Вычислять с тремя десятичными знаками.

120. hello_html_m33d2bd36.gif. 121. hello_html_6158089b.gif.

122. hello_html_m642b07c1.gif . 123. hello_html_m2a52f9b.gif.

124. hello_html_1a144bec.gif. 125. hello_html_mf211e9f.gif.

126. hello_html_m2778101.gif. 127. hello_html_5d144dd9.gif.

128. hello_html_6eb5ec19.gif. 129. hello_html_945f9a0.gif.

12*. hello_html_6af21747.gif.



Решение задачи 12*

Ряд Маклорена для функции hello_html_m63b7f21b.gifимеет вид

hello_html_1cebe627.gif.

Поэтому

hello_html_m331b7228.gif,

hello_html_b66e67d.gif

hello_html_m3dfd3421.gif.

Отбросим члены полученного числового ряда, начиная с hello_html_6494d1fe.gif. Так как ряд знакочередующийся, то ошибка не превосходит числа hello_html_788144a6.gif, то есть меньше 0, 0002. Получим

hello_html_m7cdf3bec.gif


130 - 139. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального уравнения hello_html_4ebc5cec.gif при условии, что hello_html_64b0a87b.gif.

130. hello_html_m7c8b1376.gifhello_html_15c4ef5c.gif

131. hello_html_m549a248a.gifhello_html_15c4ef5c.gif

132. hello_html_71c2415c.gifhello_html_m472c4b18.gif

133. hello_html_m505a718d.gifhello_html_15c4ef5c.gif

134. hello_html_28645567.gifhello_html_15c4ef5c.gif

135. hello_html_170ae64a.gifhello_html_15c4ef5c.gif

136. hello_html_37575d17.gifhello_html_635e15e3.gif

137. hello_html_244e8444.gifhello_html_635e15e3.gif

138. hello_html_49d9d09d.gifhello_html_635e15e3.gif

139. hello_html_m55e6bdf8.gifhello_html_635e15e3.gif

13*.hello_html_m17e8824e.gifhello_html_m26c53bc3.gif


Решение задачи 13*

Будем искать решение hello_html_m2f8cc422.gifв виде ряда Маклорена

hello_html_m50e583ec.gif.

Для этого нам надо определить значения hello_html_3dd83110.gif, hello_html_m39b447aa.gif, hello_html_395f6861.gif,….

Значение hello_html_2e8c3d84.gif нам задано. Дифференциальное уравнение первого порядка hello_html_m72082c59.gifможно рассматривать как формулу для вычисления hello_html_m4fca21c2.gif Подставляя в нее hello_html_m441754e6.gif и hello_html_5898271.gif, находим, что hello_html_7be27d3f.gif.

Продифференцировав уравнение по переменной hello_html_m6ac07ae4.gif получим формулу для вычисления hello_html_1c3f5007.gif: hello_html_m1e40a75e.gif. Подставляя в нее hello_html_m441754e6.gif и hello_html_m50554019.gif, hello_html_m530dae9f.gif, находим hello_html_m16e36e09.gif. Аналогичным образом можно найти значения hello_html_2ce05db1.gif, hello_html_m11a3a6bf.gif, …. Подставляя найденные значения в ряд Маклорена, получаем

hello_html_35f4e4c4.gif.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

  1. Кытманов А. М. Математический анализ: учебное пособие для бакалавров / А. М. Кытманов. М. : Юрайт, 2014. 607 с.

  2. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин. М. : Юрайт, 2012. 909 с.

  3. Ильин В. А. Высшая математика: учебник / В. А. Ильин, А. В. Куркина. М.: Проспект, 2012. 608 с.

  4. Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. СПб.: Лань, 2010. 299 с. 


Дополнительная

  1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2 / Н. С. Пискунов. М. : Наука, 2001. 432 с.

  2. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. СПб.: Лань, 2005. – 736 с.

  3. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. М. : Астрель, АСТ, 2008. 654 с.

  4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учебное пособие для студ. втузов / Г. С. Бараненков [ и др.]; ред. Б. П. Демидович. М.: Астрель, АСТ, 2004. 495 с. 

  5. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2002. – 432 с.

  6. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 471 с.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Рекомендуется студентам первого курса для успешного изучения курса математического анализа. При подготовке учебного пособия использовались. При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:

1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;

2) работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;

4) исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.

Нужно решить задачи, последняя цифра номеров которых совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается знаком * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.

 

 

Автор
Дата добавления 02.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров364
Номер материала 419023
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх