Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебное пособие"Задачи по математическому анализу для студентов первого курса первая часть"

Учебное пособие"Задачи по математическому анализу для студентов первого курса первая часть"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_m5cbdb916.gifhello_html_7d20d87f.gif



Автономная некоммерческая образовательная организация

Высшего профессионального образования
«ВОРОНЕЖСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»
(АНОО ВПО «ВЭПИ»)




Экономический факультет
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ



Ж.И. Бахтина, Г.А.Курина, Ж.И. Сухачева



КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ





Воронеж - 2013



Рецензенты: Шабров С.А., д-р физ.-мат. наук, профессор(ВГУ)
Кафедра математического анализа
Воронежского государственного университета


Бахтина Ж.И., Курина Г.А., Сухачева Ж.И. Курс математического анализа
для студентов первого курса. Первая часть: учебное пособие/ Ж.И. Бахтина, Г.А.Курина,
Ж.И. Сухачева – Воронеж: ВЭПИ, 2013.- 50 с.,табл.,



В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению «ВПО экономика(бакалавриат)»

Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Воронежского экономико-правового института





Ж.И. Бахтина,
Г.А.Курина,
Ж.И. Сухачева

АНОО ВПО Воронежский
экономико-правовой
институт, 2013

При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:

1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;

2) работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;

4) Исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.

Нужно выполнить индивидуальное задание из варианта, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

На экзамене и зачете студенту могут быть предложены задачи, аналогичные задачам его индивидуального задания по соответствующему разделу программы.

Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается цифрой * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.







ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

НА ПЛОСКОСТИ.

0-9. Построить прямые, заданные уравнениями; найти точки пересечения этих прямых с осями координат и углы, которые эти прямые образуют с осью OX; найти точки пересечения прямых, заданных уравнениями а) и б).

  1. а) y = 2x + 1; б) 4x + 4y – 7 = 0; в) y = 4; г) x = - 3;

  2. а) y = x – 3; б) 3x + 2y – 6 = 0; в) y = - 2; г) x = 1;

  3. а) y = 3x – 2; б) 3x + 4y - 12 = 0; в) y = - 1; г) x = 3;

  4. а) y= 4x – 3; б) x + 2y -4 = 0; в) y = - 3; г) x = 5;

  5. а) y = 5x – 4; б) x + 4y – 6 = 0; в) x = - 1; г) y = 2,5;

  6. а) y = - 4x + 5; б) 2x – 5y + 12 = 0; в) y = 3; г) x = - 4;

  7. а) y = - x + 3; б) 5x – 4y + 20 = 0; в) x = - 2; г) y = 5;

  8. а) y = - 5x + 3; б) 4x – 3y + 8 = 0; в) y = - 1,5; г) x = 4,5;

  9. а) y = - 2x + 5; б) 2x – 3y – 6 = 0; в) x = - 5; г) y = 1;

  10. а) y = - 3x + 2; б) 2x – 2y – 5 = 0; в) y = - 4; г) x = 2;

*. а) y = 2x – 4; б) 2x + 3y + 6 = 0; в) y = 2; г) x = 4.



Решение задачи *.

а) y = 2x – 4. Точку пересечения прямой с осью OY находим, подставляя в уравнение x =0, получаем y = - 4. Точку пересечения прямой с осью OX находим, подставляя в уравнение y = 0, получаем x = 2. По этим точкам строим прямую (см. рис. 1). Угол α, который образует прямая с осью OX, находим из равенства tgα = 2. Отсюда αhello_html_67a30896.gif64°.

б) 2x + 3y + 6 = 0. Аналогично п. а) находим точку пересечения прямой с осью OY: x = 0, y= - 2 и с осью OX: y = 0, x = - 3. По этим точкам строим прямую (см. рис. 1). Запишем уравнение прямой в виде y = - hello_html_6a1c94eb.gif x – 2. Отсюда tg α = - hello_html_6a1c94eb.gif; α hello_html_67a30896.gif90° + 34° = 124°.

в) y = 2. Это - прямая, параллельная оси OX (угол α = 0) и проходящая через точку 2 на оси OY (см. рис. 1).

г) x = 4. Это - прямая, параллельная оси OY (угол α = 90°) и проходящая через точку 4 на оси OX (см. рис. 1).

Координаты точки пересечения прямых (а) и (б) находятся из системы, составленной из уравнений этих прямых:

hello_html_7f8159b8.gif

Отсюда x = hello_html_m57c90caf.gif, y = - 2hello_html_6eec8aff.gif.

hello_html_m590617f0.png



Рис. 1.

10-19. График линейной функции образует с осью OX угол α.Известно, что при x=x0 функция принимает значение y=y0. Найти линейную функцию и построить ее график. Указать точки пересечения графика с осями координат.

  1. hello_html_73ec085c.gif, hello_html_m7896f1e3.gif, hello_html_m2494ba98.gif;

  2. hello_html_4c14074c.gif, hello_html_5bbdc9e.gif, hello_html_625114b3.gif

  3. hello_html_m27bdf8b0.gif, hello_html_m1867985a.gif, hello_html_69a59644.gif

  4. hello_html_m1bac7d8f.gif, hello_html_1f041c3e.gif, hello_html_m6b93331a.gif;

  5. hello_html_ma07eda0.gif, hello_html_m3cf80e64.gif, hello_html_m452598eb.gif

  6. hello_html_m52195686.gif, hello_html_1c54b0ee.gif, hello_html_m7e2a8152.gif

  7. hello_html_71bb9449.gif, hello_html_m51a98baf.gif, hello_html_1504ad1.gif

  8. hello_html_m74bf422a.gif, hello_html_m13561cb.gif, hello_html_554a833d.gif

  9. hello_html_6a569ebb.gif, hello_html_m3f449b9.gif, hello_html_mf28ab08.gif

  10. hello_html_m5f5da2ed.gif, hello_html_m6273f3fa.gif, hello_html_m41ea6595.gif

1*. hello_html_m6df4bcd.gif, hello_html_m3f449b9.gif, hello_html_45352c5.gif

Решение задачи 1*.

Искомая линейная функция задается уравнением hello_html_m13076ee8.gif, где hello_html_67939f95.gif. Получим hello_html_358d81c8.gif. Точки пересечения с осями:hello_html_m337574c3.gif,

hello_html_m40eaf2f6.gif; hello_html_1a7f2992.gif Строим график (см. рис 2).

hello_html_69bdaa89.png

Рис. 2.



20-29. Треугольник АВС задан координатами вершин. Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) величины углов треугольника;

3) уравнения высот и точку их пересечения.

20. А (10;-2); В(4;8); С(0;0);

21. А(-3;1); В(3;5); С(-1;-7);

22. А(0;-3) В(-5;1); С(3;7);

23. А(4;0); В(0;0); С (10;-2);

24. А(5; 3); В(-7; -1); С(-1; -3);
25. А(1; 7); В(3; 1); С(-3; -5);
26. А(3; 0); В(-7; -3); С(-1; 5);
27. А(0; 0); В(8; 4); С(-2; 10);
28. А(7; 1); В(-5; -3); С(1; 3);
29. А(1; -5); В(-3; 0); С(7; 3).
2*. А(1; 2); В(5; 0); С(9; 4).

Решение задачи 2*.

  1. Чтобы найти уравнения сторон, воспользуемся уравнением
    прямой, проходящей через 2 заданные точки:
    hello_html_m531d1f96.gif = hello_html_4540e2d0.gif.
    Получим уравнение АВ:
    hello_html_643c8811.gif или hello_html_m1dc3083f.gif.
    Уравнение ВС:
    hello_html_m72687a5a.gif или y=x-5.
    Уравнение АС:
    hello_html_md10fd96.gifили y = hello_html_5e1db949.gif.

  2. Найдем два угла треугольника по формуле tgφ = hello_html_mbf32a77.gif,
    где
    hello_html_32eabde0.gif и hello_html_m185f2124.gif - угловые коэффициенты прямых, образующих данный угол.



Из рис. 3 видно, что углы А и С – острые, следовательно, tg A>0 и tg C > 0.

Третий угол треугольника найдем из равенства ےА + В + ےС = hello_html_m10d86425.gif. Получим

tgA = hello_html_6b2cccf.gif, A hello_html_39b186c6.gif;

tgC = hello_html_m6d83acd0.gif = hello_html_3b88a430.gif , ےC hello_html_cbe799d.gif; B = 1800 -A - C ≈ 1800 – 400 - 310 = 1090 .

  1. Высота AH есть отрезок прямой, проходящей через точку А перпендикулярно BC. Следовательно, уравнение АН есть y-y0 = k(x-x0), где (x0,y0) – координата A, а k = - hello_html_m2be57ef6.gif, где k0- угловой коэффициент BС. Получаем k0 = 1, k = - 1, уравнение АН есть y – 2 = - 1(x – 1) или y = - x + 3.

Аналогично находим уравнения высот ВЕ и CF.

Для высоты ВЕ получаем k0 = hello_html_685d8d49.gif , k = -4.Уравнение ВЕ есть y – 0 = - 4(x – 5) или y = - 4x + 20.

Для CF получаем k0 = - hello_html_6eec8aff.gif, k = 2.Уравнение CF есть y – 4 = 2(x – 9) или y = 2x – 14.

Чтобы найти точку пересечения высот, решим систему, составленную из уравнений прямых AH и BE:

hello_html_m555e188c.gifПолучим x = 5hello_html_6a1c94eb.gif , y = - 2hello_html_6a1c94eb.gif есть координаты точки пересечения высот.

hello_html_6853455a.png

Рис.3.

30 – 39. Построить линию, заданную уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение этой линии в декартовой системе координат.

30.  = 2(2 - hello_html_6ee0223a.gif);

31. = 2(2 + hello_html_6ee0223a.gif);

32. = 1 + hello_html_6ee0223a.gif;

33. = 1 - hello_html_6ee0223a.gif;

34. = 1 + hello_html_m716a3c77.gif;

35. = 2 - hello_html_6ee0223a.gif;

36. = - 2 -hello_html_m716a3c77.gif;

37. = 2 +hello_html_6ee0223a.gif;

38. = 2(1 + hello_html_6ee0223a.gif);

39. = 2(1 - hello_html_6ee0223a.gif);

3*. = 1 - hello_html_m716a3c77.gif.

Решение задачи 3*.

Составим таблицу значений функции

hello_html_m29228db2.gif

hello_html_604e7b5b.gif

hello_html_3c48614f.gif

hello_html_m5dad3de5.gif

hello_html_2b9373a2.gif

hello_html_m6d727522.gif

hello_html_360923c4.gif

hello_html_mf15a840.gif

hello_html_m1e658426.gif

hello_html_23d637f4.gif

hello_html_482f2b04.gif

hello_html_44dc0109.gif

hello_html_m69ce3984.gif

1

0,5

1-hello_html_6008a2f.gif

hello_html_62ae2842.gif

1-hello_html_m110676eb.gif

hello_html_m7521a7a5.gif

0

1-hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1b3cf496.gif


1

1+hello_html_6008a2f.gif

hello_html_67a30896.gif1,7

2

1+hello_html_6008a2f.gif

hello_html_7131910f.gif

1

Строим график (см. рис. 4). Чтобы найти уравнение линии в декартовой системе координат, выразим и φ через x и y: = hello_html_32f3ec0f.gif, sinφ= y/hello_html_32f3ec0f.gif, подставим в уравнение. Получимhello_html_32f3ec0f.gif= 1- y/hello_html_32f3ec0f.gif или hello_html_m5b4cf13a.gif=hello_html_32f3ec0f.gif-y.

hello_html_2ca0de7b.png

Рис.4.

КВАДРАТИЧНАЯ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИИ.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

40-49. Построить графики функций. Указать: точки пересечения графика с осями координат; при каких значениях x функция положительна, при каких значениях она отрицательна. В задачах а), б), в) указать точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значение.

40. а) hello_html_m55da5b0.gif, б) y = hello_html_2c693ee9.gifв) у= hello_html_90ac0f9.gifг) у = hello_html_m1dc2bf14.gif

41. а) у = 4-hello_html_b0f6fad.gif, б) у = 3(х-hello_html_m5f6e56a3.gifв) у = -hello_html_3e04a513.gif, г) у = hello_html_58a11d19.gif;

42. а) у =hello_html_m5904f53c.gif, б) у =hello_html_m645d528e.gifв) у = 3hello_html_56f704c3.gif, г) у = hello_html_m59341995.gif;

43. а) у =hello_html_60e3c412.gifб) у =hello_html_m3d5a1e20.gifв) у = hello_html_6a5501a7.gifг) у =hello_html_m1d8cb33.gif;

44. а) y = 1-hello_html_a4c069e.gif, б) hello_html_m59852e40.gif, в) у = -hello_html_m3def5f6b.gifх+1, г) hello_html_14a04546.gif;

45. а) y = 9 – х2, б) у = hello_html_m4d2614a7.gif (х +0,5) 2 -3,в) у = -2х2 – 3х +2, г) у = hello_html_42dd1eaa.gif;

46. а) у = 4х2 – 9,б) у = - (х – 0,5)2 + 5, в) у = 3х2 – 2х -1, г) у = hello_html_13de293a.gif

47. а) у = 9 – 4х2, б) у = hello_html_6eec8aff.gif(х + 2)2– 3, в) у = -3 х2 + х + 2, г) у = hello_html_m93dca94.gif

48. а) у = 9х2 – 4, б) у = -3(х – 2)2 + 4, в) у = 2х2 – х – 1, г) у =hello_html_m33598ccf.gif;

49. а) у = 4 – 9х2, б) у = hello_html_7f8f9891.gif(х + 1)2 – 3, в) у = -3х2 – 2х + 1, г) у = hello_html_6c82affd.gif;

4*. а) у = х2 – 2, б) у = - hello_html_6eec8aff.gif(х + 3)2 + 2, в) у = 2х2 - 10х + 9, г) у = hello_html_5ab9a4ec.gif


Решение задачи 4*.

а) График функции у = х2 – 2 получается из графика функции у = х2 сдвигом вниз на 2 (см. рис. 5).

Точку пересечения с осью ОУ находим, подставляя в уравнение х = 0, получим

у =2. Точки пересечения с осью ОХ, подставляя в уравнение у = 0, получим х = hello_html_5c4f9b30.gif. Функция положительна при х hello_html_24c483ec.gif и х hello_html_1ad7aa0f.gif, функция отрицательна при hello_html_m5cdf3eda.gif При х =0 функция принимает наименьшее значение у = - 2.

hello_html_64b33a47.png

Рис.5.

б) График функции у = -hello_html_6eec8aff.gif (х+3)2 + 2 получается из графика функции у = х2 сжатием в 2 раза вдоль оси OY, симметричным отражением относительно оси OX, сдвигом влево на 3 и вверх на 2 (см.рис. 6).

Аналогично п. (а) находим точку пересечения с осью OY: х = 0, у = - hello_html_78170999.gif+ 2 и с осью OX: у = 0, - hello_html_6eec8aff.gif(х + 3)2 + 2 = 0, отсюда х1 = -1 и х2 = -5. Функция положительна при -5<x<-1,функция отрицательна при х hello_html_m7c48e444.gif -1 и при х hello_html_m7c48e444.gif -5. При х = -3 функция принимает наибольшее значение у = 2.

hello_html_2258a511.png



Рис. 6.

в) Преобразуем выражение функции, выделяя полный квадрат. Получим

у =2х2 –10х + 9= 2(х2– 5х + hello_html_m931adc5.gif)= 2[(х2- 2hello_html_m11fa625d.gifх +hello_html_458e4a36.gif) + (-hello_html_458e4a36.gif+hello_html_78170999.gif)]= 2[(х-hello_html_m11fa625d.gif)2-hello_html_mc6ef6e0.gif].

Итак, у = 2(х -2,5)2 – 3,5.

График функции у = 2(х -2,5)2 – 3,5 получается из графика функции у = х2растяжением в 2 раза вдоль оси OY, сдвигом вправо на 2,5 и сдвигом вниз на 3,5

(см. рис.7).

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, подставим х = 0 в исходное уравнение у = 2х2 –10х + 9, получим у = 9. Чтобы найти точки пересечения с осью OX, подставим в уравнение у = 0, получим 2х2 –10х + 9 = 0. Решая квадратное уравнение, находим

х1 =hello_html_m37ae89e7.gif и х2 = hello_html_6113fda5.gif Функция положительна при х hello_html_m3f9303f4.gif1 и х hello_html_m7c48e444.gifх2. Функция отрицательна при х1hello_html_m7c48e444.gifхhello_html_m7c48e444.gifх2.При х = 2,5 функция принимает наименьшее значение

х = -3,5.



hello_html_98637eb.png

Рис. 7.

г) Преобразуем выражение функции к виду у = hello_html_426795ac.gif + y0.

Получим у = hello_html_2b9a0e4a.gif = hello_html_m6765aeee.gif = 2hello_html_16b1de77.gif = 2hello_html_62cb2e8.gif) = hello_html_m76ec01ea.gif+2. Итак, у = hello_html_m76ec01ea.gif+2.

График функции у = -1,5/(x+4)+2 получается из графика функции y = 1/x растяжением в 1,5 раза вдоль оси ОУ, симметричным отражением относительно оси ОХ, сдвигом влево на 4 и вверх со сдвигом на 2. Асимптотами графика будут прямые x= -4 и y= 2 (рис.8.).

Чтобы найти точку пересечения с осью ОУ, подставим x=0 в исходное уравнение у = hello_html_m7cc7287.gif получим у = hello_html_4f761946.gif

Чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, подставим в уравнение у=0, получим hello_html_m50f363fd.gifх=hello_html_me140d7c.gif положительна при х>-3,25, функции отрицательна при х<-3,25. При х=-4 функция не определена,

hello_html_6be87a14.png

Рис. 8.

50-50. Построить линии по их уравнениям в декартовой прямоугольной системе координат. В задачах а), б), в) указать фокусы; в задачах б), в), г) – центр кривой.

50. а) hello_html_m26c08665.gif , б) hello_html_6eb20823.gif,

в) hello_html_m3eeb9368.gif , г) hello_html_62c76323.gif ,

51. а) hello_html_5a027ecb.gif , б) hello_html_m50bccb17.gif ,

в) hello_html_m6bf8b95e.gif , г) hello_html_m5d8474c3.gif ,

52. а) hello_html_1bde56e7.gif , б) hello_html_m7fe2692c.gif ,

в) hello_html_m567885d0.gif , г) hello_html_2daf1fbc.gif ,

53. а) hello_html_5ac054e6.gif , б) hello_html_m97f37d4.gif ,

в) hello_html_5a9f7ac7.gif , г) hello_html_m66debc29.gif ,

54. а) hello_html_m72ebd254.gif , б) hello_html_379387f1.gif ,

в) hello_html_46b5692b.gif , г) hello_html_46f9ea17.gif ,

55. а) hello_html_53e539c2.gif, б) hello_html_5113bda9.gif ,

в) hello_html_m5bebe73a.gif , г) hello_html_m64331b61.gif ,

56. а) hello_html_m22422574.gif , б) hello_html_cd6bdda.gif ,

в) hello_html_7768f511.gif , г) hello_html_m54d0f69.gif ,

57. а) hello_html_m36977f99.gif , б) hello_html_m316a7010.gif ,

в) hello_html_2cb12f36.gif , г) hello_html_m1ff9405e.gif ,

58. а) hello_html_m2f3a8efd.gif , б) hello_html_m2f9a5d46.gif ,

в) hello_html_m23cd2252.gif , г) hello_html_m13ad729d.gif.

hello_html_m69287164.gif, б) hello_html_m3d7a06c1.gif,

hello_html_m31918a5b.gif, г) hello_html_155c7ce8.gif;

hello_html_539f0887.gifб) hello_html_m1f758324.gif

hello_html_48daaa3a.gif, г)hello_html_3aa4e1f9.gif.

Решение задач 5*.

а) Каноническим уравнением параболы является уравнение hello_html_m72459af4.gif при этом фокус параболы находится в точке F(hello_html_499d926c.gif;0). Следовательно,hello_html_3b7a745f.gif, есть уравнение параболы, фокус которой находится в точке F(1,25;0) (см. рис. 9).

hello_html_m4a95fb0e.png

Рис. 9.

б) Каноническим уравнением эллипса является уравнение hello_html_110c0159.gif+hello_html_74ac06b1.gif=1, при этом

фокусы эллипса находятся в точках F1(-c;0) и F2(c;0), где c=hello_html_m232309a8.gif. Следовательно, hello_html_m44808b4d.gifa = 3 и b = 1. Фокусы эллипса находятся в точках F1 (-2hello_html_m2605e48.gif;0) и F2 (2hello_html_m2605e48.gif;0). Эллипс вписан в прямоугольник со сторонами x = 3, x = -3, y = 1 , y = -1, центр эллипса находится в начале координат (см. рис.10).



hello_html_5bad528a.png



Рис. 10.

в) Каноническим уравнением гиперболы является уравнение hello_html_m481b2292.gif , при

этом фокусы гиперболы находятся в точках F1(-с;0) и F2(с;0) , где с = hello_html_m4b5338f0.gif. Следовательно, hello_html_m3b8fe249.gif есть уравнение гиперболы с полуосями a=4 и b=4. Фокусы гиперболы находятся в точках F1(-2hello_html_1e398b2a.gif; 0) и F2(2hello_html_1e398b2a.gif; 0). Асимптотами гиперболы являются прямые y = hello_html_69825ba3.gifx , т.е. y = hello_html_5f474eb7.gifx, которые можно построить как продолжение диагоналей прямоугольника со сторонами x=4, x=-4, y=2 и y=-2. Центр гиперболы находится в начале координат (см. рис. 11)

hello_html_m637adde2.png

Рис.11.

г) Уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом R является уравнение x2+y2=R2. Следовательно, (x+2)2+(y-1)2 = 1 есть уравнение окружности с центром в точке с координатами x = - 2 , y = 1 и радиусом R=1 (см. рис. 12).



hello_html_m7447b5b2.png

Рис.12.





ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

60-69. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

60. a) hello_html_m3d8ac7f8.gif; б) hello_html_5ea7e994.gif; в) hello_html_41be0902.gif; г) hello_html_m75a3b155.gif;

д) hello_html_37d817ac.gif;

61. а) hello_html_22c8712d.gif; б) hello_html_m2c571752.gif; в) hello_html_m529e25a3.gif; г)hello_html_100a146b.gif;

д) hello_html_50f1bdb1.gif;

62. а) hello_html_m6a07526e.gif б) hello_html_d6ab6b5.gif; в)hello_html_m58331397.gif; г)hello_html_2f84a3ce.gif

д)hello_html_3139f439.gif;

63. а)hello_html_59a7e6a0.gif; б)hello_html_m13875b68.gif в) hello_html_e971cce.gif г) hello_html_6f1c0016.gif;

д) hello_html_5eca5aa8.gif

64. а)hello_html_m745e911f.gif б) hello_html_m35ed8ed.gif в) hello_html_4b52024f.gif г) hello_html_mb3362e8.gif

д) hello_html_5f4f4b27.gif

65. а) hello_html_1f5b8e68.gif; б) hello_html_657b5ba3.gif в) hello_html_79205390.gif г) hello_html_m6543c561.gif

д) hello_html_ma3fd5ea.gif

66. а)hello_html_m235b2a2c.gif; б) hello_html_m6b140a18.gif в) hello_html_m62f02294.gif; г)hello_html_d1b9867.gif

д) hello_html_a4fa633.gif

67. а) hello_html_7e046cb.gif б)hello_html_5d4e2366.gif в) hello_html_656258f6.gif г) hello_html_m1b726ab2.gif;

д) hello_html_ma0e0145.gif;

68. а)hello_html_2130dc9e.gif б) hello_html_m3f76d1dc.gif в) hello_html_245cc34c.gif г) hello_html_48573fa0.gif;

д) hello_html_6605e5cb.gif

69. а)hello_html_m5f96d4a7.gif; б) hello_html_m3672fe08.gif; в) hello_html_2ab7ad1d.gif г)hello_html_m4b54d090.gif;

д) hello_html_428bd7dd.gif;

6*. а) hello_html_m6c4c88e8.gif б)hello_html_m4556cb36.gif в) hello_html_4b2dad0f.gif г) hello_html_m20a58ca8.gif д) hello_html_3bcb54de.gif.

Решение задачи 6*.

а) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень x, т.е. на hello_html_m15264eec.gif. Получим

hello_html_m2592bf50.gif=hello_html_m21717301.gif.

б) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень x, т.е. hello_html_7308959f.gif:

hello_html_1abc3bf3.gif

в) Разложим числитель и знаменатель на множители:

hello_html_m1de34338.gif.

г) Умножим числитель и знаменатель на выражение hello_html_bd1bb1c.gif:

hello_html_680d398e.gif= hello_html_53ae0ec8.gif= hello_html_m7bab1885.gif= hello_html_32e1d6f4.gif= -2(3+3) = -12.

д) Воспользуемся тригонометрическими тождествами hello_html_m347397de.gif= hello_html_6f307c92.gif,

1-cos2x==2hello_html_m495bc7.gifx. Далее, чтобы выделить первый замечательный предел, умножим числитель и знаменатель на 3x.Получим

hello_html_2f546045.gif= hello_html_m433ed020.gif = hello_html_m33e1a420.gif =

= hello_html_53c75823.gif * hello_html_m4008c1fa.gif2 *hello_html_56387c0e.gif = hello_html_6a1c94eb.gif .



70-79. Построить графики функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

70. a) у = 3х-2, б) у = lg(x-0.5), в) у = 2sinx, г) у = cos3x, д) у = 1,5sin(2x+3);

71. а) у = (0,5)х+2, б) у = lg(х+2), в) у = 1,5cosx, г) у = sin3х, д) у = 2sin(0,5х-1);

72. а) у= 2х+3, б) у=lg(х+1), в) у=3cosx,

г) у= sin2х, д) у=0,5sin(1,5х-3);

73. а) у=4х-3, б) у=lg(х+0,5), в) у=1,5sinx,

г) у= cos0,5х, д) у=2,5sin(3х-4);

74. а) y=(hello_html_m62580a2f.gif)x+ 2, б) y=lg(x-2,5) , в) y=0,5hello_html_m5cca13d6.gif,

г) y=hello_html_m341ed7a2.gifд) y=1,2hello_html_m6f0baa96.gif;

75. а) y=hello_html_70cea64e.gif)x– 2, б) y=lg(x+2,5) , в) y=3hello_html_39b6f98e.gif,

г) y=hello_html_43124170.gifд) y=0,5hello_html_66436851.gif;

76. а) 2X+ 1, б) y=lg(x-4), в) y=1,2hello_html_m5cca13d6.gif,

г) y=hello_html_m53ea088b.gif, д) y=0,8hello_html_7f9d339d.gif

77. а) y=3x+1, б) y=lg(x+4),в)y=1,2hello_html_39b6f98e.gif,

г) y=hello_html_147db54f.gifд) y=0,8hello_html_m552d319.gif

78. а) y=(1,5)x=1, б) y=lg(x-2), в) y=0,5hello_html_me839999.gif

г) y=hello_html_m3d1b64da.gif, д) y=3hello_html_6a06e718.gif

79. а) y=(hello_html_7f8f9891.gif)x+1, б) y=lg(x-3), в) y=2hello_html_m5cca13d6.gif,

г) y=hello_html_5b2b4283.gif, д) y=1,2hello_html_4b8e026f.gif;

7*. а) y=2x-2, б) y=lg(x-1), в) y=2,5hello_html_39b6f98e.gif,

г) y=hello_html_6b723822.gifд) y=2hello_html_m6f0baa96.gif.

Решение задачи 7*.

а) График функции y=2x-2 получается из графиков функций y=2xсдвигом вниз на 2 (см. рис. 13).

hello_html_3a66cc2a.png

Рис.13.

б) График функции y=lg(x-1) получается из графика функции y=lgx сдвигом вправо на 1 (см. рис. 14).

hello_html_5bec6598.png

Рис.14.

в) График функции y = 2,5sinx получается из графика функции y = sinx растяжением в 2,5 раза вдоль оси OY (см. рис.15).

hello_html_25b3d84d.png

Рис. 15.

г) График функции y=sin0,5xполучается из графика функции y=sinxрастяжением в 2 раза вдоль оси OX. Функция периодична с периодом hello_html_4b8e18c2.gif(см. рис.16).

hello_html_m39792922.png

Рис.16.

д) График функции y = 2sin(3x+4) = 2sin3(x+4/3) получается из графика функции y = sinx растяжением в 2 раза вдоль оси OY, сжатием в 3 раза вдоль оси OXи сдвигом влево на 4/3. Функция периодична с периодом hello_html_m524b81b1.gif(см. рис.17).

hello_html_4702d621.png

Рис.17.

ПРОИЗВОДНАЯ

80-89. Найти производные функций. В задачах а), б) вычислить производную функции в указанной точке.

80. а) hello_html_3ea60f31.gif; б) y =hello_html_73a5ae35.gif, x0 = 1; в) y = 2arctghello_html_6d3e6497.gif+sin3x;

г) y =hello_html_m522f305.gif; д) hello_html_m15ea634c.gif.

81. а) y = 5x3-2hello_html_m25e336e5.gif2-hello_html_m329f5a7d.gif, x0=-1;

б) y = 3hello_html_m1afe3dc2.gif+ 5 ln (3x+1), x0=0;

в) y = hello_html_m70550115.gifarctg2x;

г) y = hello_html_4df73626.gif;

д) hello_html_m75adab86.gif.

82. а) y = 3hello_html_m7d597bd4.gif3+hello_html_2a0ef611.gif+3 , x0=1;

б) y = hello_html_m1afe3dc2.gif*cos3x , x0=0;

в) y = 3 arctg2x-hello_html_m2678d696.gif

г) y = hello_html_m7f060682.gif;

д) hello_html_55d11679.gif

83. a)y =5 hello_html_m25e336e5.gif-hello_html_d0bdb9b.gif+4x, x0= -1;

б) y =3lnx-5arctghello_html_m418f76f4.gif, x0=2;

в) y =hello_html_m76efed6d.gif;

г) y = hello_html_6f6b08b0.gif;

д) y= arcsinhello_html_172928d2.gif;

84. a) y = 2hello_html_36407f4.gif, x0 = 4;

б) y = hello_html_4cb67e15.gifx0 = 0;

в) y = 3sin2x - hello_html_45385c52.gif;

г) y = hello_html_2de21a72.gif;

д) y = arcsin hello_html_m3c9baeea.gif;

85. а) y= 3hello_html_4cdf237b.gif-hello_html_m9e48a5b.gif x0=1;

б) y = hello_html_m4e28d360.gif, x0 = hello_html_4a7c6de3.gif;

в) y = hello_html_m1ad0f7e2.gif; г) y = hello_html_m3b71e4a4.gif;

д) y = hello_html_5a01375b.gif;

86. а) y = hello_html_710b5339.gif- hello_html_m40ec9e24.gifx0=1;

б) y = 2hello_html_35da1cc5.gif, x0=0;

в) y = -hello_html_m602b7125.gif;

г) y = sin 3xhello_html_54a39c2e.gif;

д) y = hello_html_m201771ea.gif;

87. а) y= hello_html_828b2ab.gif + hello_html_13637631.gif - hello_html_13be1a72.gif, x0=4;

б) y=hello_html_m270fb318.gifarctgx, x0 =1;

в) y = hello_html_ad8c601.gif;

г) y = hello_html_m18448a57.gif; д) y = hello_html_62c66b51.gif;

88. а) y = 2x - hello_html_m3a9670cf.gif + hello_html_569bc775.gif, x0=9;

б) y = hello_html_1c41e2c.gif,x0 = 0;

в) y = hello_html_71e8c959.gif;

г) y = hello_html_m42ef7295.gif;

д) y = hello_html_m7c9fe5bf.gif

89. а) y = hello_html_m980e61b.gif - hello_html_m30a1bd44.gif + 32hello_html_7a2a5240.gif, x0 =hello_html_m12cf78a7.gif;

б) y = hello_html_m32326527.gif, x0= -1;

в) y = hello_html_m68f09099.giftghello_html_m418f76f4.gif;

г) y = hello_html_m7d796473.gif;

д) y = hello_html_m87a9f03.gif.

8*. a) y= 2hello_html_662f4b5e.gif-hello_html_m30a1bd44.gif+hello_html_m15264eec.gif+1, x0 = 1;

б) y = hello_html_m6d9ee510.gif, x0 = 0;

в) y = hello_html_79721605.gif ln(3x+2);

г) y = hello_html_681b41cf.gif.



Решение задачи 8*.

а) y'(x) = (2hello_html_m311aa47c.gif+3hello_html_7a2a5240.gif; y'(1)=hello_html_m4d2614a7.gif + 2 + 3 =6hello_html_7f8f9891.gif;

б) y'(x) =hello_html_4a4bf7cf.gif = hello_html_m7e3bb177.gif,

y'(0)= hello_html_7cf65698.gif

в) y'=hello_html_48d1bbf4.gif=(hello_html_m33299a75.gifln(3x+2) +hello_html_m1f736b12.gif= hello_html_532937ef.gif;

г) y'=hello_html_326ce033.gif





90-99. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0 .

90. y = hello_html_m6a60c91a.gifx0 = 1;

91. y = hello_html_m518a0c0f.gif, x0 = -1;

92. y = hello_html_722a4256.gifx0 =hello_html_m31efd0a6.gif;

93. y = ctgx, x0 = hello_html_m31efd0a6.gif;

94. y = sinx, x0 = π;

95. y = hello_html_m1afe3dc2.gif, x0 = 0;

96. y = tgx, x0 = 0;

97. y = cosx, x0 = hello_html_4a7c6de3.gif;

98. y =ctgx, x0 = hello_html_4a7c6de3.gif;

99. y = lnx, x0= 1;

9*. y = e2x-1, x0= hello_html_6eec8aff.gif;

Решение задач 9*.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y= f(x) в точке с абсциссой х0 равен производной этой функции, вычисленной в этой точке х0: k= f’(x0). Вычислим производную функции у = е2х-1. Получим у(х)= 2е2х-1. Тогда k=y’(hello_html_6eec8aff.gif)= 2e0=2.

100-109. Написать уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке (x0;y0).

100. у = 0,5х3-х+1, х0=1, у0=0,5;

101. у = 1,5х2-3х-2, х0=-1, у0=2,5;

102. у = х3-3х+1, х0=2, у0= 3;

103. у = 3х2+2х-4, х0=-2, у0= 4;

104. у = х3-2х2+3, х0=2, y0=3;

105. у = х2-3х-2, х0=1, у0=-4;

106. у = х3-х+2, х0=1, у0=2;

107. у = х2+2х-3, х0=-1, у0=-4;

108. у = х3+х-2, х0=1, у0=0;

109. у = 2х2-х-2, х0=2, у0=4;

10* у = х3+х-5, х0=2, у0=5.

Решение задачи 10*.

Запишем уравнение касательной как уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (х00). Получим у-у0 = k(x-x0) или y-5 = k(x-2). Угловой коэффициент касательной равен fhello_html_m4c72c43f.gif(x0). Найдем у(х) = 3х+1. Тогда k = yhello_html_m4c72c43f.gif(2) = 7. Подставляя k в уравнение, получим y-5 = 7(x-2) или у = 7х-9. Итак, уравнение касательной есть у = 7х-9.



ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

110-119. Исследовать функции и построить их графики.

110. y = hello_html_72087028.gif

111. y = hello_html_32f7ca87.gif

112. y = hello_html_mf60f310.gif;

113. y = hello_html_8dc4ebd.gif

114. y = hello_html_m52af5fc6.gif;

115. y = hello_html_bd9e6aa.gif

116. y = hello_html_229f3a69.gif

117. y = hello_html_628d79bb.gif;

118. y = hello_html_m21f0a32b.gif;

119. y = hello_html_m12aac064.gif ;

11*. y = hello_html_31c1d7e6.gif

Решение задачи 11*

  1. Область определения функции: x є R, x≠ ±2.

  2. y(-x) = -y(x), следовательно, функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Исследуем ее при х≥0, а при построении графика воспользуемся симметрией.

  3. Исследуем функцию на возрастание и экстремумы. Для этого найдем производную функции:

y' = hello_html_m1bfb3d7d.gif = hello_html_16fe79a9.gif

y' = 0 при х = 0 и х = 2hello_html_5909bbae.gif. y' не существует при х=2. Точки х = 0 , х = 2 и х = 2hello_html_5909bbae.gif разбивают полуось [0;hello_html_39e51d2b.gifна три интервала. Исследуем интервал (0;2). При х=1 у`=hello_html_m37ea6835.gif>0. Тогда на всем интервале (0; 2) у`>0, и, следовательно, функция у(х) монотонно возрастает. Аналогично исследуются остальные интервалы. Результат исследования занесем в таблицу



x

0

(0;2)

(2;2hello_html_60f80530.gif

2hello_html_m146b6803.gif

(2hello_html_m146b6803.gif; +hello_html_m192b6b21.gif)

y’

0

+

+

0

-

у

0

hello_html_m3b959ddd.gif

-hello_html_m146b6803.gif

В точке х=2hello_html_38286053.gif - точка максимума.

4. Исследуем функцию на выпуклость. Для этого найдем вторую производную функции

y''= hello_html_m1167c431.gif .

y'' = 0 при х = 0. y'' не существует при х=2. Точки х = 0 , х = 2 и х = 2 разбивают полуось [0;hello_html_39e51d2b.gifна два интервала. Исследуем интервал (0;2). При х=1 у''>0. Тогда на всем интервале (0; 2) у''>0, и, следовательно, функция у(х) выпукла вниз. Аналогично исследуется второй интервал. Результат исследования занесем в таблицу

x

0

(0;2)

(2; +hello_html_m192b6b21.gif)

y''

0

+

-

у

0

hello_html_477f4536.gif

hello_html_6ce76875.gif



5.Исследуем поведение функции вблизи точки x=2, в которой функция не определена:

hello_html_3670de5d.gif

Следовательно, x=2 – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту y=kx+b.

hello_html_m52033e47.gif

hello_html_m6318cc97.gif

Прямая y=-x/3 является наклонной асимптотой.

6. Из уравнения функции находим, что если x=0, то y=0; если y=0, то x=0. Следовательно, единственная точка пересечения графика с осями координат – это точка (0,0).

7. На основании результатов исследования строим график функции сначала для x>=0, а затем симметрично относительно начала координат для x<0 (см. рис.18). Из графика видно, что x=0 – точка перегиба.

8. Из графика видно, что множеством значений функции является все множество действительных чисел.

hello_html_m5aa64c94.png

Рис. 18.





120-129. Решить задачу методами дифференциального исчисления.

120. В полукруг радиуса Rвписан прямоугольный треугольник так, что его гипотенуза совпадает с диаметром полукруга. Какими должны быть катеты треугольника, чтобы его периметр был наибольшим?

121. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна hello_html_m6fcfd213.gif. Какими должены быть стороны треугольника, чтобы его периметр был наименьшим?

122. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на диаметре, а две вершины – на дуге полуокружности. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь? Найти отношение основания прямоугольника к его высоте.

123. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен Р. Каким должен быть радиус полукруга, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

124. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна h. Какими должны быть его катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

125. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Определить её большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

126. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на диаметре полукруга, а две вершины – на полуокружности. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его периметр был наибольшим? Найти отношение высоты прямоугольника к его основанию.

127. Основание треугольника равно 4 см, а высота – 2 см. На какие отрезки должна разбивать основание высота треугольника, чтобы его периметр был наименьшим?

128. В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что её основанием является диаметр полукруга. Какими должны быть меньшее основание трапеции и её высота, чтобы площадь трапеции была наибольшей?

129. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 60⁰ вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

12*. Периметр равнобедренного треугольника равен p. Какими должны быть его стороны, чтобы его площадь была наибольшей.

Решение задачи 12*.

C





A H B

Рис. 19

Пусть основание |AB|=x (см. рис. 19). Тогда боковые стороны |CB|=|CA|=hello_html_499d926c.gif -hello_html_m418f76f4.gif, а высота |CH|=h по теореме Пифагора равна

h = hello_html_252f7da.gif = hello_html_550d9cbe.gif. Площадь треугольника

S = hello_html_6eec8aff.gifxh = hello_html_60e347a5.gif.

Определим, на каком отрезке может изменяться x. Ясно, что x≥0 с другой стороны, в треугольнике CBH |HB|≤|CB| т. е. hello_html_m418f76f4.gif hello_html_499d926c.gif - hello_html_m418f76f4.gif или x hello_html_499d926c.gif. Итак, [0; hello_html_499d926c.gif].

Найдем наибольшее значение функции S(x) = hello_html_60e347a5.gif на отрезке [0; hello_html_499d926c.gif]. Для этого вычислим производную

S(x) = hello_html_1a19ad94.gif + hello_html_24a91178.gif = hello_html_m20cfe67.gif.

S(x) = 0 при p2 – 3px = 0, т. е. при x = hello_html_2ce7f3b8.gif.

S(x) не существует при p2 – 2px = 0, т. е. при hello_html_499d926c.gif.

Сравним значения функции S(x) на концах отрезка и в точках, где производная равна нулю или не существует. Наибольшее из них будет одновременно наибольшим значением S(x) на всем отрезке

S(0) = 0, S(hello_html_2ce7f3b8.gif) = hello_html_923a3f2.gif = hello_html_2384d917.gif, S(hello_html_499d926c.gif) = 0.

Следовательно, наибольшее значение S(x) на отрезке [0; hello_html_499d926c.gif] равно hello_html_2384d917.gif. Оно достигается при x = hello_html_2ce7f3b8.gif.При этом |CB|=|CA|=hello_html_499d926c.gif -hello_html_m418f76f4.gif = hello_html_2ce7f3b8.gif. Итак,чтобы площадь равнобедренного треугольника была наибольшей, все его стороны должны быть равны hello_html_2ce7f3b8.gif, т.е. треугольник должен быть равносторонним.



ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

150-159. Найти область определения функции двух переменных. Изобразить на чертеже область определения функции.

150. z = hello_html_m349d3de6.gif; 155. z = hello_html_m75f2573e.gif;

151. z = hello_html_4d4c38c6.gif; 156. z= hello_html_2adfbfd9.gif;

152. z = hello_html_5241f2b4.gif; 157. z = hello_html_2308e339.gif;

153. z = hello_html_m57239f0a.gif; 158. z = hello_html_66d29c7a.gif;

154. z = hello_html_153fe791.gif; 159. z = hello_html_m7450ea1e.gif;

15*. z = hello_html_4c15dff0.gif.

Решение задачи 15*.

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – у2 – х ≥ 0 или х ≤ 1 – у2. Линия х = 1 – у2 является параболой, а область х ≤ 1 – у2 есть часть плоскости, расположенная левее этой параболы (см. рис. 21).

hello_html_5c592743.png

Рис. 20.



170-179. Найти производные первого и второго порядка функции z = f(x,y) и убедиться в том что hello_html_m5bded097.gif.

170. z = x3y2 + 2x2y + y2 + x;

171. z = x2y3 + 3xy2 + x +1;

172. z = x5y2 + 3x4y + 3x2y3 + x;

173. z = x4y2 + 2x3y +2xy2 + y;

174. z = 3x2y – 2xy5 + 2x – y2;

175. z = x – 2y + x2y3 – 3x2y5;

176. z = 1 + x + 2xy + y3 +x3y4;

177.z = x3y3 – 2x2y + 2xy3 + x – y;

178.z = x5y2 + x2y3 + xy4 – x;

179.z = 8 + x – y + xy3 +x3y + x3y2;

17*.z = x7y3 + 2x + y4.

Решение задачи 17 hello_html_m7c48e444.gif.

При вычислении hello_html_m2345ffa1.gif переменная y рассматривается как постоянная. Получаем hello_html_252207ac.gif

При вычислении hello_html_m128ff512.gif переменная x рассматривается как постоянная. Получаем hello_html_5a2f1ad3.gif

Вычислим производные второго порядка.

hello_html_5ae3c7c0.gif

hello_html_30f7011.gif=hello_html_43713bfe.gif

hello_html_15b27209.gif

hello_html_m4e77c4af.gif=hello_html_m1d2fdc7e.gif

Мы видим, что hello_html_539af6d5.gif



180-189. Найти частные производные второго порядка функции z= f (x,y).

180. z=hello_html_49f69172.gif; 186. z= hello_html_m626ab25b.gif

181. z= hello_html_55d7eb2.gif; 187. z= hello_html_49a7a7ab.gif

182. z= cos hello_html_m8115502.gif; 188. z= cos (xy);

183. z= hello_html_68b71863.gif; 189. z= x sin (xy);

184. z= sin (xy) ; 18hello_html_m7c48e444.gif. z= hello_html_665460b8.gif

185. z= hello_html_m1fdbc594.gif.

Решение задачи 18hello_html_m7c48e444.gif.

Найдем производные первого порядка

hello_html_m2345ffa1.gif= 2xhello_html_25995491.gif , hello_html_6f68957f.gif .

Найдем производные второго порядка

hello_html_4cb88966.gif- hello_html_m6bf4e2ed.gif ,

hello_html_45409b22.gif=hello_html_2712cfd5.gif=hello_html_6c54a4ae.gif=hello_html_m195baf95.gif.





190-199. Найти точки экстремума функции z = hello_html_m134192f.gifвычислить значения функции в этих точках.

190. z = x2+hello_html_6eec8aff.gify2+xy-x-y;

191. z = x2+y2-2x-4x+8;

192. z = x2 – 2xy+42+2x+3;

193. z = 3 + 2y-x2-y2;

194. z = 5+2x+-6y+2xy-x2-2y2;

195. z = 1+4x-x2-y2;

196. z = 3x2+2xy+y2+2x-2y+1;

197. z = xy-x2-y2-2x-4y;

198. z = x2+2xy+3y2-2x+2y;

199. z = -2x2+xy-y2+2x-11y+3;

19*. z = x2-2xy+2y2+4x-2y.

Решение задачи 19*.

Вычислим частные производные первого порядка

hello_html_m6aa41ddf.gif=2x-2y+4, hello_html_m1cf57297.gif= 4y-2x-2. Приравниваем их к нулю.

hello_html_4344c2b2.gif

Решая систему, найдем x=-3, y=-1. Чтобы определить, действительно ли точка (-3,-1) является точкой экстремума, найдем частные производные второго порядка.

hello_html_m57cf1dd8.gif=-2.

Так как величина hello_html_1e7348c1.gif=4 положительна в точке (-3,-1), то эта точка является точкой экстремума. Так как hello_html_4f42d7f5.gif положительна в точке (-3,-1), то (-3,-1) – точка минимума. Найдем значение функции в этой точке z(-3,-1) = -5.













СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Привалов И.И. Аналитическая геометрия /И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с.

  2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1,2 / Н. С. Пискунов. - М.: Наука, 2001. - 432 с.

  3. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – СПб.: Лань, 2005. – 736 с.

  4. Крейн С. Г. Математический анализ элементарных функций / С.Г. Крейн, В.Н. Ушакова. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1963. - 168 с.

  5. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. - М.: АСТ, Астрель, 2001. — 656 с.

  6. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу: учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений / Б.П. Демидович — М.: Изд-во Моск. ун-та ЧеРо,1997. - 624с. 

  7. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. - СПб.: 2001. — 432 с. 

  8. Высшая математика для экономистов: Учебник. /Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. М.: ЮНИТИ, 2000.



70


Краткое описание документа:

В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению «ВПО экономика(бакалавриат)»

При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:

1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;

2) работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;

4) Исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.

 Нужно выполнить индивидуальное задание из варианта.

 На экзамене и зачете студенту могут быть предложены задачи, аналогичные задачам его индивидуального задания по соответствующему разделу программы.

 

Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается цифрой * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.

Общая информация

Номер материала: 124558

Похожие материалы